Luận văn:Tương tác tích cực mô hình động trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê

Chia sẻ: Rose_12 Rose_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

82
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vấn đề phát huy tính tích cực học tập của học sinh đã được đặt ra trong ngành giáo dục Việt Nam từ những năm 1960. Ở thời điểm này, các trường sư phạm đã có khẩu hiệu: “Biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo”. Trong cuộc cải cách giáo dục lần thứ hai, năm 1980, phát huy tính tích cực đã là một trong các phương hướng cải cách, nhằm đào tạo những người lao động sáng tạo, làm chủ đất nước. ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn:Tương tác tích cực mô hình động trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC TƯƠNG TÁC TÍCH CỰC CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG TRONG HỖ TRỢ HỌC SINH KIẾN TẠO TRI THỨC XÁC SUẤT THỐNG KÊ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Huế, Năm 2007
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC TƯƠNG TÁC TÍCH CỰC CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG TRONG HỖ TRỢ HỌC SINH KIẾN TẠO TRI THỨC XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: T.S. TRẦN VUI Huế, Năm 2007
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Nguyễn Đăng Minh Phúc ii
LỜI CẢM ƠN Xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy giáo, TS. Trần Vui đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình chu đáo cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn: + Khoa Toán, trường ĐHSP Huế + Phòng Đào tạo sau Đại học, trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. + Các thầy cô giáo tổ Toán trường THPT Hai Bà Trưng + Các thầy cô giáo tổ Tự nhiên trung tâm GDTX Huế + Giáo viên chủ nhiệm lớp 11A1, lớp 11B5 trường THPT Hai Bà Trưng, Giáo viên chủ nhiệm lớp 11/5 trung tâm GDTX Huế. + Các thầy cô giáo đã tham gia giảng dạy lớn Cao học khóa XIV chuyên ngành phương pháp giảng dạy Toán. + Bạn bè, đồng nghiệp đã quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này. Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng dẫn và góp ý. Huế, tháng 11 năm 2007 iii
MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa........................................................................................................ i Lời cam đoan ....................................................................................................... ii Lời cảm ơn.......................................................................................................... iii Mục lục ................................................................................................................ 1 GIỚI THIỆU........................................................................................................ 3 Chương 1: MỞ ĐẦU ........................................................................................... 4 1. Giới thiệu..................................................................................................... 4 1.1. Nhu cầu nghiên cứu.................................................................................. 4 1.2. Đề tài nghiên cứu ..................................................................................... 4 2. Mục đích nghiên cứu................................................................................... 5 3. Câu hỏi nghiên cứu ..................................................................................... 5 4. Định nghĩa các thuật ngữ............................................................................. 5 5. Ý nghĩa của việc nghiên cứu ....................................................................... 6 6. Cấu trúc luận văn......................................................................................... 6 Chương 2: NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN ......................... 8 1. Giới thiệu..................................................................................................... 8 2. Nền tảng lịch sử........................................................................................... 8 2.1. Lịch sử hình thành khái niệm xác suất ..................................................... 8 2.2. Các cách tiếp cận khái niệm xác suất..................................................... 10 2.3. Lịch sử hình thành khái niệm thống kê .................................................. 11 3. Khung lý thuyết......................................................................................... 13 4. Các kết quả nghiên cứu có liên quan......................................................... 14 5. Tóm tắt ...................................................................................................... 17 Chương 3: PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU ..................... 18 1. Giới thiệu................................................................................................... 18 2. Thiết kế quá trình nghiên cứu.................................................................... 18 3. Đối tượng nghiên cứu................................................................................ 19 1
4. Công cụ nghiên cứu................................................................................... 19 5. Phương pháp thu thập dữ liệu ................................................................... 19 6. Phương pháp phân tích dữ liệu.................................................................. 20 7. Các hạn chế ............................................................................................... 21 8. Tóm tắt ...................................................................................................... 21 Chương 4: KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.............................................................. 22 1. Giới thiệu................................................................................................... 22 2. Các kết quả ................................................................................................ 22 2.1. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất............................................... 22 2.2.Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai.................................................. 30 2.3. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba .................................................. 33 2.4. Kết quả cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư................................................... 41 3. Tóm tắt ...................................................................................................... 52 Chương 5: KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ ỨNG DỤNG ....................................... 53 1. Giới thiệu................................................................................................... 53 2. Kết luận ..................................................................................................... 53 2.1. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất.............................................. 53 2.2. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai................................................ 55 2.3. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba................................................. 56 2.4. Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư ................................................. 59 3. Lý giải ....................................................................................................... 60 3.1. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất ................................................ 60 3.2. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai .................................................. 61 3.3. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ ba ................................................... 61 3.4. Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ tư.................................................... 62 4. Ứng dụng................................................................................................... 62 KẾT LUẬN ....................................................................................................... 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 65 PHỤ LỤC .......................................................................................................... P1 2
GIỚI THIỆU Nhiệm vụ của việc dạy học toán ở nhà trường là giúp người học kiến tạo các kiến thức toán qua mỗi giờ dạy của giáo viên. Do đó chúng ta cần quan tâm đến việc nâng cao hiệu quả của mỗi tiết dạy. Kết quả của việc học phụ thuộc nhiều vào phương pháp tổ chức các hoạt động học tập trong lớp của giáo viên cũng như sự tham gia tích cực của mỗi người học. “Con người học như thế nào?” là một câu hỏi cốt yếu mà lý thuyết kiến tạo trong giáo dục muốn trả lời. Thực tiễn cho thấy rằng, giáo viên không thể dạy học bằng cách làm đầy kiến thức cho học sinh như kiểu đổ đầy một chai nước mà chính mỗi học sinh phải tự kiến tạo tri thức theo cách của riêng mình với sự hỗ trợ của giáo viên. Việc dạy và học toán ở nước ta hiện nay không phải lúc nào cũng phát huy hết năng lực tự học và tính chủ động trong học tập của học sinh. Mỗi người giáo viên vẫn còn chịu nhiều áp lực, áp đặt từ trên xuống và mất đi tính chủ động và sáng tạo trong việc xây dựng những môi trường học tập phù hợp với đối tượng mà mình đang giảng dạy. Hơn nữa việc chưa nhất quán trong cách thi cử, ra đề thi, số lượng các kỳ thi đã làm học sinh và giáo viên lúng túng trong việc định hướng dạy học. Ngoài ra áp lực thi cử vẫn còn quá lớn khi chỉ khoảng 20% hoặc hơn thí sinh đỗ tốt nghiệp được vào đại học đã làm cho việc học trở nên thay đổi cho kịp thời vụ: chỉ học những gì có thể sẽ ra trong đề thi. Sẽ có nhiều sự thay đổi để việc dạy và học toán tập trung vào phát triển tư duy giải quyết vấn đề cho học sinh cùng với những kỹ năng cần thiết của một công dân trong tương lai. Mảng kiến thức xác suất thống kê bắt đầu được đưa vào chương trình dạy học trong đợt thay sách giáo khoa trung học phổ thông mới đây. Với luận văn này, trên nền tảng lý luận là lý thuyết kiến tạo, chúng tôi mong muốn thiết kế được những mô hình động tạo ra những tương tác tích cực để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán, đặc biệt là tri thức xác suất thống kê. 3
CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu Trong thực tiễn, chúng ta thường gặp những hiện tượng ngẫu nhiên. Đó là những hiện tượng (biến cố) mà chúng ta không thể dự báo một cách chắc chắn là nó xảy ra hay không xảy ra. Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên. Năm 1812, nhà toán học Laplace đã dự báo rằng: “Môn khoa học bắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đối tượng quan trọng nhất của tri thức loài người”. Ngày nay, lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng, được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học... Gần gũi với xác suất là bộ môn thống kê. Thống kê giúp ta phân tích các số liệu một cách khách quan và rút ra các tri thức, thông tin chứa đựng bên trong các số liệu đó. Trên cơ sở này, chúng ta mới có thể đưa ra được những dự báo và quyết định đúng đắn cho một hiện tượng cụ thể. Thống kê cần thiết cho mọi lực lượng lao động, đặc biệt rất cần cho các nhà quản lý, hoạch định chính sách. Ngay từ đầu thế kỷ XX, nhà khoa học người Anh, H. G. Well đã dự báo: “Trong một tương lai không xa, kiến thức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu tố không thể thiếu được trong học vấn phổ thông của mỗi công dân, giống như là khả năng biết đọc, biết viết vậy.” 1.1. Nhu cầu nghiên cứu Xác suất và thống kê là hai mảng kiến thức mới được đưa vào chương trình phổ thông. Khi giảng dạy, giáo viên thiếu các mô hình minh họa, đặc biệt là các mô hình động. Với sự hỗ trợ của máy tính và các phần mềm dạy học, các mảng kiến thức khác trong chương trình phổ thông đã được khai thác, giảng dạy và học tập có hiệu quả. Hơn nữa, trong xác suất, máy tính có thể cho phép thực hiện các phép thử nhiều lần ở tốc độ cao. Vì vậy cần ứng dụng các thế mạnh của công nghệ thông tin một cách khoa học trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê. 1.2. Đề tài nghiên cứu Các mô hình toán học động tỏ ra có hiệu quả trong việc kiến tạo tri thức toán học cho học sinh. Việc xây dựng các mô hình này cũng như áp dụng chúng vào giảng dạy đang ngày càng phổ biến trong xu thế đổi mới giáo dục hiện nay. Vấn đề quan trọng là phải xây dựng và sử dụng mô hình sao cho nó tạo ra được các tương tác 4
tích cực trong hỗ trợ học sinh trong kiến tạo tri thức. Chúng tôi chọn đề tài: Tương tác tích cực của mô hình động trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu là xây dựng các mô hình động tạo ra các tương tác tích cực dựa trên hai phần mềm toán học phổ thông là The Geometer’s Sketchpad và Fathom, nhằm giúp cho học sinh lớp 10, 11 kiến tạo tri thức xác suất thống kê. 3. Câu hỏi nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu là xây dựng các mô hình động tạo ra các tương tác tích cực. Do đó việc nghiên cứu sẽ nhằm trả lời các câu hỏi sau đây: Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất thống kê sẽ có hiệu quả như thế nào? Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Phần mềm động tạo ra các tương tác như thế nào trong việc hỗ trợ học sinh lớp 10, lớp 11 kiến tạo tri thức xác suất thống kê? Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Sử dụng hàm ngẫu nhiên của máy tính như thế nào để tạo được các mô hình động có tính tương tác tích cực trong việc kiến tạo tri thức xác suất thống kê? Câu hỏi nghiên cứu thứ tư: Xây dựng những mô hình xác suất thống kê nào để giáo viên và học sinh có thể sử dụng nhằm đạt được hiệu quả trong giảng dạy và học tập? 4. Định nghĩa các thuật ngữ Nghiên cứu trường hợp: Là nghiên cứu trong đó nhà nghiên cứu làm việc trên một nhóm nhỏ các đối tượng nghiên cứu, thậm chí chỉ trên một đối tượng. Nguyên bản tiếng Anh của nghiên cứu trường hợp là Case Study. Nghịch lý: Là những gì trái với tự nhiên hay những điều hiển nhiên đúng được công nhận. Trong toán học, đôi khi nghịch lý mang nghĩa “kết quả không trực quan” hơn là “mâu thuẫn dễ thấy”. Việc sử dụng nghịch lý trong dạy học xác suất được xem là một phương pháp có hiệu quả khi mà tạo ra được những mâu thuẫn để rồi giải quyết các mâu thuẫn đó sẽ giúp học sinh kiến tạo tri thức. Nguyên bản tiếng Anh: Paradox. 5
Chướng ngại: Một hay nhiều những khó khăn mà học sinh gặp phải khi tham gia các hoạt động học tập và mong muốn vượt qua. Chướng ngại cũng có thể là những kiến thức mà học sinh đã có, chúng làm cản trở việc tiếp nhận những kiến thức mới hơn. Đồng khả năng: Một thuật ngữ được dùng nhiều trong xác suất, nói về những kết quả, biến cố có cùng khả năng xảy ra. Mô hình động: Là những mô hình chủ yếu được xây dựng bằng các phần mềm trên máy tính nhằm mô phỏng những mô hình trong thực tế mà người sử dụng có thể thao tác, sửa đổi. Mô hình động về toán được xây dựng để hỗ trợ cho người học kiến tạo tri thức toán. Tương tác: Những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa chủ thể và khách thể. Kiến tạo: Xây dựng một cách tích cực và chủ động. Kiến tạo cũng là một động từ dùng chỉ hoạt động của chủ thể tác động lên đối tượng nhằm thực hiện mục đích đề ra. Đồng hóa: Là quá trình khi chủ thể tiếp nhận thông tin mới từ khách thể và những thông tin này có thể kết hợp trực tiếp vào sơ đồ nhận thức đang tồn tại. Như thế, đồng hóa là một quá trình chủ thể sử dụng kiến thức và kỹ năng của mình để giải quyết tình huống mới. Điều ứng: Là quá trình điều chỉnh sự mất cân bằng về nhận thức khi chủ thể tiếp nhận thông tin từ khách thể. Khi quá trình này kết thúc là lúc mà chủ thể tạo nên sự cân bằng mới về nhận thức ở mức độ cao hơn. 5. Ý nghĩa của việc nghiên cứu Các kết quả của nghiên cứu sẽ giúp cho học sinh tự kiến tạo tri thức xác suất thống kê cho mình, từ đó biết cách áp dụng vào các bài toán thực tế, giải quyết vấn đề và ra quyết định. 6. Cấu trúc luận văn Phần này sẽ giới thiệu cấu trúc của luận văn, bao gồm 5 chương. Chương 1 - GIỚI THIỆU: Giới thiệu, nêu nhu cầu nghiên cứu, đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu và đưa ra những câu hỏi nghiên cứu cho luận văn. Một số 6
thuật ngữ dùng trong luận văn cũng được định nghĩa. Ngoài ra trong chương này cũng trình bày ý nghĩa của việc nghiên cứu. Chương 2 - NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN: Sau khi trình bày lịch sử hình thành các khái niệm xác suất và thống kê, khung lý thuyết là lý thuyết kiến tạo, chương này sẽ giới thiệu những kết quả nghiên cứu liên quan đến luận văn. Chương 3 - PHƯƠNG PHÁP VÀ QUY TRÌNH NGHIÊN CỨU: Chương này giới thiệu thiết kế quá trình nghiên cứu, đối tượng và công cụ nghiên cứu; phương pháp thu thập dữ liệu và phân tích dữ liệu làm định hướng và quy trình cho quá trình nghiên cứu. Chương 4 - KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU: Nêu các kết quả nghiên cứu cho từng câu hỏi nghiên cứu đã được đề ra ở chương 1. Với câu hỏi nghiên cứu thứ nhất, chương này nêu lên các hiệu quả có thể khi áp dụng lý thuyết kiến tạo vào dạy học xác suất. Với câu hỏi nghiên cứu thứ hai, chương này nêu lên các tác động tích cực của phần mềm động trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê. Với câu hỏi nghiên cứu thứ ba, chương này trình bày cơ sở khoa học của hàm ngẫu nhiên trong máy tính bắt đầu từ ý tưởng xây dựng đến kỹ thuật rồi những cải tiến trong quá trình tạo số ngẫu nhiên. Cách tạo số ngẫu nhiên đơn giản cũng được trình bày trong chương này trên hai phần mềm The Geometer’s Sketchpad và Fathom. Với câu hỏi nghiên cứu thứ tư, chương này giới thiệu các mô hình hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức xác suất thống kê trên cả hai phần mềm. Mỗi mô hình đều được trình bày chi tiết cách thiết kế và sử dụng. Các kết quả thực nghiệm sư phạm khi sử dụng một số mô hình đã xây dựng được trình bày ở cuối chương này. Chương 5 - KẾT LUẬN, LÝ GIẢI VÀ ỨNG DỤNG: Nêu các kết luận cho từng câu hỏi nghiên cứu dựa trên những kết quả nghiên cứu có được ở chương 4 rồi đưa ra những lý giải cho các kết quả nghiên cứu đó. Ứng dụng của luận văn bao gồm ứng dụng cho thực hành và cho các nghiên cứu sau này cũng được trình bày trong chương 5. 7
CHƯƠNG 2: NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 1. Giới thiệu Trong chương này chúng tôi sẽ xác định và làm rõ vấn đề nghiên cứu; tổng quan nền tảng lịch sử của vấn đề cần nghiên cứu, khung lý thuyết cho đề tài nghiên cứu; xác định, nhận biết các mâu thuẫn, kẻ hở trong các tài liệu; tóm tắt sơ lược các nghiên cứu trước đây có liên quan đến đề tài và khẳng định rằng nghiên cứu này sẽ là bước đi hợp lôgíc tiếp theo trong việc tìm ra một lời giải tối ưu cho vấn đề cần nghiên cứu. 2. Nền tảng lịch sử Phân tích các tài liệu, bài báo, kết quả nghiên cứu toán học liên quan để đưa ra các bước hình thành và phát triển các khái niệm trong xác suất cũng như trong thống kê. 2.1. Lịch sử hình thành khái niệm xác suất Lý thuyết xác suất chỉ thực sự hình thành và phát triển trong khoảng 3 thế kỷ rưỡi vừa qua. Chính việc giải bài toán chia tiền cược khi cuộc chơi bị gián đoạn giữa chừng đã dẫn đến sự hình thành khái niệm xác suất vào đầu thế kỷ XVII, sau đó các phép tính về xác suất phát triển dần thành lý thuyết hiện đại được xây dựng theo một hệ tiên đề vào thế kỷ XX. Tuy nhiên, có thể nói rằng mầm mống của lý thuyết xác suất đã có từ thế kỷ thứ III trước công nguyên, với các trò chơi may rủi. Những con súc sắc hình lập phương và đồng chất bằng đất nung được tìm thấy trong các ngôi mộ cổ chứng tỏ rằng các trò chơi liên quan đến phép thử ngẫu nhiên đã có từ rất lâu qua các trò chơi với astragales, với súc sắc... rất phổ biến ở vùng Lưỡng Hà từ thời Ai cập cổ đại (tức thế kỷ III trước Công nguyên). Vào thời Hy Lạp cổ đại, đạo luật cấm các trò chơi cờ bạc với súc sắc đã được ban hành. Nhà thờ Thiên chúa giáo cũng lên án các trò chơi đó. Dù vậy, chúng vẫn có sức hấp dẫn mãnh liệt và tồn tại một cách dai dẳng. Các trò chơi may rủi đã có những khai thác đầu tiên về đại số tổ hợp. Bài thơ có tựa đề De Vetula (của Richard de Fournival (1201 – 1260)), một tu sĩ uyên bác người Pháp, đã được ghi nhận là có từ khoảng năm 1250) là một bằng chứng về điều đó. Bài thơ mô tả trò chơi "tung ba con súc sắc và đếm tổng các điểm nhận được" (tức là tổng số chấm xuất hiện) trên mặt ba con súc sắc). Một trích đoạn của bài thơ cho thấy tác giả đã sử dụng đến 8
hoán vị khi nói rằng việc tung súc sắc sinh ra 16 kiểu tổng các điểm, ứng với 56 dạng điểm và việc hoán vị mỗi dạng điểm đã chứng tỏ rằng tổng cộng có đến 216 cách rơi 3 súc sắc. Vấn đề đồng khả năng của các kết quả của việc tung súc sắc cũng được Galilé dùng làm giả thiết trong tiểu luận về các trò chơi súc sắc của mình (nó còn có mặt trong trao đổi thư từ giữa Pascal và Fermat sau này nữa). Cho đến nửa đầu thế kỷ XVII, khái niệm xác suất mới chỉ xuất hiện dưới dạng công cụ ngầm ẩn để so sánh cơ hội. Cũng như người ta đã nói "sự kiện này có cơ hội xảy ra lớn hơn sự kiện kia", hay "các sự kiện có cùng khả năng xảy ra". Nhưng cụ thể "độ đo" cơ hội xảy ra của một sự kiện là bao nhiêu? Được tính bằng cách nào? Một số yếu tố của Đại số tổ hợp đã được khai thác khi người ta tìm kiếm câu trả lời cho trường hợp của vài trò chơi may rủi. Tuy vậy, vẫn chưa có một câu trả lời tổng quát nào cho vấn đề đo cơ hội xảy ra của một sự kiện tùy ý. Và tất nhiên, cho đến lúc đó, chưa một định nghĩa nào về xác suất được đưa ra. Nửa sau thế kỷ XVII đến cuối thế kỷ XIX, vấn đề tính xác suất của các biến cố đồng khả năng và không đồng khả năng đã được đề cập đến. Mùa hè 1651, Chevalier de Méré đã hỏi Blaise Pascal (1623-1662) về vấn đề chia tiền cược. Bài toán này khiến Pascal phải suy nghĩ và ông đã viết thư cho nhà toán học Pierre de Fermat (1601-1665). Qua thư từ trao đổi, họ đã “toán học hóa” các trò chơi cờ bạc. Với những nghiên cứu chính thức về tính toán "xác suất" của hai nhà toán học Pascal và Fermat, có thể nói các trò chơi ngẫu nhiên (jeu de hasard) đã chuyển thành đối tượng nghiên cứu của toán học và có mặt trong các bài toán tính "cơ hội" thắng cuộc. Đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy (L’art de penser) của Antoine Arnauld và Pierre Nicole (các bạn của Pascal), thì thuật ngữ "xác suất" mới thật sự xuất hiện lần đầu tiên với nghĩa đúng như chúng ta biết ngày nay. Nhà toán học Jacques Bernoulli đã dành suốt hai mươi năm của đời mình để hoàn thành tác phẩm Thuật suy đoán (Ars Conjectandi), nhưng năm 1713 (8 năm sau khi ông mất), tác phẩm này mới được người cháu là Nicolas Bernoulli xuất bản. Với Thuật suy đoán, lần đầu tiên việc tính xác suất của một biến cố đã chuyển từ chỗ sử dụng công cụ đại số tổ hợp sang sử dụng công cụ giải tích. 9
Cho đến đầu thế kỷ XIX, ngoài định nghĩa theo kiểu mô tả của Bernoulli thì chưa có một định nghĩa toán học nào về khái niệm xác suất. Vấn đề này chỉ được giải quyết bởi Pierre Simon Marquis de Laplace trong Chuyên luận giải tích về xác suất (Traité analytique des probabilité) công bố năm 1812. Với chuyên luận này, Laplace đã chính thức đưa ra định nghĩa đầu tiên về xác suất trong nguyên lý thứ nhất của mình. Một trong những khó khăn trong việc phát triển lý thuyết xác suất là đi đến một định nghĩa tổng quát, chính xác trong toán học. Cuối thế kỷ XIX, nhiều thành tựu của công cụ giải tích, trong đó có phép biến đổi Fourier, cho phép thay thế các hàm sin bởi một hàm số đặc trưng. Tiếp đó là sự phát triển lý thuyết tập hợp số, lý thuyết độ đo, lý thuyết tích phân của Borel và Lebesgue ở đầu thế kỷ XX đã dẫn đến xu hướng xây dựng một lý thuyết xác suất hình thức hơn theo phương pháp tiên đề của Hilbert. Năm 1933, trong công trình nghiên cứu của mình, nhà toán học Nga Andrei Kolmogorov đã phác thảo một hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại. 2.2. Các cách tiếp cận khái niệm xác suất Từ nghiên cứu lịch sử, các tác giả Cileda de Queiroz e Silva Coutinho, Michel Henry, Bernard Parzysz đều thống nhất rằng khái niệm xác suất có thể được tiếp cận theo ba cách sau đây: Tiếp cận theo Laplace (AL - Approche Laplacienne): Xác suất của một biến cố, theo Laplace, là “tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra”. Để tính xác suất theo Laplace, đòi hỏi phải có một không gian hữu hạn các biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện (đây chính là điểm hạn chế của tiếp cận). Theo cách tiếp cận này, việc xác định xác suất của một biến cố được đưa về các phép đếm và Đại số tổ hợp đóng vai trò chính trong các tính toán xác suất. Chính vì thế mà Coutinho đặt tên cho tiếp cận này là "tiếp cận đại số tổ hợp". Trong trường hợp phép thử có thể gắn với một không gian hữu hạn các biến cố sơ cấp đồng khả năng xuất hiện thì bằng định nghĩa của Laplace người ta có thể tính được xác suất mà không cần thực hiện phép thử. Vì lẽ đó, Bernard Parzysz gọi xác suất theo định nghĩa của Laplace là xác suất chủ quan hay xác suất tiên nghiệm. 10
Tiếp cận thống kê (AS: Approche Statistique): Theo tiếp cận này, xác suất của một biến cố là một giá trị mà tần suất tương đối của biến cố đó dao động quanh giá trị này khi thực hiện một số lượng lớn các phép thử. Xác suất theo quan điểm này còn được gọi là xác suất khách quan vì giá trị của xác suất chỉ được biết sau thực nghiệm. Đứng từ góc độ toán học và thực tế, cách tiếp cận theo quan điểm thống kê cho phép giải quyết vấn đề tìm xác suất trong các trường hợp mà định nghĩa của Laplace không thể vận hành được (ví dụ như việc ước tính xác suất để một đinh mũ rơi ngẫu nhiên chạm đất bằng mũi nhọn hay bằng đầu). Nhưng, đứng từ góc độ dạy- học, Parzysz cho rằng cách tiếp cận này gây ra những khó khăn sau: Trước hết, nó dựa trên sự "hội tụ" của các tần suất (sự hội tụ theo xác suất), tức không phải là sự hội tụ thuần túy (của dãy số) mà học sinh gặp trong giải tích. Mặt khác, tiếp cận này có thể dẫn đến nguy cơ là "học sinh không thực hiện được bước nhảy khái niệm mà lại đồng hóa tần suất với xác suất" (tham khảo Parzysz, 2003, tr.31-32). Tiếp cận tiên đề (AA: Approche Axiomatique) Xác suất được định nghĩa như "một độ đo không âm bị chặn được xác định trên một tập hợp trừu tượng mô hình hoá các kết cục có thể của một phép thử ngẫu nhiên" và thỏa mãn một hệ tiên đề. Là một mô hình thuần túy toán học cao cấp nên tiếp cận này quá khó hiểu đối với học sinh PTTH và chỉ được cung cấp ở bậc đại học. 2.3. Lịch sử hình thành khái niệm thống kê Từ thống kê được xuất phát từ tiếng Latin statisticum collegium và một từ tiếng Ý statista. Từ statistik (tiếng Đức) lần đầu tiên được giới thiệu bởi Gottfried Achenwall (1749) nhằm giới thiệu sự phân tích dữ liệu thống kê, biểu thị "khoa học của thống kê" (được gọi là số học mang tính chính trị (political arithmetic) trong tiếng Anh). Thống kê mang nghĩa thu thập và phân tích dữ liệu lần đầu tiên được đề cập vào đầu thế kỷ 19. Nó được giới thiệu bằng tiếng Anh bởi ông John Sinclair. Như thế, mục đích chính của thống kê ban đầu là dữ liệu được sử dụng bởi những người trong chính phủ và công việc hành chính. Việc thu thập dữ liệu về các tiểu bang và các địa phương được tiếp tục, được mở rộng thông qua các ban thống kê 11
quốc gia và quốc tế. Đặc biệt, các điều tra về dân số cung cấp một cách đều đặn thông tin về dân cư. Phương pháp toán học của thống kê xuất hiện từ lý thuyết xác suất, lý thuyết được bắt đầu từ bức thư của Pierre de Fermat và Blaise Pascal. Lý thuyết sai số (theory of errors) có lẽ được mô tả đầu tiên bởi Roger Cotes trong cuốn Opera Miscellanea (xuất bản sau khi tác giả mất, 1722) nhưng một hồi ký của Thomas Simpson vào năm 1755 (in năm 1756) lần đầu tiên đã ứng dụng lý thuyết đó cho thảo luận việc quan sát các sai số. Pierre-Simon Laplace (1774) đã làm những phép thử đầu tiên để xác định một quy luật của sự tổ hợp các quan sát nguồn gốc của lý thuyết xác suất. Ông ta trình bày luật sai số xác suất bởi một đường cong. Ông suy ra một công thức cho giá trị trung bình của 3 quan sát. Ông cũng đưa ra một công thức cho luật thuận lợi của sai số, nhưng đó là một điều dẫn đến các phương trình không kiểm soát được. Daniel Bernoulli (1778) giới thiệu nguyên tắc tích cực đại của xác suất trong một hệ thống các sai số xảy ra đồng thời. Phương pháp hình vuông tối tiểu (least squares), được sử dụng để cực tiểu các sai số trong đo lường dữ liệu, được xuất bản một cách độc lập bởi Andrien-Marie Legendre (1805), Robert Adrain (1808) và Carl Friedrich Gauss (1809). Gauss đã dùng phương pháp này trong lời tiên tri nổi tiếng năm 1801 về vị trí của sao lùn đỏ (dwarf planet Ceres). Các chứng minh tiếp theo được các nhà toán học đưa ra: Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826)... Công thức cho r của Peter (1856) về sai số có thể xảy ra cho một quan sát đơn được nhiều người biết đến. Vào thế kỷ 19, các tác giả (Laplace, Dedekind, Morgan...) trong lý thuyết tổng quát đã cải tiến sự trình bày của lý thuyết thống kê. Adolphe Quetelet (1796-1874), một người sáng lập khác của lý thuyết thống kê, đã giới thiệu khái niệm số trung vị (average mean) như là một giá trị trung bình của việc hiểu các hiện tượng xã hội phức tạp như tỉ lệ tội phạm, tỉ lệ hôn nhân hoặc tỉ lệ tự tử. Trong suốt thế kỷ 20, việc tạo ra các dụng cụ chính xác cho những vấn đề liên quan đến y tế (dịch tễ học, thống kê sinh học...) và các mục đích kinh tế xã hội (tỉ lệ thất nghiệp, toán kinh tế (econometry)...) tạo nên một sự phát triển của thống kê trong 12
thực hành. Ngày nay việc sử dụng thống kê đã mở rộng hơn nhiều so với gốc của nó như là một dịch vụ cho một bang hoặc chính phủ. Các cá nhân và tổ chức sử dụng thống kê để phân tích dữ liệu và đưa ra quyết định ở khắp các khoa học tự nhiên và xã hội, y học, kinh doanh và những lĩnh vực khác. Thống kê nói chung không được xem như là một lĩnh vực con của toán học mà là một lĩnh vực riêng biệt mặc dầu chúng có quan hệ mật thiết. Nhiều trường đại học vẫn giữ việc phân chia các khoa toán học và khoa thống kê. Thống kê cũng được nhắc đến trong các khoa khác như là tâm lý học, giáo dục học và y tế. 3. Khung lý thuyết Hầu hết các nghiên cứu gần đây đề nghị rằng các lý thuyết văn hóa - xã hội kết hợp với các thành phần (elements) của lý thuyết kiến tạo sẽ cung cấp một mô hình có ích cho việc làm thế nào để học sinh học toán (theo Sashi Sharma, Đại học Waikato). Von Glasersfeld (1993) trong nghiên cứu của mình đã chỉ ra rằng lý thuyết kiến tạo, trong các dạng khác nhau của nó, đều dựa trên một quan điểm rằng người học phải tự kiến tạo tri thức cho chính họ bằng cách điều ứng các kinh nghiệm được giới thiệu với kiến thức có sẵn. Cobb (1989) đã khẳng định là những kiến tạo toán học của trẻ em được chi phối một cách đáng kể bởi những điều kiện xã hội và văn hóa. Vào năm 1994, ông nói rằng, học sinh không còn được xem như là những người được người lớn chuyển tải các kiến thức toán học một cách bị động mà chúng phải tự kiến tạo các ý nghĩa cho bản thân mình bằng cách kết nối với thông tin mới hoặc cấu trúc lại những kiến thức trước đó của chúng. Đây chính là hai quan điểm chính của lý thuyết kiến tạo: đồng hóa và điều ứng trong việc học. Một khái niệm khác của lý thuyết kiến tạo có được từ các nhà lý luận văn hóa - xã hội như là Vygotsky (1978) và Lave (1991). Họ đề nghị rằng việc học nên được xem là một tiến trình xã hội (social process) nhiều hơn là một hoạt động cá nhân (individual activity). Có một nhấn mạnh trong tương tác xã hội, ngôn ngữ, kinh nghiệm, sự đa dạng về văn hóa và ngữ cảnh để học trong tiến trình học hơn là chỉ chú ý vào khả năng nhận thức. Bodner (1986) đã khẳng định: "...người học kiến tạo sự hiểu biết. Họ không chỉ đơn giản phản chiếu lại những gì được dạy và những gì họ đọc được. Người học tìm kiếm ý nghĩa và cố gắng để tìm ra quy luật và trật tự của sự vật trong thế giới khách quan dù thiếu những thông tin đầy đủ". 13
Như thế, trong luận văn này, dựa trên lý thuyết kiến tạo, chúng tôi nghiên cứu để tạo nên các môi trường hỗ trợ cho người học tự phát triển trực giác xác suất và thống kê của chính mình, xây dựng các mối liên hệ cụ thể với các đối tượng toán học. Học sinh với sự trang bị đầy đủ các yếu tố cần thiết sẽ xây dựng nên một môi trường mà trong đó các em sẽ tự kiến tạo tri thức xác suất thống kê cho mình. 4. Các kết quả nghiên cứu có liên quan Phần này bao gồm giới thiệu một số kết quả nghiên cứu có liên quan đến đề tài ở trong cũng như ngoài nước. Các kết quả này được tìm thấy trong các khóa luận, tiểu luận, luận văn thạc sĩ, luận án tiến sĩ, các thông tin trên internet, các bài báo. Trong dự án “ Xác suất được liên kết ” (Connected Probability) thực hiện ở các năm 1993, 1994, Uri Wilensky và các cộng sự của mình đã đặt mục tiêu khám phá cách thức cho người học (cấp II và trước cấp II) phát triển các nhận thức trực giác của những khái niệm cốt lõi của xác suất. Họ đã kết luận rằng, công nghệ máy tính đóng một vai trò quan trọng trong việc cho phép người học xây dựng các khái niệm trực giác của xác suất. Thông qua việc xây dựng các mô hình tính toán hằng ngày và các hiện tượng khoa học, người học có thể tạo nên các mô hình tích cực dựa trên xác suất và thống kê. Cũng nằm trong dự án này, họ đã mở rộng ngôn ngữ mô hình song song StarLogo và biến đổi nó để xây dựng các mô hình xác suất. Trong các công trình nghiên cứu của Kahneman & Tversky (1982), Nisbett (1983), Knold (1991) đã chỉ ra rằng, việc hiểu xác suất của con người được xác định là khó khăn. Việc dạy học đã cung cấp quá ít những biện pháp khắc phục. Các nhà giáo dục đã đáp lại kết quả nghiên cứu trên bằng cách khuyên học sinh đừng tin tưởng tuyệt đối vào trực giác của mình khi trực giác đó dẫn đến xác suất và chỉ dựa độc nhất vào các thao tác hình thức. Tuy nhiên kết quả thu được là người học tạo nên các mô hình hình thức cho các khái niệm cốt lõi của xác suất và thất bại trong việc liên kết chúng với kiến thức hằng ngày. Wilensky (1993, 1994) khẳng định rằng trực giác xác suất có thể được kiến tạo bởi người học và môi trường máy tính cho phép người dùng tạo nên những sản phẩm đáng tin cậy (như phân bố chuẩn) bằng cách sử dụng các thành phần ngẫu nhiên. Môi trường giả lập dựa trên máy tính của các hiện tượng phức tạp đã và đang được mở rộng. Rucker (1993), Stanley (1989), Wright (1992) trong công trình nghiên cứu 14
của mình đã chỉ ra rằng, trong môi trường giả lập, người học được giới thiệu và khám phá một mô hình phức tạp (được tạo bởi các chuyên gia). Người dùng có thể thay đổi các biến của mô hình và khám phá những thay đổi tương ứng. Khả năng chạy các giả lập có tính tương tác là một cải tiến rất lớn so với việc học dựa trên các sách vở tĩnh với những nhấn mạnh về công thức và thao tác trên các kí hiệu toán học. Stanley (1992) đã giải thích rằng việc giảng dạy dựa trên sự giả lập của các hiện tượng xác suất là rất phù hợp cho học sinh trung học và giáo viên. Tuy nhiên, trong môi trường giả lập, người học không tiếp cận được cách làm việc của mô hình. Do đó người học chỉ có thể nhận được từ mô hình theo đúng dự định của người thiết kế và tính bị động vào mô hình trở nên rất cao. Để hỗ trợ cho người dùng có thể tạo nên các mô hình hữu dụng, một số lượng lớn các môi trường mô hình hóa đủ mạnh được thiết kế: Stella - Richmond & Peterson (1990), Roberts (1978); StarLogo - Resnick (1992), Wilensky (1993); Agensheets - Repenning (1993); KidSim - Smith, Cypher & Spohrer (1994). Trong bài báo “Học xác suất thông qua xây dựng các mô hình tính toán” (Learning probability through building computation models), Wilensky (1993) và các cộng sự của mình muốn người học tự mình tạo nên các mô hình và thiết kế các khảo sát cho chính họ. Khi phân tích những mô hình mà người học tạo được cũng như quan sát công việc khảo sát của họ, Wilensky nhận ra rằng thông qua việc tự xây dựng các mô hình cho chính bản thân mình, người học tự đưa ra được những câu hỏi, tự hình thành nên lý thuyết, thử nghiệm lý thuyết và nắm được một cách sâu sắc những khái niệm. Mặc khác, ông cũng kết luận rằng, môi trường mô hình hóa không giới hạn các hướng đòi hỏi của người sử dụng. Các nguyên tắc của xác suất và thống kê đã làm thay đổi một cách nền tảng cách chúng ta làm khoa học và cách mà chúng ta hiểu về thế giới xung quanh. Nhiều nhà nghiên cứu (Cohen, 1990; Gigerenzer, 1990; Hacking, 1990) đã chỉ rõ rằng một cuộc cách mạng xác suất đã xuất hiện trong thế kỷ này và rằng các khái niệm ngẫu nhiên và không chắc chắn đã mở ra một lĩnh vực mới của toán học và khoa học. Điều này đã làm người ta chú ý nhiều hơn đến các đề tài về sự phức tạp (complexity), hỗn loạn (chaos) và cuộc sống nhân tạo (artificial life). Các phương pháp thống kê hiện diện khắp nơi trong các đề tài khoa học. Các bài giảng về xác suất và thống kê là bắt buộc đối với tất cả học sinh theo các ngành khoa học tự 15
nhiên và xã hội. Tuy nhiên chúng ta có thể bắt gặp những tài liệu đáng tin cậy về các thiếu hụt lớn đối với việc hiểu ý nghĩa của thống kê (Gould, 1991; Knold, 1991; Phillip, 1998; Piaget, 1975; Tversky & Kahneman, 1971). Ngay cả những chuyên gia giáo dục cao cấp, những người sử dụng xác suất và thống kê trong công việc hằng ngày vẫn có những khó khăn lớn khi giải thích những thống kê mà họ đưa ra. (Kahneman & Tversky, 1982). Bên cạnh việc thiếu năng lực, học sinh biểu lộ sự chán ghét với các bài giảng về xác suất và thống kê, một ác cảm mà cả Mark Twain và Benjamin Disraeli đã nói: “Lời nói dối có 3 loại: lời nói dối (lies), lời nói dối tồi tệ (damn lies) và thống kê”. Hầu hết các học sinh thấy rằng, việc đầu tiên khi học xác suất ở các dạng bài tập trong trường là việc tính toán các tỉ số của tần số (ratios of frequencies) và các hệ số nhị phân (binomial coefficients). Và thế là, chủ đề chính của xác suất và thống kê được xem như là sự tập hợp các công thức để nhồi nhét cho bộ óc. Khi học sinh sai sót trong việc làm chủ các kỹ năng được dạy, phương pháp tốt nhất là cố gắng cải tiến khả năng tính toán và áp dụng các công thức. Nhưng các trường học rất ít khi cho học sinh khám phá ý tưởng cơ bản của xác suất hoặc trả lời cho các câu hỏi, chẳng hạn: “Cái gì là phân bố chuẩn và cái gì làm nó trở nên có ích?” hay là “một thứ gì đó có thể vừa ngẫu nhiên vừa được xây dựng như thế nào?” Một phần bởi vì ý nghĩa của các khái niệm xác suất cốt lõi vẫn đang còn được tranh cãi bởi các triết gia của toán học và khoa học (chẳng hạn, Chaitin, 1987; Kolmogorov, 1950; Savage, 1954, Suppes, 1984; Von Mises, 1957), họ nói rằng những ý nghĩa đó là quá khó để cho học sinh có thể hiểu được. Trong nghiên cứu “Nghịch lý, chương trình và học xác suất: một nghiên cứu trường hợp trong một khung toán học được liên kết ” (Paradox, Programming and Learing Probability: A Case Study in a Connected Mathematics Framework), Uri Wilensky đã nêu ra một quy trình nghiên cứu trường hợp thông qua một thử nghiệm với một học sinh của mình. Qua nghiên cứu trường hợp, ông đã kết luận rằng việc tự tạo nên các mô hình và tự khảo sát của người học sẽ giúp họ có được những hiểu biết sâu sắc hơn về các khái niệm của xác suất hơn là sử dụng các giả lập hoặc các mô hình máy tính đã dựng sẵn. 16