intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luyện thi Đại học - Chuyên đề Cực trị hàm số

Chia sẻ: Thúc Nhân Nghĩa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST
Báo xấu
231
lượt xem 27
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để xác định được điểm cực trị hàm số (điểm cực tiểu, điểm cực đại) các em cần nắm chắc những định lí về hàm số. Tài liệu Luyện thi Đại học - Chuyên đề Cực trị hàm số sau đây sẽ giúp cho các em học sinh nắm chắc được kĩ năng tìm cực trị hàm số, và chuẩn bị có kì thi Đại học - Cao đẳng sắp tới được tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luyện thi Đại học - Chuyên đề Cực trị hàm số

  1. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C C C TR HÀM S Đ nh nghĩa: Hàm s f (x) xác đ nh trên D ⊆ R Đi m xo ∈ D đư c g i là đi m c c đ i c a hàm s f (x) n u t n t i m t kho ng (a; b) ⊂ D sao cho xo ∈ (a; b) và f (xo ) > f (x) , ∀x ∈ (a, b) \ {xo } Đi m x1 ∈ D đư c g i là đi m c c ti u c a hàm s f (x) n u t n t i m t kho ng (a; b) ⊂ D sao cho x1 ∈ (a; b) và f (x1 ) < f (x) , ∀x ∈ (a, b) \ {xo } Cách xác đ nh đi m c c tr c a hàm s : Đ xác đ nh đư c các đi m c c đ i, c c ti u c a hàm s các em c n n m ch c ba đ nh lí sau: Đ nh lý 1: (Đi u ki n c n đ hàm s có c c tr ) N u hàm s f (x) đ t c c tr t i đi m xo và hàm s có đ o hàm t i xo , thì f (xo ) = 0 (Tuy nhiên hàm s có th đ t c c tr t i m t đi m mà t i đó hàm s không có đ o hàm, ch ng h n v i hàm y = |x|, đ i c c tr t i xo = 0 nhưng không có đ o hàm t i đó) Đ nh lí 2: (Đi u ki n đ đ hàm s có c c tr ) - N u f (x) < 0, ∀x ∈ (a, xo ) và f (x) > 0, ∀x ∈ (xo ; b) thì f (x) đ t c c ti u t i xo (Đ o hàm đ i d u t âm sang dương khi qua xo ) x a x b y − 0 + y yCT Ta nói, đ th hàm s có đi m c c ti u là M (xo , yCT ) - N u f (x) > 0, ∀x ∈ (a, xo ) và f (x) < 0, ∀x ∈ (xo ; b) thì f (x) đ t c c đ i t i xo (Đ o hàm đ i d u t dương sang âm khi qua xo ) x a x b y + 0 − yCD y Ta nói đ th hàm s có đi m c c đ i là M (xo ; yCD ) Chú ý: Không c n xét hàm s f (x) có hay không đ o hàm t i xo Ví d : Hàm s : −x N u x ∈ (−∞; 0) −1 < 0 N u x ∈ (−∞; 0) y = |x| = ⇒y = x N u x ∈ (0; +∞) 1 > 0 N u x ∈ [0; +∞) Nên hàm s đ t c c ti u t i xo = 0. Đ nh lí 3: - N u f (xo ) = 0 và f (xo ) > 0 thì f (x) đ t c c ti u t i xo - N u f (xo ) = 0 và f (xo ) < 0 thì f (x) đ t c c đ i t i xo T đó các em có cách xác đ nh c c tr như sau: Bư c 1: Tính đ o hàm y , tìm nh ng đi m mà t i đó y = 0 ho c y không xác đ nh Page 1
  2. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C Bư c 2: Cách 1: Xét d u y’ d a vào đ nh lí 2 đ k t lu n đi m c c đ i, c c ti u (Thư ng dùng cách này) Cách 2: Xét d u y (xo ) (xo là nghi m c a y’) d a vào đ nh lí 3 đ k t lu n Chú ý: Hàm s phân th c b c nh t trên b c nh t ax + b ad − bc y= ⇒y = cx + d (cx + d)2 D u c a đ o hàm không ph thu c vào x, hay đ c l p v i x nên hàm s luôn đ ng bi n ho c luôn ngh ch bi n trên các kho ng xác đ nh c a nó. Do đó hàm s luôn không có c c tr . B – Gi i toán I - Bài toán c c tr v i hàm đa th c b c ba: Ki n th c b sung: y = ax3 + bx3 + cx + d (C) ⇒ y = 3ax2 + 2bx + c (a = 0) S lư ng đi m c c tr : - N u y’ = 0 có hai nghi m phân bi t (∆ > 0) thì hàm s có hai c c tr (m t c c đ i và m t c c ti u) - N u y’ = 0 có nghi m kép ho c vô nghi m (∆ ≤ 0) thì hàm s không có c c tr . Như v y khi đ bài h i các câu h i như: Tìm m đ hàm s có c c tr ho c có hai đi m c c tr ho c có m t đi m c c đ i và m t đi m c c ti u. . . thì đi u ki n tương đương đ u là y’ = 0 có hai nghi m phân bi t. Đư ng th ng qua hai đi m c c tr Trong trư ng h p hàm s có hai đi m c c tr , ta vi t đư c đư ng th ng đi qua hai đi m c c tr như sau: Bư c 1: Th c hi n phép chia đa th c: y = ax3 + bx3 + cx + d cho y = 3ax2 + 2bx + c đư c thương là q (x) và ph n dư là r (x) = mx + n, ta đư c: y = y .q (x) + r (x) Bư c 2: Ch ng minh đư ng th ng (d) : y = r (x) = mx + n là đư ng th ng đi qua hai đi m c c tr . Gi s hai đi m c c tr là M (x1 ; y1 ) , N (x2 , y2 ) (Chú ý: x1 , x2 là nghi m c a y nên y (x1 ) = y (x2 ) = 0) Khi đó M, N thu c (C), do đó: y1 = y (x1 ) .q (x1 ) + r (x1 ) = r (x1 ) ⇒ y1 = mx1 + n ⇒ M ∈ (d) y2 = y (x2 ) .q (x2 ) + r (x2 ) = r (x2 ) ⇒ y2 = mx2 + n ⇒ N ∈ (d) T c là (d) là đư ng th ng đi qua hai c c tr . Chú ý: Trong m t s trư ng h p đ c bi t y’ = 0 có "nghi m đ p" t c là có th tìm c th t a đ các đi m c c tr thì không nên máy móc vi t phương trình các đi m c c tr như trên mà n u c n thì Page 2
  3. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C ta s d ng cách vi t phương trình đư ng th ng qua hai đi m A (x1 , y1 ) , B (x2 , y2 ) x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1 Ví d 1.1: (ĐH An Ninh - 2000) Cho hàm s : y = x3 − 3x2 + 2. ( C). Tìm a đ đi m c c đ i c c ti u c a đ th hàm s n m v hai phía c a đư ng tròn: (α) : x2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a2 − 1 = 0 Phân tích: Đ gi i quy t đư c m t bài toán b t kì các em c n hi u đư c h t các thông tin trong bài toán. Ch ng h n v i bài toán trên đ toán có nh c đ n c c tr , đư ng tròn và v trí tương đ i c a c c tr và đư ng tròn (n m v hai phía) thì các em c n bi t c c tr là gì, xác đ nh c c tr như th nào? Cho phương trình đư ng tròn thì xác đ nh đư c nh ng y u t gì? Xét v trí tương đ i như th nào? (có nhi u em không hi u n m v hai phía c a đư ng tròn là như th nào!! Đó là phía trong và phía ngoài nhé) (Nh ng thao tác trên r t h u ích khi các em g p nh ng bài toán có cách h i l ) - Hàm s ( C) không ch a tham s , t c là ta có th tìm đư c c th t a đ đi m c c tr . Như v y yêu c u bài toán ch còn là bài toán l p 10 :"xét v trí tương đ i c a đi m cho trư c v i đư ng tròn" - Đã bi t phương trình đư ng tròn (α), do đó ta tìm đư c tâm I và bán kính R c a nó (nh c l i: đi m M n m trong đư ng tròn khi IM < R, đi m M n m ngoài khi IM > R) - Gi s hai đi m c c tr là M1 , M2 n m v hai phía c a (α) ph i chăng ta ph i xét hai trư ng h p: TH1: M1 n m trong (IM1 < R ⇔ IM1 2 < R2 ⇔ IM1 2 − R2 < 0) , M2 n m ngoài (IM2 > R ⇔ IM2 2 > R2 ⇔ IM2 2 − R2 > 0) TH2: M1 n m ngoài (IM1 > R ⇔ IM1 2 − R2 > 0), M2 n m trong (IM2 2 < R2 ⇔ IM2 2 − R2 < 0)? Chú ý r ng hai trư ng h p trên tương đương v i đi u ki n IM1 2 − R2 và IM2 2 − R2 trái d u t c là Đi u ki n th a mãn yêu c u ch c n: IM1 2 − R2 IM2 2 − R2 < 0. L i gi i TXĐ: D = R x=0 y = 3x2 − 6x; y = 0 ⇔ 3x2 − 6x = 0 ⇔ 3x (x − 2) = 0 ⇔ x=2 B ng bi n thiên: x −∞ 0 2 +∞ y + 0 − 0 + 2 +∞ y −∞ −2 Đ th hàm s có đi m c c đ i là M1 (0; 2)và đi m c c ti u là M2 (2; −2) Đư ng tròn (α) : x2 + y 2 − 2ax − 4ay + 5a2 − 1 = 0 ⇔ (x − a)2 + (x − 2a)2 = 1 có tâm I (a, 2a) và bán kính R = 1 −→ − IM1 = (−a; 2 − 2a) ⇒ IM1 2 = a2 + (2 − 2a)2 = 5a2 − 8a + 4 −→ − IM2 = (2 − a; −2 − 2a) ⇒ IM2 2 = (2 − a)2 + (−2 − 2a)2 = 5a2 + 4a + 8 Ta có: M t đi m M b t kì n m phía trong đư ng tròn (α) thì IM < R ⇔ IM 2 < R2 ⇔ IM 2 −R2 < 0 Tương t : đi m M n m phía ngoài (α) thì IM > R ⇔ IM 2 > R2 ⇔ IM 2 − R2 > 0 Do đó, đ đi m c c đ i và đi m c c ti u c a đ th hàm s n m v hai phía c a đư ng tròn thì IM1 2 − R2 IM2 2 − R2 < 0 ⇔ (5a2 − 8a + 4 − 1) (5a2 + 4a + 8 − 1) < 0⇔ (5a2 − 8a + 3) (5a2 + 4a + 7) < 0 (*) Page 3
  4. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C √ 2 2 31 Ta th y: 5a2 + 4a + 7 = a 5 + √ 5 + 5 >0 Nên (*)⇔ 5a2 − 8a + 3 < 0⇔ 3 < a < 1 5 V y v i 3 < a < 1 thì th a mãn yêu c u đ bài. 5 Nh n xét: - N u bài toán này là bài toán ph c a bài kh o sát hàm s thì bư c tìm các đi m c c tr là không c n thi t - B t phương trình (*) là b t phương trình tích có th gi i d dàng b ng cách l p b ng xét d u ngay c trong trư ng h p không kh ng đ nh đư c m t nhân t đã dương hay âm như bài toán trên. (Th c t cho th y nhi u em có ki n th c không ch c khi nhìn th y (*) có v "kh ng khi p" quá mà b cu c!!!) - Trong l i gi i trên n u tinh ý phát hi n ra IM2 2 = 5a2 + 4a + 8 > R (= 1) thì l i gi i s ng n g n hơn: √ Vì IM2 2 = 5a2 + 4a + 8 = a 5 + √5 + 36 > R 2 5 Nên đi m M2 luôn n m ngoài đư ng tròn. Do đó đ th a mãn yêu c u đ bài thì đi m M1 ph i n m trong đư ng tròn, t c là: 3 IM < R ⇔ 5a2 − 8a + 3 < 0⇔ 5 < a < 1. Ví d 1.2: Cho hàm s : y = 2 x3 − mx2 − 2 (3m2 − 1) x + 3 c , m là tham s th c. 3 2 Tìm m đ hàm s c có hai đi m c c tr x1 ; x2 sao cho x1 x2 + 2 (x1 + x2 ) = 1 Phân tích: Bài toán có hai yêu c u: 1) Có c c tr t i x1 , x2 2) Th a mãn : x1 x2 + 2 (x1 + x2 ) = 1 Yêu c u th nh t xu t hi n trong h u h t các câu h i v c c tr , n u chưa có câu tr l i các em hãy xem l i 1 chút lí thuy t S lư ng đi m c c tr ! V i yêu c u th hai c n hi u r ng hàm s đ t c c tr t i x1 ; x2 thì x1 ; x2 còn là nghi m c a y’ = 0 (là m t phương trình b c hai), hi u đư c đi u đó thì yêu c u này ch còn là m t bài toán l p 9 ‘Tìm m đ phương trình y’ = 0 có hai nghi m phân bi t x1 ; x2 th a mãn x1 x2 + 2 (x1 + x2 ) = 1’ S xu t hi n t ng và tích hai nghi m c a phương trình b c hai là g i ý thích h p cho đ nh lí Viet L i gi i : TXĐ : D = R y = 2x2 − 2mx − 2 3m2 − 1 Đ hàm s đ t c c tr t i x1 , x2 thì y = 0 ph i có hai nghi m phân bi t x1 , x2 √ √ −2 13 2 13 ⇔ ∆ = m2 + 4 (3m2 − 1) > 0⇔ m ∈ −∞; ∪ ; +∞ 13 13 x1 + x2 = m Theo đ nh lí Vi-ét ta có: , Do đó : x1 x2 = 1 − 3m2 m = 0 (lo i) x1 x2 + 2(x1 + x2 ) = 1 ⇔ 1 − 3m2 + 2m = 1 ⇔ 2 m = (th a mãn) 3 2 V yv im= thì th a mãn yêu c u đ bài. 3 Chú ý : Sau khi tìm ra m c n đ i chi u v i đi u ki n ban đ u đ lo i nghi m không th a mãn. Và chú ý k t lu n nghi m c a bài toán. Ví d 1.3: Cho hàm s : y = x3 + mx2 + 7x + 3 (Cm ) Tìm m đ (Cm ) có hai đi m c c tr và đư ng th ng đi qua hai đi m c c tr vuông góc v i đư ng th ng Page 4
  5. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C (d) : y = 3x − 7 Phân tích: Có th th y bài toán có 2 yêu c u, nhưng ta có th tách bài toán thành 3 "ph n": - Có c c tr - Đư ng th ng ∆ qua hai c c tr - (d) ⊥∆ ⇔ k1 k2 = −1 (k1 , k2 là h s góc c a ∆ và (d)) Vi c phân tích yêu c u bài toán thành các ý nh như trên s giúp các em đ t đi m t i đa trong kh năng có th . Như v i bài toán trên, ngay c khi các em chưa hình dung đư c cách gi i quy t "ph n" 3, t c là khi nào đư ng th ng qua hai c c tr vuông góc v i (d) thì vi c gi i quy t hai "ph n" đ u cũng có th các em s đư c đ n 0.5/1 đi m! LG: TXĐ: D = R y = 3x2 + 2mx + 7 Đ hàm s có hai đi m c c tr thì y = 0 ph i có hai nghi m phân bi t √ √ ⇔ ∆ = m2 − 21 > 0 ⇔ m ∈ −∞; − 21 ∪ 21; +∞ Th c hi n phép chia y cho y’ ta có: y = 1 (3x + m) .y + 9 (21 − m2 ) x + 3 − 7m 9 2 9 G i M1 (x1 ; y1 ) , M2 (x2 ; y2 ) là hai đi m c c tr c a (Cm ), ta có: y (x1 ) = y (x2 ) = 0. Do đó: 2 7m y1 = 21 − m2 x1 + 3 − ⇒ M1 ∈ (Cm ) 9 9 2 7m y2 = 21 − m2 x2 + 3 − ⇒ M2 (Cm ) 9 9 2 7m ⇒ Đư ng th ng đi qua hai đi m c c tr là là: (∆) : y = 9 (21 − m2 ) x + 3 − √ 9 3 10 Đ (∆) ⊥ (d) thì: 2 (21 − m2 ) .3 = −1 ⇔ m = ± 9 √ 2 3 10 V yv im=± thì th a mãn yêu c u đ bài. 2 Nh n xét: Trên đây là m t ví d mà vi c nh n ra c n ph i vi t phương trình đư ng th ng đi qua hai đi m c c tr khá rõ ràng khi đ bài nh c t i "đư ng th ng đi qua hai c c tr vuông góc v i..." nhưng trong m t s trư ng h p, đi u đó s đư c n đi đòi h i m t chút phân tích c a h c sinh trong gi i toán. 1 Ví d 1.4: Cho hàm s : y = x3 − mx2 − x + m + 1 (Cm ) 3 Tìm m đ (Cm ) có hai đi m c c tr và kho ng cách gi a hai đi m c c tr là nh nh t. Phân tích: Bài toán có 2 yêu c u r t rõ ràng, và v n đ n m ch kho ng cách gi a hai đi m c c tr . V i hai đi m c c tr M1 (x1 ; y1 ) , M2 (x2 , y2 ) kho ng cách đư c tính b i công th c M1 M2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 V y c n x lí y1 , y2 th nào cho khéo, ph i chăng ta s d ng M1 , M2 ∈ (Cm ) 1 y1 = x1 3 − mx1 2 − x1 + m + 1 và 3 Page 5
  6. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C 1 y2 = x2 3 − mx2 2 − x2 + m + 1 3 B ng cách tính th s th y x1 , x2 không ph i là các giá tr "đ p" do đó các bi u th c y1 , y2 trên r t "c ng k nh". V y li u còn m t con đư ng nào khác đơn gi n hơn, ph i chăng có th thay t a đ c a M1 , M2 vào m t phương trình nào đơn gi n hơn? M1 , M2 còn n m trên đư ng nào? Ch c n luôn nh r ng M1 , M2 là các đi m c c tr thì có l đư ng th ng (∆) đi qua hai đi m c c tr s xu t hi n trong đ nh hư ng c a các em! Và t t nhiên, khi thay t a đ M1 , M2 vào phương trình (∆) thì m i chuy n s tr lên đơn gi n hơn r t nhi u. LG: TXĐ: D = R y = x2 − 2mx − 1 Đ hàm s có hai đi m c c tr thì y’ = 0 có hai nghi m phân bi t⇔ ∆ = m2 + 1 > 0 (đúng ∀m ∈ R) Th c hi n phép chia y cho y’ ta đư c: y = 1 (x − m) .y − 2 (m2 + 1) x + 2 m + 1 3 3 3 G i M1 (x1 ; y1 ) , M2 (x2 ; y2 )là các đi m c c tr c a (Cm ), ta có: y (x1 ) = y (x2 ) = 0. Do đó: 2 2 y1 = − (m2 + 1) x1 + m + 1 và 3 3 2 2 2 y2 = − (m + 1) x2 + m + 1 3 3 Khi đó: 4 M1 M2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 = (x2 − x1 )2 + (m2 + 1)2 (x2 − x1 )2 9 4 = 1 + (m2 + 1)2 (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 9 x1 + x2 = 2m 4 Theo đ nh lí Vi-ét: ⇒ M1 M2 = 1 + (m2 + 1)2 (4m2 + 4) x1 x2 = −1 9 4 2 Đ M1 M2 nh nh t thì f (m) = 1 + (m2 + 1) (4m2 + 4) ph i đ t giá tr nh nh t 9 4 2 4 52 f (m) = 1 + m2 + 1 4m2 + 4 ≥ 1 + .4 = 9 9 9 52 ⇒ min f (m) = 9 khi m = 0 V y v i m = 0 thì th a mãn yêu c u đ bài. Ví d 1.5: Cho hàm s y = x3 − 3x2 + m2 − m + 1 Tìm m đ đ th hàm s có hai đi m c c tr A, B sao cho tam giác ABC có di n tích b ng 7, v i C (−2; 4) Phân tích: - V n đ là s d ng gi thi t SABC = 7 như th nào?? Mu n s d ng đư c nó ta c n bi t có nh ng cách nào đ tính di n tích, và s d ng công th c nào trong trư ng h p này? - Đi m C đã bi t, đư ng th ng AB vi t đư c (Đư ng th ng qua hai đi m c c tr ). Do đó kho ng cách t C đ n AB ta tính đư c theo m. Đ dài đo n th ng AB ta cũng tính theo m d a vào đ nh lí Viet (Xem ví d trên). Nh ng đi u đó s g i ý cho ta nghĩ đ n công th c tính di n tích liên quan đ n đi m C và đư ng th ng AB và đ dài đo n AB: 1 1 S = hC .AB = d (C, AB) .AB 2 2 - Tuy nhiên đ i v i bài toán đang xét có m t đi m đ c bi t đó là y = 0 có nghi m đ p t c là có th tìm c th t a đ c a A, B do đó vi c gi i quy t bài toán s đơn gi n đi r t nhi u. Nhưng vi c phân Page 6
  7. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C tích như trên s giúp các em không b lúng túng khi g p bài toán có "nghi m x u" . LG: TXĐ: D = R x=0 y = 3x2 − 6x = 3x (x − 2) , y = 0 ⇔ 3x (x − 2) = 0 ⇔ x=2 ⇒ Đ th hàm s luôn có hai đi m c c tr và hai đi m c c tr đó là A (0; m2 − m + 1) , B (2; m2 − m − 3) ⇒ AB 2 = 22 + (−4)2 = 20 x−0 y − m2 + m − 1 Đư ng th ng qua hai đi m A, B là: = ⇔ 2x + y − m2 + m − 1 = 0 2 −4 1 Ta có: SABC = d (C, AB) .AB = 7 2 1 |m2 − m + 1| √ x=3 ⇒ √ 2 5 = 7 ⇔ |m2 − m + 1| = 7 ⇔ 2 5 x = −2 V y v i m ∈ {3; −2} thì th a mãn yêu c u đ bài. 1 Ví d 1.6: Cho hàm s : y = x3 + (m2 − m + 2) x2 + (3m2 + 1) x + m − 5. Tìm m đ hàm s đ t 3 c c ti u t i x = −2 LG: TXĐ: D = R Đi u ki n c n: Ta có: y = x2 + 2 (m2 − m + 2) x + 3m2 + 1. Suy ra: y = 2x + 2 (m2 − m + 2) y (−2) = 0 m2 − 4m + 3 = 0 Hàm s đ t c c ti u t i x = −2 thì ⇒ ⇒ m = 3. y (−2) > 0 m2 − m > 0 * Đi u ki n đ : 1 V i m = 3 ta có hàm s : y = x3 + 8x2 + 28x − 2. 3 Ta có: y = x2 + 16x + 28 ⇒ y = 2x + 16. x = −2 Khi đó: y = 0 ⇔ x2 + 16x + 28 = 0 ⇔ . x = −14 M t khác: y (−2) = 2 (−2) + 16 = 12 > 0. Suy ra hàm s đ t c c ti u t i x = −2. V y giá tr m c n tìm là m = 3. Nh n xét: Đây là m t bài toán khá đơn gi n, tuy nhiên l i sai hay m c ph i d ng toán này là ch xét đi u ki n c n và k t lu n luôn bài toán! Bài t p t luy n: Bài 1.1: Cho hàm s : y = 3 x3 − (m + 1) x2 + 3 (m + 1)3 1 4 Tìm m đ th hàm s có đi m c c đ i và c c ti u sao cho hai đi m đó n m v hai phía c a đư ng tròn ( C) x2 + y 2 − 4x + 3 = 0 Page 7
  8. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C Bài 1.2: Cho hàm s : y = x3 − mx2 + (m2 − 2m) x + 1 Tìm m đ đ th hàm s có hai đi m c c tr n m cùng phía ch a g c t a đ đ i v i đư ng th ng (d) : x = −1 Bài 1.3: Cho hàm s : y = −x3 + (2m + 1) x2 − (m2 − 3m + 2) x − 4 Tìm m đ hàm s có các đi m c c tr n m v hai phía c a tr c tung Bài 1.4: Tìm m đ hàm s 3m 2 y = x3 − x +m 2 có các CĐ và CT n m v hai phía c a đư ng th ng y = x Bài 1.5: Cho hàm s : y = x3 − 3 (m + 1) x + 9x − m Tìm m đ hàm s đ t c c đ i và c c ti u t i hai đi m phân bi t x1 , x2 sao cho: |x1 − x2 | ≤ 2. 1 1 Bài 1.6: Cho hàm s : y = 3 x3 − (m − 1) x2 + 3 (m − 2) x + 3 Tìm m đ hàm s đ t c c đ i c c ti u t i x1 , x2 sao cho x1 + 2x2 = 1 Bài 1.7: Cho hàm s 1 1 3 sin 2a f (x) = x3 − (sin a + cosa)x2 + x 3 2 4 Tìm a đ hàm s đ t c c tr t i x1 , x2 th a mãn đi u ki n x1 + x2 = x2 + x2 1 2 Bài 1.8: Cho hàm s : y = 3 x3 − 1 mx2 + (m2 − 3) x + 5m + 1 1 2 Tìm m đ đ th hàm s có hai đi m c c tr sao cho hoành đ c a chúng là chi u dài các c nh góc √ 10 vuông c a tam giác vuông có đ dài c nh huy n là 2 . Bài 1.9: Cho hàm s : y = x3 − 3mx2 + 3m2 Tìm m đ đ th hàm s có hai đi m c c tr A, B sao cho tam giác OAB có di n tích b ng 48. Bài 1.10: Tìm m đ đ th hàm s y = 2x3 + 3 (m − 1) x2 + 6m (1 − 2m) x có các đi m c c tr n m trên đư ng th ng y = −4x Bài 1.11: Tìm m đ đ th hàm s y = x3 − 3x2 − mx + 2 có c c tr , và đư ng th ng đi qua các đi m c c tr song song v i đư ng th ng y = −4x + 3. Bài 1.12: Cho hàm s : y = x3 − 3x2 − mx + 2 Tìm m đ hàm s có c c đ i c c ti u, và đư ng th ng đi qua hai đi m c c tr t o v i đư ng th ng (d) : x + 4y − 5 = 0 m t góc α = 45o . Bài 1.13: Cho hàm s : y = x3 − 3x2 − mx + 2 Tìm đ đ th hàm s có hai đi m c c tr , và đư ng th ng đi qua hai đi m c c tr t o v i hai tr c t a đ m t tam giác cân Bài 1.14: Tìm m đ đ th hàm s y = x3 − 3x2 − mx + 2 có c c đ i c c ti u cách đ u đư ng th ng y =x−1 Bài 1.15: Tìm m đ đ th hàm s : y = x3 +3x2 +m có hai đi m c c tr A, B sao cho góc AOB = 120o Bài 1.16: Cho hàm s : y = mx3 − 3mx2 + (2m + 1) x + 3 − m (Cm ) Tìm t t c các giá tr c a m sao cho Cm có hai đi m c c tr . CMR: đư ng th ng đi qua hai đi m c c tr luôn đi qua m t đi m c đ nh. Bài 1.17: Cho hàm s : y = 2x2 − 3 (m + 1) x2 + 6mx + m3 Tìm m đ đ th hàm s có hai đi m c c tr A, B sao cho tam giác ABC vuông t i C, v i C(4;0) Bài 1.18: Cho hàm s : y = x3 − 3mx2 + 3 (m2 − 1) x − m3 + 4m − 1 Tìm m đ đ th hàm s có hai đi m c c tr A, B sao cho tam giác OAB vuông t i O. II - Bài toán c c tr v i hàm đa th c b c 4 trùng phương: Ki n th c b sung: y = ax4 + bx2 + c ⇒ y = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) (a = 0) x=0 y =0⇔ x2 = −b 2a Page 8
  9. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C S lư ng đi m c c tr : −b - N u y = 0 có ba nghi m phân bi t ( > 0) thì hàm s có ba đi m c c tr . 2a −b - N u y = 0 có m t nghi m x = 0 ( ≤ 0) thì hàm s ch có m t đi m c c tr . 2a Tính ch t: b b Khi hàm s có 3 đi m c c tr : A(0; c), B( − 2a ; y1 ), C(− − 2a ; y2 ) thì: - Ta tính đư c: y1 = y2 - B và C đ i x ng nhau qua tr c Oy, Đi m A n m trên tr c Oy do đó tam giác ABC cân t i A. Ví d 2.1: Cho hàm s : y = x4 − 2(m + 1)x2 + m2 Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr là ba đ nh c a m t tam giác vuông. Phân tích: Trư c h t các em v n c n hình dung bài toán có hai yêu c u và th c hi n t ng yêu c u trong kh năng c a mình, khó khăn n u có thì n m yêu c u th hai "là ba đ nh c a tam giác vông" C n chú ý r ng n u m t tam giác cân mà vuông thì nó ph i vuông t i đ nh c a tam giác cân đó. Th hai c n x lí thông tin tam giác vuông như th nào? Có nhi u cách: − − → → Tam giác ABC vuông t i A ⇔ AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = 0 ⇔ AB 2 + AC 2 = BC 2 LG: TXĐ: D = R x=0 y = 4x3 − 4(m + 1)xy = 0 ⇔ 4x(x2 − m − 1) = 0 ⇔ x=m+1 Đ hàm s có ba đi m c c tr thì y = 0 ph i có ba nghi m phân bi t ⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1 √ √ Khi đó đ th hàm s có ba đi m c c tr là: A(0; m2 ), B( m + 1; −2m − 1), C(− m + 1; −2m − 1) Ta th y: Đi m B và C đ i x ng nhau qua tr c Oy và đi m A n m trên tr c Oy do đó tam giác ABC cân t i A − − → → Đ tam giác ABC vuông thì nó ph i vuông t i A ⇔ AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = 0 (*) −→ √ √ AB = ( m + 1; −(m + 1)2 ); AC = (− m + 1; −(m + 1)2 ) m = 1 (lo i) (∗) ⇔ −(m + 1) + (m + 1)4 = 0 ⇔ (m + 1)((m + 1)3 − 1) = 0 ⇔ m = 0 (th a mãn) V y v i m = 0 thì th a mãn yêu c u đ bài. Nh n xét: N u c m th y l p lu n ch ng minh tam giác ABC cân như trên khi n các em th y "khó ch u" thì các em hoàn toàn có th th c hi n theo cách r t t nhiên đó là l n lư i tính đ dài các c nh và ch ra đư c AB = AC sau đó khi đã có đ dài các c nh thì các em có th x lí thông tin tam giác ABC vông t i A b ng cách s d ng đ nh lí Pitago: AB 2 + AC 2 = BC 2 . Page 9
  10. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C Ví d 2.2: Cho hàm s : y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành tam giác có di n tích S = 4 Phân tích: V n đ c n x lí thông tin di n tích tam giác S = 4 Ta đã bi t n u hàm s này có ba đi m c c tr A, B, C thì ba đi m c c tr đó t o thành tam giác cân (gi s t i A), đi u này có làm cho vi c tính di n tích tr lên d dàng hay không? Tam giác ABC cân t i A, th thì n u M là trung đi m c a BC thì AM ⊥ BC ⊥ SABC = 1 AM.BC, 2 t a đ các đi m A, B, C đã bi t, t a đ M ta tìm đư c (là trung đi m BC) do đó ta tính đư c di n tích tam giác ABC, t đó "ép" cho nó b ng 4 thì ta s tìm đư c m th a mãn đi u ki n bài toán. LG: TXĐ: D = R x=0 y = 4x3 − 4mxy = 0 ⇔ 4x(x2 − m) = 0 ⇔ x2 = m Đ hàm s có ba đi m c c tr thì y = 0√ ba nghi m phân bi t ⇔ m > 0 Khi đó ba đi m c c tr có √ c a đ th hàm s là: A(0; 2m + m4 ), B( m; m4 − m2 + 2m), C(− m; m4 − m2 + 2m) Ta th y: Hai đi m B, C đ i x ng nhau qua tr c Oy, đi m A n m trên tr c Oy, do đó tam giác ABC cân t i A G i M là trung đi m c a BC suy ra AM là trung tuy n đ ng th i là đư ng cao trong tam giác ABC 1 ⇒ SABC = AM.BC = 4 (∗) 2 Ta có: M (0; m4 − m2 + 2m) −→ − − −→ √ √ AM = (0; −m2 ) ⇒ AM = m2 BC = (−2 m; 0) ⇒ BC = 2 m √ 1 2 √ 2 √ 5 m = 5 16√ a mãn th (∗) ⇔ m .2 m = 4 ⇔ m m = 4 ⇔ m = 16 ⇔ 5 2 m = − 16 lo i √ V y v i m = 5 16 thì th a mãn yêu c u đ bài. Ví d 2.3: Cho hàm s : y = x4 − 2mx2 + m − 1 Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr , sao cho đư ng tròn đi qua ba đi m c c tr đó có bán kính b ng 1 Phân tích: Gi s ba đi m c c tr là A, B, C và tam giác ABC cân t i A. Khi đó tâm I đư ng tròn (C) qua ba đi m c c tr (chính là đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC) s n m trên tr c Oy (Oy là đư ng trung tr c c a BC) Do đó đ đư ng tròn (C) có bán kính b ng 1 thì đi u ki n tương đương s là: IA = 1 IA = IB = 1 ⇔ IB = 1 Gi i h đi u ki n này ta s tìm đư c m. LG: TXĐ: D = R Page 10
  11. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C x=0 y = 4x3 − 4mx = 4x(x2 − m)y = 0 ⇔ x2 = m Đ hàm s có ba đi m c c tr thì y = 0 có ba nghi m phân √ t ⇔ m > 0 bi √ Khi đó ba đi m c c tr c a đ th hàm s là: A(0; m−1), B(− m; −m2 +m−1), C( m; −m2 +m−1) √ √ x −∞ − m 0 m +∞ y − 0 + 0 − 0 + +∞ m−1 +∞ y −m2 + m − 1 −m2 + m − 1 Ta th y: B và C đ i x ng nhau qua tr c Oy, Oy là đư ng trung tr c c a BC. Do đó tâm I c a đư ng tròn (C) qua ba đi m c c tr A, B, C s n m trên Oy và n m bên dư i đi m A. Gi s I(0; k), (k < m − 1) IA = 1 Đ (C) có bán kính b ng 1 thì IA = IB = IC = 1 ⇔ IB = 1 −→ √ IB = (− m; m2 + m − 1 − k) ⇒ IB 2 = m + (−m2 + m − 1 − k)2 IB = 1 ⇒ m + (−m2 + m − 1 − k)2 = 1 −→ IA = (0; m − 1 − k) ⇒ IA2 = (m − 1 − k)2 k = m − 2 < m − 1th a mãn IA2 = 1 ⇒ (m − 1 − k)2 = 1 ⇔ k = m > m − 1lo i Th k = m − 2 th vào (*) ta đư c: m + (−m2 + m − 1 − m + 2)2 = 1 ⇔ m − 1 + (m2 − 1)2 = 0 √ −1 + 5 Gi i phương trình k t h p vơi đi u ki n ta đư c m = 1, m = th a mãn yêu c u đ bài! 2 Nh n xét: Đây là m t bài toán khá khó (so v i m t bài là câu h i ph trong bài kh o sát hàm s đ thi Đ i h c) C n khá tinh t đ đưa ra nh n xét k < m − 1, n u không có nh n xét này s làm m t thêm m t chút th i gian n a đ hoàn thi n bài toán này! Bài toán này còn có cách gi i quy t abc khác b ng cách s d ng công th c: S = . Các em hãy th t tìm tòi nhé! 4R BÀI T P T LUY N x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m 2.1) A-2007. Cho hàm s y = , (1) (m là tham s ). a) Kh o sát s x+2 bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = −1. b) Tìm m đ hàm s (1) có c c đ i và c c ti u, đ ng th i các đi m c c tr c a đ th cùng v i g c t a đ t o thành 1 tam giác vuông t i O. (ĐA: √ m = −4 ± 2 6). 2.2) B-2002. Cho hàm s y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10 (1) (m là tham s ). a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 1. b) Tìm m đ hàm s (1) có 3 đi m c c tr . (ĐA: m < −3 ho c 0 < m < 3). x2 + (m + 1)x + m + 1 2.3) B-2005. G i (Cm) là đ th c a hàm s y = (∗) (m là tham s ). a) x+1 Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (∗) khi m = 1. b) Ch ng minh r√ v i m b t kỳ, (Cm) ng luôn có đi m c c đ i, đi m c c ti u và kho ng cách gi a hai đi m đó b ng 20. Page 11
  12. Diendantoanhoc.net HÀM S LUY N THI Đ I H C 2.4) Cho hàm s f (x) = x4 + 2(m − 2)x2 + m2 − 5m + 5 có đ th là (Cm ). a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C1 ) c a hàm s khi m = 1. b) Tìm m đ (Cm) có các đi m c c đ i, c c ti u t o thành m t tam giác vuông cân. (ĐA: m = 1). 2.5) Cho hàm s y = x4 + 2mx2 + m2 + m (1). a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s (1) khi m = −2. b) Tìm m đ đ th hàm s (1) có 3 đi m c c tr l p thành m t tam giác có m t 1 góc b ng 120o . (ĐA: m = − √ ). 3 3 2.6) Cho hàm s y = x4 + mx3 − 2x2 − 3mx + 1 (1). a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C0 ) 4 c a hàm s khi m = 0. b) Tìm m đ hàm s (1) có hai c c ti u. (ĐA: m = ± 3 ). 2.7) Cho hàm s y = (m + 1)x4 − (m + 2)x2 + 1. a) Tìm m đ y có đúng 3 c c tr . (ĐA: m < -2 ho c m > -1). b) Tìm m đ y ch có 1 c c tr . (ĐA: −2 ≤ m ≤ −1). 2.8) G i (G) là đ th c a hàm s y = x4 + mx2 + 1. a) Tìm m đ (G) có 3 đi m c c tr . (ĐA: √ m < 0). b) Tìm m đ 3 đi m c c tr trong câu a) l p thành m t tam giác đ u. (ĐA: m = − 3 24). c) m Vi t phương trình parabol đi qua 3 đi m c c tr nói trên. (ĐA: y = x2 + 1). 2 2.9) A - 2012. Cho hàm s y = x4 − 2(m + 1)x2 + m2 , (1) v i m là tham s th c a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 0 b) Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr t o thành ba đ nh c a m t tam giác vuông. 2.10) B-2011. Cho hàm s y = x4 − 2(m + 1)x2 + m, (1) v i m là tham s th c a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 1 b) Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr A, B, C sao cho OA = BC, trong đó A là đi m c c tr trên Oy, O là g c t a đ , B, C là các đi m c c tr còn l i. 2.11) Cho hàm s y = −x4 + 2mx2 − 4. Tìm m đ t t c các đi m c c tr c a đ th hàm s đ u n m trên các tr c t a đ . 2.12) Cho hàm s y = x4 + (3m + 1) x2 − 3. Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành 2 m t tam giác có m t c nh b ng c nh khác. 3 1 4 2.13) Cho hàm s y = x − (3m + 1) x2 + 2 (m + 1). Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c 4 tr t o thành tam giác nh n g c t a đ làm tr ng tâm. 2.14) Cho hàm s y = x4 − 2mx2 + 2m + m4 . Tìm m đ đ th hàm s có các đi m c c tr t o thành tam giác đ u. 2.15): Cho hàm s y = x4 − 2 (1 − m2 ) x2 + m + 1. Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành tam giác có di n tích l n nh t. 2.16) Cho hàm s y = x4 − 2mx2 + 2. Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành tam 3 9 giác có đư ng tròn ngo i ti p đi qua đi m D ; 5 5 1 1 2.17) Cho hàm s y = x4 − mx2 + m + 1 Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành 4 2 tam giác n i ti p đư c trong đư ng tròn có bán kính R = 1. 2.18) Cho hàm s y = x4 − 2mx2 − 3. Tìm m đ đ th hàm s có ba đi m c c tr t o thành tam giác có bán kính đư ng tròn ngo i ti p đ t giá tr nh nh t. Page 12
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0