Nén tổng đa mode bậc cao Hillery

NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY<br /> VÕ TÌNH - PHẠM THỊ HẠNH THẢO<br /> Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br /> <br /> Tóm tắt: Trong bài báo này nén tổng đa mode bậc cao Hillery được<br /> khảo sát. Các điều kiện nén đa mode bậc cao và mối liên hệ giữa nén<br /> đơn mode bậc cao Hillery có tần số tổng và nén tổng đa mode bậc cao<br /> Hillery được thiết lập. Quá trình nén này của hệ các photon ở trạng thái<br /> kết hợp và nén kết hợp trong môi trường phi tuyến cũng được khảo sát<br /> bằng đồ thị cho thấy sự phụ thuộc của nén tổng đa mode Hillery vào<br /> các tham số của các trạng thái photon ở ngõ vào.<br /> <br /> 1 GIỚI THIỆU<br /> Laser ra đời, dưới tác dụng của nó các hiệu ứng quang phi tuyến bộc lộ nhiều tính<br /> chất, hiện tượng thú vị. Sự nghiên cứu về laser cho ra đời một loạt các khái niệm cơ<br /> bản trong quang lượng tử như trạng thái kết hợp, trạng thái nén... Trạng thái nén<br /> bậc cao đa mode được đề xuất đầu tiên bởi Hillery vào năm 1989 khi khảo sát hai<br /> trường hợp nén tổng và nén hiệu đơn giản nhất cho hai mode [6]. Sau đó Kumar và<br /> Gupta nâng trường hợp khảo sát lên ba mode [7]. Nén tổng đa mode tổng quát đã<br /> được Nguyễn Bá Ân, Võ Tình khảo sát cho hệ có ngõ vào là các đơn mode kết hợp<br /> và đơn mode nén [4], [5]. Sau đó các tác giả Nguyễn Việt Cường đã khảo sát nén<br /> tổng đa mode tổng quát cho hệ có ngõ vào là các đơn mode kết hợp, kết hợp thêm<br /> photon và đơn mode nén [1]. Bài báo này trình bày khảo sát mở rộng công trình<br /> trên về nén tổng đa mode bậc cao Hillery, áp dụng khảo sát hệ có ngõ vào là các<br /> đơn mode kết hợp và đơn mode nén.<br /> 2 NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY TỔNG QUÁT<br /> Xét quá trình vật lý xảy ra trong môi trường phi tuyến, trong đó N photon với<br /> tần số ω1 , ω2 , ω3 , ..., ωN kết hợp với nhau để tạo thành một photon có tần số tổng<br /> ΩS = ω1 + ω2 + ω3 + ... + ωN . Hamiltonian ứng với sự sinh ra một tần số tổng như<br /> thế có dạng [2]<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 02(14)/2010: tr. 15-24<br /> <br /> 16<br /> <br /> VÕ TÌNH - PHẠM THỊ HẠNH THẢO<br /> <br /> ˆS =<br /> H<br /> <br /> N<br /> X<br /> <br /> ωj n<br /> ˆ j + ΩS n<br /> ˆ S + gS (ˆ<br /> c+<br /> ˆ1 ...ˆ<br /> cN + h.c).<br /> Sc<br /> <br /> (1)<br /> <br /> j=1<br /> <br /> Trong đó n<br /> ˆ j = cˆ+<br /> ˆj , n<br /> ˆ S = cˆ+<br /> ˆS với cˆ+<br /> ˆj và cˆ+<br /> ˆS theo thứ tự là các toán tử sinh,<br /> j c<br /> j ,c<br /> Sc<br /> S,c<br /> huỷ ứng với các mode ωj và ΩS . Hằng số tương tác gS được giả thiết là thực. Vì các<br /> photon dao động trong miền quang học với tần số cao cỡ 1015 Hz nên thành phần<br /> biến thiên nhanh được tách riêng ra và viết<br /> cˆj (t) = Cˆj (t)e−iωj t ,<br /> <br /> cˆS (t) = CˆS (t)e−iΩS t<br /> <br /> (2)<br /> <br /> trong đó các toán tử Cˆj (t), CˆS (t) biến thiên chậm theo thời gian vì thông thường<br /> gS ¿ ωj , ΩS .<br /> Toán tử biên độ trực giao của tần số tổng ΩS luỹ thừa k được định nghĩa<br /> h<br /> i<br /> ˆ C ,k (ϕ, t) = 1 Cˆ k (t)e−iϕ + Cˆ +k (t)eiϕ .<br /> X<br /> S<br /> S<br /> 2 S<br /> <br /> (3)<br /> <br /> Tính được giao hoán tử<br /> h<br /> i<br /> ˆ C ,k (ϕ, t), X<br /> ˆ C ,k (ϕ + π , t) = i FˆC (k, t),<br /> X<br /> S<br /> S<br /> 2<br /> 2 S<br /> <br /> (4)<br /> <br /> h<br /> i<br /> +k<br /> k<br /> ˆ<br /> ˆ<br /> ˆ<br /> trong đó FCS (k, t) = CS (t), CS (t) . Điều kiện để có nén biên độ luỹ thừa k kiểu<br /> Hillery theo phương ϕ là<br /> 1<br /> V XCS ,k (ϕ, t) < |hFˆCS (k, t)i|<br /> 4<br /> <br /> (5)<br /> <br /> ˆ S,k (ϕ, t) được định nghĩa như sau<br /> Toán tử 00 tập thể00 lũy thừa k Q<br /> #<br /> "<br /> N<br /> N<br /> Y<br /> Y<br /> 1<br /> +(k−1)<br /> ˆ S,k (ϕ, t) ≡<br /> Cˆj+ (t)eiϕ .<br /> Cˆj (t)e−iϕ + CˆS<br /> (t)<br /> Q<br /> CˆSk−1 (t)<br /> 2<br /> j=1<br /> j=1<br /> <br /> (6)<br /> <br /> Từ (6) ta suy ra hệ thức giao hoán<br /> h<br /> ³<br /> ´i<br /> ˆ S,k (ϕ, t), Q<br /> ˆ S,k ϕ + π , t = i FˆS (k, N, t),<br /> Q<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> (7)<br /> <br /> 17<br /> <br /> NÉN TỔNG ĐA MODE BẬC CAO HILLERY<br /> <br /> trong đó<br /> FˆS (k, N, t)<br /> <br /> +(k−1)<br /> =CˆSk−1 (t)CˆS<br /> (t)<br /> <br /> "N<br /> Y<br /> <br /> Cˆj (t),<br /> <br /> j=1<br /> <br /> N<br /> Y<br /> <br /> #<br /> Cˆj+ (t)<br /> <br /> j=1<br /> <br /> N<br /> h<br /> iY<br /> +(k−1)<br /> Cˆj+ (t)Cˆj (t)<br /> + CˆSk−1 (t), CˆS<br /> (t)<br /> <br /> (8)<br /> <br /> j=1<br /> +(k−1)<br /> (t)FˆS (N, t) + FˆCS (k − 1, t)<br /> =CˆSk−1 (t)CˆS<br /> <br /> N<br /> Y<br /> <br /> n<br /> ˆ j (t).<br /> <br /> j=1<br /> <br /> Như vậy, trạng thái 00 tập thể00 của các mode ωj được gọi là nén tổng đa mode bậc<br /> cao theo hướng ϕ nếu V QS,k (ϕ, t) thỏa mãn điều kiện<br /> V QS,k (ϕ, t) −<br /> <br /> |hFˆS (k, N, t)i|<br /> < 0,<br /> 4<br /> <br /> (9)<br /> <br /> D<br /> E D<br /> E2<br /> ˆ 2 (ϕ, t) − Q<br /> ˆ S,k (ϕ, t) .<br /> trong đó phương sai V QS,k (ϕ, t) = Q<br /> S,k<br /> Mối liên hệ giữa nén Hillery đơn mode có tần số tổng với nén tổng đa mode bậc<br /> cao Hillery được rút ra bằng cách dùng Hamiltonian (1) để thiết lập phương trình<br /> chuyển động cho các toán tử cần quan tâm, hệ phương trình thu được có dạng<br /> N<br /> Y<br /> dCˆj (t)<br /> ˙<br /> Cˆk+ (t)CˆS (t),<br /> Cˆj (t) ≡<br /> = −igS<br /> dt<br /> k=1,k6=j<br /> <br /> (10)<br /> <br /> N<br /> Y<br /> dCˆj (t)<br /> ˙<br /> ˆ<br /> CS (t) ≡<br /> Cˆk (t).<br /> = −igS<br /> dt<br /> k=1<br /> <br /> (11)<br /> <br /> Lấy đạo hàm (11) theo thời gian một lần nữa rồi vận dụng (11) vào kết quả tính đạo<br /> hàm cho ta kết quả<br /> ¨<br /> CˆS (t) = −gS2 CˆS (t)FˆS (N, t)<br /> (12)<br /> Trong phép gần đúng thời gian ngắn, sự phụ thuộc thời gian của nghiệm CˆS (t) dưới<br /> dạng khai triển Taylor đến bậc hai có dạng (quy ước CˆS (0) = CˆS ...)<br /> CˆS (t) = CˆS − igS t<br /> <br /> N<br /> Y<br /> <br /> 1<br /> Cˆj − gS2 t2 CˆS FˆS (N )<br /> 2<br /> j=1<br /> <br /> (13)<br /> <br /> 18<br /> <br /> VÕ TÌNH - PHẠM THỊ HẠNH THẢO<br /> <br /> Với điều kiện bỏ qua số hạng bậc hai trở lên của thời gian và thời điểm ban đầu các<br /> mode không tương quan với nhau ta viết được<br /> µ<br /> <br /> ¶<br /> N<br /> Y<br /> k 2 2ˆ<br /> k−1<br /> k<br /> ˆ<br /> ˆ<br /> 1 − gS t FS (N ) CS − ikgS tCS<br /> Cˆj ,<br /> 2<br /> j=1<br /> <br /> (14)<br /> <br /> µ<br /> ¶<br /> N<br /> Y<br /> k 2 2ˆ<br /> +(k−1)<br /> +k<br /> ˆ<br /> ˆ<br /> 1 − gS t FS (N ) CS + ikgS tCS<br /> Cˆj+ .<br /> 2<br /> j=1<br /> <br /> (15)<br /> <br /> CˆSk (t) =<br /> <br /> CˆS+k (t) =<br /> <br /> Thế (14), (15) vào (3) và xét trường hợp mode tần số tổng Ω<br /> ¯DS ban đầu<br /> E¯ (t = 0) ở<br /> ¯<br /> 1¯ ˆ<br /> trạng thái chân không hoặc kết hợp, nghĩa là V XCS ,k (ϕ) − 4 ¯ FCS (k) ¯ = 0 thì ta<br /> có phương trình với phương sai của toán tử biên độ trực giao tần số tổng lũy thừa<br /> k là<br /> E¯<br /> 1 ¯¯D<br /> ¯<br /> V XCS ,k (ϕ, t)− ¯ FˆCS (k, t) ¯<br /> 4<br /> ·<br /> (16)<br /> E¯¸<br /> ³<br /> π ´ 1 ¯¯D ˆ<br /> ¯<br /> 2 2 2<br /> − ¯ FS (k, N, t) ¯ .<br /> = k gS t V QS,k ϕ +<br /> 2<br /> 4<br /> (16) suy ra mối quan hệ quan trọng cần thiết lập: không có nén tổng đa mode bậc<br /> cao Hillery thì cũng không tồn tại nén đơn mode Hillery của mode cˆS . Nếu các mode<br /> ở ngõ vào được nén tổng đa mode bậc cao dọc theo hướng ϕ nào đó ở thời điểm t =<br /> 0, thì mode ở ngõ ra sẽ được nén đơn mode Hillery dọc theo hướng ϕ − π/2 ở thời<br /> điểm t > 0 ngay sau đó. Cần lưu ý rằng nếu cho k =1, ta thu được biểu thức tương<br /> tự cho nén tổng đa mode tổng quát thông thường mà các tác giả Nguyễn Bá Ân, Võ<br /> Tình đã khảo sát [4], [5].<br /> Sử dụng các công thức (6), (7), (8), (9) ta sẽ suy ra biểu thức cụ thể của điều kiện<br /> nén tổng đa mode bậc cao phụ thuộc vào các mode ở ngõ vào như sau:<br /> #)<br /> (<br /> "N<br /> N D<br /> E2<br /> D E Y<br /> Y<br /> 2(k−1)<br /> V =2Re e−2iϕ α<br /> Cˆj<br /> Cˆj2 −<br /> S<br /> <br /> "<br /> + 2 |αS |<br /> <br /> 2(k−1)<br /> <br /> j=1<br /> <br /> j=1<br /> N<br /> Y<br /> j=1<br /> <br /> hˆ<br /> nj i −<br /> <br /> N D<br /> Y<br /> <br /> Cˆj+<br /> <br /> ED<br /> <br /> Cˆj<br /> <br /> E<br /> <br /> (17)<br /> <br /> #<br /> 0. Vậy, hệ không có<br /> j=1 hˆ<br /> nén tổng được.<br /> b) Trường hợp tất cả các đơn mode đều kết hợp |αj i, αj = rj exp{iϑj }, j = 1, 2, ..., N<br /> Sử dụng véctơ trạng thái kết hợp ta tính được một số giá trị trung bình ở trạng thái<br /> này như sau:<br /> D E<br /> Cˆj = α,<br /> D E2 D E<br /> (18)<br /> Cˆj = Cˆj2 = αj2 ,<br /> D E<br /> Cˆj+ = α∗ , hˆ<br /> nj i = |αj |2 .<br /> Điều này dẫn tới đại lượng V trong (17) bằng không, do đó không có nén tổng đa<br /> mode bậc cao khi hệ có ngõ vào đều là các đơn mode kết hợp.<br /> c) Trường hợp một trong các mode được nén, mode ` chẳng hạn còn tất cả các mode<br /> khác đều kết hợp<br /> Một mode nén được mô tả bởi hai số phức α` = r` exp(iϑ) và z` = s` exp(iχ) theo đó<br /> vectơ trạng thái nén kết hợp của các đơn mode bị nén là<br /> ˆ C (α` )SˆC (z` )|0i.<br /> |α` , z` i = D<br /> `<br /> `<br /> <br /> Mode thứ ` được nén cho ta<br /> D E<br /> D E<br /> ˆ<br /> C` = α` , Cˆ`+ = α`∗<br /> D E<br /> Cˆ`2 = α`2 − eiχ` sinh s` cosh s`<br /> D E2<br /> n` i = |α` |2 + sinh2 s` .<br /> Cˆ` = α`2 , hˆ<br /> <br /> (19)<br /> <br /> (20)<br /> <br /> Thay (18), (20) vào (17), và xét trường hợp các mode kết hợp đều giống nhau<br /> 2(k−1) QN<br /> 2<br /> αj = rJ eiϑJ , và vì 2rS<br /> j6=`,j=1 rj ≥ 0 nên biểu thức điều kiện nén (17) được viết<br /> lại<br /> V2 = sinh2 s` − sinh s` cosh s` cos [2 (−ϕ + (k − 1)ϑS + (N − 1)ϑJ + χ` )]<br /> <br /> (21)<br /> <br />