Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp - Thuật giải lặp đơn, lặp cấp hai, sự tồn tại, duy nhất và khai triển tiệm cận của nghiệm

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

72
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp - Thuật giải lặp đơn, lặp cấp hai, sự tồn tại, duy nhất và khai triển tiệm cận của nghiệm trình bày về các công cụ chuẩn bị; thuật giải lặp cấp một; thuật giải lặp cấp hai; khai triển tiệm cận; khảo sát một trường hợp cụ thể.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp - Thuật giải lặp đơn, lặp cấp hai, sự tồn tại, duy nhất và khai triển tiệm cận của nghiệm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Bùi Công Sơn PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Bùi Công Sơn PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP: THUẬT GIẢI LẶP ĐƠN, LẶP CẤP HAI, SỰ TỒN TẠI, DUY NHẤT VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
1 LỜI CẢM ƠN Luận văn ñược hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Thành Long. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ñến thầy - người ñã từng bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu ñề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện ñề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền ñạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Giải Tích, khoa Toán – Tin trường ðại học Sư Phạm và ðại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh ñã giúp tác giả nâng cao trình ñộ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học. Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau ñại học ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này. Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các ñồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thượng Hiền ñã tạo ñiều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học. Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao ñổi góp ý và ñộng viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn. TP. HCM tháng 8 năm 2008 Tác giả Bùi Công Sơn
2 MỤC LỤC Trang Lời cám ơn ........................................................................................... 1 Mục lục ................................................................................................ 2 MỞ ðẦU ............................................................................................. 3 Chương 1 : CÁC CÔNG CỤ CHUẨN BỊ ......................................... 7 1.1. Các kí hiệu về không gian hàm ......................................... 7 1.2. Các công cụ thường sử dụng ............................................. 7 Chương 2 : THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT...................................... 10 2.1. Giới thiệu.......................................................................... 10 2.2. Thuật giải xấp xỉ tuyến tính............................................... 10 2.3. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm........................................... 25 Chương 3 : THUẬT GIẢI LẶP CẤP HAI........................................ 32 Chương 4 : KHAI TRIỂN TIỆM CẬN ............................................. 48 Chương 5 : KHẢO SÁT MỘT TRƯỜNG HỢP CỤ THỂ ............... 64 KẾT LUẬN......................................................................................... 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 68
3 MỞ ðẦU Các bài toán phi tuyến xuất hiện trong khoa học rất ña dạng, là nguồn ñề tài mà nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Trong luận văn này chúng tôi muốn sử dụng các công cụ của giải tích phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và ñơn ñiệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với nguyên lý ánh xạ co, phương pháp khai triển tiệm cận…nhằm khảo sát phương trình sóng phi tuyến liên kết với ñiều kiện biên hỗn hợp thuần nhất. Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và ban ñầu sau u tt − µ(t)u xx + λu t = f (x, t,u), x ∈ Ω, 0 < t < T, (0.1) u x (0, t) − h 0 u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (0.2) u(x,0) = u 0 (x), u t (x,0) = u1 (x), (0.3) trong ñó λ, h 0 , h1 là các hằng số không âm cho trước; u 0 , u1 , µ và số hạng phi tuyến f cũng là hàm cho trước thỏa mãn một số ñiều kiện mà ta chỉ ra sau. Trong [5], Ficken và Fleishman ñã chứng minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của phương trình u xx − u tt − 2α1u t − α 2 u = εu 3 + b , với ε > 0 bé. (0.4) Rabinowitz [14] ñã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình u xx − u tt + 2α1u t = f (x, t,u x ,u t ), (0.5) trong ñó ε là một tham số bé và f là một hàm tuần hoàn theo thời gian. Trong [2], Caughey và Ellison ñã hợp nhất các xấp xỉ trong các trường hợp trước ñây ñể bàn sự tồn tại, duy nhất và tính ổn ñịnh tiệm cận của nghiệm cổ ñiển cho một lớp các hệ ñộng lực phi tuyến liên tục.
4 Trong [3], Alain Phạm ñã nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và dáng ñiệu tiệm cận khi ε → 0 của nghiệm yếu của bài toán (0.1), (0.3) liên kết với ñiều kiện biên Dirichlet thuần nhất u(0,t) = u(1,t) = 0, (0.6) trong ñó các số hạng phương trình (0.1) cho bởi µ(t) ≡ 1, λ = 0, f = εf1 (t,u), f1 ∈ C1 ([0, ∞) ×ℝ ). (0.7) Bằng sự tổng quát hóa của [3], Alain Phạm và Long [4] ñã xét bài toán (0.1), (0.3), (0.6) với µ(t) ≡ 1 và số hạng phi tuyến có dạng f = εf1 (t,u,u t ). (0.8) Trong [7,8], Long và Alain Phạm ñã nghiên cứu bài toán (0.1), (0.3) với µ(t) ≡ 1 , và số hạng phi tuyến có dạng f = f1 (u,u t ). (0.9) Trong [7], các tác giả xét nó với ñiều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất u x (0, t) = hu(0, t) + g(t), u(1, t) = 0, (0.10) trong ñó h > 0 là hằng số dương cho trước và trong [8] với ñiều kiện biên tổng quát hơn t u x (0, t) = hu(0, t) + g(t) − ∫ k(t − s)u(0,s)ds, u(1, t) = 0. (0.11) 0 Trong [9], Long và Diễm ñã nghiên cứu bài toán (0.1), (0.3) với ñiều kiện biên hỗn hợp thuần nhất u x (0, t) − h 0 u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (0.12) trong ñó h0, h1 là các hằng số không âm cho trước với h0 + h1 > 0 và các số hạng phi tuyến vế phải có dạng f = f (x, t,u,u x ,u t ) + εf1 (x, t, u,u x ,u t ). (0.13)
5 Trong trường hợp f ∈ C 2 ([0,1]×[0, ∞) × ℝ 3 ),f1 ∈ C1 ([0,1]×[0, ∞) × ℝ 3 ) các tác giả ñã thu ñược một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u ε ñến cấp hai theo ε, với ε ñủ nhỏ. Trong [12], Nguyễn Thành Long và Lê Thị Phương Ngọc cũng ñã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu, sự tồn tại và hội tụ của dãy lặp cấp hai, khai triển tiệm cận của bài toán:   2  1       { ( ) u tt − B u r 0 u rr + u r  = f (u, r), 0 < r < 1, 0 < t < T,  r      lim+ ru(r, t) < ∞,u r (1, t) + hu(1, t) = 0,   r →0   1   2 2 u(r,0) = u 0 (r), u t (r,0) = u1 (r), u r 0 = ∫ r u r (r, t) dr,     0 trong ñó B, f, u0, u1 là các hàm cho trước, h > 0 là hằng số. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm ñịa phương của bài toán (0.1) – (0.3). Chứng minh ñược dựa vào phương pháp Galerkin liên kết với các ñánh giá tiên nghiệm cùng với kĩ thuật hội tụ yếu và tính compact. Chúng tôi cũng nghiên cứu sự tồn tại và hội tụ của dãy lặp cấp hai {u m } về nghiệm yếu u của bài toán (0.1) – (0.3) thỏa một ñánh giá sai số m u m − u ≤ Cρ 2 , (0.14) trong ñó C, ρ là các hằng số dương và 0 < ρ < 1. Tiếp theo, chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu sau ñây theo tham số bé ε :   u tt − µ ε (t)u xx + λuɺ t = Fε (x, t,u), 0 < x < 1, 0 < t < T,   u x (0, t) − h 0u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (Pε )     u(x,0) = u 0 (x), u(x,0) ɺ = u1 (x),   Fε (x, t,u) = f (x, t,u) + εf1 (x, t,u), µ ε (t) = µ(t) + εµ1 (t),  
6 trong ñó các hằng số h0, h1, λ là cố ñịnh và các hàm số u0, u1, µ, µ1 , f , f1 là cố ñịnh thỏa các giả thiết thích hợp. Luận văn sẽ nghiên cứu khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán nhiễu (Pε ) theo tham số bé ε, tức là ta có thể xấp xỉ nghiệm u bởi một ña thức theo ε N u(x, t) = ∑ U i (x, t)ε i , (0.15) i=0 i (x, t), i = 0,1,..., N và thiết lập ñánh giá: theo nghĩa cần phải chỉ ra các hàm U ∂u ε N ∂Ui N − ∑ εi + u ε − ∑ εi U i N +1 ≤ CT ε , (0.16) ∂t i=0 ∂t ∞ 2 L (0,T;L ) i=0 ∞ 1 L (0,T;H ) với tham số ε ñủ bé, hằng số CT ñộc lập với tham số ε. Luận văn ñược trình bày theo các chương sau ñây: Phần mở ñầu: tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn, ñiểm qua các kết quả ñã có trước ñó, ñồng thời nêu bố cục của luận văn. Chương 1: nhằm giới thiệu một số kết quả chuẩn bị, các kí hiệu và các không gian hàm thông dụng, một số kết quả về phép nhúng compact. Chương 2: chúng tôi nghiên cứu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.1) – (0.3) Chương 3: chúng tôi nghiên cứu thuật giải lặp cấp hai và sự hội tụ của nó. Chương 4: chúng tôi nghiên cứu sự khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của bài toán nhiễu (Pε ) theo một tham số bé ε. Chương 5: chúng tôi xét một bài toán cụ thể ñể minh họa phương pháp tìm nghiệm của bài toán trên. Tiếp theo là phần kết luận của luận văn và sau cùng là danh mục các tài liệu tham khảo.
7 Chương 1: MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ 1.1. Các kí hiệu về không gian hàm Chúng ta bỏ qua ñịnh nghĩa các không gian hàm thông dụng và ñể cho tiện lợi, ta kí hiệu: Ω = (0,1), QT = Ω× (0,T), T > 0, Lp (Ω) = Lp , H m (Ω) = H m = W m,2 , W m,p (Ω) = W m,p . . , .,. lần lượt là chuẩn và tích vô hướng trong L2. Ta kí hiệu . X là chuẩn trên không gian Banach X. Ta kí hiệu Lp (0,T;X), 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian Banach các hàm u : (0,T) → X ño ñược sao cho 1 T p  p u Lp (0,T;X) =  ∫ u(t) Xdt  < +∞, (1 ≤ p < ∞),  0  và u L∞ (0,T;X) = esssup u(t) X , (p = ∞). 0
8 Ta trang bị cho W(0,T) chuẩn v W(0,T) = v Lp0 (0,T;X 0 ) + v/ Lp1 (0,T;X1 ) Khi ñó W(0,T) là một không gian Banach. Hiển nhiên W(0,T) ⊂ Lp0 (0,T;X) Ta cũng có kết quả sau ñây liên quan ñến phép nhúng compact. Bổ ñề 1.1 ( Bổ ñề về tính compact của Lions). Với giả thiết (1.1), (1.2) và nếu 1 < pi < ∞, i = 0,1 thì phép nhúng W(0,T) ֓ Lp0 (0,T;X) là compact. Chứng minh bổ ñề 1.1 có thể tìm thấy trong [Lions[6], trang 57] Bổ ñề 1.2 (Bổ ñề sau ñây liên quan ñến sự hội tụ yếu trong Lq(Q)). Cho Q là tập mở và bị chặn trong ℝ N và G m ,G ∈ Lq (Q), 1 < q < ∞ sao cho Gm Lq (Q) ≤ C , trong ñó C là hằng số ñộc lập với m và Gm → G a.e. trong Q. Khi ñó Gm → G a.e. trong Lq ( Q) yếu. Bổ ñề 1.3 ( Bổ ñề Gronwall). Cho f ,g :[t 0 ,T0 ] → ℝ là các hàm liên tục với g là hàm không giảm và có c > 0 sao cho t f (t) ≤ g(t) + c ∫ f (s)ds, ∀t ∈ [t 0 ,T0 ], t0 thì f (t) ≤ g(t).exp {c(t − t 0 )}, ∀t ∈ [t 0 ,T0 ]. Tiếp theo chúng tôi trình bày một kết quả về lý thuyết phổ ñược áp dụng trong nhiều bài toán biên. Trước hết ta thành lập các giả thiết sau: Cho V và H là hai không gian Hilbert thực thỏa các ñiều kiện i) Phép nhúng V ֓ H là compact, (1.3) ii) V trù mật trong H. (1.4)
9 Cho a : V × V → ℝ là dạng song tuyến tính ñối xứng, liên tục trên V × V và cưỡng bức trên V. (1.5) Chính xác hơn, ta gọi a là: j) Dạng song tuyến tính nếu u ֏ a(u, v) tuyến tính từ V vào ℝ với mọi v ∈ V , và v ֏ a(u, v) tuyến tính từ V vào ℝ với mọi u ∈ V . jj) ðối xứng nếu a(u, v) = a(v,u), ∀u, v ∈ V, jjj) Liên tục nếu ∃M ≥ 0 : a(u, v) ≤ M u V v V , ∀u, v ∈ V, 2 4j) Cưỡng bức nếu ∃α > 0 : a(v, v) ≥ α v V , ∀v ∈ V. Khi ñó ta có kết quả sau: Bổ ñề 1.4. Với giả thiết (1.3), (1.4), (1.5). Khi ñó tồn tại một cơ sở trực chuẩnt {w j} của H gồm các hàm riêng wj tương ứng với giá trị riêng λ j sao cho 0 < λ1 ≤ λ 2 ≤ ... ≤ λ j ..., lim λ j = +∞, j→∞ a (w ɶ j , v) = λ j w ɶ j , v , ∀v ∈ V, ∀j = 1, 2... Hơn nữa, dãy w { ɶ j / λj } cũng là một cơ sở trực chuẩn của V ñối với tích vô hướng a(.,.) Chứng minh bổ ñề này có thể tìm thấy trong [15: p.87, ðịnh lý 7.7]. Ta cũng dùng bổ ñề ñánh giá sau ñây mà chứng minh không khó khăn. Bổ ñề 1.5. Cho dãy {ψ m } thỏa mãn ψ(0) = 0, 0 ≤ ψ m ≤ σψ m−1 + δ, m = 1,2,... trong ñó 0 ≤ σ < 1, δ ≥ 0 là các hằng số cho trước. Khi ñó δ ψm ≤ , ∀m ≥ 1. 1− σ
10 Chương 2: THUẬT GIẢI LẶP CẤP MỘT 2.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trị biên và giá trị ñầu sau: u tt − µ(t)u xx + λu t = f (x, t,u), x ∈ Ω, 0 < t < T, (2.1) u x (0, t) − h 0 u(0, t) = u x (1, t) + h1u(1, t) = 0, (2.2) u(x,0) = u 0 (x), u t (x,0) = u1 (x), (2.3) trong ñó λ, h 0 , h1 là các hằng số không âm cho trước; u 0 , u1 , µ và số hạng phi tuyến f cũng là hàm cho trước thỏa mãn một số ñiều kiện mà ta chỉ ra sau. Trong chương này chúng tôi trình bày thuật giải lặp ñơn: uɺɺ m − µ(t)∆u m + λuɺ m = f (x, t, u m−1 ), x ∈ Ω, 0 < t < T, (2.4) ∇u m (0, t) − h 0 u m (0, t) = ∇u m (1, t) + h1u m (1, t) = 0, (2.5) u m (x,0) = u 0 (x), uɺ m (x,0) = u1 (x), (2.6) u 0 là bước lặp ban ñầu cho trước nằm trong một không gian hàm thích hợp. Trong phần một, chúng tôi thiết lập sự tồn tại của dãy lặp {u m } bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Phần hai ñề cập ñến sự hội tụ của dãy lặp {u m } về nghiệm yếu của bài toán (2.1) - (2.3). 2.2 Thuật giải xấp xỉ tuyến tính Ta thành lập các giả thiết sau: (A1) u 0 ∈ H 2 (0,1), u1 ∈ H1 (0,1), (A2) f ∈ C1 ([0,1]×[0, ∞)×ℝ), (A3) µ ∈ C1 ( ℝ + ), µ(t) ≥ µ 0 > 0, (A4) λ, h 0 , h1 ≥ 0, h 0 + h1 > 0.
11 Trên H1 ta sử dụng một chuẩn tương ñương sau: 1  1 2  2 v 1 =  v (0) + ∫ v / (x) dx  . 2  0  Trong chương này, ta sử dụng dạng song tuyến tính trên H1 như sau: 1 a(u, v) = ∫ u x (x)v x (x)dx + h 0 u(0)v(0) 0 +h1u(1)v(1), ∀u, v ∈ H1. (2.7) Ta có các bổ ñề sau: Bổ ñề 2.1. Phép nhúng H 1 ֓ C 0 ( Ω ) là compact và v C 0 (Ω) ≤ 2 v 1 , ∀v ∈ H 1 . Bổ ñề 2.2. Với giả thiết (A4), dạng song tuyến tính ñối xứng xác ñịnh bởi (2.7) liên tục trên H1×H1 và cưỡng bức trên H1, tức là: i) a(u, v) ≤ C1 u 1 v 1 , ∀u, v ∈ H1 , 2 ii) a(v, v) ≥ C0 v 1 , ∀v ∈ H1 , trong ñó C0 = min(1,h 0 ), C1 = max(1, h 0 , 2h1 ). Chứng minh 1 1 1 2  1 2  2 2 2   2 2 2  i) a(u, v) ≤  ∫ u x dx + h 0 u (0) + h1u (1)  ∫ v x dx + h 0 v (0) + h1v (1)  0   0  1 1 1 2  1 2  2 2  ≤  ∫ u x dx + h 0 u (0) + 2h1 u 1  ∫ v x dx + h 0 v (0) + 2h1 v 1   2 2  0   0  ðặt C1 = max{1, h0, 2h1}, ta có: a(u, v) ≤ C1 u 1 v 1 , ∀u, v ∈ H1.
12 1 ii) a(u,u) = ∫ u 2x (x)dx + h 0u 2 (0) + h1u 2 (1) 0 1 ≥ ∫ u 2x (x)dx + h 0 u 2 (0), ∀u ∈ H1. 0 2 ðặt C0 = min{1, h0}, ta có a(u,u) ≥ C0 u 1 , ∀u ∈ H1. Bổ ñề 2.3. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn {w j } của L2 gồm các hàm riêng w j ứng với trị riêng λ j sao cho 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λ j ≤ ..., lim λ j = +∞, (2.8) j→+∞ a( w j , v) = λ j w j , v , ∀v ∈ H 1 , j = 1, 2,... (2.9) { Hơn nữa dãy w j / λ j } cũng là cơ sở trực chuẩn của H 1 tương ứng với tích vô hướng a(. , .). Mặt khác, chúng ta cũng có hàm w j thỏa mãn bài toán giá trị biên sau: −∆w j = λ j w j trong Ω, (2.10) w jx (0) − h0 w j (0) = w jx (1) + h1 w j (1) = 0, (2.11) w j ∈ C ∞ (Ω). (2.12) Bổ ñề 2.3 ñược chứng minh bằng cách áp dụng bổ ñề 1.4, chương 1, với V = H1, H = L2 và a (.,.) ñược cho bởi (2.7). Với M > 0, T > 0, ta ñặt K 0 = K 0 (M,T,f ) = sup f (x, t,u) , (2.13) K1 = K1 (M,T,f ) = sup ( f x/ + f t/ + f u/ ) (x, t,u), (2.14) sup trong (2.13), (2.14) ñược lấy trên miền 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T, u ≤ 2M. (2.15)
13 Với mỗi M > 0, T > 0, ta ñặt: W(M,T) = {v ∈ L∞ (0,T;H 2 ) : v t ∈ L∞ (0,T;H1 ), v tt ∈ L2 (QT ), (2.16) v L∞ (0,T;H 2 ) ≤ M, v t L∞ (0,T;H1 ) ≤ M, v tt L2 (QT ) } ≤M W1 (M,T) = {v ∈ W(M,T) : v tt ∈ L∞ (0,T;L2 )}. (2.17) Trong phần này, với sự lựa chọn M, T thích hợp, ta xây dựng một dãy {u m } trong W1(M,T) bằng quy nạp và chứng minh nó hội tụ về nghiệm của bài toán (2.1) - (2.3). Chọn số hạng ban ñầu u0 ∈ W1 (M,T) . Giả sử rằng u m−1 ∈ W1 (M,T). (2.18) Ta liên kết bài toán (2.1) – (2.3) với bài toán biến phân tuyến tính sau: Tìm hàm um ∈ W1 (M,T) thỏa bài toán uɺɺ m , v + µ (t)a(u m , v) + λ uɺ m , v = Fm , v , ∀v ∈ H1 , (2.19) u m (0) = u 0 , uɺ m (0) = u1 , (2.20) trong ñó Fm (x, t) = f (x, t,u m−1 (x, t)). (2.21) Sự tồn tại của um cho bởi ñịnh lý sau ñây: ðịnh lý 2.1. Giả sử (A1) – (A4) ñúng. Khi ñó tồn tại các hằng số M, T > 0 sao cho ñối với mọi u0 ∈ W1 (M,T) cho trước, tồn tại dãy quy nạp tuyến tính {u m } ⊂ W1 (M,T) xác ñịnh bởi (2.19) – (2.21). Chứng minh. Gồm các bước dưới ñây: Bước 1: Xấp xỉ Galerkin. Gọi {w j } là cơ sở trực chuẩn của H1 như ( ) trong bổ ñề (2.3) w j = w j / λ j . Dùng phương pháp Galerkin ñể xây dựng nghiệm xấp xỉ u (k ) m (t) của (2.19) – (2.20) theo dạng
14 k u (t) = ∑ c(k) (k) m mj (t)w j , (2.22) j=1 trong ñó c(k) mj (t) thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính sau: uɺɺ (k ) (k) ɺ (k) m (t), w j + µ(t)a(u m (t), w j ) + λ u m (t), w j (2.23) = Fm (t), w j , 1 ≤ j ≤ k, u (k ) ɺ (k ) m (0) = u 0k , u m (0) = u1k , (2.24) trong ñó k u 0k = ∑ α(k) 2 mj w j → u 0 mạnh trong H , (2.25) j=1 k u1k = ∑ β (k) 1 mj w j → u1 mạnh trong H , (2.26) j=1 và Fm(t) = Fm(x,t) = f(x,t,um-1). Hệ (2.19) – (2.20) có thể viết thành dạng khác như sau: ɺɺc(k) (k) ɺ (k) mj (t) + µ(t)λ jc mj (t) + λc mj (t) 1 = 2 Fm (t), w j ,1 ≤ j ≤ k, (2.27) wj c(k) (k) ɺ (k) (k) mj (0) = α mj , c mj (0) = β mj . (2.28) Từ (2.27) ta suy ra: t r 1 (k) c (t) = α mj (k) mj + t (β (k) mj + λα (k) mj )+ 2 ∫ dr ∫ Fm (s), w j ds wj 0 0 (2.29) t t r − λ ∫ c(k mj (s)ds − λ j ∫ dr ∫ µ(s)c mj (s)ds, 1 ≤ j ≤ k. ) (k ) 0 0 0 Bổ ñề 2.4. Giả sử u m−1 thỏa (2.18). Khi ñó hệ (2.26) – (2.27) có duy nhất nghiệm u (k )  (k)  m (t) trên một khoảng  0,Tm  ⊂ [ 0,T ] .
15 Chứng minh. Bỏ qua chỉ số m, k trong các cách viết, ta viết c j (t), α j , β j lần lượt thay cho c(k) (k ) (k) mj (t), α mj , β mj . Ta viết lại (2.29) thành phương trình ñiểm bất ñộng c(t) = H[c](t), (2.30) trong ñó c = (c1 ,...,c k ), H[c] = (H1[c],...,H k [c]), t t r H j[c](t) = γ j (t) − λ ∫ c j (s)ds − λ j ∫ dr ∫ µ(s)c j (s)ds, 0 0 0 t r 1 γ j (t) = α j + t (β j + λα j ) + 2 ∫ dr ∫ Fm (s), w j ds, 1 ≤ j ≤ k. wj 0 0 Với mỗi Tm(k) ∈ (0,T] và ρ > 0 (sẽ chọn sau), ta ñặt X = C0 (  0,Tm(k)  ; ℝ k ), S = {c ∈ X : c X ≤ ρ} , ở ñây ta dùng chuẩn trong X như sau: k c X = sup c(t) 1 , c(t) 1 = ∑ c j (t) , c ∈ X. 0≤t≤Tm( k ) j=1 Rõ ràng S là tập ñóng, khác rỗng và toán tử H : X → X. Ta chứng minh tồn tại ρ > 0 và Tm(k) > 0 sao cho: i) H biến tập S thành chính nó. ii) Tồn tại n ∈ ℕ sao cho H n ≡ H(H n−1 ) :S → S là ánh xạ co. Thật vậy: k i) Với mọi c = (c1 ,...,ck ) ∈ S, ta có cX ≤ ρ và H[c](t) 1 = ∑ H j[c](t) . j=1 t t r i H j[c](t) ≤ γ j (t) + λ ∫ c j (s) ds + λ k µ ∞ ∫ dr ∫ c j (s)ds. 0 0 0
16 Suy ra: t t r i H[c](t) 1 ≤ γ(t) 1 + λ ∫ c(s) 1 ds + λ k µ ∞ ∫ dr ∫ c(s) 1 ds 0 0 0 1  ≤ γ T + σ k  t 2 + t  c X , (2.31)  2  trong ñó γ T = sup γ(t) 1 , µ ∞ = sup µ(t) , 0≤t≤T 0≤t≤T σ k = σ(k,T, λ,µ) = λ + λ k µ ∞ . 1 Chọn ρ > 2 γ T và Tm(k) ∈ (0,T] sao cho 0 < Tm(k ) ≤−1 + 1 + . σk Từ (2.31), ta suy ra: ρ  1  H[c] X ≤ + σ k Tm(k ) + σ k (Tm(k ) ) 2 ρ ≤ ρ, ∀c ∈ S. 2  2  Vậy toán tử H biến tập S thành chính nó. ii) Sau ñây bằng quy nạp ta sẽ chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ, với mọi c, d ∈ S , với mọi t ∈  0,Tm(k )  , ta có H n [c](t) − H n [d](t) 1 n  C0n t n C1 n−1 t C n−1 t C n ≤ (σ k t ) c − d X  + n + ... + n + n (2.32)  (2n)! (2n −1)! (n + 1)! n!   trong ñó σ k = λ + λ k µ ∞ , µ ∞ = sup µ(t) . 0≤t≤T Thật vậy: • Với n = 1, ∀j = 1,2,...,k, ∀t ∈  0,Tm(k)  , ta có H[c](t) − H[d](t) 1
17 k  t t r  ≤ ∑  λ ∫ c j (s) − d j (s) ds + λ k µ ∞ ∫ dr ∫ c j (s) − d j (s) ds j=1  0 0 0  t r k t k ≤ σ k ∫ dr ∫ ∑( c j (s) − d j (s) )ds + σ k ∫ j=1 ∑( c (s) − d (s) )ds j=1 j j 0 0 0 t t t ≤ σ k ∫ dr ∫ ( c(s) − d(s) 1 ) ds + σ k ∫ ( c(s) − d(s) 1 ) ds 0 0 0  t2   C10 t C11  ≤ σ k c − d X  + t  = (σ k t)   +  c − d X . (2.33)  2   2! 1!  Vậy (2.32) ñúng với n = 1. • Giả sử (2.32) ñúng với mọi n ≥1. Ta chứng minh: ∀c, d ∈ S, ∀t ∈ [0,Tm(k) ] H n+1[c](t) − H n+1[d](t) 1 n +1  C0 t n+1 C1 t n Cn t Cn+1  ≤ (σ k t ) c − d X  n+1 + n+1 +... + n+1 + n+1  . (2.34)  (2n + 2)! (2n + 1)! (n + 2)! (n + 1)!  Thật vậy H n+1[c](t) − H n+1[d](t) = H (H n [c])(t) − H (H n [d])(t) 1 1 t r t ( ) ≤ σ k ∫ dr ∫ H [c](t) − H [d](t) ds + σ k ∫ H n [c](t) − H n [d](t) ds n n 1 ( 1 ) 0 0 0 t r  C0 s 2n C1 s 2n−1 Cn−1s n+1 Cnns n  ≤σ n +1 c−d ∫ dr ∫  n + n + ... + n + ds k X  (2n)! (2n −1)! (n + 1)! n!  0 0   t  C0n s 2n C1n s 2n−1 Cnn−1s n+1 C nn s n  ∫  n +1 +σ c−d + + ... + + ds k X  (2n)! (2n − 1)! (n + 1)! n!  0   C0n t 2n+2 C1n t 2n+1 Cnn−1t n+3 Cnn t n+2  ≤σ n +1 c−d X  + + ... + +  k  (2n + 2)! (2n + 1)! (n + 3)! (n + 2)!  
18  C0n t 2n+1 C1n t 2n Cnn−1t n+2 Cnn t n+1  +σ n +1 c−d X  + + ... + +  k  (2n + 1)! (2n)! (n + 2)! (n + 1)!    C0n+1t 2n+2 C1n+1t 2n+1 Cnn+1t n+2 Cnn++11t n+1  ≤σ n +1 c−d X  + + ... + + k  (2n + 2)! (2n + 1)! (n + 2)! (n + 1)!    C0n+1t n+1 C1n+1t n Cnn+1t Cnn++11  ≤ (σ k t) n +1 c−d X  + + ... + + .  (2n + 2)! (2n + 1)! (n + 2)! (n + 1)!  Vậy (2.32) ñúng với mọi n ∈ ℕ, ∀t ∈  0,Tm(k )  Từ (2.32) ta suy ra rằng: H n [c] − H n [d] = sup X 0≤t≤Tm( k ) ( H [c](t) − H [d](t) ) n n 1  C0n (Tm(k) ) n C1n (Tm(k) ) n−1 Cnn−1Tm(k) Cnn  ≤ (σ k Tm(k) ) c − d n  + + ... + +  X  n! n! n! n!  [σ k Tm(k) (Tm(k) + 1)]n ≤ c−d X n! [σ k T(T + 1)]n ≤ c−d X. (2.35) n! [σ k T(T + 1)]n [σ k T(T + 1)]n 0 Mà lim = 0 nên tồn tại n0 ∈ Ν sao cho 0 ≤ < 1. n→+∞ n! n0 ! Tức là toán tử H n0 : S → S là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co H có ñiểm bất ñộng duy nhất trong S, tức là hệ (2.26) – (2.27) có duy nhất nghiệm u (k) (k) m (t) trên [0,Tm ] . Bổ ñề 2.4 ñược chứng minh xong. Các ñánh giá sau ñây cho phép ta lấy Tm(k) = T với mọi m và k. Bước 2: ðánh giá tiên nghiệm ðánh giá thứ nhất: Nhân (2.23) với cɺ (k) mj (t) và lấy tổng theo j ta ñược: uɺɺ (k ) ɺ (k) (k) ɺ (k) ɺ (k) ɺ (k) m (t),u m (t) + µ(t)a(u m (t), u m (t)) + λ u m (t),u m (t)