Một điều tra khoa học luận về các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC<br /> <br /> HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION<br /> <br /> JOURNAL OF SCIENCE<br /> <br /> KHOA HỌC GIÁO DỤC<br /> EDUCATION SCIENCE<br /> ISSN:<br /> 1859-3100 Tập 15, Số 4 (2018): 29-39<br /> Vol. 15, No. 4 (2018): 29-39<br /> Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn<br /> <br /> MỘT ĐIỀU TRA KHOA HỌC LUẬN<br /> VỀ CÁC KHÁI NIỆM ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH<br /> Trần Đức Thuận1*, Nguyễn Chí Thành2<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> Khoa Giáo dục Tiểu học - Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh<br /> Khoa Sư phạm - Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội<br /> <br /> Ngày nhận bài: 22-02-2018; ngày nhận bài sửa: 09-4-2018; ngày duyệt đăng: 23-4-2018<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Thực tiễn dạy học và nghiên cứu đã chỉ ra nhiều vấn đề liên quan đến các khái niệm độ dài,<br /> diện tích, thể tích. Một điều tra khoa học luận về các đại lượng hình học đã được thực hiện bằng<br /> cách tổng hợp các công trình nghiên cứu khoa học luận đã có, nghiên cứu thêm về lịch sử toán học<br /> và một số giáo trình hình học. Bài báo đã chỉ ra phạm vi tác động, những bài toán gắn liền, những<br /> đối tượng liên quan, những cách tiếp cận các đại lượng hình học. Năm chướng ngại gắn với các<br /> đại lượng hình học cũng được xác định, liên quan đến khái niệm vô hạn, đặc trưng kép hình - số,<br /> miền trong của hình, khái niệm bằng nhau, định nghĩa đại lượng.<br /> Từ khóa: khoa học luận, đại lượng hình học, độ dài, diện tích, thể tích.<br /> ABSTRACT<br /> An epistemological investigation of concepts of length, area, volume<br /> Practical teaching and research have shown many issues related to the concepts of length,<br /> area, volume. An epistemological investigation of geometric quantities was made by synthesizing<br /> existing epistemological studies, studying books of mathematical history and geometry. The paper<br /> presents the scope of impact, problems involved, related objects and approaches to geometric<br /> quantities. We also defined five obstacles associated with geometric quantities which are related to<br /> the infinite, interior domain, concept of equality, definition of geometric quantities.<br /> Keywords: epistemological, geometric quantities, length, area, volume.<br /> <br /> 1.<br /> <br /> Đặt vấn đề<br /> Thực tiễn dạy học các đại lượng hình học đã cho thấy một số sai lầm mà học sinh<br /> tiểu học thường gặp, trong đó có thể kể đến sự nhầm lẫn giữa các đơn vị đo đại lượng hình<br /> học; vận dụng không chính xác các công thức để tính chu vi, diện tích, thể tích. Việc vận<br /> dụng công thức tính thể tích vào giải quyết bài toán thực tế liên quan đến thể tích một số<br /> khối hình cụ thể cũng gây ra những khó khăn nhất định với giáo viên tiểu học tương lai<br /> (Trần Đức Thuận, 2017a), với nhiều học sinh và giáo viên tiểu học (Trần Đức Thuận,<br /> 2017b). Những vấn đề được liệt kê ở trên có thể bắt nguồn từ quan niệm của người dạy,<br /> người học đối với các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích. Theo Annie Bessot, Comiti, Lê<br /> *<br /> <br /> Email: thuantd@hcmup.edu.vn<br /> <br /> 29<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM<br /> <br /> Tập 15, Số 4 (2018): 29-39<br /> <br /> Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009, tr. 91), “phân tích khoa học luận lịch sử” nhắm đến<br /> việc làm rõ “những quan niệm có thể gắn liền với tri thức”. Vì vậy, để xác định các quan<br /> niệm và chướng ngại gắn với các đại lượng hình học, bài báo này trình bày những kết quả<br /> điều tra khoa học luận về các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích bằng cách “nghiên cứu<br /> những điều kiện cho phép nảy sinh tri thức khoa học và sự tiến triển của tri thức” thông<br /> qua một số tài liệu lịch sử Toán học và công trình nghiên cứu didactique có liên quan.<br /> 2.<br /> Sơ nét về sự hình thành và tiến triển của các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích<br /> trong lịch sử<br /> Lịch sử phát triển của loài người có thể chia thành 4 giai đoạn: cổ đại, trung đại, cận<br /> đại và hiện đại. Theo Baltar (1996, tr. 17), bối cảnh lịch sử thời trung đại không tạo được<br /> sự tiến bộ đáng kể nào cho khoa học nói chung, toán học nói riêng. Các khái niệm độ dài,<br /> diện tích, thể tích nảy sinh và tiến triển chủ yếu ở các giai đoạn: cổ đại, cận đại và hiện đại.<br /> 2.1. Độ dài, diện tích, thể tích ở thời cổ đại<br /> Luận án của Anwandter-Cuellar (2012, tr. 45 - 46) có đề cập đến việc phân biệt đại<br /> lượng và số, hình học và số học ở thời cổ đại:<br /> Nếu số lượng là rời rạc - và vì thế có thể đếm được - đó là một số; ngược lại, nếu số lượng là<br /> liên tục - và do đó đo được - đó là một đại lượng. Các số và các đại lượng tạo thành các lớp<br /> tách rời và độc lập, kết quả là các nghiên cứu tương ứng khác nhau và không thể giản lược<br /> […] Hình học nghiên cứu các đại lượng, số học nghiên cứu các số.<br /> <br /> Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích nảy sinh từ nhu cầu đo đạc, tính toán trong<br /> nông nghiệp và xây dựng. Khái niệm diện tích gắn liền với 3 bài toán: tính diện tích, so<br /> sánh diện tích, cầu phương một hình (Baltar, 1996, tr. 14). Khái niệm thể tích gắn liền với<br /> 3 bài toán: tính thể tích, so sánh thể tích, gấp đôi khối lập phương. Các nền văn minh cổ<br /> đại ở Ai Cập, Babylon, Trung Hoa, Hi Lạp… đều đạt được nhiều thành tựu đáng kể có liên<br /> quan các bài toán trên.<br /> Phân tích thành tựu toán học thời kì cổ đại, Baltar (1996, tr.16) khẳng định “ở Ai<br /> Cập, Babylon, Trung Hoa, đã có một bước chuyển từ hình sang số đối với khái niệm diện<br /> tích”, nhưng người Hi Lạp có cách “tiếp cận hình học đối với khái niệm diện tích”, “bài<br /> toán diện tích được đặt trong phạm vi hình và không có bước chuyển sang số”. Nhận xét<br /> này của Baltar có thể mở rộng cho các khái niệm độ dài, thể tích vì người Ai Cập,<br /> Babylon, Trung Hoa cổ đại đã tìm ra các công thức, quy tắc tính chu vi, diện tích, thể tích<br /> của nhiều hình thường gặp, được đề cập trong công trình của Katz (2009).<br /> Người Hi Lạp cổ đại đã đạt được bước tiến xa, rực rỡ khi xây dựng hình học thành<br /> một khoa học suy diễn theo tư tưởng của phương pháp tiên đề mà bộ “Cơ bản” của Euclide<br /> là tác phẩm kinh điển. Những tiên đề Euclide đã đưa ra cho phép giải quyết nhiều bài toán<br /> về độ dài, diện tích, thể tích, trong đó có bài toán so sánh diện tích, thể tích một số hình,<br /> cầu phương hình đa giác theo quan điểm hình học và không có số đo nào xuất hiện trong<br /> toàn bộ tác phẩm. Phương pháp vét cạn của Eudoxus đã được Euclide sử dụng để chứng<br /> <br /> 30<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM<br /> <br /> Trần Đức Thuận và tgk<br /> <br /> minh nhiều kết quả về diện tích, thể tích, mặc dù phương pháp vét cạn này không cung cấp<br /> cách khám phá các công thức để bắt đầu. Bằng cách chứng minh A > B và B > A đưa đến<br /> các mâu thuẫn, Euclide kết luận A = B. Với cách chứng minh này, Euclide đã sử dụng các<br /> hình nội tiếp (ngoại tiếp), nghĩa là các hình hình học được chứng minh về tỉ lệ diện tích<br /> (thể tích) không hoàn toàn tách biệt, mà có thể là hình này được chứa trong hình kia. (Katz,<br /> 2009, tr. 84-85)<br /> Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích đã đóng góp vào sự tiến triển của toán học<br /> thời cổ đại. Vấn đề đo đạc độ dài góp phần phát triển hình học, lượng giác. Chẳng hạn,<br /> kiến thức về hai tam giác đồng dạng có thể sử dụng để đo bề rộng của con sông (Katz,<br /> 2009, tr. 158). Độ dài, diện tích còn được sử dụng như một công cụ để giải nhiều phương<br /> trình bậc hai. Trong xu hướng này, một số dương được gắn với một độ dài, một bình<br /> phương được gắn với một diện tích (Katz, 2009, tr. 8). Như một số nhà toán học của giai<br /> đoạn trước, Euclide cũng dùng hình học, đặc biệt là độ dài, diện tích, thể tích và các tính<br /> chất, để tìm một số kết quả thuộc phạm vi số học và đại số dưới dạng hình học (các hằng<br /> đẳng thức đại số, các tỉ lệ thức...). Tuy nhiên, các khái niệm độ dài, diện tích đã không<br /> được định nghĩa.<br /> 2.2. Độ dài, diện tích, thể tích ở thời cận đại<br /> Những nhà toán học của thế kỉ XVII được thừa hưởng nhiều quy tắc tính diện tích,<br /> thể tích từ thời cổ đại. Tuy nhiên, cách chứng minh bằng phương pháp vét cạn ít thể hiện<br /> cách thức xác định diện tích của hình được giới hạn bởi các đường cong hay thể tích của<br /> khối tròn xoay. Ý tưởng rõ ràng duy nhất được truyền lại từ thời Hi Lạp là một số miền cần<br /> phải được chia thành những miền rất nhỏ mà diện tích, thể tích của chúng đã biết. (Katz,<br /> 2009, tr. 514)<br /> Từ thế kỉ XVII, cơ học và thiên văn học phát triển mạnh. Độ dài của các đường conic<br /> (parabol, elip, hyperbol), diện tích của các hình giới hạn bởi các đường conic, thể tích của<br /> các khối tròn xoay được đặc biệt quan tâm. Nhiều thành tựu liên quan các đại lượng hình<br /> học gắn với tên tuổi của những nhà khoa học có tiếng trong lĩnh vực cơ học, thiên văn học,<br /> những lĩnh vực hiện nay thuộc chuyên ngành Vật lí học.<br /> Phương pháp tính diện tích, thể tích đáng chú ý ở thời cận đại là phương pháp vi<br /> phân infinitesimals của Kepler (Katz, 2009, tr. 514-515), phương pháp vô ước indivisible<br /> của Galileo mà Cavalieri, Torricelli đã góp phần hoàn thiện và phát triển.<br /> Galileo sử dụng phương pháp vô ước indivisible để chứng minh thể tích của “tô súp”<br /> (giới hạn bởi mặt bán cầu và mặt trụ có cùng đáy) bằng với thể tích của hình nón có cùng<br /> đáy và chiều cao (Katz, 2009, tr. 515). Trong hình minh họa, “tô súp” được Galileo tính<br /> thể tích chính là khối tròn xoay nhận được khi phần được tô màu (phần thừa của hình<br /> vuông so với một phần tư hình tròn) quay tròn quanh trục CF. Điều đáng lưu ý ở đây, “tô<br /> súp” có hình dạng vật chứa và thể tích của nó được Galileo quan niệm khác biệt với thể<br /> <br /> 31<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM<br /> <br /> Tập 15, Số 4 (2018): 29-39<br /> <br /> tích của hình trụ có chiều cao CF và đáy là hình tròn đường kính AB, không tính khối bán<br /> cầu đường kính AB.<br /> <br /> Hình 1. Mặt cắt đứng của “tô súp” được Galileo tính thể tích<br /> Nổi bật ở thời cận đại là việc Cavalieri, học trò của Galileo, là người đầu tiên hoàn<br /> thiện lí thuyết về phương pháp vô ước indivisible để giải quyết bài toán so sánh, tìm tỉ số<br /> diện tích, thể tích hai hình. Cavalieri xem một hình phẳng được tạo thành từ nhiều đoạn<br /> thẳng song song (các indivisible của hình phẳng), một hình khối được tạo thành từ nhiều<br /> thiết diện phẳng (hình phẳng) song song (các indivisible của hình khối). Tỉ số diện tích hai<br /> hình phẳng tìm được thông qua tỉ số độ dài các indivisible. Tỉ số thể tích hai khối tìm được<br /> thông qua tỉ số diện tích các indivisible. Torricelli, một học trò khác của Galileo, đã trình<br /> bày nghịch lí có thể xuất hiện do lựa chọn các indivisible. Giải pháp của Torricelli về cơ<br /> bản trở về phương pháp vi phân infinitesimals, cụ thể là xem xét các đoạn thẳng indivisible<br /> trên thực tế có độ dày (Katz, 2009, tr. 516-517).<br /> Phương pháp vô ước indivisible là một công cụ có giá trị để tính diện tích, thể tích,<br /> nhưng đã gây ra nhiều cuộc tranh luận do những chướng ngại về bản chất vô hạn, phần tử<br /> indivisible, tính liên tục. Những bài toán tính diện tích, thể tích ở thời kì này góp phần thúc<br /> đẩy sự ra đời và phát triển của phép tính vi - tích phân. Tuy nhiên, các khái niệm độ dài,<br /> diện tích, thể tích vẫn chưa được định nghĩa.<br /> 2.3. Độ dài, diện tích, thể tích ở thời hiện đại<br /> Giai đoạn hiện đại, toán học đã đạt được nhiều thành tựu to lớn. Phép tính tích phân<br /> trở thành công cụ hữu hiệu để giải các bài toán tính độ dài, diện tích, thể tích. Bài toán gấp<br /> đôi khối lập phương, cầu phương hình tròn lần lượt được Wantzel (1837) và Lindemann<br /> (1882) chứng minh không thể thực hiện chỉ bằng thước kẻ và com-pa trong phạm vi hình<br /> học. Cuối thế kỉ XIX, hàng loạt hệ tiên đề xuất hiện cho các cấu trúc toán học khác nhau.<br /> Các khái niệm nhóm, trường, không gian vectơ, tập hợp các số nguyên dương, số thực...<br /> đều được tiên đề hóa. Các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích được nhiều nhà toán học<br /> quan tâm xây dựng. Trong phạm vi giới hạn của bài báo, các khái niệm độ dài, diện tích,<br /> thể tích chỉ được xem xét trong phạm vi hình học Euclide. Những công trình nghiên cứu đã<br /> có chỉ ra hai cách tiếp cận sau đây:<br /> 2.3.1. Cách tiếp cận trong hình học<br /> Cách tiếp cận trong hình học đối với các đại lượng có thể được tìm thấy trong các tác<br /> phẩm “Cơ sở hình học” của Hilbert (1899), “Geometry: Euclid and beyond” của<br /> Hartshorne (2000).<br /> <br /> 32<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM<br /> <br /> Trần Đức Thuận và tgk<br /> <br /> Không gắn với các công thức đại số, chúng tôi không tìm thấy trong công trình của<br /> Hilbert (1899), Hartshorne (2000) định nghĩa độ dài đoạn thẳng, ngoại trừ nhóm các tiên<br /> đề về tương đẳng (bằng nhau) đối với các đoạn thẳng, các góc, các hình tam giác và chứng<br /> minh quan hệ tương đẳng giữa hai đoạn thẳng được Hilbert (1899) xác lập. Hartshorne<br /> (2000, tr. 196) lưu ý thuật ngữ “bằng nhau” mà Euclide sử dụng tương ứng với “tương<br /> đẳng giữa các đoạn thẳng, các góc”, “cùng diện tích”, “cùng thể tích”.<br /> Các hình được sử dụng khi xây dựng khái niệm diện tích có sự khác biệt trong tác<br /> phẩm của Hilbert (1899) và Hartshorne (2000). Dù Hilbert (1899) có định nghĩa về miền<br /> trong, miền ngoài của đa giác, trong phần xây dựng khái niệm diện tích, hình đa giác được<br /> xét chỉ có các cạnh. Khái niệm diện tích được Hartshorne (2000, tr. 196-197) xây dựng<br /> trên những hình có cả các cạnh và miền trong của hình. Cách Hartshorne giải thích các<br /> thuật ngữ “hình chóp”, “hình lăng trụ”, “hình hộp” cho thấy các đa diện này không là khối<br /> đặc, không bao gồm miền trong. Hai nửa của một hình hộp tương đẳng với nhau nhưng<br /> không thể chồng lên nhau trong không gian 3 chiều. (Hartshorne, 2000, tr. 226-227)<br /> Diện tích đa giác được Hilbert (1899) và Hartshorne (2000, tr. 197) xây dựng từ các<br /> khái niệm đa giác đồng phân (équydécomposables), đa giác đẳng diện (đồng phân qua<br /> phần bù) (superficie égale; équicomplémentaires; égal par complément).<br /> Hai hình không chồng lấn nếu chúng không có điểm trong chung.<br /> Hai hình P và P’ là đồng phân nếu mỗi hình có thể viết dưới dạng hợp không chồng lấn của<br /> các tam giác: P  T1  T2  ...  Tn và P '  T1'  T2'  ...  Tn' , trong đó: với mỗi i, hai tam giác Ti<br /> và Ti ' tương đẳng.<br /> Hai hình P và P’ là đẳng diện nếu tồn tại các hình Q và Q’ sao cho: P và P’ không chồng<br /> lấn; Q và Q’ không chồng lấn; Q và Q’ là đồng phân; P  Q và P ' Q ' là đồng phân.<br /> <br /> Quan hệ đồng phân, đẳng diện được chứng minh là những quan hệ tương đương<br /> (thỏa đồng thời các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu) trên tập hợp các đa giác. Những<br /> mệnh đề về sự đồng phân, đẳng diện (đồng phân qua phần bù) của các hình bình hành,<br /> hình tam giác mà Hilbert (1899), Hartshorne (2000) đã trình bày, chứng minh cho phép<br /> thực hiện kĩ thuật tách-ghép (dissection) trong phạm vi hình học để tạo hình mới đồng<br /> phân với hình đã cho, chứng minh định lí Pythagore, so sánh diện tích hai đa giác, thiết lập<br /> công thức tính diện tích một số hình đa giác:<br /> (1)<br /> <br /> (2)<br /> (1)<br /> <br /> (1)<br /> <br /> (2')<br /> (1')<br /> <br /> (2) (2')<br /> <br /> (1')<br /> <br /> (2)<br /> <br /> (2')<br /> (1')<br /> <br /> Hình 2. Các hình đồng phân có thể dùng để thiết lập các công thức tính diện tích<br /> Theo Hartshorne (2000, tr. 199), sự tương đương giữa khái niệm đồng phân và đẳng<br /> diện (đồng phân qua phần bù) trong mặt phẳng Hilbert bất kì thỏa mãn tiên đề song song<br /> (P) và tiên đề Archimède (A) có thể được chứng minh bằng cách sử dùng hàm độ đo diện<br /> tích với giá trị trong trường số học đoạn thẳng. Tuy nhiên, để có cơ sở so sánh các nửa của<br /> <br /> 33<br /> <br />