ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------
ĐOÀN THỊ CÚC
PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13
LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU
Hà Nội – Năm 2013
Mục lục
Mở đầu 2
1 Phương trình lượng giác 4
1.1 Phương trình cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Phương trình đưa về dạng đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Phương trình đưa về dạng tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Phương trình lượng giác giải bằng phương pháp so sánh . . . . . . . 18
2 Bất phương trình lượng giác 29
2.1 Bất phương trình lượng giác cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Sử dụng tính tuần hoàn giải bất phương trình lượng giác . . . . . . 33
3 Ứng dụng của phương trình và bất phương trình lượng giác 37
3.1 Ứng dụng trong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Ứng dụng trong chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức . . . . . . . 58
3.3 Ứng dụng trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Kết luận 86
Tài liệu tham khảo 87
1
Mở đầu
Chuyên đề lượng giác là một nội dung quan trọng của chương trình toán ở bậc
Trung học phổ thông. Các bài toán về "Phương trình, bất phương trình lượng
giác" thường xuất hiện trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng và kỳ thi học sinh giỏi.
Việc nâng cao kiến thức và giúp học sinh giải tốt các bài toán trên là động lực để
tôi nghiên cứu đề tài này.
Bản luận văn này được chia làm 3 chương.
Chương 1. Phương trình lượng giác
Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Luận văn trình bày
một số phương pháp giải phương trình lượng giác.
Chương 2. Bất phương trình lượng giác
Ở chương này luận văn đề cập đến các phương pháp giải bất phương trình lượng
giác.
Chương 3. Ứng dụng của phương trình và bất phương trình
Luận văn trình bày hai ứng dụng quan trọng của phương trình, bất phương
trình lượng giác trong đại số và hình học.
Mặc dù bản thân đã cố gắng và nghiêm túc trong học tập và nghiên cứu khoa
học nhưng do thời gian có hạn, kiến thức bản thân còn hạn chế nên trong quá
trình thực hiện luận văn không tránh khỏi những sơ suất. Rất mong nhận được sự
góp ý của thầy cô và các bạn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Học viên
Đoàn thị Cúc
2
Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn
Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tôi
thực hiện đề tài.
Tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ -Tin học, Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy
khóa cao học 2011-2013 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn
của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quá trình
học tập và làm luận văn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2013
Học viên
Đoàn Thị Cúc
3
Chương 1
Phương trình lượng giác
Phương trình lượng giác là kiến thức quan trọng trong chương trình toán học
phổ thông. Không tồn tại một phương pháp chung để giải tất cả các bài toán về
phương trình lượng giác. Người ta chia phương trình lượng giác (theo cách giải)
thành hai loại:
Loại 1. Phương trình lượng giác giải thuần túy bằng biến đổi lượng giác.
Loại 2. Phương trình lượng giác giải bằng các phương pháp của đại số, giải
tích...
Để giải một phương trình lượng giác nhìn chung ta thường biến đổi phương
trình cần giải về một hay một số các phương trình lượng giác đơn giản đã có cách
giải.
1.1 Phương trình cơ bản
Giả sử u,vlà các biểu thức theo x:u=u(x),v=v(x).
Khi đó ta có
1.
sin u= sin v⇔u=v+k2π
u=π−v+k2π(k∈Z).
2.
cos u= cos v⇔u=v+k2π
u=−v+k2π(k∈Z).
3.
tan u= tan v⇔(u6=π
2+kπ
u=v+lπ (k, l ∈Z).
4.
cot u= cot v⇔u6=kπ
u=v+lπ (k, l ∈Z).
4