Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài toán về dãy số sinh bởi hàm số lượng giác là một trong những nội dung quan trọng của giải tích. Rất nhiều dạng toán khác cũng quy về việc ước lượng, tính tổng, xét tính tuần hoàn, tìm số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số sinh bởi hàm lượng giác. Những bài toán về dãy số là một trong những dạng toán thường gặp trong các kỳ thi Olympic toán quốc gia và quốc tế, Olympic toán sinh viên các trường đại học, cao đẳng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ ÁP DỤNG HẠ THỊ NGÂN CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP THÁI NGUYÊN 2016
i Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Một số định nghĩa và tính chất của hàm số lượng giác . . . 3 1.2 Một số tính chất của đa thức lượng giác . . . . . . . . . . . 3 1.3 Một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm lượng giác và lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Định nghĩa và một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Một số đồng nhất thức đại số sinh bởi hàm lượng giác . . . 7 1.6 Một số tính chất của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 2. Ước lượng, đánh giá các dãy số sinh bởi hàm lượng giác 13 2.1 Xác định dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Ước lượng, đánh giá các dãy số sinh bởi hàm lượng giác . . 26 2.3 Xác định các tính chất liên quan đến dãy số sinh bởi hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Chương 3. Một số áp dụng của dãy số sinh bởi hàm lượng giác 38 3.1 Tính giới hạn của dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Ước lượng, đánh giá tổng và tích các phần tử . . . . . . . . 49
ii 3.3 Một số dạng toán liên quan đến hàm lượng giác ngược và hàm hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 KẾT LUẬN 58 Tài liệu tham khảo 59
1 Mở đầu Các bài toán về dãy số sinh bởi hàm số lượng giác là một trong những nội dung quan trọng của giải tích. Rất nhiều dạng toán khác cũng quy về việc ước lượng, tính tổng, xét tính tuần hoàn, tìm số hạng tổng quát và giới hạn của dãy số sinh bởi hàm lượng giác. Những bài toán về dãy số là một trong những dạng toán thường gặp trong các kỳ thi Olympic toán quốc gia và quốc tế, Olympic toán sinh viên các trường đại học, cao đẳng. Việc giải các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản về các lớp hàm này đồng thời nắm được các kiến thức liên quan và phải biết vận dụng một cách sáng tạo, logic và hợp lý. Chính vì những lý do trên mà tôi chọn đề tài "Một số tính chất của dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và áp dụng" nhằm hệ thống một số áp dụng của lớp hàm này. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo luận văn gồm ba chương Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, trình bày về các tính chất cơ bản của hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược và hàm hyperbolic đồng thời trình bày về một số dạng đẳng thức, các định lý cơ bản của đại số và giải tích liên quan. Chương 2. Trình bày các dạng toán về xác định dãy số, ước lượng dãy số và các tính chất của dãy số sinh bởi hàm lượng giác. Chương 3. Trình bày các dạng toán về tính giới hạn, tính tổng và tích của dãy số sinh bởi hàm lượng giác, một số dạng toán liên quan đến hàm
2 lượng giác ngược và hàm hyperbolic. Trong suốt quá trình làm luận văn, tác giả nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của TS. Đào Thị Liên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô - Người đã luôn sát cánh bên tác giả từ những ngày đầu tiên thực hiện luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn những gợi ý quý báu của GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu thực hiện đề tài. Qua đây, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin của trường Đại học Khoa hoc - Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy đã giúp đỡ tác giả trong thời gian theo học các chuyên đề và hoàn thành các công việc của một học viên cao học. Thái nguyên, ngày 30 tháng 05 năm 2016 Tác giả Hạ Thị Ngân
3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số định nghĩa và tính chất của hàm số lượng giác Trong mục này ta xét hàm số f (x) : R → R với tập xác định D ⊂ R. Định nghĩa 1.1. Hàm số f (x) được gọi là hàm số chẵn trên M ⊂ D nếu ∀x ∈ M thì −x ∈ M và f (−x) = f (x). Hàm số f (x) được gọi là hàm số lẻ trên M ⊂ D nếu ∀x ∈ M thì −x ∈ M và f (−x) = −f (x). Ví dụ 1.1. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn; các hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x là những hàm số lẻ trên tập xác định của chúng. Định nghĩa 1.2. Hàm số f (x) được gọi là hàm số tuần hoàn cộng tính trên M ⊂ D nếu ∀x ∈ M thì x ± a ∈ M, f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M. Số nguyên dương a bé nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn cộng tính f (x). Ví dụ 1.2. Hàm số y = cos x, hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T = 2π ; hàm số y = tan x, y = cot x tuần hoàn với chu kỳ T = π. 1.2 Một số tính chất của đa thức lượng giác Định nghĩa 1.3. Hàm số có dạng An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx,
4 trong đó an , bn không đồng thời bằng 0 (tức là an 2 + bn 2 > 0), ai , bj ∈ R với i = 0, 1, . . . , n, j = 1, . . . , n, được gọi là đa thức lượng giác bậc n (n ∈ N∗ ). Khi tất cả các bj = 0 với j = 1, 2, . . . , n ta có Định nghĩa 1.4. Hàm số có dạng Cn (x) = a0 + a1 cos x + · · · + an cos nx ( an 6= 0 ) được gọi là đa thức lượng giác bậc n theo cosin. Tương tự, khi tất cả các ai = 0 với i = 0, 1, . . . , n ta có Định nghĩa 1.5. Hàm số có dạng Sn (x) = b0 + b1 sin x + · · · + bn sin nx ( bn 6= 0 ) được gọi là đa thức lượng giác bậc n theo sin. Tính chất 1.1. Tổng của hai đa thức lượng giác An (x) và Bm (x) là một đa thức lượng giác có bậc không vượt quá max {m, n} . Tính chất 1.2. Tích của hai đa thức lượng giác An (x) và Bm (x) là một đa thức lượng giác có bậc bằng n + m. Tính chất 1.3. Nếu đa thức lượng giác An (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx đồng nhất bằng 0 với mọi x ∈ R, thì tất cả các hệ số của nó đều bằng 0, tức là a0 = a1 = b1 = a2 = b2 = · · · = an = bn = 0. 1.3 Một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm lượng giác và lượng giác ngược Từ các hàm lượng giác cơ bản như y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x ta có các hàm lượng giác ngược tương ứng trong các khoảng đồng biếnhhoặc nghịch biến của chúng. π πi π π Trong − ; , (hay trong − ; hàm số y = sin x (hay y = tan x) 2 2 2 2 là hàm đồng biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y = arcsin x (hay y = arctan x)) như sau:  y = arcsin x   sin (arcsin x) ≡ x    x = sin y   π π −1 ≤ x ≤ 1 ⇔ − ≤ arcsin x ≤  2 2  −π ≤ y ≤ π   −1 ≤ x ≤ 1   2 2
5  y = arctan x   tan (arctan x) ≡ x    x = tan y   π π −∞ ≤ x ≤ ∞ ⇔ − ≤ arctan x ≤  2 2  −π ≤ y ≤ π   −∞ ≤ x ≤ ∞   2 2 Trong [0, π], (hay trong (0, π) hàm số y = cos x (hay y = cot x) là hàm nghịch biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y = arccos x (hay y = arccot x)) như sau:  y = arccos x   cos (arccos x) ≡ x   x = cos y  ⇔ 0 ≤ arccos x ≤ π −1 ≤ x ≤ 1 −1 ≤ x ≤ 1    0≤y≤π   y = arccot x   cot (arccot x) ≡ x   x = cot y  ⇔ 0 ≤ arccot x ≤ π −∞ ≤ x ≤ ∞ −∞ ≤ x ≤ ∞    0≤y≤π  1) arcsin(−x) = − arcsin x, 2) arccos(−x) = π − arccos x, 3) arctan (−x) = −arctan x, 4) arccot (−x) = −arccot x, 5) Hàm f (x) = arcsin px có tính chất √ 2 2 f (x) + f (y) = f x 1 − y + y 1 − x , ∀x, y ∈ [−1, 1], 6) Hàm g(x) = arccos x có tính chất √ p 2 2 g (x) + g (y) = f xy − 1 − x 1 − y , ∀x, y ∈ [−1, 1], 7) Hàm h(x) = arctan x cótính chất x+y h (x) + h (y) = h , ∀x, y ∈ R, xy 6= 1, 1 − xy 8) Hàm p(x) = arccot x có tính chất xy − 1 p (x) + p (y) = p , ∀x, y ∈ R, x 6= −y. x+y
6 1.4 Định nghĩa và một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm hyperbolic 1.4.1 Định nghĩa Cho x ∈ R. Kí hiệu ex + e−x cosh x = và gọi cosh x là hàm cosin hyperbolic, 2 ex − e−x sinh x = và gọi sinh x là hàm sin hyperbolic, 2 sinh x tanh x = và gọi tanh x là hàm tang hyperbolic, cosh x cosh x coth x = và gọi coth x là hàm côtang hyperbolic. sinh x 1.4.2. Một số dạng đẳng thức cơ bản giữa các lớp hàm hyper- bolic Các đồng nhất thức cơ bản cosh2 x − sinh2 x = 1, 1 1 − tanh2 x = , cosh2 x 1 coth2 x − 1 = . sinh2 x Công thức nhân đôi sinh 2x = 2 sinh x cosh x, cosh 2x = cosh2 x − sinh2 x = 2cosh2 x − 1 = 1 − 2sinh2 x, 2 tanh x tanh 2x = ; 1 + tanh2 x Công thức nhân ba sinh 3x = 4sinh3 x + 3 sinh x, cosh 3x = 4cosh3 x − 3 cosh x, 3 tanh x + tanh3 x tanh 3x = . 1 + 3 tanh3 x
7 Công thức biến đổi tổng thành tích x+y x−y cosh x + cosh y = 2 cosh cosh , 2 2 x+y x−y cosh x − cosh y = 2 sinh sinh , 2 2 x+y x−y sinh x + sinh y = 2 sinh cosh , 2 2 x+y x−y sinh x − sinh y = 2 cosh sinh , 2 2 sinh (x + y) tanh x + tanh y = , cosh x cosh y sinh (x − y) tanh x − tanh y = . cosh x cosh y Công thức biến đổi tích thành tổng. 1 cosh x cosh y = [cosh (x + y) + cosh (x − y)] , 2 1 sinh x sinh y = [cosh (x + y) − cosh (x − y)] , 2 1 sinh x cosh y = [sinh (x + y) + sinh (x − y)] . 2 1.5 Một số đồng nhất thức đại số sinh bởi hàm lượng giác • Hệ thức đại số ứng với công thức cos 2t = 2 cos2 t − 1 chính là công thức 1 2 1 2 1 1 a + 2 =2 a+ − 1. 2 a 2 a • Hệ thức đại số ứng với công thức cos 3t = 4 cos3 t − 3 cos t chính là công thức 1 3 1 3 1 1 1 1 a + 3 =4 a+ −3 a+ , 2 a 2 a 2 a 3 1 3 1 4x − 3x = a + 3 2 a
8 1 1 với x = a+ , a 6= 0. 2 a • Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t = 16cos5 t − 20cos3 t + 5 cos t chính là công thức 1 5 1 3 1 5 1 1 1 1 1 a + 5 = 16 a+ − 20 a+ +5 a+ , 2 a 2 a 2 a 2 a 5 3 1 5 1 16x − 20x + 5x = a + 5 2 a 1 1 với x = a+ , a 6= 0. 2 a • Từ công thức Euler, ta thu được hệ thức eit − e−it i sin t = . 2 Từ đây, suy ra biểu thức i sin(it) nhận giá trị thực. Điều này gợi ý cho ta cách chuyển đổi các đồng nhất thức đối với hàm sốsin sang các đồng nhất thức đại số. Xét công thức khai triển sin 3t = 3 sin t − 4 sin3 t. Từ đây ta thu được công thức (hình thức) i sin i(3t) = 3(i sin it) − 4(i sin it)3 . Hệ thức đại số ứng với công thức trên chính là đồng nhất thức 1 3 1 3 1 1 1 1 a − 3 =4 a− −3 a− , 2 a 2 a 2 a Hay 1 1 4x3 + 3x = a3 − 3 2 a 1 1 với x = a− , a 6= 0. 2 a Ứng với công thức biến đổi sin 5t + sin t = 2 sin 3t 1 − 2sin2 t là đồng nhất thức " 2 # 1 5 1 1 1 1 3 1 1 1 a − 5 + a− =2 a − 3 1−2 a− . 2 a 2 a 2 a 2 a
9 1.6 Một số tính chất của dãy số 1.6.1 Cấp số cộng, cấp số nhân Định nghĩa 1.6. (Cấp số cộng). Dãy số (un ) thỏa mãn: un+1 = un + d với mọi số tự nhiên n và d là một hằng số cho trước được gọi là một cấp số cộng, d được gọi là công sai. * un được gọi là số hạng tổng quát của cấp số cộng (un ). Nếu cho trước n ta được cấp số cộng hữu hạn. * Nếu d = 0 ta có dãy số mà u0 = u1 = ... Khi đó dãy (un ) được gọi là dãy hằng. * Ký hiệu: Sn = u0 + u1 + ... + un được gọi là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng. Nhận xét 1.1. Nếu (un ) là một cấp số cộng công sai d thì ta có: * un = u1 + (n − 1)d, * 2uk = uk−1 + uk+1 , ∀k ≥ 2, n(n − 1)d (u1 + un )n * Sn = nu1 + = . 2 2 Định nghĩa 1.7. (Cấp số nhân). Dãy số (un ) thỏa mãn: un = un−1 q với q là một hằng số cho trước và 1 ≤ n ∈ N, được gọi là một cấp số nhân, q được gọi là công bội. * un được gọi là số hạng tổng quát của cấp số nhân. Nếu cho trước n ta được cấp số nhân hữu hạn. * Nếu cấp số nhân có q = 0 ta có dãy u0 ; 0; 0; ...; 0; ... * Nếu cấp số nhân có q = 1 ta có dãy u0 ; u0 ; u0 ; ...; u0 ; ... * Ta luôn có: un = u1 q n−1 (2 ≤ n ∈ N. * Ta luôn có: u2k = uk−1 .uk+1 , ∀2 ≤ k ∈ N.  nu1 , nếu q = 1. * Ta luôn có: Sn = u1 + u2 + ... + un = 1 − qn  u1 , nếu q 6= 1. 1−q
10 1.6.2 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính Định nghĩa 1.8. Dãy số (un ) được gọi là dãy tuần hoàn cộng tính nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho un+l = un , ∀n ∈ N. Số nguyên dương l bé nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy. Định nghĩa 1.9. Dãy số (un ) được gọi là phản tuần hoàn cộng tính nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho un+l = −un , ∀n ∈ N. 1.6.3 Dãy tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính Định nghĩa 1.10. Dãy số (un ) được gọi là dãy tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho usn = un , ∀n ∈ N. Số nguyên dương s bé nhất để dãy (un ) thỏa mãn điều kiện trên được gọi là chu kỳ cơ sở của dãy. Định nghĩa 1.11. Dãy số (un ) được gọi là dãy số phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên dương s(s > 1) sao cho usn = −un , ∀n ∈ N. 1.6.4 Một số định lý về giới hạn của dãy số Định nghĩa 1.12. Dãy (un ) được gọi là hội tụ về a, ký hiệu lim un = a, n→∞ nếu với mọi ε > 0 cho trước tùy ý, tồn tại số n0 ∈ N sao cho với mọi n ≥ n0 đều có |un − a| < ε, tức là lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , |un − a| < ε. n→∞ Định lý 1.1. (Tính duy nhất của giới hạn) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất. Định lý 1.2. (Tính thứ tự của dãy hội tụ) Cho lim xn = l và a ∈ R. Khi n→∞ đó - Nếu a > l thì ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ a > xn , - Nếu a < l thì ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ a < xn .
11 Định lý 1.3. (Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức) Cho lim xn = l và n→∞ a ∈ R. - Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 ⇒ xn ≥ a thì l ≥ a, - Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≤ a thì l ≤ a. Định lý 1.4. (Định lý giới hạn dãy kẹp giữa) Cho ba dãy số {xn } , {yn } , {zn } thỏa mãn: * ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ zn ≤ xn ≤ yn , * Các dãy (yn ), (zn ) cùng hội tụ đến l. Khi đó dãy (xn ) hội tụ và lim xn = l. n→∞ Định lý 1.5. (Tính chất đại số của dãy hội tụ) Cho hai dãy hội tụ (xn ), (yn ) và lim yn = b. Khi đó: n→∞ - Dãy (xn ) hội tụ và lim (−xn ) = −a, n→∞ - Dãy |(xn )| hội tụ và lim |xn | = |a| , n→∞ - Dãy (xn + yn ) hội tụ và lim (xn + yn ) = a + b, n→∞ - Dãy (xn − yn ) hội tụ và lim (xn − yn ) = a − b, n→∞ - Dãy (kxn ) hội tụ và lim (kxn ) = ka, n→∞ - Dãy (xn · yn ) hội tụ và lim (xn · yn ) = a · b, n→∞ 1 - Với b 6= 0 thì dãy được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ yn 1 1 và lim = . n→∞ yn b xn - Với b 6= 0 thì dãy được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ y n xn a và: lim = . n→∞ yn b Định lý 1.6. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn. Định lý 1.7. Dãy số thực tăng và bị chặn trên thì hội tụ và giới hạn của nó là cận trên đúng của tập hợp (un ) các phần tử của dãy. Dãy số thực giảm và bị chặn dưới thì hội tụ và giới hạn của nó là cận dưới đúng của tập hợp (un ) các phần tử của dãy. Định lý 1.8. (Định lý Bolzano - Weierstrass) Từ một dãy bị chặn luôn rút ra được một dãy con hội tụ.
12 Định lý 1.9. (Định lý Cesaro) Nếu dãy (un ) hội tụ đến a thì u1 + u2 + ... + un lim = a. n Định lý 1.10. (Tiêu chuẩn Cauchy) Dãy (xn ) hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0 cho trước tùy ý, tồn tại chỉ số n0 ∈ N sao cho với mọi m, n ≥ n0 đều có |xn − xm | < ε. Nhận xét 1.1. Trong thực hành, người ta thường dùng tiêu chuẩn Cauchy dưới cách phát biểu sau đây: (xn ) hội tụ ⇔ ∀ > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N∗ ta có |xn+p − xn | < .
13 Chương 2 Ước lượng, đánh giá các dãy số sinh bởi hàm lượng giác Trong chương 2, ta quan tâm đến các dãy số sinh bởi hàm số lượng giác, các dãy số xác định được bằng phương pháp lượng giác và tính chất liên quan đến dãy số sinh bởi hàm lượng giác như: tính tuần hoàn, tính đơn điệu. 2.1 Xác định dãy số 2.1.1 Xác định dãy số sử dụng công thức nhân đôi và nhân ba của hàm sin x, cos x và các hằng đẳng thức lượng giác Bài toán 2.1 (xem [1]). Xác định dãy (yn ) thỏa mãn: y1 ∈ R; yn+1 = 2yn 2 − 1, ∀n = 1, 2, . . . Lời giải. • Nếu |y1 | ≤ 1 thì tồn tại α ∈ R sao cho cos α = y1 . Khi đó bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được yn = cos 2n−1 α. (1) Thật vậy, với n = 1 ta có α ∈ R sao cho cos α = y1 . Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có yk = cos 2k−1 α. Ta cần chứng minh (1) đúng với n = k + 1 hay yk+1 = cos 2k α. 2 Ta có: yk+1 = 2yk 2 − 1 = 2(cos 2k−1 α ) − 1 = cos 2k α
14 Do đó (1) đúng với n = k + 1 nên theo nguyên lý quy nạp yn = cos 2n−1 α. • Khi |y1 | > 1. Xét số thực β thỏa mãn: 1 1 y1 = (β + ) ⇔ β 2 − 2y1 β + 1 = 0. (1) 2 β p β = y1 + p y12 − 1 Từ (1) suy ra: β = y1 −p y12 − 1. Vậy nếu đặt β = y1 + y12 − 1 thì 1 1 1 q y1 = (β + ), = y1 − y12 − 1. 2 β β Ta có 1 2 1 1 1 2 β+ − 1 = (β 2 + 2 ). 2 β 2 β Do đó 1 1 1 0 1 y1 = β+ = (β 2 + 20 ), 2 β 2 β 1 2 2 1 1 1 1 y2 = 2y1 − 1 = 2 β+ − 1 = (β 2 + 21 ). 2 β 2 β 1 k−1 1 Giả sử yk = β 2 + 2k−1 . Khi đó 2 β 2 1 2k−1 1 2k 1 yk+1 = 2 β + 2k−1 − 1 = β + 2k . 2 β β Theo nguyên lý quy nạp ta có 1 2n−1 1 yn = β + 2n−1 , ∀n = 1, 2, . . . 2 β Bài toán 2.2 (xem [1]). Tìm dãy số (xn ) biết: x1 = α, xn+1 = ax2n + b, ∀n ∈ N∗ , |ab| = 2, a, b ∈ R Lời giải. ab = 2 Vì |ab| = 2 ⇔ . Suy ra ta có 2 trường hợp sau: ab = −2 a. Trường hợp 1: ab = −2. Công thức lượng giác cos 2α = 2cos α2 − 1 gợi ý cho ta cố gắng đưa dãy số đã cho về dãy số (yn ) thỏa mãn
15 yn+1 = 2yn 2 − 1, ∀ = 1, 2, . . . (1) Đặt xn = pyn . Khi đó pyn+1 = ap2 yn 2 + b. Suy ra b yn+1 = apyn 2 + . (2) p Từ (1) và (2), suy ra ta cần tìm p sao cho   ap = 2 ( 2 b p = ⇒ a (thỏa mãn ab = −2).  = −1 p = −b p Vậy ta sẽ đặt 2 xn = yn ⇔ xn = −byn (do ab = −2) thì bài toán 2.2a đưa về bài toán a 2.1 và ta sử dụng bài toán 2.1 để giải bài toán 2.2a. b. Trường hợp 2: ab = 2 α Đặt xn = byn . Khi đó y1 = và b byn+1 = ab2 yn2 + b ⇒ yn+1 = abyn2 + 1 ⇒ yn+1 = 2yn2 + 1(do ab = 2). Xét số thực β sao cho p 2 1 1 β = y + y1 = β− ⇔ β 2 − 2y1 β − 1 = 0 ⇔ 1 p y1 + 1 2 β β = y1 − y12 + 1. p Vậy nếu đặt β = y1 + y12 + 1 thì 1 1 1 q y1 = β− , = − y1 − y12 + 1 . 2 β β Ta có 1 2 1 1 2 1 2 β− +1= β − 2 . 2 β 2 β Bởi vậy 1 1 1 20 1 y1 = β− = β − 20 , 2 β 2 β 2 1 1 1 1 1 y2 = 2y12 + 1 = 2 β− +1= β 2 − 21 . 2 β 2 β
16 1 n−1 1 Giả sử yn = β 2 − 2n−1 . Khi đó 2 β 2 2 1 2n−1 1 1 2n 1 yn+1 = 2yn + 1 = 2 β − 2n−1 +1= β − 2n . 2 β 2 β Theo nguyên lý quy nạp toán học suy ra 1 2n−1 1 yn = β − 2n−1 , ∀n = 1, 2, . . . 2 β Bởi vậy r !2n−1 r !2n−1  2 b α α α α2 xn =  + +1 − − +1  , ∀n = 1, 2, . . . 2 b b2 b b2 Bài toán 2.3 (xem [1]). Tìm dãy số (yn ) biết: y1 ∈ R, yn+1 = 4yn 3 − 3yn , a > 0. Lời giải. • Nếu |y1 | ≤ 1 thì tồn tại α sao cho cos α = y1 . Khi đó y2 = 4cos3 α − 3 cos α = cos 3α, y3 = 4cos3 3α − 3 cos 3α = cos 32 α, ... yn = cos 3n−1 α. • Khi |y1 | > 1. Xét số thực β sao cho p 2 1 1 y1 = (β + ) ⇔ β 2 − 2y1 β + 1 = 0 ⇔ β = y 1 + p y1 − 1 2 β p β = y1 − y12 − 1. Vậy nếu đặt β = y1 + y12 − 1 thì 1 1 1 q y1 = (β + ), = y1 − y12 − 1. 2 β β Ta có 1 1 1 0 1 y1 = β+ = β 3 + 30 , 2 β 2 β 3 1 1 1 1 1 1 1 y2 = 4y13 − 3y1 = 4 β+ −3 β+ = β 3 + 31 . 2 β 2 β 2 β 1 n−1 1 Giả sử yn = β 3 + 3n−1 . Khi đó 2 β 3 1 n−1 1 1 n−1 1 1 n 1 yn+1 = 4 β 3 + 3n−1 −3 β 3 + 3n−1 = β 3 + 3n . 2 β 2 β 2 β