Chuyên đ : Ph ng pháp t a đ trong không gianề ươ ọ ộ Nguy n Phú Hùngễ
NH NG KI N TH C C N NHỮ Ế Ứ Ầ Ớ
I. T ng quát:ổ
1. Cho
0≠a
. Vecto
b
cùng ph ng v i ươ ớ
a
⇔
k
∃
sao cho
akb =
2. Cho
a
và
b
không cùng ph ng. Vecto ươ
c
đ ng ph ng v i ồ ẳ ớ
a
và
b
⇔
lk,∃
sao cho
blakc +=
3. Cho ba vecto
a
;
b
;
c
không đ ng ph ng và vecto ồ ẳ
.
Khi đó, t n t i duy nh t b 3 s ồ ạ ấ ộ ố
);;( zyx
sao cho
czbyaxd ++=
4. Đi m G là tr ng tâm ể ọ
ABC
∆
⇔
)(
3
1
,0 OCOBOAOGOGCGBGA ++=∀⇔=++
5. Đi m G là tr ng tâm t di n ABCD ể ọ ứ ệ
)(
4
1
,0 ODOCOBOAOGOGCGBGA +++=∀⇔=++⇔
6. Đi m M chia đo n th ng AB theo t s k (ể ạ ẳ ỉ ố
)1≠k
k
OBkOA
OMOMBkMA −
−
=∀⇔=⇔ 1
,
II. Vecto – T a đ vecto và các tính ch tọ ộ ấ
1. Vecto:
Trong không gian Oxyz có 3 vecto đ n v trên 3 tr c Ox, Oy, Oz l n l t là: ơ ị ụ ầ ượ
)0;0;1(=i
,
)0;1;0(=j
,
)1;0;0(=k
•Cho đi m M(x;y;z)ểthì
kzjyixOM ... ++=
•Cho
);;( cbau =
thì
kcjbiau ... ++=
2. Tính ch t vecto:ấ
Cho
);;(
111
zyxu =
và
);;( 222 zyxv =
và 1 s th c k tùy ý, ta có các tính ch t sau:ố ự ấ
•
=
=
=
⇔=
21
21
21
zz
yy
xx
vu
•
);;( 212121 zzyyxxvu +++=+
•
);;( 212121 zzyyxxvu −−−=−
•
);;( 111 kzkykxuk =
•
212121 .... zzyyxxvu ++=
( Tích vô h ng c a 2 vecto )ướ ủ
•Đ dài vecto:ộ
2
1
2
1
2
1
zyxu ++=
•Góc h p b i 2 vecto : ợ ở
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
.
...
.
.
);cos(
zyxzyx
zzyyxx
vu
vu
vu ++++
++
==
L u ýư: n u góc ế
h p b i 2 y u t có giá tr :ợ ở ế ố ị
o
900 ≤≤
ϕ
thì khi tính góc ta ph i tr tuy t đ i ph n tích vô h ng.ả ị ệ ố ầ ướ
( Vì
0cos ≥
ϕ
khi
]90;0[ oo
∈
ϕ
)
o
1800 ≤≤
ϕ
thì khi tính góc qua
ϕ
cos
ta không ph i tr tuy t đ i ả ị ệ ố
( Vì
ϕ
cos
có th âm, có th d ng và b ng 0 khi ể ể ươ ằ
]180;0[
oo
∈
ϕ
•
0...0. 212121 =++⇔=⇔⊥ zzyyxxvuvu
3. Chia 1 đo n th ng theo m t t s cho tr cạ ẳ ộ ỷ ố ướ
Cho 2 đi m ể
);;( AAA zyxA
và
);;( BBB zyxB
. Đi m ể
);;( MMM zyxM
chia đo n th ng AB theo m t t s k: ạ ẳ ộ ỷ ố
1
Chuyên đ : Ph ng pháp t a đ trong không gianề ươ ọ ộ Nguy n Phú Hùngễ
MBkMA =
đ c xác đ nh b i các công th c: ượ ị ở ứ
−
−
=
−
−
=
−
−
=
k
kzz
z
k
kyy
y
k
kxx
x
BA
M
BA
M
BA
M
1
1
1
*) Chú ý: _ N u M n m trong kho ng AB thì k < 0ế ằ ả
_ N u M n m ngoài kho ng AB thì k > 0ế ằ ả
_ N u M là trung đi m AB thì ế ể
1
−=
k
, khi đó:
+
=
+
=
+
=
2
2
2
BA
M
BA
M
BA
M
zz
z
yy
y
xx
x
G là tr ng tâm c a ọ ủ
ABC
∆
⇔
++
=
++
=
++
=
3
3
3
CBA
G
CBA
G
CBA
G
zzz
z
yyy
y
xxx
x
G là tr ng tâm t di n ABCD ọ ứ ệ
⇔
+++
=
+++
=
+++
=
4
4
4
DCBA
G
DCBA
G
DCBA
G
zzzz
z
yyyy
y
xxxx
x
*) Ba đi m th ng hàng:ể ẳ
Ba đi m: ể
);;( AAA zyxA
;
);;( BBB zyxB
và
);;( CCC zyxC
th ng hàng ẳ
ABkAC =⇔
AB
AC
AB
AC
AB
AC
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
=
−
−
⇔
4. Tích có h ng c a 2 vecto:ướ ủ
Tích có h ng c a 2 vecto ướ ủ
);;(
111
zyxu =
và
);;( 222 zyxv =
là 1 vecto kí hi u ệ
];[ vu
đ c xác đ nh b i: ượ ị ở
=
22
11
22
11
22
11 ;;];[ yx
yx
xz
xz
zy
zy
vu
*) Các tính ch t c a tích có h ng 2 vectoấ ủ ướ
•
vu;
là 2 vecto c ng tuy n ( cùng ph ng) ộ ế ươ
⇔
0];[ =vu
•
];[ vuu ⊥
,
];[ vuv ⊥
•
);sin(..];[ vuvuvu =
•
];[];[ uvvu −=
•
];[];[];[ vuvuvu
λλλ
==
v i ớ
R
∈
λ
•
];[];[];[ 2121 vuvuvvu +=+
2
Chuyên đ : Ph ng pháp t a đ trong không gianề ươ ọ ộ Nguy n Phú Hùngễ
*) ng d ng:Ứ ụ Di n tích tam giác ệ
ABC
:
2
1
=
∆ABC
S
];[ ACAB
5. Tích h n t pỗ ạ
Tích h n t p c a 3 vecto ỗ ạ ủ
);;( 111 zyxu =
;
);;( 222 zyxv =
và
);;( 333 zyxw =
đ c kí hi u là ượ ệ
wvu ].;[
ho c ặ
);;( wvuD
đ c xác đ nh b i: ượ ị ở
=wvu ].;[
3
22
11
3
22
11
3
22
11 ... z
yx
yx
y
xz
xz
x
zy
zy ++
*) 3 vecto đ ng ph ng: 3 vecto ồ ẳ
);;( 111 zyxu =
;
);;( 222 zyxv =
và
);;( 333 zyxw =
đ ng ph ng ồ ẳ
⇔
0].;[ =wvu
*) ng d ng:Ứ ụ
•Th tích hình h p ABCD.A’B’C’D’ :ể ộ
'].;[
' DC'B'ABCD.A' AAADABV =
•Th tích t di n ABCD:ể ứ ệ
ADACABVABCD ].;[
6
1
=
-------------------------------------------
M T C U TRONG KHÔNG GIANẶ Ầ
I. Đ nh nghĩa – Ph ng trình c a m t c uị ươ ủ ặ ầ
1. Đ nh nghĩaị
T p h p t t c các đi m trong không gian cách m t đi m I c đ nh m t kho ng cách b ng R, g i là m t c uậ ợ ấ ả ể ộ ể ố ị ộ ả ằ ọ ặ ầ
tâm I bán kính R.
2. Ph ng trìnhươ
a) Ph ng trình chính t c c a m t c u (S) tâm I(a; b; c) , bán kính R có d ng: (S):ươ ắ ủ ặ ầ ạ
2222 )()()( Rczbyax =−+−+−
b) Ph ng trình t ng quát c a m t c u ươ ổ ủ ặ ầ
Ph ng trình: ươ
0222
222 =+−−−++ dczbyaxzyx
là ph ng trình c a m t c u ươ ủ ặ ầ
0
222 >−++⇔ dcba
Khi đó, m t c u có tâm I(a; b; c) và bán kính R = ặ ầ
dcba −++ 222
II. V trí t ng đ iị ươ ố
1. V trí t ng đ i c a đi m và m t c uị ươ ố ủ ể ặ ầ
Cho m t c u (S) có ph ng trình: ặ ầ ươ
0222
222 =+−−−++ dczbyaxzyx
G i Aọ
);;( 000 zyx
là m t đi m b t kì trong không gian. Ta có ph ng tích c a đi m A đ i v i m t c u (S) là:ộ ể ấ ươ ủ ể ố ớ ặ ầ
dczbyaxzyxRAIP SA +−−−++=−= 000
2
0
2
0
2
0
22
)/( 222
)/(SA
P
< 0
⇔
M n m trong m t c uằ ặ ầ
)/( SA
P
= 0
⇔
M n m trên m t c uằ ặ ầ
)/( SA
P
> 0
⇔
M n m ngoài m t c uằ ặ ầ
2. V trí t ng đ i c a 2 m t c uị ươ ố ủ ặ ầ
Cho 2 m t c u không đ ng tâm ặ ầ ồ
)( 1
S
và
)( 2
S
l n l t có ph ng trình là:ầ ượ ươ
0222:)( 1111
222
1=+−−−++ dzcybxazyxS
)0( 1
2
1
2
1
2
1>−++ dcba
Có tâm
);;( 1111 cbaI
và bán kính
1
2
1
2
1
2
11
dcbaR −++=
0222:)(
2222
222
2
=+−−−++ dzcybxazyxS
)0( 2
2
2
2
2
2
2>−++ dcba
Có tâm
);;( 2222 cbaI
và bán kính
2
2
2
2
2
2
22 dcbaR −++=
N u ế
)();( 212121 SSRRII ⇔+>
không c t nhau và ngoài nhau.ắ ở
3
Chuyên đ : Ph ng pháp t a đ trong không gianề ươ ọ ộ Nguy n Phú Hùngễ
N u ế
)();( 212121 SSRRII ⇔−<
không c t nhau và đ ng nhau.ắ ự
N u ế
)();( 212121 SSRRII ⇔+=
ti p xúc ngoài v i nhau.ế ớ
N u ế
)();( 212121 SSRRII ⇔−=
ti p xúc trong v i nhau.ế ớ
N u ế
)();( 21212121 SSRRIIRR ⇔+<<−
c t nhau theo giao tuy n là m t đ ng tròn.ắ ế ộ ườ
---------------------------------------
M T PH NG TRONG KHÔNG GIANẶ Ẳ
1. C p vecto ch ph ngặ ỉ ươ
ĐN: 2 vecto
ba;
g i là c p vecto ch ph ng c a m t ph ng (P) n u chúng không c ng tuy n và các đ ngọ ặ ỉ ươ ủ ặ ẳ ế ộ ế ườ
th ng ch a chúng đ u song song v i (P) ho c n m trên (P)ẳ ứ ề ớ ặ ằ
2. Vecto pháp tuy nế
ĐN: Vecto
n
là vecto pháp tuy n c a m t ph ng (P) ế ủ ặ ẳ
⊥
≠
⇔
)(
0
Pn
n
NX:
n
là vecto pháp tuy n c a (P) thì m i vecto ế ủ ọ
nk
v i ớ
0
≠
k
đ u là vecto pháp tuy n c a m t ph ng đó. ề ế ủ ặ ẳ
Chú ý: N u m t ph ng (P) có c p vecto ch ph ng là ế ặ ẳ ặ ỉ ươ
ba;
thì
n
là vecto pháp tuy n c a m t ph ng (P) v i :ế ủ ặ ẳ ớ
],[ ban =
3. Ph ng trình m t ph ngươ ặ ẳ
M t ph ng (P) trong không gian Oxyz ch a đi m Mặ ẳ ứ ể
);;( 000 zyx
và có vecto pháp tuy n ế
n
(A;B;C) có p/trình là:
00).().().( 000000 =−−−++⇔=−+−+− CzByAxCzByAxzzCyyBxxA
Đ t ặ
DCzByAx =−−− 000
, ta có ph ng trình t ng quát c a m t ph ng (P):ươ ổ ủ ặ ẳ
0=+++ DCzByAx
(
)0
222 ≠++ CBA
*) Chú ý:
N u m t ph ng (P) đi qua 3 đi m ế ặ ẳ ể
);0;0(),0;;0(),0;0;( cCbBaA
thì (P) có ph ng trình:ươ
1=++ c
z
b
y
a
x
(g i là ph ng trình đo n ch n c a mp (P))ọ ươ ạ ắ ủ
4. Kho ng cách:ả
a) Kho ng cách t m t đi m t i m t m t ph ngả ừ ộ ể ớ ộ ặ ẳ
Cho
),,( 000 zyxM
và m t ph ng ặ ẳ
0:)( =+++ DCzByAx
α
Kho ng cách t M đ n m t ph ng ả ừ ế ặ ẳ
)(
α
đ c xác đ nh b ng công th c: ượ ị ằ ứ
222
000
))/((
CBA
DCzByAx
Md ++
+++
=
α
b) Kho ng cách gi a 2 m t ph ng song songả ữ ặ ẳ
Cho m t ph ng ặ ẳ
)(
α
đi qua M và m t ph ng ặ ẳ
)(
β
đi qua N
)/(()/(())/()((
αββα
NdMdd ==⇒
5. Góc
a) Góc gi a 2 m t ph ngữ ặ ẳ
Cho
βα
nn ;
l n l t là vecto pháp tuy n c a 2 m t ph ng: ầ ượ ế ủ ặ ẳ
)();(
βα
G i ọ
là góc t o b i 2 m t ph ng: ạ ở ặ ẳ
)();(
βα
.Ta có:
βα
βα
ϕ
nn
nn
.
.
cos =
b) Góc ph ng nh di nẳ ị ệ G i ọ
là góc ph ng nh di n thì ẳ ị ệ
00 1800 <<
ϕ
4
Chuyên đ : Ph ng pháp t a đ trong không gianề ươ ọ ộ Nguy n Phú Hùngễ
6. V trí t ng đ i ị ươ ố
a) V trí t ng đ i c a 2 m t ph ngị ươ ố ủ ặ ẳ
Cho 2 m t ph ng:ặ ẳ (P):
0=+++ DCzByAx
có
);;( CBAnP=
(Q):
0'''' =+++ DzCyBxA
có
)';';'( CBAnQ=
QP
nnQP ,)()( ⇔∩
không cùng ph ngươ ( ho c A:B:C # A’:B’:C’ )ặ
''''
)//()( D
D
C
C
B
B
A
A
QP ≠==⇔
''''
)()( D
D
C
C
B
B
A
A
QP ===⇔≡
b) V trí t ng đ i c a m t ph ng và m t c uị ươ ố ủ ặ ẳ ặ ầ
Cho m t c u S(I; R) và m t ph ng ặ ầ ặ ẳ
)(
α
G i d là kho ng cách t tâm I đ n m t ph ng ọ ả ừ ế ặ ẳ
)(
α
N u d > R ế
→
)(
α
và (S) không có đi m chungể
N u d = R ế
→
)(
α
và (S) có 1 đi m chung, và ể
)(
α
đ c g i là ti p di n c a (S) ượ ọ ế ệ ủ
N u d > R ế
→
)(
α
c t (S) theo giao tuy n là đ ng tròn (H; r) trong đó:ắ ế ườ
H là hình chi u c a I trên ế ủ
)(
α
và
222 dRr −=
7. Chùm m t ph ngặ ẳ
Cho 2 m t ph ng: (P): ặ ẳ
0=+++ DCzByAx
và (Q):
0'''' =+++ DzCyBxA
giao nhau theo giao tuy n ế
.
Ph ng trình m t ph ng (R) qua ươ ặ ẳ
có d ng:ạ
0)''''()( =+++++++ DzCyBxADCzByAx
µλ
( ph ng trình chùm m t ph ng)ươ ặ ẳ Trong đó
0
22 ≠+
µλ
-----------------------------------------
Đ NG TH NG TRONG KHÔNG GIANƯỜ Ẳ
I. Vecto ch ph ng c a đ ng th ngỉ ươ ủ ườ ẳ
*) Đ nh nghĩa: Vecto ị
a
là vecto ch ph ng c a đ ng th ng d ỉ ươ ủ ườ ẳ
≠
⇔
da
a
//
0
_ Nh n xét: ậ
a
là vecto ch ph ng c a đ ng th ng d thì m i vecto ỉ ươ ủ ườ ẳ ọ
ak.
v i ớ
0
≠
k
đ u là vtcp c a đ ng th ngề ủ ườ ẳ
đó.
_ Chú ý: trong không gian Oxyz, đ ng th ng ch có vecto ch ph ng mà không có vecto pháp tuy n.ườ ẳ ỉ ỉ ươ ế
II. Ph ng trình c a đ ng th ngươ ủ ườ ẳ
1) Ph ng trình t ng quát c a đ ng th ngươ ổ ủ ườ ẳ
Vì đ ng th ng d trong không gian có th xem là giao tuy n c a hai m t ph ng (P) và (Q) nào đó, nên ph ngườ ẳ ể ế ủ ặ ẳ ươ
trình t ng quát c a d có d ng:ổ ủ ạ
=+++
=+++
0''''
0
:)( DzCyBxA
DCzByAx
d
v i đi u ki n: ớ ề ệ
':':':: CBACBA
≠
2) Ph ng trình tham s và ph ng trình chính t c c a đ ng th ngươ ố ươ ắ ủ ườ ẳ
Đ ng th ng d đi qua ườ ẳ
);;( 000 zyxM
, nh n ậ
),,( cbau
làm vtcp có ph ng trình:ươ
5