Luận văn Thạc sĩ: Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán ERDOS

Luận văn này là một nghiên cứu trong lĩnh vực hình học tổ hợp, tập trung vào bài toán Erdős về sự tồn tại của đa giác lồi rỗng. Cụ thể, luận văn trình bày chứng minh về sự tồn tại của lục giác lồi rỗng, xác định giới hạn trên cho E(6) là 463, dựa trên công trình của Koselev.

Luận văn này hướng đến các nhà nghiên cứu, sinh viên và học giả trong lĩnh vực toán học, đặc biệt là hình học tổ hợp và lý thuyết Ramsey, những người quan tâm đến bài toán Erdős và các vấn đề liên quan đến đa giác lồi rỗng.

Luận văn Thạc sĩ Toán học với tiêu đề "Về sự tồn tại lục giác lồi rỗng trong bài toán Erdős", được hoàn thành tại Đại học Thái Nguyên vào năm 2015, là một công trình chuyên sâu trong lĩnh vực hình học tổ hợp. Luận văn bắt đầu bằng việc giới thiệu tổng quan về giả thuyết Erdős-Szekeres từ năm 1935, liên quan đến sự tồn tại của đa giác lồi n-cạnh từ một tập hợp điểm cho trước. Trọng tâm chính của luận văn chuyển sang bài toán Erdős về đa giác lồi rỗng, được Erdős phát biểu vào năm 1978, nhằm tìm số nguyên dương tối thiểu E(n) để đảm bảo sự tồn tại của một đa giác lồi rỗng n-cạnh. Trong khi các trường hợp E(5)=10 và sự không tồn tại của E(n) với n>=7 đã được chứng minh, giá trị của E(6) vẫn là một vấn đề mở quan trọng. Luận văn này có mục đích chính là trình bày chi tiết chứng minh của B.A. Koselev (2008), người đã xác định giới hạn trên E(6)
463. Chứng minh này khẳng định rằng bất kỳ tập hợp nào chứa ít nhất 463 điểm ở vị trí tổng quát trên mặt phẳng đều phải chứa một lục giác lồi rỗng. Cấu trúc luận văn bao gồm hai chương chính: Chương 1 cung cấp cái nhìn tổng quan toàn diện về bài toán Erdős về đa giác lồi rỗng, lịch sử phát triển và các kết quả nghiên cứu liên quan. Chương 2 đi sâu vào các bước chứng minh công thức E(6)
463 của Koselev, bao gồm việc phân tích các cấu hình điểm phức tạp và áp dụng các nguyên lý hình học để chứng minh sự tồn tại của lục giác lồi rỗng trong các trường hợp khác nhau (ví dụ: các cấu hình dạng (8,1,0), (8,3,1), (8,6,5) và các trường hợp đặc biệt). Chứng minh của Koselev được đánh giá là rất tỉ mỉ, công phu, góp phần quan trọng vào việc giải quyết một phần của bài toán Erdős cổ điển.