Mô phỏng dòng chảy nhớt không nén qua miền bậc thang

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

5
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, phương pháp sai phân hữu hạn được đề xuất để giải quyết bài toán dòng chảy nhớt không nén qua một miền bậc thang trong không gian hai chiều. Trong phương trình chuyển động của dòng chảy nhớt không nén, sự kết hợp giữa vận tốc và áp suất được trình bày bằng phương pháp chiếu. Sau đó, phương pháp sai phân hữu hạn được áp dụng để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng để tìm vận tốc và áp suất của dòng chảy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mô phỏng dòng chảy nhớt không nén qua miền bậc thang

MÔ PHỎNG DÒNG CHẢY NHỚT KHÔNG NÉN QUA MIỀN BẬC THANG Nguyễn Bá Duy1, Lê Quốc Cường2,* 1. Khoa Kiến trúc, Trường Đại học Thủ Dầu Một 2. Viện Kỹ thuật Công nghệ, Trường Đại học Thủ Dầu Một *Email: cuonglq@tdmu.edu.vn TÓM TẮT Trong bài báo này, phương pháp sai phân hữu hạn được đề xuất để giải quyết bài toán dòng chảy nhớt không nén qua một miền bậc thang trong không gian hai chiều. Trong phương trình chuyển động của dòng chảy nhớt không nén, sự kết hợp giữa vận tốc và áp suất được trình bày bằng phương pháp chiếu. Sau đó, phương pháp sai phân hữu hạn được áp dụng để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng để tìm vận tốc và áp suất của dòng chảy. Kết quả mô phỏng số sẽ trình bày bài toán dòng chảy nhớt không nén qua miền tính toán hình vuông ở các hệ số Reynolds khác nhau. Các kết quả tính toán sẽ được so sánh với các kết quả tính toán tham khảo đã được công bố. Từ khóa: Dòng chảy nhớt không nén, Hệ phương trình Navier-Stokes, Động lực học chất lỏng tính toán, Phương pháp sai phân hữu hạn, Backward-facing step flow. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong thực tế, lời giải phương trình Navier-Stokes là một bài toán thường gặp trong nhiều bài toán vật lý. Trong đó, bài toán dòng chảy nhớt không nén qua một miền bậc thang là bài toán điển hình để nghiên cứu và đánh giá độ chính xác của các phương pháp số. Đã có nhiều phương pháp số khác nhau để giải quyết bài toán Navier-Stokes như phương pháp thể tích hữu hạn (Finite volume method – FVM) (S. Boivin and nnk., 2000; L. Mu and X. Ye., 2011), phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element method – FEM) (J. S. Dokken and nnk., 2020), phương pháp không lưới (Meshfree method) (T.-P. Fries and H. G. Matthies, 2006; Y. Kim and nnk., 2007, … Tuy nhiên, các phương pháp nêu trên thường giải quyết mô hình bài toán dựa trên các hàm nội suy, điều đó là tăng sự phức tạp cũng như chi phí tính toán. Trong bài báo này sẽ đề xuất sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn (Finite difference method – FDM) (S. W. Armfield, 1991) để mô phỏng bài toán dòng chảy nhớt không nén qua một miền bậc thang ở các hệ số Reynolds khác nhau. Các kết tính toán sẽ được đánh giá và so sánh với các kết quả nghiên cứu uy tín trước đây. 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER – STOKES Xét hệ phương trình Navier – Stokes trong không gian hai chiều như sau u  + p = −  ( u  ) u + u (1) t  u = 0 (2) 911
Trong đó: u ( x, t ) = ( u ( x, t ) , v ( x, t ) ) là vận tốc của lưu chất và p ( x, t ) là áp suất lưu chất. Các hệ số  và  lần lượt là khối lượng riêng và độ nhớt của lưu chất. 2.1. Phương pháp chiếu Khó khăn chủ yếu trong việc giải hệ phương trình Navier-Stokes đó là sự kết hợp của vận tốc – áp suất, để giải quyết vấn đề này, một phương pháp chiều được đề xuất bởi (Chorin, 1968) đã được sử dụng. Xét phương trình Navier-Stokes trong không gian hai chiều như sau Khó khăn chủ yếu trong việc giải hệ phương trình Navier-Stokes đó là sự kết hợp của vận tốc – áp suất, để giải quyết vấn đề này, một phương pháp chiếu được đề xuất bởi (Chorin, 1968) đã được sử dụng. Trong phương pháp chiếu, việc rời rạc hệ phương trình Navier-Stokes (1) và (2) được trình bày như sau un+1 − un  = −pn+1 −  ( un  ) un + un (3) t  un+1 = 0 (4) với điều kiện biên u n+1  = ub +1 n (5) Hệ phương trình (3) – (5) được giải theo trình tự như sau: Bước 1: Tính trực tiếp vận tốc trung gian u * từ phương trình động lượng (3) bỏ qua thành phần gradient áp suất u − u n  = − ( u n  ) u n + u n (6) t  Bước 2: Hiệu chỉnh áp suất  p n +1 =   u (7) t Đây là phương trình Poisson cho áp suất, giải phương trình này chúng ta sẽ tìm được áp suất ở bước thời gian n + 1. Bước 3: Cập nhật vận tốc ở bước thời gian n + 1 Với áp suất vừa tìm được từ phương trình (7), thay vào phương trình (8) ta có vận tốc ở bước thời gian kế tiếp n + 1 được tính như sau: t un+1 = u − p n+1 (8)  2.2. Rời rạc miền tính toán Khi giải hệ phương trình Navier – Stokes, rời rạc không gian được thực hiện trên lưới so le, với áp suất p nằm chính giữa của ô lưới, còn vận tốc u đượt đặt ở vị trí trung điểm đường phân cách ô theo phương thẳng đứng, và vận tốc v được đặt ở vị trí trung điểm đường phân cách ô theo phương ngang. Sau khi xác định vị trí của các thành phần áp suất và vận tốc của dòng chảy, miền tính toán được rời rạc theo sơ đồ sai phân trung tâm bậc hai. Xét lưới một chiều gồm N điểm lưới x1  x2    xi −1  xi  xi +1    xN −1  xN với bước lưới đều h = xi +1 − xi . Giả sử f ( x ) là một hàm bất kỳ, khi đó đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm f với độ chính xác bậc hai tại điểm xi được cho như sau: 912
fi +1 − fi −1 f' (9) 2h fi +1 − 2 fi + fi −1 f ''  (10) h2 Hình 1. Lưới so le với áp suất và các thành phần vận tốc đươc xác định tại các vị trí khác nhau 2.3. Giải thuật tổng quát Giả sử các biến của bài toán ở bước thời gian thứ n đã biết. Để giải quyết bài toán ở bước thời gian thứ n + 1, chúng ta tiến hành các bước sau: Bước 1: Cập nhật vận tốc trung gian u * từ phương trình (6). Bước 2: Giải phương trình Poisson cho áp suất (7) để tìm áp suất p n +1 . n +1 Bước 3: Tính vận tốc u sử dụng phương trình (8). 3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG SỐ Trong phần này, dòng chảy qua một miền bậc thang được mô tả như hình 2. Miền dòng chảy được cho như sau  0,30h   0, 2h , ở đây h là chiều cao của bậc. Các điều kiện biên không trượt được áp dụng cho cả biên trên và biên dưới. Trường vận tốc vào ở biên trái được mô tả là một dòng chảy song song với thành phần vận tốc theo phương ngang và được định nghĩa như sau u ( y ) = 24 y ( 0.5 − y ) với 0  y  0.5 (11) Thành phần vận tốc theo phương ngang này có biên dạng là parabol với vận tốc vào cực đại là umax = 1.5 và vận tốc vào trung bình là uavg = 1.0 . Điều kiện biên dòng ra được áp đặt cho biên phải của miền tính toán. Hệ số Reynolds được định nghĩa bởi quan hệ sau Re = uavg H /  (12) ở đây H = 2h là chiều cao của kênh. 913
Sau đây bài toán sẽ được mô phỏng ở các hệ số Reynolds khác nhau. Lưới 1201 81 được sử dụng để rời rạc miền tính toán và bước thời gian được chọn là t = 10−3 . Hình 2. Miền tính toán và điều kiện biên của bài toán Hình 3. Đường dòng của bài toán ở hệ số Reynolds khác nhau. Hình 3 trình bày đường dòng ở các hệ số Reynods khác nhau trong dãi từ 100 đến 800 . Ở hệ số Re = 100 một xoáy nhỏ được hình thành sau bậc. Kích thước của xoáy gia tăng khi tăng hệ số Reynolds. Từ khoảng Re = 400 , chúng ta thấy xuất hiện thêm một xoáy thứ hai ở biên triên của miền dòng chảy và kích thước của các xoáy này cũng gia tăng khi tăng hệ số Reynolds từ Re = 400 đến 800 . 914
Hình 4. So sánh chiều dài vùng xoáy của bài toán. Hình 5. Sai số của thành phần vận tốc theo phương ngang ở các bước lưới khác nhau cho bài toán ở hệ số Re = 100 . Chúng ta sử dụng một đại lượng vô hướng để đánh giá bài toán đó là chiều dài của vùng xoáy dưới Lr h . Hình 4 trình bày đại lượng Lr h như là một hàm của hệ số Reynolds. Để kiểm chứng độ chính xác của phương pháp được đề xuất trong nghiên cứu này, các kết quả được so sánh với các kết quả thực nghiệm và các kết quả mô phỏng số đã được công bố. Từ kết quả so sánh, chúng ta thấy sự đồng thuận khá tốt của phương pháp đề xuất với các kết quả tham khảo (S.-G. Cai, 2016; B. F. Armaly and nnk., 2006; J. Kim and P. Moin, 1985; E. Erturk, 2008). Để đánh giá ảnh hưởng của bước lưới đến độ chính xác của lời giải, chúng ta sẽ tiến hành khảo sát bài toán ở hệ số Re = 100 với các bước lưới khác nhau h = 0.1000, 0.0500, 0.0250, 0.0125 . Vì bài toán không có lời giải chính xác nên lời giải ở 915
bước lưới h = 0.0063 được sử dụng như lời giải tham khảo để tính toán sai số. Bài toán được khảo sát đến thời điểm t = 0.5 s với bước thời gian t = 5 10−5 s để đảm bảo sự ổn định của bài toán ở các bước lưới nhỏ. Hình 5 trình bày các giá trị sai số của thành phần vận tốc theo phương ngang eu 2 . Kết quả từ hình 5 cho thấy sai số có bậc hội tụ khoảng 1.38. 4. KẾT LUẬN Bài báo đã trình bày kết quả mô phỏng dòng chảy nhớt không nén qua miền bậc thang trong không gian hai chiều sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn. Các kết quả mô phỏng số được thực hiện ở các hệ số Reynolds trong dãy Re = 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800 . Các kết quả mô phỏng cho thấy tính hiệu quả và độ chính xác của phương pháp đề xuất. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. S. Boivin, F. Cayré, and J.-M. Hérard, "A finite volume method to solve the Navier–Stokes equations for incompressible flows on unstructured meshes," International Journal of Thermal Sciences, vol. 39, no. 8, pp. 806-825, 2000/09/01/ 2000. 2. J. Li, X. Lin, and Z. Chen, "FVMs for the Stationary Navier–Stokes Equations," in Finite Volume Methods for the Incompressible Navier–Stokes Equations, J. Li, X. Lin, and Z. Chen, Eds. Cham: Springer International Publishing, 2022, pp. 53-83. 3. L. Mu and X. Ye, "A finite volume method for solving Navier–Stokes problems," Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, vol. 74, no. 17, pp. 6686-6695, 2011/12/01/ 2011. 4. J. S. Dokken, A. Johansson, A. Massing, and S. W. Funke, "A multimesh finite element method for the Navier–Stokes equations based on projection methods," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 368, p. 113129, 2020/08/15/ 2020. 5. T.-P. Fries and H. G. Matthies, "A stabilized and coupled meshfree/meshbased method for the incompressible Navier–Stokes equations—Part II: Coupling," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 195, no. 44, pp. 6191-6204, 2006/09/15/ 2006. 6. Y. Kim, D. W. Kim, S. Jun, and J. H. Lee, "Meshfree point collocation method for the stream- vorticity formulation of 2D incompressible Navier–Stokes equations," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 196, no. 33, pp. 3095-3109, 2007/07/01/ 2007. 7. S. W. Armfield, "Finite difference solutions of the Navier-Stokes equations on staggered and non- staggered grids," Computers & Fluids, vol. 20, no. 1, pp. 1-17, 1991/01/01/ 1991. 8. A. J. Chorin, "Numerical Solution of the Navier-Stokes Equations," Mathematics of Computation, vol. 22, no. 104, pp. 745-762, 1968. 9. S.-G. Cai, "Computational fluid-structure interaction with the moving immersed boundary method," Université de Technologie de Compiègne, 2016COMP2276, 2016. 10. B. F. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, and B. Schönung, "Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow," Journal of Fluid Mechanics, vol. 127, pp. 473-496, 2006. 11. J. Kim and P. Moin, "Application of a fractional-step method to incompressible Navier-Stokes equations," Journal of Computational Physics, vol. 59, no. 2, pp. 308-323, 1985/06/01/ 1985. 12. E. Erturk, "Numerical solutions of 2-D steady incompressible flow over a backward-facing step, Part I: High Reynolds number solutions," Computers & Fluids, vol. 37, no. 6, pp. 633-655, 2008/07/01/ 2008. 916