Một vài điều kiện cho tính co suy rộng của các hệ phương trình vi phân có chậm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết mở rộng khái niệm co toàn cục thành co suy rộng của nghiệm đối với một lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm, với các chậm là hàm phụ thuộc thời gian. Từ đó, trình bày một số điều kiện mới tường minh cho tính chất co suy rộng của lớp hệ này; đưa ra một ví dụ nhằm minh họa cho kết quả đạt được.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một vài điều kiện cho tính co suy rộng của các hệ phương trình vi phân có chậm

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 13-21 MỘT VÀI ĐIỀU KIỆN CHO TÍNH CO SUY RỘNG CỦA CÁC HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM Trần Thế Anh1 , Nguyễn Thành Nghĩa2 và Lê Trung Hiếu3* 1 Khoa Sư phạm, Trường Đại học Khánh Hòa 2 Phòng Công tác Đảng - Đoàn thể, Trường Đại học Đồng Tháp 3 Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: lthieu@dthu.edu.vn Lịch sử bài báo Ngày nhận: 26/7/2021; Ngày nhận chỉnh sửa: 07/9/2021; Ngày duyệt đăng: 08/9/2021 Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng khái niệm co toàn cục thành co suy rộng của nghiệm đối với một lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có chậm, với các chậm là hàm phụ thuộc thời gian. Từ đó, chúng tôi trình bày một số điều kiện mới tường minh cho tính chất co suy rộn g của lớp hệ này. Chúng tôi đưa ra một ví dụ nhằm minh họa cho kết quả đạt được. Từ khóa: Co suy rộng, co toàn cục, phương trình vi phân có chậm. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- SOME NEW CRITERIA FOR GENERALIZED CONTRACTION OF DIFFERENTIAL SYSTEMS WITH DELAYS Tran The Anh1 , Nguyen Thanh Nghia2 , and Le Trung Hieu3* 1 Faculty of Pedagogical, Khanh Hoa University 2 Office of Communist Party and Unions Affairs, Dong Thap University 3 Faculty of Mathematics - Informatics Teacher Education, Dong Thap University * Corresponding author: lthieu@dthu.edu.vn Article history Received: 26/7/2021; Received in revised form: 07/9/2021; Accepted: 08/9/2021 Abstract In this paper, we generalize the concept contraction to generalized contraction of nonlinear differential systems with time-varying delays. Then we present some new sufficient conditions for generalized contraction of the mentioned systems. An example is given to illustrate the obtained results . Keywords: Generalized contraction, Global contraction, Delay differential system. DOI: https://doi.org/10.52714/dthu.12.2.2023.1027 Trích dẫn: Trần Thế Anh, Nguyễn Thành Nghĩa và Lê Trung Hiếu. (2023). Một vài điều kiện cho tính co suy rộng của các hệ phương trình vi phân có chậm. Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, 12(2), 13-21. 13
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 1. Mở đầu :  {1,2,...} và gọi , lần lượt là trường các số Năm 1998, bài toán co của các hệ động lực đã thực và trường các số phức. Với hai số nguyên được Lohmiller và Slotine giới thiệu từ việc nghiên dương l , q , kí hiệu l q , lq lần lượt là tập hợp cứu một số mô hình thực tế về cơ học chất lỏng các ma trận thực và tập hợp các ma trận thực không (Lohmiller và Slotine, 1998). Các tác giả đã trình âm cỡ l  q . Với hai ma trận thực bày một số điều kiện cho tính co của hệ phương trình sai phân và vi phân thường. Xa hơn, các tác D   dij  , E  eij   l q , ta quy ước trị tuyệt đối giả còn áp dụng kết quả về tính chất co vào nghiên của D là | D | (| dij |)  l q . Bất đẳng thức giữa hai  cứu bài toán điều khiển và thiết kế quan sát đối với một số hệ động lực. Gần đây, bài toán co của hệ ma trận D và E được hiểu như sau: phương trình sai phân, hệ phương trình vi phân tiếp D   , ,   E tương đương với tục được khai thác, mở rộng và phát triển. Năm dij   , ,   eij , với mọi i  l , j q . Ta có cách 2018, Ngoc và Trinh (2018) đã dùng một phương hiểu tương tự, được áp dụng đối với các véctơ pháp tiếp cận khác để nghiên cứu và đưa ra một số điều kiện cho tính co của các hệ phương trình vi trong n . Chuẩn của ma trận D   dij   nn phân phiếm hàm. Năm 2019, Ngoc và cs. (2019) đã được hiểu là chuẩn toán tử, được xác định bởi đưa ra một số điều kiện đủ cho tính co của hệ D : max Dx . Cho D  nn , E  nn , nếu  phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời x 1 gian có chậm, với các chậm là các hàm phụ thuộc D  E thì D  E . Với E   eij   nn , hoành thời gian và bị chặn. Kết quả đạt được đã áp dụng vào nghiên cứu điều kiện co của một lớp hệ nơ ron độ phổ của E được xác định bởi rời rạc. Năm 2021, một số điều kiện co của cho lớp   E   max Re  :   , det   I n  E   0. hệ động lực có yếu tố ngẫu nhiên cũng được nghiên Ma trận E được gọi là ma trận Metzler nếu tất cả cứu trong (Ky, 2021) và (Ngoc, 2021). các phần tử nằm ngoài đường chéo chính của E đều Một cách nôm na, một hệ động lực là co nếu không âm. Cho E là ma trận Metzler, khi đó khoảng cách giữa hai quỹ đạo của hai nghiệm bất  ( E )  0 tương đương với tồn tại véctơ kỳ của hệ tiến về không khi thời gian đủ lớn. Tuy nhiên, có một số trường hợp, khoảng cách giữa hai p  n , p 0 sao cho Ep  0 , xem (Ngoc quỹ đạo bất kỳ không tiến về không mà chỉ biết (2012), Theorem I.2). rằng khoảng cách ấy luôn không vượt quá một số 2. Điều kiện co suy rộng của các hệ phƣơng dương nhất định. Dạng này có thể được gọi là trình vi phân có chậm epsilon-co, một dạng co suy rộng. Năm 2020, các Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến có tác giả trong (Thuy và cs., 2020) đã nghiên cứu đưa chậm có dạng sau đây ra một số điều kiện cho tính chất epsilon-co của hệ phương trình sai phân với biến liên tục đối với hệ x(t )  không chịu nhiễu và có chịu nhiễu phi tuyến. Tiếp tục ý tưởng này, chúng tôi cải tiến kĩ thuật chứng  F  t , x  t    G t , x  t  , x  t  h1  t   , (2.1) minh trong Ngoc (2015) và Ngoc và Trinh (2018)  x  t  h2  t   ,..., x  t  hm  t   , t  t0 . để chứng minh nhiều điều kiện co suy rộng của nghiệm đối với một lớp hệ phương trình vi phân Trong đó, F ,   C (  n , n ), phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm rời rạc, với chậm là các hàm phụ thuộc thời gian. Chúng tôi G ,...,   C (  n  ...  n , n ) là các hàm nêu ra một ví dụ áp dụng cho kết quả đạt được, liên tục cho trước; hk  :  , k  m, là các hàm đồng thời chỉ ra rằng các kết quả đã có về điều kiện chậm liên tục và bị chặn, tức là tồn tại các số thực ổn định mũ và co trước đây đối với lớp hệ phương trình vi phân có chậm là không áp dụng được cho hk  0 sao cho 0  hk  t   hk , k  m, t  0. lớp phương trình được nêu trong ví dụ này. Đặt h : max{hi , i  m} và : C ([h,0], n ) . Sau đây là một số quy ước và kí hiệu được sử Với t0   cố định cho trước và   , tồn tại dụng trong bài báo này. Với số nguyên dương m, kí nghiệm địa phương của hệ phương trình (2.1), ta ký hiệu m0 :{0,1,..., m m:  }, {1,2,..., } . Kí hiệu m 14
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 13-21 hiệu nghiệm này bởi x , t ,  . Nghiệm x , t ,  Định lí 2.3. Cho F  t ,  là hàm khả vi liên tục thỏa mãn điều kiện đầu với mỗi t  . Giả sử rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn x  s  t0  :   s  , s  h,0. (2.2) (i) Tồn tại các hàm ma trận liên tục Nghiệm này được xác định và liên tục trên Ak  :  nn , k  m0 và hàm liên tục, bị chặn  [-h,  ) với   t0 và thỏa mãn (2.1), đối với mỗi v   :  sao cho t  t0 ,   , xem (Hale và Lunel, 1993, trang 43).  Ngoài ra, nếu khoảng t0  h,   là khoảng tồn tại G  t , u0 ,..., um   G  t , w0 .., wm  m (2.4) nghiệm lớn nhất của nghiệm x  , t0 ,  thì   Ak  t  uk  wk  v  t  , x  , t0 ,  được gọi là nghiệm không thể kéo dài k 0 (noncontinuable). Sự tồn tại của nghiệm không thể với mọi t  , uk , wk  n , k  m0 . kéo dài được suy ra từ Bổ đề Zorn và khoảng tồn (ii) Tồn tại B :  bij   nn và C  nn  sao cho tại nghiệm lớn nhất phải là khoảng mở. Với mỗi  , ta đặt Fi Fi  t , u   bii , i  n; t, u   : max   (s) : s [h,0] . Sau đây chúng tôi ui u j (2.5) trình bày định nghĩa về co suy rộng.  bij , i, j  n, i  j , Định nghĩa 2.1. Hệ (2.1) được gọi là co suy với mọi t  , u  n và rộng (generalizedly contractive) nếu: m (i) Với bất kỳ t0  và bất kỳ   ,  A  t   C, t  k 0 k . (2.6) x  , t0 ,  hoàn toàn xác định trên  h  t0 ,   . Khi đó, nếu   B  C   0 thì hệ (2.1) là co (ii) Tồn tại M  0 ,   0,   0 sao cho suy rộng. Ngoài ra, nếu v   0 thì hệ (2.1) là co x  t , t0 ,   x t , t0 ,  toàn cục. (2.3)    t  t0   Me     , Chứng minh. Từ (2.5), ta có B là ma trận Metzler. Từ (2.6), ta có C là ma trận không âm. với mọi t  t0 ,  ,  . Do đó, B  C là ma trận Metzler. Vì   B  C   0 Số  được xác định trong (2.3) được gọi là nên tồn tại véctơ p  n , p  0 sao cho biên co của hệ (2.1). ( B  C ) p  0 , xem (Ngoc, 2015, Theorem I.2). Nhận xét 2.2. Chú ý rằng, khi bất đẳng thức Khi đó, tồn tại   0 đủ bé sao cho bất đẳng thức (2.3) được thỏa mãn với   0 thì hệ (2.1) được sau đây được thỏa mãn gọi là co toàn cục (globally contractive). Định ( B  e  h C ) p    p, (2.7) nghĩa và tính chất về co toàn cục của hệ phương trình vi phân phiếm hàm, hệ phương trình sai với h : max{hi , i  m}. phân có chậm đã được trình bày lần lượt trong Phép chứng minh phần còn lại của Định lí 2.3 các nghiên cứu của Ngoc và Trinh (2018), Ngoc được chia thành 2 bước như sau: tùy ý, nghiệm x , t0 ,  và cs. (2019).  Bƣớc 1: Với   Hiển nhiên, nếu một hệ động lực co toàn cục hoàn toàn xác định trên  h  t0 ,   . thì nó co suy rộng với biên co   0 tùy ý, nhưng điều ngược lại nói chung là không đúng. Với   , gọi x  t   x  t , t0 ,   , Định lí sau đây cho ta một điều kiện đủ t   h  t0 ,   là nghiệm không thể kéo dài của tường minh cho tính co suy rộng của hệ (2.1). (2.1) và (2.2). 15
Chuyên san Khoa học Tự nhiên Giả sử phản chứng rằng   . Ta cần chỉ ra với  j   t1 , t1  1/ j  , j  . mâu thuẫn. Thật vậy, từ (2.4), ta có m   Đặt Ak  t  : aijk   t   , k  m0 . G  t , u0 ,..., um    Ak  t  uk  v  t  nn k 0 Vì sgn( x) y  y , x, y  , nên khi áp dụng  G  t ,0,...,0  , t [-h  t0 ,  ). (2.5), (2.7) và định lí giá trị trung bình cho hàm véctơ, ta có với mỗi i  n, Vì G  t ,0,...,0  liên tục trên [-h  t0 ,  ] nên xi  t   sgn  xi  t   xi  t  d tồn tại q  n  sao cho dt = sgn  xi  t    Fi  t , x  t    sgn xi  t    m G  t , u0 ,..., um    Ak  t  uk  v  t   q,   (2.8)   k 0 Gi t , x (t ), x  t  h1  t   ,...,x  t  hm  t    t  [-h  t0 ,  ).   Xét phương trình vi phân =sgn  xi  t    Fi  t , x  t    Fi  t ,0     m z  t   Bz t    Ak t  z  t  hk t   sgn  xi  t   Fi  t ,0  k 0 (2.9)  v  t     q, t  t0 ,   +sgn  xi  t    Gi t , x(t ), x t  h  t  ,..., x t  h  t   1 m   n 1  trong đó, h0 ()  0 ; B và Ak  , k  m0 ; v   F = sgn  xi  t      i  t , sx  t   ds  x j  t   j 1  0 x j  được xác định bởi (2.4) và (2.5); q được xác định    1 , 2 ,..., n    sgn  xi  t   Fi  t , 0 T tại (2.8); n , với i  sup fi  t ,0  , t [t0 ,  ) , i  n.   +sgn  xi  t    Gi t , x(t ), x t  h  t  ,..., x t  h  t   1 m   Đặt   s  :   s  , s  h,0. Gọi z  : z , t0 ,   Fi 1 = sgn  xi  t     t , sx  t   ds xi (t ) là nghiệm duy nhất của (2.9) với hàm điều kiện đầu 0 x j   . Vì B là ma trận Metzler và Ak (t )  0, n  1 Fi  k  m0 ,  , nên (2.9) là hệ dương, xem (Ngoc  sgn  xi  t   i   x  t , sx  t   ds  x j  t   j 1, j  0  j  (2012), Theorem II.2). Do đó, z (t )  0, t  t0 . Lấy  sgn  xi  t   Fi  t , 0   0 tùy ý và cố định ở các bước tiếp theo. Ta có x  t     t  : z (t )   p, t  h  t0 , t0 .   +sgn  xi  t   Gi t , x (t ), x  t  h1  t   ,...,x  t  hm  t     1 F Ta cần chứng minh   i  t , sx  t   ds x j  t  x j x  t    (t ), t   h  t0 ,   . (2.10) 0 n  1 F  Giả sử phản chứng rằng (2.10) không được  i   x i  t , sx  t   ds 0 j  x j  t   Fi  t ,0   thỏa mãn. Khi đó, tồn tại t *   t0 ,   sao cho j 1, j      z  t *    (t * ) . Đặt t1 =inf t   t0 ,   : z t   (t ) .  * *  *   + Gi t , x (t ), x  t  h1  t   ,...,x t  hm  t    Do tính liên tục của z  t  và   t  , ta có t1  t0 và n tồn tại một chỉ số i0  n sao cho  bii xi  t    j 1, j  i bij x j  t    i m  n   x  t     t  , t  t , t  ;  0 1 +   aijk   t  x j  t  hk t    vi  t   qi ,   k  0  j 1   xi0  t1   i0  t1  ;  (2.11) đối với hầu khắp t  t0 ,   . Do đó, với t  t0 ,   ,  xi0  j   i0  j  ,  ta có 16
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 13-21 D  xi  t  Mặt khác, (2.11) kéo theo điều sau xi0  t   xi0  t1  xi  t     xi  t  D  xi0  t1   limsup : lim sup  t t1 t  t1  0  1 t  d xi0  j   xi0  t1  i  j   i  t1  = lim sup  xi  s  ds  lim  lim 0 0  0  t ds j   j  t1 j   j  t1 i  j   i  t1  n  bii xi  t    bij xi  t    i  lim 0 0  i0  t1  j 1, j  i j   j  t1 m  n  +   aijk   t  x j  t  hk t    vi  t   qi ,   zi0  t1   D zi0 t1 . k  0  j 1  Điều này là mâu thuẫn với kết quả vừa chứng trong đó D  là ký hiệu của đạo hàm Dini trên - phải. minh ở trên. Do đó, Từ (2.7) và (2.11), ta có x  t    (t )  z  t    p, (2.12) D xi0  t1   t  [-h  t0 ,  ). n Do tính đơn điệu của chuẩn véctơ, ta có  bi0i0 xi 0  t    j 1, j  i0 bi0 j xi 0  t    i0 x  t    (t )  z  t    p m  n   z t    p ,     ai0kj  t  x j  t  hk  t     vi0  t   qi0 (2.13) k  0  j 1  t  [-h  t0 ,  ). n  bi0i0 t0  t1    bi0 j j  t1    i0 Vì (2.13) đúng với mọi  dương bé tùy ý nên j 1, j  i0 khi cho   0 trong (2.12), ta có m  n  +   ai0kj  t1  j  t1  hk t1    vi0  t1   qi0 x  t   z  t  , t [-h  t0 ,  ). (2.14) k  0  j 1  n Do (2.14) nên x   bị chặn trên t0 ,   . Ngoài  bi0i0 zi0  t1    j 1, j  i0 bi0 j z j  t1   i0 ra, từ (2.1) và (2.4) suy ra rằng x   bị chặn trên m  n   t0 ,   . Khi đó, x   liên tục đều trên t0 ,   . Vì +   ai0kj  t1  z j  t1  hk t1    vi0  t1   qi0 vậy, lim x  t  tồn tại và x   có thể mở rộng thành k  0  j 1  t  n m  n  một hàm liên tục trên đoạn t0 ,  . Ngoài ra, bao +bi0i0  pi0   bi0 j  p j +   ai0kj  t1   p j  j 1, j  i0 k  0  j 1  đóng của  xt : t  t0 ,   là tập compact trong ,  n m  n  do Định lí Arzela - Ascoli. Ta có, =zi0  t1      bi0 j p j     ai0kj  t1  p j    j 1  k  0  j 1   t, xt  : t t0 ,    t0 ,    xt : t t0 ,  . Vì vậy,  n n  bao đóng của t, x  : t t ,   là tập compact t 0  zi0  t1      bi0 j p j   ci0 j p j  trong  . Vì  , x  thuộc vào tập compact này,  j 1 j 1  chúng ta có thể tìm một nghiệm của (2.1) đi qua  n n  điểm này đến bên phải của  . Điều này mâu thuẫn  zi0  t1      bi0 j p j  e  h  ci0 j p j   j 1 j 1  với giả thiết không thể kéo dài của nghiệm x()
Chuyên san Khoa học Tự nhiên x  t , t0 ,   x  t , t0 ,   Me     , với   t t0  =sgn  zi  t    Fi  t , x  t    Fi  t , y  t     mọi t  t0 ,   ; ,  . Khi đó, (2.1)-(2.2) là co +sgn  zi  t    suy rộng với biên co  . Phép chứng minh của Bước 2 là tương tự   Gi t , x(t ), x  t  h1  t   ,..., x  t  hm  t      chứng minh của Bước 1 với một số cải tiến phù -sgn  zi  t    hợp. Thật vậy, với  ,  ,    0, đặt x  t  : x  t , t0 ,  , y  t  : x t , t0 ,  , t  t0  h, và   Gi t , y  t  h1  t   ,..., y  t  hm  t      z  t  : x  t   y  t  , t  t0  h. Với  và p được  sgn  zi  t    xác định trong (2.7), ta đặt  n  1 F  u  t  : e    t t0  p p      i t , y  t   s  x  t   y  t   ds      pmin  pmin , t  t0 ,  j 1  0 x j      x j t   y j t  trong đó pmin  min  pi , i  n  0 và 1   + Gi t , x(t ), x  t  h1  t   ,..., x  t  hm  t      max  sup vi  t  . 1 i  n   t    Gi t , y (t ), y  t  h1  t   ,..., y  t  hm  t    Với cách đặt như trên, ta có  1 F  z  t   u  t  , t   h  t0 , t0 . Ta cần chứng minh  sgn  zi  t     i  t , y  t   sz (t ) ds  z j (t )  x j  0  rằng, n  F 1  z  t   u  t  , t  t0 .  sgn  zi  t      i  t , y  t   s z (t ) ds  z j  t  (2.15)  j 1, j  i  0 x j   Sau đây, ta chứng minh (2.15) bằng phương m  n  pháp phản chứng. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng     aijk   t  z j  t  hk  t     vi  t   tồn tại t *  t0 sao cho z  t *   u  t *  . Đặt  k  0  j 1   1 F   t1 =inf t *   t0 ,   : z  t *   u  t *  .      i  t , y  t   sz (t ) ds  z j (t )  x j 0   Do tính chất liên tục của z  t  và u  t  , ta có n  1 F  t1  t0 và tồn tại chỉ số i0  n sao cho     i  t , y  t   s z (t )  ds  z j  t   j 1, j  i 0 x j     z  t   u  t  , t  t , t  , m  n   0 1     aijk   t  z j  t  hk t    vi  t     zi0  t1   ui0  t1  , (2.16) k  0  j 1    zi0  j   ui0  j  , n   bii zi  t    j 1,i  j bij z j  t  với  j   t1 , t1  1/ j  , j  . Sử dụng (2.4) - (2.6) m  n  và định lí giá trị trung bình cho hàm véctơ, ta có,     aijk   t  z j  t  hk  t     vi  t  ,  k  0  j 1  với mọi i  n, đối với hầu khắp t  t0 . Điều này kéo theo d zi  t  n dt  bii zi  t    bij z j  t   sgn  zi  t   zi  t  j 1, j  i m  n   sgn  zi  t    xi  t   yi  t       aijk   t  z j  t  hk  t     vi  t   k  0  j 1  18
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 13-21 với t  t0 . zi0  t   zi0  t1  D  zi0  t1   limsup p :  p1 , p2 ,..., pn  , pi  0, i  n, t  t1 T  Với đặt t t1 K :   pmin  0 . Từ (2.16), ta có zi0  j   zi0  t1  1  lim n j   j  t1 D  zi0  t1   bi0i0 ui0  t1    bi0 j u j  t1  ui0  j   ui0  t1  j 1, j  i0 m  n   lim     ai0kj  t1  ui0  t1  hk  t1     vi0  t  j   j  t1 k  0  j 1  ui0 k   ui0 t1  n  lim  ui0  t1   bi0i0 Ke    t1  t0  pi0   j 1, j  i0 bi0 j Ke    t1 t0  pj k  k  t1  zi0  t1   D zi0 t1 . m  n      ai0kj  t1  Ke  1 k 1 0  p j    t  h  t  t k  0  j 1 Điều này là mâu thuẫn với kết quả vừa được  chứng minh ở trên. Do đó,  n  bi0i0 pmin pi0   j 1, j  i0 bi0 j pmin pj z (t )  e  0      t t p  p , t  t0 . pmin pmin m  n       ai0kj  t1  p j   vi0  t1  Do tính đơn điệu của chuẩn véctơ trong n nên, k  0  j 1 pmin  z (t )  x(t )  y (t )  n  m n     t  t0   Ke   bi0 j p j     ai0 j  t1  e j 1 p j      t1 t0  k   h (t )  Me      , t  t0 ,  j 1 k  0  j 1    với    pmin p . Vậy (2.1) là co suy rộng. 1   n m  n    bi0 j p j    ai0 j  t1  p j    vi0  t1  k   Ngoài ra, khi v()  0 kéo theo   0 và pmin  j 1  k  0  j 1      pmin p  0 . Khi đó, hệ (2.1) là co toàn cục. 1  n m  n   Ke  1 0    bi0 j p j     ai0kj  t1  e  h p j     t t Ta có hệ quả sau đây về tính co suy rộng  j 1 k  0  j 1    của hệ phương trình vi phân nửa tuyến tính.   n m  n   Hệ quả 2.4. Cho B  nn là ma trận Metzler   bi0 j p j    ai0kj  t1  e  h p j    pi0 pmin  j 1  k  0  j 1    pmin và F  t , x   Bx, t  , x  n . Giả sử tồn tại nn Ak  , k  m0 và hàm liên tục, bị chặn   t t   n n   Ke  1 0    bi0 j p j  e  h  bi0 j p j  v   :  sao cho  j 1 j 1     n n   G  t , u0 ,..., um   G t , w0 .., wm    bi0 j p j e  ci0 j p j   h  pi0 m (2.17) pmin  j 1 j 1  pmin   Ak uk  wk  v  t  ,   n n   k 0   bi0 j p j e  ci0 j p j   h  pi0 pmin  j 1 j 1  pmin với mọi t  , uk , wk  n , k  m0 . Khi đó, nếu  m     Ke    t1 t0  pi0   (  pi0 )    pi   B   Ak   0 thì hệ (2.1) là co suy rộng. pmin pmin 0  k 0     t1 t0  Ngoài ra, nếu v   0 thì hệ (2.1) là co toàn cục.   Ke pi0  u (t1 ). Mặt khác, (2.16) kéo theo điều sau 19
Chuyên san Khoa học Tự nhiên Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có chậm 1  m  x  3 cos  tx0  , 2 2 x  t   A0 (t ) x t    Ak t  x  t  hk t  5  2t  k 1 (2.18) t   , x1 , x2  .    t  , t  t0 , Ta có, nn trong đó, Ak () :  , k  m0 là các hàm ma F 2t 4tu  cos2 (1t 2 ) 2 tu (t , u )  1  et  2 trận cho trước;  () :  n là hàm véctơ liên tục, sin( )e u 1 t2 1 t2 bị chặn.  B : 1, Với D  (dij )  nn , ta đặt ma trận Metzler với mọi t , u  và hóa của ma trận D là ma trận Metzler, ký hiệu bởi G  t , x0 , x1 , x2   G t , y0 , y1 , y 2  Met (D) , được xác định như sau Met ( D)  (dij )nn , et 2 2 với dii  dii , dij | dij |, i  j, i, j  n . Sau đây là  x0  y0  x1  y1 2 5 điều kiện cho tính co của (2.18). 1 Hệ quả 2.5. Giả sử tồn tại ma trận Metzler  x2  y2  6 |  |, 5  t2 B  nn và các ma trận không âm với mọi t  , x0 , x1 , x2 , y0 , y1 , y2  . Ck  nn , k  m, sao cho   et 2 Met ( A0 (t ))  B; | Ak (t ) | Ck , Vậy (2.4) được thỏa mãn với A1 (t )  , (2.19) 3 k  m, t  . 2 1  m  A2 (t )  , A3 (t )  và v(t )  6 |  |, với mọi Khi đó, nếu   B   Ck   0 thì hệ (2.18) là 5 5  2t 2  k 0  t . co toàn cục. Mặt khác, ta có Ví dụ 2.6. Xét phương trình vi phân vô hướng 1 2 1 14 2tx ( t ) A0 (t )  A1 (t )  A2 (t )  C :     cos ( 2 3 5 5 15 x  t   (1  et ) x  t   e 2 ) 1 t 2 14 1 2 và  ( B  C )  1   0.  arctan  sin  tx(t )  x  t  h1  t   15 15 5 Do đó, theo Định lí 2.3, phương trình vi  phân (2.21) là co suy rộng. Ngoài ra, khi   0 x  t  h2  t    1  5  2t 2  thì v()  0 , khi đó (2.21) là co toàn cục.  3 cos  tx(t )  , (2.20) Nhận xét 2.7. Các kết quả trong (Ngoc, 2015) và (Ngoc và Trinh, 2018) cũng như trong các tài với t   , h1   , h2  :    là những hàm liệu tham khảo trong bài báo này là không áp dụng liên tục, bị chặn cho trước;  là hằng số. được để kiểm tra điều kiện co suy rộng của phương Ta thấy (2.20) là phương trình vi phân phi trình vi phân (2.20). tuyến phụ thuộc thời gian có dạng (2.1), với hàm 3. Kết luận F (, ), G ,...,  là các hàm liên tục, được xác định Bài báo đã đưa ra khái niệm co suy rộng, một bởi khái niệm tổng quát hơn của khái niệm co của 2 tu nghiệm đối với hệ phương trình vi phân có chậm  cos 2 ( F  t , u  : (1  et )u  e 2 1 t 2 ) , rời rạc, các chậm là hàm phụ thuộc thời gian. Bài báo cũng đã phát triển kĩ thuật trong (Ngoc, 2015) t  , u ; và (Ngoc và Trinh, 2018) để chứng minh nhiều điều kiện cho tính co suy rộng của hệ phương trình 2 G  t , x0 , x1 , x2  : arctan  sin  tx0  x1 vi phân phi tuyến có chậm. Hướng phát triển của 5 20
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 12, Số 2, 2023, 13-21 bài báo là nghiên cứu các điều kiện co suy rộng của Ngoc, P. H. A. (2021). Contraction of stochastic lớp hệ phương trình vi phân trong một số không differential equations. Communications in gian trừu tượng, điều kiện co suy rộng của lớp hệ Nonlinear Science and Numerical phương trình vi phân dạng trung hòa, hệ phương Simulation, 95, 105613. trình vi tích phân, hệ có yếu tố ngẫu nhiên. Tìm Ngoc, P. H. A. (2015). Novel criteria for điều kiện cực tiểu hóa biên co của lớp hệ co suy exponential stability of nonlinear differential rộng cũng là một số vấn đề mở cần được khai thác systems with delay. IEEE Transactions on trong thời gian tới. Automatic Control , 60, 485-490. Lời cảm ơn: Bài báo được hỗ trợ bởi đề tài Ngoc, P. H. A. (2012). Stability of positive khoa học và công nghệ cấp bộ của Bộ Giáo dục và differential systems with delay. IEEE Đào tạo mã số B2020.SPD.04. Transactions on Automatic Control, 58(1), Tài liệu tham khảo 203-209. Aminzare, Z. and Sontag, E. D. (2015). Contraction Ngoc, P. H. A., Trinh, H, Hieu, L. T., and Huy, N. methods for nonlinear systems: A brief D. (2019). On contraction of nonlinear introduction and some open problems. difference systems with time-varying delays, Proceedings of 53 rd IEEE Conference on Mathematische Nachrichten, 292(4), 859-870. Decision and Control, 3835-3847. Ngoc P. H. A. and Trinh, H. (2018). On contraction Hale, J. K. and Lunel, S. M. V. (1993). of functional differential equations. SIAM Introduction to functional differential Journal on Control and Optimization, 56(3), equations. New York: Springer. 2377-2397. Ky, T. Q. (2021). Exponential contraction of Thúy, Đ. L., Tình, C. T, Hiếu, L. T., Vân, L. H. M. switching jump diffusions with a hidden (2020). Điều kiện đủ cho tính chất epsilon-co Markov chain. Statistics and Probability của một lớp hệ phương trình sai phân phi Letters, 109191. tuyến với biến liên tục. Science and Lohmiller, W. and Slotine, J. J. E. (1998). On Technology Development Journal - Natural contraction analysis for nonlinear systems. Sciences, 3(3), 213-224. Automatica, 34, 683-696. 21