Một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết giới thiệu tóm tắt một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định. Một số ví dụ minh họa về kỹ thuật đối ngẫu được giới thiệu và bình luận nhằm đánh giá các nghiên cứu phát triển tiếp theo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 238-243, DOI 10.15625/vap.2019000284 Một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định Nguyễn Đông Anh(1,2,3*), Nguyễn Cao Thắng(1,2) (1) Viện Cơ học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam (2) Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội (3) Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam tuyến tính hóa kdn và hệ số trở về như sau 1. Mở đầu dn AB AB Thiên nhiên và cuộc sống luôn chứa đựng các kdn 1 p p ; kdn (4) dn dn khuynh hướng đối ngẫu nhau. Đó là các yếu tố có tính B2 A2 chất trái ngược nhau, hoặc bổ trợ cho nhau. Do vậy, việc Giải hệ phương trình (4) được nghiên cứu khoa học cũng cần phản ánh được tính chất này. Gần đây, cách tiếp cận đối ngẫu đã được đề xuất để 1 p AB 1 p nghiên cứu đáp ứng của các hệ phi tuyến [1,2] và đã kdn , dn r2 (5) 1 r 2p B2 1 r 2p được phát triển trong nhiều công trình, ví dụ [3-17]. Một ưu điểm quan trọng của cách tiếp cận đối ngẫu đối với trong đó r là đại lượng đặc trưng cho mức độ phụ một vấn đề khoa học là luôn xem xét hai khía cạnh khác thuộc của A và B, xác định theo công thức nhau (đối ngẫu) của vấn đề; điều này cho phép việc nghiên cứu trở nên hài hòa và phản ánh được thực chất AB hơn. Bài báo giới thiệu tóm tắt một số kỹ thuật đối ngẫu r (6) ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định. Một số ví A2 B2 dụ minh họa về kỹ thuật đối ngẫu được giới thiệu và bình luận nhằm đánh giá các nghiên cứu phát triển tiếp theo. Trong bài báo [17] giá trị trọng số p được chọn theo công thức 2. Thay thế tương đương đối ngẫu 1 r2 p (7) Trong Cơ học ta thường hay thay gần đúng đối tượng 1 r2 A được mô tả bằng hàm A(x) bằng đối tượng B được mô Có thể nhận thấy từ (6) và (7) giá trị của trọng số p tả bằng hàm B(x). Như vậy, ta sẽ thay A(x) xấp xỉ bằng phụ thuộc vào đại lượng r 2 mà là chỉ số cho mức độ khác kttB(x) với hệ số thay thế tương đương ktt được xác định biệt giữa A và B. Thay (7) vào (5) sẽ cho giá trị của hệ số bằng tiêu chuẩn bình phương tối thiểu: thay thế tương đương 2 Stt A(x ) ktt B(x ) min (1) 2r 2 AB ktt kw (8) 1 r 4 B2 trong đó chỉ số tt viết tắt của chữ thông thường, < . > là phép lấy trung bình tiền định hoặc trung bình xác suất. Như vậy sử dụng tiêu chuẩn thay thế đối ngẫu (3) với Trong trường hợp B(x) là hàm tuyến tính hệ số thay thế giá trị trọng số xác định theo (7), (6) hàm A(x) được thay tương đương ktt thường được gọi là hệ số tuyến tính hóa thế tương đương bằng kdnB(x) trong đó hệ số thay thế tương đương. Với cách tiếp cận đối ngẫu cho bài toán tương đương kdn xác định theo (8). Với cách thay thế thay thế, ta xét dạng mở rộng của tiêu chuẩn (1) thành trên ta không phải làm việc với hàm A(x) nữa mà chỉ phải tiêu chuẩn đối ngẫu như sau làm việc với hàm B(x). Đặc biệt khi khi B(x) là hàm 2 tuyến tính của x ta sẽ đưa bài toán phi tuyến về bài toán Sdn 1 p A(x ) kdn B(x ) tuyến tính dễ giải hơn nhiều. 2 (2) p kdn B(x ) A(x ) min dn kdn , dn 3. Thay thế tương đương địa phương-toàn thể trong đó chỉ số dn ký hiệu đối ngẫu, dn là hệ số trở về, p Năm 2012, dựa trên cách tiếp cận đối ngẫu, N. D. là trọng số của sự thay thế trở về được chuẩn hóa Anh, L.X. Hung và L. D. Viet [5] đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương địa phương – tổng thể cho các hệ 0 p 1 (3) ngẫu nhiên phi tuyến bằng cách kết hợp hai phạm trù địa Với p=0 tiêu chuẩn (3) trở thành tiêu chuẩn (2). Giả phương và tổng thể. Giả sử ta thay hàm ngẫu nhiên A(x) sử cho trước trọng số p, từ điều kiện cực tiểu (2) dẫn tới xấp xỉ bằng kB(x) với hệ số thay thế k được xác định các phương trình xác định hệ số thay thế tương đương bằng tiêu chuẩn bình phương tối thiểu:
Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Cao Thắng 2 b S A(x ) kB(x ) min (9) 1 k [[y(x )]]s [y(x )]r dr b s s (17) Viết chi tiết (7) ta có 1 b 1 r y(x )dxdr 2 b s s r a a A(x ) kB(x ) P(x )dx min (10) k Ví dụ với y(x) = xn và a=0, b=1 ta có r Trong đó P(x ) là hàm mật độ xác suất (PDF) của x . n 1 1 1 r rn [x ]r x ndx xn 1 (18) Suy ra: r 0 r (n 1) 0 n 1 A(x )B(x ) Giá trị trung bình địa phương-toàn thể tại lát cắt s k (11) của hàm xn sẽ là B 2 (x ) 1 Do khoảng tích phân trong (10) là ( , ), tiêu n 1 1 1 rn [[x )]]s [y(x )]r dr dr chuẩn (10) có thể được gọi là tiêu chuẩn bình phương tối 1 s s 1 s s n 1 thiểu toàn thể. Với giả thiết cho rằng phép lấy tích phân (19) 1 1 (1 s n 1 ) cần tập trung hơn để cho nghiệm chính xác hơn, Anh và rn 1 Di Paola vào năm 1995 đề nghị tiêu chuẩn bình phương (n 1)2 (1 s ) s (n 1)2 (1 s) tối thiểu địa phương Ta thấy rằng giá trị trung bình địa phương-toàn thể r x tại lát cắt s của hàm xn là một hàm của s, và khi s = 1 giá [(A(x ) kB(x ))2 ] (A(x ) kB(x ))2P(x )dx min trị này sẽ bằng giá trị trung bình thông thường của xn k r x 1 [[x n ]]1 xn (20) (12) (n 1) với r là một số dương nào đó, x là độ lệch chuẩn của x Như vậy giá trị trung bình địa phương-toàn thể tại lát và [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương cắt s là sự mở rộng của giá trị trung bình thông thường và r x chứa giá trị trung bình thông thường như trường hợp [. ] (.)P (x )dx (13) riêng. r x Tương tự (11) từ (12) ta có 5. Giá trị trung bình trọng số đối ngẫu A(x )B(x ) Một sự phát triển khác của cách lấy trung bình thông k (r ) (14) thường là cách lấy trung bình trọng số. Ta xét hàm x(t) B 2 (x ) trên miền từ 0 đến vô cùng. Giá trị trung bình trọng số của x(t) được xác định như sau Ta thấy từ (12) và (13) hệ số k sẽ là hàm số của r. Sử dụng quan điểm đối ngẫu ta có thể chọn k bằng giá trị W (x (t )) h(t )x (t )dt (21) 0 trung bình toàn thể như sau [5]: s trong đó h(t) thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa 1 k k (r ) Lim k (r )dr (15) d h(t )dt 1 (22) s s 0 0 trong đó là ký hiệu giá trị trung bình thông thường Hàm số h(t) gọi là hàm trọng số. Phép lấy trung bình cho hàm số. Ta thu được một tiêu chuẩn thay thế tương trọng số được sử dụng nhiều trong toán học cũng như đương mới gọi là tiêu chuẩn thay thế địa phương – toàn trong cuộc sống thường ngày. Sự hiệu quả của nó phụ thể. Theo tiêu chuẩn này hàm ngẫu nhiên A(x) được thay thuộc rất nhiều vào cách chọn hàm trọng số. Trong bài tương đương bằng hàm kB(x) với hệ số thay thế k được báo này hàm trọng số đối ngẫu sau đây được giới thiệu xác định theo (13), (14), (15). [10] h(t ) s 2 2te s t ; s, t 0 (23) 4. Giá trị trung bình địa phương-toàn thể Như ta thấy hàm trọng số đối ngẫu (23) thu được Giả sử y(x) là hàm khả tích của xє[a, b]. Ta có thể bằng cách lấy tích của hàm đồng biến t với hàm nghịch đưa ra các giá trị trung bình địa phương-toàn thể của y(x) biến e s t . Kết quả là hàm trọng số đối ngẫu (23) vừa như sau. Ta xác định giá trị trung bình địa phương tại lát đồng biến vừa nghịch biến (xem Hình 1). cắt r của hàm y(x) với r є [a,b] theo công thức r 1 [y(x )]r y(x )dx (16) r a a Giá trị trung bình địa phương-toàn thể tại lát cắt s của hàm y(x) với s є [a,b] theo công thức
Một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định Hình 1. Hàm trọng số đối ngẫu (23) Dựa trên hàm trọng số đối ngẫu (23) một giá trị trung Hình 3. Plots of cos n s versus n for s=2 bình trọng số mới được đề nghị áp dụng cho hàm số ω-tuần hoàn x(ωt) như sau s t Ws (x ( t )) x( t) s s 2 2te x ( t )dt 0 (24) s s2 e x ( )d 0 Ta sử dụng hai ký hiệu cho giá trị trung bình trọng số (24) để dùng chúng trong các trường hợp tùy theo sự tiện lợi. Chỉ số s dùng để phân biệt với giá trị trung bình thông thường thu được khi cho s→0. Sử dụng phép biến đổi Laplace ta có s t Ws (cos n t ) s 2 2te cos(n t )dt Hình 4. Plots of sin n s versus s for n=2 0 s 2 n 2 (25) s s2 cos(n )e d s2 2 0 (s n 2 )2 s t Ws (sin(n t )) s 2 2te sin(n t )dt 0 2sn (26) s s2 sin(n )e d s2 2 2 2 0 (s n ) Đồ thị của cos n s theo s và n được cho trên các Hình 2-3. Ta thấy rằng giá trị trung bình trọng số (25) có một giá trị cực tiểu tại 0
Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Cao Thắng Ws (x ( t )) Ws (x 0 (x ic cos i t x is sin i t )) ta tính i 1 3 x0 (x icWs (cos i t ) x isWs (sin i t )) (29) A2 2 x6 15 2 x2 , i 1 2 2 s2 i2 2is AB x4 3 x2 , (34) x0 s (x ic 2 x is 2 ) (s i 2 )2 (s i 2 )2 3 i 1 B2 x2 ,r2 Từ (29) thu được giá trị trung bình thông thường của 5 hàm x(ωt) bằng cách cho s=0 Sử dụng (34) để tính giá trị trọng số p theo (7) và hệ x( t) W0 (x ( t )) x 0 số thay thế tương đương theo (8) sẽ cho (30) p 1/ 4 (35) So sánh (29) với (30) ta thấy rằng giá trị trung bình 45 trọng số có chứa các thông tin về các thành phần điều hòa kw x2 (36) bậc cao của hàm ω-tuần hoàn x(ωt) (cụ thể là các hệ số 17 xic và xis) trong khi giá trị trung bình thông thường không Thay (36) vào (33) được phương trình xác định chứa các thong tin này. Từ đó có thể nhận dịnh rằng giá momen đáp ứng bậc 2 của hệ Duffing (31) trị trung bình trọng số có thể cho các kết quả chính xác 2 45 2 hơn về hàm x(ωt). x2 2 0 x2 0 17 w w 4h 6. Một số ví dụ ứng dụng hay 2 Có nhiều ví dụ khác nhau về ứng dụng của các kỹ 17 45 x2 2 0 4 0 (37) thuật đối ngẫu trình bày ở trên. Trước hết kỹ thuật thay w 90 17 h thế tương đương đối ngẫu đã được áp dụng để phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến cho hệ cơ học 1 bậc tự do Để áp dụng kỹ thuật thay thế kinh điển (thông và nhiều bậc tự do trong [3,4,17]; áp dụng để tính toán thường) ta lấy cực tiểu sai số thay thế x 3 bằng kclx các tham số tối ưu của bộ giảm chấn TMD cho hệ kết cấu ( x3 kcl x )2 min (38) có cản [6,8]; áp dụng để phân tích dao động tuần hoàn kcl (flutter) của mô hình dao động uốn xoắn cho thiết diện Suy ra k 3 x2 (39) cánh máy bay [11]; áp dụng để phân tích bài toán nhiệt vệ tinh quỹ đạo thấp [15,16]. Kỹ thuật trung bình trọng Thay (39) vào (33) tìm được phương trình xác định số đối ngẫu được áp dụng để phân tích tần số dao động momen đáp ứng bậc 2 x2 của hệ Duffing (31) theo kỹ phi tuyến cho nhiều hệ khác nhau [14,18,19], cũng như cl cho kết cấu dầm micro và nano [20,21]. Kỹ thuật thay thế thuật thay thế tương đương kinh điển tương đương dịa phương-toàn thể được áp dụng để phân 2 2 tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến cho hệ cơ học 1 và 3 x2 2 o x2 0 (40) GL GL 4h nhiều bậc tự do trong [5,9]; áp dụng để tính toán các tham số tối ưu của bộ giảm chấn TMD cho hệ kết cấu có So sánh sai số của các mômen đáp ứng x2 tính theo w cản [12]; Kỹ thuật tuyến tính hóa điều chỉnh-một dạng của kỹ thuật đối ngẫu-được áp dụng để phân tích dao kỹ thuật thay thế đối ngẫu và x2 tính theo kỹ thuật cl động ngẫu nhiên phi tuyến cho kết cấu dầm [7,13]. Trong thay thế thông thường của hệ Duffing với bài báo này chúng ta chỉ xét minh họa hệ sau đây. h 0.5 ; 1; 2 và γ thay đổi được cho trong Dao động phi tuyến trong hệ Duffing 0 Ta xét hệ sau Bảng 1, trong đó x2 mômen đáp ứng chính xác cx 2 3 x 2hx 0 x x t (31) [xem 17]. Ta thấy rằng sai số nghiệm đã được giảm khá nhiều khi tính phi tuyến của hệ tăng dần. trong đó h, 0 , , là các hằng số dương, t là quá Bảng 1. So sánh các lời giải gần đúng của hệ Duffing trình ngẫu nhiên ồn trắng có trung bình bằng không và (kỹ thuật thay thế đối ngẫu) cường độ đơn vị. Sai x2 x2 Sai số x2 Đặt A x 3 , B x , ta sẽ thay A x 3 k wB k wx số cx cl (%) w (%)) và đưa phương trình phi tuyến (31) về phương trình tuyến tính 0.01 0.9721 0.9717 0.05 0.9748 0.28 2 0.05 0.889 0.883 0.64 0.894 0.62 x 2hx ( 0 k w )x t (32) 0.1 0.818 0.805 1.49 0.821 0.47 Từ đó sẽ thu được phương trình xác định mômen đáp 0.5 0.579 0.549 5.29 0.570 1.59 ứng bậc 2 [17] 1.0 0.468 0.434 7.19 0.454 2.95 2 kw x 2 2 0 x2 (33) 5.0 0.254 0.227 10.74 0.240 5.76 0 4h 10.0 0.189 0.167 11.77 0.176 6.62 Để áp dụng kỹ thuật thay thế tương đương đối ngẫu
Một số kỹ thuật đối ngẫu ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định Kỹ thuật thay thế tương đương địa phương-toàn thể momen đáp ứng bậc 2 x2 của hệ Duffing (31) như dựa trên giả thiết rằng các giá trị của dịch chuyển và vận GL tốc của hệ phi tuyến chỉ tập trung trong một miền hữu sau theo kỹ thuật thay thế tương đương địa phương-toàn hạn. Giả thiết này có thể được minh họa bằng đồ thị của thể hàm phân bố xác suất của hệ Dufing (26) được cho trên 2 2 hình 6. 2.4119 x2 2 o x2 0 (46) GL GL 4h So sánh sai số của các mômen đáp ứng x2 tính GL theo kỹ thuật thay thế địa phương-toàn thể và x2 tính cl theo kỹ thuật thay thế thông thường của hệ Duffing với o 1, h 0.25, 1 ; hệ số đàn hồi phi tuyến 0.1 0.075 p thay đổi được cho trong Bảng 2, trong đó x2 cx 0.05 2 0.025 mômen đáp ứng chính xác [xem 5]. Ta cũng thấy rằng sai 0 0 số nghiệm đã được giảm khá nhiều khi tính phi tuyến của -2 x hệ tăng dần. 0 Bảng 2. So sánh các lời giải gần đúng của hệ Duffing -2 x (kỹ thuật thay thế địa phương-toàn thể) 2 x2 x2 sai số (%) x 2 sai số (%) Hình 6. Đồ thị hàm PDF p x , x , γ =1.0 cx kd GL 0.1 0.8176 0.8054 -1.490 0.8327 1.857 Để xác định k theo kỹ thuật thay thế tương đương địa phương-toàn thể trước hết ta tính cực tiểu địa phương sau 1.0 0.4680 0.4343 -7.194 0.4692 0.263 10 0.1889 0.1667 -11.768 0.1839 -2.626 ( x3 kx )2 min (41) k 100 0.2543 0.2270 -10.740 0.2624 3.150 trong đó [.] ký hiệu giá trị trung bình xác suất địa phương r x [. ] ( )P(x )dx (42) 7. Kết luận r Thiên nhiên và cuộc sống luôn chứa đựng các x khuynh hướng đối ngẫu nhau. Đó là các yếu tố có tính Suy ra chất trái ngược nhau, hoặc bổ trợ cho nhau. Do vậy, việc r x nghiên cứu khoa học cũng cần phản ánh được tính chất x 4P(x )dx này. Gần đây, cách tiếp cận đối ngẫu đã được đề xuất để x4 r k (r ) x nghiên cứu đáp ứng của các hệ phi tuyến [1,2] và đã 2 r x x được phát triển trong nhiều công trình, ví dụ [3-17]. Một x 2P(x )dx (43) ưu điểm quan trọng của cách tiếp cận đối ngẫu đối với r x một vấn đề khoa học là luôn xem xét hai khía cạnh khác 2T2,r x2 2 T2,r nhau (đối ngẫu) của vấn đề; điều này cho phép việc x2 2T1,r x 2 T1,r nghiên cứu trở nên hài hòa và phản ánh được thực chất hơn. Bài báo giới thiệu tóm tắt một số kỹ thuật đối ngẫu trong đó ký hiệu ứng dụng trong phân tích dao động và ổn định. Một ví dụ r x2 2n 1 minh họa về kỹ thuật đối ngẫu được giới thiệu cho thấy Tn,r x e(x )dx, (x ) (44) 2 cách tiếp cận đối ngẫu là một cách tiếp cận hiệu quả 0 2 trong nghiên cứu khoa học có thể tiếp tục nghiên cứu Tiếp theo hệ số thay thế tương đương k tính theo kỹ phát triển cho nhiều bài toán khác. thuật thay thế tương đương địa phương-toàn thể bằng giá trị trung bình cộng của k(r). Như vậy ta có Lời cám ơn. Bài báo được sự tài trợ của Quỹ Phát s triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) 1 mã số 107.04-2018.12. và của Viện Hàn lâm KHCNVN k k (r ) Lim k (r )dr s s 0 cho NCVCC mã số NCVCC 03.07/19-19. 1 s T2,r Lim x2 dr (45) s s 0 T1,r Tài liệu trích dẫn 1 s T2,r 1. N.D. Anh, Duality in the analysis of responses to x2 Lim dr 2.4119 x2 s s 0 T1,r nonlinear systems. Vietnam J. Mech. 32(4) (2010) 263–266. Thay (45) vào (33) tìm được phương trình xác định
Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Cao Thắng 2. ND. Anh, Dual approach to averaged values of nonlinear analysis of thermal behavior of a two-node functions. Vietnam J. Mech. 34(3), 211–214 (2012). model for small satellites in Low Earth Orbit, 3. N.D. Anh, N.N. Hieu, N.N. Linh, A dual criterion of International Journal of Mechanical Sciences, 133 equivalent linearization method for nonlinear systems (2017), pp 513-523. subjected to random excitation, Acta. Mech.(3) (2012) 17. N. D. Anh, N. N. Linh, A weighted dual criterion of 645–654. the equivalent linearization method for nonlinear 4. Anh, N.D., Zakovorotny, V.L., Hieu, N.N., Diep, systems subjected to random excitation, Acta. Mech., D.V.: A dual criterion of stochastic linearization 2018, Volume 229, Issue 3, pp 1297–1310. method for multi-degreeof-freedom systems subjected 18. D. V. Hieu and N. Q. Hai. Analyzing of Nonlinear to random excitation. Acta Mec., 2667–2684. Generalized Duffing Oscillators Using the Equivalent 5. N.D. Anh, L.X. Hung, L.D. Viet, Dual approach to Linearization Method with a Weighted Averaging. local mean square error criterion for stochastic Asian Research Journal of Mathematics, vol. 9(1): equivalent linearization. Acta Mech. 224, 241–253 1-14, 2018. (2013). 19. D. V. Hieu, N. Q. Hai, and D. T. Hung. The 6. ND Anh, NX Nguyen, Design of TMD for damped Equivalent Linearization Method with a Weighted linear structures using the dual criterion of equivalent Averaging for Solving Undamped Nonlinear linearization method, International Journal of Oscillators. Journal of Applied Mathematics, Volume Mechanical Sciences, 2013, Volume 77, December 2018, Article ID 7487851, 15 pages. 2013, Pages 164-170. 20. D. V. Hieu, N. D. Anh, L.M. Quy, N. Q. Hai, 7. N.D. Anh, I. Elishakoff, N.N. Hieu Extension of the Nonlinear vibration of microbeams based on the regulated stochastic linearization to beam vibrations, nonlinear elastic foundation using the equivalent Prob. Eng. Mech 35(2014), 2–10. linearization methodwith a weighted averaging, 8. N.D. Anh and N.X. Nguyen, Design of Archive of Applied Mechanics, 2019 (under reviewer). non-traditional dynamic vibration absorber for 21. D. V. Hieu, N. D. Anh, L.M. Quy, D. T. Hung, damped linear structures, J. Mechanical Engineering Nonlinear vibration of nanobeams under electrostatic Science, vol. 228(1), pp.45-55, 2014. force based on the nonlocal strain gradient theory, 9. N.D. Anh, L.X. Hung, L.D. Viet, N.C. Thang, International Journal of Mechanics and Materials in Global-local mean square error criterion for Design, 2019 (accepted for publication). equivalent linearization of nonlinear systems under random excitation, Acta. Mech., 226(9) (2015) 3011-3029. 10. N. D. Anh, Dual approach to averaged values of functions: A form for weighting coefficient, Vietnam J. Mech., 37(2) (2015) 145–150. 11. Triet, N.M., Extension of dual equivalent linearization technique to flutter analysis of two dimensional nonlinear airfoils. Vietnam J. Mech. 37(3), 217–230 (2015) 12. N.D.Anh, N.X.Nguyen, N.H.Quan, Global-local approach to the design of dynamic vibration absorber for damped structures, Journal of Vibration and Control, vol. 22(14), pp. 3182-3201,2016 13. N.D. Anh, I. Elishakoff, N.N. Hieu, Generalization of Seide’s problem by the regulated stochastic linearization technique, Meccanica, 2017 (52), pp1003-1016. 14. N. D. Anh, N. Q. Hai, and D. V. Hieu. The equivalent linearization method with a weighted averaging for analyzing of nonlinear vibrating systems. Latin American J. Solids and Structures, 14(9) (2017) 1723–1740. 15. N.D. Anh, NN Hieu, PN Chung, NT Anh Thermal radiation analysis for small satellites with single-node model using techniques of equivalent linearization, Applied Thermal Engineering, 2016, Volume 94, Pages 607-614. 16. P. N. Chung, N. D. Anh, N. N. Hieu, D. V. Manh, Extension of dual equivalent linearization to