Lý thuyết về dao động

Chia sẻ: Tai Tieu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:174

Thêm vào BST

Báo xấu

331
lượt xem 95
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Quá trình dao động được đặc trưng bằng sự tăng hay giảm một cách luân phiên của các đại lượng biến đổi nó . Nó được mô phỏng bằng các phương trình toán học. Dao động trong đó các phương trình vi phân mô tả chuyển động của nó là tuyến tính gọi là dao động tuyến tính và ngược lại gọi là dao động phi tuyến tính.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lý thuyết về dao động

Tr−êng ®¹i häc thuû lîi Bé m«n c¬ häc øng dông --- --- GS.TS NguyÔn Thóc An PGS.TS NguyÔn §×nh ChiÒu PGS.TS Khæng Do·n §iÒn Lý thuyÕt dao ®éng Hμ Néi 2003
Lêi nãi ®Çu Gi¸o tr×nh “C¬ häc Lý thuyÕt II – Lý thuyÕt Dao ®éng” – T¸c gi¶ PGS. PTS NguyÔn Thóc An, PTS NguyÔn §×nh ChiÒu, PTS Khæng Do·n §iÒn, xuÊt b¶n t¹i Tr−êng §¹i häc Thñy lîi, n¨m 1989, ®· ®¸p øng yªu cÇu gi¶ng d¹y cho sinh viªn ngµnh C«ng tr×nh, ngµnh Thuû ®iÖn vµ ngµnh M¸y X©y Dùng nh÷ng n¨m qua, trong ®ã ®Ò cËp ®Õn c¸c bµi to¸n dao ®éng cña hÖ mét bËc tù do, hai bËc tù do, v« sè bËc tù do vµ gi¶i quyÕt nguyªn lý cña bé t¾t chÊn ®éng lùc, triÖt tiªu dao ®éng cña mét vµi tr−êng hîp cô thÓ vµ c¸ch gi¶i quyÕt khi hÖ cã nguy c¬ xuÊt hiÖn hiÖn t−îng céng h−ëng. §Ó ®¸p øng yªu cÇu gi¶ng d¹y cho sinh viªn ngµnh M¸y X©y Dùng & TBTL vµ c¸c häc viªn Cao häc, Nghiªn cøu sinh mµ luËn ¸n cã ®Ò cËp ®Õn bµi to¸n ®éng lùc, chóng t«i biªn so¹n vµ ®−a vµo thªm: Ch−¬ng IV (Va ch¹m cña vËt r¾n vµo thanh ®µn håi vµ ¸p dông Lý thuyÕt va ch¹m vµo bµi to¸n ®ãng cäc); Ch−¬ng V (C¬ së cña Lý thuyÕt dao ®éng phi tuyÕn) vµ cã ®−a vµo nh÷ng vÝ dô gÇn víi thùc tÕ tÝnh to¸n c«ng tr×nh cho ngµnh Thuû lîi. Tµi liÖu dïng ®Ó gi¶ng d¹y “ Lý thuyÕt dao ®éng” cho sinh viªn c¸c ngµnh C«ng tr×nh, Thuû ®iÖn, CÊp tho¸t n−íc, Tr¹m b¬m vµ gi¶ng d¹y m«n “ Dao ®éng kü thuËt” cho sinh viªn ngµnh M¸y X©y Dùng & ThiÕt BÞ Thuû Lîi. Tµi liÖu nµy còng cã thÓ dïng lµm tµi liÖu «n tËp thi tuyÓn Cao häc vµ Nghiªn cøu sinh cho c¸c ngµnh C«ng tr×nh, §éng lùc vµ lµm tµi liÖu häc tËp vµ tham kh¶o cho Nghiªn cøu sinh c¸c ngµnh cã liªn quan. Chóng t«i mong nhËn ®−îc nh÷ng ®ãng gãp ý kiÕn cña ®ång nghiÖp vµ b¹n ®äc ®Ó bæ xung, söa ch÷a cho tËp gi¸o tr×nh ngµy mét hoµn chØnh h¬n. Hµ Néi, th¸ng 10 n¨m 2003. C¸c t¸c gi¶ 1
Ch−¬ng më ®Çu §1. Mét vμi kh¸i niÖm vμ ®Þnh nghÜa 1.1. C¸c qu¸ tr×nh thay ®æi kh¸c nhau cña c¸c ®¹i l−îng v« h−íng ®−îc chia thµnh hai d¹ng: C¸c qu¸ tr×nh dao ®éng vµ c¸c qu¸ tr×nh kh«ng dao ®éng. Qu¸ tr×nh dao ®éng ®−îc ®Æc tr−ng b»ng sù t¨ng hay gi¶m mét c¸ch lu©n phiªn cña c¸c ®¹i l−îng biÕn ®æi. Nã ®−îc m« t¶ b»ng c¸c ph−¬ng tr×nh to¸n häc. Dao ®éng trong ®ã c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ chuyÓn ®éng cña nã lµ tuyÕn tÝnh, gäi lµ dao ®éng tuyÕn tÝnh. Ng−îc l¹i, gäi lµ dao ®éng kh«ng tuyÕn tÝnh (phi tuyÕn). 1.2. ChuyÓn ®éng dao ®éng ®−îc ®Æc biÖt quan t©m lµ nh÷ng dao ®éng cã chu kú. Hµm f*(t) m« t¶ qu¸ tr×nh dao ®éng cã chu kú, nÕu nh− tån t¹i gi¸ trÞ T > 0, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau: f * ( t ) = f * ( t ± T ) = f * ( t ± 2T ) = ... = f * ( t ± nT ) (1) Trong ®ã: T gäi lµ chu kú; n lµ sè nguyªn d−¬ng. Mét d¹ng ®Æc biÖt cña dao ®éng cã chu kú chiÕm vÞ trÝ quan träng trong thùc tÕ lµ dao ®éng ®iÒu hoµ. VÒ mÆt ®éng häc dao ®éng ®iÒu hoµ ®−îc miªu t¶ bëi hÖ thøc: q = A sin(kt + α) (2) ë ®©y: q lµ to¹ ®é cña ®iÓm dao ®éng tÝnh tõ vÞ trÝ trung b×nh cña nã (chän lµm gèc to¹ ®é); A lµ to¹ ®é cña q øng víi ®é lÖch lín nhÊt cña ®iÓm vÒ mét phÝa vµ ®−îc gäi lµ biªn ®é dao ®éng; (kt+α) lµ Argument cña sin gäi lµ pha dao ®éng; α lµ pha ban ®Çu; k lµ tÇn sè vßng (riªng) cña dao ®éng. TÇn sè riªng k liªn quan víi chu kú T bëi hÖ thøc: 2π k ( t + T) + α = kt + α + 2π , tõ ®ã: k = (rad / s) (3) T Sè lÇn dao ®éng trong mét ®¬n vÞ thêi gian ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: 1 k f= = (4) T 2π f ®−îc gäi lµ tÇn sè; ®¬n vÞ th−êng dïng lµ Hecz (Hz). §2. §éng n¨ng cña hÖ XÐt hÖ N chÊt ®iÓm cã n bËc tù do. Gäi to¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña hÖ: q1, q2 ..., qn (qi, i = 1, n ). Víi hÖ chÞu liªn kÕt dõng, vÞ trÝ cña mét ®iÓm Mk bÊt kú ®−îc biÓu diÔn: rk = rk (q 1 , q 2 , ..., q n ) 2
d rk n ∂ rk • Tõ ®ã: vk = dt = ∑ i =1 ∂q i qi (5) 1 n §éng n¨ng cña hÖ x¸c ®Þnh b»ng biÓu thøc: T = ∑ m k v 2k 2 k =1 Thay (5) vµo biÓu thøc trªn víi chó ý: v 2 = v k . v k k 1 n • • Ta cã: T= ∑1 A ij q i q j 2 i , j= (6) ë ®©y: Aij = Aji lµ c¸c hÖ sè chØ phô thuéc vµo c¸c täa ®é suy réng. Khai triÓn chóng theo chuçi lòy thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng (q i = 0; i = 1, n ) vµ chØ gi÷ l¹i sè h¹ng ®Çu, ta nhËn ®−îc biÓu thøc ®éng n¨ng cña hÖ ®· tuyÕn tÝnh ho¸: 1 n • • T= ∑1 a ij q i q j 2 i , j= (7) Trong ®ã: a ij = a ji = (A ij ) 0 gäi lµ c¸c hÖ sè qu¸n tÝnh (thùc tÕ lµ khèi l−îng hoÆc m«men qu¸n tÝnh). 1 •2 NÕu hÖ cã mét bËc tù do (n = 1), ta cã: T = a q , trong ®ã a = A(0) (8) 2 NÕu hÖ cã hai bËc tù do (n = 2), ta ®−îc: 1⎛ •2 • • •2⎞ ⎜ a 11 q 1 + 2a 12 q 1 q 2 + a 22 q 2 ⎟ T= ⎜ (9) 2⎝ ⎟ ⎠ ë ®©y: a 11 = (A11 ) 0 ; a 12 = (A12 ) 0 ; a 22 = (A 22 ) 0 . C¸c hÖ sè cña d¹ng toµn ph−¬ng (7) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Xin-vec-tr¬ (x¸c ®Þnh d−¬ng), nghÜa lµ: a 11 a 12 ... a 1n a 11 a 12 a 11 > 0; > 0; ...; a 21 a 22 ... a 2 n > 0 a 21 a 22 a n1 a n 2 ... a nn §3. ThÕ n¨ng cña c¬ hÖ. Víi liªn kÕt dõng, thÕ n¨ng cña hÖ còng lµ hµm cña c¸c to¹ ®é suy réng: π = π(q1 , q 2 , ..., q n ) Trong hÖ b¶o toµn, t¹i vÞ trÝ c©n b»ng (q i = 0; i = 1, n ) , thÕ n¨ng cña hÖ cã gi¸ trÞ cùc trÞ nªn: 3
⎛ ∂π ⎞ ⎜ ⎜ ∂q ⎟ ⎟ = 0 Víi i = 1, n (10) ⎝ i ⎠ q i =0 Theo ®Þnh lý Lagr¨ng-§iriclª th×: T¹i vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh cña hÖ b¶o toµn, thÕ n¨ng cña hÖ cùc tiÓu. Khai triÓn π theo chuçi luü thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh (q i = 0; i = 1, n) , ta cã: n ⎛ ∂π ⎞ 1 n π = ( π) 0 + ∑ ⎜ ⎜ ⎟ q i + ∑ c ij q i q j + .... ⎟ (11) i =1 ⎝ ∂q i ⎠0 2 i , j=1 NÕu chän vÞ trÝ c©n b»ng æn ®Þnh cña hÖ lµm gèc tÝnh π th× (π) 0 = 0 vµ do (10) nªn sè h¹ng thø hai trong (11) b»ng kh«ng. MÆt kh¸c víi hÖ tuyÕn tÝnh sÏ kh«ng chøa trong khai triÓn cña thÕ n¨ng c¸c thµnh phÇn bËc cao h¬n hai ®èi víi to¹ ®é suy réng. Do ®ã thÕ n¨ng π cña hÖ khi tuyÕn tÝnh ho¸ lµ d¹ng toµn ph−¬ng sau: 1 n π= ∑ 2 i , j=1 c ij q i q j (12) ⎛ ∂2π ⎞ ë ®©y: c ij = c ji = ⎜ ⎟ gäi lµ c¸c hÖ sè cøng. ⎜ ∂q i ∂q j ⎟ ⎝ ⎠0 NÕu hÖ cã mét bËc tù do (n = 1), ta cã: 1 π = cq 2 , c = π′′(0) (13) 2 NÕu hÖ cã hai bËc tù do (n = 2), ta ®−îc: 1 π= (c11 q 1 + 2c12 q 1 q 2 + c 22 q 2 ) 2 2 (14) 2 ⎛ ∂ 2π ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ⎞ Trong ®ã: c11 = ⎜ ⎟ ; c12 = ⎜ ∂ π ⎟ ; c 22 = ⎜ ∂ π ⎟ ⎜ ∂q 2 ⎟ ⎜ ∂q ∂q ⎟ ⎜ ∂q 2 ⎟ ⎝ 1 ⎠0 ⎝ 1 2 ⎠0 ⎝ 2 ⎠0 T−¬ng tù nh− phÇn §2, c¸c hÖ sè cij cña d¹ng toµn ph−¬ng (12) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x¸c ®Þnh d−¬ng. §4. Hμm hao t¸n. Gi¶ sö hÖ chÞu t¸c dông lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc nhÊt vµo vËn tèc: R k = −β k . v k Trong ®ã: β k > 0 lµ hÖ sè c¶n (nhít); v k lµ vËn tèc cña chÊt ®iÓm thø k thuéc hÖ. Gäi to¹ ®é suy réng cña cña hÖ: q i (i = 1, n ) . C¸c lùc suy réng t−¬ng øng víi lùc c¶n b»ng: n ∂ rk n ∂r Q iΦ = ∑ R k = −∑ β k v k k k =1 ∂q i k =1 ∂q i 4
• ∂ rk ∂ rr Khi sö dông ®ång nhÊt thøc Lagr¨ng: = • , ta cã: ∂q i ∂ qi • • n ∂ rk ∂ ⎛ n v2 ⎞ ∂φ Q iΦ = − ∑ β k rk • = • ⎜ ∑ ⎜ βk k ⎟ 2 ⎟ Hay: Q i φ = − • (15) k =1 ∂ qi ∂ q i ⎝ k =1 ⎠ ∂ qi n v2 ë ®©y ta ®Æt: φ = ∑ β k k (16) k =1 2 φ ®−îc biÓu diÔn ë (16) gäi lµ hµm hao t¸n. Ta cã thÓ viÕt φ gièng nh− ®éng n¨ng T 1 n • • trong täa ®é suy réng: φ = ∑ 2 i , j=1 B ij q i q j (17) Trong ®ã: B ij = B ji lµ c¸c hµm chØ cña to¹ ®é suy réng: q i (i = 1, n ) . Khai triÓn chóng theo chuçi luü thõa t¹i l©n cËn vÞ trÝ c©n b»ng q i = 0; (i = 1, n ) vµ chØ gi÷ l¹i sè h¹ng ®Çu, ta nhËn ®−îc biÓu thøc cña hµm hao t¸n ®· tuyÕn tÝnh ho¸: 1 n • • φ= ∑ 2 i , j=1 b ij q i q j (18) ë ®©y: b ij = b ji = (Bij ) 0 lµ c¸c hÖ sè c¶n suy réng. 1 •2 Khi hÖ cã mét bËc tù do (n = 1): φ = b q ; b = B(0) > 0 (19) 2 1 •2 • • •2 Khi hÖ cã hai bËc tù do (n = 2): φ = (b1 q1 + 2b12 q1 q 2 + b 22 q 2 ) (20) 2 Trong ®ã: b11 = (B11 ) 0 ; b12 = (B12 ) 0 ; b 22 = (B 22 ) 0 . C¸c hÖ sè b ij cña d¹ng toµn ph−¬ng (18) còng tho¶ m·n tiªu chuÈn x¸c ®Þnh d−¬ng. §5. Ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng. 5.1. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng theo ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II. C¬ së lý thuyÕt cña nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu dao ®éng c¸c hÖ H«l«n«m nhiÒu bËc tù do lµ viÖc ¸p dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II. Ph−¬ng ph¸p thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng cña hÖ dao ®éng b»ng c¸ch sö dông ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II gäi lµ ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n. §èi víi hÖ H«l«n«m, cã n bËc tù do, x¸c ®Þnh bëi c¸c to¹ ®é suy réng ®éc lËp: q 1 , q 2 , ... q n (q i : i = 1, n ) , ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng lo¹i II cã d¹ng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T dt ⎜ ∂ q ⎜ • ⎟ − ∂q = Q i ; i = 1, n ⎟ (21) i ⎝ i ⎠ 5
5.1a. NÕu c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ chØ lµ lùc cã thÕ. π ∂π Ta cã: Qi = Qi = − ; i = 1, n ∂q i Ph−¬ng tr×nh (21) trë thµnh: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π dt ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q ; i = 1, n (21a) ⎜∂q ⎟ i i ⎝ i ⎠ §−a vµo hµm Lagr¨ng: L = T − π , ta ®−îc: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂L ⎟ ∂L dt ⎜ ∂ q ⎜ • ⎟ − ∂q = 0; i = 1, n ⎟ (21b) i ⎝ i ⎠ 5.1b. NÕu c¸c lùc t¸c dông lªn hÖ bao gåm c¶ lùc cã thÕ vµ lùc c¶n nhít ta cã: π φ ∂π ∂φ Qi = Qi + Qi = − − • ; i = 1, n ∂q i ∂ qi Ph−¬ng tr×nh (21) trë thµnh: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ dt ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q − • ; i = 1, n (22) ⎜∂q ⎟ i i ∂ qi ⎝ i ⎠ Khi chó ý ®Õn hµm Lagr¨ng L: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂L ⎟ ∂L ∂φ dt ⎜ • ⎟ − ∂q + • = 0; i = 1, n (22a) ⎜∂q ⎟ i ∂ qi ⎝ i ⎠ 5.1c. NÕu lùc t¸c dông lªn hÖ ngoµi c¸c lùc cã thÕ, vµ lùc c¶n nhít cßn cã c¸c ngo¹i lùc kh¸c (lùc kÝch ®éng) phô thuéc vµo thêi gian t; lùc suy réng cña nã ký hiÖu QiP, ta cã: π φ Q i = Q i + Q i + Q i ; i = 1, n P Vµ ph−¬ng tr×nh (21) viÕt ë d¹ng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ ⎟ − ∂q = − ∂q − • + Q i ; i = 1, n P (23) dt ⎜ • ⎜∂q ⎟ ⎝ i ⎠ i i ∂ qi ThÝ dô 1: Con l¾c kÐp gåm hai thanh ®ång chÊt: AB = BC = 2L, träng l−îng P1 = P2 = P nèi víi nhau bëi b¶n lÒ B. Con l¾c thùc hiÖn dao ®éng nhá trong mÆt ph¼ng th¼ng ®øng xung quanh vÞ trÝ c©n b»ng Ay; ngoµi ra AB quay xung quanh trôc A; BC quay xung quanh b¶n lÒ B (H×nh 1). 6
Bµi gi¶i Gi¶ thiÕt c¸c thanh r¾n tuyÖt ®èi ; hÖ cã hai bËc tù do. Ta chän θ1, θ2 lµ c¸c gãc lÖch cña thanh víi ph−¬ng th¼ng ®øng Ay lµm täa ®é suy réng. T¹i vÞ trÝ c©n b»ng th× θ1 = θ2 = 0. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II viÕt cho hÖ kh¶o s¸t lµ: x d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ⎜ ⎟− A = Q i ; i = 1, 2 (a) dt ⎜ ∂ θ ⎟ ∂θ i • ⎝ i⎠ θ 1 Chän hÖ trôc täa ®é Axy nh− h×nh vÏ. §éng n¨ng cña hÖ b»ng: P1 B 1 •2 1 ⎛ •2 •2⎞ 1 •2 T = TAB + TBC = J Az θ1 + m BC ⎜ x D + y D ⎟ + J Dz θ 2 ⎜ ⎟ 2 θ2 D 2 2 ⎝ ⎠ P2 C 1P P 1 P Ta cã: J Az = (2L) 2 , m BC = , J Dz = ( 2 L) 2 3g g 12 g y H×nh 1 ⎧x D = L(2 sin θ1 + sin θ 2 ) ⎨ ⎩ y D = L(2 cos θ1 + cos θ 2 ) 2PL2 ⎡ •2 •2 • • ⎤ Ta cã: T = ⎢ 4 θ1 + θ 2 + 3 θ1 θ 2 cos(θ1 − θ 2 )⎥ 3g ⎣ ⎦ XÐt dao ®éng nhá: cos(θ1 − θ 2 ) ≈ 1 , ta nhËn ®−îc: 2PL2 • 2 • 2 • • T= (4 θ1 + θ 2 + 3 θ1 θ 2 ) (b) 3g ThÕ n¨ng cña hÖ b»ng c«ng träng l−îng c¸c thanh khi hÖ chuyÓn dÞch tõ vÞ trÝ kh¶o s¸t (θ1; θ2) tíi vÞ trÝ c©n b»ng th¼ng ®øng (θ1 = 0 ; θ2 = 0), ta cã: π = PL(1 − cos θ1 ) + PL[2(1 − cos θ1 ) + (1 − cos θ 2 )] Rót gän: π = PL(4 − 3 cos θ1 − cos θ 2 ) θ12 θ2 Víi θ1 , θ 2 nhá: cos θ1 ≈ 1 − ; cos θ 2 ≈ 1 − 2 2 2 PL Ta cã: π= (3θ1 + θ 2 ) 2 2 (c) 2 Thay (b) vµ (c) vµo (a), ta nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá cña hÖ: 16L •• 2L •• 2 L •• 4 L •• 3θ1 = − θ1 − θ 2 ; θ2 = − θ1 − θ2 3g g g 3g 7
5.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n chuyÓn ®éng theo ph−¬ng ph¸p §al¨mbe. Theo nguyªn lý §al¨mbe: ë mçi thêi ®iÓm c¸c lùc ho¹t ®éng t¸c dông lªn c¬ hÖ vµ c¸c ph¶n lùc liªn kÕt c©n b»ng víi c¸c lùc qu¸n tÝnh. Tõ ®ã: ⎧ F a + N + F qt = 0 ⎪∑ k ∑ k ∑ k ⎪k k k ⎨ ( ) (24) ⎪∑ m O ⎛ Fk ⎟ + ∑ m O N k + ∑ m O ⎛ Fk qt ⎞ = 0 ⎜ a ⎞ ⎜ ⎟ ⎪k ⎩ ⎝ ⎠ k k ⎝ ⎠ Trong ®ã: F qt = −m k Wk k 5.3. ¸p dông ph−¬ng ph¸p lùc ®Ó lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng nhá (tr−êng hîp riªng cña ph−¬ng ph¸p §al¨mbe). Gi¶ sö cho mét dÇm ®µn håi cã g¾n mét sè h÷u h¹n khèi l−îng tËp trung m1 , m 2 , ..., m n . §Ó lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng (uèn) cña dÇm, thuËn lîi h¬n c¶ lµ dïng ph−¬ng ph¸p lùc. Khi nµy cÇn sö dông kh¸i niÖm dÞch chuyÓn ®¬n vÞ. C¸c dÞch chuyÓn theo h−íng i do lùc ®¬n vÞ t¸c dông theo h−íng k g©y ra gäi lµ dÞch chuyÓn ®¬n vÞ, ký hiÖu δik. C¸c dÞch chuyÓn ®¬n vÞ δik cßn gäi lµ c¸c hÖ sè ¶nh h−ëng (H×nh 2). Pk = 1 m1 m2 m3 mn i k δik H×nh 2 §èi víi c¸c hÖ ®µn håi, theo h−íng k hÖ chÞu t¸c dông cña lùc Pk th× dÞch chuyÓn do nã g©y ra theo h−íng i sÏ tû lÖ víi lùc, nghÜa lµ: yi = Pkδik. Do ®ã, d−íi t¸c dông ®ång thêi cña c¸c lùc P1, P2, ..., Pn dÞch chuyÓn toµn phÇn x¸c ®Þnh theo c«ng thøc: n yi = ∑P δ k =1 k ik (25) C«ng thøc (25) lµ c¬ së ®Ó thiÕt lËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ theo ph−¬ng ph¸p lùc. Theo kÕt qu¶ trong gi¸o tr×nh SBVL, ta cã c¸c c«ng thøc x¸c ®Þnh hÖ sè ¶nh h−ëng δik sau ®©y: 8
5.3a. X¸c ®Þnh δik khi uèn cña thanh: Dïng c«ng thøc MO: L M i . M k . dx δ ik = ∑ ∫ 0 EJ (26) Trong ®ã: EJ lµ ®é cøng cña thanh khi uèn; M i ( x ) vµ M k ( x ) lµ c¸c m«men uèn do lùc ®¬n vÞ Pi = 1 vµ Pk = 1 g©y ra (H×nh 3). Pi = 1 Pk = 1 M i =(x) M k =(x) x x H×nh 3 5.3b. Sö dông phÐp nh©n biÓu ®å Vªrªsaghin: * Ω Mk δ ik = ∑ i (27) EJ * ë ®©y: Ω i lµ diÖn tÝch biÓu ®å M i , M k lµ tung ®é cña biÓu ®å M k t−¬ng øng hoµnh ®é träng t©m cña Ω i . Khi sö dông c«ng thøc (27) cÇn chó ý chia chiÒu dµi thanh sao cho trong mçi ®o¹n cña M k lµ ®−êng th¼ng. Theo ®Þnh lý Macxoen ta lu«n cã: δ ik = δ ki ThÝ dô 2: X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè ¶nh h−ëng trong tr−êng hîp dÇm chÞu c¸c träng t¶i tËp trung nh− h×nh vÏ (H×nh 4). m m m P1 = 1 5L L/6 L/3 L/3 L/6 36 M1 L/6 5L/6 H×nh 4 H×nh 5a 9
Bµi gi¶i: §Ó x¸c ®Þnh c¸c dÞch chuyÓn ®¬n vÞ (hÖ sè ¶nh h−ëng) δik (i, k = 1, 2, 3) ta x©y dùng c¸c biÓu ®å M«men uèn M 1 , M 2 , M 3 t−¬ng øng víi c¸c lùc ®¬n vÞ P1 = 1, P2 = 1, P3 = 1 vµ biÓu diÔn nh− trªn h×nh vÏ (H×nh 5a, b, c). P2 = 1 P3 = 1 L 5L 4 36 M2 M3 L/2 L/2 5L/6 L/6 H×nh 5b H×nh 5c Theo c«ng thøc nh©n biÓu ®å Vªrªsaghin, ta cã: 1 ⎡⎛ 1 L 5 5 ⎞ ⎛1 5 5 5 ⎞⎤ δ11 = δ 33 = ⎢⎜ 2 . 6 . 36 L. 54 L ⎟ + ⎜ 2 . 6 L. 36 L. 54 L ⎟⎥ EJ ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ 1 5 5 ⎛1 5 ⎞ 1 5 5 1 25L3 = . L. L⎜ L + L ⎟ = ⋅ ⋅L⋅ ⋅L⋅ ⋅L = = 75k EJ 54 36 ⎝ 12 12 ⎠ EJ 54 36 2 3888EJ L3 ë ®©y ta ®Æt: k = 9.1296EJ 1 ⎛1 L L L 1 L L L⎞ L3 L3 L3 δ 22 = ⎜ . . . + . . . ⎟ = 2. = = 243. = 243k EJ ⎝ 2 2 4 6 2 2 4 6 ⎠ 96EJ 48EJ 9.1296EJ Thùc hiÖn tÝnh to¸n mét c¸ch t−¬ng tù, ta nhËn ®−îc: L3 L3 δ13 = δ 31 = 51 = 51k; δ12 = δ 21 = δ 32 = δ 23 = 117 = 117k 9.1296EJ 9.1296EJ §6. X¸c ®Þnh ®é cøng cña hÖ dao ®éng. C¸c tÝnh chÊt ®µn håi cña hÖ dao ®éng trong mçi tr−êng hîp cô thÓ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng hÖ sè cøng C. 6.1. Thanh ®µn håi 6.1.1. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng, chÞu kÐo nÐn (H×nh 6). 10
PL Ta cã: ΔL = EF ë ®©y: E lµ m«®un ®µn håi, F lµ diÖn tÝch tiÕt diÖn ngang. EF Tõ ®ã: P= .ΔL = C.ΔL L L EF VËy, ta cã: C= (28) L 6.1.2. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng chÞu xo¾n (H×nh 7) th×: MxL Δϕ = GJ p Trong ®ã: G lµ m«®un tr−ît, JP lµ m«men qu¸n tÝnh ®éc cùc cña ΔL P mÆt c¾t ngang. Suy ra: H×nh 6 GJ p Mx = Δϕ = C.Δϕ L GJ p VËy, nhËn ®−îc: C= (29) L Mx L L P f H×nh 7 H×nh 8 6.1.3. Thanh ®µn håi kh«ng träng l−îng chÞu uèn. Khi nµy: HÖ sè cøng C cßn phô thuéc vµo ®iÒu kiÖn biªn. Ta xÐt thanh chÞu uèn bÞ ngµm ë mét ®Çu (H×nh 8). §é vâng f b»ng: 1 PL3 3EJ f= , suy ra: P = 3 f = Cf 3 EJ L 3EJ ë ®©y: EJ lµ ®é cøng chèng uèn. VËy ®é cøng C b»ng: C= (30) L3 11
6.2. HÖ c¸c lß xo. 6.2.1. §èi víi hÖ lß xo m¾c song song (H×nh 9). Tõ biÓu thøc tÝnh lùc ®µn håi, ta cã: Fdh = C1 x + C 2 x = Cx C1 C2 C VËy, ta ®−îc: C = C1 + C2. NÕu hÖ cã n lß xo m¾c song song, t−¬ng tù nhËn ®−îc: n C = ∑ Ci (31) i =1 H×nh 9 6.2.2. §èi víi hÖ lß xo m¾c nèi tiÕp (H×nh 10). BiÓu thøc tÝnh lùc ®µn håi b»ng: Fdh = C1 x 1 + C 2 x 2 C1 ë hÖ thay thÕ t−¬ng ®−¬ng hÖ sè cøng C, lß xo C C2 d·n mét ®o¹n: x = x 1 + x 2 ; Fdh = Cx F1 F2 Fdh 1 1 1 Ta cã: x= + = ⇒ = + C1 C 2 C C C1 C 2 H×nh 10 NÕu hÖ cã n lß xo m¾c nèi tiÕp, th× hÖ sè cøng C cña lß xo thay thÕ x¸c ®Þnh bëi hÖ thøc: n 1 1 =∑ (32) C i =1 C i Nãi chung ®é cøng C ®−îc tÝnh to¸n theo lý thuyÕt víi c¸c gi¶ thiÕt nhÊt ®Þnh vµ cã thÓ tra cøu trong c¸c sæ tay kü thuËt. Ta thèng kª mét sè c«ng thøc ë mét sè d¹ng c¬ b¶n th−êng dïng trong tÝnh to¸n (b¶ng 1). B¶ng 1. C«ng thøc x¸c ®Þnh c¸c hÖ sè cøng t−¬ng ®−¬ng STT S¬ ®å HÖ sè C Gd 4 C= Víi G: m«®un tr−ît cña 1 8iD vËt liÖu; d: ®−êng kÝnh d©y lß xo; i, D: sè vßng vµ ®−êng kÝnh lß xo. C1 2 C = C1+ C2 C1 C2 C2 12
C1C 2 3 C1 C= C2 C1 + C 2 EJ EJ 4 C=3 L L3 3EJ(a + b) 5 C= a b a 2b2 12EJ(a + b) 3 6 C= a b a 3 b 2 (3a + 4b) 3EJ(a + b) 3 7 a b C= a 3b3 3EJ 8 C= L b ( b + L) b 2 12EJ 9 C= L b (4b + 3L)b 2 24EJ C= L3 10 L (EJ lµ ®é cøng khi uèn cña mét trong hai lß xo ph¼ng) α 3 EJsh α L C = , N α Lch α L − sh α L 11 L N α= EJ α 2 EJsh ( α L ) C= L (α Lch α L − sh α L ) 12 N L N α= EJ 13
14
Ch−¬ng I Dao ®éng tuyÕn tÝnh cña hÖ mét bËc tù do §1.1. Dao ®éng tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do 1.1.1. Dao ®éng tù do kh«ng c¶n XÐt hÖ mét bËc tù do, lùc t¸c dông lªn hÖ cã thÕ. To¹ ®é suy réng x¸c ®Þnh vÞ trÝ c¬ hÖ lµ q. Ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II cã d¹ng: d ⎛ ∂T ⎞ ∂T ⎜ ⎟ ∂π ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q dt ⎜ ∂ q ⎟ ⎝ ⎠ 1 •2 1 Víi dao ®éng nhá th×: T = a q ; π = cq 2 : Thay vµo ph−¬ng tr×nh trªn vµ rót gän, 2 2 •• ta ®−îc: q+ k 2q = 0 (1-1) c Trong ®ã: k = gäi lµ tÇn sè vßng (riªng) cña dao ®éng, ®¬n vÞ th−êng dïng rad/s, a nã phô thuéc vµo tÝnh chÊt cña hÖ (khèi l−îng vµ ®é cøng). Ph−¬ng tr×nh (1-1) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng nhá tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do. NTQ cña (1-1) t×m ®−îc ë d¹ng: q = C1coskt + C2sinkt (1-2) §Æt: C1 = Asinα; C2 = Acosα Ta viÕt ®−îc nghiÖm (1-2) d−íi d¹ng biªn ®é: q = Asin(kt +α) (1-3) ë ®©y: A = C1 + C 2 lµ biªn ®é dao ®éng; (kt +α) lµ pha dao ®éng; α lµ pha ban ®Çu; 2 2 k lµ tÇn sè vßng (tÇn sè dao ®éng riªng) cña hÖ. 2π a Chu kú dao ®éng T tÝnh theo c«ng thøc: T = = 2π (1-4) k c Gäi f lµ sè dao ®éng trong mét ®¬n vÞ thêi gian (tÇn sè dao ®éng), khi ®ã: 1 k 1 c f= = = (1-5) T 2π 2π a C¸c h»ng sè A vµ α ®−îc x¸c ®Þnh tõ c¸c ®iÒu kiÖn ban ®Çu. Gi¶ sö t¹i t = 0: q(0) = q0 •2 • • q0 kq 0 vµ q (0) = q 0 ta nhËn ®−îc: A = q 0 + 2 2 vµ α = arctg • . Do ®ã: k q0 14
2 ⎛ ⎞ 2 q0 ⎜ kq 0 ⎟ q= q0 + ⋅ sin ⎜ kt + arctg • ⎟ (1-6) k2 ⎜ q0 ⎟ ⎝ ⎠ Nh− vËy, dao ®éng nhá tù do cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do lµ dao ®éng ®iÒu hoµ. Trong thùc tÕ, viÖc x¸c ®Þnh tÇn sè riªng k lµ nhiÖm vô quan träng cña bµi to¸n nghiªn cøu dao ®éng tù do. B¶ng 2 thèng kª mét sè c«ng thøc ®èi víi k cña mét sè hÖ ®¬n gi¶n. B©y giê ta biÓu diÔn nghiÖm cña bµi to¸n trªn mÆt ph¼ng pha (hÖ täa ®é dÞch chuyÓn - vËn tèc). T¹i mçi thêi ®iÓm tr¹ng th¸i cña hÖ ®−îc ®Æc tr−ng b»ng dÞch chuyÓn q vµ vËn tèc • v = q . Ta cã trong tr−êng hîp kh¶o s¸t: ⎧q = A sin( kt + α) ⎪ ⎨ • (1-7) ⎪v = q = Ak cos(kt + α) ⎩ TËp hîp c¸c ph−¬ng tr×nh nµy cã thÓ kh¶o s¸t nh− quü ®¹o pha cho ë d¹ng th«ng sè. §Ó nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh quü ®¹o pha cÇn khö t tõ hÖ (1-7) ta ®−îc: q2 v2 + 2 2 =1 (1-8) A2 A k NghÜa lµ ph−¬ng tr×nh EllÝp (H×nh 11a). §iÓm biÓu diÔn ban ®Çu (tõ ®ã chuyÓn ®éng • • ®−îc b¾t ®Çu) t−¬ng øng víi ®iÒu kiÖn ®Çu q(0) = q0 vµ q(0) = q 0 . Khi thay ®æi ®iÒu kiÖn ban ®Çu quü ®¹o pha biÓu diÔn trªn EllÝp kh¸c. TËp hîp tr¹ng th¸i cã thÓ cña hÖ ®−îc m« t¶ b»ng hÖ c¸c EllÝp (H×nh11). Gèc to¹ ®é t−¬ng øng víi tr¹ng th¸i c©n b»ng cña hÖ (q0 =0 vµ • q 0 = 0 ). §iÓm nµy lµ ®iÓm kú dÞ vµ gäi lµ t©m. v v q 0, v 0 q O q O H×nh 11 B¶ng 2: TÇn sè riªng cña mét sè m« h×nh dao ®éng Stt M« h×nh dao ®éng Ph−¬ng tr×nh k2 •• x C HÖ khèi l−îng lß C x+ x=0 C 1 m m xo ®¬n gi¶n m (q = x) 15
•• C HÖ khèi l−îng lß C y y+ y=0 C 2 m xo träng tr−êng m M (q = y) O •• g ϕ L ϕ+ ϕ=0 g 3 Con l¾c to¸n häc L L m (q = ϕ) O •• mga a ϕ+ ϕ=0 mga 4 Con l¾c vËt lý ϕ JO JO C m (q = ϕ ) •• C JO ϕ+ ϕ=0 JO C 5 Bµn quay C JO (q = ϕ) O r JO •• 1 C y+ y=0 1 C JO m1 6 HÖ khèi l−îng v¾t y 1+ JO m1 qua rßng däc m1 m1 r 2 1+ C m1 r 2 (q = y) m •• C − mgL ϕ ϕ+ ϕ=0 C − mgL 7 C¬ cÊu gâ nhÞp JO L C JO O (q = ϕ) •• 1 C x x+ x=0 1 C m JC m 8 HÖ con l¨n lß xo C r J 1+ J m O C mr 2 1 + C2 mr (q = x) •• 1 g L ϕ+ ϕ=0 1 g ϕ m JC L 9 Con l¨n trªn quü r 1+ J L ®¹o trßn C mr 2 1 + C2 JC mr (q = ϕ) 16
rC •• mgrC Nöa ®Üa trßn trªn ϕ+ ϕ=0 mgrC 10 m J C + m(r − rC ) 2 mÆt ph¼ng C J C + (r − rC ) 2 m ϕ r (q = ϕ) 1.1.2. Dao ®éng tù do cã c¶n. ë trªn ta coi sù hao t¸n n¨ng l−îng trong dao ®éng kh«ng x¶y ra vµ thiÕt lËp ®Æc tÝnh kh«ng t¾t dÇn cña dao ®éng tù do. Tuy nhiªn c¸c dao ®éng gÆp trong thùc tÕ lµ t¾t dÇn, do: ma s¸t trong c¸c bé phËn gi¶m chÊn, phanh h·m, tiÕp xóc víi m«i tr−êng xung quanh v.v... Gi¶ sö lùc t¸c dông lªn hÖ ngoµi lùc cã thÕ cßn cã lùc c¶n (nhít) phô thuéc bËc nhÊt vµo vËn tèc. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh Lagr¨ng II cã d¹ng: ⎛ ⎞ d ⎜ ∂T ⎟ ∂T ∂π ∂φ ⎜ • ⎟ − ∂q = − ∂q − • dt ⎜ ⎟ ⎝∂q ⎠ ∂q 2 2 1 • 1 1 • Víi dao ®éng nhá: T = a q ; π = cq 2 ; φ = b q . Thay vµo ph−¬ng tr×nh vµ rót 2 2 2 gän, ta ®−îc: •• • q + 2n q + k 2 q = 0 (1-9) b c ë ®©y: 2n = , k2 = a a Ph−¬ng tr×nh (1-9) lµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ dao ®éng nhá tù do t¾t dÇn cña hÖ tuyÕn tÝnh mét bËc tù do. NTQ cña (1-9) t×m ®−îc d−íi d¹ng: q = e λt . Trong ®ã λ ®−îc x¸c ®Þnh tõ ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng sau: λ2 + 2nλ + k2 = 0 (1-10) Ph−¬ng tr×nh (1-10) cho hai nghiÖm sè: λ 1, 2 = − n ± n 2 − k 2 (1-11) Ta kh¶o s¸t ba tr−êng hîp: 1.1.2a. Tr−êng hîp 1: n < k (lùc c¶n nhá). Trong tr−êng hîp nµy ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng cã nghiÖm phøc: λ 1, 2 = − n ± ik 1 ; k 1 = k 2 − n 2 ; i 2 = −1 TÝch ph©n tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh (1-9) cã d¹ng: q = e − nt (C 1 cos k 1 t + C 2 sin k 1 t ) (1-12) Hay viÕt ë d¹ng biªn ®é: q = Ae − nt sin( k 1 t + β) (1-13) 17
• • Khi xÐt ®Õn ®iÒu kiÖn ®Çu t = 0: q(0) = q0, q (0) = q 0 Ta cã: 2 ⎛• ⎞ ⎜ q 0 + nq 0 ⎟ ⎛ ⎞ ⎠ ; β = arctg C 1 = arctg⎜ q 0 k − n 2 2 ⎝ ⎟ A = C1 + C 2 = q 0 + 2 2 2 ⎜ • ⎟ k2 − n2 C2 ⎜ q + nq ⎟ ⎝ 0 0 ⎠ 2 ⎛• ⎞ ⎜ q 0 + nq 0 ⎟ ⎛ ⎞ ⎠ e − nt sin⎜ k t + arctg q 0 k − n 2 2 ⎝ ⎟ VËy: q = q0 + 2 ⎜ 1 • ⎟ (1-14) k2 − n2 ⎜ q 0 + nq ⎟ ⎝ ⎠ ë ®©y: k 1 = k 2 − n 2 gäi lµ tÇn sè dao ®éng t¾t dÇn. Chu kú dao ®éng t¾t dÇn ®−îc x¸c ®Þnh b»ng: 2π 2π T1 = = (1-15) k1 k2 − n2 Víi n kh¸ nhá ta viÕt ®−îc: T 2π ⎡ 1 ⎛ n ⎞ 2 ⎤ ⎡ 1 ⎛ n ⎞2 ⎤ T1 = ≈ ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ = T ⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥ (1-16) ⎛n⎞ 2 k ⎢ 2⎝k⎠ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ 2⎝k⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 1− ⎜ ⎟ ⎝k⎠ nt NghiÖm (1-13) cña ph−¬ng tr×nh (1-9) chØ ra r»ng: §é lÖch A e cña hÖ cã c¶n gi¶m theo thêi gian víi quy luËt hµm sè mò. Nã tiÖm cËn tíi kh«ng vµ do ®ã dao ®éng lµ t¾t dÇn (H×nh 1-1). q y1 y t O T1 T1 H×nh 1-1 Trong thùc tÕ ®Ó ®Æc tr−ng cho sù gi¶m biªn ®é ng−êi ta th−êng dïng mét ®¹i l−îng, ký hiÖu δ vµ gäi lµ ®é suy gi¶m L«garit cña dao ®éng: y 2π δ = ln ψ = ln = nT1 = (1-17) y1 2 ⎛k⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎝n⎠ Muèn x¸c ®Þnh δ b»ng thùc nghiÖm, ta dïng c«ng thøc gÇn ®óng: 18