Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối trong không gian Banach

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận văn này là trình bày lại có hệ thống về một số phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối trên các không gian Banach lồi đều và trơn đều. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối trong không gian Banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN THỊ HẢI NINH PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TƯƠNG ĐỐI TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Nguyễn Song Hà THÁI NGUYÊN - 2020
iii LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của T.S Nguyễn Song Hà. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy T.S Nguyễn Song Hà (Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên ), Thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Xin chân thành cảm ơn tới các quý Thầy, Cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K12A3, các bạn học viên và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các Thầy Cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Tác giả Đoàn Thị Hải Ninh
iv Mục lục Trang bìa phụ ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt v Danh sách bảng vi Mở đầu 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 2 1.1. Cấu trúc hình học không gian Banach . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Ánh xạ không giãn tương đối và phép chiếu suy rộng . . . . . 16 Chương 2. Phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối 23 2.1. Phương pháp chiếu lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Phương pháp lặp Halpern-Mann . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Kết luận chung và đề nghị 44 Tài liệu tham khảo 45
v Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt E Không gian Banach thực E∗ Không gian đối ngẫu của E E ∗∗ Không gian đối ngẫu thứ hai của E PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C ΠC (x) Phép chiếu suy rộng phần tử x lên tập C Fix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ T xn → x Dãy {xn } hội tụ mạnh đến x xn * x Dãy {xn } hội tụ yếu đến x kxk Chuẩn của phần tử x hx∗ , xi Giá trị của x∗ ∈ E ∗ tại x ∈ E J Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E I Ánh xạ đơn vị của E SE Mặt cầu đơn vị của E lim inf xn Giới hạn dưới của dãy {xn } n→∞ lim sup xn Giới hạn trên của dãy {xn } n→∞
vi Danh sách bảng 2.1 Kết quả tính toán cho phương pháp (2.14) . . . . . . . . . . . 40 2.2 Kết quả tính toán cho phương pháp (2.15) . . . . . . . . . . . 42
1 Mở đầu Luizen Egbertus Jan Brouwer, nhà Toán học người BaLan, là người đặt nền móng cho những nghiên cứu về lí thuyết điểm bất động. Kết quả quan trọng đầu tiên, "Nguyên lí điểm bất động Brouwer" được ông công bố năm 1912. Đó là định lý trung tâm của lý thuyết điểm bất động và cũng là một trong những nguyên lý cơ bản của giải tích phi tuyến. Ngày nay đã có ít nhất năm cách chứng minh khác nhau cho nguyên lý nổi tiếng này và hàng chục định lý tương đương đã được tìm ra. Trong suốt hơn 100 năm qua, lí thuyết này đã dành được sự quan tâm đặc biệt và gắn liền với tên tuổi của nhiều nhà Toán học lớn như E. Picard, L.E.J. Brouwer, S. Banach, J. Schauder, S. Kakutani, A.N. Tikhonov, Ky Fan, F.E. Browder, K. Goebel, W.A. Kirk, ... Nó đóng vai trò then chốt trong nhiều nghiên cứu thuộc các lĩnh vực lí thuyết Toán học khác nhau như: lí thuyết tối ưu, bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng, bài toán minimax, phương trình vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng,... Bên cạnh đó, lí thuyết này cũng là một công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều mô hình bài toán thực tiễn như: kiểm soát năng lượng trong hệ thống mạng viễn thông CDMA, xử lí ảnh, xử lí tín hiệu, mạng giao thông, y sinh, ... Mục đích chính của luận văn này là trình bày lại có hệ thống về một số phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn tương đối trên các không gian Banach lồi đều và trơn đều. Với mục tiêu như vậy, ngoài lời mở đầu, luận văn gồm có hai chương, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1, chúng tôi dành để hệ thống lại những kiến thức cơ bản về cấu trúc hình học không gian Banach, ánh xạ không giãn tương đối và phép chiếu suy rộng, nhằm phục vụ cho việc cụ thể hóa nội dung chính ở chương sau của luận văn. Chương 2 dùng để trình bày phương pháp chiếu lai ghép và phương pháp lặp Halpern-Mann tìm điểm bất động của bài toán nêu trên cùng các ví dụ số minh họa.
2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản nhằm phục vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn. Cấu trúc của chương được chia thành ba phần: Mục 1.1 trình bày lại một số khái niệm và kết quả cơ bản về cấu trúc hình học không gian Banach. Những tính chất cần thiết về ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cụ thể hóa trong Mục 1.2. Phần cuối chương, Mục 1.3 dành để giới thiệu lớp ánh xạ không giãn tương đối cùng phép chiếu suy rộng trên không gian Banach. 1.1. Cấu trúc hình học không gian Banach Cho E là không gian Banach thực, E ∗ và E ∗∗ tương ứng là không gian đối ngẫu và không gian đối ngẫu thứ hai của E. Định nghĩa 1.1. Tập C ⊆ E được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ C và với mọi λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C. Hay nói cách khác, tập C ⊆ E là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó. D C I B G A J K E H F Hình 1.1. Tập lồi và tập không lồi (Quan sát hình bên tay phải, ta thấy là tập không lồi vì đoạn nối hai điểm I và H có chứa phần JK không nằm trong tập đó).
3 Ví dụ 1.1. Những ví dụ đơn giản về tập lồi là các nửa không gian đóng hoặc hình cầu đóng. Dạng biểu diễn giải tích của các tập hợp này lần lượt là: ∆ := {x ∈ E : hx∗ , xi ≤ α}, S[x0 , r] := {x ∈ E : kx − x0 k ≤ r}, trong đó, x∗ ∈ E ∗ , x0 ∈ E, α ∈ R và số thực r > 0 cố định đã cho. Định nghĩa 1.2. Dãy {xk } ⊂ E được gọi là i) hội tụ mạnh tới x0 ∈ E nếu lim kxk − x0 k = 0, k→∞ và khi ấy ta kí hiệu là xk → x0 . ii) hội tụ yếu tới x0 ∈ E nếu lim hxk , x∗ i = hx0 , x∗ i ∀x∗ ∈ E ∗ , k→∞ và khi ấy ta kí hiệu là xk * x0 . Nhận xét 1.1. Nếu dãy {xk } ⊂ E hội tụ mạnh tới x0 ∈ E thì nó hội tụ yếu tới x0 ∈ E. Khẳng định ngược lại là đúng nếu E là không gian hữu hạn chiều. Ví dụ 1.2. Dưới đây là một ví dụ về một dãy hội tụ yếu nhưng không hội tụ mạnh. Xét E = l2 và {xk } là một dãy trong l2 xác định bởi xk = (0, 0, 0, . . . , 1, 0, . . . ) k ∈ N, trong đó các thành phần đều bằng 0 trừ ra thành phần bằng 1 ở vị trí thứ k tương ứng. Trước hết, để ý rằng E ∗ = l2 và ∀x∗ = (y1 , y2 , . . . , yk , . . . ) ∈ l2 ta có lim hxk , x∗ i = lim yk = 0. k→∞ k→∞ Do đó, xk * 0 khi k → ∞. Tuy nhiên, {xk } không hội tụ mạnh bởi vì kxk k = 1 với mọi k ∈ N. Nhận xét 1.2. Trong không gian Hilbert, nếu dãy {xk } thỏa mãn xk * x0 và kxk k → kx0 k khi k → ∞ thì xk → x0 . Thật vậy, ta có kxk − x0 k2 = hxk − x0 , xk − x0 i = kxk k2 + kx0 k2 − 2hxk , x0 i. Cho k → ∞ ta nhận được kxk − x0 k → 0.
4 Mệnh đề 1.1. [1, 3] Cho E là một không gian Banach thực và {xk } ⊂ E. Khi đó, nếu xk * x0 thì {xk } bị chặn và kx0 k ≤ lim inf kxk k. k→∞ Định nghĩa 1.3. Tập C ⊆ E được gọi là đóng nếu với mọi dãy {xk } trong C mà xk → x0 thì x0 ∈ C. Những vấn đề cơ bản về cấu trúc hình học của không gian Banach trong phần tiếp theo được tham khảo chủ yếu ở các tài liệu [1, 3]. Định nghĩa 1.4. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi 0 < ε ≤ 2 và các bất đẳng thức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thỏa mãn thì tồn tại một số δ = δ() > 0 sao cho k(x + y)/2k ≤ 1 − δ. D B δ y x A x+y A≡ 2 O Hình 1.2. Minh họa hình cầu đơn vị trong không gian R2 lồi đều. Ví dụ 1.3. Không gian Hilbert H là không gian lồi đều. Thật vậy, từ quy tắc hình bình hành trên không gian Hilbert, ta có kx + yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ) − kx − yk2 ∀x, y ∈ H. Giả sử với mọi 0 < ε ≤ 2 và các bất đẳng thức kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thỏa mãn. Khi đó, ta nhận được kx + yk2 ≤ 4 − ε2 .
5 Điều này suy ra k(x + y)/2k ≤ 1 − δ(ε), p trong đó δ(ε) = 1 − 1 − ε2 /4. Định nghĩa 1.5. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu với mọi điểm x, y ∈ SE , x 6= y thì k(1 − λ)x + λyk < 1, ∀λ ∈ (0, 1), trong đó SE = {x ∈ E : kxk = 1} là mặt cầu đơn vị của E. Ví dụ 1.4. Không gian hữu hạn chiều Rn với chuẩn q kxk = x21 + x22 + . . . + x2n , ∀x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là không gian lồi chặt. Tuy nhiên, nếu xét với chuẩn n X kxk = |xi |, ∀x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn i=1 thì Rn không phải không gian lồi chặt. λx + (1 − λ)y x y O Hình 1.3. Minh họa hình cầu đơn vị trong không gian R2 không lồi chặt. (Quan sát hình trên ta thấy mọi điểm thuộc đoạn thẳng nối hai điểm x và y đều nằm trên biên của hình cầu đơn vị đó.) Tổng quát hơn ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 1.2. [3] Mọi không gian Banach lồi đều là lồi chặt.
6 Ví dụ 1.5. Các không gian l1 hay l∞ không lồi chặt. Thật vậy, trong l1 hoặc l∞ ta lấy x = (1, 0, 0, . . . , 0) và y = (0, 1, 0, . . . , 0). Khi đó, dễ thấy rằng x 6= y, kxk = kyk = 1 nhưng k(1 − λ)x + λyk = 1, ∀λ ∈ (0, 1). Nhận xét 1.3. Cho E là không gian Banach lồi chặt. Nếu kx + yk = kxk + kyk, ∀x, y ∈ E\{0}, thì tồn tại α ∈ R+ sao cho y = αx. Thật vậy, với mọi x, y 6= 0, theo Định lí Hahn-Banach, tồn tại x∗ ∈ E ∗ sao cho hx + y, x∗ i = kx + yk và kx∗ k = 1. Mặt khác, vì hx, x∗ i ≤ kxkkx∗ k = kxk và hy, x∗ i ≤ kykkx∗ k = kyk, nên ta phải có hx, x∗ i = kxk và hy, x∗ i = kyk. x y x Do đó, ta nhận được , x∗ = , x∗ = 1. Ta đặt a = và kxk kyk kxk y b= . Khi đó, ta thấy kak = kbk = 1 và ha, x∗ i = hb, x∗ i = 1 = kx∗ k. Nếu kyk a 6= b thì với bất kì λ ∈ (0, 1), từ tính lồi chặt của E ta có kx∗ k = λha, x∗ i + (1 − λ)hb, x∗ i = hλa + (1 − λ)b, x∗ i ≤ kλa + (1 − λ)bkkx∗ k < kx∗ k. x y Mâu thuẫn. Điều này dẫn đến a = b hay tương đương với = . Vì thế, kxk kyk nếu đặt α = kyk/kxk ta có điều cần chứng minh. Định nghĩa 1.6. Không gian Banach E được gọi là có tính chất Kadec-Klee nếu với mọi dãy {xk } ⊂ E thỏa mãn xk * x0 và kxk k → kx0 k khi k → ∞ đều kéo theo xk → x0 . Ví dụ 1.6. Không gian Hilbert là không gian có tính chất Kadec-Klee. Tổng quát hơn ta có mệnh đề sau.
7 Mệnh đề 1.3. [1] Mọi không gian Banach lồi đều có tính chất Kadec-Klee. Chứng minh. Giả sử E là không gian Banach lồi đều và dãy {xk } ⊂ E thỏa mãn xk * x0 và kxk k → kx0 k. Nếu x0 = 0 thì hiển nhiên ta có xk → 0. Giả sử x0 6= 0 và xk 9 x0 . Khi đó, ta có xk x0 9 . kxk k kx0 k Do đó, tồn tại ε > 0 và dãy con {xki } của dãy {xk } sao cho x x0 ki − ≥ ε. kxki k kx0 k Vì E là không gian lồi đều nên tồn tại δ = δ() > 0 sao cho 1 xki x0 + ≤ 1 − δ. 2 kxki k kx0 k Vì xk * x0 và kxk k → kx0 k nên xk x0 * . kxk k kx0 k Kết hợp điều này và Mệnh đề 1.1, ta nhận được x 1 x ki x0 0 ≤ lim inf + ≤ 1 − δ, kx0 k k→∞ 2 kxki k kx0 k mâu thuẫn. Vì thế xk → x0 hay E có tính chất Kadec-Klee. Định nghĩa 1.7. Hàm δE (ε) : [0, 2] → [0, 1] được gọi là môđun lồi của không gian Banach E nếu n x + y o δE (ε) = inf 1 − : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε . 2 Chú ý 1.1. Dễ thấy rằng δE (0) = 0 và δE (t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0. Hơn nữa, môđun lồi của không gian Banach E là hàm số xác định, liên tục và tăng trên đoạn [0, 2]. Ví dụ 1.7. Cho H là không gian Hilbert, khi đó môđun lồi của H là r ε2 δH (ε) = 1 − 1 − , ε ∈ (0, 2]. 4
8 Đặc trưng tính lồi của không gian qua môđun lồi được phát biểu như sau. Mệnh đề 1.4. [1] Không gian Banach E là lồi đều khi và chỉ khi δE (ε) > 0, ∀ε > 0. Chứng minh. Giả sử E là không gian lồi đều. Khi đó, với ε > 0 tồn tại δ(ε) > 0 sao cho x + y 0 < δ(ε) ≤ 1 − , ∀x, y ∈ E, 2 trong đó kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk ≥ ε. Từ đây suy ra δE (ε) > 0. Ngược lại, giả sử E là không gian Banach có môđun lồi δE thỏa mãn δE (ε) > 0, ∀ε ∈ (0, 2]. Lấy x, y ∈ E sao cho kxk = 1, kyk = 1 với kx − yk ≥ ε với ε ∈ (0, 2]. Từ định nghĩa δE (ε) ta có x + y 0 < δE (ε) ≤ 1 − . 2 Hay tương đương với x + y ≤ 1 − δ(ε), 2 ở đây δ(ε) = δE (ε) không phụ thuộc vào x và y. Vì thế, E là không gian lồi đều. Định nghĩa 1.8. Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm x0 ∈ SE nếu với mỗi y ∈ SE giới hạn sau kx0 + tyk − kx0 k lim , t→0 t tồn tại và kí hiệu là hy, ∇kx0 ki. Khi đó, ∇kx0 k được gọi là gradient của chuẩn kxk tại x = x0 . Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux nếu nó khả vi Gâteaux tại mọi điểm của SE . Chuẩn của E được gọi là khả vi Gâteaux đều nếu với mỗi y ∈ SE giới hạn trên tồn tại đều theo x ∈ SE . Ví dụ 1.8. Trên không gian Hilbert H, chuẩn của H khả vi Gâteaux tại mọi x x 6= 0 và ∇kxk = . Thật vậy, với mỗi x ∈ H, x 6= 0, ta có kxk kx + tyk − kxk kx + tyk2 − kxk2 lim = lim t→0 t t→0 t(kx + tyk + kxk) 2thx, yi + t2 kyk2 x = lim = y, . t→0 t(kx + tyk + kxk) kxk
9 Định nghĩa 1.9. Không gian Banach E được gọi là trơn nếu với mỗi x ∈ SE tồn tại duy nhất một phiếm hàm x∗ ∈ E ∗ sao cho hx, x∗ i = kxk và kx∗ k = 1. Ví dụ 1.9. [1, 3] Các không gian lp , Lp [a, b] (1 < p < ∞) là các không gian Banach trơn. Các không gian Banach c0 , l1 , L1 [a, b] và l∞ là không trơn. Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa tính trơn của không gian và tính khả vi Gâteaux của chuẩn. Mệnh đề 1.5. [1] Không gian Banach E trơn khi và chỉ khi chuẩn của E là khả vi Gâteaux trên E\{0}. Độ trơn của không gian Banach E còn được biểu diễn qua môđun trơn. Định nghĩa 1.10. Cho E là không gian Banach. Hàm ρE : R+ → R+ được gọi là môđun trơn của E nếu kx + yk + kx − yk ρE (t) = sup − 1 : kxk = 1, kyk = t 2 kx + tyk + kx − tyk = sup − 1 : kxk = kyk = 1 , t ≥ 0. 2 Nhận xét 1.4. Từ định nghĩa của ρE suy ra ρE (0) = 0 và ρE (t) ≥ 0 với mọi t ≥ 0. Hơn nữa, ρE là hàm lồi, tăng và liên tục. Tính trơn đều của không gian Banach được định nghĩa thông qua môđun trơn như sau. Định nghĩa 1.11. Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu ρE (t) lim = 0. t→0 t Ví dụ 1.10. Không gian Hilbert H là không gian trơn đều vì √ ρH (t) 1 + t2 − 1 lim = lim = 0. t→0 t t→0 t Mệnh đề 1.6. [1] Mọi không gian Banach trơn đều là không gian trơn.
10 Chứng minh. Giả sử E là không gian Banach trơn đều nhưng không trơn. Khi đó, tồn tại x 6= 0 và x∗ 6= y ∗ ∈ E ∗ sao cho kx∗ k = ky ∗ k = 1 và hx, x∗ i = hx, y ∗ i = kxk. Lấy y ∈ SE thỏa mãn hy, x∗ − y ∗ i > 0. Với mỗi t > 0 ta có 0 < thy, x∗ − y ∗ i = thy, x∗ i − thy, y ∗ i hx + ty, x∗ i + hx − ty, y ∗ i = −1 2 kx + tyk + kx − tyk ≤ − 1. 2 Điều này suy ra ρE (t) 0 < thy, x∗ − y ∗ i ≤ , ∀t > 0. t Mâu thuẫn với tính lồi đều của E. Vì thế, E là không gian trơn. Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tính trơn đều và lồi đều của không gian Banach E và không gian đối ngẫu E ∗ của nó. Mệnh đề 1.7. [1] Cho E là không gian Banach. Khi đó, ta có các khẳng định sau: i) E ∗ là không gian lồi đều khi và chỉ khi E là không gian trơn đều. ii) E là không gian lồi đều khi và chỉ khi E ∗ là không gian trơn đều. Chứng minh. i) Giả sử E là không gian trơn đều. Khi đó, ta có τε ρE (τ ) = sup − δE ∗ (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > 0. (1.1) 2 Nếu E ∗ không là không gian lồi đều thì ∃ε0 ∈ (0, 2] sao cho δE ∗ (ε0 ) = 0. Khi đó, từ (1.1) suy ra τ ε0 − δE ∗ (ε0 ) ≤ ρE (τ ). 2 Điều này dẫn đến ε0 ρE (τ ) 0< ≤ . 2 τ Mâu thuẫn với giả thiết E là không gian trơn đều. Vì thế, E ∗ là không gian lồi đều.
11 Ngược lại, giả sử E ∗ là không gian lồi đều. Khi đó, ta có τε ρE ∗ (τ ) = sup − δE (ε) : ε ∈ (0, 2] , τ > 0. (1.2) 2 Nếu E không là không gian trơn đều thì ρE (τ ) ρ0E (0) = lim 6= 0. τ →0 τ Giả sử ρE (τ ) lim = ε, ε > 0. τ →0 τ ρE (τn ) Khi đó, tồn tại dãy {τn } ∈ (0, 1) sao cho τn → 0 và lim = ε. Từ (1.2) n→∞ τn dẫn tới tồn tại dãy {εn } ∈ (0, 2] sao cho ε τ n εn τn ≤ − δE ∗ (εn ). 2 2 Hay tương đương với τn 0 < δE ∗ (εn ) ≤ (εn − ε). 2 Vì τn < 1 nên ε < εn . Mặt khác, δE ∗ là hàm không giảm nên ta có δE (ε) ≤ δE (εn ) → 0. Do đó, δE (ε) = 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết E ∗ là không gian lồi đều. Vì thế, E là không gian trơn đều. ii) Chứng minh tương tự như i) bằng cách thay đổi vai trò E và E ∗ . 1.2. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.12. Một ánh xạ J : E ⇒ E ∗ (nói chung là đa trị) thỏa mãn điều kiện J(x) = {x∗ ∈ E ∗ : hx, x∗ i = kxkkx∗ k và kx∗ k = kxk}, được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Chú ý 1.2. Ánh xạ J tồn tại trên mọi không gian Banach. Khẳng định này được suy ra như một hệ quả trực tiếp của Định lí Hahn-Banach (Nhận xét 4.2, trang 25, [3]). Đôi khi, nếu không sợ nhầm lẫn, trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị ta sẽ kí hiệu là j.
12 Ví dụ 1.11. Trong không gian Hilbert H ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của H là ánh xạ đơn vị I. Thật vậy, trước hết để ý rằng H = H ∗ và với mọi x ∈ H ta có hx, xi = kxkkxk. Do đó, x ∈ J(x). Ngược lại, với mọi y ∈ J(x), từ định nghĩa của J ta thấy hx, yi = kxkkyk và kyk = kxk. Kết hợp điều này với tính chất kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi, suy ra x = y. Vì vậy, J(x) = {x}. Mệnh đề 1.8. [1] Trong không gian Banach E, ta có bất đẳng thức sau kxk2 + 2hy, j(x)i ≤ kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i, với mọi x, y ∈ E. Chứng minh. Ta có kxk2 − kx + yk2 + 2hy, j(x + y)i = kxk2 − kx + yk2 + 2hx + y − x, j(x + y)i = kxk2 + kx + yk2 − 2hx, j(x + y)i ≥ kxk2 + kx + yk2 − 2kxkkj(x + y)k = kxk2 + kx + yk2 − 2kxkkx + yk = (kxk − kx + yk)2 ≥ 0. Do đó, ta nhận được kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i. Tiếp theo, để ý rằng kx + yk2 − kxk2 − 2hy, j(x)i = kx + yk2 − kxk2 − 2hy + x − x, j(x)i = kx + yk2 + kxk2 − 2hx + y, j(x)i ≥ kxk2 + kx + yk2 − 2kx + ykkj(x)k = kxk2 + kx + yk2 − 2kxkkx + yk
13 = (kxk − kx + yk)2 ≥ 0. Từ đó suy ra kxk2 + 2hy, j(x)i ≤ kx + yk2 . Một số tính chất cơ bản của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được trình bày trong mệnh đề dưới đây. Mệnh đề 1.9. [1] Cho E là không gian Banach thực và J : E ⇒ E ∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Khi đó, ta có các khẳng định sau: i) J(0) = {0}. ii) Với mỗi x ∈ E, J(x) là tập lồi đóng bị chặn và khác rỗng. iii) J(λx) = λJ(x) với mọi x ∈ E và λ ∈ R. iv) Nếu E ∗ là không gian lồi chặt thì J là ánh xạ đơn trị. Chứng minh. i) Hiển nhiên, ta thấy J(0) = {x∗ ∈ E ∗ : h0, x∗ i = 0 và kx∗ k = 0} = {0}. ii) Nếu x = 0 thì J(0) = {0} 6= ∅. Nếu x 6= 0 thì theo Định lí Hahn-Banach, tồn tại x∗ ∈ E ∗ sao cho hx, x∗ i = kxk và kx∗ k = 1. Bằng cách đặt y ∗ = kxkx∗ ta nhận được hx, y ∗ i = kxk2 và ky ∗ k = kxk. Do đó, y ∗ ∈ J(x) hay suy ra J(x) khác rỗng với mọi x ∈ E. Tiếp theo, giả sử x∗ , y ∗ ∈ J(x) và λ ∈ [0, 1]. Ta có hx, x∗ i = kxkkx∗ k, kxk = kx∗ k, hx, y ∗ i = kxkky ∗ k, kxk = ky ∗ k, và hx, λx∗ + (1 − λ)y ∗ i = kxk(λkx∗ k + (1 − λ)ky ∗ k) = kxk2 . (1.3) Từ các đẳng thức trên cùng ước lượng sau hx, λx∗ + (1 − λ)y ∗ i ≤ kxkkλx∗ + (1 − λ)y ∗ k
14 ≤ kxk(λkx∗ k + (1 − λ)ky ∗ k) = kxk2 dẫn đến kxkkλx∗ + (1 − λ)y ∗ k = kxk2 . Điều này tương đương với kλx∗ + (1 − λ)y ∗ k = kxk. (1.4) Kết hợp (1.3) và (1.4) ta nhận được hx, λx∗ + (1 − λ)y ∗ i = kλx∗ + (1 − λ)y ∗ kkxk. (1.5) Vì thế, từ (1.4) và (1.5) suy ra λx∗ + (1 − λ)y ∗ ∈ J(x) hay J(x) là tập lồi. Cuối cùng, từ định nghĩa của J(x), dễ thấy J(x) là tập đóng và bị chặn. iii) Giả sử x∗ ∈ J(λx) và xét trường hợp λ 6= 0 (vì nếu λ = 0 thì hiển nhiên J(0) = {0}). Khi đó, ta có hλx, x∗ i = kλxkkx∗ k = kx∗ k2 , kλxk = kx∗ k. Từ đó suy ra hx, λ−1 x∗ i = λ−1 hλx, λ−1 x∗ i = λ−2 hλx, x∗ i = λ−2 kλxkkx∗ k = λ−2 kλxk2 = kxk2 . Mặt khác, dễ thấy rằng kλ−1 x∗ k = |λ−1 |kx∗ k = |λ−1 |kλxk = kxk. Do đó, λ−1 x∗ ∈ J(x) hay x∗ ∈ λJ(x). Vì thế, ta nhận được J(λx) ⊆ λJ(x). (1.6) Ngược lại, giả sử x∗ ∈ λJ(x) hay λ−1 x∗ ∈ J(x). Để ý rằng, từ ước lượng hx, λ−1 x∗ i = kxkkλ−1 x∗ k = kλ−1 x∗ k2 = kxk2 , cho ta hλx, x∗ i = λhx, x∗ i = λ2 hx, λ−1 x∗ i = λ2 kxk2 = kλxk2 . Hơn nữa, vì x∗ = λy ∗ với y ∗ ∈ J(x) nên kx∗ k = kλy ∗ k = |λ|ky ∗ k = |λ|kxk = kλxk.