Lý thuyết trường điên tử P2

Chia sẻ: Hai Dang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

400
lượt xem 212
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mô hình toán học cơ bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trình Maxwell. Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các toán tử về giải tích véctơ tác động lên các biến trạng thái E , D , B , H và J . Do vậy trong chương này sẽ nhắc lại một số kiến thức thuộc phạm vi toán học có liên quan.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết trường điên tử P2

Chương 2: Giải tích véctơ 2.1. Giới thiệu Mô hình toán học cơ bản của hệ trường điện từ-môi trường là hệ phương trình Maxwell. Như sẽ thấy ở chương 2, hệ phương trình này được biểu diễn dưới dạng các → → → → → toán tử về giải tích véctơ tác động lên các biến trạng thái E , D , B , H và J . Do vậy trong chương này sẽ nhắc lại một số kiến thức thuộc phạm vi toán học có liên quan. 2.2. Các hệ tọa độ Hệ phương trình này thường được biểu diễn trong hệ tọa độ phù hợp với hình dạng của vật thể trong đó người ta nghiên cứu sự phân bố của trường điện từ. Có ba loại hệ tọa độ: Descartes, trụ và cầu. Tọa độ của mỗi điểm trong không gian, hệ thống véctơ đơn vị và các hệ số Lame trong các hệ tọa độ này được trình bày ở bảng sau: Hệ tọa độ Descartes Cầu Trụ Tọa độ trong không gian M(x, y, z) M(r, ϕ, z) M(R, θ, ϕ) h1 hx = 1 hr = 1 hR = 1 Hệ thống h2 hy = 1 hϕ = r hθ = R véctơ đơn vị h3 hz = 1 hz = 1 hϕ = R.sinθ → → → → q1 x0 r0 R0 → → → → Hệ số Lame q2 y0 ϕ0 θ0 → → → → q3 z0 z0 ϕ0 2.3. Các toán tử về giải tích véctơ → Gọi ψ là một đại lượng vô hướng và A là một đại lượng véctơ có các thành phần theo các trục 1, 2 và 3 (tùy theo hệ tọa độ, xem bảng trên) là A1, A2 và A3. Chương 2 - Trang 8
2.3.1. Gradient dψ → dψ → dψ → Descartes: gradψ = x0 + y0 + z0 (2.1) dx dy dz dψ → 1 dψ → dψ → Trụ: gradψ = r0+ ⋅ ϕ0 + z0 (2.2) dr r dϕ dz dψ → 1 dψ → 1 dψ → Cầu: gradψ = R0 + ⋅ θ0 + ⋅ ϕ0 (2.3) dR R dθ R ⋅ sin θ dϕ 2.3.2. Divergence → dA x dA y dA z Descartes: div A = + + (2.4) dx dy dz → 1 d(rA r ) 1 dA ϕ ∂A z Trụ: div A = ⋅ + ⋅ + (2.5) r dr r dϕ dz → 1 d(R 2 A R ) 1 d(sin θA θ ) 1 dA Cầu: div A = ⋅ + ⋅ + ⋅ ϕ (2.6) R 2 dR Rsinθ dθ Rsinθ dϕ 2.3.3. Rotation → → → x0 y0 z0 → Descartes: rot A = d d d (2.7) dr dy dz Ax Ay Az 1 → → 1 → ⋅ r0 ϕ0 ⋅ z0 r r → Trụ: rot A = d d d (2.8) dr dϕ dz Ar rA ϕ Az → → 1 1 1 → ⋅R0 ⋅ θ0 ⋅ ϕ0 R 2 sin θ R sin θ R → Cầu: rot A = d d d (2.9) dR dθ dϕ AR RAθ R sin θA z Chương 2 - Trang 9
Như vậy: • Khi tác động toán tử grad lên một đại lượng vô hướng, ta có kết quả là một đại lượng véctơ. • Khi tác động toán tử div lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả là một đại lượng vô hướng. • Khi tác động toán tử rot lên một đại lượng véctơ, ta có kết quả cũng là một đại lượng véctơ. 2.3.4. Nabla 1 d → 1 d → 1 d → ∇= ⋅ ⋅ q1 + ⋅ ⋅ q1 + ⋅ ⋅ q3 (2.10) h1 dq1 h1 dq1 h 3 dq3 gradψ = ∇ψ (2.11) → → div A = ∇. A (tích vô hướng) (2.12) → → rot A = ∇∧ A (tích hữu hướng) (2.13) 2.3.5. Laplace ∆ψ = div(gradψ) = ∇.∇ψ = ∇2ψ (2.14) d 2ψ d 2 ψ d 2ψ Descartes: ∆ψ = + + (2.15) dx 2 dy2 dz 2 dψ d(r ) dr + 1 ⋅ d ψ + d ψ 2 2 1 Trụ: ∆ψ = ⋅ (2.16) r dr r 2 dϕ2 dz 2 dΨ d(sin θ ) 1 d 2 (RΨ ) 1 dθ + 1 d 2ψ Cầu: ∆ψ = ⋅ + 2 ⋅ ⋅ 2 (2.17) R dR 2 R sin θ dθ R 2 sin 2 θ dϕ 2.3.6. Các hằng đẳng thức grad(ψ⋅Φ) = ψ⋅gradΦ + Φ⋅gradψ (2.18) → → → div(ψ⋅ A ) = A ⋅gradψ + ψ⋅div A (2.19) Chương 2 - Trang 10
→ → → → → → div( A ∧ B ) = B ⋅rot A – A ⋅rot B (2.20) → → → rot(ψ⋅ A ) = ψ⋅rot A + gradψ ∧ A (2.21) → → → rot(rot A ) = grad(div A ) – ∆ A (2.22) rot(gradψ) = 0 (2.23) → div(rot A ) = 0 (2.24) 2.4. Các định lý biểu diễn các quan hệ tích phân thường gặp 2.4.1. Định lý Green-Stock → → Lưu số của véctơ A dọc theo một vòng kín L bằng thông lượng của véctơ rot A qua mặt S giới hạn bởi vòng kín L đó: → → → → Ñ A⋅ dl = ∫ rot A ⋅ dS ∫ L S (2.25) 2.4.2. Định lý Ostrogradsky-Gauss → → Thông lượng của véctơ A qua một mặt S kín bằng tích phân của véctơ div A theo thể tích V chứa trong mặt S đó: → → → Ñ A⋅ dS = ∫ div A ⋅ dV ∫ S V (2.26) Chương 2 - Trang 11