Lý thuyết dao động - Chương 3

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

132
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dao động tuyến tính của hệ có vô số bậc tự do Hệ có khối lượng phân bố liên tục có vô số bậc tự do (tức là có vô số tần số riêng và dạng dao động riêng). Khác với hệ hữu hạn bậc tự do phương trình toán học mô tả quá trình dao động là hệ phương trình vi phân thường, ở đây dẫn tới phương trình vi phân đạo hàm riêng. Do đó ngoài các điều kiện ban đầu, cần xét đến các điều kiện biên. Ta xét một số hệ liên tục đơn giản thường...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết dao động - Chương 3

Ch−¬ng III Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ cã v« sè bËc tù do HÖ cã khèi l−îng ph©n bè liªn tôc cã v« sè bËc tù do (tøc lµ cã v« sè tÇn sè riªng vµ d¹ng dao ®éng riªng). Kh¸c víi hÖ h÷u h¹n bËc tù do ph−¬ng tr×nh to¸n häc m« t¶ qu¸ tr×nh dao ®éng lµ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng, ë ®©y dÉn tíi ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng. Do ®ã ngoµi c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu, cÇn xÐt ®Õn c¸c ®iÒu kiÖn biªn. Ta xÐt mét sè hÖ liªn tôc ®¬n gi¶n th−êng gÆp trong kü thuËt. §.3.1. Dao ®éng däc cña thanh tiÕt diÖn kh«ng ®æi. 3.1.1. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng däc cña thanh. Khi xÐt dao ®éng däc cña thanh th¼ng ta coi tiÕt diÖn ngang cña thanh ph¼ng vµ c¸c phÇn tö cña thanh kh«ng thùc hiÖn dÞch chuyÓn ngang mµ chØ dÞch chuyÓn theo h−íng däc thanh. Cho thanh th¼ng dµi L. Chän trôc Ox h−íng däc thanh nh− h×nh vÏ (H×nh 3-1). L U n m m n X O U + ∂U dx dx dx x ∂x n m ∂N dx N N ∂x H×nh 3-1 Ký hiÖu: ρ lµ khèi l−îng riªng cña vËt liÖu thanh; E lµ M«®un ®µn håi cña nã; F lµ diÖn tÝch tiÕt diÖn ngang cña thanh. XÐt ph©n tè giíi h¹n bëi hai mÆt c¾t m, n. Gäi U lµ dÞch chuyÓn däc cña tiÕt diÖn ngang bÊt kú m cã to¹ ®é x khi dao ®éng. DÞch chuyÓn nµy sÏ lµ hµm cña x vµ t: U = U(x,t). ∂U Khi ®ã dÞch chuyÓn ë tiÕt diÖn l©n cËn n sÏ b»ng: U + dx . Tõ ®ã ®é d·n dµi tuyÖt ®èi cña ∂x ∂U ∂U dx ; vµ ®é d·n dµi t−¬ng ®èi cña nã b»ng: ε = (3-1) ph©n tè thanh dx lµ ∂x ∂x 65
Lùc däc t¸c dông t¹i tiÕt diÖn ngang m cã to¹ ®é x ®−îc tÝnh theo biÓu thøc: ∂U N = EFε = EF (3-2) ∂x EF gäi lµ ®é cøng cña thanh khi kÐo, nÐn. Lùc däc t¸c dông t¹i tiÕt diÖn ngang l©n cËn cã to¹ ®é (x + dx) b»ng: ∂N N′ = N + dx. ∂x ∂ 2U Khèi l−îng ph©n tè thanh kh¶o s¸t lµ: ρFdx, nªn lùc qu¸n tÝnh ®Æt lªn nã lµ: − ρFdx 2 . ∂t ¸p dông nguyªn lý §a-l¨m-be ®èi víi ph©n tè thanh, ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ∂N ⎞ ∂2U ⎛ ®éng trªn trôc Ox: − N + ⎜ N + dx ⎟ − ρFdx 2 = 0 ∂x ⎠ ∂t ⎝ ∂N ∂2U = ρF 2 Suy ra: (3-3) ∂x ∂t ∂2U ∂ 2U = a2 Thay (3-2) vµo (3-3) nhËn ®−îc: (3-4) ∂t 2 ∂x 2 F Trong ®ã: a = lµ tèc ®é truyÒn sãng däc trong thanh; (3-4) lµ ph−¬ng tr×nh dao ρ ®éng däc cña thanh tiÕt diÖn kh«ng ®æi . 3.1.2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (3-4) b»ng ph−¬ng ph¸p Furiª. Ph−¬ng tr×nh (3-4) lµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp hai gäi lµ ph−¬ng tr×nh sãng. Hµm U = U(x,t). NR cña (3-4) t×m d−íi d¹ng: U = X(x)T(t) (3-5) NghÜa lµ t×m U ë d¹ng tÝch hai hµm. X(x) chØ lµ hµm cña x, T(t) chØ lµ hµm cña t. Thay (3-5) vµo (3-4) ta cã: •• a 2 X ′′ T = X T VÕ tr¸i cña ®¼ng thøc chØ phô thuéc vµo x, vÕ ph¶i chØ phô thuéc t. §Ó ®¼ng thøc ®óng víi mäi x, t th× chóng ph¶i b»ng h»ng sè. Ta ký hiÖu h»ng sè nµy qua: - p2. Do ®ã: •• a 2 X ′′ T = −p 2 ; = −p 2 X T Ta cã hai ph−¬ng tr×nh sau: 2 ⎛p⎞ •• T + p 2 T = 0; X ′′ + ⎜ ⎟ X = 0 (3-6) ⎝a⎠ Ph−¬ng tr×nh ®Çu cña (3-6) cã nghiÖm: T = Asin(pt + α) (3-7) 66
Nã ®Æc tr−ng cho qu¸ tr×nh dao ®éng, ë ®ã p ch−a biÕt cã ý nghÜa nh− tÇn sè dao ®éng tù do. Ph−¬ng tr×nh thø hai cña (3-6) cã nghiÖm: p p X = C sin x + D cos x (3-8) a a Nã x¸c ®Þnh d¹ng riªng cña dao ®éng. Ph−¬ng tr×nh x¸c ®Þnh ®¹i l−îng ch−a biÕt p ®−îc thiÕt lËp khi xÐt c¸c ®iÒu kiÖn biªn gäi lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè. Nãi chung ph−¬ng tr×nh nµy lu«n lµ ph−¬ng tr×nh siªu viÖt vµ cã v« sè nghiÖm pn (n = 1, 2...). NghiÖm viÕt ë d¹ng (3-5) chØ lµ mét NR cña ph−¬ng tr×nh sãng. NTQ cña (3-4) nhËn ®−îc b»ng c¸ch hîp c¸c NR: ∞ U = ∑ X n ( x ) Tn ( t ) (3-9) n =1 Hµm Xn (x) gäi lµ hµm riªng, m« t¶ d¹ng riªng cña dao ®éng, nã kh«ng phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn ®Çu vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trùc giao. Khi F = const, m ≠ n, ta cã: L ∫X (x).X n (x)dx = 0 (3-10) m 0 3.1.3. C¸c ®iÒu kiÖn biªn cña thanh, ph−¬ng tr×nh tÇn sè. 2.1.3a. Thanh cã hai ®Çu tù do (H×nh 3-2). L Trong tr−êng hîp nµy lùc däc ë hai ®Çu thanh b»ng kh«ng, nªn ®é d·n dµi t−¬ng ®èi b»ng X kh«ng x ∂U Ta cã: = 0 khi x = 0 vµ x = L ∂x H×nh 3-2 Hay: X ′T = 0 khi x = 0 vµ x = L C¸c ®iÒu kiÖn trªn ®−îc thùc hiÖn nÕu: dX dX = 0 vµ =0 (3-11) dx dx x=L x =0 Tõ (3-8) víi C vµ D bÊt kú, nªn ®iÒu kiÖn ®Çu cña (3-11) ®−îc tho¶ m·n khi ®Æt C = 0; pL =0 ®iÒu kiÖn thø hai ®−îc tho¶ m·n nÕu: sin (3-12) a (3-12) gäi lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè. Nã cho phÐp x¸c ®Þnh tÇn sè riªng cña dao ®éng däc thanh víi c¸c mót tù do. pnL = nπ ; n = 1, 2, 3 ... Ta cã: (3-13) a 67
Khi n = 1, ta cã tÇn sè dao ®éng c¬ b¶n: aπ π E p1 = = (3-14) ρ LL Chu kú t−¬ng øng b»ng: 2π ρ T1 = = 2L (3-15) p1 E Nh− vËy, ta cã v« sè tÇn sè dao ®éng riªng, mçi tÇn sè t−¬ng øng víi mét d¹ng dao nπx ®éng riªng x¸c ®Þnh bëi hµm riªng Xn(x) = cos . V× thÕ, NTQ dao ®éng tù do cña thanh L víi hai ®Çu mót tù do ®−îc biÓu diÔn ë d¹ng: nπx ∞ ∞ U = ∑ X n ( x )Tn ( t ) = ∑ cos .A n sin( p n t + α n ) L n =1 n =1 nπx ⎛ nπat nπat ⎞ ∞ U = ∑ cos + b n sin .⎜ a n cos ⎟ Hay: (3-16) L⎝ L⎠ L n =1 C¸c h»ng sè an, bn cã thÓ chän sao cho tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Çu. Gi¶ sö t¹i t = 0 th× • = f (x); U = f1 (x) . Thay ®iÒu kiÖn nµy vµo (3-16) ta ®−îc: U t =0 t =0 nπx nπa nπx ∞ ∞ f (x) = ∑ a n cos ; f1 (x) = ∑ b n cos L L L n =1 n =1 nπx nπx L L 2 2 Tõ ®ã suy ra: a n = ∫ f (x) cos ∫ f1 (x) cos L dx dx; b n = (3-17) nπa 0 L0 L 3.1.3b. Thanh mét ®Çu ngµm chÆt, mét ®Çu tù do (H×nh 3-3). Gi¶ sö thanh bÞ ngµm ë ®Çu x = 0, ®Çu cßn L l¹i x = L tù do. §iÒu kiÖn biªn cã d¹ng: X ∂U U x =0 = 0 vµ =0 x ∂x x =L H×nh 3-3 Hay: XT = 0 khi x = 0 vµ X ′T = 0 khi x = L. §iÒu nµy ®−îc thùc hiÖn nÕu: X x =0 = 0 ; X ′ x =L = 0 (3-18) T−¬ng tù c¸ch lý gi¶i nh− 3.1.3a, ®Ó tho¶ m·n (3-18) ph¶i cã D = 0 vµ ta suy ra pL ph−¬ng tr×nh tÇn sè: cos =0 (3-19) a nπa Gi¶i ra ta cã: pn = ; n = 1, 3, 5... (3-20) 2L 68
πa πE = Víi n = 1 th×: p1 = (3-21) 2L 2L ρ NTQ dao ®éng däc cña thanh trong tr−êng hîp nµy cã d¹ng: nπx ⎛ nπat nπat ⎞ ∞ U = ∑ sin + b n sin ⎟ .⎜ a n cos (3-22) 2L ⎠ 2L ⎝ 2L n =1, 3, 5... H»ng sè an, bn còng ®−îc x¸c ®Þnh b»ng ®iÒu kiÖn ®Çu t¹i t = 0. Gi¶ sö thanh ®−îc kÐo bëi lùc däc P t¹i mót tù do. T¹i t = 0 lËp tøc c¾t bá lùc P vµ thanh cßn tù do. Ký hiÖu ε lµ ®é d·n dµi t−¬ng ®èi ban ®Çu th× ε = P/EF. Ta viÕt ®−îc ®iÒu kiÖn ®Çu ë d¹ng: • U t = 0 = εx ; U =0 t =0 §iÒu kiÖn nµy cho ta x¸c ®Þnh an vµ bn. Khi ®ã ta cã: n −1 8εL bn = 0 ; a n = 2 2 (−1) 2 nπ n −1 8εL (−1) 2 nπx nπat Do ®ã: U = 2 ∑ sin cos (3-23) π n =1,3,5... n 2 2L 2L Tãm l¹i, tõ c¸c ®iÒu kiÖn biªn ta sÏ x¸c ®Þnh ®−îc c¸c tÇn sè riªng vµ c¸c hµm riªng. B¶ng 4: Ta thèng kª mét sè d¹ng c¬ b¶n c¸c ®iÒu kiÖn biªn cña bµi to¸n khi xÐt dao ®éng däc cña thanh. B¶ng 4: C¸c ®iÒu kiÖn biªn cña vµi d¹ng liªn kÕt khi xÐt dao ®éng däc cña thanh. S¬ ®å D¹ng liªn kÕt §iÒu kiÖn biªn O X Ngµm U(0,t) = 0 ∂U (0, t ) =0 EF §Çu tù do X O ∂x ∂U (0, t ) N =N X EF Lùc däc ∂x O ∂U (0, t ) C = CU X EF ∂x O Liªn kÕt ®µn ∂U (L, t ) håi tuyÕn tÝnh C = −CU X EF ∂x O ∂U (0, t ) ∂ 2U X m =m 2 EF O ∂x ∂t §Çu thanh g¾n m khèi l−îng m ∂U (L, t ) ∂2U = −m 2 X EF ∂x ∂t O 69
§.3.2. Dao ®éng xo¾n cña trôc trßn tiÕt diÖn kh«ng ®æi. 3.2.1. Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n vµ nghiÖm cña nã. VÒ mÆt to¸n häc viÖc thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng xo¾n cña trôc trßn gièng nh− kh¶o s¸t dao ®éng däc cña thanh. Cho trôc trßn dµi L. Chän trôc Ox däc trôc nh− h×nh vÏ (H×nh 3-4) Gäi ρ lµ mËt ®é khèi l−îng cña vËt liÖu trôc; G lµ m«®un ®µn håi tr−ît cña nã; JP lµ m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña tiÕt diÖn ngang trôc; khi ®ã: GJP = C lµ ®é cøng tiÕt diÖn ngang trôc khi xo¾n. L n m M n m O X x dx ∂M dx M+ ∂x H×nh 3-4 XÐt yÕu tè thanh giíi h¹n bëi hai mÆt c¾t m, n gÇn kÒ nhau. M«men xo¾n t¸c dông ë ∂M hai tiÕt diÖn nµy t−¬ng øng b»ng: M vµ M + dx ∂x ∂θ Gäi θ lµ gãc xoay cña tiÕt diÖn m cã to¹ ®é x, khi ®ã biÕn d¹ng gãc t−¬ng ®èi lµ . ∂x Theo c«ng thøc ®· biÕt trong SBVL, ta cã: ∂θ M = GJP (3-24) ∂x ∂ 2θ Lùc qu¸n tÝnh t¸c dông lªn yÕu tè cña trôc b»ng: − ρJPdx 2 ∂t ¸p dông nguyªn lý §a-l¨m-be, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng m«men ®èi víi trôc Ox: ∂M ⎞ ∂ 2θ ⎛ − M + ⎜M + dx ⎟ − ρJ P dx 2 = 0 ∂x ∂t ⎝ ⎠ ∂M ∂ 2θ = ρJ P 2 (3-25) Tõ ®ã: ∂x ∂t Thay (3-24) vµo (3-25) ta nhËn ®−îc: ∂ 2θ 2∂θ 2 = a1 2 (3-26) ∂t 2 ∂x G Trong ®ã: a 1 = lµ vËn tèc truyÒn sãng tr−ît. ρ Ph−¬ng tr×nh (3-26) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng xo¾n cña trôc trßn tiÕt diÖn kh«ng ®æi. Nã cã d¹ng gièng ph−¬ng tr×nh (3-4). 70
NTQ cña (3-26) cã d¹ng: ∞ θ = ∑ X n ( x )Tn ( t ) (3-27) n =1 pn x px + D n cos n Trong ®ã: Xn(x) = Cn sin (3-28) a1 a1 Tn(t) = An sin ( pnt + αn) C¸c h»ng sè An, α n ®−îc x¸c ®Þnh tõ ®iÒu kiÖn ®Çu. C¸c tÇn sè riªng vµ hµm riªng ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn biªn. 3.2.2. C¸c ®iÒu kiÖn biªn - ph−¬ng tr×nh tÇn sè. 3.2.2a. Trôc cã hai ®Çu tù do (H×nh 3-5). L X x H×nh 3-5 Trong tr−êng hîp nµy m«men xo¾n ë hai ®Çu b»ng kh«ng. Nªn: ∂θ ∂θ = 0 vµ =0 ∂x ∂x x = L x =0 Hay cã thÓ viÕt: X ′ x =0 = 0 vµ X ′ x =L = 0 (3-29) pL §Ó tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (3-29), ta ph¶i cã: C = 0 vµ: sin =0 (3-30) a1 (3-30) lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè trong tr−êng hîp kh¶o s¸t. Gi¶i ra: pnL = nπ; n = 1, 2, 3... (3-31) a1 nπa 1 t nπa 1 t ⎞ nπx ⎛ ∞ NTQ cã d¹ng: θ = ∑ cos + b n sin ⎜ a n cos ⎟ L⎝ L⎠ L n =1 L J1 3.2.2b. Trôc cã g¾n c¸c ®Üa (b¸nh ®µ) ë hai J2 ®Çu mót (H×nh 3-6). x O Trong tr−êng hîp nµy m«men xo¾n ë c¸c ®Çu x trôc b»ng m«men c¸c lùc qu¸n tÝnh cña c¸c ®Üa (b¸nh ®µ). H×nh 3-6 71
§iÒu kiÖn biªn khi nµy cã d¹ng sau: J 1 ∂ θ = GJ P ∂ θ 2 khi x = 0 ∂x ∂t 2 ∂ 2θ ∂θ = − GJ P khi x = L J2 ∂x ∂t 2 ⎧J 1p 2 X ′ = GJ P X ′ khi x = 0 ⎪ ⎨2 (3-32) Hay: ⎪J 2 p X ′ = −GJ P X ′ khi x = L ⎩ Khi cho tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn trªn ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh tÇn sè: ⎛ pL pa 1 pL ⎞ ⎛ pL ⎞ pL pa 1 J 1 p ⎟ J 2 = − GJ P ⎜ sin cos ⎟ p 2 ⎜ cos − + (3-33) sin ⎜ a1 ⎟ ⎜ a1 ⎟ ⎝ ⎠ a 1 GJ p a1 a1 GJ P ⎝ ⎠ γLJ P J 1g J J pL =β = 1 = m; 2 = n; J 0 = §Æt: γLJ P J 0 a1 J0 g Ph−¬ng tr×nh (3-33) ®−a vÒ d¹ng: βn(1 – mβtgβ) = − (tgβ+ mβ) (m + n )β tgβ = Hay suy ra: (3-34) mnβ 2 − 1 NÕu β1, β2, ... βn lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (3-34) th× NTQ ®èi víi tr−êng hîp kh¶o s¸t lµ: βx β x ⎞⎛ βat β a t⎞ ⎛ ∞ θ = ∑ ⎜ cos n − mβ n sin n ⎟⎜ a n cos n 1 + b n sin n 1 ⎟ (3-35) n =1 ⎝ L ⎠⎝ L⎠ L L §.3.3. Dao ®éng uèn cña dÇm tiÕt diÖn kh«ng ®æi. 3.3.1. Ph−¬ng tr×nh c¬ b¶n. Gi¶ sö dÇm cã mÆt ph¼ng ®èi xøng vµ dao ®éng x¶y ra trong mÆt ph¼ng nµy, nghÜa lµ dÇm chØ thùc hiÖn dao ®éng uèn theo ph−¬ng y. Trong tr−êng hîp mÆt c¾t dÇm kh«ng ®èi xøng qua hai trôc th× dÇm sÏ thùc hiÖn dao ®éng xo¾n vµ uèn ®ång thêi mµ ta kh«ng xÐt ë ®©y. MÆt kh¸c ta còng gi¶ thiÕt r»ng: C¸c mÆt c¾t cña dÇm lu«n lu«n ph¼ng vµ v«ng gãc víi trôc vâng cña dÇm. Ta ký hiÖu EJ lµ ®é cøng cña dÇm khi uèn, q lµ khèi l−îng ®¬n vÞ trªn chiÒu dµi dÇm, y lµ dÞch chuyÓn cña tiÕt diÖn dÇm. XÐt ph©n tè dÇm dx giíi h¹n bëi hai mÆt c¾t kÕ nhau m vµ n (H×nh 3-7). M«men uèn vµ lùc c¾t t¸c dông lªn ph©n tè dÇm ë hai mÆt c¾t m vµ n t−¬ng øng b»ng: ∂M ∂Q M, M + dx vµ Q, Q + dx ∂x ∂x ∂2y Lùc qu¸n tÝnh t¸c dông lªn ph©n tè dÇm kh¶o s¸t: qdx ∂t 2 72
¸p dông nguyªn lý §a-l¨m-be, Ta cã: - Tæng h×nh chiÕu c¸c lùc lªn ph−¬ng th¼ng ®øng Oy: ∂Q ∂ 2y +q 2 =0 (1) ∂x ∂t m n x y dx x L y ∂M m n dx M+ Q ∂x M ∂Q dx dx Q+ ∂x ∂ 2y qdx ∂t 2 H×nh 3-7 - Tæng m«men c¸c lùc ®èi víi trôc thuéc tiÕt diÖn m th¼ng gãc víi mÆt ph¼ng h×nh vÏ: ∂M −Q = 0 (2) ∂x ∂ 2 M ∂Q − =0 §¹o hµm (2) theo x: (3) ∂x ∂x 2 ∂2M ∂ 2y +q 2 =0 Thay (1) vµo (3) ta ®−îc: (3-36) ∂x 2 ∂t ∂ 2y =M ¸p dông c«ng thøc vÒ lý thuyÕt uèn cña thanh trong SBVL: EJ (3-37) ∂x 2 ∂ 2 ⎡ ∂ 2y ⎤ ∂2y ⎥+q 2 =0 ⎢EJ Thay (3-37) vµo (3-36) ta cã: (3-38) ∂t ∂x 2 ⎣ ∂x 2 ⎦ ∂2y ∂4y = a2 4 NÕu dÇm cã tiÕt diÖn kh«ng ®æi th× EJ = const ta suy ra: (3-39) ∂t 2 ∂x 2 EJ Trong ®ã: a 2 = , (3-39) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng uèn cña dÇm tiÕt diÖn q kh«ng ®æi. 73
3.3.2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh (3-39). T−¬ng tù nh− c¸c tr−êng hîp trªn, ta t×m nghiÖm ph−¬ng tr×nh (3-39) d−íi d¹ng: y = X(x).T(t) (3-40) Thay (3-40) vµo (3-39) ta ®−îc: •• X ( IV ) T = −a 2 (3-41) 2 X T §Ó hÖ thøc nµy lu«n lu«n lµ ®ång nhÊt thøc th× vÕ tr¸i vµ vÕ ph¶i cña nã ph¶i b»ng h»ng sè: (-p2). Do ®ã, ta nhËn ®−îc: 2 ⎛p⎞ •• −⎜ ⎟ X = 0 T + p T = 0 vµ X ( IV ) 2 (3-41) ⎝a⎠ Ph−¬ng tr×nh ®Çu cña (3-41) m« t¶ chuyÓn ®éng cã ®Æc tr−ng dao ®éng víi tÇn sè p. Ph−¬ng tr×nh sau cña (3-41) x¸c ®Þnh d¹ng dao ®éng riªng, c¸c NR cña ph−¬ng tr×nh nµy lµ: sinkx, coskx, shkx, chkx. NTQ cña nã biÓu diÔn ë d¹ng: X = C1sin kx + C2coskx + C3shkx + C4chkx (3-42) 2 ⎛p ⎞ qp 2 Trong ®ã: k = 4 ⎜ ⎟ =4 (3-43) ⎜a ⎟ ⎝2 ⎠ EJ C¸c h»ng sè C1, C2, C3, C4 ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn biªn. 3.3.3. Ph−¬ng tr×nh tÇn sè. Thay c¸c ®iÒu kiÖn biªn vµo (3-42) sÏ dÉn tíi c¸c ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt ®èi víi c¸c h»ng sè C1, C2, C3, C4. §Ó c¸c h»ng sè kh«ng ®ång thêi b»ng kh«ng th× ®Þnh thøc cña hÖ ph¶i b»ng kh«ng. §iÒu ®ã sÏ dÉn tíi ph−¬ng tr×nh tÇn sè. Ta minh ho¹ ®iÒu nµy b»ng vµi tr−êng hîp sau: 3.3.3a. DÇm cã hai gèi tùa b¶n lÒ (H×nh 3-8). Trong tr−êng hîp nµy m« men uèn M vµ ®é vâng y t¹i c¸c gèi tùa b»ng kh«ng. y = XT = 0 vµ M = EJ.X′′T = 0. x L y H×nh 3-8 Hay: X x =0 = 0 ; X ′′ x =0 = 0 ; X x = L = 0 ; X ′′ x = L = 0 (3-44) Ta viÕt nghiÖm (3-42) ë d¹ng sau: 74
X = C 1 (cos kx + chkx) + C 2 (cos kx − chkx) + C 3 (sin kx + shkx) (3-45) +C 4 (sin kx − shkx) Tõ ®iÒu kiÖn ®Çu cña (3-44): X x =0 = 0; X ′′ x =0 = 0 . Suy ra r»ng: C1, C2 cã thÓ ®Æt b»ng kh«ng. Tõ c¸c ®iÒu kiÖn cßn l¹i cña (3-44): X x = L = 0; X ′′ x = L = 0 . Ta nhËn ®−îc: C3 = C4 vµ sinkL = 0 (3-46) (3-46) lµ ph−¬ng tr×nh tÇn sè trong tr−êng hîp kh¶o s¸t, gi¶i ph−¬ng tr×nh nµy ta cã: kL = nπ; n = 1, 2, 3... (3-47) Khi chó ý tíi (3-43) ta nhËn ®−îc: n 2π2 EJ pn = (3-48) L2 q 3.3.3b. DÇm cã c¸c mót tù do (H×nh 3-9). x L y H×nh 3-9 Trong tr−êng hîp nµy lùc c¾t Q vµ m«men uèn M ë hai ®Çu thanh b»ng kh«ng, ta cã: ⎧Q = EJX ′′′T = 0 khi x = 0, x = L. ⎨ ⎩M = EJX ′′T = 0 ⎧X ′′′ = 0 Hay: ⎨ khi x=0, x=L (3-49) ⎩X ′′ = 0 Ta vÉn sö dông biÓu thøc nghiÖm (3-45). Khi ®ã tõ ®iÒu kiÖn: X ′′ x =0 = 0 vµ X ′′′ x =0 = 0 suy ra C 2 = C 4 = 0 Nªn: X = C1(coskx+chkx) + C3(sinkx+shkx) Tõ ®iÒu kiÖn cßn l¹i: X ′′ x = L = 0 vµ X ′′′ x = L = 0 ta nhËn ®−îc: ⎧C 1 (− cos kL + chkL ) + C 3 (− sin kL + shkL ) = 0 ⎨ ⎩C 1 (sin kL + shkL ) + C 3 (− cos kL + chkL ) = 0 NghiÖm C1, C2 kh¸c kh«ng nhËn ®−îc chØ trong tr−êng hîp ®Þnh thøc cña hÖ b»ng kh«ng. Ta cã ph−¬ng tr×nh tÇn sè sau: (-coskL + chkL)2 - (sh2kL - sin2kL) = 0 Chó ý r»ng: ch2kL - sh2kL =1; cos2kL + sin2kL = 1 Ta nhËn ®−îc: coskL.chkL =1 (3-50) 75
S¸u nghiÖm ®Çu tiªn cña ph−¬ng tr×nh nµy nh− sau: k1L k2L k3L k4L k5L k6 L 0 4,730 7,853 10,996 14,137 17,279 Trong b¶ng 5, ta dÉn ra c¸c ®iÒu kiÖn biªn cña mét vµi d¹ng liªn kÕt khi xÐt dao ®éng uèn cña dÇm. Chó ý: Víi thanh (dÇm) cã khèi l−îng ph©n bè liªn tôc, tiÕt diÖn cña nã biÕn ®æi theo chiÒu dµi, khi ®ã thay c¸c ph−¬ng tr×nh (3-4), (3-26), vµ (3-39) cã d¹ng sau: ⎧ 2 ∂ ⎡ ∂U ⎤ (3 − 51) ∂2U ⎥ = F ∂t 2 ⎪a ⎢F ⎪ ∂x ⎣ ∂x ⎦ ⎪ ∂ ⎡ ∂θ ⎤ (3 − 52) ∂ 2θ ⎪2 ⎢ J ⎥ = J ∂t 2 ⎨a 1 ⎪ ∂x ⎣ ∂x ⎦ ⎪ ∂ 2 ⎡ ∂ 2y ⎤ (3 − 53) ∂2y ⎪ 2 ⎢EJ 2 ⎥ = −q 2 ⎪ ∂x ⎣ ∂x ⎦ ∂t ⎩ B¶ng 5: C¸c ®iÒu kiÖn biªn cña mét sè d¹ng liªn kÕt khi xÐt dao ®éng uèn cña dÇm. S¬ ®å D¹ng liªn kÕt §iÒu kiÖn biªn Q = EJX ′′′T = 0 ⇒ X ′′′ = 0 O x §Çu tù do M = EJX ′′T = 0 ⇒ X ′′ = 0 Y = XT = 0 => X = 0 O x B¶n lÒ M = EJX ′′T = 0 ⇒ X ′′ = 0 Y = XT = 0 => X = 0 O x Ngµm θ = X ′T = 0 ⇒ X ′ = 0 m0 x M = EJX ′′T = 0 ⇒ X ′′ = 0 O §Çu thanh g¾n •• khèi l−îng m0 Q = − m0 y => m0p2 X = ±EJX′′ m0 x O O x M = EJX ′′T = 0 ⇒ X ′′ = 0 C Liªn kÕt ®µn Q = R ⇒ EJX ′′ = ± CX håi tuyÕn tÝnh O x (R = Cy) C 76
Nhê viÖc ®Æt U = X(x)T(t); θ = X(x)T(t); y = X(x)T(t). Cã thÓ nhËn ®−îc c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng nh− sau ®èi víi hµm X(x) vµ T(t): 2 ⎛p⎞ (FX ′)′ + ⎜ ⎟ FX = 0 (3-54) ⎝a⎠ 2 ⎛p⎞ ( JX ′)′ + ⎜ ⎟ JX = 0 ⎜⎟ (3-55) ⎝ a1 ⎠ (EJX ′′)′′ − qp 2 X = 0 (3-56) •• T+ p 2T = 0 (3-57) C¸c ph−¬ng tr×nh nµy kh¸c víi c¸c ph−¬ng tr×nh tr−íc ®©y ë chç: C¸c hÖ sè cña chóng biÕn ®æi. NghiÖm hiÓn cña chóng nhËn ®−îc chØ trong c¸c tr−êng hîp riªng khi c¸c biÕn: F, J, EJ, q x¸c ®Þnh sù phô thuéc ®Æc biÖt. Trong tr−êng hîp tæng qu¸t cÇn ®−a vµo c¸c phÐp gi¶i gÇn ®óng, nh−: Ph−¬ng ph¸p Ris; ph−¬ng ph¸p Butnèp - Galerkin; ph−¬ng ph¸p gÇn ®óng liªn tiÕp v.v... §3.4. Sù truyÒn sãng ®μn håi däc trong thanh tiÕt diÖn kh«ng ®æi. Trong phÇn §3.1 ®· thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng däc cña thanh tiÕt diÖn kh«ng ®æi: ∂2U 2∂ U 2 −a =0 (3-4) ∂t 2 ∂x 2 E Trong ®ã: a = lµ vËn tèc truyÒn sãng däc trong thanh. Ph−¬ng tr×nh (3-4) còng ρ cßn gäi lµ ph−¬ng tr×nh sãng. NghiÖm cña (3-4) ®· ®−îc kh¶o s¸t ë d¹ng chuçi Fuariª. Tuy nhiªn d¹ng nghiÖm nµy kh«ng ph¶i duy nhÊt. Cã thÓ chØ ra c¸c c¸ch kh¸c nhau gi¶i ph−¬ng tr×nh sãng (3-4) nh− ph−¬ng ph¸p §a-l¨m-be, ph−¬ng ph¸p häa ®å gi¶i tÝch, ph−¬ng ph¸p biÕn ®æi tÝch ph©n v.v.... ë phÇn tr×nh bµy d−íi ®©y ta kh¶o s¸t nghiÖm cña (3-4) b»ng ph−¬ng ph¸p §a-l¨m-be. §−a vµo biÕn sè míi: ξ = at - x; η = at + x 1 1 ( η - ξ); t = (η - ξ) => x = 2 2a Khi ®ã hµm dÞch chuyÓn U(x,t) qua biÕn sè míi lµ U(ξ,η). ¸p dông quy t¾c ®¹o hµm cña hµm hîp ta cã: ⎧∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η ∂ ∂ ⎪ ∂x = ∂ξ ∂x + ∂η ∂x = ∂ξ + ∂η ⎪ ⎨2 ⎪ ∂ = ∂ +2 ∂ + ∂ 2 2 2 ⎪ ∂x 2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎩ 77
⎧∂ ⎛∂ ∂⎞ ∂ ∂ξ ∂ ∂η = a⎜ − ⎟ ⎪= + ⎜ ∂ξ ∂η ⎟ ⎪ ∂t ∂ξ ∂t ∂η ∂t ⎝ ⎠ ⎨2 ⎪ ∂ = a2⎛ ∂ − 2 ∂ + ∂ ⎞ 2 2 2 ⎟ ⎜2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎟ ⎜ ∂ξ ⎪ ∂t 2 ⎠ ⎝ ⎩ Tõ ®ã (3-4) trë thµnh: ∂ ⎛ ∂U ⎞ ∂ 2U ⎜ ⎟=0 = 0 Hay 4a 2 ∂η ⎜ ∂ξ ⎟ ∂ξ∂η ⎝ ⎠ ∂U ∂U kh«ng phô thuéc vµo η vµ chØ lµ hµm cña ξ, ký hiÖu = Q(ξ). Ta cã: Râ rµng ∂ξ ∂ξ U = ∫ Q(ξ)dξ + ψ(η) TiÕp tôc ®Æt: ∫ Q(ξ)dξ = ϕ(ξ) ta cã: U = ϕ(ξ) + ψ(η) Khi chuyÓn qua biÕn míi, ta ®−îc: U = ϕ(at - x) + ψ(at + x) (3-58) BiÓu thøc (3-58) lµ NTQ cña ph−¬ng tr×nh (3-4). Nã gåm hai sè h¹ng: a). Sè h¹ng ®Çu: ϕ(at - x) lµ sãng dÞch chuyÓn truyÒn däc thanh theo h−íng trôc Ox víi vËn tèc truyÒn sãng a kh«ng ®æi. ThËt vËy, khi x = at + c th× ϕ = const. Nh− thÕ nÕu ë thêi ®iÓm t = t1, t¹i tiÕt diÖn x = x1 tån t¹i dÞch chuyÓn ϕ th× ë thêi ®iÓm t = t2 dÞch chuyÓn nµy sÏ ë tiÕt diÖn x = x2 víi x2 = x1 + a(t2 – t1). b). Sè h¹ng thø hai: ψ(at + x), víi c¸ch lý gi¶i t−¬ng tù sÏ lµ sãng dÞch chuyÓn däc thanh theo h−íng ng−îc l¹i cïng víi vËn tèc truyÒn sãng a. KÕt luËn: ChuyÓn ®éng cña thanh cã thÓ kh¶o s¸t nh− kÕt qu¶ tæng hîp cña hai sãng biÕn d¹ng däc thanh ë h−íng ng−îc nhau víi cïng vËn tèc truyÒn sãng a. Khi cho c¸c ®iÒu kiÖn ®Çu vµ c¸c ®iÒu kiÖn biªn x¸c ®Þnh, ta t×m ®−îc nghiÖm cô thÓ cña ph−¬ng tr×nh (3-4). ¸p dông ®iÒu tr×nh bµy trªn, ta xÐt cô thÓ mét sè bµi to¸n vÒ va ch¹m däc cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi, ®ã lµ: Va ch¹m däc cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi tù do vµ va ch¹m cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi mét ®Çu bÞ g¾n chÆt (ngµm). 78