YOMEDIA
ADSENSE
Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương
1.901
lượt xem 229
download
lượt xem 229
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Những bài toán dưới đây được trích từ kĩ thuật nhảy tầng lầu của tích phân. Kĩ thuật này là tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc của tử và mẫu rất lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn được mô tả theo sơ đồ:
AMBIENT/
Chủ đề:
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương
- Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương MỘT VÀI NÉT VỀ KĨ THUẬT NHẢY TÂNG LẦU Những bài toán dưới đây được trích từ kĩ thuật nhảy tầng lầu của tích phân. Kĩ thuật này là tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc của tử và mẫu rất lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn được mô tả theo sơ đồ: dx 1 [ u ( x ) + b] − [ u ( x ) − b ] 1 ⎡ u ( x) + b u ( x) − b ⎤ ∫x n +a = 2b ∫ x +an dx = ⎢ 2b ⎣ x + a n ∫ dx − xn + a ∫ dx ⎥ ⎦ Một số học sinh và giáo viên khi chưa hiểu biết đầy đủ thì cho rằng tên gọi kĩ thuật "nhảy tầng lầu" chỉ là câu chữ để tạo cảm xúc khi giảng bài nhưng họ chưa biết điều quan trọng nhất của kĩ thuật chính là nghệ thuật dx chọn hàm u(x). Ví dụ về nguyên tắc chúng ta có thể tính ∫x 8 +1 bằng phương pháp hệ số bất định có lời giải khoảng 2 trang giấy, nhưng nếu giải nó bởi 5 biến đổi dấu bằng với khoảng 3 dòng thì lại là một đẳng cấp khác… dx 1 ( x 2 + 1) − ( x 2 − 1) 1 ⎛ x2 + 1 x2 − 1 ⎞ VD 1: I 1 = ∫ 4 = x +1 2 ∫ x4 + 1 dx = ⎜ ∫ 2 ⎝ x4 + 1 dx − ∫ dx ⎟ x4 + 1 ⎠ 1 ⎛ ⎜ 1+ 2 1 x dx − 1 1− 2 ⎞ ⎟ 1⎢ ⎡ x dx ⎟ = ⎢ ( d x−1 x ) ⎛ 1⎞ d⎜x + ⎟ ⎝ x⎠ ⎤ ⎥ = ⎜ ∫ ∫ ∫ − ∫⎛ ⎥ 2 ⎜ x2 + 1 1 ( ) 2 2 ⎟ 2⎢ x−1 + ( 2) 2 1⎞ 2 ⎥ ⎜x + ⎟ − ( 2) ⎥ 2 ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ x2 x ⎠ ⎢ x ⎣ ⎝ x⎠ ⎦ 1⎛ 1 x2 − 1 1 x2 − x 2 + 1 ⎞ = ⎜ arctg − ln 2 ⎟+c 2⎜ 2 ⎝ x 2 2 2 x + x 2 +1 ⎟ ⎠ dx dx d ( x − 1) VD 2: I 2 = ∫ 3 x -1 = ∫ ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1) = ∫ ( x − 1 ) ⎡ ( x − 1 ) 2 + 3 ( x − 1) + 3 ⎤ ⎣ ⎦ dt 1 ( t 2 + 3t + 3) − ( t 2 + 3t ) 1 ⎛ dt ( t + 3) dt ⎞ = ∫ t (t 2 + 3t + 3) = 3 ∫ t ( t 2 + 3t + 3) dt = 3 ⎜ ∫ t − ∫ t 2 + 3t + 3 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛ dt 1 ( 2t + 3) dt 3 dt ⎞ 1 ⎛ dt 1 d ( t 2 + 3t + 3) 3 dt ⎞ = ⎜ ∫ − −∫ ⎟= ⎜ − ∫ − ∫ ∫ ∫ ⎟ 3 ⎝ t 2 t 2 + 3t + 3 2 t 2 + 3t + 3 ⎠ 3 ⎜ t 2 t 2 + 3t + 3 ( ) 2 2 3 ⎜ t+3 + ⎟⎟ ⎝ 2 4⎠ 1⎛ 1 t2 2t + 3 ⎞ 1 x2 − 2x + 1 1 2x + 1 = ⎜ ln 2 − 3arctg ⎟ + c = ln 2 − arctg +c 3 ⎝ 2 t + 3t + 3 3 ⎠ 6 x + x +1 2 3 3 11
- Tuyển tập các chuyên đề và kĩ thuật tính tích phân − Trần Phương dx dx d ( x + 1) VD 3: I 3 = ∫ x3 + 1 = ∫ ( x + 1) ( x 2 − x + 1) = ∫ ( x + 1) ⎡ ( x + 1 ) 2 − 3 ( x + 1) + 3 ⎤ ⎣ ⎦ dt 1 ( t 2 − 3t + 3) − ( t 2 − 3t ) 1 ⎛ dt ( t − 3) dt ⎞ = ∫ t (t 2 − 3t + 3) = 3 ∫ t ( t 2 − 3t + 3) dt = 3 ⎜ ∫ t − ∫ t 2 − 3t + 3 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛ dt 1 ( 2t − 3) dt 3 dt ⎞ 1 ⎛ dt 1 d ( t2 − 3t + 3) 3 dt ⎞ = ⎜ ∫ − +∫ ⎟= ⎜ − ∫ + ∫ ∫ ∫ ⎟ 3 ⎝ t 2 t2 − 3t + 3 2 t2 − 3t + 3 ⎠ 3 ⎜ t 2 t2 − 3t + 3 ( ) 2 2 3 ⎜ t−3 + ⎟⎟ ⎝ 2 4⎠ 1⎛1 t2 2t − 3 ⎞ 1 x 2 + 2x + 1 1 2x − 1 = ⎜ ln 2 + 3arctg ⎟ + c = ln 2 + arctg +c 3 ⎝ 2 t − 3t + 3 3 ⎠ 6 x − x +1 2 3 3 dx dx 1 ⎡ dx dx ⎤ 1 VD 4: I 4 = ∫x = ∫ (x = ⎢ x3 − 1 − x3 + 1 ⎥ = 2 ( I 2 − I 3 ) ∫ ∫ − 1)( x 3 + 1) 6 -1 3 2⎣ ⎦ 1 ⎡⎛ 1 x 2 − 2x + 1 1 2x + 1 ⎞ ⎛ 1 x 2 + 2x + 1 1 2x − 1 ⎞⎤ = ⎢⎜ ln 2 − arctg ⎟ − ⎜ ln 2 + arctg ⎟⎥ 2 ⎢⎜ 6 ⎣⎝ x + x +1 2 3 ⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝6 x − x +1 2 3 3 ⎠⎥ ⎟ ⎦ 1 ( x 2 − 2x + 1)( x 2 − x + 1) 1 ⎛ 2x + 1 2x − 1 ⎞ = ln − arctg + arctg ⎟+c 12 ( x 2 + 2x + 1)( x 2 + x + 1) 4 3 ⎜⎝ 3 3 ⎠ dx 1 ( x4 + 1) − ( x4 − 1) 1 ( x4 − x2 + 1) + x2 − ( x2 + 1)( x2 − 1) dx VD 5: I5 = ∫ 6 = x +1 2 ∫ x6 + 1 dx = 2 ∫ ( x2 + 1)( x4 − x2 + 1) ⎡ ⎛1 − 1 ⎞ dx ⎤ ⎡ dx 2 ( x 2 − 1) dx ⎤ 1 ⎢ dx 1 d ( x3 ) ⎜ ⎟ ⎥ 1 x dx x2 ⎠ = ⎢ 2 ∫ + 6 − 4 ∫ ⎥ = ⎢ 2 + ∫− ⎝ ⎥= ∫ ∫ ∫ 2 ⎣ x +1 x +1 2 6 x − x + 1⎦ 2 ⎢ x + 1 3 x + 1 ⎛ x 2 + 1 ⎞ − 1⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎣ ⎝ x2 ⎠ ⎥ ⎦ ⎡ 1⎢ arctg ( x3 ) ( ) d x+ 1 x ⎤ ⎥ 3arctgx + arctg ( x ) 3 1 x2 − x 3 + 1 arctgx + − ∫ = − ln 2 +c 2⎢ ( ) 2 ⎥ ⎢ 3 x+ 1 − ( 3 )2 ⎥ 6 4 3 x + x 3 +1 ⎣ x ⎦ dx cos x dx d ( sin x ) d ( sin x ) VD 6: I 6 = ∫ cos 3 x = ∫ cos x 4 = ∫ (1 − sin 2 x) 2 = ∫ [(1 + sin x ) (1 − sin x )] 2 2 1 ⎡ (1 + sin x ) + (1 − sin x ) ⎤ 2 1 ⎛ 1 1 ⎞ = 4 ⎣ ∫ ⎢ (1 + sin x ) (1 − sin x ) ⎥ d ( sin x ) = 4 ⎜ 1 − sin x + 1 + sin x ⎟ d ( sin x ) ⎦ ⎝ ⎠ ∫ 1 ⎡ 1 1 2 ⎤ ( sin x 1 1 + sin x = ∫⎢( 4 ⎣ 1 − sin x ) 2 + + 2 ⎥ (1 + sin x ) 1 − sin x ⎦ 2 d sin x ) = + ln 2 cos x 2 1 − sin x 2 +c 12
ADSENSE
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn:
Báo xấu
LAVA
AANETWORK
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn