Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Độ dẫn điện của hợp kim hai thành phần với vùng dẫn hẹp ở gần đúng thế kết hợp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sử dụng gần đúng thế phương pháp gần đúng thế kết hợp CPA tác giả đã tính được mật độ trạng thái và độ dẫn điện của hợp kim hai thành phần với vùng dẫn hẹp. Từ đó giải các phương trình tìm nghiệm cho hàm Green để vẽ đồ thị độ dẫn điện của hợp kim hai thành phần với vùng dẫn hẹp. Kết quả tìm được so sánh với kết quả tính theo công thức cổ điển Drude.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Vật lý: Độ dẫn điện của hợp kim hai thành phần với vùng dẫn hẹp ở gần đúng thế kết hợp

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Họ và tên tác giả luận văn : Nguyễn Phong Cầm ĐỘ DẪN ĐIỆN CỦA HỢP KIM HAI THÀNH PHẦN VỚI VÙNG DẪN HẸP Ở GẦN ĐÚNG THẾ KẾT HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ: KHOA HỌC VẬT LÝ Hà Nội - 2019
BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Họ và tên tác giả luận văn : Nguyễn Phong Cầm ĐỘ DẪN ĐIỆN CỦA HỢP KIM HAI THÀNH PHẦN VỚI VÙNG DẪN HẸP Ở GẦN ĐÚNG THẾ KẾT HỢP Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 8440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ: KHOA HỌC VẬT LÝ NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC :PGS TS HOÀNG ANH TUẤN Hà Nội - 2019
1 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn này là do sự tìm tòi, học hỏi của bản thân và đƣợc sự dẫn tận tình của Phó Giáo sƣ- Tiến sĩ : Hoàng Anh Tuấn. Mọi kết quả nghiên cứu cũng nhƣ các ý tƣởng của tác giả khác (nếu có) đều đƣợc trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này đến nay chƣa từng đƣợc bảo vệ tại bất cứ Hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chƣa hề đƣợc công bố trên bất kỳ phƣơng tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên. Hà Nội,ngày 09 tháng 4 năm2019 Người cam đoan Nguyễn Phong Cầm
2 Lời cảm ơn Trƣớc tiên cho phép tôi đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến PGS.TS Hoàng Anh Tuấn đã nhiệt tình hƣớng dẫn và luôn giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Ngay từ lúc mới bắt đầu làm luận văn tôi đã gặp rất nhiều khó khăn trong việc tính toán giải tích cũng nhƣ các kiến thức về vật lý. Khi thƣờng xuyên trao đổi với Thầy, tôi đã có thể lập trình và tính toán giải tích đƣợc những kết quả mong muốn. Để thu đƣợc kết quả trong luận văn này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô đã dạy tôi trong suốt quá trình học cao học tại viện Hàn lâm Khoa học và công nghệ Việt Nam. Các thầy cô đã giúp tôi bổ sung rất nhiều kiến thức mang tính bản chất về vật lý lý thuyết và vật lý toán. Tôi chân thành cảm ơn tới Học Viện Khoa học và Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và công nghệ Việt Nam đã tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi học tập cũng nhƣ hoàn thiện luận văn này. Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì thế tôi rất mong đƣợc góp ý của Quý thầy cô và các bạn để khóa luận đƣợc hoàn thiện hơn. Tôi xin trân trọng cảm ơn. Hà Nội, tháng 4 năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Phong Cầm
3 DANH MỤC HÌNH VẼ Nội dung Trang Hình 1.1 Bức tranh khái quát sơ đồ vùng năng lượng 7 Hình 1.2 Sơ đồ trúc cấu vùng năng lượng 8 Hình 1.3 Sơ đồ trúc cấu vùng năng lượng của Kim loại, bán dẫn 9 điện môi. Hình 1.4 Đồ thị E(k) của một điện tử hoàn toàn tự do 10 Hình 3.1 Hàm mật độ trạng thái theo năng lượng với U=1.2; 37   1.5 Hình 3.2 Độ dẫn tỉ đối  /  0 và độ dẫn Drude như là hàm của 39 U tại  = 0.5. Hình 3.3 Độ dẫn tỉ đối  /  0 và độ dẫn Drude như là hàm của 40 U tại  = 1.5. Hình 3.4 Hình 3.4: Độ dẫn tỉ đối  /  0 và độ dẫn Drude như là 41 hàm của  tại U = 0.5. Hình 3.5 Hình 3.5: Độ dẫn tỉ đối  /  0 và độ dẫn Drude như là 42 hàm của  tại U = 1.5. Hình 3.6 Hình 3.6: Sơ đồ chuyển pha kim loại và điện môi cho mô 43 hình Hubbard với mất trật tự chéo ở hệ lấp đầy một nửa.
4 MỤC LỤC Nội dung Trang Lời cam đoan.......................................................................................... 1 Lời cảm ơn.............................................................................................. 2 Danh mục hình vẽ................................................................................... 3 Mở đầu.................................................................................................... 5 Chƣơng 1: Lý thuyết vùng năng lƣợng và mô hình hubbard. ........ 7 1.1. Lý thuyết vùng năng lƣợng.............................................................. 7 1.1.1. Điện tử hoàn toàn tự do.......................................................... 9 1.1.2. Gần đúng điện tử gần tự do (đt – gtd) trong tinh thể……............ 10 1.2. Mô hình hubbard ............................................................................. 11 1.3. Độ dẫn điện của vật rắn. công thức drude................................... 14 Chƣơng 2: Hàm green và gần đúng thế kết hợp............................ 16 2.1. Hàm green.................................................................................... 16 2.1.1. Hàm tƣơng quan thời gian và hàm green...................................... 16 2.1.2. Mối liên hệ giữa hàm green và một số đại lƣợng vật lý................ 21 2.2. Phƣơng pháp gần đúng thế kết hợp CPA.....……...................... 22 Chƣơng 3: Độ dẫn điện ở hợp kim 2 thành phần với vùng dẫn 26 hẹp............................................................ .............................................. 3.1. Kết quả tính giải tích...................................................................... 26 3.2. Kết quả tính số và thảo luận............................................................ 37 3.2.1. Khảo sát độ dẫn tỉ đối  /  0 và độ dẫn drude phụ thuộc vào U 39 3.2.2. Khảo sát độ dẫn tỉ đối  /  0 và độ dẫn drude phụ thuộc vào  41 .. Kết luận............................................................................................ 44 Tài liệu tham khảo................................................................................ 45
5 MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây cấu trúc và tính chất của các hệ cô đặc không trật tự thu hút sự quan tâm của nhiều nhà vật lý cũng nhƣ nhiều nhà khoa học liên ngành. Lý do của nó, một mặt, xuất phát từ những thành tựu của vật lý chất rắn và các ứng dụng của nó. Mặt khác, chính hệ không trật tự (tinh thể có tạp chất, kim loại lỏng, chất vô định hình...) mới là hệ tổng quát, còn các kiểu cấu trúc trật tự của mạng tinh thể hoàn hảo là các đối tƣợng đƣợc lý tƣởng hóa. Tuy nhiên, cho đến nay lý thuyết của các hệ cô đặc trật tự một cách căn bản đang sử dụng tính lý tƣởng của các cấu trúc mạng, và do vậy nó cần một sự thay đổi đáng kể khi chuyển sang hệ không trật tự. Một trong những kiểu mất trật tự hay gặp nhất đó là mất trật tự thay thế xảy ra ở hợp kim hai thành phần. Khi điều này xảy ra thì công thức tính độ dẫn Drude áp dụng cho kim loại có thay đổi hay không, và nếu có thì nó thay đổi nhƣ thế nào? Điều gì sẽ xảy ra với độ dẫn nếu hợp kim có các vùng dẫn hẹp, tức là khi ta phải tính tới tƣơng tác Coulomb của 2 điện tử trên cùng môt nút mạng? Những câu hỏi này chỉ có thể giải quyết đƣợc khi nắm vững kiến thức chuyên ngành, cùng khả năng tìm hiểu và nghiên cứu sâu vấn đề đặt ra. Trong luận văn này tôi tìm hiểu về hệ không trật tự và tính độ dẫn điện của hợp kim hai thành phần với vùng dẫn hẹp bắt đầu từ lý thuyết vùng năng lƣợng (một lý thuyết rất thành công để phân loại các chất kim loại, bán kim loại, điện môi) thì tƣơng tác giữa các điện tử không đƣợc xem xét mà thay vào đó là tƣơng tác của một điện tử với các ion hay với các điện tử khác đã đƣợc trung bình hóa. Nói cách khác, lý thuyết vùng năng lƣợng đã gần đúng bài toán nhiều hạt về bài toán 1 hạt hiệu dụng. Việc xét tới tƣơng tác giữa các điện tử là hết sức cần thiết khi nghiên cứu hệ điện tử tƣơng quan mạnh. Mô hình Hubbard đã khắc phục đƣợc nhƣợc điểm đó bằng việc tính tới tƣơng tác giữa các điện tử. Nhƣng để đơn giản, chỉ xét điện tử trên cùng orbital của một nguyên tử tƣơng tác với nhau. Theo nguyên lý loại trừ Pauli, hai điện tử này phải có spin ngƣợc chiều.Mặc dù rất đơn giản nhƣng mô hình Hubbard mới chỉ giải đƣợc chính xác cho trƣờng hợp một chiều bằng việc sử dụng phép thử Bethe . Vì vậy bài toán tìm độ dẫn điện cho hợp kim hai thành phần với vùng dẫn hẹp tôi đã sử dụng phƣơng pháp Hàm Green và phƣơng pháp gần đúng thế kết hợp CPA áp dụng cho hệ trật tự có cấu trúc ngẫu nhiên. Phƣơng pháp gần đúng thế kết hợp CPA đƣợc cho là hiệu quả vì nó khá đơn giản về mặt toán học rõ ràng về mặt vật lý và có thể áp dụng cho các bài toán nhất là hệ bất trật tự.
6 Sử dụng gần đúng thế phƣơng pháp gần đúng thế kết hợp CPA tôi đã tính đƣợc mật độ trạng thái và độ dẫn điện của hợp kim hai thành phần với vùng dẫn hẹp. Từ đó giải các phƣơng trình tìm nghiệm cho hàm Green để vẽ đồ thị độ dẫn điện của hợp kim hai thành phần với vùng dẫn hẹp. Kết quả tìm đƣợc so sánh với kết quả tính theo công thức cổ điển Drude. Đề tài luận văn của tôi với tên gọi “Độ dẫn điện của hợp kim hai thành phần với vùng dẫn hẹp ở gần đúng thế kết hợp” với bố cục gồm ba chƣơng (không kể mở đầu và kết luận) cụ thể nhƣ sau: Chƣơng 1: Lý thuyết vùng năng lƣợng và mô hình Hubbard. 1.1. Lý thuyết vùng năng lƣợng 1.2. Mô hình Hubbard. 1.3. Độ dẫn điện của vật rắn. Gần đúng Drude. Chƣơng 2: Hàm Green và gần đúng thế kết hợp 2.1. Hàm Green 2.2. Gần đúng thế kết hợp Chƣơng 3: Độ dẫn điện ở hợp kim 2 thành phần với vùng dẫn hẹp 3.1. Kết quả tính giải tích 3.2. Kết quả tính số và thảo luận.
7 CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƢỢNG VÀ MÔ HÌNH HUBBARD. 1.1.LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƢỢNG. Trong tinh thể electron chuyển động không hoàn toàn tự do vì các ion dƣơng sắp xếp một cách tuần hoàn, đều đặn. Nhƣ vậy, electron khi bứt khỏi nguyên tử sẽ chuyển động trong trƣờng thế tuần hoàn của các ion dƣơng. Để xác định trạng và phổ năng lƣợng của electron trong trƣờng thế tuần hoàn của mạng tinh thể ta phải giải phƣơng trình Schrodinger: ^ H  k (r )  E k (r )  2     2  V (r )  k (r )  E k (r ),  2m  với V (r )  V (r  R) là thế năng trƣờng tuần hoàn. Khi giải bài toán này cho ta một bức tranh khái quát về sơ đồ vùng năng lƣợng: gồm các vùng năng lƣợng đƣợc phép và ngăn cách giữa các vùng năng lƣợng đƣợc phép là các vùng năng lƣợng cấm. Bức tranh vùng năng lƣợng này có tính tuần hoàn [1]. Đối với các elelctron hóa trị liên kết yếu với các nguyên tử ở nút mạng, thế năng tuần hoàn của mạng tác động lên electron ta xem nhƣ là một nhiễu loạn. Với phép gần đúng điện Vùng đƣợc phép tử liên kết yếu, sự tạo thành các vùng năng lƣợng liên quan đến sự phản xạ Bragg của sóng điện tử tại biên các Vùng cấm vùng Brillouin. Vùng năng lƣợng đó liên tục khi nó nằm trong một vùng và gián đoạn tại biên vùng. Vùng đƣợc phép Đối với electron nằm sâu trong các lớp bên trong của vỏ nguyên tử, Hình 1.1: Bức tranh khái quát sơ đồ vùng liên kết của electron với nguyên tử năng lượng mạnh, nó không thể nào bức ra khỏi nguyên tử. Với phép gần đúng điện tử liên kết mạnh, các vùng năng lƣợng đƣợc tạo thành do sự tách các mức năng lƣợng nguyên tử gây bởi tƣơng tác giữa các nguyên tử. Đối với tinh thể có kích thƣớc hữu hạn chứa N nguyên tử thì mỗi vùng có N mức con, khoảng cách giữa các mức con tỉ lệ nghịch với số nguyên tử
8 trong tinh thể. Khi năng lƣợng tăng thì bề rộng của vùng cho phép tăng nhƣng bề rộng của vùng cấm giảm. Các electron làm đầy các mức năng lƣợng trong các vùng cho phép tuân theo nguyên lý Pauli và nguyên lý năng lƣợng cực tiểu. Số electron trong tinh thể hữu hạn nên electron làm đầy các vùng từ thấp lên cao. Vùng năng lƣợng đƣợc phép phía trên cùng đƣợc làm đầy hoàn toàn gọi là vùng hóa trị. Vùng năng lƣợng đƣợc phép phía trên cùng trống hoàn toàn hoặc đƣợc lấp đầy một phần thì gọi là vùng dẫn. Ngăn cách giữa vùng dẫn và vùng hóa trị là vùng cấm. Có N vùng năng lƣợng đƣợc phép, ngăn cách giữa các vùng năng lƣợng cấm. Nhƣng chung quy lại ta rút gọn về 3 vùng: Các mức chƣa lấp đầy Vùng dẫn Năng Vùng trống lƣợng năng lƣợng Các mức đã lấp đầy Vùng hóa trị Hình 1. 2: Sơ đồ cấu trúc vùng năng lượng  Vùng hóa trị: là vùng có năng lƣợng thấp nhất theo thang năng lƣợng, là vùng mà điện tử bị liên kết mạnh với nguyên tử và không linh động.  Vùng dẫn: vùng có mức năng lƣợng cao nhất, là vùng mà điện tử sẽ linh động (nhƣ các điện tử tự do) và điện tử ở vùng này sẽ là điện tử dẫn, có nghĩa là chất sẽ có khả năng dẫn điện khi có điện tử tồn tại trên vùng dẫn. Tính dẫn điện tăng khi mật độ điện tử trên vùng dẫn tăng.  Vùng cấm: là vùng nằm giữa vùng hóa trị và vùng dẫn, không có mức năng lƣợng nào do đó điện tử không thể tồn tại trên vùng cấm. Khoảng cách giữa đáy vùng dẫn và đỉnh vùng hóa trị gọi là độ rộng vùng cấm, hay năng
9 lƣợng vùng cấm. Tùy theo độ rộng vùng cấm lớn hay nhỏ mà chất có thể là dẫn điện hoặc không dẫn điện. Theo lý thuyết vùng năng lƣợng của vật rắn ta có thể lý giải một cách đơn giản cấu trúc vùng năng lƣợng và tính chất dẫn điện của kim loại, chất bán dẫn, điện môi nhƣ sau:  Kim loại: Có vùng dẫn và vùng hóa trị phủ lên nhau không có vùng cấm ngăn các giữa hai miền này (Hình c). Do đó luôn luôn có điện tử trên vùng dẫn, điện tử ở miền hóa trị sẵn sàng di chuyển dƣới tác dụng của điện trƣờng ngoài, ngay khi cả điện trƣờng ngoài yếu, để tham gia vào việc dẫn điện.  Điện môi (chất cách điện): Vùng cấm có độ rộng lớn (4eV ÷ 10 eV) (hình a). Do đó các điện tử ở miền hóa trị không thể nhảy mức lên vùng dẫn. Chất cách điện hoàn toàn không dẫn điện dƣới tác dụng của điện trƣờng ngoài.  Chất bán dẫn: Vùng dẫn trống hoàn toàn, electron muốn tham gia vào quá trình dẫn điện thì phải chuyển từ vùng dẫn lên vùng hóa trị thông qua vùng cấm. Chất bán dẫn có vùng cấm có một độ rộng xác định khoảng 0  Eg  2eV  3eV (hình b) Vùng dẫn Vùng dẫn Vùng cấm Eg Vùng hóa trị Vùng hóa trị a) b) c) Hình 1.3: Sơ đồ cấu trúc vùng năng lượng: a) điện môi; b) bán dẫn ; c) kim loại Bây giờ ta sẽ phân tích các nhận định trên đây sâu hơn, kèm theo minh họa bằng toán học đơn giản. 1.1.1. Điện tử hoàn toàn tự do Khi điện tử hoàn toàn tự do, nếu ta coi nó là hạt thì nó chuyển động với vận tốc cố định (v = const), còn coi nó là sóng thì nó có véc tơ sóng k cố định
10 (k = const). Hơn nữa trong trƣờng hợp này năng lƣợng của điện tử chỉ thuần là động năng do đó quan hệ giữa năng lƣợng và xung lƣợng của điện tử có dạng: mv 2 p 2 2 k2 Hạt: E   p 2  Sóng - hạt: E  k2 2 2m 2m Có một điều cần chú ý là trong tinh thể không phải chỉ có một loại điện tử mà có nhiều loại điện tử, mỗi loại điện tử chuyển động một vận tốc (hoặc một véc tơ sóng) cố định của riêng mình, vì thế ta có đồ thị hình 1.4 Hình 1. 4: Đồ thị E(k) của một điện tử hoàn toàn tự do. 1.1.2. Gần đúng điện tử gần tự do (đt – gtd) trong tinh thể Năng lƣợng của điện tử gần tự do bằng tổng động năng và thế năng. E=K+U Nếu nhƣ điện tử không có phản xạ Bragg thì năng lƣợng của nó là: E=K Ngƣợc lại, nếu nhƣ điện tử có phản xạ Bragg thì năng lƣợng của nó bằng thế năng: E=U Đối với trƣờng hợp điện tử trong tinh thể thì có thể xét thấy rằng không phải có một mà là hai vị trí điện tử có thể nằm ở đó khi nó bị cố định:
11 - Hố thế năng: đƣợc sinh ra bởi ion dƣơng trong mạng tinh thể .Thế năng này là thế năng hút đối với điện tử. Các hố thế năng sắp xếp tuần hoàn do tính tuần hoàn của mạng tinh thể. Điện tử nằm trong hố thế năng sẽ không dịch chuyển đƣợc, lúc đó ngƣời ta gọi điện tử trong hố thế năng là điện tử định xứ. - Có hai vị trí của điện tử định xứ: +) Điện tử định xứ tại các nút mạng - trạng thái cơ bản ứng với thế năng U1. +) Điện tử định xứ tại điểm giữa các nút mạng – trạng thái kích thích ứng với thế năng U2. Nhƣ vậy, không có các điện tử có năng lƣợng nằm trong khoảng E  U 2  U1 Khoảng năng lƣợng E  Eg gọi là khe năng lƣợng hay vùng cấm. 1.2. MÔ HÌNH HUBBARD. Mô hình Hubbard đƣợc tìm ra trên cơ sở gần đúng liên kết chặt (tight- binding approximation) của điện tử trong vật rắn. Trong gần đúng liên kết chặt, điện tử đƣợc xem nhƣ xác định trên các orbital nguyên tử. Các orbital này có thể xen phủ lẫn nhau và vì vậy các điện tử có thể nhảy nút giữa các nguyên tử trong vật rắn. Về mặt vật lý, những điện tử này tạo ra một dải năng lƣợng trong vật liệu do xen phủ giữa các orbital. Độ rộng của dải phụ thuộc vào mức độ xen phủ. Trong lý thuyết vùng năng lƣợng (một lý thuyết rất thành công để phân loại các chất kim loại, bán kim loại, điện môi) thì tƣơng tác giữa các điện tử không đƣợc xem xét mà thay vào đó là tƣơng tác của một điện tử với các ion hay với các điện tử khác đã đƣợc trung bình hóa. Nói cách khác, lý thuyết vùng năng lƣợng đã gần đúng bài toán nhiều hạt về bài toán 1 hạt hiệu dụng. Trong trƣờng hợp điện môi Mott thì theo lý thuyết vùng năng lƣợng kết quả không còn phù hợp Chính vì vậy, việc mô tả bản chất của điện tử trong vật rắn khi có tƣơng quan mạnh giữa các điện tử sẽ không còn hợp lý. Hay nói cách khác việc xét tới tƣơng tác giữa các điện tử là hết sức cần thiết khi nghiên cứu hệ điện tử tƣơng quan mạnh. Mô hình Hubbard đã khắc phục đƣợc nhƣợc điểm đó bằng việc tính tới tƣơng tác giữa các điện tử. Trong trƣờng hợp số chiều của hệ lớn hơn 1, thì ngƣời ta thƣờng sử dụng các phƣơng pháp gần đúng để nghiên cứu mô hình Hubbard nhƣ: gần đúng biến phân, gần đúng Hubbard I... Đặc biệt, khi số chiều là vô hạn, phƣơng pháp trƣờng trung bình động cho kết quả chính xác và thể hiện là một phƣơng pháp thành công khi nghiên cứu mô hình
12 Hubbard với việc chỉ ra bản chất chuyển pha kim loại điện môi Mott. Lý thuyết trƣờng trung bình động có thể coi nhƣ cho kết quả gần đúng trong trƣờng hợp 2 hoặc 3 chiều [2]. Xét vùng năng lƣợng hẹp lấp đầy một phần chứa n electron trong nguyên tử. Hamiltonian Hubbard có dạng: 1 1 ' '   H     k ck ck    k1k2 k1k2 ck11 ck2 2 ck2 2 ck11 k 2 k1k1' ,k2k2' 1 2 r12 (1 .1)  1 1     2 kk ' kk '  kk ' kk ' k ck ck  k ,k '   r12 r12   Trong đó ψ k là hàm sóng Bloch tƣơng ứng với năng lƣợng εk; k là † véctơ sóng đƣợc lấy trên toàn miền Brillouin thứ nhất; ck , ck , là toán tử sinh, hủy electron trong trạng thái Bloch (k,ζ); ν k là số trạng thái bị chiếm (giả thiết số trạng thái có spin up và down bằng nhau); ở đây: 1  k*1 ( x) k '1 ( x) k*2 ( x) k '2 ( x)dxdx ' k1k2 k '1 k '2  e  2 (1.2) r x  x' là thế tƣơng tác tĩnh điện giữa hai electron ở vị trí x và x’. Trong phƣơng trình (1.1) số hạng thứ nhất là động năng của electron, số hạng thứ hai là năng lƣợng tƣơng tác giữa các electron, số hạng thứ ba mô tả thế năng của electron trong trƣờng Hartree - Fock tạo ra do chính các electron trong cùng lớp, số hạng này đƣợc trừ bớt để tránh việc tính tƣơng tác hai lần. Thay vì làm việc với hàm Bloch trong không gian, để tiện hơn, làm việc với hàm Wannier, tập trung gần các nguyên tử. 1  ( x)  N  k k ( x) (1.3) Trong đó N là số nguyên tử trong mạng. Thực hiện biến đổi Fourier ta đƣợc 1  ( x)  N e k ikRi k ( x) (1.4) tổng đƣợc lấy trên tất cả các nút mạng R i. Đƣa vào toán tử sinh, hủy electron có spin ζ trong trạng thái  ( x  Ri ) là ci†, ci , thỏa mãn:
13  † 1  ck ,  N e i ikRi † c i ,  (1.5) c  1 e  ikRi ci ,  k , N i Và biến đổi ngƣợc  † 1  ci ,  N e i  ikRi † c k ,  (1.6) c  1 e ikRi ck ,  i , N i Thay phƣơng trình(1.5) vào phƣơng trình (1.1) ta đƣợc 1 1 H   Tij ci c j   ij kl ci c j cl ck ij  2 ijkl  ' r (1.7)  1 1     2 ij kl  ij lk  il ci ck ijkl   r r  1  e ik ( Ri  R j ) Trong đó : Tij  k (1.8) N i 1    r1  Ri   r1  Rk    r2  R j   r2  Rl  ij kl  e  2 dr1dr2 (1.9) r r1  r2 1 e ik ( Ri  R j ) vk  ij  (1.10) N i Do chỉ kể đến tƣơng tác trong vùng năng lƣợng hẹp, các hàm sóng của các nguyên tử khác nhau lại phủ nhau rất ít. Vì vậy nếu chỉ kể đến tƣơng tác giữa các electron trong một nút và chú ý trên một nút chỉ 1 có hai trạng thái với spin ζ và -ζ. Đặt U  ii ii  e2 khi đó r Hamiltonnian (1.7) trở thành: U H  Tijci†, c j ,  i , j , 2  c  c i, † i, † c c i  i  i ,  U ii ci†, ci , i ,
14 Suy ra: U H  Tijci†, c j ,  i , j , 2  n i, i  ni ,  U ii ci†, ci , (1.11) i , Mặt khác ở công thức (1.10) với chú ý nếu n là số electron trung bình trên một nút thì tổng số electron là nN và bằng 2  k nên ta có: 1  ii  N  k k (1.12) Thừa số thứ ba trong biểu thức Hamiltonnian khi đó là hằng số: U n   ni (1.13) 2 i 2 Do đó nếu chọn lại mốc năng lƣợng thích hợp có thể bỏ qua số hạng này trong Hamiltonian: U H   Tijci†, c j ,   ni ni, (1.14) i , j , 2 i , Nhƣ vậy Hamiltonian trong mô hình Hubbard đƣợc đặc trƣng bởi bốn tham số: • Tƣơng tác Coulomb trên một nút U. Nếu U lớn thì điện tử không thể từ nút này sang nút khác, nghĩa là số hạng thứ hai của Hamiltonian quyết định tính chất định xứ của điện tử. • Tích phân nhảy nút T ij quyết định tính chất linh động của điện tử, độ rộng của vùngcũng liên quan trực tiếp đến tích phân nhảy nút.  ni • Số lấp đầy n  i ; 0n2 N • Cấu trúc mạng tinh thế: Mô hình Hubbard là mô hình đơn giản phù hợp để nghiên cứu chuyển pha kim loại - điện môi của các vật liệu tinh thể. 1.3. ĐỘ DẪN ĐIỆN CỦA VẬT RẮN. CÔNG THỨC DRUDE. Trong vật lí chất rắn độ dẫn điện của vật liệu đƣợc quyết định bởi sự dịch chuyển có hƣớng của electron. Đó là một quá trình không cân bằng. Sự dịch chuyển này chịu ba ảnh hƣởng cơ bản là : 1) Trƣờng thế tạo ra bởi các ion
15 2) Tƣơng tác Coulomb giữa các electron 3) Tác dụng của trƣờng ngoài Trong hệ nhiều hạt ở xa trạng thái cân bằng nhiệt động, ví dụ nhƣ trong các chất bán dẫn kích thích quang, việc tính toán tính chất dịch chuyển rất phức tạp. Vì vậy trong giới hạn này ta chỉ đề cập đến tính dẫn ở gần trạng thái cân bằng nhiệt động hay với trƣờng ngoài yếu. Khi đó mật độ dòng jα(q,ω) và điện trƣờng ngoài Eβ (α,β = 1…D, D là số chiều của hệ) tuân theo định luật Ohm [3]. j (q, )    (q, ).E (q, ) (1.15)  Trong đó tensor độ dẫn điện ζαβ(q,ω) đƣợc suy ra từ hàm tƣơng quan cân bằng có thể giúp ta phân biệt sự khác nhau giữa kim loại và điện môi. Vậy trong trƣờng ngoài yếu và tại nhiệt độ T = 0, một chất sẽ là điện môi khi độ dẫn điện tĩnh bị triệt tiêu   DC (T  0)  lim lim lim Re  (q, )  0 (1.16) T  0  0 q  0 Trong trƣờng hợp kim loại có độ dẫn hữu hạn ta thƣờng thấy trạng thái Drude ở tần số nhỏ (kim loại Drude)  Re  (T  0,   0)  (D C )  , (1.17) (1  2  2 ) trong đó (DC)αβ là hằng số Drude, η là thời gian tán xạ trung bình của electron.  n  Trong lý thuyết Drude đơn giản ta có (DC)αβ = e 2  *   với e là m  n điện tích nguyên tố, là tỉ số giữa nồng độ hạt tải và khối lƣợng hiệu dụng m* của chuẩn hạt. Nếu không có tán xạ electron, khi đó η-1 → 0, ta có kim loại lý tƣởng  1 Re  (T  0,   0)  (D C )  lim  1  ( DC )   0  (1.18) 0 1 2   2     
16 CHƢƠNG 2: HÀM GREEN VÀ GẦN ĐÚNG THẾ KẾT HỢP 2.1. HÀM GREEN. Mục đích của bộ môn vật lí lí thuyết là phát triển các công cụ tính toán xác định các giá trị vật lí đo đƣợc trong thực nghiệm. Hàm Green đã đƣợc khai sinh bởi nhà toán học Anh George Green năm 1828. Sau đó vào những năm 1950 và 1960 hàm Green đã đƣợc Feynman và Schwinger đề xuất nhƣ những hàm trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Sau đó chúng đƣợc mở rộng cho vật lý thống kê và hệ nhiều hạt và trở thành một công cụ toán học rất đắc lực và phổ biến để giải những phƣơng trình vi phân không đồng nhất trong toán cũng nhƣ trong vật lý. Trong vật lý lƣợng tử, nhất là trong vật lý chất rắn, hàm Green đã và đang là một một công cụ (toán học) rất quan trọng để nghiên cứu những hệ tƣơng tác phức tạp [4]. Trong phạm vi của đề tài ta chỉ xét đến Hàm Green trong vật lý lƣợng tử. Trƣớc tiên là một số định nghĩa Hàm Green hai thời gian thông thƣờng là Hàm Green sớm, Hàm Green trễ và Hàm Green nhân. 2.1.1. Hàm tƣơng quan thời gian và hàm Green. Hàm tƣơng quan thời gian Xét hai toán tử A(t) và B(t’) trong biểu diễn Heisenberg có dạng: At   e iHt A0e  iHt ; Bt '  e iHt ' Bt 'e  iHt ' (2.1) Với H là Hamiltonian của hệ (ta coi H chứa cả số hạng -λ N , với λ là hoá thế và N là toán tử số hạt tổng cộng trong hệ). Trong trƣờng hợp tổng quát A, B có thể là tích của các hàm sóng lƣợng tử hoá hay các toán tử sinh huỷ hạt. Phƣơng trình chuyển động cho các toán tử có dạng: dAt   e iHt iHA0  A0iH e  iHt hay dt dAt  i  At , H   At H  HAt  (2.2) dt Giao hoán tử ở phía bên phải của (2.2) có thể chứa nhiều số toán tử tuỳ thuộc vào dạng của Hamiltonian H . Hàm tƣơng quan thời gian của hai toán tử A(t), B(t’) đƣợc định nghĩa là FAB(t,t’)= At Bt ' (2.3) Dấu biểu thị trung bình thống kê với Hamiltonian H. = Tr (ρ A) (2.4.1)
17 Với ρ là toán tử thống kê (Tr là ký hiệu lấy vết – Trace)  H exp        , θ=k T (2.4.2) B Q Q là tổng thống kê  H    Q  Tr  e   (2.4.3)     Mối quan hệ giữa tổng thống kê và thế nhiệt động Ω :   H       ln  Tre   (2.4.4)      H   (Hoặc e  = Tr ( e θ ) = Q ). Toán tử thống kê còn đƣợc viết là  H  e  (2.5) Do tính chất bất biến của vết – Tr với hoán vị tuần hoàn các toán tử dƣới dấu vết Tr nên hàm tƣơng quan (2.3) chỉ phụ thuộc vào hiệu thời gian (t – t’). Thật vậy     H    iHt   H    H  iH t  t '  iHt'    iH t  t '  iH t  t '  Tr  At Bt 'e   Tr e A0e  B0e e   Tr e A0e B0e                 H    = Tr  A0e iH t t ' B0e iH t t 'e       hay FAB(t,t’) = FAB(t-t’) (2.6) Khi thời gian trùng nhau t = t’ hàm tƣơng quan thời gian trở thành trung bình thống kê thông thƣờng FAB (t , t ' )  FAB (0)  A(0) B(0) (2.7) Lấy đạo hàm của hàm tƣơng quan thời gian (2.3) theo một biến thời gian ta đƣợc:
18 At Bt '  At , H Bt ' d i (2.8) dt Vế phải của (2.8) chứa giao hoán tử của A(t) với H nói chung chứa một số toán tử lớn hơn bên phải – đó là hàm tƣơng quan bậc cao hơn. Hoàn toàn tƣơng tự nếu lấy đạo hàm bên phải của (2.8) theo t ta đƣợc hệ các phƣơng trình chuyển động kiểu móc xích [5]. i d At , H Bt '  At , H , H Bt ' (2.9) dt Hệ các phƣơng trình chuyển động (2.8), (2.9) không giải chính xác đƣợc mà cần phải áp dụng một phép gần đúng nào đó ví dụ ngắt chuỗi phƣơng trình đó ở một bƣớc nào đó để nhận đƣợc một hệ phƣơng trình hữu hạn sau đó giải hệ để tìm biểu thức cho hàm tƣơng quan. Hàm Green trễ, hàm Green sớm và nguyên nhân Hàm Green trễ (ký hiệu r – retarded), hàm Green sớm (a – advanced) và nguyên nhân (c – causal) đƣợc định nghĩa nhƣ sau: r    GAB  t , t '  r A  t  | B  t '  i  t  t '   A  t  , B t '   (2.10.1) a   GAB  t , t '  a A t  | B  t '  i  t ' t   A  t  , B  t '   (2.10.2) c   GAB c  t , t '  A t  | B  t '  i T A  t  B  t ' (2.10.3) Ở đây ký hiệu giao hoán tử , và trật tự thời gian T cũng nhƣ hàm bậc thang θ(x) có ý nghĩa là  A  t  , B  t '    A  t  B  t '   B  t '  A  t  ( 2.11.1) T At Bt '   t  t 'At Bt '   t 't Bt 'At  (2.11.2) 1, x  0  x    (2.11.3) 0, x  0 Với  = 1 chọn nếu các toán tử A, B thể hiện qua các toán tử kiểu Bose và  = -1 nếu chúng đƣợc thể hiện qua các toán tử kiểu Fermi. Một trong các tính chất của hàm Green là do chúng đƣợc biểu thị qua các hàm tƣơng quan (2.3) nên chúng cũng chỉ là hàm số của hiệu thời gian (t – t’).