Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương

Chia sẻ: Phamngoc Phu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:2

Thêm vào BST

Báo xấu

1.902
lượt xem 229
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Những bài toán dưới đây được trích từ kĩ thuật nhảy tầng lầu của tích phân. Kĩ thuật này là tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc của tử và mẫu rất lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn được mô tả theo sơ đồ:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương

Một vài nét về kĩ thuật nhảy tầng lầu − Trần Phương MỘT VÀI NÉT VỀ KĨ THUẬT NHẢY TÂNG LẦU Những bài toán dưới đây được trích từ kĩ thuật nhảy tầng lầu của tích phân. Kĩ thuật này là tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc của tử và mẫu rất lớn thành 2 tích phân có khoảng cách giữa 2 bậc nhỏ hơn được mô tả theo sơ đồ: dx 1 [ u ( x ) + b] − [ u ( x ) − b ] 1 ⎡ u ( x) + b u ( x) − b ⎤ ∫x n +a = 2b ∫ x +an dx = ⎢ 2b ⎣ x + a n ∫ dx − xn + a ∫ dx ⎥ ⎦ Một số học sinh và giáo viên khi chưa hiểu biết đầy đủ thì cho rằng tên gọi kĩ thuật "nhảy tầng lầu" chỉ là câu chữ để tạo cảm xúc khi giảng bài nhưng họ chưa biết điều quan trọng nhất của kĩ thuật chính là nghệ thuật dx chọn hàm u(x). Ví dụ về nguyên tắc chúng ta có thể tính ∫x 8 +1 bằng phương pháp hệ số bất định có lời giải khoảng 2 trang giấy, nhưng nếu giải nó bởi 5 biến đổi dấu bằng với khoảng 3 dòng thì lại là một đẳng cấp khác… dx 1 ( x 2 + 1) − ( x 2 − 1) 1 ⎛ x2 + 1 x2 − 1 ⎞ VD 1: I 1 = ∫ 4 = x +1 2 ∫ x4 + 1 dx = ⎜ ∫ 2 ⎝ x4 + 1 dx − ∫ dx ⎟ x4 + 1 ⎠ 1 ⎛ ⎜ 1+ 2 1 x dx − 1 1− 2 ⎞ ⎟ 1⎢ ⎡ x dx ⎟ = ⎢ ( d x−1 x ) ⎛ 1⎞ d⎜x + ⎟ ⎝ x⎠ ⎤ ⎥ = ⎜ ∫ ∫ ∫ − ∫⎛ ⎥ 2 ⎜ x2 + 1 1 ( ) 2 2 ⎟ 2⎢ x−1 + ( 2) 2 1⎞ 2 ⎥ ⎜x + ⎟ − ( 2) ⎥ 2 ⎜ x + 2 ⎟ ⎝ x2 x ⎠ ⎢ x ⎣ ⎝ x⎠ ⎦ 1⎛ 1 x2 − 1 1 x2 − x 2 + 1 ⎞ = ⎜ arctg − ln 2 ⎟+c 2⎜ 2 ⎝ x 2 2 2 x + x 2 +1 ⎟ ⎠ dx dx d ( x − 1) VD 2: I 2 = ∫ 3 x -1 = ∫ ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1) = ∫ ( x − 1 ) ⎡ ( x − 1 ) 2 + 3 ( x − 1) + 3 ⎤ ⎣ ⎦ dt 1 ( t 2 + 3t + 3) − ( t 2 + 3t ) 1 ⎛ dt ( t + 3) dt ⎞ = ∫ t (t 2 + 3t + 3) = 3 ∫ t ( t 2 + 3t + 3) dt = 3 ⎜ ∫ t − ∫ t 2 + 3t + 3 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛ dt 1 ( 2t + 3) dt 3 dt ⎞ 1 ⎛ dt 1 d ( t 2 + 3t + 3) 3 dt ⎞ = ⎜ ∫ − −∫ ⎟= ⎜ − ∫ − ∫ ∫ ∫ ⎟ 3 ⎝ t 2 t 2 + 3t + 3 2 t 2 + 3t + 3 ⎠ 3 ⎜ t 2 t 2 + 3t + 3 ( ) 2 2 3 ⎜ t+3 + ⎟⎟ ⎝ 2 4⎠ 1⎛ 1 t2 2t + 3 ⎞ 1 x2 − 2x + 1 1 2x + 1 = ⎜ ln 2 − 3arctg ⎟ + c = ln 2 − arctg +c 3 ⎝ 2 t + 3t + 3 3 ⎠ 6 x + x +1 2 3 3 11
Tuyển tập các chuyên đề và kĩ thuật tính tích phân − Trần Phương dx dx d ( x + 1) VD 3: I 3 = ∫ x3 + 1 = ∫ ( x + 1) ( x 2 − x + 1) = ∫ ( x + 1) ⎡ ( x + 1 ) 2 − 3 ( x + 1) + 3 ⎤ ⎣ ⎦ dt 1 ( t 2 − 3t + 3) − ( t 2 − 3t ) 1 ⎛ dt ( t − 3) dt ⎞ = ∫ t (t 2 − 3t + 3) = 3 ∫ t ( t 2 − 3t + 3) dt = 3 ⎜ ∫ t − ∫ t 2 − 3t + 3 ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛ dt 1 ( 2t − 3) dt 3 dt ⎞ 1 ⎛ dt 1 d ( t2 − 3t + 3) 3 dt ⎞ = ⎜ ∫ − +∫ ⎟= ⎜ − ∫ + ∫ ∫ ∫ ⎟ 3 ⎝ t 2 t2 − 3t + 3 2 t2 − 3t + 3 ⎠ 3 ⎜ t 2 t2 − 3t + 3 ( ) 2 2 3 ⎜ t−3 + ⎟⎟ ⎝ 2 4⎠ 1⎛1 t2 2t − 3 ⎞ 1 x 2 + 2x + 1 1 2x − 1 = ⎜ ln 2 + 3arctg ⎟ + c = ln 2 + arctg +c 3 ⎝ 2 t − 3t + 3 3 ⎠ 6 x − x +1 2 3 3 dx dx 1 ⎡ dx dx ⎤ 1 VD 4: I 4 = ∫x = ∫ (x = ⎢ x3 − 1 − x3 + 1 ⎥ = 2 ( I 2 − I 3 ) ∫ ∫ − 1)( x 3 + 1) 6 -1 3 2⎣ ⎦ 1 ⎡⎛ 1 x 2 − 2x + 1 1 2x + 1 ⎞ ⎛ 1 x 2 + 2x + 1 1 2x − 1 ⎞⎤ = ⎢⎜ ln 2 − arctg ⎟ − ⎜ ln 2 + arctg ⎟⎥ 2 ⎢⎜ 6 ⎣⎝ x + x +1 2 3 ⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝6 x − x +1 2 3 3 ⎠⎥ ⎟ ⎦ 1 ( x 2 − 2x + 1)( x 2 − x + 1) 1 ⎛ 2x + 1 2x − 1 ⎞ = ln − arctg + arctg ⎟+c 12 ( x 2 + 2x + 1)( x 2 + x + 1) 4 3 ⎜⎝ 3 3 ⎠ dx 1 ( x4 + 1) − ( x4 − 1) 1 ( x4 − x2 + 1) + x2 − ( x2 + 1)( x2 − 1) dx VD 5: I5 = ∫ 6 = x +1 2 ∫ x6 + 1 dx = 2 ∫ ( x2 + 1)( x4 − x2 + 1) ⎡ ⎛1 − 1 ⎞ dx ⎤ ⎡ dx 2 ( x 2 − 1) dx ⎤ 1 ⎢ dx 1 d ( x3 ) ⎜ ⎟ ⎥ 1 x dx x2 ⎠ = ⎢ 2 ∫ + 6 − 4 ∫ ⎥ = ⎢ 2 + ∫− ⎝ ⎥= ∫ ∫ ∫ 2 ⎣ x +1 x +1 2 6 x − x + 1⎦ 2 ⎢ x + 1 3 x + 1 ⎛ x 2 + 1 ⎞ − 1⎥ ⎜ ⎟ ⎢ ⎣ ⎝ x2 ⎠ ⎥ ⎦ ⎡ 1⎢ arctg ( x3 ) ( ) d x+ 1 x ⎤ ⎥ 3arctgx + arctg ( x ) 3 1 x2 − x 3 + 1 arctgx + − ∫ = − ln 2 +c 2⎢ ( ) 2 ⎥ ⎢ 3 x+ 1 − ( 3 )2 ⎥ 6 4 3 x + x 3 +1 ⎣ x ⎦ dx cos x dx d ( sin x ) d ( sin x ) VD 6: I 6 = ∫ cos 3 x = ∫ cos x 4 = ∫ (1 − sin 2 x) 2 = ∫ [(1 + sin x ) (1 − sin x )] 2 2 1 ⎡ (1 + sin x ) + (1 − sin x ) ⎤ 2 1 ⎛ 1 1 ⎞ = 4 ⎣ ∫ ⎢ (1 + sin x ) (1 − sin x ) ⎥ d ( sin x ) = 4 ⎜ 1 − sin x + 1 + sin x ⎟ d ( sin x ) ⎦ ⎝ ⎠ ∫ 1 ⎡ 1 1 2 ⎤ ( sin x 1 1 + sin x = ∫⎢( 4 ⎣ 1 − sin x ) 2 + + 2 ⎥ (1 + sin x ) 1 − sin x ⎦ 2 d sin x ) = + ln 2 cos x 2 1 − sin x 2 +c 12