Luận văn: VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3)

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

123
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhóm các phép quay SO(3) xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực khác nhau của toán học do đó nó là một đối tượng kinh điển đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. Đối tượng được trình bày trong luận văn là nhóm con của nhóm SO(3) sinh bởi hai phép quay có bậc hữu hạn quanh các trục vuông góc. Nhóm các phép quay này được quan tâm nghiên cứu do nó có ứng dụng trong lí thuyết Tilings, một lí thuyết nghiên cứu quá trình phủ không gian bằng các bản copy của một số hữu hạn các hình đa diện cho trước....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỖ VIỆT HÙNG VỀ NHÓM CON CỦA NHÓM SO(3) Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ THẾ KHÔI THÁI NGUYÊN - 2008 S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn
Lêi nãi ®Çu Nhãm c¸c phÐp quay SO(3) xuÊt hiÖn nhiÒu trong c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau cña to¸n häc do ®ã nã lµ mét ®èi tîng kinh ®iÓn ®· ®îc nghiªn cøu bëi nhiÒu nhµ to¸n häc. §èi tîng ®îc tr×nh bµy trong luËn v¨n lµ nhãm con cña nhãm SO(3) sinh bëi hai phÐp quay cã bËc h÷u h¹n quanh c¸c trôc vu«ng gãc. Nhãm c¸c phÐp quay nµy ®îc quan t©m nghiªn cøu do nã cã øng dông trong lÝ thuyÕt Tilings, mét lÝ thuyÕt nghiªn cøu qu¸ tr×nh phñ kh«ng gian b»ng c¸c b¶n copy cña mét sè h÷u h¹n c¸c h×nh ®a diÖn cho tríc. Tuy nhiªn trong khu«n khæ cña mét luËn v¨n Cao häc, chóng t«i chØ tËp trung t×m hiÓu kÕt qu¶ ®¹i sè thuÇn tuý mµ kh«ng tr×nh bµy ®îc lÝ thuyÕt Tilings. Bµi to¸n ®¹i sè nghiªn cøu trong luËn v¨n lµ t×m hiÓu cÊu tróc ®¹i sè cña c¸c nhãm con G(p, q ) sinh bëi hai phÐp quay quanh hai trôc vu«ng gãc víi c¸c gãc quay lÇn lît lµ 2π/p vµ 2π/q . Chóng ta nghiªn cøu nhãm con nµy víi chó ý lµ ta ®· cã mét sè kÕt qu¶ bíc ®Çu nh sau: NÕu p hoÆc q b»ng 1, G(p, q ) lµ nhãm Cyclic h÷u h¹n; nÕu p hoÆc q b»ng 2, G(p, q ) lµ nhãm nhÞ diÖn h÷u h¹n; G(4, 4) lµ nhãm ®èi xøng cña c¸c h×nh lËp ph¬ng; cßn tÊt c¶ c¸c trêng hîp kh¸c G(p, q ) lµ trï mËt trong SO(3). LuËn v¨n ®îc tr×nh bµy theo bµi b¸o [4] cña hai t¸c gi¶ C.radin vµ L.Sadun (n¨m 1998). KÕt qu¶ chÝnh ®Çu tiªn cña luËn v¨n chÝnh lµ ®Þnh lÝ cÊu tróc (§Þnh lÝ 2.1.2), chØ ra r»ng nhãm G(p, q ) ®¼ng cÊu víi tÝch tù do vµ tÝch tù do víi nhãm con chung cña c¸c nhãm ®¬n gi¶n lµ nhãm cyclic hay nhãm nhÞ diÖn. KÕt qu¶ tiÕp theo lµ ®Þnh lÝ vÒ d¹ng chuÈn t¾c cña c¸c phÇn tö nãi r»ng mäi phÇn tö cña nhãm G(p, q ) ®Òu cã thÓ biÓu diÔn mét c¸ch duy nhÊt díi d¹ng tÝch cña mét sè phÇn tö cã d¹ng cô thÓ (Xem ®Þnh lÝ 2.2.1 vµ 2.2.6). Ngoµi ra trong phÇn cuèi luËn v¨n cßn nghiªn cøu mét vÝ dô vÒ nhãm con cña nhãm SO(3) sinh bëi hai phÐp quay víi c¸c gãc quay lµ tÝch cña 2π víi mét sè v« tØ hay siªu viÖt. B»ng c¸ch sö dông kÜ thuËt nh phÇn ®Çu, luËn v¨n chøng minh ®îc mét sè trêng hîp nhãm trong vÝ dô lµ ®¼ng cÊu víi nhãm tù do sinh bëi hai 4
phÇn tö. LuËn v¨n gåm 3 ch¬ng. Ch¬ng 1 dµnh ®Ó giíi thiÖu c¸c kh¸i niÖm, c¸c tÝnh chÊt ®Æc trng vµ c¸c vÝ dô minh häa vÒ phÐp quay vµ ma trËn phÐp quay; nhãm tù do; tÝch tù do; tÝch tù do víi nhãm con chung nh»m phôc vô cho ch¬ng sau. Ch¬ng 2 lµ ch¬ng tr×nh bµy nh÷ng néi dung chÝnh cña luËn v¨n gåm hai phÇn. PhÇn 1 tr×nh bµy biÓu diÔn cho nhãm G(p, q ). PhÇn 2 tr×nh bµy d¹ng chÝnh t¾c cho mçi phÇn tö cña nhãm G(p, q ). Ch¬ng 3 tr×nh bµy thªm mét vÝ dô nghiªn cøu vÒ nhãm c¸c phÐp quay G(v, 4) trong ®ã cã gãc quay v lµ mét sè v« tØ cho tríc nh©n víi 2π . Sau ®ã G(ω, 4) víi eωi (t¬ng ®¬ng tr×nh bµy vÝ dô nghiªn cøu bíc ®Çu vÒ nhãm cos(ω )) lµ siªu viÖt. LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh víi sù híng dÉn tËn t×nh cña ThÇy Ts. Vò ThÕ Kh«i. T«i xin bµy tá sù kÝnh träng vµ lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi ThÇy. T«i xin tr©n träng c¸m ¬n ban l·nh ®¹o khoa to¸n §HSP Th¸i Nguyªn, khoa sau ®¹i häc §HSP Th¸i Nguyªn, c¸m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o ®· trang bÞ cho t«i kiÕn thøc c¬ së. T«i xin tr©n träng c¸m ¬n ban gi¸m hiÖu vµ c¸c b¹n ®ång nghiÖp trêng THPT chuyªn Hµ Giang, xin trËn träng c¸m ¬n nh÷ng ngêi th©n, b¹n bÌ vµ líp cao häc to¸n K14 ®· ®éng viªn gióp ®ì t«i trong qua tr×nh hoµn thµnh luËn v¨n. 5
Ch¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ LuËn v¨n cÇn mét sè ®Þnh nghÜa vµ kÕt qu¶ sau 1.1 PhÐp quay vµ ma trËn phÐp quay PhÐp quay nãi chung lµ mét phÇn tö cña nhãm SO(3). Sau ®©y ta ®Þnh nghÜa phÐp quay quanh c¸c trôc Ox, Oy, Oz cña hÖ trôc täa ®é Oxyz trong kh«ng gian 3 chiÒu víi gãc quay ϕ. PhÐp quay quanh trôc Ox víi gãc quay ϕ trong kh«ng 1.1.1 §Þnh nghÜa. gian 3 chiÒu víi hÖ trôc to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxyz lµ mét phÇn tö cña nhãm SO(3) cã ma trËn t¬ng øng lµ   1 0 0 0 cosϕ sinϕ . 0 −sinϕ cosϕ ϕ KÝ hiÖu Rx hay   1 0 0 ϕ Rx = 0 cosϕ sinϕ . 0 −sinϕ cosϕ ϕ ϕ Ta còng ®Þnh nghÜa t¬ng tù c¸c phÐp quay Ry , Rz t¬ng øng quanh trôc Oy, Oz víi c¸c ma trËn t¬ng øng lÇn lît lµ    cosϕ 0 sinϕ cosϕ sinϕ 0 1 0  vµ −sinϕ cosϕ 0 . 0 −sinϕ 0 cosϕ 0 01 6
VÒ ma trËn cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh cã thÓ xem thªm [2]. PhÇn tiÕp theo tr×nh bµy lý thuyÕt nhãm tù do, biÓu diÔn cho nhãm, tÝch tù do, tÝch tù do víi nhãm con chung theo [3]. 1.2 Nhãm tù do Mét tËp con S cña nhãm F ®îc gäi lµ cña c¬ së tù do 1.2.1 §Þnh nghÜa. F nÕu mäi hµm ϕ : S −→ G tõ mét tËp S ®Õn nhãm G ®Òu cã thÓ më réng duy nhÊt thµnh mét ®ång cÊu ϕ : F −→ G sao cho ϕ(s) = ϕ(s), ∀s ∈ S vµ ta cã s¬ ®å ⊆ S F rr rr ∃!ϕ ϕr rr c rj r G Mét nhãm F ®îc gäi lµ nÕu nã cã mét tËp con lµ c¬ së tù nhãm tù do do cña F Ta xÐt nhãm Cyclic v« h¹n C (®îc viÕt theo lèi nh©n) bao gåm 1.2.2 VÝ dô. c¸c luü thõa cña c¸c phÇn tö a, do ®ã C cã d¹ng C = {..., a−2 , a−1 , 1 = a0 , a = a1 , a2 , a3 , ...}, vµ phÐp nh©n ®îc ®Þnh nghÜa lµ ai .aj = ai+j víi i, j ∈ Z. Khi ®ã C lµ mét nhãm tù do víi c¬ së tù do lµ tËp S = {a}. ThËt vËy, nÕu ϕ : S −→ G lµ mét hµm bÊt k× vµ ϕ(a) = g ∈ G th× ®ång ϕ : C −→ G ®îc ®Þnh nghÜa bëi ϕ(ai ) = g i . HiÓn nhiªn ϕ cÊu më réng lµ më réng duy nhÊt. Chó ý r»ng C cßn cã mét c¬ së tù do kh¸c n÷a ®ã {a−1 }, vµ ®ã lµ hai c¬ së tù do duy nhÊt cña C. T¬ng tù ta còng cã lµ tËp nhãm c¸c sè nguyªn Z (®¼ng cÊu víi C ) lµ nhãm tù do víi hai c¬ së tù do lµ {1} vµ {−1}. 7
1.3 BiÓu diÔn nhãm bëi c¸c phÇn tö sinh vµ hÖ thøc Ta muèn m« t¶ nhãm b»ng c¸ch viÕt ra mét vµi phÇn tö sinh ra nhãm vµ ®a ra mét vµi quan hÖ gi÷a chóng. Ta thêng dïng kÝ hiÖu G = a1 , a2 , a3 , ...|u1 = v1 , u2 = v2 , ... , trong ®ã ai lµ c¸c kÝ tù vµ uj , vj lµ c¸c tõ t¹o bëi ai . Do trong nhãm tho¶ m·n u = v ⇔ uv −1 = 1, v× thÕ ta cã thÓ biÓu diÔn cho nhãm díi d¹ng t¬ng ®¬ng G = a1 , a2 , ...|r1 = 1, r2 = 1, ... , − = ui vi 1 víi i = 1, 2, 3, ... hoÆc ®Ó ®¬n gi¶n ta kÝ hiÖu trong ®ã ri G = a1 , a2 , ...|r1 , r2 , ... . P = S |D lµ mét cÆp bao gåm mét tËp Mét biÓu diÔn 1.3.1 §Þnh nghÜa. vµ mét tËp D c¸c tõ trªn S gäi lµ hÖ tö ®Þnh nghÜa. S c¸c phÇn tö sinh bëi P , kÝ hiÖu gp(P ) lµ nhãm FS /ND trong ®ã FS lµ Nhãm biÓu diÔn nhãm tù do víi c¬ së tù do S vµ ND lµ bao ®ãng chuÈn t¾c cña D trong FS , ®ã lµ nhãm con chuÈn t¾c nhá nhÊt cña FS chøa D. Do ®ã nÕu r ∈ D th× r ∈ ND vµ v× thÕ r = 1gp(P ) . NÕu G = gp(P ) ta thêng viÕt lµ G = S |D khi kh«ng cÇn thiÕt ph©n biÖt nhãm vµ sù miªu t¶ nhãm ®ã. Mét biÓu diÔn P = S |D gäi lµ h÷u h¹n nÕu S cã h÷u h¹n phÇn tö vµ lµ nÕu D cã h÷u h¹n sinh quan hÖ h÷u h¹n phÇn tö. NÕu c¶ S vµ D ®Òu cã h÷u h¹n phÇn tö th× P lµ mét biÓu diÔn h÷u h¹n. NÕu S = {a1 , a2 , a3 , ...}, D = {r1 , r2 , r3 , ...} ta sö dông kÝ hiÖu P = a1 , a2 , a3 , ...|r1 , r2 , r3 , ... , trong trêng hîp nµy c¸c ri ®îc gäi lµ c¸c hÖ tö hoÆc P = a1 , a2 , ...|r1 = 1, r2 = 1, ... , th× c¸c ri = 1 gäi lµ c¸c hÖ thøc. 8
(1) Nhãm Cyclic v« h¹n C ®îc viÕt theo lèi nh©n víi phÇn tö 1.3.2 VÝ dô. sinh a, cã biÓu diÔn C = a|∅ víi c¸c hÖ tö ®Þnh nghÜa lµ rçng. Tæng qu¸t h¬n nhãm tù do FS víi c¬ së tù do S cã biÓu diÔn F = S |∅ . Cn cã bËc n, cã biÓu diÔn Cn = a|an = 1 . (2) Nhãm Cyclic h÷u h¹n 1.4 TÝch tù do Gi¶ sö H vµ K lµ hai nhãm. Nhãm L ®îc gäi lµ tÝch tù 1.4.1 §Þnh nghÜa. cña H vµ K nÕu cã c¸c ®ång cÊu: iH : H −→ L vµ iK : K −→ L tho¶ do m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: Víi mäi cÆp ®ång cÊu α : H −→ G vµ β : H −→ G trong ®ã G lµ nhãm bÊt k×, th× cã duy nhÊt ®ång cÊu γ : L −→ G sao cho α = γ ◦ iH vµ β = γ ◦ iK . Ta cã biÓu ®å iH i 'K H L K E d ∃!γ αd β d d c © G Qua theo dâi biÓu ®å dÔ dµng thÊy r»ng tÝch tù do cña H vµ K lµ duy nhÊt (sai kh¸c mét ®¼ng cÊu). Ta kÝ hiÖu nã lµ H K. DÔ dµng thÊy r»ng tÝch tù do tån t¹i v× ta cã thÓ viÕt ra biÓu diÔn cho K . Gi¶ sö H vµ K ®îc cho bëi biÓu diÔn H = S |D vµ K = T |E . H B»ng c¸ch thay ®æi mét trong c¸c ch÷ c¸i nÕu cÇn thiÕt ta cã thÓ gi¶ thiÕt S vµ T lµ dêi nhau, tøc lµ S ∩ T = ∅. Th× biÓu diÔn cho H K cã d¹ng K = S ∪ T |D ∪ E . H Do ®Þnh nghÜa ®ßi hái ¸nh x¹ iH vµ iK lµ nh÷ng ®ång cÊu c¶m sinh bëi sù bao hµm trªn nh÷ng phÇn tö sinh nªn c¶ hai ®Òu lµ ®¬n cÊu. ThËt vËy, nÕu ta ®Þnh nghÜa ϕ : H K −→ H cho t¬ng øng s → s, t → 1 víi mäi s ∈ H vµ mäi t ∈ K th× ϕ lµ mét ®ång cÊu vµ ϕ ◦ iH lµ ®ång cÊu ®ång nhÊt trªn H , do ®ã iH lµ ®¬n cÊu vµ ta còng cã H ∩ K = {1}. T¬ng tù iK lµ ®¬n cÊu. Cuèi cïng cho c¸c ®ång cÊu α, β nh trong ®Þnh nghÜa, γ ®îc cho bëi γ (s) = α(s) víi mäi s ∈ S vµ γ (t) = β (t) víi mäi t ∈ T th× γ x¸c ®Þnh mét ®ång cÊu. Nh vËy tõ ®Þnh nghÜa cho ta ¸nh x¹ γ x¸c ®Þnh duy nhÊt. 9
Trong cïng mét ®Þnh nghÜa th× tÝch tù do K lµ nhãm tù do chøa H vµ H K . Nhãm con H , K ®îc gäi lµ nh©n tö tù do cña H K. Zp = α|αp = 1 , Zq = β |β q = 1 th× Cho 1.4.2 VÝ dô. Zp Zq = α, β |αp = 1, β q = 1 , hoÆc Zp Zq = α, β |αp , β q . Mét biÓu thøc hay mét tõ lu©n phiªn trong K lµ mét tÝch cã d¹ng H h1 k1 h2 k2 · · · hm km trong ®ã hi ∈ H vµ ki ∈ K . Theo quy íc ta thõa nhËn cã thÓ mét hoÆc c¶ hai h1 hoÆc km kh«ng ®îc biÓu diÔn, tøc lµ phÇn ®Çu hoÆc cuèi cña biÓu thøc cã thÓ kh«ng cã. Nh vËy biÓu thøc cã thÓ cã mét trong bèn d¹ng: h1 k1 h2 k2 · · · hm km hoÆc k1 h2 k2 · · · hm km trong ®ã h1 kh«ng ®îc biÓu diÔn, hoÆc h1 k1 h2 k2 · · · hm trong ®ã km kh«ng ®îc biÓu diÔn, hoÆc k1 h2 k2 h2 · · · hm trong ®ã km kh«ng ®îc biÓu diÔn. Sè c¸c nh©n tö ®îc biÓu diÔn gäi lµ ®é dµi cña tõ. Ta thõa nhËn biÓu thøc rçng cã ®é dµi b»ng 0. Mét biÓu thøc lu©n phiªn ®îc gäi lµ rót gän nÕu mçi hi = 1H vµ ki = 1K khi biÓu diÔn. NÕu mét biÓu thøc lu©n phiªn kh«ng ®îc rót gän nã sÏ b»ng mét biÓu thøc lu©n phiªn ng¾n h¬n thu ®îc b»ng c¸ch di dêi mét trong c¸c h¹ng tö vµ gép chóng l¹i. Do ®ã nÕu hi = 1H , biÓu thøc lu©n phiªn h1 k1 · · · ki−1 hi ki · · · hm km cã thÓ thay thÕ b»ng biÓu thøc lu©n phiªn h1 k1 · · · hi−1 (ki−1 ki )hi+1 · · · hm km cã Ýt h¬n sù lu©n phiªn vµ biÓu diÔn cïng nhãm phÇn tö. TiÕp tôc theo c¸ch nµy cuèi cïng ta ®i ®Õn mét biÓu thøc lu©n phiªn rót gän biÓu diÔn cïng mét nhãm phÇn tö nh nguyªn b¶n. Chó ý r»ng biÓu thøc rçng lµ biÓu thøc ®· ®îc rót gän. Tõ lÝ luËn ë trªn ta cã ®Þnh lÝ (cã thÓ xem chøng minh chi tiÕt trong [3], tr.33) (§Þnh lÝ d¹ng chuÈn t¾c) 1.4.3 §Þnh lý. H K Mçi phÇn tö cña ®îc biÓu diÔn lµ mét biÓu thøc lu©n phiªn h1 k1 h2 k2 · · · hm km hi = 1H ki = 1K . duy nhÊt cã d¹ng víi vµ Sù duy 10
H K, nhÊt ë ®©y cã nghÜa lµ nÕu hai biÓu thøc b»ng nhau trong cô thÓ h1 k1 · · · hm km = h1 k1 · · · hn kn HK n = m vµ mçi hi = hi trong th× trong H ki = ki K i = 1, 2, .., m. vµ mçi trong víi mäi 1.5 TÝch tù do víi nhãm con chung Ta tæng qu¸t ho¸ viÖc x©y dùng tÝch tù do nh sau: Gi¶ sö H vµ K cã mét ®¼ng cÊu nhãm con, v× thÕ cã mét cÆp c¸c phÐp nhóng ( ®¬n cÊu ) σ : M −→ H vµ τ : M −→ K . Ta muèn d¹ng nhãm "tù do nhÊt" chøa H vµ K mµ nhãm con cña chóng σ (M ) vµ τ (M ) lµ trïng nhau, tøc lµ H ∩ K = σ (M ) = τ (M ). Nhãm L ®îc gäi lµ H K tÝch tù do cña vµ víi nhãm 1.5.1 §Þnh nghÜa. M nÕu cã c¸c ¸nh x¹ iH : H −→ L vµ iK : K −→ L sao cho con chung iH ◦ σ = iK ◦ τ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: Mçi cÆp ®ång cÊu α : H −→ G vµ β : K −→ G sao cho α ◦ σ = β ◦ τ trong ®ã G lµ nhãm bÊt k× th× cã duy nhÊt ®ång cÊu γ : L −→ G tho¶ m·n: α = γ ◦ iH vµ β = γ ◦ iK . Ta cã biÓu ®å M σ dτ d d © d H L iK K E ' iH dα ∃!γ d β d d c © G Theo dâi biÓu ®å trªn ta dÔ dµng chØ ra r»ng tÝch tù do L cña H vµ K víi nhãm con chung M lµ duy nhÊt (sai kh¸c mét ®¼ng cÊu). Ta kÝ hiÖu lµ K. L=H M Còng dÔ dµng chØ ra r»ng tÝch tù do víi nhãm con chung lµ tån t¹i v× ta cã thÓ viÕt ra biÓu diÔn cho K . Gi¶ sö H vµ K ®îc cho bëi biÓu L=H M diÔn H = S |D vµ K = T |E , gi¶ sö M = Q|V . B»ng c¸ch thay ®æi mét trong c¸c ch÷ c¸i nÕu cÇn thiÕt ta cã thÓ gi¶ thiÕt lµ S ∩ T = ∅. Th× biÓu diÔn cho K thu ®îc bëi sù tham gia cïng nhau vµ ®ång nhÊt ¶nh cña H M 11
M cã d¹ng K = S ∪ T |D ∪ E, σ (q ) = τ (q ), ∀q ∈ Q . H M C¸c ¸nh x¹ iH , iK ®ßi hái lµ c¸c ®ång cÊu c¶m sinh t¸c ®éng lªn c¸c phÇn tö sinh. C¶ hai ®Òu lµ ®¬n cÊu, h¬n n÷a ta cã thÓ chØ ra H ∩ K = σ (M ) = τ (M ). Cuèi cïng cho c¸c ®ång cÊu α vµ β nh trong ®Þnh nghÜa, γ ®îc cho bëi γ (s) = α(s), ∀s ∈ S vµ γ (t) = β (t), ∀t ∈ T th× γ x¸c ®Þnh mét ®ång cÊu vµ lµ ®ång cÊu duy nhÊt tho¶ m·n ®Þnh nghÜa. Trong trêng hîp M lµ nhãm con tÇm thêng th× K quy vÒ tÝch tù do H K. H M Cã c¸ch kÝ hiÖu phï hîp kh¸c thêng ®îc sö dông. §ã lµ, cho A = σ (M ) ⊆ H vµ B = τ (M ) ⊆ K A, B ®¼ng cÊu víi nhau qua ®ång cÊu ϕ = τ ◦ σ −1 : A −→ B . Khi ®ã th× tÝch tù do víi nhãm con chung A = B thêng ®îc kÝ hiÖu lµ H K vµ A=B ®îc biÓu diÔn díi d¹ng t¬ng ®¬ng sau K = S ∪ T |D ∪ E, a = ϕ(a), ∀a ∈ σ (Q) . H A= B XÐt hai nhãm Cyclic cÊp v« h¹n H = c| vµ K = d| víi c¸c 1.5.2 VÝ dô. A = c2 vµ B = d3 , A vµ B ®¼ng cÊu víi nhau nhãm con t¬ng øng lµ qua ¸nh x¹ c2 → d3 th× tÝch tù do t¬ng øng cña chóng lµ K = c, d| c2 = d3 . G=H A=B §Ó sö dông cã hiÖu qu¶ tÝch tù do víi nhãm con chung ta cÇn mét biÓu thøc chÝnh t¾c hay d¹ng "chuÈn t¾c" cho mçi phÇn tö vµ cho nh÷ng ph¬ng ph¸p ®Ó tÝnh to¸n chóng còng nh ®Ó chøng minh nh÷ng biÓu thøc b»ng nhau. Cho K lµ mét tÝch tù do víi nhãm con chung. KÝ hiÖu mét tõ G=H A= B hay mét biÓu thøc lu©n phiªn còng gièng nh trong phÇn tÝch tù do. Râ rµng mçi phÇn tö g ∈ G b»ng mét biÓu thøc lu©n phiªn nµo ®ã. Nhng cã mét sè chó ý cÇn thiÕt lµ ta cha biÕt ch¾c ch¾n lµ H vµ K ®· ®îc nhóng vµo G hay cha, v× thÕ ta coi biÓu thøc nh lµ d·y mµ cã ¶nh tù nhiªn ë trong G. 12
Ta nãi mét biÓu thøc lu©n phiªn h1 k1 · · · hm km cña mét tÝch tù do hçn t¹p gäi lµ ®îc rót gän nÕu hi ∈ A = σ (M ) vµ ki ∈ K = τ (M ) khi biÓu diÔn. Gi¶ sö r»ng biÓu thøc lu©n phiªn h1 k1 · · · hm km cha ®îc rót gän, tøc lµ cã hi = ai ∈ A. Trong biÓu thøc nµy ta cã thÓ thay thÕ hi = ai ∈ A bëi t¬ng øng bi = ϕ(ai ) ®Ó thu ®îc (sau khi hîp nhÊt) biÓu thøc lu©n phiªn h1 k1 · · · hi−1 (ki−1 bi ki )hi+1 · · · hm km , cã Ýt h¬n sù lu©n phiªn vµ cßn biÓu diÔn mét nhãm phÇn tö. T¬ng tù nÕu ki ∈ K ta cã thÓ thay thÕ nã bëi t¬ng øng ai vµ hîp nhÊt cho ta mét biÓu thøc cã Ýt h¬n sù lu©n phiªn so víi biÓu thøc ban ®Çu. TiÕp tôc theo c¸ch nµy cuèi cïng ta di ®Õn mét biÓu thøc lu©n phiªn, biÓu diÔn cïng mét nhãm phÇn tö nh nguyªn b¶n mµ hoÆc lµ ®îc rót gän hoÆc lµ mét phÇn tö cña A = B. B©y giê ta xÐt l¹i mét vÝ dô ®· nghiªn cøu tõ tríc K = c, d| c2 = d3 . G=H A=B Nhí l¹i r»ng c¶ hai tõ c3 d−5 vµ cd−2 ®Òu lµ tõ ®îc rót gän. NhËn thÊy trong G ta cã c3 d−5 = cc2 d−5 = cd3 d−5 = cd−2 do ®ã hai tõ nµy lµ hai tõ b»ng nhau trong G, ®ã lµ chóng biÓu diÔn cïng nhãm phÇn tö. V× thÕ "rót gän" lµ kh«ng ®ñ m¹nh ®Ó cho ta mét d¹ng chÝnh t¾c duy nhÊt. §Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò nµy ta tiÕp tôc lµm nh sau: §Çu tiªn ta chän Y lµ cña A trong H , Y chøa chØ mét phÇn tö (®îc tËp ®¹i diÖn c¸c líp ghÐp ph¶i gäi lµ líp biÓu diÔn) tõ mçi líp ghÐp ph¶i Ah, trong ®ã h ∈ H lµ ®èi tîng ®Ó ®Æt ®iÒu kiÖn mµ ®îc chän ®Ó biÓu diÔn cho A b¶n th©n nã lµ 1. T¬ng tù ta chän cña B trong K . Ta ®Þnh nghÜa Z tËp ®¹i diÖn c¸c líp ghÐp ph¶i mét d¹ng chÝnh t¾c hoÆc lµ mét phÇn tö cña A = B hoÆc lµ mét biÓu thøc cã d¹ng ah1 k1 · · · hm km víi 1 = hi ∈ Y vµ 1 = ki ∈ Z khi biÓu diÔn vµ a ∈ A. Cßn h1 k1 · · · hm km lµ mét biÓu thøc lu©n phiªn mµ ta thõa nhËn cã bèn d¹ng nh trong phÇn tÝch tù do. V× thÕ mét d¹ng chuÈn t¾c lµ mét tÝch lu©n phiªn cña c¸c phÇn tö cña c¸c tËp Y vµ Z (tÊt c¶ sù kh¸c biÖt tõ 1 v× thÕ biÓu thøc ®îc rót gän) ®îc ®øng tríc bëi mét phÇn tö cña A = B. 13
Trong trêng hîp h1 kh«ng ®îc biÓu diÔn ta thêng sö dông b = ϕ(a) thay thÕ vµ viÕt bk1 · · · hm km . §©y lµ mét nhãm phÇn tö v× a = b trong G. Ta cÇn chØ ra r»ng mäi phÇn tö w ∈ G ®îc biÓu diÔn bëi mét d¹ng chuÈn t¾c. Gi¶ sö ta cã mét biÓu thøc lu©n phiªn rót gän cho w. Ta lµm viÖc tõ ph¶i qua tr¸i qua tõ biÕn ®æi nã thµnh mét d¹ng chuÈn t¾c. V× thÕ ta cã thÓ gi¶ thiÕt h1 k1 · · · ki−1 hi ki · · · hm km ®îc rót gän vµ mçi sè h¹ng ®ã theo híng ph¶i cô thÓ hi lµ mét phÇn tö thuéc Y hoÆc Z ph©n biÖt víi 1. B©y giê ta viÕt hi = ahi trong ®ã a ∈ A vµ hi ∈ Y. Nhí r»ng hi = 1 do hi ∈ A bëi v× biÓu thøc ®îc rót gän. Cho b = ϕ(a) ∈ K vµ nhí r»ng a = b trong nhãm. B©y giê ta thay thÕ biÓu thøc hiÖn hµnh bëi biÓu thøc lu©n phiªn ®· ®îc söa l¹i h1 k1 · · · hi−1 (ki−1 b)hi ki · · · hm km mµ vÉn cßn b»ng nhãm phÇn tö nguyªn b¶n. Nã vÉn cßn ®îc rót gän v× ki−1 ∈ B kÐo theo ki−1 b ∈ B . TiÕp tôc theo c¸ch nµy ta thu ®îc mét d¹ng chuÈn t¾c cho nhãm phÇn tö nguyªn b¶n w. Nhí r»ng d¹ng chuÈn t¾c cña w cã cïng ®é dµi nh biÓu thøc rót gän ®Çu tiªn ta thu ®îc cho w. Tõ lÝ luËn trªn ta cã ®Þnh lÝ (cã thÓ xem chøng minh chi tiÕt trong [3], tr.41) G=H K (§Þnh lÝ d¹ng chuÈn t¾c) Mçi phÇn tö cña 1.5.3 §Þnh lý. A= B 1 = hi ∈ Y ah1 k1 ..hm km cã mét d¹ng chuÈn t¾c duy nhÊt lµ víi trong ®ã 1 = ki ∈ Z a∈A Y Z khi biÓu diÔn vµ . ë ®©y vµ lµ c¸c tËp ®¹i diÖn c¸c líp ghÐp ph¶i ®îc chän ë trªn. §iÒu kh¼ng ®Þnh duy nhÊt ë ®©y cã nghÜa H K , cô thÓ lµ nÕu cã hai biÓu thøc b»ng nhau trong ah1 k1 · · · hm km = a h1 k1 · · · hn kn , n = m vµ mçi hi = hi , ki = ki a=a. th× vµ 14
Ch¬ng 2 Nhãm G(p,q) Trong ch¬ng nµy ta nghiªn cøu hai vÊn ®Ò quan träng nhÊt cña luËn v¨n ®ã lµ biÓu diÔn cho nhãm G(p, q ) (§Þnh lÝ 2.1.2) vµ chØ ra d¹ng chÝnh t¾c cho mçi phÇn tö cña nhãm G(p, q ) (§Þnh lÝ 2.2.1 vµ 2.2.6). 2.1 BiÓu diÔn nhãm G(p,q) Cho c¸c sè nguyªn d¬ng p, l, q . Ta ®Þnh nghÜa c¸c phÐp 2.1.1 §Þnh nghÜa. 2π/p 2π/l 2π/4 2π/q 2π/p quay , , , . Trong ®ã lµ phÐp A = Rx L = Ry S = Ry B = Rz Rx quay quanh trôc Ox víi gãc quay 2π/p. Gäi G(p, l, q ) = A, L, B lµ nhãm sinh bëi ba phÐp quay A, L, B vµ G(p, q ) = G(p, 1, q ) = A, B lµ nhãm sinh bëi hai phÐp quay A, B . p, q 3 vµ ®Òu lÎ th× G(p, q ) ®¼ng cÊu víi tÝch tù do (i), NÕu 2.1.2 §Þnh lý. Zp Zq = α, β |αp = 1, β q = 1 . (2.1) p 4 ch½n vµ q 3 lÎ th× G(p, q ) ®¼ng cÊu víi nhãm cã biÓu diÔn (ii), NÕu α, β |αp = 1, β q = 1, αp/2 βαp/2 β = 1 . (2.2) p 4 ch½n vµ q = 2s víi s 3 lÎ th× G(p, q ) ®¼ng cÊu víi nhãm (iii), NÕu cã biÓu diÔn α, β |αp = 1, β q = 1, αp/2 βαp/2 β = 1, β q/2 αβ q/2 α = 1 . (2.3) 15
p, q (iv), NÕu cïng chia hÕt cho 4 th× (2.4) G(p, q ) = G([p, q ], 4, 1). [p, q ] lµ béi sè chung nhá nhÊt cña p vµ q ). ( §Ó chøng minh ®Þnh lÝ tríc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò quan träng sau. 2π/m m = s2t , s lÎ vµ t 0, vµ ta ®Þnh nghÜa T = Rx Cho . NÕu 2.1.3 Bæ ®Ò. W, E ∈ G(4, 4, 1), 4aj = 0 (mod m), bj n 0 th× lÎ vµ W S b1 T a1 S b2 T a2 · · · S bn T an = I, (2.5) trong ®ã I lµ ma trËn ®¬n vÞ. ViÖc chøng minh bæ ®Ò nµy ®îc tiÕn hµnh nh sau: ®Çu tiªn Chøng minh. ta chØ ra m trong bæ ®Ò trªn lu«n cã thÓ ph©n tÝch ®îc díi d¹ng m = t s2t , víi t = 0. Sau ®ã b»ng c¸ch ®Æt x = e2πi/m , y = xs vµ z = x2 ta chØ ra mçi phÇn tö cña R = Z[x] = Z[y, z ] ®îc viÕt duy nhÊt díi d¹ng t 2 −1 j j =0 kj (z )y , víi kj (z ) ∈ Z[z ]. TiÕp theo b»ng c¸ch ¸p dông hai bæ ®Ò S bi T ai lµ kh¸c ma trËn ®¬n vÞ. Cuèi 2.1.4 vµ 2.1.5 chøng minh mçi ma trËn cïng lµ chøng minh hai bæ ®Ò 2.1.4 vµ 2.1.5. ThËt vËy, theo dâi bæ ®Ò ta nhËn thÊy khi cho cè ®Þnh gi¸ trÞ cña m l¹i lµ hÖ qu¶ cña viÖc ¸p dông bæ ®Ò cho 4m. Do ®ã kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ thiÕt lµ m chia hÕt cho 4, vµ v× vËy m ph©n tÝch ra ®îc díi d¹ng m = s2t víi t = 0. t t x = e2πi/m , y = xs vµ z = x2 thÕ th× ta cã ngay y 2 = z s = 1. V× §Æt (s, 2t ) = 1 trong Z suy ra Zm = Zs × Z2t . (s, 2t ) = 1 ⇒ ∃h, k ∈ Z ®Ó hs + k 2t = 1 suy ra MÆt kh¸c còng do a = ahs + ak 2t = us + v 2t (víi u = ah, v = ak ). Nh vËy víi mçi sè mò a ∈ Z cña x lu«n cã u, v ∈ Z sao cho xa = y u z v . Tõ ®ã Z[x] = Z[y, z ] = R t x = y h z k ∈ Z[y, z ] vµ y = xs , z = x2 ∈ Z[x]). B»ng c¸ch sö dông c«ng (v× t−1 thøc y 2 = −1 ta cã thÓ viÕt mçi phÇn tö cña R díi d¹ng 2t −1 kj (z )y j , víi kj (z ) ∈ Z[z ]. (2.6) j =0 16
D¹ng nµy lµ duy nhÊt v× ®a thøc chia ®êng trßn cña e2πi/n cã bËc φ(n) v× Z[e2πi/n ] cã chÝnh x¸c φ(n) phÇn tö ®éc lËp tuyÕn tÝnh trªn Z (φ(n) lµ thÕ s2t th× sè ®ã ph¶i lÎ vµ nguyªn hµm ¥le). NhËn thÊy mét sè nguyªn tè víi tè cïng nhau víi s. Ta chia tõ 1 ®Õn 2t s ra lµm 2t−1 ®o¹n (mçi ®o¹n dµi 2s) φ(s) sè gi÷a 1 vµ 2s, cã φ(s) sè gi÷a 2s + 1 vµ 22 s ,.... Tõ ®ã th× khi ®ã cã φ(s2t ) = 2t−1 φ(s) vµ nh vËy d¹ng (2.6) cÇn chÝnh x¸c 2t−1 hÖ sè, φ(s) cho mçi luü thõa cña y . NÕu ®iÒu nµy kh«ng ®îc tho¶ m·n th× Z[x] lµ nhãm Abel h÷u h¹n sinh, cã Ýt h¬n φ(m) phÇn tö, dÉn ®Õn m©u thuÉn. B©y giê ta S b T a trong biÓu thøc (2.5), nã cã d¹ng xÐt mçi nh©n tö   0 −s c ST a =  0 c s , (2.7) −1 0 0 hoÆc   0 s −c S 3 T a = 0 c s  , (2.8) 10 0 . = cos(2πa/m) = (xa +x−a )/2, s = sin(2πa/m) = (xa −x−a )/2i. trong ®ã c S 4 = I vµ ta chØ xÐt b lÎ nªn b = 1 hoÆc b = 3. Còng v× x lµ (chó ý r»ng do xa = x−a ). Víi xa ®îc viÕt díi d¹ng xa = y u z v c¨n bËc m cña ®¬n vÞ nªn z s = 1 nªn ta cÇn xÐt hai trêng hîp cña v lµ v ≡ 0 (mod s) hoÆc vµ do v ≡ 0 (mod s). §Æt I lµ i®ªan cùc ®¹i chøa i®ªan (1 + y ) ⊂ R. §Ó tiÕp tôc chøng minh Bæ ®Ò 2.1.3 ta cÇn ¸p dông hai bæ ®Ò sau: xa = y u z v v ≡ 0 (mod s) NÕu khi viÕt th× c¸c phÇn tö (1,2) 2.1.4 Bæ ®Ò. (phÇn tö ë vÞ trÝ dßng1, cét2), phÇn tö (1,3), (3,2), (2,2) vµ (2,3) cña ma trËn 2S b T a R nhng kh«ng thuéc I . lµ thuéc xa = y a v ≡ 0 (mod s) w NÕu hay th× cã mét luü thõa tho¶ 2.1.5 Bæ ®Ò. (1 + y )w S b T a cô thÓ lµ phÇn tö (1 + y )w (y u + m·n phÇn tö (2,2) cña ma trËn y −u )/2 u = r 2k , R I. thuéc nhng kh«ng thuéc §Æc biÖt, nÕu víi r lÎ, th× w = 2t−1 − 2k+1 . T¬ng tù c¸c phÇn tö (1,2), (1,3), vµ (2,3) cña (1+ y )w S b T a R nhng kh«ng thuéc I . còng thuéc 17
Fi S bi T ai trong ®ã Fi lµ 2 hoÆc lµ mét luü thõa cña B©y giê ta xÐt ma trËn t−1 t−1 −1 (1+ y ) (chó ý r»ng 2 ∈ I do 2 = 1 − y 2 = (1+ y )(1 − y + y 2 − ... − y 2 ). Ta thÊy r»ng theo modul I th× ma trËn nµy cã d¹ng   0αβ (2.9) 0 γ δ  , 000 víi α, β, γ, δ lµ kh¸c phÇn tö 0 trªn trêng R/I . Nhng tÝch cña hai hay nhiÒu ma trËn cã d¹ng trªn l¹i lµ mét ma trËn cã d¹ng trªn. V× thÕ tÝch F S b1 T a1 S b2 T a2 · · · S bn T an , (2.10) trong ®ã F lµ tÝch riªng cña c¸c Fi l¹i lµ mét ma trËn cã d¹ng trªn. Nh÷ng ma trËn thuéc nhãm G(4, 4, 1) khi nh©n vµo ma trËn (2.10) trªn ta ®îc mét ma trËn tr¸i dÊu hoÆc mét ma trËn ho¸n vÞ cña ma trËn nµy. Nãi chung F W S b1 T a1 S b2 T a2 · · · S bn T an E (2.11) lµ ma trËn cã 4 phÇn tö kh¸c 0 thuéc R/I . Nhng v× F nh©n víi ma trËn ®¬n I tõ ®ã ⇒ W S b1 T a1 S b2 T a2 · · · S bn T an E kh«ng vÞ lµ ma trËn 0 theo m«®un thÓ lµ ma trËn ®¬n vÞ. Nh vËy ta ®· chøng minh xong bæ ®Ò 2.1.3. TiÕp theo ta chøng minh Bæ ®Ò 2.1.4 vµ 2.1.5. (Bæ ®Ò 2.1.4) Chøng minh. 2S b T a lµ phÇn tö §Çu tiªn ta chøng minh cho phÇn tö (2,2) cña ma trËn xa + x−a = y u z v + y −u z −v . + y −u z −v ∈ I thÕ th× ta cã ngay z v + y −2u ∈ I (1). Gi¶ sö y u z v MÆt kh¸c v× 1 + y ∈ I nªn (−y )u −1 = −(1+y )[1+(−y )+(−y )2 +...(−y )u−1 ] ∈ I ⇒ (−y )u z v −z v ∈ I. (−y )−u − 1 ∈ I ⇒ (−y )−u z −v − z −v ∈ I (2). T¬ng tù + y −2u z −v − (−y )−u z −v + z −v ∈ I (3). Tõ (1) vµ (2) ta cã z v 18
Râ rµng y −2u z −v − (−y )−u z −v ∈ I . ThËt vËy, nÕu u ch½n th× y −2u − (−y )−u = y −2u − y −u = y −u (y −u − 1) ∈ I, cßn nÕu u lÎ th× y −2u −(−y )−u = y −2u +y −u = y −u (y −u +1) = y −u (1/y u +1) = y −2u (y u +1) ∈ I. + z −v ∈ I . Ta sÏ chØ ra 1 ∈ I . Cuèi cïng tõ (3) ta ®îc z v z = z v th× z s = 1 . Ta cã (z + z −1 )(z 2 + z 3 ) = z + z 2 + z 3 + z 4 ∈ I . §Æt 1 + z 4 + z 8 + ... + z 4k ta cã z + z 2 + z 3 + ... + z 4k+4 ∈ I . Nh©n biÓu thøc víi Ta xÐt hai trêng hîp ®Ó chän k (víi chó ý lµ s lÎ). s ≡ 1 (mod 4) chän k = (s − 5)/4 th× z + z 2 + ... + z s−1 ∈ I mÆt NÕu kh¸c 1+ z + ... + z s−1 = (1 − z s )/(1 − z ) = 0 ⇒ z + z 2 + ... + z s−1 = −1 ∈ I hay 1 ∈ I. s ≡ 3 (mod 4) chän k = (s − 3)/4 thÕ th× z + z 2 + ... + z s+1 ∈ I . NÕu 1 + z + ... + z s−1 = 0 ⇒ z + z 2 + ... + z s = 0 (nh©n 2 vÕ víi z ). Do ®ã V× z + z 2 + ... + z s + z s+1 = z s+1 = z s z = z ∈ I ⇒ z s = 1 = (z )s ∈ I . M©u thuÉn víi gi¶ thiÕt I lµ i®ªan cña R . Ta xÐt thªm c¸c phÇn tö kh¸c PhÇn tö (1,3) lµ c hoÆc −c nªn lµ phÇn tö thuéc R nhng kh«ng thuéc I . t−1 u = u − 2t−2 , v× y 2 Hai phÇn tö (1,2), (2,3). §Æt = −1 ta cã t−2 t−2 y u z v − y −u z −v = y u −2 z v − y −u +2 z −v = t−2 t−2 [y u z v − y −u z −v (y 2 )2 ]/y 2 = t−2 [y u z v − y −u z −v ]/y 2 . Nh vËy t−2 s = (xa − x−a )/2i = (y u z v − y −u z −v )/2i = (y u z v + y −u z −v )/y 2 2i ∈ I. / 19
(Bæ ®Ò 2.1.4) Chøng minh. B¶n chÊt cña viÖc chøng minh bæ ®Ò nµy lµ ta ph¶i ®Õm sè mò w cña nh©n (1 + y ) sao cho (1 + y )w (y u + y −u ) lµ béi cña 2 trong Z[y ] (CÇn nhí lµ ta tö xÐt trong Z[y ] chø kh«ng ph¶i trong Z[x]). Ta cã mét sè tÝnh chÊt vÒ luü thõa cña (1 + y ). c lµ mét luü thõa cña 2 th× (1 + y )c ≡ 1 + y c ≡ 1 − y c (mod 2) (1) NÕu 2q 2q 2y c lµ chia hÕt cho 2). §Æc biÖt, theo nhÞ thøc Newton (v× k !(2q −k )! vµ = k t−1 t−1 t−1 1 + y2 = 0 nªn (1 + y )2 ≡ 1 + y2 vµ ≡ 0 (mod 2). c lµ luü thõa cña 2, v× 1 ± y c ≡ (1 + y )c (mod 2) suy ra (2) NÕu t−1 t−1 t−1 −c −c (1 ± y c )(1 + y )2 ≡ (1 + y )2 (1 + y )c ≡ (1 + y )2 ≡0 (mod 2) (¸p dông tÝnh chÊt vÒ ®ång d cã thÓ xem thªm trong [1]). (3) NÕu c lµ luü thõa cña 2, th× t−1 t−1 −c−1 −1 (1 ± y c )(1 + y )2 ≡ (1 + y )2 =0 (mod 2) t−1 (do hÖ sè cña y 2 −1 lµ ±1 kh«ng chia hÕt cho 2) B©y giê ta viÕt y u + y −u = y −u (1 + y 2u ) k+1 k+1 = y −u (1 − y 2 + y2 + y 2u ) (2.12) k+1 k+1 k+1 = y −u (1 − y 2 −u (1 − y 2u−2 ) + y2 ) + 2y u . Trong c«ng thøc (2.12) ta cã 2y u chia hÕt cho 2. u = r2k (víi r lÎ) ⇒ 2u − 2k+1 = [(r − 1)/2]2k+2 do ®ã Víi k+1 k+2 k+2 k+2 k+2 1 − y 2u−2 )(r−1)/2 = (1 − y 2 )(r−1)/1−1 ], = 1 − (y 2 )[1+ y 2 + ... +(y 2 2t−1 − 2k+2 hay w = 2t−1 − 2k+2 + h ( h nªn nÕu 0). ThÕ th× w t−1 k+2 k+2 −2k+2 +h (1 − y 2 )(1 + y )w = (1 − y 2 )(1 + y )2 , ¸p dông tÝnh chÊt (2) ë t−1 k+2 k+2 −2 (1 − y 2 )(1 + y )2 trªn ta cã ≡ 0 (mod 2) nªn k+2 (1 − y 2 )(1 + y )w ≡ 0 (mod 2). 20
k+1 k+1 (1 − y 2u−2 )(1 + y )w ≡ 0 (mod 2). T¬ng tù (1 + y )w (1 − y 2 Tõ dã ≡0 2t−1 − 2k+1 . (mod 2) nÕu vµ chØ nÕu w (1 + y )w (y u + y −u ) chia hÕt cho 2 khi w = Nh vËy kÕt qu¶ cuèi cïng 2t−1 − 2k+1 nhng kh«ng chia hÕt cho 2 khi w = 2t−1 − 2k+1 − 1. Ta còng xÐt c¸c phÇn tö cÇn chøng minh kh¸c gièng nh trong chøng u = u + 2t−2 , v× k theo gi¶ thiÕt lµ nhá h¬n t − 2 th× luü minh bæ ®Ò 2. §Æt w cña (1 + y ) cÇn ®Ó y u + y −u chia hÕt cho 2 còng gièng nh trêng thõa + y −u chia hÕt cho 2. hîp ®Ó y u V× thÕ ta x¸c ®Þnh w thÝch hîp sao cho khi nh©n ph©n tö cña ma trËn víi (1 + y )w lµ ph¶i ∈ Z[y ] nhng kh«ng n»m trong i®ªan(1 + y )0 (lµ i®ªan tèi ®¹i trong Z[y ] sinh bëi (1+ y )). Do (1+ y )0 lµ idªan tèi ®¹i nªn Z[y ]/(1+ y )0 lµ trêng Z2 . V× I ∩ Z[y ] lµ mét i®ªan chÝnh trong Z[y ] nªn I ∩ Z[y ] ph¶i trïng víi (1 + y )0 vµ v× thÕ phÇn tö cña ma trËn kh«ng thuéc I . Ta ®· chøng minh xong Bæ ®Ò 2.1.3. B©y giê ta ¸p dông Bæ ®Ò 2.1.3 ®Ó chøng minh §Þnh lÝ 2.1.2. Trong c¸c trêng hîp (i), (ii), (iii) cña ®Þnh lÝ, xÐt ¸nh x¹ tù Chøng minh. nhiªn ρ tõ nhãm trõu tîng α, β |(hÖ thøc) ®Õn nhãm G(p, q ) cho t¬ng øng α víi A, β víi B . Vµ trong mçi trêng hîp c¸c hÖ thøc t¬ng øng víi ma trËn ®¬n vÞ. Râ rµng ρ lµ toµn cÊu, ta ph¶i chØ ra ρ lµ ®¬n cÊu. §iÒu nµy t¬ng ®¬ng víi viÖc ta chØ ra mäi phÇn tö g ∈ α, β |(hÖ thøc) (®îc viÕt nh mét tõ b»ng α vµ β ) vµ g = e th× ρ(g ) = I. m = pq ph©n tÝch ra m = s2t nh ThËt vËy ta sö dông Bæ ®Ò 2.1.3 víi 2π/p 2π/m q ) = T q vµ B = S 3 T p S . bæ ®Ò. Theo gi¶ thiÕt suy ra A = Rx = (Rx Mçi phÇn tö g tuú ý thuéc nhãm α, β |(hÖ thøc) b»ng c¸ch sö dông hÖ thøc αp = 1, β q = 1 th× g cã d¹ng αa1 β b1 · · · αan β bn , (2.13) víi mçi ai ∈ (0, p) vµ bi ∈ (0, q ) trõ a1 vµ bn cã thÓ b»ng 0 (ë trêng hîp (ii), (iii) ta sö dông hÖ thøc ®· cho ®Ó h¹n chÕ thªm ®iÒu kiÖn cña ai vµ bi ). 21
Tõ ®ã ρ(g ) = Aa1 B b1 · · · Aan B bn = T qa1 (S 3 T p S )b1 · · · T qan (S 3 T p S )bn (2.14) = T a1 S 3 T b1 S · · · T an S 3 T bn S, víi ai = q ai , bj = pbj . XÐt c¸c trêng hîp cña ®Þnh lÝ. Trêng hîp (i). NÕu 3 vµ q 3 ®Òu lÎ ⇒ (4, p) = (4, q ) = 1 p nªn 4ai = 0 (mod m) víi i > 1 (gi¶ sö 4ai = 4q ai chia hÕt cho m = pq suy ra ai chia hÕt cho p (v« lÝ)) vµ 4bj = 0 (mod m) víi j < n. Ta chän W ∈ G(4, 4, 1) sao cho W lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña S vµ chän E = S thÕ ρ(g ) = W ST a1 S 3 T b1 S...T an S 3 T bn E . Theo Bæ ®Ò 2.1.3 ρ(g ) chØ cã thÓ th× b»ng I nÕu n =1 vµ b1 = a1 = 0 lóc ®ã g = e nªn ρ lµ ®¬n cÊu. Trêng hîp (ii). Gi¶ sö 4 ch½n vµ q 3 lÎ. XÐt hÖ thøc p αp/2 βαp/2 β = 1 ⇒ βαp/2 = αp/2 β tõ ®ã β b αp/2 = β p−1 βαp/2 = β b−1 αp/2 β −1 = ... = αp/2 β −b (víib ∈ Z). B»ng c¸ch ¸p dông hÖ thøc nµy cho biÓu thøc (2.13), ta cã thÓ quy tÊt c¶ c¸c ai cã thÓ trõ a1 , kh¸c kh«ng vµ thuéc kho¶ng (−p/4, p/4] (së dÜ ta lµm nh sau: ®Ó thuËn tiÖn ta quy tÊt c¶ c¸c ai ∈ (−p/2, p/2], gi¶ sö ai ∈ (−p/4, p/4]. / NÕu ai ∈ (−p/2, −p/4] ⇒ ai = −p/2 + p/2 + ai th× αai β bi = α−p/2+p/2+ai β bi = αp/2+ai α−p/2 β bi = αp/2+ai αp/2 β bi . Râ rµng ai + p/2 ∈ (0, p/4] nªn ta cã thÓ coi ai lµ ai + p/2. NÕu ai ∈ (p/4, p/2] ⇒ ai = p/2 − p/2 + ai , dÔ thÊy ai − p/2 ∈ (−p/4, 0] nªn ta coi ai lµ ai − p/2). Tõ q lÎ nªn ta vÉn cã 4bj = 0 (mod m), ∀j < n. NhËn thÊy r»ng ta cha thÓ ¸p dông ®îc ngay Bæ ®Ò 2.1.3 cho biÓu thøc (2.14), v× nÕu p chia hÕt 22