intTypePromotion=1

Bài giảng Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Chia sẻ: Nguyễn Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

0
50
lượt xem
9
download

Bài giảng Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đến với "Bài giảng Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng" các bạn sẽ được nghiên cứu về phần lý thuyết và phương pháp giải các dạng bài tập. Ở phần lý thuyết tập trung trình bày các vấn đề cơ bản về: Trình tổng quát của đường thẳng; phương trình tham số của đường thẳng;...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chuyên đề 7: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

  1. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG 7.1 LÝ THUYẾT: 7.1.1 TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG: 1. Véc tơ pháp tuyến của một đường thẳng: * Định nghĩa: Véc tơ n  0 được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của n vuông góc với . * Chú ý: + n là véc tơ pháp tuyến của   k n cũng là véc tơ pháp tuyến của . + Đường thẳng  hoàn toàn được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà nó đi qua và biết một véc tơ pháp tuyến của . 2. Phương trình tổng quát củamột đường thẳng: * Đ ường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và có một véc tơ pháp tuyến n  (a; b) có phương trình tổng quát là: a(x - x0) + b(y - y0) = 0 hay ax + by + c = 0 với c = - (x0+y0) và a2 + b2  0. * Các dang đặc biệt: + Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với trục Ox. + Đường thẳng ax + c + 0 song song hoặc trùng với trục Oy. + Đường thẳng ax + by =0 đi qua gốc tọa dộ. x y + Đường thẳng   1 đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) (a, b  0). a b (phương trình đoạn chắn). + Khi  0 phương trình tổng quát đưa về dạng: y = kx + m với k là hệ số góc, k = tan,  = (Ox, Mt). 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát: (1): a1x + b1y = 0 và (2): a2x + b2y = 0. a1 b1 a) (1) cắt (2)   0. a2 b2 a1 b1 c1 b) (1) // (2)    a2 b2 c2 a1 b1 c1 c) (1)  (2)    a2 b2 c2 7.1.2 PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG: 1. Véc tơ chỉ phương của một đường thẳng: * Định nghĩa: Véc tơ u  0 được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của u song song hoặc trùng với . * Chú ý: + u là véc tơ chỉ phương của   k u cũng là véc tơ chỉ phương của . + Đường thẳng  hoàn toàn được xác định duy nhất nếu biết một điểm mà nó đi qua và biết một véc tơ chỉ phương của . + Đường thẳng  có véc tơ pháp tuyến n  (a; b) thì  có một véc tơ chỉ phương là u  (b;  a) . TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 1
  2. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG 2. Phương trình tham số của một đường thẳng: * Đ ường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và có một véc tơ chỉ phương u  (a; b) có phương trình tham  x  x0  at số  ( a 2  b 2  0).  y  y0  bt 3. Phương trình chính tắc của một đường thẳng: * Đường thẳng  đi qua điểm M0(x0; y0) và có một véc tơ chỉ phương u  (a; b) có phương trình chính x  x0 y  y0 tắc  (a  0, b  0). a b * Nếu a = 0 (hoặc b = 0) thì đường thẳng không có phương trình chính tắc, khi đó nó chỉ có phương trình tổng quát x - x0 = 0 (hoặc y - y0 = 0). 7.1.3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC: 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: * Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0) đến đường thẳng (): ax + by + c = 0 được tính theo công thức: ax  by0  c d ( M 0 , )  0 . a2  b2 * Hai điểm M1(x1; y1), M2(x2; y2)  (): ax + y + c = 0 thì: + M1, M2 nằm cùng phía đối với   (ax1 + by1 + c)( ax2 + by2 + c) > 0. + M1, M2 nằm khác phía đối với   (ax1 + by1 + c)( ax2 + by2 + c) < 0. 2. Góc giữa hai đường thẳng: * Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b. * Ký hiệu góc giữa hai đường thẳng a và b.là (a, b). * Chú ý: +) 00  (a, b)  900. +) (a, b) = 00  a // b hoặc a  b. +) (a, b) = 900  a  b. +) Nếu u , v lần lượt là véc tơ chỉ phương của a, b thì: i)(a, b) = ( u , v )  ( u , v )  900. ii)(a, b) = 1800 - ( u , v )  ( u , v ) > 900. 7.1.4 ĐƯỜNG TRÒN: 1. Phương trình đường tròn: * Trên mặt phẳng tọa độ, đường tròn (C) tâm I(x0; y0) bán kính R có phương trình: (x - x0)2 + (y - y0)2 = R2. 2. Nhận dạng phương trình đường tròn: Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 với điều kiện a2 + b2 c > 0 là phương trình của đường tròn tâm I(-a; -b), bán kính R  a 2  b 2  c . 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: * Đ ường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (I; R)  d(I, ) = R. * Đ ường thẳng  là tiếp tuyến tại M  (I; R) của đường tròn   đi qua M và nhận véc tơ IM làm véc tơ pháp tuyến. TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 2
  3. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG 7.1.5 ĐƯỜNG ELÍP: 1. Định nghĩa: * Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c (c > 0). (E) = {M  MF1 + MF2 = 2a}, trong đó a là số cho trước lớn hơn c. * Hai điểm F1, F2 gọi là các tiêu điểm, 2c là tiêu cự của elíp 2. Phương trình chính tắc của Elíp: * Phương trình chính tắc của elíp: Chọn hệ trục tọa độ sao cho F1(-c; 0), F2(c; 0) thì elíp có phương trình: x2 y2  (E): 2  2  1 a  b  0, b 2  a 2  c 2 . a b  cx cx * Các bán kính qua tiêu của điểm M(x; y)  (E) là: MF1  a  ; MF1  a  . a a 3. Hình dạng của elíp: a) Tính đối xứng của elíp: x2 y2 Elíp (E): 2  2  1 (a  b  0) có nhận hai trục tọa độ làm trục đối xứng và gốc tọa độ làm tâm đối a b xứng. b) Hình chữ nhật cơ sở: * Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt các trục tọa độ tại A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elíp. * Trục Ox (hay đoạn A1A2) được gọi là trục lớn. Trục Oy (hay đoạn B1B2) được gọi là trục bé. * Các đường thẳng x = - a, x = a, y = - b, y = b cắt nhau tại các điểm P, Q, R, S tạo thành hình chữ nhật cơ sở PQRS. c) Tâm sai của elíp: c b a2  c2 e  0 < e < 1 và   1  e2 . a a a d) Elíp và phép co đường tròn: Đường tròn (T): x2 + y2 = a2, bằng phép thế x = x, y = ky x2 y 2 có thể đưa về elíp có phương trình: 2  2  1 (b  ka ).  E  a b TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 3
  4. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG 7.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP 7.2.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng1. Viết phương trình đường phân giác Phương pháp: Phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng A1x + B1y + C1 = 0 và A2x + B2y + C2 = 0 là : A1 x  B1 y  C1 A x  B2 y  C2  2 A12  B12 A22  B22 1. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng: 7x - y + 6 = 0 và x - y + 2= 0 2. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng: 3x - y - 4 = 0 và 2x - 6y + 3= 0 3. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng: x - 2y - 2 = 0 và 2x - y + 4= 0 Dạng 2. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác biết toạ độ các đỉnh     Phương pháp: Tìm toạ độ véc tơ AB, AC lấy các véc tơ đơn vị cùng hướng với AB, AC là    AB  AC     e1  , e2  khi đó e1  e2 là véc tơ chỉ phương của đường phân giác trong góc A và e1  e2 AB AC là véc tơ chỉ phương của đường phân giác ngoài góc A 1. Viết phương trình đường phân giác trong các góc của tam giác ABC biết: A(2;0), B(4;1), C(1;2) 2. Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC biết: A(1;5), B(-3;1), C(2;-2) 3. Viết phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC biết: A(2;3), B(1;1), C(6;5) Dạng 3. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác biết phương trình các cạnh Phương pháp: - Viết phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. - Tìm toạ độ của B và C(giao điểm của BC và hai đường thẳng AB, AC - Trong hai đường phân giác nếu đường nào mà B và C nằm ở hai phía là đường phân giác trong của góc A.Đường còn lại là đường phân giác ngoài của góc A 1. Cho tam giác ABC biết AB: x - y + 4 = 0; BC: 3x - 5y + 4 = 0, CA: 7x + y - 12 = 0 Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC 2. Cho tam giác ABC biết AB: 4x + 3y - 1 = 0; AC: 3x + 4y - 6 = 0, BC: y = 0 Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC 3. Cho tam giác ABC biết AB: 2x - y - 1 = 0; AC: x - 2y + 4 = 0, BC: 4x - 5y + 1 = 0 Viết phương trình đường phân giác ngoài góc A của tam giác ABC Dạng 4. Viết phương trình đường phân giác góc nhọn, góc tù TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 4
  5. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG Phương pháp: Phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng a1 và a2 gọi hai 1 đường phân giác này là d1 và d2 tìm cosin của góc giữa a1 và d1 nếu lớn hơn thì d1 là đường 2 phân giác của góc nhọn d2 là đường phân giác của góc tù 1. Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng: 7x - y + 6 = 0 và x - y + 2= 0 2. Viết phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng: 3x + 4y - 6 = 0 và 4x + 3y - 1= 0 3. Viết phương trình đường phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng: 2x - y - 1 = 0 và 3x - 6y + 1= 0 Dạng 5. Viết phương trình đường phân giác góc giữa hai đường thẳng mà góc đó chứa một điểm Phương pháp: Thay toạ độ điểm A vào vế trái của phương trình tổng quát của hai đường thẳng để tìm dấu của hai giá trị đó. Điểm M thuộc tia phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1, d2 khi M nằm ở cùng một phía với A đối với cả hai đường thẳng d1, d2 và M cách đều hai đường thẳng d1, d2 từ đó áp dụng công thức khoảng cách và bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo dấu của hai giá trị thay toạ độ điểm A vào vế trái của phương trình tổng quát của hai đường thẳng được phương trình phân giác cần tìm 1. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng: 3x - y - 4 = 0 và 2x + 6y + 3= 0 mà góc đó chứa gốc toạ độ 2. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng: 2x + 3y + 5 = 0 và 5x + y + 1= 0 mà góc đó chứa điểm A(2;2) 3. Viết phương trình đường phân giác trong góc A của hình bình hành ABCD biết AB: x + 3y - 1 = 0 và AD: 2x + y + 1= 0 và tâm của hình bình hành I(2;1) Dạng 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và tạo với đường thẳng cho trước một góc có số đo   Phương pháp: Tìm véc tơ pháp tuyến n1 của đường thẳng d. Gọi véc tơ pháp tuyến của đường  thẳng cần tìm là n2 ( A; B) A2  B 2  0 đường thẳng cần tìm tạo với d một góc có số đo  khi     cos n1 , n1 = cos  giải phương trình đẳng cấp bậc hai ẩn A, B suy ra véc tơ pháp tuyến của đường thẳng cần tìm 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2;3) và tạo với đường thẳng: x + 3y + 5 = 0 một góc có số đo 450 . 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại A(1;4) và cạnh BC: x + 2y + 4 = 0 viết phương trình hai cạnh còn lại. 3. Cho hình vuông ABCD biết A(3;1) và đường chéo BD: 2x + y + 3 = 0 viết phương trình các cạnh hình vuông. 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2;2) và tạo với đường thẳng 2x + y + 3 = 0 một góc có số đo 600 . 5. Cho tam giác ABC đều biết A(1;4) và cạnh BC: x - 2y + 7 = 0 viết phương trình hai cạnh còn lại. 6. Cho hình thoi ABCD biết A(3;5) góc A có số đo 600 và đường chéo BD: x + 3y + 2 = 0 viết phương trình các cạnh hình thoi. 7. Viết phương trình đường thẳng đi qua A (2;2) và tạo với đường thẳng2x + y + 3 = 0 một góc có số đo 300 . 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua A (3;2) và tạo với đường thẳngx - 2y + 7 = 0 một góc có số đo 300 . TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 5
  6. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG 9. Cho hình thoi ABCD biết A(3;5) góc A có số đo 1200 và đường chéo BD: x + 3y + 2 = 0 viết phương trình các cạnh hình thoi. Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và tạo với hai đường thẳng cho trước một tam giác cân có cạnh đáy thuộc đường thẳng đó Phương pháp: Viết phương trình hai đường phân giác d1, d2 của góc tạo bởi hai đường thẳng cho trước. Đường thẳng cần tìm đi qua M và vuông góc với đường phân giác d1, d2 Kiểm tra lại hai đường thẳng đó có đi qua giao điểm của hai đường thẳng cho trước không nếu không chứa giao điểm thì thoả mãn 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;2) và tạo với hai đường thẳng 7x + y + 4 = 0 và x - y + 5= 0 một tam giác cân có đáy nằm trên đường thẳng đó 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(3;2) và tạo với hai đường thẳng 3x - y - 4 = 0 và 2x + 6y + 1= 0 một tam giác cân có đáy nằm trên đường thẳng đó Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và tạo với hai đường thẳng d1, d2 cho trước một tam giác cân có cạnh đáy thuộc đường thẳng d1 Phương pháp: Viết phương trình đường thẳng a qua M và song song với d1 tìm giao điểm N của a và d2, Viết phương trình đường trung trực của MN, tìm giao điểm A của d2 và trung trực của MN đường thẳng AM là đường thẳng cần tìm. 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;3) và tạo với hai đường thẳng d1: 4x + 3y + 13 = 0 và d2: x - 3y - 23= 0 một tam giác cân có đáy nằm trên d1 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;2) và tạo với hai đường thẳng d1:x - 2y - 1 = 0 và x+3y- 1= 0 một tam giác cân có đáy nằm trên đường thẳng d1 Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại Avà B sao cho M là trung điểm của AB Phương pháp: Viết phương trình tham số của hai đường thẳng d1, d2, gọi toạ độ của A và B theo hai tham số a, b của hai đường thẳng d1, d2, điều kiện M là trung điểm của AB giải tìm a, b suy ra toạ độ A, B đường thẳng AB là đường thẳng cần tìm . 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2;-1) và cắt hai đường thẳng d1: x + 2y -5 = 0 và d2: 3x - y - 1= 0 tại A và B sao cho M là trung điểm của AB 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;0) và cắt hai đường thẳng d1:2x - y + 1 = 0 và d2: x+y- 4= 0 tại A và B sao cho M là trung điểm của AB Dạng 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng d1, d2 tại Avà B   sao cho MA  kMB Phương pháp: Viết phương trình tham số của hai đường thẳng d1, d2, gọi toạ độ của A và B theo hai   tham số a, b của hai đường thẳng d1, d2, điều kiện MA  kMB giải tìm a, b suy ra toạ độ A, B đường thẳng AB là đường thẳng cần tìm . 3 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(  ;-1) và cắt hai đường thẳng 4   d1: 3x - y -4 = 0 và d2: 2x + 3y + 5 = 0 tại A và B sao cho MA  3MB 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(5;9) và cắt hai đường thẳng   d1:7x + y - 12 = 0 và d2: 3x+5y+ 4= 0 tại A và B sao cho 2MA  MB Dạng 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và tạo với hai đường thẳng cho trước một tam giác có diện tích bằng S TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 6
  7. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG Phương pháp:Tìm giao điểm C của hai đường thẳng. Viết phương trình tham số của hai đường thẳng d1, d2, gọi toạ độ của A và B theo hai tham số a, b của hai đường thẳng d1, d2, điều kiện A, B, M thẳng hàng và diện tích tam giácABC bằng S. Giải điều kiện suy ra a, b đường thẳng AB là đường thẳng cần tìm . 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và tạo với hai đường thẳng d1: x-y+1=0 4 d2: x+y+1=0 một tam giác có diện tích bằng 3 Dạng 12. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng d cho trước qua điểm M Phương pháp: Tìm một điểm A bất kỳ thuộc d lấy B đối xứng với A qua M. Đường thẳng cần tìm đi qua B và song song với d 1. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng 2x + y + 3 = 0 qua điểm I(2;0). 2. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng 3x + 2y - 7 = 0 qua điểm I(3;1). Dạng 13. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng d cho trước qua đường thẳng  Phương pháp: Xét vị trí tương đối của d và  +Nếu d và  song song với nhau: Tìm một điểm A bất kỳ thuộc d và điểm M bất kỳ thuộc  lấy B đối xứng với A qua M. Đường thẳng cần tìm đi qua B và song song với d +Nếu d cắt  : Tìm giao điểm I của d và  , lấy toạ độ điểm A thuộc d bất kỳ khác I. Tìm điểm A' đối xứng với A qua  đường thẳng cần tìm đi qua I và A' + Nếu d trùng với  thì đường thẳng cần tìm chính là d 1. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng x + 2y + 3 = 0 qua đường thẳng x + 2y - 2 =0 2. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng x - 3y + 6 = 0 qua đường thẳng 2x - y - 3 =0 3. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng x - y + 4 = 0 qua đường thẳng 3x + 5y + 4 =0 Dạng 14. Viết phương trình đường thẳng d1 qua A d2 qua B sao cho đường thẳng d là phân giác của góc tạo bởi d1 vàd2 Phương pháp: Tìm điểm A' đối xứng với A qua d, B' đối xứng với B qua d Đường thẳng AB' chính là d1. Đường thẳng A'B chính là đường thẳng d2 1. Cho d: 2x - 2y +1 = 0 và A(0;4), B(5;0) Viết phương trình đường thẳng d1 qua A d2 qua B sao cho đường thẳng d là đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 2. Cho d: 2x - y +3 = 0 và A(6;5), B(5;-2) Viết phương trình đường thẳng d1 qua A d2 qua B sao cho đường thẳng d là đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 Dạng 15. Viết phương trình đường thẳng d qua A sao cho tỉ số khoảng cách từ B và từ C tới đường thẳng d bằng k  Phương pháp: Gọi véc tơ pháp tuyến của d là n  A; B  A2 + B2  0. Viết phương trình đường thẳng  qua A với véc tơ pháp tuyến n  A; B  tính khoảng cách từ B tới d và khoảng cách từ C tới d điều kiện tỉ số khoảng cách, giải phương trình đẳng cấp suy ra toạ độ véc tơ pháp tuyến 1. Viết phương trình đường thẳng d qua A (2;0) sao cho khoảng cách từ B(4;1) tới d bằng 2 làn khoảng cách từ C(1;2) tới d 2. Cho tam giác ABC biết A(3;8), B(2;-1), C(11;2).Viết phương trình đường thẳng d qua A (2;0) chia tam giác ABC thành hai phần có tỉ số diện tích là 2. TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 7
  8. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG Dạng 16. Viết phương trình đường thẳng d song song với  sao cho tỉ lệ khoảng cách từ A tới d và khoảng cách giữa  và d bằng k Phương pháp: Viết phương trình đường thẳng d song song với  với hệ số tự do theo tham số. Tìm khoảng cách từ A tới d. lấy B thuộc  tính khoảng cách từ B tới d. Điều kiện tỉ lệ khoảng cách suy ra phương trình d 1. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  : x + 2y + 1 = 0 biết khoảng cách từ A(5;0) tới d bằng 2 lần khoảng cách từ d tới đường thẳng  2. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  : 4x + y + 3 = 0 biết khoảng cách từ A(1;1) tới d bằng khoảng cách từ d tới đường thẳng  Dạng 17. Viết phương trình đường thẳng d song song với  sao cho khoảng cách giữa  và d bằng k Phương pháp:viết phương trình đường thẳng d song song với  với hệ số tự do theo tham số.Lấy B thuộc  tính khoảng cách từ B tới d. Điều kiện khoảng cách bằng k suy ra phương trình d 1. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  : x + 2y + 3 = 0 và khoảng cách giữa d và  bằng 5 2. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  :2x +3y +3 = 0 và khoảng cách giữad và  bằng 2 13 3. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  :2x - y +1= 0 và khoảng cách từ A(2;2) tới d bằng 3 5 4. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng  :x + 3y +2= 0 và khoảng cách từ A(4;0) tới d bằng 10 Dạng 18. viết phương trình đường thẳng d quaA sao cho khoảng cách từ B tới d bằng k Phương pháp: Gọi véc tơ pháp tuyến của d là n  A; B  A2  B 2  0 Viết phương trình d điều kiện khoảng cách từ B tới d bằng k giải phương trình đẳng cấp bậc 2 theo A và B suy ra phương trình đường thẳng d. 1. Viết phương trình đường thẳng d qua A(-1;0) sao cho khoảng cách từ B(5;3) tới d bằng 6 2. Viết phương trình đường thẳng d qua A(2;1) sao cho khoảng cách từ B(7;4) tới d bằng 5 3. Viết phương trình đường thẳng d qua A(3;-2) và tiếp xúc đường tròn x 2  y 2  4 x  2 y  0 11 9 4. Viết phương trình đường thẳng d qua A( ; ) và cắt đường tròn x 2  y 2  6 x  4 y  8  0 một dây 2 2 cung có độ dài 10 5. Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc đường tròn x 2  y 2  2 x  2 y  1  0 và cắt đường tròn x 2  y 2  16 một dây cung có độ dài lớn nhất. Dạng 19. Viết phương trình đường thẳng d cách  hai điểm 2A, B2cho trước các khoảng không đổi. Phương pháp: Gọi véc tơ pháp tuyến của d là n  A; B  A  B  0 Viết phương trình d điều kiện khoảng cách từ A tới d bằng k1, khoảng cách từ B tới d bằng k2 giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 theo A và B suy ra phương trình đường thẳng d. 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn sau: a.  C1  : x 2  y 2  4,  C2  : x 2  y 2  6 x  2 y  9  0 TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 8
  9. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG b.  C1  : x 2  y 2  4 x  2 y  15  0,  C2  : x 2  y 2  2 x  2 y  3  0 c.  C1  : x 2  y 2  4 x  6 y  4  0,  C2  : x 2  y 2  2 x  4 y  1  0 2.Viết phương trình đường thẳng d cách A(-1;1) một khoảng là 3 cách B(3;3) một khoảng là1 61 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn  C1  : x 2  y 2  4 x  6 y   0 biết tiếp tuyến cắt 5 16 đường tròn  C2  : x 2  y 2  2 y   0 một dây cung có độ dài lớn nhất. 5 Dạng 20. Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A cho trước một khoảng không đổi x sao cho khoảng cách từ B tới d lớn nhất Phương pháp: Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên d, K là hình chiếu vuông góc của B trên d. khi đó khoảng cách từ B tới d là d(A,d) = BK  ≤ BH ≤ BA + AH Vậy d(A,d) lớn nhất bằng BA + x khi d đi qua H và có véc tơ pháp tuyến là AB . H thuộc tia đối của BA và BH = x suy ra toạ độ H suy ra phương trình đường thẳng d. 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn  C  : x 2  y 2  5 sao cho khoảng cách từ A(2;4) tới tiếp tuyến là lớn nhất. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn  C  : x 2  y 2  9 sao cho khoảng cách từ A(1;2) tới tiếp tuyến là: a) lớn nhất b) nhỏ nhất. Dạng 21. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước và cắt đường tròn (C) tâm I bán kính R tại hai điểm M, N sao cho diện tích tam giác IMN lớn nhất R Phương pháp: so sánh IA và 2 R R Nếu IA  diện tích tam giác IMN lớn nhất khi tam giác IMN vuông hay d(I,d) = 2 2 R Nếu IA  diện tích tam giác IMN lớn nhất khi tam giác IMN có góc MIN nhỏ nhất hay d(I,d) = 2 IA suy ra phương trình đường thẳng d. 2 2 1. Viết phương trình đương thẳng d đi qua A(1;2) và cắt đường tròn (C)  x  3   y  1  4 tại hai điểm M, N sao cho diện tích tam giác IMN lớn nhất với I là tâm đường tròn (C). 2 2 2. Viết phương trình đương thẳng d đi qua A(3;2) và cắt đường tròn (C)  x  3   y  1  4 tại hai điểm M, N sao cho diện tích tam giác IMN lớn nhất với I là tâm đường tròn (C). Dạng 22. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng d1, d2 tại Avà B sao cho MA.MB = k (k>0) Phương pháp: Viết phương trình tham số của hai đường thẳng d1, d2, gọi toạ độ của A theo tham    số a của đường thẳng d1,Tìm toạ độ MA điều kiện MB  xMA và từ giả thiết MA.MB  k  x MA2  k giải tìm toạ độ B theo a thay toạ độ B vào phương trình d2 tìm a suy ra toạ độ A, B đường thẳng AB là đường thẳng cần tìm . TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 9
  10. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG 7.2.2 BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC Dạng 1. Tìm toạ độ đỉnh và viết phương trình các cạnh biết toạ độ các trung điểm của các cạnh Phương pháp: Dựa vào công thức toạ độ trung điểm và véc tơ bằng nhau theo tính chất đường trung bình tìm toạ độ các đỉnh suy ra phương trình các cạnh 1. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết trung điểm các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M(1;4), N(3;0), P(-1;1). 2. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết trung điểm các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M(-2;4), N(5;5), P(6;-2). Dạng2. Tìm toạ độ đỉnh và viết phương trình các cạnh biết toạ độ một đỉnh và hai trung điểm của hai cạnh Phương pháp: Dựa vào công thức toạ độ trung điểm 11 3 1. Cho tam giác ABC biết A(-2;4) và trung điểm của AC, BC lần lượt là M(2;1), N( ; ) Tìm toạ độ 2 2 B, C 5 1 2. Cho tam giác ABC biết A(1;5) và trung điểm của AB, BC lần lượt là M(0;3), N( ; ) Tìm toạ độ 2 2 B,C Dạng3. Tìm toạ độ đỉnh và viết phương trình các cạnh biết toạ độ hai đỉnh và trọng tâm Phương pháp: Dựa vào công thức toạ độ trọng tâm tam giác suy ra đỉnh thứ ba  14 4  1. Cho tam giác ABC biết A(3;2), B(6;3) trọng tâm G  ;  tìm toạ độ C và viết phương trình các  3 3 cạnh. 1 1 2. Cho tam giác ABC biết A(1;5), C(4;-1) trọng tâm G  ;   tìm toạ độ B và viết phương trình các 3 3 cạnh. Dạng4. Tìm toạ độ đỉnh và viết phương trình các cạnh biết toạ độ hai đỉnh và trực tâm Phương pháp: Viết phương trình hai đường cao từ hai đỉnh. Viết phương trình hai cạnh ứng với hai đường cao đó. Tìm giao điểm của hai cạnh được đỉnh thứ ba suy ra các cạnh 1. Cho tam giác ABC biết A(1;5), B(-4;-5) trực tâm H(4;-1) Tìm toạ độ C 2. Cho tam giác ABC biết A(-5;6), C(4;3) trực tâm H(-4;-1) Tìm toạ độ C 3. Cho tam giác ABC biết A(5;5), B(4;2) trực tâm H(-2;1) Tìm toạ độ C Dạng5.Tìm toạ độ đỉnh và viết phương trình các cạnh biết toạ độ hai đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp Phương pháp: Viết phương trình hai đường phân giác từ hai đỉnh đã cho. Viết phương trình cạnh chứa hai đỉnh đã cho. Viết phương trình hai cạnh còn lại là các đường thẳng đối xứng với cạnh đã biết qua các đường phân giác. Tìm giao điểm của hai cạnh được đỉnh thứ ba 1. Cho tam giác ABC biết B(-5;6), C(3;2) tâm đường tròn nội tiếp I(0;1) Tìm toạ độ A 2. Cho tam giác ABC biết A(1;5), C(4;-1) tâm đường tròn nội tiếp I(1;0) Tìm toạ độ B Dạng6. Tìm toạ độ đỉnh biết phương trình hai cạnh và hai đường cao Phương pháp: Xét hai đường cáôc vuông góc với hai cạnh không: TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 10
  11. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG +Nếu hai đường cao tương ứng vuông góc với hai cạnh thì ta lần lượt tìm giao điểm của đường cao với cạnh không vuông góc với nó được hai đỉnh. Giao của hai cạnh là đỉnh còn lại. +Nếu có một đường cao cùng xuất phát với một cạnh thì giao điểm của đường cao và cạnh đó là một đỉnh. Tìm giao điẻm hai cạnh được đỉnh thứ hai. Viết phương trình cạnh thứ ba suy ra đỉnh còn lại 1. Cho tam giác ABC biết AB: 7x + y + 29 = 0, AC: x + 3y - 13 = 0 đường cao BH: 3x - y + 11 = 0, CK: x - 7y + 11 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh 2. Cho tam giác ABC biết AB: 3x - y -10 = 0, AC: 4x - 7y + 15 = 0 đường cao BH: 7x + 4y - 36 = 0, CK: x + 3y - 1 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh 3. Cho tam giác ABC biết hai cạnh có phương trình là: x - 7y + 30 = 0, 3x + 4y -10 = 0 và hai đường cao : 7x + y - 40= 0, CK: x - 2y +3 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh 4. Cho tam giác ABC biết AB: 2x - y + 3 = 0, AC: x + y - 6 = 0 và hai đường cao có phương trình x + 2y - 6 = 0,và: 4x + y - 9 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh Dạng7.Tìm toạ độ đỉnh biết phương trình hai cạnh và một đường trung tuyến đối diện với một trong hai cạnh Phương pháp: Tìm toạ độ giao điểm của hai cạnh được một đỉnh, tìm giao điểm của trung tuyến với cạnh đối diện được trung điểm của một cạnh tìm đỉnh thứ hai đối xứng với đỉnh đã tìm qua trung điểm vừa tìm được.Tìm giao điểm của trung tuyến với cạnh không đối diện với nó được đỉnh thứ ba. 1. Cho tam giác ABC biết AB: 4x + 3y + 13 = 0, BC: x - 3y - 23 = 0 trung tuyến CM: x + 2y + 7 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh 2. Cho tam giác ABC biết AB: 2x - y + 1 = 0, AC: 4x - 5y + 11 = 0 trung tuyến BM: y = 1. Tìm toạ độ các đỉnh Dạng8. Tìm toạ độ đỉnh biết phương trình hai cạnh và một đường phân giác đối diện với một trong hai cạnh Phương pháp: Tìm toạ độ giao điểm của hai cạnh được một đỉnh, Tìm giao điểm của cạnh với phân giác cùng xuất phát từ một đỉnh. Viết phương trình cạnh thứ ba đối xứng với cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh với đường phân giác qua đường phân giác đó. Tìm đỉnh thứ ba. 1. Cho tam giác ABC biết AB: x - 2y - 2 = 0, BC: x + 3y - 7 = 0 phân giác trong góc A AD: 3x - y - 6 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh 2. Cho tam giác ABC biết AC: 7x + y - 12 = 0, BC: 3x + 5y + 4 = 0 phân giác trong góc A AD: 3x - y + 2 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh Dạng9. Tìm toạ độ đỉnh biết toạ độ hai đỉnh và phương trình đường phân giác của góc ở đỉnh còn lại Phương pháp: Tìm toạ độ điểm đối xứng của một đỉnh qua đường phân giác đường thẳng nối điểm đó với đỉnh kia là một cạnh giao điểm với đường phân giác chính là đỉnh thứ ba. 1. Cho tam giác ABC biết B(-1;-2) C(2;2) phân giác trong góc A AD: x + y - 1 = 0. Tìm toạ độ đỉnh A 2. Cho tam giác ABC biết B(3;5) C(4;-3) phân giác trong góc A AD: x + 2y - 8 = 0. Viết phương trình các cạnh và tìm toạ độ đỉnh A Dạng10. Biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và trung điểm một cạnh. Phương pháp: Tìm toạ độ điểm đối xứng của trực tâm qua trung điểm đã cho suy ra điểm đó là điểm đối xứng của đỉnh đối diện của cạnh chứa trung điểm đã cho suy ra bán kính đường tròn TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 11
  12. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG ngoại tiếp. viết phương trình cạnh chứa trung điểm tìm hai đỉnh còn lại cách tâm đường tròn ngoại tiếp một khoảng bằng bán kính. 1. Cho tam giác ABC biết trực tâm H(-4;1) tâm đường tròn ngoại tiếp I(-3;0) và trung điểm cạnh BC là M(0;-3). Viết phương trình đường thẳng AB biết B có hoành độ dương. Dạng11. Biết toạ độ chân các đường cao A1, B1, C1 viết phương trình các cạnh. Phương pháp: Vì A1, B1, C1 là chân các đường cao nên đường phân giác trong các góc A1, B1, C1 của tam giác A1B1C1 chính là các đường cao. Viết phương trình các cạnh của tam giác 1.Cho tam giác ABC biết toạ độ chân các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C là A1(2;0), B1(4;1), C1(1;2). Viết phương trình cạnh BC 2. Cho tam giác ABC biết toạ độ chân các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C là A1(1;5), B1(-3;1), C1(2;-2). Viết phương trình cạnh BC Dạng12. Biết toạ độ hai đỉnh, trọng tâm hoặc đỉnh còn lại thuộc đường thẳng d biết diện tích bằng S cho trước . Phương pháp: Viết phương trình cạnh qua hai đỉnh cho trước. Tính độ dài cạnh đó. Gọi toạ độ đỉnh còn lại theo tham số của d. Tính độ dài đường cao ứng với cạnh vừa tìm theo công thức khoảng cách. Điều kiện diện tích tam giác bằng S giải phương trình suy ra đỉnh còn lại 1. Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1). Tìm điểm C trên đường thẳng : x  2 y  8  0 sao cho diện tích tam giác ABC bằng 17 (đvdt). Dạng13. Biết toạ độ một đỉnh, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp . Phương pháp: Lấy điểm đối xứng của đỉnh cho trước qua tâm đường tròn ngoại tiếp.Hai đỉnh còn lại cùng với trực tâm và điểm đối xứng vừa tìm là 4 đỉnh của hình bình hành. Suy ra trung điểm của cạnh đối diện. Viết phương trình cạnh đối diện tìm toạ độ hai đỉnh còn lại dựa vào tâm đường tròn ngoại tiếp 1. Cho tam giác ABC biết A(3;-7) trực tâm H(3;-1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2;0) tìm toạ độ C biết C có hoành độ dương. Dạng14. Biết tam giác ABC vuông tại A và phương trình một cạnh góc vuông AB và toạ độ đỉnh góc vuông A, tỷ lệ hai cạnh góc vuông AB = kAC và một điểm M thuộc cạnh huyền. Phương pháp: Viết phương trình tham số của hai cạnh góc vuông AB, AC cùng đi qua đỉnh góc vuông A. lấy toạ độ hai đỉnh B, C theo hai tham số khác nhau. điều kiện AB = kAC và M, B, C thẳng hàng suy ra toạ độ B, C 1. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB: x  y  3  0 và A(1;4), AB = 2AC điểm M(4;5) thuộc cạnh huyền BC. Viết phương trình cạnh BC. 2. Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB: 2 x  y  2  0 và A(1;4), AB = 3AC điểm M(6;9) thuộc cạnh huyền BC. Viết phương trình cạnh BC. Dạng15. Tam giác ABC biết một đỉnh và phương trình một đường trung tuyến và một đường phân giác trong. Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có đỉnh A(1; 2), đường trung tuyến BM: 2x + y + 1 = 0 và phân giác trong CD: x + y – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC. Dạng16. Tam giác ABC biết một đỉnh và phương trình một đường cao và một đường phân giác trong. TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 12
  13. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2; –1), đường cao và đường phân giác trong qua đỉnh A, C lần lượt là (d1): 3x – 4y + 27 = 0 và (d2): x + 2y – 5 = 0 Dạng17. Tam giác ABC vuông biết phương trình hai cạnh và yếu tố diện tích, chu vi, bán kính các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp. 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, p.trình đt BC là: 3 x – y – 3 = 0, các đỉnh A và B thuộc Ox và bán kính đ.tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Biết đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt có phương trình là: x  3 y  2  0 và x  2 y  3  0 , diện tích tam giác ABC bằng 5. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dạng18. Tam giác ABC biết phương trình hai cạnh và tọa độ trực tâm. Phương trình hai cạnh của một tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5x – 2y + 6 = 0; 4x + 7y – 21 = 0. Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giac đó, biết rằng trực tâm của nó trùng với gốc tọa độ O. Dạng19. Tam giác ABC biết hai đỉnh và diện tích, một đỉnh còn lại hoặc trọng tâm thuộc một đường thẳng cho trước. 1. Cho điểm A(2; –3), B(3; –2), ΔABC có diện tích bằng 3/2; trọng tâm G của ΔABC thuộc đường thẳng (d): 3x – y – 8 = 0. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC. 2. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1; 0), B(0; 2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D. 3. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x – 2y – 1 = 0, đường chéo BD: x – 7y + 14 = 0 và đường chéo AC qua điểm M(2; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. 4. Cho đường tròn (C) có phương trình (x – 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. 7.2.3 XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN  Nếu đường tròn (C) có phương trình: ( x  a)2  ( y  b)2  R2 thì (C) có tâm I(a; b) và bán kính R.  Nếu đường tròn (C) có phương trình: x2  y2  2ax  2by  c  0 thì – Biến đổi đưa về dạng ( x  a)2  ( y  b)2  R2 hoặc – Tâm I(–a; –b), bán kính R = a 2  b2  c . Chú ý: Phương trình x2  y2  2 ax  2 by  c  0 là phương trình đường tròn nếu thoả mãn điều kiện: a 2  b2  c  0 . Baøi 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó: a) x2  y2  2 x  2 y  2  0 b) x2  y2  6 x  4 y  12  0 c) x2  y2  2 x  8y  1  0 d) x2  y2  6 x  5  0 e) 16 x2  16 y2  16 x  8y  11 f) 7 x2  7 y2  4 x  6 y  1  0 TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 13
  14. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG g) 2 x2  2 y2  4 x  12 y  11  0 h) 4 x2  4 y2  4 x  5y  10  0 Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn: a) x2  y2  4mx  2 my  2 m  3  0 b) x2  y2  2(m  1) x  2my  3m2  2  0 c) x2  y2  2(m  3) x  4my  m2  5m  4  0 d) x2  y2  2mx  2(m2  1) y  m4  2m4  2m2  4m  1  0 Baøi 3.   Tìm m để các phương trình sau là phương trình đường tròn: a) x2  y2  6 x  2 y ln m  3ln m  7  0 b) x2  y2  2 x  4 y  ln(m  2)  4  0 c) x2  y2  2e2 m x  2em y  6e2 m  4  0 d) x2  y2  2 x cos m  4 y  cos2 m  2sin m  5  0 e) x2  y2  4 x cos m  2 y sin m  4  0 7.2.4 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó phương trình đường tròn (C) là: ( x  a)2  ( y  b)2  R2 Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A và bán kính R = IA. Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng  và bán kính R = d ( I ,  ) . AB Dạng 3: (C) có đường kính AB và tâm I là trung điểm của AB và bán kính R = . 2 Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng . – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Tâm I của (C) thoả mãn:  I  d  . d ( I ,  )  IA – Bán kính R = IA. Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B. – Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB. – Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuông góc với . – Xác định tâm I là giao điểm của d và . – Bán kính R = IA. Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2. d ( I , 1 )  d (I , 2 ) (1) – Tâm I của (C) thoả mãn:  d ( I , 1 )  IA (2) – Bán kính R = IA. Chú ý: i) Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi 1 và 2 hay xét dấu TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 14
  15. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG khoảng cách đại số từ A đến 1 và 2. 1 ii) Nếu 1 // 2, ta tính R = d (1 , 2 ) , và (2) được thay thế bới IA = R. 2 Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d. d (I , 1 )  d (I , 2 ) – Tâm I của (C) thoả mãn:  . I  d – Bán kính R = d ( I , 1 ) . Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác). Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng: x2  y2  2 ax  2 by  c  0 (*). – Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình. – Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của (C). Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn:  IA  IB .  – Bán kính R = IA = IB = IC.  IA  IC Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC. – Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác – Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên. – Bán kính R = d ( I , AB) . Bài tập Baøi 1. Viết phương trình đường tròn có tâm I và đi qua điểm A, với: (dạng 1) a) I(2; 4), A(–1; 3) b) I(–3; 2), A(1; –1) c) I(–1; 0), A(3; –11) d) I(1; 2), A(5; 2) Baøi 2. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 2) a) I (3; 4),  : 4 x  3y  15  0 b) I (2;3),  : 5 x  12 y  7  0 c) I (3;2),   Ox d) I (3; 5),   Oy Baøi 3. Viết phương trình đường tròn có đường kính AB, với: (dạng 3) a) A(–2; 3), B(6; 5) b) A(0; 1), C(5; 1) c) A(–3; 4), B(7; 2) d) A(5; 2), B(3; 6) Baøi 4. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng , với: (dạng 4) a) A(2;3), B(1;1),  : x  3y  11  0 b) A(0; 4), B(2; 6),  : x  2 y  5  0 c) A(2; 2), B(8; 6),  : 5 x  3y  6  0 Baøi 5. Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng , với: (dạng 5) a) A(1; 2), B(3; 4),  : 3 x  y  3  0 b) A(6;3), B(3;2),  : x  2 y  2  0 c) A(1; 2), B(2;1),  : 2 x  y  2  0 d) A(2; 0), B(4;2),   Oy Baøi 6. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B, với: (dạng 6) a) A(2; 6),  : 3 x  4 y  15  0, B(1; 3) b) A(2;1),  : 3 x  2 y  6  0, B(4;3) c) A(6; 2),   Ox, B(6; 0) d) A(4; 3),  : x  2 y  3  0, B(3; 0) Baøi 7. Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2, với: (dạng 7) a) A(2;3), 1 : 3 x  4 y  1  0, 2 : 4 x  3y  7  0 b) A(1;3), 1 : x  2 y  2  0, 2 : 2 x  y  9  0 TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 15
  16. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG c) A  O(0; 0), 1 : x  y  4  0, 2 : x  y  4  0 d) A(3; 6), 1  Ox, 2  Oy Baøi 8. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên đường thẳng d, với: (dạng 8) a) 1 : 3x  2 y  3  0, 2 : 2 x  3y  15  0, d : x  y  0 b) 1 : x  y  4  0, 2 : 7 x  y  4  0, d : 4 x  3y  2  0 c) 1 : 4 x  3y  16  0, 2 : 3x  4 y  3  0, d : 2 x  y  3  0 d) 1 : 4 x  y  2  0, 2 : x  4 y  17  0, d : x  y  5  0 Baøi 9. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, với: (dạng 9) a) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) b) A(5; 3), B(6; 2), C(3; –1) c) A(1; 2), B(3; 1), C(–3; –1) d) A(–1; –7), B(–4; –3), C  O(0; 0) e) AB : x  y  2  0, BC : 2 x  3 y  1  0, CA : 4 x  y  17  0 f) AB : x  2 y  5  0, BC : 2 x  y  7  0, CA : x  y  1  0 Baøi 10. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC, với: (dạng 10) a) A(2; 6), B(–3; –4), C(5; 0) b) A(2; 0), B(0; –3), C(5; –3) c) AB : 2 x  3 y  21  0, BC : 3 x  2 y  6  0, CA : 2 x  3y  9  0 d) AB : 7 x  y  11  0, BC : x  y  15, CA : 7 x  17 y  65  0 7.2.5 XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CỦA ELÍP x2 y2 Đưa phương trình của (E) về dạng chính tắc:  1 . Xác định a, b, c. a 2 b2 Các yếu tố: – Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. – Tiêu cự 2c. – Toạ độ các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) . – Toạ độ các đỉnh A1(a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; b), B2 (0; b) . c – Tâm sai e  . a a – Phương trình các đường chuẩn x  0 e Cho elip (E). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh, tâm sai, phương trình các đường chuẩn của (E), với (E) có phương trình: x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 a)  1 b)  1 c)  1 d)  1 9 4 16 9 25 9 4 1 e) 16 x2  25y2  400 f) x2  4 y2  1 g) 4 x2  9 y2  5 h) 9 x2  25y2  1 7.2.6 LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELÍP Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E). Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E): TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 16
  17. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG c + b2  a 2  c 2 + e  + Các tiêu điểm F1(c; 0), F2 (c; 0) a + Các đỉnh: A1(a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; b), B2 (0; b) Baøi 1. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: a) Độ dài trục lớn bằng 6, trục nhỏ bằng 4. b) Độ dài trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 6. c) Độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng tiêu cự. d) Tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M  15; 1 . e) Độ dài trục nhỏ bằng 6 và đi qua điểm M  2 5;2  . e) Một tiêu điểm là F1(2; 0) và độ dài trục lớn bằng 10.  3 f) Một tiêu điểm là F1   3; 0  và đi qua điểm M  1; .  2   3  g) Đi qua hai điểm M(1; 0), N  ;1 .  2  h) Đi qua hai điểm M  4;  3  , N  2 2;3  . Baøi 2. Lập phương trình chính tắc của (E), biết: 3 a) Độ dài trục lớn bằng 10, tâm sai bằng . 5 4 b) Một tiêu điểm là F1(8; 0) và tâm sai bằng . 5 c) Độ dài trục nhỏ bằng 6, phương trình các đường chuẩn là x 7  16  0 . 3 d) Một đỉnh là A1 (8; 0) , tâm sai bằng . 4  5 2 e) Đi qua điểm M  2;   và có tâm sai bằng .  3 3 7.2.7 TÌM ĐIỂM TRÊN (E) THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)  (E): c c MF1  a  x, MF2  a  x a a Baøi 1. Cho elip (E) và đường thẳng d vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm bên phải F2 cắt (E) tại hai điểm M, N. i) Tìm toạ độ các điểm M, N. ii) Tính MF1 , MF2 , MN . a) 9 x2  25y2  225 b) 9 x2  16 y2  144 c) 7 x2  16 y2  112 Baøi 2. Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) sao cho: i) MF1  MF2 ii) MF2  3MF1 iii) MF1  4 MF2 TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 17
  18. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG a) 9 x2  25y2  225 b) 9 x2  16 y2  144 c) 7 x2  16 y2  112 Baøi 3. Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông, với: a) 9 x2  25y2  225 b) 9 x2  16 y2  144 c) 7 x2  16 y2  112 Baøi 4. Cho elip (E). Tìm những điểm M  (E) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600 , với: a) 9 x2  25y2  225 b) 9 x2  16 y2  144 c) 7 x2  16 y2  112 7.2.8 TẬP HỢP ĐIỂM Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng: Dạng 1: MF1  MF2  2a  Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F1, F2, trục lớn 2a. x2 y2 Dạng 2:   1 (a > b)  Tập hợp là elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. a2 b2 Baøi 1. Cho đường tròn (C): x2  y2  6 x  55  0 và điểm F1(3; 0) : a) Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (C) di động luôn đi qua F1 và tiếp xúc với (C). b) Viết phương trình của tập hợp trên. Baøi 2. Cho hai đường tròn (C): x2  y2  4 x  32  0 và (C): x2  y2  4 x  0 : a) Chứng minh (C) và (C) tiếp xúc nhau. b) Tìm tập hợp các tâm M của đường tròn (T) di động và tiếp xúc với hai đường tròn trên. c) Viết phương trình của tập hợp đó. Baøi 3. Tìm tập hợp các điểm M có tỉ số các khoảng cách từ đó đến điểm F và đến đường thẳng  bằng e, với: 1 1 a) F (3; 0),  : x  12  0, e  b) F (2; 0),  : x  8  0, e  2 2 4 3 c) F (4; 0),  : 4 x  25  0, e  d) F (3; 0),  : 3 x  25  0, e  5 5 Baøi 4. Cho hai điểm A, B lần lượt chạy trên hai trục Ox và Oy sao cho AB = 12. a) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn AB. 1 b) Tìm tập hợp các điểm N chia đoạn AB theo tỉ số k   . 2 7.2.9 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Baøi 1. Tìm tâm sai của (E) trong các trường hợp sau: a) Mỗi đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. b) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc vuông. c) Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 600 . d) Độ dài trục lớn bằng k lần độ dài trục nhỏ (k > 1). e) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục nhỏ bằng tiêu cự. TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 18
  19. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG x2 y2 Baøi 2. Cho elip (E):   1 . Một góc vuông đỉnh O quay quanh O, có 2 cạnh cắt (E) lần lượt tại a2 b2 A và B. 1 1 a) Chứng minh rằng  không đổi. OA2 OB2 b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng AB. Suy ra đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn (C) cố định. Tìm phương trình của (C). 1 1 1 1 1 1 1 ab HD: a)  b)      OH  2 2 2 2 2 2 2 a b OH OA OB a b a 2  b2 x2 y2 Baøi 3. Cho elip (E):   1 . Gọi F1, F2 là 2 tiêu điểm, A1, A2 là 2 đỉnh trên trục lớn, M là 1 điểm a2 b2 tuỳ ý thuộc (E). a) Chứng minh: MF1.MF2  OM2  a2  b2 . MP 2 b2 b) Gọi P là hình chiếu của M trên trục lớn. Chứng minh:  . A1P . A2 P a 2 7.3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho các véc tơ: a  (2; 3), b  (2; 5), c  (2;  5). a) Tìm tọa độ của các véc tơ sau: u  a  2b  3c; v  a  3b  4c; w  2(a  b)  3c. b) Tim các số p và q thỏa mãn c  p a  qb . 2. Cho ba điểm A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2). a) CMR:  ABC. b) Tính chu vi và diện tích của ABC. c) Tìm điểm I sao cho: IA  2 IB  3IC  0. d) Tìm tọa độ trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ABC. e) Viết phương trình các đường cao, trung tuyến của ABC. g) Viết phương trình các đường phân giác trong, phân giác ngoài của ABC. 3. Cho điểm M(2; 5). Tìm điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d có phương trình: 2x - y + 4 = 0. 4. Giả sử điêm M(x; y). Tìm tọa độ của: a) Điểm M1 đối xứng với M qua Ox. b Điểm M2 đối xứng với M qua Oy c Điểm M3 đối xứng với M qua gốc tọa độ. d Điểm M4 đối xứng với M qua đường thẳng y = x. 5. Viết phương trình đường thằng trong mỗi trường hợp sau: a) Đi qua điểm M(-2; -4) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B sao cho OAB vuông cân. b) Đi qua điểm M(-2; -4) và cắt trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 19
  20. Gi¸o viªn: nguyÔn b¸ trung – tr­êng thpt xu©n giang Mobile: 012469.15999 CHUY£N §Ò 7: PH¦¥NG PH¸P TäA §é TRONG MÆT PH¼NG 6. Hai cạnh của một hình bình hành ABCD có phương trình: x - 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0. Đỉnh C(4; -1). Viết phương trình hai cạnh còn lại. 7. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2; 5) và cách đề hai điểm A(-1; 2) và B(5; 4). 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 2x + 3y +15 = 0, x - 12y + 3 = 0 và thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) Đi qua điểm (2; 0). b) Vuông góc với đường thẳng x - y - 100 = 0. c) Song song với đường thẳng 5x - 4y - 1 = 0. 9. Viết phương trình của đường thẳng  đối xứng với đường thẳng (): x + 2y - 2 = 0 qua M(2;5). 10. Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai đường thẳng: a) 3x - 2y -5 = 0 và 3x - 2y + 7 = 0. b) 4x + y - 1 = 0 và 3x - y + 1 = 0. 11. Cho đường thẳng : x - y + 2 = 0 và hai điểm O(0; 0), A(2; 0). a) CMR: Hai điểm O và A nằm về cùng phía đối với đường thẳng . b) Tìm điểm O đối xứng với O qua A. c) Tìm điểm M   sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất. 12. a) Cho hai đường thẳng có phương trình  x  1  3t  x  3  5t (1 ) :  ; ( 2 ) :   y  2  2t  y  4  t Chuyển phương trình của các đường thẳng trên về dạng tổng quát. b) Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau: (1): 4x +5y + 6 = 0; (2): 2x 3y + 3 = 0. 13. Cho ABC đỉnh A(-1; -3). a) Cho biết hai đường cao: BH: 5x + 3y - 25 = 0, CK: 3x + 8y - 12 = 0 Hãy xác định tọa độ của các đỉnh B và C. b) Xác định tọa độ các đỉnh B, C nếu đường trung trực của AB là d: 3x + 2y - 4 = 0 và tọa độ trọng tâm G(4; -2). (ĐH Cần thơ - 1998) 14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề các vuông góc, cho ABC có đỉnh A(-1; 3), đường cao BH nằm trên đường thẳng d: y = x, phân giác trong của góc C nằm trên đường thẳng d: x + 3y + 2 = 0. Viết phương trình cạnh BC. (ĐH Kiến trúc Hà nội - 1998) 15. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d: x - y + 2 = 0 sao cho ABC vuông tại C, biết A(1; -2); B(-3; 3). (ĐH Luật Hà nội - 1998)  16. Cho hình thang cân ABCD có đáy AD, BC; BAD  30 0 . Biết AB  a, AD  b . Hãy biểu diễn các véc tơ BC , CD, AC , BD theo các véc tơ a, b . (ĐH Luật Hà nội - 1998) 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6). a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp OAB. b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp OAB. (ĐH Mỹ thuật công nghiệp Hà nội - 1998) 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho, ABC có trọng tâm G(-2; -1) và các cạnh AB: 4x + y + 15 = 0 và AC: 2x + 5y + 3 = 0. TR£N CON §¦êng vinh quang kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ l­êi biÕng 20
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản