Một số tính chất cơ bản của đạo hàm Newton hàm một biến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Một số tính chất cơ bản của đạo hàm Newton hàm một biến trình bày các tính chất cơ bản của đạo hàm Newton. Nhóm tác giả chỉ ra rằng, đạo hàm Newton có một số tính chất tương tự như đạo hàm cổ điển như đạo hàm Newton của một tổng, hiệu, tích, thương.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số tính chất cơ bản của đạo hàm Newton hàm một biến

94 Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐẠO HÀM NEWTON HÀM MỘT BIẾN SOME BASIC PROPERTIES OF NEWTON DERIVATIVES OF ONE VARIABLE FUNCTIONS Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng; dxhiep1994@gmail.com, pqmuoi@ued.edu.vn, pdtuan@ued.udn.vn Tóm tắt - Phương pháp Newton nửa trơn đang được quan tâm Abstract - The Semi-smooth Newton method is being widely nghiên cứu bởi nhiều nhà khoa học trên thế giới. Phương pháp này có considered by a number of researchers in the world. This method tốc độ hội tụ nhanh (bậc hai) và có thể áp dụng cho các phương trình converges very fast (second-order convergence) and also can be không trơn. Cơ sở của phương pháp dựa trên khái niệm đạo hàm applied to non-smooth equations. It bases on the notion of “Newton Newton, một sự mở rộng của khái niệm đạo hàm cổ điển. Trong bài derivative”, an extend notion of the Fréchet derivative. In this paper, we báo này, nhóm tác giả xét tính khả vi Newton của một số hàm thường study Newton differential of common functions including | x | function, gặp như hàm | x |, hàm max{0, f ( x)} hoặc tổng quát hơn là hàm max{0, f ( x)} function or general function like max{ f ( x), g ( x)} that max{ f ( x), g ( x)}. Đây là các hàm số thường xuất hiện trong nhiều are presented in many applications. The Newton differential of ứng dụng khác nhau. Tính khả vi Newton của hàm max{ f ( x), g ( x)} max{ f ( x), g ( x)} function is the significant result of this paper. In là kết quả quan trọng nhất trong bài báo. Sau đó, nhóm tác giả trình addition, The authors state propositions on basic properties of Newton bày các tính chất cơ bản của đạo hàm Newton. Nhóm tác giả chỉ ra derivative. They indicate that Newton derivative contains similar rằng, đạo hàm Newton có một số tính chất tương tự như đạo hàm cổ propositions with Fréchet ones such as Newton derivatives of the sum, điển như đạo hàm Newton của một tổng, hiệu, tích, thương. subtraction, multiplication and division. Từ khóa - đạo hàm Newton; khả vi Newton; đạo hàm Newton của Key words - Newton Derivative; Newton differential; Newton tổng, hiệu, tích, thương; khả vi Newton của hàm max{0, f ( x)}; khả derivatives of sum, subtraction, multiplication, division; Newton vi Newton của hàm max{ f ( x), g ( x)}. derivative of max{0, f ( x)}; Newton derivative of max{ f ( x), g ( x)}. 1. Đặt vấn đề ánh xạ F : U  ( D, ) sao cho Khi mô hình toán các vấn đề trong khoa học kỹ thuật, | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h | y học, vật lý,... chúng ta thường dẫn đến việc tìm nghiệm lim  0, h 0 |h| của phương trình hoặc hệ phương trình, trong đó có sự xuất hiện các hàm số không khả vi, chẳng hạn như hàm dấu trong đó ( D, ) là tập các phiếm hàm tuyến tính liên tục sgn( x), hàm trị tuyệt đối | x |, hàm min 0, x , hàm từ D vào . max 0, x , và các hàm hợp của của chúng [1-4]. Những Khi đó F được gọi là một đạo hàm Newton của f tại x. phương trình và hệ phương trình như thế được gọi là các Định nghĩa 2.2. Cho U là một tập con mở của D  . phương trình không trơn. Gần đây, các nhà nghiên cứu đã Ánh xạ f : D  được gọi là khả vi Newton trên U nếu đề xuất một số phương pháp để giải các phương trình tồn tại ánh xạ F : U  ( D, ) sao cho với mỗi x U , không trơn, trong đó, phương pháp Newton nửa trơn đã và đang được nghiên cứu và ứng dụng phổ biến trong nhiều | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h | lim  0. ứng dụng khác nhau [5-9]. Phương pháp này dựa trên khái h 0 |h| niệm "đạo hàm Newton", một khái niệm mở rộng của đạo Khi đó, hàm số f được gọi là hàm Newton nửa trơn trên hàm cổ điển. U và F được gọi là một đạo hàm Newton của f trên U . Với vai trò và tầm quan trọng của khái niệm đạo hàm Newton đối với các giải thuật cho phương trình không Chú ý 2.1. Nếu hàm số f có đạo hàm cổ điển f  liên trơn, trong bài báo này, nhóm tác giả nghiên cứu tính khả tục trên tập mở U thì f là hàm nửa trơn trên U và đạo vi Newton của một số hàm cơ bản, thường xuất hiện trong hàm Newton của f là f . các phương trình không trơn [3, 5, 6, 7, 9] và nghiên cứu một số tính chất cơ bản của các hàm khả vi Newton. Để Thật vậy, với mọi x U , ta có: cho người đọc dễ nắm bắt được khái niệm đạo hàm | f ( x  h)  f ( x)  f ( x  h)h | Newton cũng như các tính chất cơ bản của đạo hàm 0 |h| Newton, nhóm tác giả chỉ xét cho lớp hàm một biến. Tuy | f ( x  h)  f ( x)  f ( x)h | nhiên các kết quả trong bài báo này dễ dàng được mở rộng   | f ( x)  f ( x  h) | 0 khi h  0. cho các hàm nhiều biến. |h| Vậy f là hàm nửa trơn trên U và có một đạo hàm Newton 2. Đạo hàm Newton là F  f . Định nghĩa 2.1. Cho D là một tập con khác rỗng của . Ánh xạ f : D  được gọi là khả vi Newton tại 3. Đạo hàm Newton của các hàm số thường gặp x  D nếu tồn tại một lân cận mở U  D của x và tồn tại Trong phần này, nhóm tác giả nghiên cứu tính khả vi
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(118).2017 - Quyển 1 95 Newton của một số hàm cơ bản, thường xuất hiện trong các 0 nÕu x  0, bài toán tối ưu không trơn. Kết quả chính của phần này và | F ( x )h |  F ( x )  sup  |  | nÕu x  0, cũng là kết quả cơ bản nhất trong bài báo là tính khả vi |h| h0 1 nÕu x  0. Newton của hàm max{ f ( x), g ( x)}.  Mệnh đề 3.1. Hàm số f ( x) | x | có đạo hàm Newton Suy ra F ( x ) là phiếm hàm tuyến tính bị chặn. Tương tự trên và phiếm hàm F ( x)(·) xác định bởi như trong Mệnh đề 3.1, xét các trường hợp x  0, x  0 và x  0, ta cũng chứng minh được  1 nÕu x  0,  | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h | F ( x )    nÕu x  0, lim  0. 1 nÕu x  0, h 0 |h|  Vậy phiếm hàm tuyến tính liên tục F ( x ) là đạo hàm với   là đạo hàm Newton của f trên . Newton của hàm số f ( x)  max 0, x trên . Chứng minh Thật vậy, ta có: Mệnh đề 3.3. Cho hàm số g ( x)  max 0, f ( x) với h nÕu x  0, f  C1 ( ) và thỏa mãn f ( x)  0 tại hữu hạn điểm  x1  x2    xn . Khi đó, hàm số g có đạo hàm Newton F  x  h    h nÕu x  0,  h nÕu x  0, trên và đạo hàm Newton của g ( x) là phiếm hàm tuyến  tính G( x)(·) xác định bởi là một phiếm hàm tuyến tính với mỗi x  và  f ( x ) nÕu x  P, | F( x )h | 1 nÕu x  0,  F( x )  sup  G ( x )   i nÕu x  xi  O, (0.2) h 0 |h| |  | nÕu x  0. 0 nÕu x  N,  Suy ra F ( x)(·) là phiếm hàm tuyến tính bị chặn. trong đó P  {x | f ( x)  0}, O  {x | f ( x)  0}, Với x  0 và h đủ nhỏ, ta có x  h  0 và N  {x | f ( x)  0} và  i  (i  1,2,..., n). | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h | lim  0. Chứng minh h 0 |h| Thật vậy, ta có là phiếm hàm G( x)(·) xác định bởi (0.2) Với x  0, ta có: là một phiếm hàm tuyến tính với mỗi x  . Hơn nữa | f (0  h)  f (0)  F (0  h)h | 0,  f ( x ) nÕu x  P, | G ( x )h |  với h  0 hoặc h  0. Do đó G ( x )  sup   i nÕu x  xi  O, h 0 |h| 0 | f (0  h)  f (0)  F (0  h) h |  nÕu x  N. lim  0. h 0 |h| Suy ra G( x)(·) là phiếm hàm tuyến tính bị chặn. Với x  0, tương tự trường hợp x  0 ta thu được: + Với x  P và với h đủ nhỏ, ta có x  h  P (do P là | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h | một tập mở) và lim  0. h 0 |h| | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h | Vậy phiếm hàm tuyến tính liên tục F ( x)(·) là đạo hàm |h| Newton của hàm số f ( x) | x | . | f ( x  h)  f ( x)  f ( x  h)h |  Mệnh đề 3.2. Hàm số f ( x)  max 0, x có đạo hàm |h| và phiếm hàm tuyến tính F ( x)(·) xác định bởi | f ( x  h)  f ( x)  f ( x)h | Newton trên  |h| 0 nÕu x  0, | f ( x)h  f ( x  h)h |   . F ( x )   nÕu x  0, (0.1) |h| 1 nÕu x  0,  Vì f  C1 ( ) nên với   là đạo hàm Newton của f trên . | f ( x  h)  f ( x)  f ( x)h | lim  0, Chứng minh h 0 |h| Thật vậy, phiếm hàm F ( x)(·) xác định bởi (0.1)là một | f ( x)h  f ( x  h)h | phiếm hàm tuyến tính với mỗi x  . Hơn nữa và lim  lim | f ( x)  f ( x  h) | 0. h 0 |h| h 0
96 Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h | lim f ( xn )  a. Do đó lim  0. n h 0 |h| + Trường hợp 2: I1 vô hạn, I 2 hữu hạn. Tương tự, ta cũng + Với x  N và với h đủ nhỏ, ta có x  h  N (do N là chỉ ra được lim f ( xn )  a . một tập mở) và n | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h | + Trường hợp 3: Cả I1 , I 2 vô hạn. Khi đó, lim  lim 0  0. h 0 |h| h 0 • Với   0 tùy ý, ta có: + Với x  xi , i  1, 2,..., n và với h  0 đủ bé, ta có: lim f ( xni )  a  i1* :| f ( xni )  a |  , i  i1* . i  | g( xi  h)  g( xi )  G ( xi  h)h | lim h 0 |h| lim f ( xk j )  a  j1* :| f ( xk j )  a |  , j  j1*. j   | f ( xi  h)  f ( xi )  f ( xi  h)h |  lim nÕu xi  h  P, Chọn n*  max{ni* , k j* } . Khi đó, vì I1  I 2  nên với   h 0  |h| 1 1  nÕu xi  h  N. mỗi n  n* , tồn tại i  i1* hoặc tồn tại j  j1* để cho n  ni  0 | g ( xi  h)  g ( xi )  G ( xi  h)h | hoặc n  k j . Do đó, trong cả hai trường hợp ta đều có: Do đó lim  0. h 0 |h| | f ( xn )  a || f ( xni )  a |  . Tương tự như trên, ta có: | g ( xi  h)  g ( xi )  G ( xi  h)h | Vậy lim f ( x)  a. x  x0 lim h 0 |h| Sử dụng bổ đề này, chúng ta chứng minh được kết quả sau: | f ( xi  h)  f ( xi )  f ( xi  h)h | Mệnh đề 3.4. Cho hàm số g ( x)  max{0, f ( x)} với  lim  0. h 0 |h| f  C1 ( ). Khi đó, phiếm hàm tuyến tính G( x)(·) xác | g ( x1  h)  g ( x1 )  G( x1  h)h | định bởi Suy ra lim  0. h 0 |h|  f ( x) , x  P Vậy phiếm hàm tuyến tính G ( x)(·) là đạo hàm Newton của G ( x)   0 , x Q hàm số g ( x)  max 0, f ( x) trên . với P  {x | f ( x)  0} và Q  {x | f ( x)  0} là một Trong Mệnh đề 3.3, hàm số g ( x)  max{0, f ( x)} được đạo hàm Newton của g trên . chứng minh là khả vi Newton nếu hàm f có hữu hạn Chứng minh không điểm. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xét trường Chúng ta dễ dàng kiểm tra được với mỗi x  phiếm hợp tổng quát hơn, khi mà hàm số f có thể có hữu hạn hàm G ( x)(·) với hoặc vô hạn không điểm. Để đưa ra được một đạo hàm Newton cho hàm số g trong trường hợp tổng quát này, ta  f ( x)h , x  P G ( x)h   cần kết quả trong bổ đề sau: 0 , x  Q. Bổ đề 3.1. Cho hàm số f xác định trên là một toán tử tuyến tính và bị chặn. D  P O  x0  P  O . Nếu với mọi dãy và Đặt O  {x | f ( x)  0}, P  {x | f ( x)  0}, {xn }  P,{ yn }  O với xn  x0 , yn  x0 ta có Q  {x | f ( x)  0} , ta có P  Q  . lim f ( xn )  a và lim f ( yn )  a, Với x  P và với h  0 đủ bé, ta có x  h  P (do P n n là một tập mở). Do đó thì lim f ( x)  a. x  x0 | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h)h | | f ( x  h)  f ( x )  f ( x  h)h |  |h| |h| Chứng minh | f ( x  h)  f ( x)  f ( x)h | | f ( x) h  f ( x  h) h | Ta xét một dãy {xn } với xn  x0 tùy ý và đặt   . |h| |h| I1  {n | xn  P}  {n1 , n2 ,}. Vì f  C1 ( ) nên I 2  {n | xn  O}  {k1 , k2 ,}. | f ( x  h)  f ( x)  f ( x)h | Suy ra {xni }  P,{xk j }  O . Ta xét các trường hợp sau: lim 0 h 0 |h| + Trường hợp 1: I1 hữu hạn và I 2 vô hạn. Khi đó, tồn tại và n sao cho n  n , xn  O . Từ giả thiết của bổ đề, ta có: * * | f ( x)h  f ( x  h)h | lim  lim | f ( x)  f ( x  h) | 0. h 0 |h| h 0
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 9(118).2017 - Quyển 1 97 | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h | hợp của một hàm khả vi Newton và một hàm khả vi cổ Do đó lim  0. điển. Chi tiết các kết quả này sẽ được trình bày lần lượt h 0 |h| thông qua các định lý dưới đây. Với x  Q và x  P thì x là điểm trong của R P  Q Định lý 4.1. Cho f và g xác định trên D  , là các . Do đó, với h đủ bé thì x  h  O và x  h  P , suy ra hàm nửa trơn trên tập mở U  D với một đạo hàm | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h | Newton tương ứng là F và G . Khi đó hàm số f  g và lim  lim 0  0. h 0 |h| h 0 f  g cũng là các hàm nửa trơn trên U và có một đạo Với x  P  Q thì x  O . Với mọi dãy {xn }  P mà hàm Newton lần lượt là F  G và F  G . xn  x  hn với hn  0 và với mọi dãy { yn }  Q mà Chứng minh yn  x  kn với kn  0 , ta có Vì F và G là Newton đạo hàm của f và g trên U nên với mọi x  U , ta có: | g ( xn )  g ( x)  G ( xn )hn | lim  0, | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h)h | hn 0 | hn | lim 0 h 0 |h| | g ( yn )  g ( x )  G ( y n ) k n | lim  0. kn 0 | kn | | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h | lim  0. h 0 |h| Theo Bổ đề 3.1, ta có | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h | Do đó với mọi x  U , ta có: lim  0. h 0 |h| | ( f  g )( x  h)  ( f  g )( x)  ( F  G )( x  h)h | 0  lim h 0 |h| Vậy phiếm hàm tuyến tính G ( x)(·) là đạo hàm Newton của hàm số g ( x) trên | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h | .  lim h 0 |h| Định lý 3.1. Cho hàm số h( x)  max{ f ( x), g ( x)} với | g ( x  h)  g ( x )  G ( x  h) h | f , g  C1 ( ) và f ( x)  g ( x) tại hữu hạn điểm rời rạc  lim  0. h 0 |h| x1  x2    xn . Khi đó, đạo hàm Newton của hàm số Vậy hàm số f  g là hàm nửa trơn trên U và có một đạo h( x ) là phiếm hàm tuyến tính H ( x)(·) xác định bởi hàm Newton là F  G . Chứng minh tương tự cho hàm f  g .  f ( x) , x  P Định lý 4.2. Cho hàm số f xác định trên D  là  H ( x)   g ( x) , x  N hàm nửa trơn trên U  D với một đạo hàm Newton là F  , x  xi  O.  i . Khi đó, với mọi   , hàm số  f cũng là hàm nửa trơn Ở đây trên U và có một đạo hàm Newton là  F . P  {x | f ( x)  g ( x)}, Chứng minh N  {x | f ( x)  g ( x)}, . Vì F là đạo hàm Newton của f trên U nên với mọi O  {x | f ( x)  g ( x)} x  U , ta có: Chứng minh tương tự như trong Mệnh đề 3.3. | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h | lim  0. Định lý 3.2. Cho hàm số h( x)  max{ f ( x), g ( x)} với h 0 |h| f , g  C1 ( ) . Khi đó, đạo hàm Newton của hàm số h( x ) Do đó là phiếm hàm tuyến tính H xác định bởi | ( f )( x  h)  ( f )( x)  ( F )( x  h)h | lim  0,   .  f ( x) , x  P h 0 |h| H ( x)    g ( x) , x  Q. Vậy hàm số  f là hàm nửa trơn trên U và có một đạo hàm Newton là  F . trong đó P  {x | f ( x)  g ( x)}, Q  {x | f ( x)  g ( x)} . Định lý 4.3. Cho f và g xác định trên D  , g Chứng minh tương tự như trong Mệnh đề 3.4. liên tục trên D và g ( x)  0 (x  D) , là các hàm nửa 4. Một số tính chất của đạo hàm Newton trơn trên tập mở U  D với một đạo hàm Newton tương Trong phần này, nhóm tác giả trình bày một số kết quả f liên quan đến tính khả vi Newton của tổng, hiệu, tích, ứng là F và G . Khi đó, hàm số h  f .g và k  cũng là g thương, hàm hợp của hai hàm khả vi Newton và chỉ ra rằng, tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm khả vi Newton là hàm các hàm nửa trơn trên U và có một đạo hàm Newton lần khả vi Newton. Đối với hàm hợp, để có kết quả tương tự F .g  f .G lượt là H  F .g  f .G và K  . như khả vi cổ điển chúng ta cần điều kiện mạnh hơn, tức là g2
98 Dương Xuân Hiệp, Phạm Quý Mười, Phan Đức Tuấn Chứng minh F ( x  h) g ( x  h)  f ( x  h)G( x  h) với A  h. Vì F và G là đạo hàm Newton của f và g trên U nên g ( x  h) g ( x) với mọi x  U , ta có: Để ý rằng g liên tục trên D nên cũng liên tục trên U | f ( x  h)  f ( x )  F ( x  h) h | và lim g ( x  h)  g ( x). lim 0 h0 h 0 |h|  f ( x  h)  f ( x)  F ( x  h)h  o(h), | k ( x  h)  k ( x )  B | Suy ra lim  0, h 0 |h| | g ( x  h )  g ( x )  G ( x  h) h | lim 0 h 0 |h| F ( x  h) g ( x  h)  f ( x  h)G( x  h) B h.  g ( x  h)  g ( x)  G ( x  h)h  o(h). g 2 ( x) với Thế biểu thức f ( x  h) và g ( x  h) ở trên và khai triển, | k ( x  h)  k ( x )  K ( x  h) h | ta có: hay lim  0. h 0 |h| h  x  h  h  x  f  x  h g  x  h  f  x  g  x  F .g  f .G Vậy K  là một đạo hàm Newton của hàm   g  x  F  x  h   f  x  G  x  h  h  o  h  g2  [ g  x  h   G  x  h  h  o  h   G  x  h   f số k  .   f  x  h   F  x  h  h  o  h   G  x  h ]h  o  h  g   g  x  h F  x  h   f  x  h  G  x  h  h  o  h  5. Kết luận  H  x  h h  o h. Kết quả chủ yếu của bài báo này là đưa ra được các điều kiện đủ cho tính khả vi Newton của hàm max{ f ( x), g ( x)} | h( x  h)  h( x )  H ( x  h ) h | và một số trường hợp đặc biệt của nó. Bài báo cũng đã phát Do đó lim  0. h 0 |h| biểu và chứng minh tính chất khả vi Newton của tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm khả vi Newton. Đây là các kết Vậy H  F .g  f .G là một đạo hàm Newton của hàm quả cơ bản và cần thiết khi nghiên cứu đạo hàm Newton, số h  f .g trên U . Phương pháp Newton nửa trơn và ứng dụng của phương pháp vào giải các bài toán cụ thể. Tương tự ta chứng minh tính khả vi Newton cho k . Ta có: f ( x  h) f ( x ) TÀI LIỆU THAM KHẢO k ( x  h)  k ( x )   g ( x  h) g ( x ) [1] Frank H. Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis, The Society 1 for Industrial and Appplied Mathematics, Philadelphia, 1990.  g ( x  h) g ( x ) ( f ( x  h) g ( x )  f ( x ) g ( x  h ) ) [2] Ivar Ekeland and Roger Témam, Convex Analysis and Variational Problems, The Society for Industrial and Appplied Mathematics, Philadelphia,1999. 1  g ( x  h) g ( x ) [(F ( x  h) g ( x)  f ( x)G( x  h))h  o(h)] [3] Liqun Qi and Defeng Sun, “A survey of some nonsmooth equations and smoothing Newton methods”, Progress in optimization, 30, 1 1999, pp. 121-146.  g ( x  h) g ( x ) {[F ( x  h)( g ( x  h)  F ( x  h)h  o(h)) [4] R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970. ] ( f ( x  h)  F ( x  h)h  o(h))G ( x  h) h  o(h) } [5] Pham Quy Muoi, Dinh Nho Hao, Peter Maass, and Michael Pidcock, “Semismooth Newton and Quasi-Newton methods in weighted l 1 – 1  g ( x  h) g ( x ) {[ g ( x  h) F ( x  h)  f ( x  h).G ( x  h) regularization”, Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 21(5), 2013, pp. 665-693. [6] Pham Quy Muoi, Dinh Nho Hao, Peter Maass, and Michael Pidcock, ( F ( x  h)  G ( x  h))o(h)]h  o(h) } “Descent gradient methods for nonsmooth minimization problems in ill-posed problems”, Journal of Computational and Applied 1  g ( x  h) g ( x ) { ( g ( x  h) F ( x  h)  f ( x  h).G ( x  h))h Mathematics, 298, 2016, pp. 105-122. [7] Xiaojun Chen, Zuhair Nashed, and Liqun Qi, “Smoothing methods ( F ( x  h)  G ( x  h))o(h 2 )  o(h) } and Semismooth methods for nondifferentiable operator equations”, SIAM Journal Numerical Analysis, 38(5), 2000, pp. 1200-1216. 1 [8] M. HinterMuller, K. Ito, and K. Kunish, “The primal-dual active set  g ( x  h) g ( x ) [ ] ( F ( x  h) g ( x  h)  f ( x  h)..G ( x  h))h  o(h) strategy as a semismooth Newton method”, SIAM Journal on Optimization, 13(3), 2003, pp. 865-888. | k ( x  h)  k ( x )  A | [9] M. HinterMuller, Semismooth Newton Method and Applications, Do đó: lim  0, Oberwolfach-Seminar on Mathematics of PDE-Constrained h 0 |h| Optimization, November 2010. (BBT nhận bài: 12/6/2017, hoàn tất thủ tục phản biện: 24/8/2017)