Luận văn:Về một biến của modun hữa hạn sinh trên vành địa phương

Chia sẻ: Paradise_12 Paradise_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

114
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'luận văn:về một biến của modun hữa hạn sinh trên vành địa phương', luận văn - báo cáo, khoa học tự nhiên phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn:Về một biến của modun hữa hạn sinh trên vành địa phương

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr-êng §¹i häc Quy nh¬n TrÇn Ngäc Anh VÒ mét bÊt biÕn cña m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh ®Þa ph-¬ng LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ lý thuyÕt sè M· sè: 60.46.05 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: PGS.TS. NguyÔn §øc Minh Quy nh¬n, n¨m 2008
1 Môc Lôc B¶ng c¸c kÝ hiÖu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ch-¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Lý thuyÕt vÒ sù ph©n tÝch nguyªn s¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 5 Lý thuyÕt béi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 7 M«®un Cohen-Macaulay vµ m«®un Cohen-Macaulay suy réng . . . 1.3 9 Lý thuyÕt kiÓu ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Ch-¬ng 2. Läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 HÖ tham sè tèt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1 §Æc tr-ng cña m«®un Cohen - Macaulay d·y qua hÖ tham sè tèt . 22 2.2 Läc chiÒu cña m«®un ®Þa ph-¬ng ho¸ . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Ch-¬ng 3. BÊt biÕn pF (M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Sù tån t¹i cña bÊt biÕn pF (M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1 Liªn hÖ gi÷a bÊt biÕn pF (M ) vµ quü tÝch c¸c ®iÓm kh«ng Cohen- 3.2 Macaulay d·y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 KÕt luËn cña luËn v¨n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 b¶ng c¸c kÝ hiÖu • Ann(M ): linh ho¸ tö cña R-m«®un M . • dimM : sè chiÒu cña R-m«®un M . • Exti (N, M ): hµm tö më réng thø i cña c¸c R-m«®un M, N . R • Hi ((M ): m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph-¬ng thø i cña R-m«®un M øng víi i®ªan m cùc ®¹i m. • (M ): ®é dµi cña R-m«®un M . • Supp(M ): tËp hîp c¸c i®ªan nguyªn tè cña vµnh R sao cho Mp = 0.
3 Më ®Çu Cho (R, m) lµ vµnh ®Þa ph-¬ng giao ho¸n Noether, M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu d vµ x = (x1, ..., xd) lµ hÖ tham sè cña M , kÝ hiÖu n = (n1 , ..., nd) lµ bé d-sè nguyªn d-¬ng. XÐt hiÖu IM (n, x) = (M/(xn1 , ..., xnd )M ) − n1...nde(x1, ..., xd; M ), 1 d nh- mét hµm theo n. Trong tµi liÖu [5], NguyÔn Tù C-êng ®· chøng minh r»ng hµm nµy kh«ng lµ mét ®a thøc trong tr-êng hîp tæng qu¸t nh-ng nã bÞ chÆn trªn bëi mét ®a thøc vµ bËc nhá nhÊt cña tÊt c¶ c¸c ®a thøc chÆn trªn hµm IM (n, x) kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän hÖ tham sè x. BÊt biÕn nµy gäi lµ kiÓu ®a thøc cña M , kÝ hiÖu lµ p(M ) vµ bÊt biÕn nµy ®óng b»ng chiÒu cña quü tÝch kh«ng Cohen - Macaulay khi R lµ th-¬ng cña mét vµnh Cohen - Macaulay. XÐt läc h÷u h¹n c¸c m«®un con cña M lµ F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M sao cho dimM0 < dimM1 < ... < dimMt = dimM . Mét läc nh- vËy gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu. Cho x = (x1 , ..., xd) lµ mét hÖ tham sè cña M . Khi ®ã x ®-îc gäi lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F nÕu Mi ∩ (xdi +1 , ..., xd)M = 0 víi i = 0, 1, ..., t − 1 vµ di = dimMi . §Æt t (M/(xn1 , ..., xnd )M ) IF ,M (x(n)) = − n1 ...ndi e(x1, ..., xdi ; Mi ), 1 d i=0 ë ®©y e(x1, ..., xdi ; Mi ) lµ béi Serre cña Mi øng víi hÖ (x1, ..., xdi ) vµ x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt cña M t-¬ng øng víi läc F . C©u hái ®Æt ra lµ c¸c kÕt qu¶ trªn cã cßn ®óng cho hµm IF ,M (x(n)). Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ trong [7] vµ [9] liªn quan ®Õn bÊt biÕn pF (M ) ( ®-îc ®Þnh nghÜa lµ bËc nhá nhÊt cña tÊt c¶ c¸c ®a thøc theo n chÆn trªn hµm IF ,M (x(n)) ). Bªn c¹nh viÖc ®-a ra nhiÒu chøng minh chi tiÕt cho c¸c kÕt qu¶ ®· cã trong [7] vµ [9], chóng t«i còng t×m ®-îc mét kÕt qu¶ míi ch-a ®-îc ®Ò cËp ®Õn trong hai bµi b¸o nãi trªn. Ngoµi phÇn Më ®Çu, KÕt luËn vµ Tµi liÖu tham kh¶o, LuËn v¨n gåm 3 ch-¬ng:
4 Ch-¬ng 1 kiÕn thøc chuÈn bÞ Ch-¬ng nµy chóng t«i nh¾c l¹i kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ lý thuyÕt ph©n tÝch nguyªn s¬, lý thuyÕt béi, m«®un Cohen - Macaulay, m«®un Cohen - Macaulay suy réng vµ lý thuyÕt kiÓu ®a thøc. Ch-¬ng 2 läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt Läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt lµ mét c«ng cô rÊt quan träng ®Ó nghiªn cøu bÊt biÕn pF (M ) do ®ã chóng t«i dµnh ch-¬ng nµy ®Ó tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt, chØ ra ®Æc tr-ng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y qua hÖ tham sè tèt vµ tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ läc chiÒu cña m«®un ®Þa ph-¬ng ho¸ sÏ ®-îc sö dông rÊt nhiÒu trong ch-¬ng 3. Ch-¬ng 3 bÊt biÕn pF (M ) Néi dung chÝnh cña ch-¬ng nµy lµ chóng t«i chøng minh hµm IF ,M (x(n)) bÞ chÆn trªn bëi mét ®a thøc vµ bËc nhá nhÊt cña tÊt c¶ c¸c ®a thøc chÆn trªn hµm IF ,M (x(n)) kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän hÖ tham sè tèt x cña M t-¬ng øng víi läc F , chØ ra mèi liªn hÖ gi÷a bÊt biÕn pF (M ) víi m«®un Cohen - Macaulay d·y vµ m«®un Cohen - Macaulay suy réng d·y. H¬n n÷a bÊt biÕn nµy ®óng b»ng chiÒu cña quü tÝch kh«ng Cohen - Macaulay d·y khi R lµ th-¬ng cña mét vµnh Cohen - Macaulay vµ F lµ läc chiÒu cña M . MÆc dï t¸c gi¶ ®· cã nhiÒu cè g¾ng vµ lµm viÖc nghiªm tóc, nh-ng ch¾c ch¾n luËn v¨n sÏ cßn nh÷ng h¹n chÕ, thiÕu sãt nhÊt ®Þnh. T¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®-îc sù gãp ý, bæ sung cña quý thÇy, c« gi¸o vµ ng-êi ®äc. Quy Nh¬n, th¸ng 03 n¨m 2008. T¸c gi¶
5 Ch-¬ng 1 kiÕn thøc chuÈn bÞ Lý thuyÕt vÒ sù ph©n tÝch nguyªn s¬ 1.1 Trong môc nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc cÇn thiÕt vÒ sù ph©n tÝch nguyªn s¬ cña c¸c m«®un con cña mét m«®un theo [14, ch-¬ng 3]. §Þnh nghÜa 1.1.1. Cho R lµ mét vµnh giao ho¸n vµ M lµ mét R - m«®un. Mét i®ªan nguyªn tè p ®-îc gäi lµ mét i®ªan nguyªn tè liªn kÕt víi M nÕu tån t¹i x ∈ M vµ x = 0 sao cho p = Ann(x). TËp c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt víi M ®-îc kÝ hiÖu lµ AssR (M ) hay Ass(M ). H¬n n÷a Ass(M ) = ∅ nÕu vµ chØ nÕu M = 0. §Æc biÖt nÕu M lµ h÷u h¹n sinh vµ R lµ mét vµnh giao ho¸n Noether th× Ass(M ) lµ h÷u h¹n. §Þnh nghÜa 1.1.2. i) Mét R - m«®un M ®-îc gäi lµ ®èi nguyªn s¬ nÕu cã duy nhÊt mét i®ªan nguyªn tè liªn kÕt. ii) M«®un con N cña M ®-îc gäi lµ mét m«®un con nguyªn s¬ cña M nÕu M/N lµ ®èi nguyªn s¬. NÕu AssR (M/N ) = {p}, th× N ®-îc gäi lµ p - nguyªn s¬. Bæ ®Ò 1.1.3. C¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng: (1) R- m«®un M lµ ®èi nguyªn s¬ ; (2) M = 0 vµ nÕu a ∈ R lµ -íc cña kh«ng cña M th× víi mçi x ∈ M tån t¹i mét sè nguyªn d-¬ng n sao cho an x = 0. Chó ý 1.1.4. Khi M = R/q víi q ∈ Ass(M ) th× ®iÒu kiÖn (2) t-¬ng ®-¬ng víi mäi -íc cña kh«ng cña vµnh R/q lµ luü linh.
6 MÖnh ®Ò 1.1.5. NÕu M lµ -R m«®un lµ ®èi nguyªn s¬ h÷u h¹n sinh víi AssM = {p} th× Ann(M ) lµ i®ªan p- nguyªn s¬ cña R. §Þnh nghÜa 1.1.6. Cho N lµ mét m«®un con cña M . Mét sù ph©n tÝch nguyªn s¬ cña N lµ mét ph©n tÝch N = Q1 ∩ · · · ∩ Qr thµnh giao h÷u h¹n c¸c m«®un con nguyªn s¬ Qi cña M . Sù ph©n tÝch nguyªn s¬ nµy ®-îc gäi lµ sù ph©n tÝch rót gän nÕu kh«ng thÓ bá mét Qi vµ c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña M/Qi (1 ≤ i ≤ r) ®«i mét kh¸c nhau. DÔ thÊy r»ng mäi sù ph©n tÝch nguyªn s¬ cña m«®un con N cña M ®Òu cã thÓ quy vÒ mét sù ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän. MÖnh ®Ò 1.1.7. NÕu N = Q1 ∩ · · · ∩ Qr lµ mét ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän cña m«®un con N vµ Qi lµ pi -nguyªn s¬ th× Ass(M/N ) = {p1 , · · · , pr }. §Þnh lý 1.1.8. Cho R lµ vµnh Noether vµ M lµ mét R-m«®un. Khi ®ã víi mçi p ∈ Ass(M ) ta cã thÓ chän mét m«®un p- nguyªn s¬ Q(p) sao cho 0= ∩ Q(p). p∈AssM HÖ qu¶ 1.1.9. NÕu M lµ mét R - m«®un h÷u h¹n sinh th× mäi m«®un con cña M ®Òu cã mét sù ph©n tÝch nguyªn s¬. MÖnh ®Ò 1.1.10. ( theo [15, 3.13]) Cho I lµ mét i®ªan cña R, ®Æt A = {p ∈ AssM : p ⊃ I }. NÕu 0 = Q(p) lµ mét ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän cña ∩ p∈AssM m«®un con 0 cña M vµ Q(p) lµ p-nguyªn s¬ th× 0 HI (M ) = Q(p). p∈A /
7 Lý thuyÕt béi 1.2 Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ béi theo Northcott (theo [17, ch-¬ng 7]). §Þnh nghÜa 1.2.1. Cho (R, m) lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng víi i®ªan cùc ®¹i m vµ M lµ mét R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dimM = d. Mét hÖ c¸c phÇn tö x = (x1, ..., xt) cña R sao cho M /(x)M < +∞ ®-îc gäi lµ mét hÖ R béi cña M . ë ®©y nÕu t = 0 th× ta hiÓu ®iÒu kiÖn trªn cã nghÜa lµ < +∞. R (M ) Khi ®ã ký hiÖu béi e(x; M ) cña M ®èi víi hÖ béi x ®-îc ®Þnh nghÜa quy n¹p theo t nh- sau. Gi¶ sö t = 0, tøc lµ < +∞, khi ®ã ta ®Æt e(∅; M ) = . R (M ) R (M ) Víi t > 0, ®Æt (0 : x1) = {m ∈ M | mx1 = 0}. V× M /(x)M < +∞ nªn R M ta dÔ dµng suy ra r»ng (x2 , ..., xt) lµ mét hÖ béi cña (0 : x1 ) vµ M/x1 M . ¸p M dông gi¶ thiÕt quy n¹p th× e(x2, ..., xt; M/x1 M ) vµ e(x2, ..., xt; 0 : x1) ®· ®-îc x¸c M ®Þnh, khi ®ã ta ®Þnh nghÜa e(x; M ) = e(x2, ..., xt; M/x1 M ) − e(x2, ..., xt; 0 : x1). M Mét hÖ c¸c phÇn tö (x1, ..., xd) cña m ®-îc gäi lµ mét hÖ tham sè cña M nÕu (x1, ..., xd) lµ mét hÖ béi cña M . D-íi ®©y lµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n cña sè béi e(x; M ) . §Þnh lý 1.2.2. Gi¶ sö 0 −→ M −→ N −→ P −→ 0 lµ mét d·y khíp ng¾n c¸c R-m«®un Noether vµ x = (x1, ..., xt) lµ hÖ béi trªn M , N vµ P . Khi ®ã e(x; N ) = e(x; M ) + e(x; P ). MÖnh ®Ò 1.2.3. Cho x = (x1 , ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . NÕu {i1 , i2, ..., it} lµ mét ho¸n vÞ cña {1, 2, ..., t} th× e(x1, x2, ..., xt; M ) = e(xi1 , xi2 , ..., xit ; M ).
8 MÖnh ®Ò 1.2.4. Cho x = (x1 , ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . NÕu cã mét gi¸ trÞ i sao cho xn M = 0, víi n lµ mét sè nguyªn d-¬ng nµo ®ã th× e(x; M ) = 0. i MÖnh ®Ò 1.2.5. Cho x = (x1, ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . Khi ®ã M /(x)M . 0 ≤ e(x; M ) ≤ R MÖnh ®Ò 1.2.6. Cho x = (x1 , ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . Khi ®ã víi n1, n2 , ..., nt lµ c¸c sè nguyªn d-¬ng tuú ý ta cã e(xn1 , xn2 , ..., xnt ; M ) = n1 .n2 . . . nt e(x1, ..., xt; M ). 1 2 t MÖnh ®Ò 1.2.7. Cho x = (x1, ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . Khi ®ã e(x; M ) = 0 khi t > dim M . §Þnh lý 1.2.8. Cho x = (x1, ..., xt) vµ y = (y1 , ..., yt) lµ c¸c hÖ béi cña M . Gi¶ sö xM ⊆ y M . Khi ®ã e(y ; M ) ≤ e(x; M ). §Þnh lý 1.2.9. (C«ng thøc giíi h¹n cña Lech) Cho x = (x1 , ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . Khi ®ã (M/(xn1 , xn2 , ..., xnt )M ) t 1 2 lim = e(x; M ). n1 .n2 ...nt min(ni )→∞ C«ng thøc sau ®©y cña Auslander - Buchsbaum th-êng ®-îc sö dông trong c¸c chøng minh cña ch-¬ng tiÕp theo. §Þnh lý 1.2.10. ( theo [1, 4.2] ) Cho x = (x1, ..., xt) lµ mét hÖ béi cña M . Khi ®ã R (M/(x1 , · · · , xt )M ) − e(x; M ) = t = e(xi+1 , · · · , xt; (x1 , · · · , xi−1 )M : xi/(x1 , · · · , xi−1 )M ). i=1
9 M«®un Cohen-Macaulay vµ m«®un Cohen- 1.3 Macaulay suy réng Tr-íc hÕt chóng t«i nh¾c l¹i kh¸i niÖm d·y chÝnh quy (theo [14, ch-¬ng 6]) . §Þnh nghÜa 1.3.1. Cho R lµ mét vµnh giao ho¸n, M lµ mét R-m«®un vµ a1, ..., ar lµ c¸c phÇn tö thuéc R. Ta ký hiÖu (a) lµ i®ªan (a1, ..., ar) vµ aM lµ m«®un con r ai M = (a)M . Ta nãi a1, ..., ar lµ M - d·y chÝnh quy (hay M -d·y) nÕu c¸c ®iÒu i=1 kiÖn sau ®-îc tho¶ : (1) Víi mçi 1 ≤ i ≤ r, ai kh«ng lµ -íc cña kh«ng cña M/(a1 , ..., ai−1)M . (2) aM = M. Khi tÊt c¶ c¸c phÇn tö a1, ..., ar thuéc vÒ mét i®ªan I cña R, ta nãi r»ng a1, ..., ar lµ mét M -d·y trong I . H¬n n÷a nÕu kh«ng tån t¹i b ∈ I sao cho a1, ..., ar, b lµ M -d·y th× a1, ..., ar ®-îc gäi lµ mét M -d·y cùc ®¹i trong I . Bæ ®Ò 1.3.2. Gi¶ sö a1 , ..., ar lµ M - d·y vµ a1 m1 + ... + ar mr = 0, mi ∈ M, i = 1, ..., r. Khi ®ã mi ∈ aM víi mäi i = 1, ..., r. §Þnh lý 1.3.3. NÕu (a1, ..., ar) lµ mét M -d·y th× (an1 , ..., anr ) lµ mét M -d·y víi 1 r mäi sè nguyªn d-¬ng n1 , ..., nr . §Þnh lý 1.3.4. Cho R lµ mét vµnh Noether, M lµ mét R-m«®un h÷u h¹n sinh vµ I lµ mét i®ªan sao cho IM = M. Víi mäi sè nguyªn d-¬ng n ta cã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t-¬ng ®-¬ng: i) Exti (N, M ) = 0 víi mäi i < n vµ víi mäi R-m«®un h÷u h¹n sinh N mµ R Supp(N ) ⊆ V (I ); ii) Exti (R/I, M ) = 0 víi mäi i < n; R
10 iii) Tån t¹i R-m«®un h÷u h¹n sinh N víi Supp(N ) ⊆ V (I ) sao cho Exti (N, M ) = R 0 víi mäi i < n; iv) Tån t¹i mét M -d·y a1, ..., an trong I cã ®é dµi n. Tõ §Þnh lý trªn ta thÊy khi M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh th× hai M -d·y cùc ®¹i bÊt kú trong I ®Òu cã cïng ®é dµi. §Þnh nghÜa 1.3.5. Cho R lµ mét vµnh giao ho¸n Noether, M lµ mét m«®un h÷u h¹n sinh vµ I lµ mét i®ªan cña R sao cho IM = M . Khi ®ã ®é dµi cña c¸c M -d·y cùc ®¹i trong I ®-îc gäi lµ I -®é s©u cña M vµ ký hiÖu lµ depthI (M ). Khi (R, m) lµ mét vµnh ®Þa ph-¬ng ta ký hiÖu depth(M ) hay depthR (M ) thay cho depthm (M ) vµ gäi lµ ®é s©u cña M . §Þnh lý 1.3.6. Cho (R, m) lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng vµ M = 0 lµ mét m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã depth(M ) ≤ dim(R/p) víi mäi p ∈ Ass(M ). Bæ ®Ò 1.3.7. Cho (R, m) lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng, M lµ mét m«®un h÷u h¹n sinh vµ (a1 , ..., ar) lµ mét M -d·y. Khi ®ã dimM/(a1 , ..., ar)M = dimM − r. TiÕp theo chóng t«i tr×nh bµy kh¸i niÖm m«®un Cohen-Macaulay theo [14, ch-¬ng 6]. §Þnh nghÜa 1.3.8. Cho (R, m) lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng vµ M lµ mét m«®un h÷u h¹n sinh. Mét R-m«®un M ®-îc gäi lµ m«®un Cohen- Macaulay nÕu M = 0 hoÆc dimM = depthM . Vµnh R ®-îc gäi lµ vµnh Cohen-Macaulay nÕu nã lµ mét R-m«®un Cohen- Macaulay.
11 §Þnh lý 1.3.9. Cho (R, m) lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng vµ M lµ mét R-m«®un h÷u h¹n sinh. Khi ®ã i) NÕu M lµ m«®un Cohen-Macaulay vµ p ∈ Ass(M ) th× depthM = dimR/p; ii) NÕu (a1, ..., ar) lµ mét M -d·y trong m vµ M = M/aM th× M lµ m«®un Cohen-Macaulay khi vµ chØ khi M lµ m«®un Cohen-Macaulay; iii) NÕu M lµ m«®un Cohen-Macaulay th× víi mäi p ∈ Spec(R) th× Mp lµ Rp - m«®un Cohen-Macaulay vµ nÕu Mp = 0 th× depthp M = depthRp Mp . §Þnh lý 1.3.10. Cho M lµ mét R-m«®un h÷u h¹n sinh víi dimM = d vµ (R, m) lµ mét vµnh giao ho¸n Noether ®Þa ph-¬ng. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau lµ t-¬ng ®-¬ng: i) M lµ m«®un Cohen-Macaulay; ii) Tån t¹i mét i®ªan tham sè p cña M sao cho e(p; M ) = ; R (M/pM ) iii) e(p; M ) = víi mäi i®ªan tham sè p cña M ; R (M/pM ) iv) Tån t¹i mét hÖ tham sè cña M lµ M -d·y; v) Mäi hÖ tham sè cña M ®Òu lµ M -d·y; i vi) Hm (M ) = 0 víi i = 0, ..., d − 1. §Þnh nghÜa 1.3.11. (theo [8]) M«®un M ®-îc gäi lµ m«®un Cohen-Macaulay suy réng nÕu I (M ) = sup{ (M/(x1 , · · · , xd )M ) − e(x; M )} < +∞ x trong ®ã x ch¹y trªn tÊt c¶ c¸c hÖ tham sè cña M .
12 Lý thuyÕt kiÓu ®a thøc 1.4 Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy l¹i c¸c kÕt qu¶ cã liªn ®Õn kiÓu ®a thøc cña mét m«®un theo [5]. Ký hiÖu (R, m) lµ vµnh ®Þa ph-¬ng giao ho¸n Noether vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu d. Cho x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè cña M vµ n = (n1 , ..., nd) lµ mét bé d sè nguyªn d-¬ng. XÐt hiÖu IM (n; x) = (M/(xn1 , ..., xnd )M ) − n1 ...nde(x; M ). 1 d nh- mét hµm theo n, ë ®©y e(x; M ) lµ béi Serre cña M øng víi hÖ (x1, ..., xd). Bæ ®Ò 1.4.1. Cho x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè cña M . Khi ®ã (M/(x(n))M ) ≤ n1 ...nd (M/(x)M ) víi mäi sè nguyªn d-¬ng n1 , ..., nd. §Æt IM (x) = IM (n; x) khi n1 = ... = nd = 1. Bæ ®Ò cho ta hÖ qu¶ sau. HÖ qu¶ 1.4.2. IM (n; x) ≤ n1 ...ndIM (x). HÖ qu¶ 1.4.2 nãi lªn r»ng nÕu hµm IM (n; x) kh«ng ph¶i lµ mét ®a thøc th× Ýt nhÊt hµm ®ã còng bÞ chÆn trªn bëi mét ®a thøc n1 ...ndIM (x). §Þnh lý sau ®©y kh¸i qu¸t tÝnh chÊt trªn. §Þnh lý 1.4.3. BËc nhá nhÊt cña c¸c ®a thøc theo n chÆn trªn hµm sè IM (n; x) kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän hÖ tham sè x. §Þnh nghÜa 1.4.4. BËc nhá nhÊt cña c¸c ®a thøc theo n chÆn trªn hµm sè IM (n; x) lµ mét bÊt biÕn cña M . BÊt biÕn nµy gäi lµ kiÓu ®a thøc cña M vµ kÝ hiÖu lµ p(M ). Chó ý 1.4.5. (i) NÕu xem bËc cña ®a thøc 0 lµ −∞ th× khi ®ã M lµ m«®un Cohen-Macaulay nÕu vµ chØ nÕu p(M ) = −∞.
13 M lµ m«®un Cohen-Macaulay suy réng nÕu vµ chØ nÕu p(M ) ≤ 0. (ii) NÕu M kh«ng lµ m«®un Cohen-Macaulay th× ta cã bÊt ®¼ng thøc 0 ≤ p(M ) ≤ dim M − 1. §Þnh nghÜa 1.4.6. Mét phÇn hÖ tham sè x1, ..., xj cña M ®-îc gäi lµ d·y thu gän nÕu ®iÒu kiÖn sau ®-îc tho¶ m·n: xj ∈ p víi mäi p ∈ Ass(M/(x1 , ..., xi−1)M ) víi / dim(R/p) ≥ d − i, i = 1, ..., j . §Æt r(M ) = inf{k/ mäi phÇn cña mét hÖ tham sè cã (d − k − 1) phÇn tö ®Òu lµ mét d·y thu gän cña M }. KÝ hiÖu nCM(M ) lµ quü tÝch kh«ng Cohen - Macaulay tøc lµ nCM(M ) = {p ∈ SuppM : Mp kh«ng Cohen - Macaulay }. §Þnh lý 1.4.7. Gi¶ sö R lµ vµnh th-¬ng cña mét vµnh Cohen - Macaulay vµ k lµ mét sè nguyªn d-¬ng. Khi ®ã c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y lµ t-¬ng ®-¬ng: i) p(M ) ≤ k ; ii) Mét phÇn cña mét tham sè cã (d − k − 1) phÇn tö lµ d·y thu gän; iii) Víi mäi i®ªan nguyªn tè p ∈ SuppM sao cho dim R/p > k , ta cã Mp lµ Cohen - Macaulay vµ dim Mp + dim(R/p) = d; iv) Víi mäi i®ªan nguyªn tè p ∈ SuppM sao cho dim R/p = k + 1, ta cã Mp lµ Cohen - Macaulay vµ dim Mp + dim(R/p) = d. HÖ qu¶ 1.4.8. Gi¶ sö R lµ vµnh th-¬ng cña mét vµnh Cohen - Macaulay vµ M lµ ®¼ng chiÒu. Khi ®ã p(M ) = r(M ) = dim nCM(M ).
14 Ch-¬ng 2 Läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt Nh- sÏ tr×nh bµy trong ch-¬ng 3 th× bÊt biÕn pF (M ) cã liªn quan cã liªn quan chÆt chÏ ®Õn läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt, mÆt kh¸c läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt còng lµ mét c«ng cô míi h÷u hiÖu ®Ó nghiªn cøu cÊu tróc cña c¸c m«®un. Do ®ã chóng t«i dµnh ch-¬ng nµy ®Ó tr×nh bµy l¹i mét sè kÕt qu¶ vÒ läc chiÒu vµ hÖ tham sè tèt, chØ ra ®Æc tr-ng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y qua hÖ tham sè tèt vµ tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ läc chiÒu cña m«®un ®Þa ph-¬ng ho¸ sÏ ®-îc sö dông rÊt nhiÒu trong ch-¬ng tiÕp theo. Tõ ®©y ta ký hiÖu (R, m) lµ vµnh ®Þa ph-¬ng giao ho¸n Noether vµ M lµ R-m«®un h÷u h¹n sinh cã chiÒu d. HÖ tham sè tèt 2.1 Trong môc nµy, chóng t«i tr×nh bµy cô thÓ nh÷ng kÕt qu¶ vÒ hÖ tham sè tèt theo [7], [9], vµ [12]. §Þnh nghÜa 2.1.1. (theo [9, 2.1]) (i) Ta nãi r»ng mét läc c¸c m«®un con cña M F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu nÕu dimMi−1 < dimMi víi i = 1, 2, ..., t. (ii) Mét läc D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M ®-îc gäi lµ läc chiÒu cña M nÕu 0 (1) D0 = Hm (M ) lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu thø kh«ng cña M øng víi i®ªan cùc ®¹i m. (2) Di−1 lµ m«®un con lín nhÊt cña Di mµ dimDi−1 < dimDi víi i = t, t − 1, ..., 1.
15 V× tÝnh Noether cña M nªn mÖnh ®Ò sau sÏ cho ta thÊy läc chiÒu cña M lu«n tån t¹i vµ duy nhÊt. MÖnh ®Ò 2.1.2. (theo [18, 2.2]) Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M víi dim Di = di vµ N (p) = 0 lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän cña p∈AssM m«®un con kh«ng cña M , khi ®ã Di = N (p). dim R/p≥di+1 Chøng minh. §Æt ai = p. p∈AssM,dimR/p≤di NÕu {p ∈ Ass(M ) | dimR/p ≤ di } = ∅ th× ®Æt ai = R. 0 Theo MÖnh ®Ò 1.1.10 th× Hai (M ) = N (p). dim R/p≥di+1 0 0 Ta cã SuppHai (M ) = Supp(M ) ∩ V (ai ), tõ ®ã suy ra Di ⊆ Hai (M ) v× mäi phÇn tö cña Di ®Òu thuéc linh ho¸ tö cña mét i®ªan cã chiÒu nhá h¬n hoÆc b»ng di . 0 Theo tÝnh cùc ®¹i cña Di ta suy ra Di = Hai (M ). 0 VËy Di = Hai (M ) = N (p). dim R/p≥di+1 HÖ qu¶ 2.1.3. (theo [18, 2.3]) Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M . Khi ®ã AssDi = {p ∈ AssM | dimR/p ≤ di } ; AssM/Di = {p ∈ AssM | dimR/p > di } ; AssDi /Di−1 = {p ∈ AssM | dimR/p = di } víi mäi 0 ≤ i ≤ t. 0 Chøng minh. Ta biÕt AssHai (M ) = {p ∈ AssM | p ∈ V (ai )}. Do ®ã tõ MÖnh ®Ò 2.1.2 ta suy ra AssDi = {p ∈ AssM | dimR/p ≤ di } . V× AssM/Di = AssM \V (ai ) nªn AssM/Di = {p ∈ AssM | dimR/p > di } . Tõ d·y khíp ng¾n 0 −→ Di−1 −→ Di −→ Di /Di−1 −→ 0 ta cã AssDi ⊆ AssDi−1 ∪ AssDi /Di−1 . H¬n n÷a v× Di /Di−1 ⊆ M/Di−1 nªn ta dÔ suy ra ®-îc AssDi /Di−1 = {p ∈ AssM | dimR/p = di } víi 1 ≤ i ≤ t.
16 Läc chiÒu còng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu. Trong ch-¬ng nµy ta lu«n ký hiÖu läc chiÒu bëi D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M . §Þnh nghÜa 2.1.4. (theo [9, 2.3]) Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M lµ mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ ®Æt di = dimMi . Mét hÖ tham sè x = (x1, ..., xd) ®-îc gäi lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F nÕu Mi ∩ (xdi +1 , ..., xd)M = 0 víi i = 1, 2, ..., t − 1. Mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc chiÒu ®-îc gäi lµ mét hÖ tham sè tèt cña M . NhËn xÐt 2.1.5. Cho N lµ m«®un con cña M . Tõ ®Þnh nghÜa läc chiÒu tån t¹i m«®un Di sao cho N ⊆ Di vµ dimN = dimDi . V× vËy, nÕu M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M lµ mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu th× tån t¹i 0 ≤ i0 < i1 < ... < it sao cho Mj ⊆ Dij vµ dimMj = dimDij . Do ®ã, mét hÖ tham sè tèt còng lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc bÊt kú tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu. Bæ ®Ò 2.1.6. (theo [7, 2.4]) HÖ tham sè tèt cña M lu«n tån t¹i. Chøng minh. Gi¶ sö D lµ läc chiÒu cña M víi di = dim Di . Cho N (p) = 0 lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän cña m«®un con kh«ng cña p∈AssM M , khi ®ã Di = N (p). §Æt Ni = N (p). dim R/p≥di+1 dim R/p≤di Khi ®ã Di ∩ Ni = 0 vµ dim(M/Ni ) = dim(R/Ann(M/Ni )) = dim(R/Ann(Di )) = di . Theo §Þnh lý tr¸nh nguyªn tè tån t¹i mét hÖ tham sè x = (x1, ..., xd) sao cho xdi +1 , ..., xd ∈ Ann(M/Ni ). V× vËy (xdi +1 , ..., xd)M ∩ Di ⊆ Ni ∩ Di do ®ã Mi ∩ (xdi +1 , ..., xd)M = 0, tøc lµ x = (x1 , ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt cña M . Bæ ®Ò 2.1.7. (theo [9, 2.4]) NÕu mét hÖ tham sè x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F th× (xn1 , ..., xnd ) còng lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng 1 d víi läc F víi bÊt kú c¸c sè nguyªn d-¬ng n1, ..., nd.
17 Chøng minh. Gi¶ sö x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F . V× (xn1 , ..., xnd )M ⊆ (x1 , ..., xd)M nªn (xn1 , ..., xnd ) lµ mét hÖ tham sè cña M vµ 1 1 d d Mi ∩ (xn1 , ..., xnd )M = 0. Do ®ã (xn1 , ..., xnd ) còng lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng 1 1 d d øng víi läc F . Bæ ®Ò 2.1.8. (theo [9, 2.4]) NÕu x lµ mét hÖ tham sè tèt cña M th× xj ∈ p víi p∈AssDi mäi j > dimDi . Ng-îc l¹i, nÕu x lµ mét hÖ tham sè cña M sao cho xj ∈ p p∈AssDi víi mäi j > dimDi th× (xs , ..., xs ) lµ mét hÖ tham sè tèt cña M víi s ®ñ lín. 1 d Chøng minh. Theo HÖ qu¶ 2.1.3 th× AssDi = {p ∈ AssM |dimR/p ≤ di }. Cho N (p) = 0 lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ rót gän cña m«®un con kh«ng p∈Ass(M ) cña M , ®Æt Ni = N (p). V× x lµ mét hÖ tham sè tèt cña M nªn xj ∈ dim R/p≤di Ann(M/Ni ).Mµ N (p) lµ p-m«®un nguyªn s¬ nªn dÔ suy ra r»ng xj ∈ p. p∈AssDi Ng-îc l¹i, gi¶ sö xj ∈ p, víi mäi j > dimDi . Khi ®ã víi mçi j > dimDi ∩ dim R/p≤di n xj j vµ xj ∈ p, tån t¹i nj sao cho ∈ Ann(M/N (p)). §Æt s = max nj , khi ®ã xs ∈ Ann(M/N (p)), víi mäi j > dimDi . j j>dim Di Do ®ã Di ∩ (xs i +1 , ..., xs )M = 0. VËy (xs , ..., xs ) lµ mét hÖ tham sè tèt cña M . 1 d d d §Þnh nghÜa 2.1.9. (theo [9, 2.2]) Mét R-m«®un M ®-îc gäi lµ mét m«®un Cohen- Macaulay d·y nÕu mçi th-¬ng Di /Di−1 cña läc chiÒu D lµ Cohen-Macaulay víi i = 1, 2, ..., t. Bæ ®Ò 2.1.10. (theo [12, 2.1]) NÕu x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc chiÒu D cña M th× Di = 0 :M xj víi mäi di < j ≤ di+1 , i = 0, 1, ..., t − 1, vµ v× vËy ta cã 0 :M x1 ⊆ 0 :M x2 ⊆ ... ⊆ 0 :M xd . Chøng minh. V× Di ∩ (xdi +1 , ..., xd)M = 0 nªn Di ⊆ 0 :M xj víi mäi j ≥ di + 1. Ta cÇn chøng minh 0 :M xj ⊆ Di víi mäi di < j ≤ di+1 .
18 ThËt vËy, gi¶ sö 0 :M xj ⊆ Di . Gäi s lµ sè nguyªn lín nhÊt sao cho 0 :M xj ⊆ Ds−1 . Khi ®ã t ≥ s > i vµ 0 :M xj = 0 :Ds xj . V× ds ≥ di+1 ≥ j nªn xj lµ phÇn tö tham sè cña Ds vµ v× vËy dim 0 :M xj < ds . Do ®ã 0 :M xj ⊆ Ds−1 theo tÝnh cùc ®¹i cña Ds−1 . §iÒu nµy m©u thuÉn víi c¸ch chän s. V× vËy Di = 0 :M xj . Bæ ®Ò 2.1.11. (theo [12, 2.2]) Cho N lµ m«®un con cña M sao cho dim N < dim M vµ M/N lµ m«®un Cohen - Macaulay. NÕu x1 , ..., xi, 1 ≤ i ≤ d lµ mét phÇn cña hÖ tham sè cña M th× (x1 , ..., xi)M ∩ N = (x1 , ..., xi)N . Chøng minh. Ta chøng minh b»ng qui n¹p theo i. Tr-êng hîp i = 1 lµ hiÓn nhiªn. Gi¶ sö i > 1. LÊy a ∈ (x1 , ..., xi)M ∩ N . Ta viÕt a = x1a1 + ... + xi ai víi aj ∈ M , j = 1, ..., i. V× a ∈ N nªn ai ∈ (N + (x1, ..., xi−1)M ) :M xi. MÆt kh¸c theo §Þnh lý 1.3.10 v× d·y x1, ..., xi lµ M/N -chÝnh quy nªn (N + (x1 , ..., xi−1)M ) :M xi = N + (x1, ..., xi−1)M vµ ta cã ai ∈ (N + (x1, ..., xi−1)M ). Khi ®ã ai = x1b1 + ... + xi−1 bi−1 + c víi bj ∈ M , j = 1, ..., i − 1 vµ c ∈ N . Do ®ã theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã a − xi c ∈ (x1 , ..., xi−1)M ∩ N = (x1, ..., xi−1)N . VËy a ∈ (x1, ..., xi)N . HÖ qu¶ 2.1.12. (theo [12, 2.3]) NÕu x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt cña m«®un Cohen - Macaulay d·y M th× (x1, ..., xd)M ∩ Di = (x1, ..., xdi )Di víi mäi i = 1, ..., t − 1.
19 Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M lµ mét läc c¸c m«®un con cña M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu víi di = dim Mi vµ x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi F . Khi ®ã (x1, ..., xdi ) lµ mét hÖ tham sè cña Mi . XÐt hiÖu t IF ,M (x) = (M/(x1 , ..., xd)M − e(x1, ..., xdi ; Mi ) i=0 víi e(x1, ..., xdi ; Mi ) lµ béi Serre vµ ®Æt e(x1, ..., xd0 ; M0 ) = (M0 ) nÕu dim M0 = 0. Bæ ®Ò 2.1.13. Cho F lµ mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi F . Khi ®ã läc F /xd F : (M0 + xd M )/xd M ⊂ (M1 + xd M )/xd M ⊂ ... ⊂ (Ms + xd M )/xd M ⊂ M/xd M víi s = t − 1 nÕu dt−1 < d − 1 vµ s = t − 2 nÕu dt−1 = d − 1 còng lµ läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu. H¬n n÷a hÖ x = (x1, ..., xd−1) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F /xd F . Chøng minh. V× Mi ∩ xd M = 0 nªn (Mi + xd M )/xd M ∼ Mi víi i ≤ s, do ®ã läc = F /xd F tho¶ ®iÒu kiÖn chiÒu vµ dÔ chøng minh r»ng (Mi + xd M )/xd M ∩ (xdi +1 , ..., xd−1)M/xd M = 0, víi mäi i ≤ s. VËy x lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F /xd F . Bæ ®Ò 2.1.14. (theo [7, 2.6]) Cho F lµ mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu vµ x = (x1, ..., xd) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi F . Khi ®ã IF ,M (x) ≥ 0. Chøng minh. Theo Bæ ®Ò 2.1.13 th× läc F /xd F tho¶ ®iÒu kiÖn chiÒu vµ x = (x1, ..., xd−1) lµ mét hÖ tham sè tèt t-¬ng øng víi läc F /xd F . Khi ®ã ta cã s IF /xdF ,M/xd M (x ) = (M/xM ) − e(x ; M/xd M ) − e(x1, ..., xdi ; Mi ) i=0 s e(x1, ..., xdi ; Mi ). = (M/xM ) − e(x ; 0 :M xd ) − e(x; M ) − i=0 NÕu dt−1 < d − 1 th× IF ,M (x) − IF /xd F ,M/xdM (x ) = e(x ; 0 :M xd ) ≥ 0.