MỤC LỤC
CHƯƠNG I: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI ...... 5
1.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai .................................. 5
1.1.1. Nghiệm của phương trình bậc hai .............................................. 5
1.1.2. Định lý Vi - ét ........................................................................... 7
1.2. Bài toán dấu của tam thức bậc hai ..................................................... 8
1.2.1. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai ................................ 8
1.2.2. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai ................................. 10
1.3. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số và biện luận phương trình bậc hai ............................................................................... 11
CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ..................................................................................... 15
2.1. Hệ phương trình hỗn hợp và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. ....................................................................................... 15
2.1.1. Hệ phương trình hỗn hợp .......................................................... 15
2.1.2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ................................... 16
2.2. Dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận bất phương trình ...................................................................................... 18
2.3. Phương trình vô tỷ và phương trình bậc cao .................................... 23
2.3.1. Phương trình vô tỷ..................................................................... 23
2.3.2. Phương trình bậc cao ................................................................ 26
2.4. Phương trình mũ và phương trình lôgarit ........................................ 31
2.4.1. Phương trình mũ ....................................................................... 31
2.4.2. Phương trình lôgarit ................................................................. 33
2.5. Một số phương trình lượng giác....................................................... 35
1
2.6. Một số sai lầm của học sinh khi sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai ............................................................................................. 37
CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ PHỤ THUỘC THAM SỐ .................................................................................................. 39
3.1. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số ................................ 39
3.2. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên một miền .................... 40
3.2.1. Hàm số bậc 3: ........................................................................... 41
3.2.2 Hàm phân thức: .......................................................................... 43
3.3. Cực trị và dạng đồ thị của hàm số .................................................... 44
3.4. Xác định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước .......................................................... 46
3.5. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng........ 48
3.6. Giao điểm của đường thẳng với hàm số bậc bốn và với các nhánh của hypebol ............................................................................................. 52
3.6.1. Giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm bậc 4 .................... 52
3.6.2. Giao điểm của đường thẳng với nhánh của hypebol ................ 53
CHƯƠNG IV: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀO VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC ........................................................................... 55
4.1. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc chứng minh bất đẳng thức. ................................................................................. 55
4.2. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc giải các bài toán hình học. .............................................................................. 57
KẾT LUẬN ................................................................................................ 59
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO ......... Error! Bookmark not defined.
2
MỞ ĐẦU
Trong chương trình môn toán ở trường phổ thông trung học có một chương trong sách đại số lớp 10 viết về tam thức bậc hai. Các kết quả của nó đã được đề cập và ứng dụng nhiều liên quan đến giải và biện luận phương trình, bất phương trình, khảo sát hàm số…. Là một giáo viên đang giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, tôi muốn đi sâu tìm hiểu và nghiên cứu kỹ vấn đề này để công việc giảng dạy môn toán nói chung và giảng dạy môn đại số nói riêng của bản thân tôi được tốt hơn. Xuất phát từ lý do trên trong luận văn này tôi chọn đề tài “ Tam thức bậc hai và một số ứng dụng”.
Nội dung luận văn gồm các phần sau:
Chương I. Một số dạng toán về tam thức bậc hai. Trong chương này, tôi hệ thống hóa lại một cách ngắn gọn về các dạng toán như các phương pháp giải phương trình bậc hai, so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với các số đã cho.
Chương II. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai vào việc giải phương trình, bất phương trình. Trong chương này chúng tôi nêu lên một số ứng dụng trực tiếp định lý đảo của tam thức bậc hai và các bài toán áp dụng gián tiếp định lý trên. Đó là giải hệ phương trình hỗn hợp và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, giải phương trình vô tỷ và phương trình bậc cao, giải phương trình mũ và phương trình lôgarit, giải một số phương trình lượng giác, dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận bất phương trình, một số sai lầm của học sinh khi sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai .
Chương III. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai vào việc khảo sát hàm số. Tôi sử dụng định lý đảo của tam thức bậc hai vào một số bài toán về khảo sát hàm số và đồ thị như: hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên một miền, cực trị và dạng đồ thị của hàm số, xác định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước,…
3
Chương IV. Ứng dụng định lý đảo về tam thức bậc hai vào việc chứng minh bất đẳng thức và bài toán hình học. Trong chương này tôi trình bày về những ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc chứng minh bất đẳng thức và một số bài toán hình học.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS. Bùi Huy Hiền. Cuối cùng tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của Thầy. Đồng thời, tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô thuộc khoa Toán – Tin, Phòng sau đại học trường đại học Thăng Long đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tôi hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do kinh nghiệm và thời gian có hạn, nên bản luận văn này không thể tránh khỏi thiếu sót, tôi mong sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và độc giả.
Hải Phòng, ngày 8 tháng 7 năm 2015
Người thực hiện
Ngô Kim Trang
4
CHƯƠNG I
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TAM THỨC BẬC HAI
1.1. Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc hai
1.1.1. Nghiệm của phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a, b, c và a 0).
Đặt = b2 – 4ac, ta có:
* Nếu < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm.
* Nếu = 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép .
* Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt .
Để ý thấy rằng nếu ac < 0 thì khi đó tam thức bậc hai luôn
có hai nghiệm phân biệt.
Nếu b là số chẵn, b = 2b' thì với
.
Ví dụ 1.1. Giải và biện luận theo tham số m phương trình sau
(m-1)x2 - 2(m-3)x + m - 1 = 0 (1.1)
Lời giải.
a) Nếu m = 1 thì (1.1) trở thành phương trình bậc nhất 4x = 0 có nghiệm là x = 0. b) Nếu ta có phương trình bậc hai với
.
: Phương trình (1.1) vô nghiệm. Nếu
5
Nếu : Phương trình (1.1) có nghiệm
kép .
Nếu : Phương trình (1.1) có hai nghiệm
phân biệt: .
Kết luận:
m = 1: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
m>2: Phương trình vô nghiệm.
m = 2: Phương trình có nghiệm kép .
m<2 và m 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt
.
Ví dụ 1.2. Chứng minh rằng phương trình:
(x + 1) (x + 3) + m ( x + 2)( x + 4) = 0 (1.2)
luôn có nghiệm thực .
Lời giải.
Ta có (1.2)
.
*) Nếu m + 1= 0 m = -1 phương trình thành – 2x – 5 = 0 phương
trình có 1 nghiệm x= .
*) Nếu m + 1 0 phương trình (1.2) là phương trình bậc hai có:
= (3m + 2)2 - (m + 1) (8m + 3) = m2 + m + 1
=
Phương trình (1.2) có hai nghiệm phân biệt .
Vậy phương trình (1.2) luôn có nghiệm
6
1.1.2. Định lý Vi - ét
Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm
thì
* Nhận xét: +)
+)
+)
Ngược lại, nếu hai số thực có tổng là S, có tích là P thì hai số
(với
(1.3) đó là nghiệm của phương trình ). Ví dụ 1.3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 + 5x - 6 =0
Hãy thiết lập phương trình có các nghiệm là .
là nghiệm của phương trình (1.3) nên theo định lý Vi-et ta
Lời giải. Do có:
; .
.
Vậy là nghiệm của phương trình .
Hay , chính là phương trình cần lập.
7
Ví dụ 1.4.
Tìm m sao cho phương trình (1.4)
có hai nghiệm sao cho .
Lời giải. Phương trình (1.4) có nghiệm
Theo hệ thức Vi-et ta có:
Do nên
Từ (*) ta có , thay vào (**) ta được:
Kết hợp điều kiện ta có m = 1 hoặc m = 7.
Chú ý. Khi giải một phương trình bậc hai có chứa tham số, để tìm điều kiện của tham số thoả mãn yêu cầu về các nghiệm thì ta phải lưu ý đến điều kiện có nghiệm của phương trình. 1.2. Bài toán dấu của tam thức bậc hai
1.2.1. Định lý thuận về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai
thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x . Nếu
thì f(x) cùng dấu với hệ số a, tại . Nếu
thì f(x) có hai nghiệm Nếu
Khi đó f(x) cùng dấu với a với mọi và trái dấu với a với
mọi .
Như vậy: .
.
Trong các trường hợp khác thì
8
(1.5)
Ví dụ 1.5. Giải bất phương trình Lời giải. Tam thức ở vế trái có , do đó nó có hai nghiệm phân biệt
.
Khi đó tam thức cùng dấu với hệ số a = -5 < 0 nên tập hợp
nghiệm của bất phương trình (7) là .
Ví dụ 1.6. Với những giá trị nào của m thì bất phương trình sau có nghiệm (1.6)
Lời giải. * TH1: m = -1 bất phương trình đã cho trở thành 2x + 4 <0 vậy nó có nghiệm * TH2: . vế trái là tam thức bậc 2 có
.
Ta có bảng sau:
m -1
a - 0 + + +
+ + 0 _ 0 +
+) Khi thì suy ra bất phương trình có nghiệm
+) Khi thì suy ra bất phương trình có nghiệm
+) Khi thì suy ra nên bất
phương trình cho vô nghiệm.
9
+) Khi thì suy ra bất phương trình có nghiệm
thì bất phương trình đã Vậy
cho có nghiệm.
Chú ý. Ta có thể giải bài toán bằng cách tìm điều kiện để bất phương
trình vô nghiệm. Tức tìm điều kiện để .
Những giá trị của m còn lại sẽ làm cho bất phương trình có nghiệm.
1.2.2. Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
(a 0) và một số thực .
Cho tam thức bậc hai f(x) = - Nếu a.f() < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < < x2 . - Nếu a.f() > 0 thì f(x) có thể có nghiệm hoặc không. Trong trường
hợp có nghiệm x1 x2 thì (-; x1) (x2; + ) .
Hệ quả 1.
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a 0) và một số thực . Khi đó,
a.f() < 0 khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < Hệ quả 2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2+bx+c (a0) và hai số thực
, ( < ). Khi đó, f().f() < 0 khi và chỉ khi f(x) có hai nghiệm phân
biệt x1 < x2 và có duy nhất một trong hai nghiệm nằm trong khoảng (, ). 4 Như vậy, nếu ta áp dụng định lý trên và các hệ quả của nó, thay cho
việc phải chứng minh 0 học sinh chỉ cần chọn được một hoặc hai giá trị
, là đủ. Sau đây là một vài ví dụ minh họa phương pháp này:
Ví dụ 1.7.
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi - 2 2 + 1) x2 + (
4 +
2 + 1 0 với mọi
2 - 1 +
4 - 2 + 1) < 0 R
2 - 1= 0 (1.7) - 1 = - ( 2 + 1) x +
R nên f(x) là tam thức bậc hai.
4 -
2 + 1)2 < 0 2 + 1 -
2 + 1) .f(-1) = - ( R. R. f(x) = (
Lời giải. Do
Xét f(-1) =
(
Vậy theo hệ quả 1 của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai ta có f(x) luôn 2 có nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < - 1 < x2 . 10 Nhận xét. - Trong ví dụ này ta có thể tính và chứng minh 0. Nhưng làm
theo phương pháp này vấp phải khó khăn là kết quả tính khá cồng kềnh
nên việc chứng minh 0 là khó khăn. - Trong ví dụ trên hệ số của x2 dương, do vậy ta chỉ cần chọn sao
cho f() < 0 là đủ. Tuy nhiên, có những bài toán mà hệ số a của x2 chưa
xác định dấu. Khi ấy, để tránh xét dấu của a ta nên tìm số , sao cho
f() . f() < 0. Rồi ứng dụng hệ quả 2 của định lý đảo về dấu của tam thức
bậc hai để kết luận phương trình có nghiệm.
Ví dụ 1.8. Chứng tỏ rằng phương trình sau đây luôn có nghiệm với mọi , . x(x – + ) + (x - )(x + ) = 0 (1.8) Lời giải.
Đặt f(x) = x( x – + ) + ( x – )( x + Xét f( - ) = ( – – ) ( – ) (hệ số a của x2 bằng 2).
+ ) = - . f( ) = . 2. 2 0 , Vậy f( - ).f( ) = - R f(x) luôn có nghiệm. Nhận xét. - Nếu f().f( ) = 0 thì hoặc là nghiệm nên khi có hai số , thỏa mãn f() . f() 0 ta có kết luận ngay rằng f(x) luôn có nghiệm. - Trong khi áp dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai, học
sinh thường lúng túng không biết chọn thế nào cho phù hợp. Những bài
toán này thường có tham số, do đó có thể chọn làm sao cho trong quá
trình tính f() tham số triệt tiêu đi càng nhiều càng tốt.
1.3. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số và biện luận phương trình bậc hai Việc so sánh một số với nghiệm của phương trình bậc hai đóng vai
trò quan trọng và là công cụ hữu hiệu để giải và biện luận phương trình.
Trước hết ta cần cho học sinh nắm vững bảng sau: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx +c (a 0 ; a,b,c ) và một số thực . 11 Điều kiện
a.f() < 0 Vị trí nghiệm
x1 < x2
x1 x2 < < x1 x2 0
a.f() > 0 Với S là tổng hai nghiệm.
Chú ý. - Trong các bài toán hệ số a có chứa tham số cần xét riêng trường hợp suy biến a = 0.
- Nếu a 0 và a.f(x) = 0 thì là một nghiệm của f(x) còn nghiệm
thứ hai tùy thuộc vào các yếu tố khác. Ta phải xét để biết được vị trí
nghiệm còn lại đó.
Nhận xét. - Muốn lập bảng xét dấu như trên cần phải tính tiếp được các đại lượng cần thiết như , a.f(), và xét dấu của chúng theo các mốc tương ứng. Những mốc này được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. - Học sinh thường gặp phải những dạng bài toán phải suy luận, biến
đổi để đưa về dạng bài toán so sánh như trên. Ngoài ra, cũng hay gặp phải
những bài toán có dạng là so sánh hai số , ( < ) với các nghiệm của
tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0). Gọi x1, x2 là hai nghiệm của f(x) thì: 12 +) Ví dụ 1.9. Tìm m để hệ sau có nghiệm: (1.9) Lời giải. (Dùng phương pháp gián tiếp) Trước hết ta tìm điều kiện để hệ trên vô nghiệm tức là hệ (*) vô nghiệm. Vì f(0) = - 4 < 0 nên với mọi m của phương trình (1.9.1) luôn có hai nghiệm trái dấu. Do đó hệ (*) vô nghiệm khi và chỉ khi hai nghiệm x1, x2 của (1.9.1) thỏa mãn điều kiện: . Từ đó suy ra hệ đã cho có nghiệm khi . Ví dụ 1.10. Cho phương trình (1.10) Với giá trị nào của m: a. Phương trình có đúng một nghiệm thuộc khoảng ( - 1; 1 ). b. Nghiệm lớn của phương trình thuộc khoảng ( - 2; 1 ). 13 Lời giải. a. Xét hai trường hợp: * Với m = 1, ta được – 4x + 3 = 0 x = ( - 1 ; 1). * Với m 1, điều kiện là phương trình đã cho có: Nghiệm kép thuộc (-1 ; 1) (1.10.1) hoặc , thử lại ‘‘ = ’’. (1.10.2) Giải (1.10.1), ta được : vô nghiệm. Giải (1.10.2), ta được : f(- 1).f(1) 0 7( - 4m +3) 0 m . Thử lại với m = , ta được x2 + 14x – 15 = 0 x = 1 hoặc x = - 15, tức là không thỏa mãn điều kiện đề bài. b. Để nghiệm của phương trình thuộc khoảng ( – 2 ; 1) điều kiện là dấu bằng cần thử lại Vậy với , thỏa mãn điều kiện đề bài. 14 2.1. Hệ phương trình hỗn hợp và phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 2.1.1. Hệ phương trình hỗn hợp Hệ gồm một phương trình bậc hai và một bất phương trình một ẩn có dạng Cách giải: Các phương pháp thường được sử dụng là : - Sử dụng định nghĩa. - Phương pháp đặt ẩn phụ. - Phương pháp đồ thị. - Phương pháp điều kiện cần và đủ. Ví dụ 2.1. Giải và biện luận theo tham số m hệ (2.1) Lời giải. (2.1.1) f(x) = . (2.1.2) . Ta tiến hành so sánh nghiệm của f(x) với 0 và 2 bằng cách lập bảng so sánh nghiệm. Phương trình (1) có = 9 - 4( 2 – m ) = 1 + 4m. a.f (0) = 2 - m. a.f (2) = - m. 15 . m a.f(0) a.f(2) Kết luận - - + - + + Vô nghiệm 0 - + + + + 0 0 - + + + - 2 0 - + + - - + Căn cứ vào bảng xét dấu ta có kết luận sau: - Nếu và m > 2 thì hệ vô nghiệm. - Nếu thì hệ có nghiệm . - Nếu thì hệ có hai nghiệm phân biệt ; . - Nếu thì hệ có một nghiệm 2.1.2. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Với các phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, có thể được chuyển về phương trình bậc hai bằng một trong các cách sau: Cách 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương. 16 Với dạng: Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ 2.2. Giải và biện luận phương trình (2.2) Lời giải. (2.2) Đặt f(x) = 2 ( 3 – m ) x2 + 6( 3 – m ) x + ( 5 – m )2 – 4. (2.2.2) Ta so sánh các nghiệm của f(x) với hai số - 2 và – 1 ta có: f(-2) = 2( 3 - m) 4 – 12( 3 - m) + (5 - m)2 – 4 = m2 - 6m + 9 = (m-3)2 > 0 m 3. f(-1) = 2(3 – m ) – 6( 3 – m ) + ( 5 – m )2 – 4 = m2 - 6m + 9 = (m - 3)2 > 0 m 3. . . * Với m = 3 thì f(x) = 0 x thì phương trình có nghiệm với . * Với m 3 ta có: = (3 - m) (9(3 - m) - 2(5 - m)2 + 8) = ( m - 3)2( 2m – 5 ) +) < 0 2m – 5 < 0 suy ra phương trình (2.2.2) vô nghiệm nên phương trình (2.2.1) vô nghiệm. 17 +) = 0 2m – 5 = 0 m = suy ra phương trình (2.2.2) có nghiệm kép ( loại ). +) > 0 thì f(x) có hai nghiệm . . < m < 3 a > 0 - 2 < < <-1 (loại). . m > 3 a < 0 < - 2 < -1< (thỏa mãn). Vậy: . m < 3 phương trình vô nghiệm. . m = 3 phương trình có vô số nghiệm . . m > 3 phương trình có hai nghiệm. 2.2. Dấu của tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận bất phương trình Dấu của tam thức bậc hai trên một miền là một vấn đề quan trọng của các bài toán về bất phương trình bậc hai, mà đặc biệt là bài toán có tham số. Dưới đây là các dạng bài toán thường gặp: Dạng 1. Cho tam thức bậc hai = ax2 + bx + c (a 0) tìm điều kiện để > 0 (f < 0) với mọi x. Lời giải +) f > 0 18 +) f < 0 Dạng 2. Cho tam thức bậc hai f = ax2 + bx + c ( a 0) tìm điều kiện để f > 0 (f < 0) với mọi x > . Lời giải. +) Với a = 0 làm trực tiếp. +) Với a > 0, f có đồ thị là parabol quay về lõm lên trên nên f > 0 +) Với a < 0, f có đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới nên f > 0 nếu chỉ có nghiệm x > 0 (x1 ; x2). Bởi vậy không thể xảy ra f . Ví dụ 2.3. Cho bất phương trình f = (a - 1)x2 + (2a + 3) x + a -3 > 0 (2.3) 1. Tìm a để (2.3) có nghiệm. 2. Với giá trị nào của a thì (2.3) có nghiệm đúng . Lời giải. 1. (Dùng phương pháp gián tiếp) Ta tiến hành tìm a để (2.3) vô nghiệm. Điều này tương đương với tìm a để f có nghiệm . Vậy với a > thì (2.3) có nghiệm. 19 2. +) Nếu a = 1 thì (1) có dạng 5 x – 2 > 0 x > . Vậy a = 1 thỏa mãn. +) Nếu a > 1 thì f có đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên nên Kết hợp với ta có . Vậy là các giá trị cần tìm. Dạng 3. Tìm điều kiện để bất phương trình f = ax2 + bx + c > 0 (a 0) nghiệm đúng Lời giải. +) a = 0 làm trực tiếp. +) a > 0, f có đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên nên 20 f > 0, +) a < 0, f có đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới nên > 0, f Ví dụ 2.4. Tìm m để mx2 + 2x + m < 0 (2.4) nghiệm đúng . Lời giải. (2.4) đặt f = - mx2 - 2x – m. +) m = 0 => f = -2x > 0 không thoả mãn. +) -m < 0 , f có đồ thị là parabol quay bề lõm xuống dưới nên f > 0, ( loại). +) -m > 0 ta có : f > 0 21 Giải (2.4.1) : kết hợp với m < 0 cho ta m< -1. Giải (2.4.2) kết hợp với m < 0. => vô nghiệm. Giải (2.4.3) ( thoả mãn m< 0). Đáp số là m -1. Dạng 4. Tìm điều kiện để bất phương trình f(x) = ax2 + bx + c > 0 (1) nghiệm đúng x < . Lời giải. +) a = 0 làm trực tiếp . +) a > 0 (1) nghiệm đúng x < +) a < 0 vô nghiệm. Ví dụ 2.5. Tìm điều kiện của m để bất phương trình sau có nghiệm x (- ) m - 3cos2x + (2m - 1)sinxcosx > 0 (2.5) Lời giải . (2.5) m sin2x + (2m - 1)sinxcosx+(m-3)cos2x > 0. Vì x (- ) nên cosx > 0 do đó (2.5) mtg2x +(2m - 1)tgx +m-3 > 0. 22 với x (- ) tgx ( - ;1). Đặt y = tgx bài toán trở thành tìm m để bất phương trình f(y) = my2 + (2m - 1)y + m - 3 > 0 (2.5.1) có nghiệm y < 1. +) m = 0 thì (2.5.1) - y - 3 > 0 y < - 3 ( không thỏa mãn bài toán). +) m > 0 thì (2.5.1) có nghiệm y < 1 m< kết hợp với m > 0 vô nghiệm. +) m < 0 Do đồ thị của f(y) là parabol có bề lõm quay xuống dưới nên không thể thỏa mãn (2.5.1) có nghiệm y <1 vô nghiệm. Tóm lại, không tồn tại m thỏa mãn bài toán. Chú ý. - Ở đây ta chỉ xét các dạng f(x) > 0, còn với những dạng f(x) <0 ta có thể nhân hai vế của bất phương trình với (-1) rồi đưa về dạng trên để giải. - Với cách làm tương tự ta có thể đưa ra cách giải tổng quát trên miền [ 2.3. Phương trình vô tỷ và phương trình bậc cao 2.3.1. Phương trình vô tỷ Với các phương trình chứa căn thức, có thể được chuyển về phương trình bậc hai bằng một trong các cách sau: 23 Cách 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương. Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ. Ví dụ 2.6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (2.6) Lời giải. (2.6) Bài toán trở thành tìm m để hệ phương trình (2.6.2) có nghiệm 3 hay tìm m để f(x) = x2 – 2(m+1)x + 5m+1 có nghiệm trên 3; +). Có thể xảy ra các trường hợp sau: +) f(x) có nghiệm là 3 thì f(3) = 9 - 6(m+1) + 5m+ 1 = 0 4 – m = 0 m = 4. +) f(x) có một nghiệm thuộc (3; +) còn một nghiệm không thuộc 3; +) f(3) < 0 4- m < 0 m > 4. +) f(x) có hai nghiệm thuộc (3; +) 3 < x1 x2 . Kết hợp các bước giải ta có đáp số là m 3. 24 Nhận xét. - Một trong những phương pháp hữu hiệu để giải phương trình vô tỷ đó là nâng lên lũy thừa hai vế của phương trình để khử căn thức. Trong quá trình nâng lên lũy thừa với số mũ chẵn thì nhất thiết hai vế của phương trình phải không âm. - Ngoài phương pháp lũy thừa để khử căn thức còn một phương pháp nữa cũng hay được sử dụng đó là phương pháp đặt ẩn phụ. Khi đặt ẩn phụ ta phải chú ý tới miền của ẩn phụ. Ví dụ 2.7. Tìm m để phương trình (2.7) có nghiệm. Với giá trị nào của m thì phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Lời giải. Đặt t = . Điều kiện để phương trình có nghĩa là – 3 < x < 1. Xét hàm Ta có bảng biến thiên sau: x - -3 -1 1 + + 0 - 4 0 0 Từ đó suy ra Bài toán trở thành tìm m để phương trình f(t) = t2 – mt + m2 - 3 = 0 có nghiệm trên đoạn 0; 2]. * TH1: Xét t = 0 m = +) m = thì f(t) = t2 – t = 0 có nghiệm t = 0 ; t = suy ra phương trình (2.7) có 4 nghiệm x. +) m = - thì f(t) = t2 + t = 0 có nghiệm t = 0 ; t = - (loại) 25 * TH2 : Xét t = 2 thì f(t) = m2 – 2 m + 1= 0 m = 1 +) m = 1 thì f(t) = t2 – t – 2 = 0 có nghiệm t = 2 ; t = -1 (loại) * TH3 : ( thỏa mãn đề bài) Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt. 2.3.2. Phương trình bậc cao Đối với phương trình bậc cao ta chỉ xét những phương trình có thể sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ hoặc nhẩm nghiệm để đưa phương trình bậc cao về phương trình bậc hai. Ta chỉ xét những dạng phương trình bậc 3, bậc 4 mà học sinh phổ thông thường gặp. 2.3.2.1. Phương trình bậc 3 Dạng tổng quát ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) với a 0. Ta nhận thấy phương trình bậc 3 luôn có ít nhất một nghiệm thực. Do đó, ta dùng phương pháp thử trực tiếp hoặc phương pháp nhóm các số hạng để tìm ra nghiệm thực đó. Giả sử là nghiệm thực đó thì (1) tương đương với phương trình và số nghiệm của phương trình (1) sẽ phụ thuộc số nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + Bx + C và quan hệ giữa các nghiệm đó với . 26 Ví dụ 2.8. Giải và biện luận phương trình - mx3 + (2 - m) x2 + x – 1 = 0 (2.8) Lời giải. Ta có (2.8) - mx2 ( x + 1 ) + x ( x+1) + (x - 1)( x + 1) = 0 (x + 1)( - mx2 + 2x - 1) = 0 Ta tiến hành giải và biện luận phương trình (2.8.1) +) Nếu m = 0 thì (2.8.1) 2x - 1 = 0 . +) Nếu m 0. Ta xét các trường hợp sau: -) f(x) vô nghiệm ’ = 1-m < 0 m > 1. -) = 0 m = 1 f(x) có nghiệm kép . -) f(x) có nghiệm là -1 f(-1) = 0 m = - 3 lúc này nghiệm thứ hai sẽ là . -) f(x) có hai nghiệm khác -1 Khi đó hai nghiệm của f(x) là ; . Kết luận: . +) m < - 3: phương trình (2.8) có ba nghiệm x1= -1; . +) m = - 3: phương trình (2.8) có hai nghiệm x1 = -1; . +) – 3 < m < 0: phương trình (2.8) có ba nghiệm x1= -1; . +) m = 0 phương trình (2.8) có hai nghiệm x1 = -1; 27 . +) 0 < m < 1: phương trình (2.8) có ba nghiệm x1= -1; +) m = 1: phương trình (2.8) có hai nghiệm x1 = -1; x2 = 1. +) m > 1: phương trình (2.8) có 1 nghiệm x = -1. Ví dụ 2.9. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình: x3 + mx2 + (1 - 2m )x – m = 0 (2.9) có 3 nghiệm thỏa mãn x1 < 1 < x2 < x3 (*). Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với (x3 - mx2 ) + (2mx2 - 2m x) + x - m = 0 (x - m)(x2 + 2mx + 1) = 0 Để (2.9) có 3 nghiệm thỏa mãn (*) thì trước tiên f(x) phải có nghiệm ’=m2 - 1 0 m 1 hoặc m - 1. Khi đó f(x) có hai nghiệm x1, x2. +) m 1. Theo định lý vi-et ta có (loại). +) m - 1. Theo định lý vi-et ta có . (loại) Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện. Chú ý. - Về nguyên tắc đối với mọi phương trình bậc 3 đều có thể giải cụ thể ra các nghiệm của chúng bằng công thức Các–đa–nô. Nhưng công thức này học sinh phổ thông chưa biết nên nó không phải là công cụ để giải toán phổ thông. - Ở trên qua các ví dụ ta đã đề cập các phương pháp giải phương trình bậc ba có sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai và các hệ quả của chúng. Ngoài ra còn một số phương pháp khác mà ta không đề cập đến. 28 2.3.2.2. Phương trình bậc 4 Cũng như đối với phương trình bậc 3, phương trình bậc 4 cũng đã có công thức giải cụ thể nên về nguyên tắc mọi phương trình bậc 4 đều có thể giải được. Nhưng công thức này học sinh phổ thông chưa được tiếp cận nên ta không thể sử dụng công thức này như một công cụ để giải quyết các bài toán phổ thông. Do vậy, đối với phương trình bậc 4 ta chỉ xét các dạng cơ bản sau: a. Dạng phương trình hồi quy Dạng tổng quát ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (1*) với a 0, e 0, . Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của (1*). Do đó chia cả hai vế của (1*) cho x2 ta được: (1*) (2) Đặt => ta đưa (2) về phương trình bậc hai với ẩn là t rồi giải. b. Dạng phương trình trùng phương Dạng tổng quát ax4 + bx2 + c = 0 (2*) (a ). Đặt t = x2 ( t ). Khi đó ta có (2*) <=> at2 + bt + c = 0 (2.1*). Ta sẽ giải bài toán đã cho với phương trình (2.1*) trên miền 0; +). Ngoài ra, phương trình dạng ( a + x )4 + ( b + x )4 = 0 cũng đưa về phương trình trùng phương (1) về dạng phương trình bậc hai ẩn t trùng phương bằng cách đặt . 29 c. Các dạng khác Dạng 1: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (3*) với điều kiện a + b = c + d. (3*) ( )( ) = m (3.1*) Đặt t = với điều kiện ( chính là ). Ta đưa phương trình (3.1*) về dạng phương trình bậc hai ẩn t. Dạng 2: Đặt t = ax2 + bx + c + d ta đưa được về phương trình bậc hai ẩn t. Ví dụ 2.10. Tìm m để phương trình x4 - (2m + 3)x2 + m + 5 = 0 (2.10) có các nghiệm thỏa mãn -2 < x1 < -1 < x2 < 0 < x3 < 1 < x4 < 2 (*) Lời giải. Đặt t = x2 (t 0). Khi đó (1) trở thành: t2 - (2m+3)t + m + 5 = 0 (2.10.1) Để (2.10) có 4 nghiệm phân biệt thì (2.10.1) phải có hai nghiệm dương phân biệt t1, t2 (t1 < t2). Khi đó (2.10) có 4 nghiệm x1, x2, x3, x4 như sau: ; ; , . x1 = Vậy điều kiện (*) - 2 < < -1 < < 0 < <1 < <2 Vô nghiệm. 4 > t2 > 1 > t1 >0 Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài ra. Ví dụ 2.11. Tìm m để phương trình x4 + (m - 1)x3 + x2 + (m - 1)x + 1 = 0 (2.11) có không ít hơn hai nghiệm âm khác nhau. Lời giải. Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Chia cả hai vế cho x2 ta được: (2.11) 30 . Đặt => . Ta có f(t) = t2+(m-1)t-1 (2.11.1). Xét phương trình phụ x2 – tx +1 = 0 (2.11.2). * t > 2 > 0 thì (2.11.2) có hai nghiệm dương. * t = - 2 thì (2.11.2) có nghiệm x = -1 nhỏ hơn 0. * t = 2 thì (2.11.2) có nghiệm x = 1 lớn hơn 0. * t < -2 thì (2.11.2) có hai nghiệm âm. Như vậy, để phương trình đã cho có không ít hơn hai nghiệm âm thì f(t) phải có nghiệm t < -2. Do (2.11.1) có hai nghiệm trái dấu nên chỉ còn trường hợp a.f(-2) < 0 . t1< - 2 < t2 2.4. Phương trình mũ và phương trình lôgarit 2.4.1. Phương trình mũ Phương pháp chung cũng là đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai. Chú ý khi điều kiện của ẩn khi đặt ẩn phụ. Ví dụ 2.12. Tìm m để phương trình m.9x - (2m+1).3x + m + 4 = 0 (2.12) có hai nghiệm trái dấu. Lời giải. Đặt t = 3x > 0. Khi đó bài toán trở thành tìm m để phương trình f(t) = mt2 - (2m+1) t + m + 4 = 0 (2.12.1) có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 0 < t1 < 1 < t2 . Theo định lý về dấu của tam thức bậc hai, ta có: 31 Vậy m thì phương trình (2.12) có hai nghiệm trái dấu. Ví dụ 2.13. Với những giá trị nào của m thì bất phương trình m.4x + (m-1)2x+2 + m - 1 > 0 (2.13) nghiệm đúng với mọi x. Lời giải. Đặt 2x = t > 0 (*). Với mỗi t > 0 thì (*) có nghiệm duy nhất x. Khi đó (2.13) được đưa về dạng: mt2 + 22(m-1)t + m - 1 > 0 (2.13.1). Vậy (2.13) nghiệm đúng x khi (2.13.1) nghiệm đúng t > 0. Đặt f(t) = m.t2 + 4(m-1)t + m-1 có hai trường hợp xảy ra : * Trường hợp 1: m = 0 Khi đó (2.13.1) - 4t - 1 > 0 t < không thoả mãn (*). * Trường hợp 2 : m 0 Nếu m < 0 thì f(t) có đồ thị 1 parabol quay bề lõm xuống dưới, do đó không thể xảy ra f(t) > 0 t > 0. Nếu m > 0, khi đó f(t) > 0 chỉ xảy ra trong các khả năng sau: a) ’ < 0 (2(m-1))2 - m(m-1) < 0 3m2 - 7m + 4 < 0 1 < m < . t2 0) b) ’> 0. Khi đó phương trình có hai nghiệm t1 , t2 (t1 Vậy để (2.13) thoả mãn với mọi x thì 32 2.4.2. Phương trình lôgarit Phương pháp chung cũng là đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai. Lưu ý ở loại phương trình này phải có điều kiện của cơ số và điều kiện của biểu thức trong dấu lôgarit. Ví dụ 2.14. Tìm a để phương trình có nghiệm duy nhất. Lời giải. (2.14) Phương trình (2.14) có nghiệm duy nhất, xảy ra hai trường hợp sau: *Trường hợp 1: g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x > a = 0 *Trường hợp 2: g(x) = 0 có hai nghiệm x1 < x2 khi đó ta có: +) Nếu x1 = +)Nếu x1 < x2 33 g ( ) <0 (2a+1)( ) < 0 - < a < - Vậy a = 0 hoặc thì phương trình (2.14) có nghiệm duy nhất. Ví dụ 2.15. Tìm các giá trị của tham số m để mọi nghiệm của bất phương trình > -3 (2.15’). log x(x3+1). logx+1x-2 < 0 (2.15) đều là nghiệm của bất phương trình Lời giải. Ta có (2.15) Ta lại có (2.15') Vì f(x) = x2 - 2x + m có hệ số của x2 là 1 và hoành độ đỉnh của đồ thị là khi và chỉ khi f(1) = m - 1 0 x0 = 1, nên f(x) > 0 m . Vì g(x) = x - 2x + m - 8 có hệ số của x2 là 1 hoành độ đỉnh của đồ thị (1; 2) khi và chỉ khi là x0 = 1 nên g(x) < 0 x (0; 1) . Vậy . 34 2.5. Một số phương trình lượng giác Khi giải một số các phương trình lượng giác, có thể được chuyển về phương trình bậc hai bằng ẩn phụ. Ví dụ 2.16. Xác định m sao cho phương trình ta có đúng 7 nghiệm khác nhau thuộc . Lời giải. Trong khoảng thì (2.16.1) có hai nghiệm là và . Để (2.16) có đúng 7 nghiệm thuộc thì cần và đủ là (2.16.2) có đúng 5 nghiệm khác nhau và khác . Đặt . Khi đó ta có (2.16.2) trở thành f(t) = 4t2 –2t +m -3 = 0 (2.16.3) Do phương trình có hai nghiệm phân biệt nên để phương trình (2.16.2) có 5 nghiệm khác nhau và khác - thì (2.16.3) phải có hai nghiệm t1, t2 thỏa mãn -1 < t1 < 0 < t2 < 1. 35 Vậy đáp số là 1 < m < 3. Ví dụ 2.17. Với giá trị nào của m thì phương trình (2.17) a. Có nghiệm. b. Có nghiệm x thuộc . Điều kiện . Với điều kiện này ta có: . Đặt . Điều kiện và + 1). Vậy (2.17) trở thành . a. (2.17) có nghiệm khi và chỉ khi (2.17.1) có nghiệm t thuộc và + 1. Ta nhận thấy (2.17.1) không nhận + 1 làm nghiệm nên (2.17.1) có nghiệm t thuộc và + 1 tương đương với (2.17.1) có nghiệm thuộc . Mặt khác với mọi m nên (2.17.1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Hơn nữa gọi hai nghiệm của (2.17.1) là t1, t2 ta có: - Nếu m = 0 thì (2.17.1) có nghiệm t = 0 . - Nếu m ≠ 0 thì tồn tại một giá trị giả sử là t1 thuộc (-1; 1). Vậy với mọi m phương trình (2.17) luôn có nghiệm. 36 b. Với bài toán trở thành tìm m để có nghiệm . Ta sử dụng phương pháp gián tiếp: Ta tìm những giá trị của m để f(t) vô nghiệm trên . Xét các trường hợp sau : +) m = 0 t = 0 thỏa mãn. +) m ≠ 0. Ta có nên f(t) luôn có hai nghiệm t1. t2 trái dấu. Để f(t) vô nghiệm trên ( vô nghiệm). Vậy m = 0 là giá trị cần tìm. 2.6. Một số sai lầm của học sinh khi sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai phát biểu như sau: Cho tam thức bậc hai và một số thực - Nếu a. f() < 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt và nằm trong khoảng hai nghiệm đó. - Nếu a. f() > 0 thì f(x) có thể có nghiệm hoặc không. Nếu f(x) có hai nghiệm x1, x2 thì x1 > hoặc x2 < Đối với học sinh phổ thông khi áp dụng một định lý nào đó vào một bài toán cụ thể, thường quên mất việc xét xem bài toán đó đã thỏa mãn các yêu cầu về giả thiết của định lý hay không. Như vậy, nếu bài toán đó chưa thỏa mãn đầy đủ các yêu cầu của giả thiết định lý thì kết luận của định lý áp dụng vào bài toán là không có giá trị. 37 Học sinh phổ thông thường mắc phải các sai lầm sau đây khi áp dụng định lý đảo về dấu của tam thứ bậc hai và các hệ quả của chúng khi giải toán: Học sinh quên không xét xem f(x) có phải là tam thức bậc hai không (hệ số a có khác 0 không). Chẳng hạn trong trường hợp học sinh nhận thấy và đưa ra kết luận ngay rằng f(x) luôn có nghiệm với mọi m. Kết luận này là sai bởi vì với m = 2, f(x) không còn là tam thức bậc hai nữa nên việc áp dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai là không còn giá trị nữa. Với m = 2 thì f(x) = -3 < 0 là hàm hằng nên f(x) không có nghiệm. Đối với trường hợp cần có số nằm ngoài khoảng hai nghiệm nhiều học sinh quên mất việc phải tồn tại hai nghiệm. Tức là biệt thức > 0 mà chỉ quan tâm đến a.f() > 0. Chẳng hạn với với = 0. Ta có: . Khi đó nhiều học sinh kết luận ngay luôn có hai nghiệm cùng dấu mà quên mất rằng với -1< m < 3 thì f(x) không có nghiệm ( . Học sinh thường quyên mất việc phải xét dấu của hệ số a của x2. Trong trường hợp này nếu hệ số a > 0 thì kết luận đúng còn nếu hệ số a < 0 thì kết luận sai. Chẳng hạn khi cần có a.f() < 0 thì học sinh chỉ xét f() < 0. 38 Trong chương này để thấy được ứng dụng của định lý đảo trong một số bài toán về hàm số ta nghiên cứu các bài toán sau: Tìm điều kiện để hàm số xác định, hàm số đồng biến (nghịch biến) trên miền nào đó, hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước, giao điểm của đồ thị hàm số bậc ba với đường thẳng, giao điểm của đồ thị hàm bậc 4 với đường thẳng, giao điểm của các nhánh hypebol với đường thẳng. 3.1. Tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số - Tìm miền xác định của hàm số y = f(x) là việc ta đi tìm tất cả các giá trị x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. - Nếu hàm số y = f(x) có miền xác định là D. Gọi T là miền giá trị của hàm số f(x) thế thì . Như vậy, muốn tìm miền giá trị của hàm số y = f(x) ta tìm miền giá trị của y sao cho phương trình y = f(x) có nghiệm x D. Ví dụ 3.1. Tìm a để hàm số (3.1) xác định với mọi x. Lời giải. Để hàm số xác định với mọi x ta cần có: . Đặt t = sin2x khi đó trở thành: 39 . Do f(t) = 3t2 - 2at - 4 có đồ thị là parabol có bề lõm quay lên trên nên f(t) ≤ 0 t [-1;1] x1 ≤ -1 < 1 ≤ x2 . Ví dụ 3.2. Tìm a để hàm số (3.2) xác định x > 1. Lời giải. Điều kiện a > 0 và a ≠ 1. Yêu cầu bài toán tương đương với: Tìm a để (t2 là nghiệm của f(x)) ( loại) Đáp số a > 0 và a ≠ 1. 3.2. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên một miền Ta biết rằng, để hàm số đồng biến hay nghịch biến trong khoảng xác định nào đó ta thường xét dấu của đạo hàm trong khoảng đó. Nếu như hàm số có chứa tham số, việc biện luận tính đồng biến hay nghịch biến theo hàm số đối với những hàm số có đạo hàm liên quan đến hàm bậc hai đều có thể sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai, mà đặc biệt là các bài 40 toán cơ bản đã nêu. ở đây ta chỉ đề cập đến phương hướng đưa ra bài toán cơ bản mà thôi. Các dạng hàm số chủ yếu ở PTTH có thể dùng định lý đảo để biện luận tính đồng biến, nghịch biến là hàm số bậc 3 và hàm phân thức. 3.2.1. Hàm số bậc 3: . . Để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên miền nào đó thì y' 0 (y' 0) x thuộc miền nào đó. Ví dụ 3.3. Cho hàm số (3.3) 1. Chứng minh hàm số không thể luôn luôn nghịch biến. 2. Tìm m để hàm số nghịch biến trong khoảng . Lời giải. Xét 1. Vì hệ số của x2 là 1 > 0 nên không thể nhỏ hơn 0 với . Vậy hàm số không thể luôn luôn nghịch biến. . Để hàm số nghịch biến trong khoảng 2. Đặt . thì Do f(x) có đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên nên: . . . Vậy m < hàm số nghịch biến trong khoảng 41 Ví dụ 3.4. Tìm m để hàm số (3.4) đồng biến với x > -1. Lời giải. . Nhận xét rằng với m < 0 hàm số không thể thỏa mãn đề bài. Do đó m 0. +) TH1: m = 0 f(x) = - 4x 0 (không thỏa mãn). +) TH2: m > 0. = 4( 3m - 2)2 – 3m(5m - 1) = 21m2 – 45m + 16. * 0 21m2 – 45m + 16 0 Suy ra f(x) 0 ( thỏa mãn ). * > 0 hoặc Ta phải có Vậy TH2 cho . Vậy các giá trị cần tìm là . 42 3.2.2 Hàm phân thức: Ta chỉ xét hàm phân thức dạng . . Với an ≠ bm thì việc xét tính đơn điệu của hàm số ta đưa về bài toán xét dấu của tam thức bậc hai mà căn cứ cơ bản nhất là các bài toán đã nêu. Ví dụ 3.5. Cho hàm số (3.5) tìm m để: 1. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. 2. Hàm số đồng biến trên . Lời giải. Xét Đặt 1. Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định điều kiện cần và đủ là 2. Hàm số đồng biến trên . * TH1: 43 *TH2: Vậy m < là giá trị cần tìm. 3.3. Cực trị và dạng đồ thị của hàm số Hàm số y = f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 nếu f(x) f(x0) ( hoặc f(x) f(x0)) với mọi x thuộc một lân cận nào đó của x0. Trong trường hợp hàm số có đạo hàm tại x0 thì ta có kết quả sau: Cho hàm số y = f(x), nếu f' (x0) =0 và f'(x) đổi dấu khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số. Như vậy, để hàm số có cực trị thì điều kiện cần là phương trình f'(x) = 0 có nghiệm. Sau đó ta vận dụng các quy tắc để xét điều kiện đủ x0 là cực trị của hàm số f'(x0) = 0 và f'(x) đổi dấu khi đi qua x0 . Ví dụ 3.6. Cho hàm số y = (3.6). Tìm m để hàm số đạt cực tiểu, cực đại tại những điểm có hoành độ lớn hơn 1. Lời giải. Xét . Để hàm số đạt cực đại cực tiểu tại điểm có hoành độ lớn hơn 1 cần và đủ là: có hai nghiệm x1, x2 phân biệt thỏa mãn 1 < x1< x2. Nghĩa là ta phải có: 44 . Vậy hàm số đạt cực tiểu, cực đại tại những điểm có hoành độ lớn hơn 1. Ví dụ 3.7. Xác định a sao cho hàm số sau có cực đại: (3.7) Lời giải. . Vậy miền xác định của hàm số Ta thấy là R. +) Nếu a = 0 thì y = - 2x + 2. Đây là hàm bậc nhất nên không có cực trị. +) Nếu a 0 ta có: . Do Để hàm số có cực đại cần và đủ là: có nghiệm y' = 0 có nghiệm x0 và y''(x0) < 0 có nghiệm. Với a < 0 thì (*) 45 Bài toán trở thành tìm a < 0 để (1) có nghiệm x (-; 2). +) Nếu a2 - 4 = 0 a = 2. Khi đó (3.7.1) trở thành - 4 = 0 (vô lý). +) Nếu thì (3.7.1) có nghiệm. (do (loại) Mặt khác, xét thấy f(2).(a2 - 4 ) < 0 với nên với thì (*) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 2 < x2. Kết hợp với điều kiện a < 0 cho ta đáp số là a < -2. 3.4. Xác định giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ 3.8. Xác định m để GTLN của hàm số (3.8) trên là 2. Lời giải. Điều kiện cần để max y = 2 là tồn tại ít nhất một sao cho: = 2. (3.8.1) có nghiệm . Thử lại với điều kiện đủ: 46 Với ta có . Đặt g(x) = ta có: . . . Vậy g(x) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < x2 < 1. Lại có hệ số của x2 là hàm số đã cho đồng biến trên [1;3]. . Ví dụ 3.9. Xác định p, q sao cho hàm số (3.9) có GTNN bằng -1 và GTLN bằng 9. Lời giải. Giả sử hàm số có GTNN bằng -1 và GTLN bằng 9 khi đó: với x. Đồng thời tồn tại các giá trị của x để xảy ra dấu "=". từ đó . 47 Gọi 1, 2 lần lượt là biệt thức của tam thức ở vế trái của hệ bất = 2 =0. Hiển nhiên phương trình trên. Để đẳng thức xảy ra dấu “=” thì 1 ta phải có: Giải hệ này ta được hai nghiệm là: Vậy với hai cặp số trên thì hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng -1 và có giá trị lớn nhất bằng 9. 3.5. Sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba với một đường thẳng Khi xét tương giao của đồ thị hàm số bậc 3 với một đường thẳng, ta thường giải phương trình bậc 3. Trong nhiều trường hợp phương trình bậc 3 thuộc dạng không tìm được nghiệm đối với học sinh phổ thông. Trong trường hợp này ta có thể dựa vào các dạng đồ thị hàm bậc 3 để giải quyết bài toán. Cho hàm số bậc ba . Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn (hay nhỏ hơn ). Lời giải. Để đồ thị hàm số bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt thì hàm số phải có hai cực trị và hai giá trị cực trị này phải trái dấu nhau. Điều này tương đương với f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và f(x1).f(x2) < 0. Xét đồ thị hàm bậc 3. Để đồ thị cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn (hoặc nhỏ hơn ) thì phải thỏa mãn các điều kiện sau: 48 hoặc Tóm lại. Đồ thị hàm bậc 3 cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn (nhỏ hơn ) khi và chỉ khi f(x) thỏa mãn các điều kiện sau: +) f'(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 . +) f(x1).f(x2)<0 (hoặc ) Ví dụ 3.10. Cho hàm số (3.10) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với hoành độ dương. Lời giải. Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt với hoành độ dương cần và đủ là: +) có hai nghiệm phân biệt x1, x2; +) f(x1).f(x2) < 0; +) a.f’(0) >0 +) a.f(0) < 0; 49 +) . Điều này tương đương: (*) Ta có: (*) . Vậy đáp số là . Ví dụ 3.11. Cho hàm số (3.11) có đồ thị (C). Xác định m để (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1. Lời giải. Ta có f (x) = x2 - 2mx + m. Để (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1 cần và đủ là: +) f'(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt +) f(1) > 0 (3.11.2) +) f(x1).f(x2) < 0 (3.11.3) 50 Giải : (3.11.1) . . Giải (3.11.3): Thực hiện chia f(x) cho f'(x) ta được: . . . Theo định lý Vi - et ta có: (*) 1 - 4m + 4m < 0 (vô nghiệm). Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài ra. Nhận xét: - Trong quá trình giải f(x1), f(x2) ở trên được tính đơn giản nhờ phép chia f(x) cho f (x) rồi sử dụng định lý Vi-et. Không nên tính cụ thể x1, x2 bởi rất phức tạp. 51 3.6. Giao điểm của đường thẳng với hàm số bậc bốn và với các nhánh của hypebol 3.6.1. Giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm bậc 4 Việc tìm giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm bậc 4 là rất khó đối với học sinh phổ thông. Trong phần này, ta chỉ xét dạng phương trình . trùng phương Ví dụ 3.12. . (3.12) Cho họ đường cong Tìm m để đường cong chắn trên trục hoành 3 đoạn bằng nhau. Lời giải. Đặt y = x2. Xét hàm số Để đường cong (C) chắn trên trục hoành 3 đoạn bằng nhau thì (C) phải cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng. y xC xA 0 xB x
x xD . xA = - . xB = - . xC = . xD = Ta phải có: - - (- ) = - (- ) - = - = 2 52 y2 = 9 y1 > 0 Vậy, có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn . . 3.6.2. Giao điểm của đường thẳng với nhánh của hypebol Xét hàm số có dạng . Đây là hypebol có 1 tiệm cận đứng . Đồ thị chia hàm số làm hai nhánh nằm về hai phía của đường tiệm cận. Xét đường thẳng y = kx + q vấn đề đặt ra là tìm điều kiện để đường thẳng này cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt thuộc hai nhánh hoặc cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh. Để giải quyết vấn đề này ta xét vị trí nghiệm của phương trình . Để giao điểm cùng thuộc một nhánh thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: 53 Để giao điểm thuộc về hai nhánh khác nhau thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x0 < x2 . Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 3.13. Cho hàm số . (3.13) Gọi (d) là đường thẳng qua E(-4; 2) và có hệ số góc m. Xác định m để (d) cắt (C) tại hai điểm A, B lần lượt thuộc hai nhánh của (C). Lời giải. Phương trình đường thẳng (d) có dạng y = m(x+4)+2 = mx + 4m + 2 Hoành độ có giao điểm của (d) và (C) là nghiệm của phương trình Để (d) cắt (C) tại hai điểm A, B thuộc hai nhánh (3.13.1) có hai m.f(-1) < 0 m > 0. nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < -1 < x2 54 4.1. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc chứng minh bất đẳng thức. Việc chứng minh bất đẳng thức học sinh phổ thông đã được học rất nhiều phương pháp. Ở mục này, ta chỉ đề cập tới các bài toán chứng minh bất đẳng thức dựa vào định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai. Dưới đây là các dạng toán mà ta áp dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai để giải quyết. Ví dụ 4.1. Cho dãy số a1, a2, ...., an trong đó 0 < ai < 1; i = 1, ..., n chứng ). minh (1+ a1 + a2 + ... + an)2 > 4( Lời giải. ). Xét hàm số f(x) = x2 - 1(1+ a1 + a2 + ... + an) x + ( Ta có: nên . Do 0 < ak < 1 Vậy theo định lý đảo của tam thứ bậc hai nên > 0 hay bài toán đã được chứng minh. Ví dụ 4.2. Cho 3 số thực a, b, c chứng minh rằng nếu tồn tại số thực m thỏa mãn: thì Lời giải. . Xét +) Nếu a = 0 thì b2 – 4ac > 0 luôn đúng. +) Nếu a 0 từ giả thiết 55 +) Nếu m = 0 từ giả thiết c = 0 b2 – 4ac 0. +) Nếu m 0 m -m Ta có: f(m) = am2 + bm + c. f(-m) = am2 – bm + c. Từ đó suy ra f(m). f(-m) 0 từ (1) ax2 + bx + c = 0 có nghiệm (theo định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai) = b2 – 4ac 0 điều phải chứng minh. Ví dụ 4.3. Cho a > 0. Chứng minh rằng (có n dấu căn bậc hai ở vế trái với n là một số tự nhiên). Lời giải. (có n dấu căn bậc hai với n là một số tự nhiên) Đặt xn = (có n–1 dấu căn bậc hai với n là một số tự nhiên) <=> Do a > 0 nên xn > xn-1 (có thể chứng minh điều này bằng quy nạp). => Xét tam thức f(t) = t2 – t – a thì f(xn) < 0. Như vậy theo định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì t1 < xn < t2 với t1, t2 là hai nghiệm của f(t) với . Vậy . Ví dụ 4.4. Cho và chứng minh: . Lời giải. Đặt f(x) = x2 + 3xy + 1 Ta có x = 9y2 – 4 +) Nếu thì x < 0 => f(x) > 0 x R. +) Nếu . Ta có x > 0 Xét a.f = 1. . Ta có a.f = với y > 56 với (x1, x2 là hai nghiệm của f(x)). Vậy với -1 x ta có f(x) > 0 điều phải chứng minh. 4.2. Ứng dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai trong việc giải các bài toán hình học. Với ứng dụng này không có dạng tổng quát. Vì vậy, ta đi xét ví dụ cụ thể sau: Ví dụ 4.5. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1. Gọi O là tâm của tam giác. M là một điểm di động trên AB. MO cắt AC tại N chứng minh: . A Lời giải. x y Đặt AM = x; AN = y. Ta có: M O N B C H Vì AO = Thay vào ta có: x + y = 3xy (1) Ta có nên max xy đạt max min xy đạt min. Đặt xy = t (2) Từ (1), (2) và theo định lý Vi – et ta có x, y là hai nghiệm của phương trình: f(X) = X2 – 3tX + t = 0 (3) Bài toàn đã cho trở thành: Tìm giá trị lớn nhất của t để cho (3) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện 0 < X1 < X2 < 1 57 Theo định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai ta có: Từ đó suy ra: lớn nhất khi t = tức là khi x = 1, y = (hoặc x = Còn bé nhất khi t = tức là khi x = y = . Vậy ta có kết luận sau: SMax = khi M = B, N = N1 (hoặc M = M1; N = C). Trong đó M1, N1 tương ứng là trung điểm của AB và AC. Khi MN qua O và song song với BC. Smin = . Hiển nhiên Smin < SAMN < Smax hay 58 Luận văn này đã đưa ra những ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai vào giải toán ở trường THPT. Mỗi ứng dụng được minh họa bằng các ví dụ cụ thể (45 ví dụ). Trong số 45 ví dụ có 10 bài toán thuộc về việc tìm nghiệm và so sánh nghiệm với một số đã cho. 17 bài toán về ứng dụng định lý đảo về tam thức bậc hai vào việc giải phương trình, bất phương trình, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình vô tỷ, phương trình bậc cao, phương trình mũ, phương trình lôgarit và phương trình lượng giác. 13 bài ứng dụng định lý đảo về tam thức bậc hai vào việc khảo sát hàm số. Cuối cùng là những ứng dụng vào việc chứng minh bất đẳng thức và một số bài toán hình học. 59 DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phan Đức Chính và nhiều tác giả, Các bài giảng luyện thi môn toán, tập 1, tập 2. NXB GD. 1996. 2. Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình và bất phương trình. NXB GD. 1999. 3. Nguyễn Tiến Quang, Phương pháp tam thức bậc hai ở trường phổ thông. NXB GD. 1999. 4. Trần Chí Hiếu – Nguyễn Danh Phan,các chuyên đề toán PTTH đại số 10. NXB GD. 1999. 5. Nguyễn Viết Diễn, Phương pháp chọn lọc giải toán hàm số mũ và loogarit. NXB ĐHQGHN. 1999. 6. SGK toán lớp 10. NXB GD. 2000. 7. SGK toán lớp 11. NXB GD. 2000. 8. Nguyễn Trọng Bá, Lê Thống Nhất, Nguyễn Phú Trường, Tuyển chọn những bài ôn luyện thi vào đại học, cao đẳng. NXB GD. 2001. 9. Nguyễn Đức Tấn, Phương trình bậc hai và một số ứng dụng . NXB GD. 2005. 10. Vũ Hữu Bình, Nâng cao và phát triển toán 9. NXB GD. 2005. 11. Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9. NXB GD. 2005. 12. SGK toán lớp 9. NXB GD. 2006. 60CHƯƠNG II
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC
BẬC HAI VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ
Lời giải.
CHƯƠNG III
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC
BẬC HAI VÀO VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ PHỤ THUỘC
THAM SỐ
CHƯƠNG IV
ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC
BẬC HAI VÀO VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ BÀI TOÁN HÌNH HỌC
KẾT LUẬN
![Luận văn Thạc sĩ: Tổng hợp và đánh giá hoạt tính chống ung thư của hợp phần lai tetrahydro-beta-carboline và imidazo[1,5-a]pyridine](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250816/vijiraiya/135x160/26811755333398.jpg)
