Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K quỹ đạo chiều cực đại của các MD5 nhóm liên thông tương ứng

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K quỹ đạo chiều cực đại của các MD5 nhóm liên thông tương ứng tập trung tìm hiểu về lớp các MD nhóm và MD đại số; lớp con các MD5 đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều và bức tranh hình học các K quỹ đạo của các MD5 nhóm liên thông đơn liên tương ứng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K quỹ đạo chiều cực đại của các MD5 nhóm liên thông tương ứng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH -------------------------------- Dương Minh Thành VỀ MỘT LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ VÀ PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG TƯƠNG ỨNG Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2006
2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lê Anh Vũ. Những kết quả trong luận văn này mà không được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được. Tác giả
3 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa ...................................................................................................... 1 Lời cam đoan ....................................................................................................... 2 Mục lục ................................................................................................................ 3 Danh mục các ký hiệu ......................................................................................... 5 MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 6 Chương 1 – LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ 1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie..................................................... 13 1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie .................................................... 14 1.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie...................................................... 19 1.4. Biểu diễn phụ hợp và K-biểu diễn lớp MD-nhóm và MD-đại số .............. 22 Chương 2 – LỚP CON CÁC MD5-ĐẠI SỐ CÓ IDEAL DẪN XUẤT GIAO HOÁN 3 CHIỀU VÀ BỨC TRANH HÌNH HỌC CÁC K- QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD5-NHÓM LIÊN THÔNG ĐƠN LIÊN TƯƠNG ỨNG 2.1. Nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo ........................................... 26 2.2. Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều................ 29 2.3. Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã xét .............................................. 37 Chương 3 – KHÔNG GIAN PHÂN LÁ TẠO BỞI CÁC K-QUỸ ĐẠO CHIỀU CỰC ĐẠI CỦA CÁC MD-NHÓM ĐÃ XÉT 3.1. Phân lá – Phân lá đo được........................................................................ 48 3.2. Các MD5-phân lá liên kết với các MD5-nhóm đã xét............................. 53
4 KẾT LUẬN ....................................................................................................... 57 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ................................................. 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 60 PHỤ LỤC .......................................................................................................... 63
5 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V AutG : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G B: tập hoành Borel C : trường số phức C ∞ (V ) : không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V exp : ánh xạ mũ exp G* : không gian đối ngẫu của đại số Lie G GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực J ( F ) : ideal các dạng vi phân ngoài triệt tiêu trên F Lie(G) : đại số Lie của nhóm Lie G Mat(n; R) : tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực R : trường số thực TeG là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e V / F : không gian lá của phân lá Ω F : quỹ đạo Kirillov qua F ∧ : độ đo hoành (đối với phân lá)
6 MỞ ĐẦU Lý thuyết biểu diễn là một trong những lĩnh vực quan trọng, đóng vai trò cốt yếu trong nhiều hướng nghiên cứu của toán học và vật lý học hiện đại: giải tích điều hòa trừu tượng, lý thuyết số, nhóm đại số, cơ học lượng tử, vật lý hạt cơ bản, lý thuyết trường lượng tử, hình học đại số, nhóm lượng tử, … Một cách tự nhiên, bài toán quan trọng nhất của lý thuyết biểu diễn chính là bài toán phân loại biểu diễn hay còn gọi là bài toán về đối ngẫu unita. Tức là cho trước một nhóm G, hãy phân loại tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của G (sai khác một đẳng cấu). Đối tượng quan trọng của lý thuyết biểu diễn chính là nhóm Lie và đại số Lie. Nghiên cứu và phân loại biểu diễn của nhóm Lie và đại số Lie cho ta những thông tin về chính nhóm đó và của các đại số nhóm tương ứng. Để giải quyết bài toán này, A.A.Kirillov (xem [Ki]) đã phát minh ra phương pháp quỹ đạo và nhanh chóng trở thành một công cụ đắc lực của lý thuyết biểu diễn. Phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ các K-quỹ đạo nguyên của nó. Trong khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov được nhiều nhà toán học trên thế giới như L.Auslander, B. Kostant, Đỗ Ngọc Diệp, … nghiên cứu, cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie. Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo Kirillov chính là các K- quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp (hay còn gọi là K-biểu diễn). Do đó, việc mô tả các K-quỹ đạo của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông giải được, có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie.
7 Nhờ phương pháp quỹ đạo của Kirillov, năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp (xem [Di]) đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo (tức là quỹ đạo Kirillov). Đó là lớp các MD-nhóm và MD-đại số. Một nhóm Lie thực giải được mà các K-quỹ đạo của nó hoặc là 0-chiều hoặc là có chiều cực đại được gọi là MD-nhóm. Khi số chiều cực đại bằng số chiều của nhóm thì nhóm đó được gọi là MD -nhóm. Đại số Lie của một MD-nhóm (tương ứng, MD -nhóm) được gọi là MD-đại số (tương ứng, MD -đại số). Năm 1982, Hồ Hữu Việt (xem [So-Vi]) đã liệt kê và phân loại triệt để lớp các MD -đại số. Lớp này chỉ bao gồm các đại số Lie giao hoán n-chiều n ( n ≥ 1 ), đại số Lie 2-chiều aff và đại số Lie 4-chiều aff . Việc phân loại các MD-đại số đến nay vẫn là một bài toán mở. Để đơn giản, ta phân nhỏ lớp các MD-nhóm và MD-đại số theo số chiều. Khi đó ta có thể kí hiệu MDn-nhóm và MDn-đại số là các MD-nhóm và MD-đại số có số chiều là n. Năm 1984, Đào Văn Trà (xem [Tra]) đã liệt kê, nhưng chưa phân loại, toàn bộ lớp các MD4-đại số. Phải đến năm 1990, trong các bài báo và luận án tiến sĩ của mình, Lê Anh Vũ ((xem [Vu2], [Vu6], [Vu7]) đã phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số này. Chú ý rằng, trong các công trình đó, Lê Anh Vũ còn chứng minh được rằng họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của tất cả các MD4-nhóm liên thông bất khả phân đều tạo thành phân lá đo được theo nghĩa của Connes. Và tác giả gọi các phân lá này là MD4-phân lá. Thêm vào đó, Lê Anh Vũ còn phân loại tôpô triệt để, cho thêm một phép mô tả chúng bởi tác động của nhóm Lie giao hoán R2, đồng thời đặc trưng các C*- đại số tương ứng với các MD4-phân lá đó bằng phương pháp KK-song hàm tử. Với
8 những kết quả sâu sắc như vậy, ta có thể coi lớp các MDn-nhóm và MDn-đại số đã được giải quyết triệt để trong trường hợp n ≤ 4 . Do đó ta chỉ xét bài toán này trong trường hợp n ≥ 5 . Cụ thể là hiện nay với n = 5 thì bài toán vẫn chưa được giải quyết trọn vẹn. Về phương diện hình học, không gian các K-quỹ đạo của mỗi MD-nhóm khá đơn giản. Theo số chiều, mỗi MD-nhóm chỉ gồm 2 tầng các K-quỹ đạo: tầng các quỹ đạo 0-chiều và tầng các quỹ đạo chiều cực đại. Xét riêng tầng các quỹ đạo chiều cực đại của một MD-nhóm liên thông thì ta thu được các quỹ đạo là các đa tạp liên thông đôi một rời nhau cùng số chiều, điều này cho ta một liên tưởng đến một phân lá. Các phân lá đầu tiên xuất hiện khi khảo sát các lời giải của hệ khả tích các phương trình vi phân thường. Tuy nhiên, phải đến khi các công trình của Reeb (xem [Re]) ra đời năm 1952 thì các phân lá mới thực sự trở thành đối tượng nghiên cứu mang tính chất hình học và nhanh chóng phát triển thành một ngành mạnh của hình học vi phân, đó là lý thuyết tôpô phân lá. Năm 1982, Connes (xem [Co]) đưa ra khái niệm độ đo hoành đặc biệt thích hợp với việc nghiên cứu các phân lá, nhất là các phân lá định hướng được. Khi trang bị một độ đo hoành, phân lá được gọi là phân lá đo được. Trong những năm gần đây, Lê Anh Vũ tiếp tục nghiên cứu bài toán với n=5. Mặc dù phương pháp và công cụ nghiên cứu cho trường hợp MD5 về cơ bản vẫn như trường hợp MD4 nhưng vì số chiều tăng lên 1 đơn vị nên mọi tính toán đều trở nên phức tạp hơn rất nhiều. Do đó, trong một khoảng thời gian khá dài từ năm 1990 đến năm 2003, không một MD5-đại số bất khả phân nào được biết đến.
9 Thật ra có rất nhiều các MD5-nhóm và MD5-đại số khả phân, nhưng việc xét chúng được quy về xét các MDn-nhóm và MDn-đại số với n ≤ 4 . Điều này được khẳng định và minh họa trong [Vu7]. Do đó ta chỉ xét các MD5-đại số bất khả phân. Nếu không sợ lầm lẫn thì ta dùng thuật ngữ MD-đại số thay cho MD- đại số bất khả phân. Để đơn giản thì Lê Anh Vũ chỉ xét lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (với k
10 1) Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng với các MD5-đại số đã liệt kê. 2) Chứng minh họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm đó tạo thành phân lá đo được theo nghĩa của Connes. Các kết quả thu được là nội dung chính của bản luận văn. Bởi thế, luận văn này được mang tên “Về một lớp con các MD5-đại số và phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông tương ứng” Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung, phần kết luận và phần phụ lục. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu. Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về nhóm Lie, đại số Lie, K-biểu diễn của nhóm Lie và lớp các MD-nhóm, MD-đại số. Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét. Chương 2 và Chương 3: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu với đầy đủ những chứng minh chặt chẽ. Bao gồm việc mô tả chi tiết bức tranh hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 3 chiều đã được Lê Anh Vũ liệt kê, đồng thời chứng minh họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm liên thông đơn liên tương ứng lập thành phân lá đo được theo nghĩa của Connes. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu.
11 Phần phụ lục: Trích dẫn bài báo “On a Subclass of 5-dimensional Solvable Lie Algebras Which Have 3-dimensional Commutative Derived Ideal” của Lê Anh Vũ đăng trên tạp chí East – West Journal of Mathematics, Vol. 7 (1), pp. 13 – 22, Bangkok, Thailand liên quan trực tiếp đến kết quả của luận văn và bài báo “The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5- Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits” của tác giả chung với Lê Anh Vũ đăng trên tạp chí Contributions in Mathematics and Applications (Proceedings of the International Conference in Mathematics and Applications, December 2005, Bangkok, Thailand), pp. 1-16, bài báo thứ 2 chính là các kết quả được trình bày trong luận văn này. Cả hai bài báo đều được đăng vào năm 2006. Các nghiên cứu đạt được dựa trên các tính toán thuần túy đại số và giải tích với sự trợ giúp của máy tính. Nhiều kết quả nêu ra nhưng không chứng minh vì phương pháp chứng minh đã được trình bày trong các tài liệu trích dẫn. Nội dung chính của luận văn này cũng đã được mời báo cáo tại Hội nghị Đại số - Hình học - Tôpô, Tp.HCM tháng 11/2005 và Hội nghị quốc tế về Toán học và Ứng dụng tại Bangkok, Thái Lan tháng 12/2005. Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Để trích dẫn một kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng hạn, xem [So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tài liệu [So-Vi].
12 Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Lê Anh Vũ, người thầy vô cùng tận tâm và nghiêm khắc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính yêu đã từng bước hướng dẫn tác giả làm quen với lý thuyết biểu diễn nhóm Lie, lý thuyết tôpô phân lá để tiến tới nắm vững các lý thuyết đó và tự giải quyết bài toán của mình. Xin gửi lời cảm ơn đến Tiến sĩ Nguyễn Văn Sanh, Đại học Mahidol, Bangkok, Thái Lan đã có những lời động viên và góp ý quý báu cho tác giả. Xin chân thành cám ơn các thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Tổ Chức Hành chính, Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học, Phòng Kế hoạch – Tài chính Trường Đại học Sư Phạm Tp.Hồ Chí Minh đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.
13 Chương 1. LỚP CÁC MD-NHÓM VÀ MD-ĐẠI SỐ Chương này chủ yếu đưa ra những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD- nhóm và lớp các MD-đại số mà chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản nhất về nhóm Lie và đại số Lie (thực). Nhiều mệnh đề được phát biểu nhưng không chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến các chứng mình hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem các tài liệu [Bo], [Ki], [Ha-Sch]. 1.1. Nhắc lại khái niệm cơ bản về nhóm Lie 1.1.1. Định nghĩa Tập hợp G được gọi là l nhóm Lie (thực) nếu các điều kiện sau thỏa mãn: (i) G là một nhóm. (ii) G là đa tạp thực khả vi. (iii) Phép toán nhóm G x G → G , (x,y) xy −1 khả vi. Ta không cần chú ý đến lớp khả vi của đa tạp G, vì rằng theo định lý Gleason-Montgomery-Zippin, trên mọi nhóm Lie lớp C 0 (tức là đa tạp tôpô) có thể đưa vào cấu trúc đa tạp lớp C ∞ tương thích với cấu trúc nhóm. Nhóm Lie G được gọi là giao hoán nếu phép toán nhóm giao hoán. Chiều của nhóm Lie G chính là chiều của đa tạp khả vi G. Vì nhóm Lie vừa có cấu trúc nhóm, vừa là đa tạp khả vi nên ta có thể đưa nhiều công cụ của đại số, giải tích, tôpô, hình học vi phân, ... để nghiên cứu cấu trúc của nhóm Lie. 1.1.2. Các ví dụ
14 a. Đường thẳng thực với phép toán (+) thông thường là một đại số Lie giao hoán. b. Đường tròn đơn vị S 1 với phép toán (.) (có thể xem S 1 là tập hợp các số phức có mođun bằng 1) là một nhóm Lie giao hoán. c. Tập hợp GL(n, ) các ma trận vuông cấp n không suy biến với phép toán nhân ma trận cũng là một nhóm Lie (không giao hoán khi n ≥ 2 ). Đặc biệt, khi n = 1 thì GL(1, ) = * . d. Nếu G1 , G2 là các nhóm Lie thì tích G1 × G2 cũng là một nhóm Lie. Tương tự cho tích của nhiều nhóm Lie. Những trường hợp đặc biệt thường gặp là các nhóm Lie với phép cộng n = × × ... × , xuyến n-chiều T n = S 1 × S 1 × ... × S 1 . e. Nhóm các phép biến đổi affine của đường thẳng thực với tôpô tự nhiên chính là một nhóm Lie. Nhóm này được ký hiệu là aff . Cụ thể nhóm aff = {(a, b) / a ∈ *, b ∈ }. 1.2. Nhắc lại khái niệm cơ bản về đại số Lie 1.2.1. Định nghĩa Giả sử K là một trường đặc số khác 2. Một đại số Lie G trên trường K hay K-đại số Lie là một không gian vectơ trên trường K được bổ sung một phép toán, kí hiệu là [. , .] (được gọi là móc Lie hay hoán tử) có tính chất song tuyến tính, phản xứng và thoả mãn đồng nhất thức Jacobi: [[x,y],z] + [[y,z],x] + [[z,x],y] = 0 , ∀x,y,z ∈ G Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G.
15 Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường K. Giả sử số chiều của G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở {e1 , e2 ,..., en } đã chọn trước trên G như sau: n ⎡⎣ ei , e j ⎤⎦ = ∑ cijk , 1 ≤ i
16 e. Cho A là một đại số (không nhất thiết kết hợp) trên trường K. Toán tử tuyến tính D : A → A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu: D ( x, y ) = D ( x) y − xD ( y ) Kí hiệu Der (A ) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A . Khi đó Der (A ) trở thành 1 đại số kết hợp trên K. Der (A ) sẽ trở thành một đại số Lie trên K với móc Lie được định nghĩa là: [D 1 , D 2 ] = D 1 D 2 − D 2 D 1 1.2.3. Đồng cấu đại số Lie Cho G1 và G2 là hai K-đại số Lie. Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ K-tuyến tính ϕ : G1 ⎯⎯ → G2 sao cho ϕ bảo toàn móc Lie, tức là : ϕ ([ x, y ]) = [ϕ ( x),ϕ ( y )] (∀x, y ∈ G1 ) Nếu ϕ là đẳng cấu tuyến tính thì ϕ được gọi là đẳng cấu đại số Lie. Các đại số Lie trên trường K lập thành một phạm trù với các cấu xạ chính là các đồng cấu đại số Lie. Mỗi đồng cấu đại số Lie ϕ : G1 ⎯⎯ → G2 còn được gọi là biểu diễn của G1 trong G2. Nói riêng, nếu G2 = End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V thì đồng cấu đại số Lie ϕ : G1 ⎯⎯ → End(V) được gọi là biểu diễn tuyến tính của G1 trong không gian vectơ V. Để đơn giản thì đôi khi người ta dùng thuật ngữ "biểu diễn" thay cho thuật ngữ "biểu diễn tuyến tính". Khi ϕ là một đơn cấu thì ϕ được gọi là biểu diễn khớp. Định lý 1.1 (định lý Ado) Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp hữu hạn chiều.
17 Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thể quy tất cả các phép chứng minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận, 1.2.4. Biểu diễn chính quy của đại số Lie Cho G là đại số Lie. Với mỗi x ∈ G , kí hiệu ad x là toán tử trong L được xác định bởi: ad x ( y ) = [ x, y ] ; ∀y ∈ G Khi đó ad x là một ánh xạ tuyến tính từ G → G và ta thu được biểu diễn tuyến tính của G trong chính G như sau: ad : G → End ( G ) x ad x Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G . Hạt nhân của biểu diễn này là Ker (ad ) = { x ∈ G / ad x ≡ 0} chính là tâm của G . Ví dụ: Xét đại số Lie G = 3 với móc Lie là tích có hướng thông thường. Khi đó biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận như sau: ⎛0 c −b ⎞ ad = ⎜⎜ −c 0 a ⎟⎟ ⎜ b −a 0 ⎟ ⎝ ⎠ Dể thấy rằng, tâm của G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp. Nói cách khác, đại số Lie G = 3 với móc Lie là tích có hướng thông thường đẳng cấu với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3. 1.2.5. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh
18 Cho G là một đại số Lie và M là một không gian con của G . Ta bảo M là đại số con của G nếu [ M , M ] ⊂ M . Ta bảo M là ideal của G nếu [ G , M ] ⊂ M . Trong đó ký hiệu: [ M , M ] = {[ x, y ] / x, y ∈ M } ,[ G, M ] = {[ x, y ] / x ∈ G, y ∈ M } Khi M là một ideal thì không gian thương G/M trở thành một đại số Lie với móc Lie được định nghĩa một cách tự nhiên. Cho G là K-đại số Lie. Đặt : G1 = [ G ,G ] , G2 = [ G1, G1] , …, Gn = [ Gn-1, Gn-1] G1 = [ G , G ] = G1, G2 = [ G1 , G ], ..., Gn = [ Gn-1 , G ] (n≥2) Mệnh đề 1.2: (i) Gk, Gk là các ideal của G ( k = 1,2,3,………) (ii) G ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ …… ⊃ Gn ⊃ …… ⎢⎢ ∩ ∩ G ⊃ G1 ⊃ G2 ⊃ …… ⊃ Gn ⊃ …… (iii) Nếu dim G < +∞ thì ∃ n∈ Ν sao cho: k.h Gn = Gn+1 = …… = G∞ k.h Gn = Gn+1 = …… = G∞ Đại số Lie G được gọi là giải được nếu G∞ = {0}, G được gọi là lũy linh nếu G∞ = {0}. Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G.
19 Ví dụ: { } T (n, K ) = A = ( aij ) ∈ Mat (n, K ) / aij = 0,1 ≤ j < i ≤ n (đại số các ma trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được. { } T0 (n, K ) = A = ( aij ) ∈ Mat (n, K ) / aij = 0,1 ≤ j ≤ i ≤ n (đại số các ma trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie lũy linh. Định lý 1.3 (Định lý Lie) Cho ϕ là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số K. Khi đó ϕ tương đương với biểu diễn tam giác trên, tức là ϕ ( x) = T (n, K ), ∀x ∈ G Hệ quả 1.4 Nếu G là đại số Lie giải được thì G1=[ G, G] là đại số Lie lũy linh. Định lý 1.5 (Định lý Engel) Đại số Lie G là lũy linh khi và chỉ khi với mọi x ∈ G , ad x là toán tử lũy linh (tức là tồn tại n ∈ * sao cho ( ad x ) = 0 . n Đại số Lie giải được mặc dù có cấu trúc không quá phức tạp nhưng cho đến nay thì việc phân loại chúng vẫn là một bài toán mở. 1.3. Sự liên hệ giữa nhóm Lie và đại số Lie 1.3.1. Đại số Lie tương ứng với một nhóm Lie đã cho
20 Cho G là một nhóm Lie. Ta ký hiệu TeG là không gian tiếp xúc của G tạo điểm đơn vị e ∈ G . Không gian này thường được ký hiệu là G. Khi đó G trở thành một đại số Lie với móc Lie được xác định bởi toán tử như sau: [ X ,Y ] = XY − YX , ∀X ,Y ∈ G Tức là: [ X , Y ] f = X (Yf ) − Y ( Xf ) , ∀X , Y ∈ G , ∀f ∈ C ∞ ( G ) Trong đó C ∞ ( G ) là đại số các hàm trơn trên G nhận giá trị thực. Như vậy, mỗi nhóm G sẽ xác định duy nhất một đại số Lie G và G được gọi là đại số Lie của (hay tương ứng với) G. Ngoài cách định nghĩa trên, ta còn có thể xem đại số G như là đại số Lie con các trường vectơ bất biến trái trên G. Cách xây dựng đại số G như sau Gọi X(G) : đại số Lie các trường vectơ khả vi trên G. Khi đó : (X + Y)g = Xg + Yg , ∀g ∈ G (λX)g = λXg , λ ∈ R , ∀g ∈ G [X,Y](f) = X(Yf) - Y(Xf) ∀f ∈ C ∞ (G ) , ∀X,Y ∈ X(G) Với mọi g ∈ G . Đặt Lg : G → G, x gx là phép tịnh tiến trái theo g, Rg : G → G, x xg tịnh tiến phải theo g, thì Lg và Rg là các vi phôi trên G, đồng thời cảm sinh thành các ánh xạ: Lg* : T(G) → T(G), Rg* : T(G) → T(G) trên không gian tiếp xúc T(G) của G. Trường vectơ X được gọi bất biến trái nếu Lg* (X) = X , ∀g ∈ G. Điều này đồng nghĩa với biểu thức : Lg* (X)x = Xgx Tương tự, trường vectơ X được gọi là bất biến phải nếu Rg* (X) = X , ∀g ∈ G, tức là : Rg* (X)x = Xxg