Ngân hàng đề thi môn Đại số

Chia sẻ: Hà Thị Hoan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

112
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngân hàng đề thi môn Đại số là tư liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên chuyên ngành Toán, với hơn 30 câu hỏi giúp các bạn cũng cố kiến thức, hỗ trợ học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ngân hàng đề thi môn Đại số

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN Độc lập Tự do – Hạnh phúc NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: ĐẠI SỐ Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/ của Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /12/2010 DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY NGÀNH VIỄN THÔNG, KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ, CÔNG NGHỆ THÔNG TIN MỖI ĐỀ 4 CÂU ( mỗi phần chọn một câu và có tổng điểm bằng 10) A. PHẦN 1 Loại 2 điểm Câu A 1.2: A, B, C , D là tập con của E . Chứng minh rằng: a) Nếu A B, C D thì A �C �B �D và A �C �B �D . b) Nếu A C A B, A C A B thì C B. Câu A 2.2: Đặt A = { 1, 2,3, 4,5,6,7,8} , B = { 1,3,5,7,9} , C = { 4,5,6} và D = { 2,5,8} là các tập con của X = { 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9,10} . a) Liệt kê các phần tử của A �( B �C ) và ( D �B ) �C ; b) Biểu diễn các tập { 5} , { 4,6,10} , { 2,8} theo A, B, C , D . Câu A 3.2: Trong tập X = { 2,3,6,9,12,13} xét hai hàm mệnh đề P( x) : " x 10" và Q ( x) : ” x lẻ”. Đặt A = { x X P ( x)} , B = { x X Q ( x)} . Hãy xác định các tập A , B , A B , A B và A B. Câu A 4.2: Chứng minh rằng nếu f : X Y , g :Y Z là hai song ánh thì ánh xạ hợp g o f cũng là một song ánh và ( g o f )−1 = f −1 o g −1 . R xác định bởi: a Rb Câu A 5.2: Trong tập số tự nhiên khác không N* , xét quan hệ khi và chỉ khi a chia hết cho b . Chứng minh R là một quan hệ thứ tự. R là thứ tự bộ phận hay toàn phần. Câu A 6.2: Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của công thức đại số Boole sau: A = ( x �� y z ) ( x y z ') ( x ' y z ') ( x y ' z ') ( x ' y ' z ') 1
Câu A 7.2: Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của công thức đại số Boole sau: A= � �{ ( x '�� z ) ( x z ') � � y { x y z}} {� ( y' � z) (y z ') � } �x . Câu A 8.2: Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của công thức đại số Boole sau: A = { x �� y '} { x y z} { ( y ' z ) ( y z ') � x � } { �( x ' z) (x z ') � y } Câu A 9.2: Rút gọn sau đó vẽ sơ đồ mạng của công thức đại số Boole sau: � � { A = { y �� z '} ( x ' z ) ( x z ') � � y {x } y z} {� ( y' � z) (y z ') � �x } Câu A 10.2: Tìm hàm Boole F ( x, y, z ) nhận giá trị 1 khi và chỉ khi a) x = 0, y = 1, z = 1 ; b) y = 1, z = 0 ; c) x = 0, y = 1, z = 0 ; d) x = 0 hoặc y = 1, z = 1 . Biểu diễn mạng các chuyển mạch tương ứng với kết quả tìm được. Câu A 11.2: Ánh xạ f : ? ? có công thức xác định ảnh f ( x) = 5 x − 2 x là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược nếu tồn tại. Câu A 12.2: Ánh xạ f : ? ? có công thức xác định ảnh f ( x) = x3 + 5 là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược nếu tồn tại. Câu A 13.2: Ánh xạ f :[ −1;1] [ −1;3] có công thức xác định ảnh f ( x) = x 2 − 2 x là đơn ánh, toàn ánh, song ánh? Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược nếu tồn tại. Câu A 14.2: Trong ? 2 xét quan hệ ( x, y ) R( x ', y ') khi và chỉ khi x + y = x '+ y ' . Chứng minh R là một quan hệ tương đương. Biểu diễn lớp tương đương của (1,3) trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy . x1 < x2 Câu A 15.2: Trong ? 2 xét quan hệ ( x1, y1) ( x2 , y 2 ) x1 = x2 . Chứng minh quan y1 y2 hệ là quan hệ thứ tự toàn phần. Loại 3 điểm Câu A 1.3: Ký hiệu h = g o f là hợp của hai ánh xạ f : X Y , g :Y Z . Chứng minh: a) f , g đơn ánh thì h đơn ánh. b) h đơn ánh thì f đơn ánh. c) h đơn ánh và f toàn ánh thì g đơn ánh. d) h toàn ánh và g đơn ánh thì f toàn ánh. Câu A 2.3: Chứng minh rằng nếu f đơn ánh thì 2
a) A �B � f ( A) � f ( B ) . b) f ( A B) f ( A) f ( B) . c) Tìm ví dụ chứng tỏ rằng khi f không đơn ánh thì f ( A) f ( B ) nhưng A B và f ( A) f ( B) f (A B) . Câu A 3.3: Cho ánh xạ f : X Y. a) Chứng minh: ∀A, B �Y , f −1 ( A∆B ) = f −1 ( A) ∆f −1 ( B ) , trong đó A∆B = ( A \ B ) ( B \ A) hiệu đối xứng của A và B . b) Chứng minh rằng f đơn ánh khi và chỉ khi ∀A, B �X , f ( A∆B ) = f ( A) ∆f ( B ) Câu A 4.3: Cho ánh xạ f : X Y . Chứng minh rằng quan hệ R của tập X xác định R bởi: a b � f (a ) = f (b) là một quan hệ tương đương. Khi X = Y = ? và f ( x) = sin x , tìm lớp tương đương của a . Câu A 5.3: Trong tập số thực , xét quan hệ R xác định bởi: x Ry � x4 − y 4 = 2( x2 − y 2 ) . Chứng minh R là một quan hệ tương đương. Tìm lớp tương đương a của a . Câu A 6.3: Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn: x z' y x' z x y z y' z x z' y Câu A 7.3: Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn: y' y y w x z' w' w y y x xy ' w xx y xz' z Câu A 8.3: Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn: y z y' 3 w y z z' y
Câu A 9.3: Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn: y y' y y x y z' z z' z' z x x' Câu A 10.3: Rút gọn mạng sau và vẽ mạng đã rút gọn: y' y x' x x y x x' z z' z z y Câu A 11.3: Cho G , G ' là hai nhóm lần lượt có phần tử trung hoà là e và e ' , phần tử nhịch đảo của x trong G là x −1 và phần tử nhịch đảo của y trong G ' là y −1 . f :G G ' là một đồng cấu nhóm. a) Chứng minh: f (e) = e ' , f (a −1 ) = f (a) −1 . b) Ký hiệu x m là tích m lần phần tử x , chứng minh f (a m ) = f (a)m . Câu A 12.3: Chứng minh rằng trong nhóm G với phép toán nhân: a) phần tử trung hòa của G là duy nhất; b) mỗi a G có phần tử nghịch đảo duy nhất a −1 G ; ( ) −1 −1 c) a −1 = a và ( ab ) = b −1a −1 ; d) ab = ac � b = c và ba = ca � b = c . Câu A 13.3: Cho G , G ' là hai nhóm lần lượt có phần tử trung hoà là e và e ' . f :G G ' là một đồng cấu nhóm. Ta định nghĩa và kí hiệu hạt nhân của đồng cấu nhóm f là Ker f = f −1 ( e ') . Chứng minh rằng: 4
a) x Ker f khi và chỉ khi x −1 Ker f , x −1 là phần tử nghịch đảo của x trong G. b) f là đơn cấu khi và chỉ khi Ker f e . Câu A 14.3: Cho vành A . Chứng minh rằng, nếu x, y là hai phần tử bất kỳ của vành A n thoả mãn xy yx thì ta có nhị thức Newton ( x + y ) n = Cnk x k y n−k đúng với mọi số tự k =0 nhiên n , trong đó x 0 1 , x = x , x k là tích k lần của phần tử x . 1 Câu A 15.3: Cho A là một vành có đơn vị và x A . Giả sử tồn tại một số tự nhiên n 0 sao cho x n = 0 , chứng minh rằng a) tồn tại ( 1 − x ) −1 = 1 + x + ... + x n −1 . b) tồn tại ( 1 + x ) −1 = 1 − x + ... + (−1) n −1 x n −1 . B. PHẦN 2 Loại 2 điểm Câu B 1.2: Tìm điều kiện của a , b , c để hệ phương trình sau có nghiệm x + 2 y − 3z = a 2 x + 6 y − 11z = b x − 2 y + 7z = c �4 1 � Câu B 2.2: Biểu diễn ma trận A = � theo tổ hợp tuyến tính của các ma trận: �−3 −3� � 2 1� � � 7 1� � 13 5� � 5 2� � �, � � , � �, � �. 2 1� � � 1 1� �3 3� � 2 4� 2 −3� � �6 −2 � Câu B 3.2: Cho hai ma trận A = � � và B = � . Tìm ma trận X thỏa mãn 1 3� � �12 8 � � AX = B 5 3� � 2 3� � Câu B 4.2: Cho hai ma trận A = � � và B = � �. Tìm ma trận X thỏa mãn 4 2� � 1 4� � XA = B Câu B 5.2: Tìm W1 W2 , trong đó: W1 = { ( x, y,0) x, y ? } , W2 là không gian véc tơ con của ? 3 sinh bởi hai véc tơ (1, 2,3) và (1, − 1,1) . Câu B 6.2: Giả sử U ,V và W là ba không gian véc tơ con của một không gian véc tơ. Chứng minh rằng (U �V ) + (U �W ) �U �(V + W ) . 5
Câu B 7.2: Giả sử W1,W2 là hai không gian véc tơ con của ? 3 thỏa mãn điều kiện dim W1 = 1 , dim W2 = 2 và W1 W2 . Chứng minh rằng ? 3 = W1 W2 . Câu B 8.2: Tìm tất cả các giá trị của m để véc tơ u = (4,16, 25) biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của các véc tơ: v1 = (3, 2,5) , v2 = (2, 4,7) , v3 = (5,6, m) . Câu B 9.2: Tìm tất cả các giá trị của m để u = (7, −2, m) biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của: v1 = (2,3,5) , v2 = (3,7,8) , v3 = (1, −6,1) . Câu B 10.2: Trong không gian P2 cho họ véc tơ B = { p1, p2 , p3} với p1 = 1 − x − 3x 2 ; p2 = 3 + 2 x + 5 x 2 ; p3=2+x+4x2 Chứng minh rằng B là một cơ sở của P2 . Tìm tọa độ của véc tơ p = 5 + 9 x + 5 x 2 trong cơ sở B. Câu B 11.2: Trong không gian ? 3 cho họ véc tơ B = { u1, u2 , u3} với u1 = (2, −2,1) ; u2 = (1,3, −2) ; u3 = (1, −13,8) a) Hãy biểu diễn véc tơ v = (−4, −4,3) thành tổ hợp tuyến tính của họ B . b) Hãy xác định số chiều và một cơ sở của không gian véc tơ con sinh bởi họ B. c) Câu B 12.2: Cho hai véc tơ u1 = (1, −3, 2) và u2 = (2, −1,1) của không gian véc tơ ? 3 . a) Biểu diễn véc tơ v = (1, 7, −4) thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 . b) Tìm tất cả các giá trị k để véc tơ w = (1, k ,5) biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 . Câu B 13.2: Cho hai véc tơ u1 = (2,1, − 1) , u2 = (1, 2, − 3) của ? 3 . a) Viết (2, − 5,9) thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 . b) Tìm điều kiện x, y, z để ( x, y, z ) viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 . Câu B 14.2: Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính: 2 x1 + 7x2 + 3 x3 + x4 = 5 5x1 + mx2 + 4 x3 + 5 x4 = 13 x1 + 3 x2 + 5 x3 − 2 x4 = 3 x1 + 5 x2 − 9 x3 + 8 x4 = 1 Câu B 15.2: Xác định các giá trị của tham số m sao cho các hệ phương trình sau: 6
x − 3z = −3 2 x + my − z = −2 x + 2 y + mz = 1 i) Có duy nhất nghiệm. ii) Vô nghiệm. iii) Có nhiều hơn 1 nghiệm. Loại 3 điểm Câu B 1.3: Trong không gian ? 4 xét các véc tơ: u1 = (1, 2, − 1,3) , u2 = (3, 6,3, −7) ; và v1 = (1, 2, − 4,11) , v2 = (2, 4, − 5,14) . Đặt U , V là hai không gian véc tơ con của ? 4 lần lượt sinh bởi hệ véc tơ { u1, u2 } và { v1 , v2 } . Chứng minh rằng U = V . Câu B 2.3: Trong không gian P2 các đa thức bậc 2, xét các véc tơ: u1 = 1 + x − x 2 , u2 = 2 + 3x − x 2 và v1 = 8 + 11x − 5 x 2 , v2 = 5 + 7 x − 3x 2 . Đặt U , V là hai không gian véc tơ con của P2 lần lượt sinh bởi hệ véc tơ { u1 , u2 } và { v1 , v2 } . Chứng minh rằng U = V . Câu B 3.3: Cho hai véc tơ u1 = (3,1, − 4) , u2 = (2,5, − 1) của ? 3 . a) Viết v = (−1,17,8) thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 . b) Tìm các giá trị của k để (4, −3, k ) viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 . c) Tìm điều kiện x, y , z để ( x, y, z ) viết được thành tổ hợp tuyến tính của hai véc tơ u1 , u2 . Câu B 4.3: Cho W1 , W2 là hai không gian véc tơ con của ? 4 xác định như sau: W1 = { ( x, y, z , t ) x, y , z , t �? ; y + z + t = 0} ; W2 = { ( x, y, z , t ) x, y, z , t �? ; x + y = 0, z = 2t } . Tìm một cơ sở và chiều của các không gian véc tơ con W1 , W2 và W1 W2 . Câu B 5.3: Trong không gian ? 3 xét các không gian véctơ con: U = { ( x, y, z ) : x + y + z = 0} ,V = { ( x, y , z ) : x = z} , W = { (0,0, z ) : z ? } . 3 Chứng minh rằng: (i) ? = U + V , (ii) ? 3 = U + W , (iii) ? 3 = V + W . Trường hợp nào ở trên là tổng trực tiếp. Câu B 6.3: Đặt V1 , V2 lần lượt là hai không gian véc tơ con của ? 4 gồm các véc tơ v ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II): 4 x1 + 5 x2 − 2 x3 + 3 x4 = 0 2 x1 − 3 x2 − 3x3 − 2 x4 = 0 ( I ) 3x1 + 5 x2 + 6 x3 − 4 x4 = 0 , ( II ) 4x1 − 7 x2 − 5 x3 − 6 x4 = 0 x1 + 2 x2 + 4 x3 − 3 x4 = 0 x1 − 2 x2 − x3 − 2 x4 = 0 7
Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 V2 , V1 + V2 . Câu B 7.3: Đặt V1 , V2 lần lượt là hai không gian véc tơ con của ? 4 gồm các véc tơ v ( x1 , x 2 , x3 , x 4 ) thoả mãn hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II): 2 x1 − 3 x2 − 3 x3 − 2 x4 = 0 2 x1 + x2 − 10 x3 + 9 x4 = 0 ( I ) 3x1 − 5 x2 − 4 x3 − 4 x4 = 0 , ( II ) x1 + 2 x2 + 4 x3 − 3 x4 = 0 x1 − 2 x2 − x3 − 2 x4 = 0 3x1 + 5 x2 + 6 x3 − 4 x4 = 0 Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 V2 , V1 + V2 . Câu B 8.3: Trong không gian ? 4 xét các véc tơ: v1 (2,4,1, 3) ; v2 (1,2,1, 2) ; v3 (1,2,2, 3) ; u1 (2,8,3, 7) ; u2 (1,0,1, 1) ; u 3 (3,8,4, 8) . Đặt V1 = span { v1 , v2 , v3 } , V2 = span { u1, u2 , u3 } . Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 V2 , V1 + V2 . Câu B 9.3: Trong không gian ? 4 xét các véc tơ: v1 = (2,1, 2,1) ; v2 = (3, 4, 2,3) ; v3 = (2,3,1, 2) ; u1 = (− 1, − 1,1,3) ; u2 = (1,1,0, − 1) ; u3 = (1,1,1,1) . Đặt V1 = span { v1 , v2 , v3 } , V2 = span { u1, u2 , u3 } . Hãy tìm số chiều của các không gian con V1 , V2 , V1 V2 , V1 + V2 . Câu B 10.3: Trong không gian ? 4 xét các véc tơ: v1 = (1,3, − 2, 2) ; v2 = (1, 4, − 3, 2) ; v3 = (2,3, − 1, − 2) ; u1 = (1,3,0, 2) ; u2 = (1,5, − 6,6) ; u3 = (2,5,3, 2) . Đặt V1 = span { v1, v2 , v3 } , V2 = span { u1, u2 , u3 } . Với mỗi không gian con V1 , V2 , V1 V2 , hãy tìm một cơ sở tương ứng và suy ra số chiều của chúng. Câu B 11.3: Trong không gian ? 4 xét các véc tơ: u1 = (1, − 2,0,3) ; u2 = (1, − 1, − 1,4) ; u3 = (1,0, −2,5) . { Đặt V1 = span { u1 , u2 , u3 } , V2 = ( x, y, z, t ) �? 4 } 3 y + 5 z + 2t = 0, z = 2t . Với mỗi không gian con V1 , V2 , V1 V2 , hãy tìm một cơ sở tương ứng và suy ra số chiều của chúng. { Câu B 12.3: Đặt W1 = span { v1 , v2 , v3 } ; W2 = ( x,0, y,0) x, y R} ; Với v1 = ( − 1, 2, 0 , − 2) ; v2 = (1, − 1,0, 1) ; v3 = ( − 2 ,2, 1 , − 1) a) Chứng minh rằng W2 W1 ; b) Chỉ ra véc tơ thuộc W1 , W2 trong những véc tơ sau: 8
u1 = (1,3, − 2, − 3); u2 = (0,1, − 1, − 2); u3 = (4,0,2,0) . Câu B 13.3: Cho hệ véc tơ ( S ) : { v1 = (1, m, m); v2 = (m,1, m); v3 = (m, m,1)} a) Với giá trị nào của tham số m thì hệ véc tơ ( S ) là một cơ sở của không gian R 3 ? b) Với m = 3 , chứng tỏ rằng ( S ) là một cơ sở của R 3 , tìm ma trận chuyển từ cơ sở ( S ) sang cơ sở chính tắc của R 3 . Tìm toạ độ của véc tơ u = (0, 0,14) trong cơ sở ( S ) . Câu B 14.3: Trong không gian véc tơ P2 các đa thức bậc 2 , cho 2 cơ sở A = { a1 = 1 − 4 x + 5x2 ; a2 = 1 − 6 x + 8 x2 ; a3 = −2 + 13x − 17 x2} B = { b1 = 2 + x2 ; b2 = −2 x + x2 ; b3 = 1 − x} a) Tìm ma trận P chuyển từ A sang B . b) Cho p P2 , [p]B = (0,0, −2) . Từ [p]B dùng P tìm [p]A . c) Tìm tọa độ của p trong cơ sở chính tắc. Câu B 15.3: Trong R 3 cho 2 cơ sở A = { a1 = (1,1,0); a2 = (1, −1,0); a3 = (0,0,1)} B = { b1 = (1,1,1); b2 = (0, 2,3); b3 = (0, 2, −1)} a) Tìm tọa độ của véc tơ v = (3,5, −2) trong cơ sở A và B . b) Tìm ma trận P chuyển từ A sang B . c) Nghiệm lại công thức [v] A = P[v]B . C. PHẦN 3 Loại 2 điểm �3 −2 −5 4 � �−5 2 8 −5� Câu C.1.2: Tính định thức của ma trận A = � �. �−2 4 7 −3� � � �2 −3 −5 8 � 6 9 3 −3 7 8 2 −5 Câu C.2.2: Tính định thức D = . −2 −5 −3 4 −5 −8 −4 7 9
t + 3 −1 1 Câu C.3.2: Tìm các giá trị t thỏa mãn 5 t −3 1 = 0. 6 −6 t + 4 t + 3 −1 1 Câu C.4.2: Tìm các giá trị t thỏa mãn 7 t −5 1 = 0. 6 −6 t + 2 �2 −2 0 2 � 2 −2 1� � 3 2 −4 � � � Câu C.5.2: Cho ma trận A = � , B = � , C = 1 0 1 −2 � 1 5 3�� 2 −3 −1� � �. � � � �−1 3 −1 3 � � Hãy tính AC , BC và ( xA + yB )C . Câu C.6.2: Cho các ma trận: � � 1 2 1 2 −5 1 � � z 1 −2 � � 1 −2 −3� � A=� �, B = � �, C = � �, D = 1 0 1 �. � 3 x −4 � � 1 −1 −1� � �y −1 5 � � � �1 1 2� Hãy tính (3 A − 2 B + 4C ) D . Câu C.7.2: Cho các ma trận 1 −1 1 � 0� 1 0 2 1� � � �1 0 −1 2 � 1 0 2 1� A=� 1 −1 2 1�, B = � �, C = �1 1 0 3 � � � � 2 1 0 1� � � � 1 � 1 0 1� � � � � �−2 1 0 1 � � 1 1 −1 � 0� Hãy tính AB; AC t và 2A − CB . Câu C.8.2: Ký hiệu M 2 là không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2. Chứng tỏ rằng các tập con sau không phải là không gian véc tơ con của M 2. a) Tập hợp W1 gồm các ma trận cấp 2 có định thức bằng 0. b) Tập hợp W2 gồm các ma trận cấp 2 thỏa mãn A2 = A . 4 � m 1 2� � 8 4 7 2� Câu C.9.2: Biện luận theo tham số m hạng của ma trận A = � � � 2 2 3 0� � � 7 � 1 3 3� x y � �x � 6 � �4 x + y� Câu C.10.2: Tìm x, y, z và w nếu 3 � �=� �+� . z w� � � −1 2w� �z+w 3 �� 2 1� � Câu C.11.2: Cho A = � �. Tìm k để A là nghiệm của đa thức f ( x) = x 2 − 6 x + 5 . 3 k� � 10
Câu C.12.2: Hai ma trận A , B được gọi là giao hoán nếu AB = BA . Tìm các ma trận 1 � 1� giao hoán với ma trận � . 0 � 1� � 1 2� � Câu C.13.2: Cho A = � n �. Tìm A . 0 1 � � 2 0� � 7 0� � Câu C.14.2: Cho A = � �, B = � � và đa thức f ( x) . Tính A + B , AB , f ( A) . 0 3 � � 0 � 11� 60 Câu C.15.2: Hai ma trận A , B được gọi là giao hoán nếu AB = BA . Tìm các ma trận vuông cấp 2 giao hoán với mọi ma trận vuông cấp 2. Loại 3 điểm �3 1 5 − m� � Câu C.1.3: Cho ma trận A = m + 1 1 3 � ; m ? . � � � 3 m −1 3 � a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A 1 . b) Cho m 1 tìm A 1 . �3 m 2 � Câu C.2.3: Cho ma trận A = �4 1 m � ; m ? . � � �m 1 4� a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A 1 . b) Cho m = 2 tìm A 1 . m −1 � 3 −3 � � � Câu C.3.3: Cho ma trận A = �−3 m + 5 −3 � ; m ? . �−6 � 6 m − 4� � a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A 1 . b) Khi m = 3 tìm A−1 . m+3 � 3 2 � � m + 1� Câu C.4.3: Cho ma trận A = � m+2 4 � ; m ? . � �5 m +1 4 � � a) Với giá trị nào của m thì tồn tại ma trận nghịch đảo A−1 . b) Cho m = −2 tìm A−1 . Câu C.5.3: Cho ma trận A = � � vuông cấp n. Ta gọi TrA aij � � a11 a 22 ... a nn (tổng các phần tử trên đường chéo chính) là vết của A . Chứng minh: 11
a) Tr( A + B) = Tr A + Tr B ; b) TrAB TrBA (mặc dù AB BA ); c) nếu B P 1 AP thì TrA TrB ; d) Tính vết của ma trận đơn vị cấp n. 2 �−1 0 � Câu C.6.3: Tìm ma trận X vuông cấp 2 thỏa mãn phương trình X − 2 X = � �. �6 3 � 3 1 1� � � 2 4 2� Câu C.7.3: Cho ma trận A = � −1 � , tìm một ma trận P sao cho P AP có dạng � 1 1 3� � � chéo. �1 2 2 � � � Câu C.8.3: Cho ma trận A = �1 2 −1� , tìm một ma trận P sao cho P −1 AP có dạng � �−1 1 4 � � chéo. 3 2 4� � � 2 0 2� Câu C.9.3: Cho ma trận A = � −1 �, tìm một ma trận P sao cho P AP là ma trận � 4 2 3� � � chéo. −5 3 3 � � �1 1 1� � � −3 1 3 �, P = 1 1 0 �. � Câu C.10.3: Cho ma trận A = � � � −6 6 4 � � � � �2 0 1� a) Tính P −1 AP . b) Tính det ( A − 16 A + 6 I ) . 4 2 2 � 2 0 0� � 1 3 0 0� Câu C.11.3: Cho ma trận A = � �. � 0 0 1 −2 � � � 0 � 0 −2 1 � a) Tìm đa thức đặc trưng của A. b) Tính det ( A − 7 A + 12 A + I ) . 4 3 2 8 12 0 � � 3� 0 8 12 � Câu C.12.3: Tìm ma trận X vuông cấp 3 thỏa mãn phương trình X = � �. � 0 0 8� � � Câu C.13.3: 12
1 1 ... 1 x1 x2 ... xn n −1 � n � a) Chứng minh rằng Dn = ... = �� ( xk − xi ) � ... ... ... � � i =1 �k =i +1 � x1n −1 x2n −1 ... xnn −1 1 1 1 1 −1 2 x 4 b) Áp dụng công thức trên tính 1 4 x 2 16 −1 8 x3 64 �17 −8 4 � �−8 17 −4 � Câu C.14.3: Cho ma trận A = � �, tìm một ma trận trực giao P sao cho P AP t �4 −4 11 � � � là ma trận chéo. �0 2 2� � � Câu C.15.3: Cho ma trận A = 2 3 −1 , tìm một ma trận trực giao P sao cho P t AP � � � �2 −1 3 � � là ma trận chéo. D. PHẦN 4 Loại 2 điểm 2 Câu D.1.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : ? ? 3 và g : ? 3 ? 2 có công thức xác định ảnh f ( x, y ) = ( x − 2 y, x, −3 x + 4 y ) , g ( x, y, z ) = ( x − 2 y − 5 z ,3 x + 4 y ) . Viết ma trận của g o (2 f ) và f o g trong cơ sở chính tắc. 3 Câu D.2.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : ? ? 3 có công thức xác định ảnh f ( x, y, z ) = (2 x + y − z , 2 y + z,5 x + 2 y − 3 z ) . Chứng minh rằng f là một đẳng cấu. Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược f −1 ( x , y , z ) . Câu D.3.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : P2 P2 có công thức xác định ảnh f ( a0 + a1x + a2 x 2 ) = (a0 + 2a1 + a2 ) + (2a0 − a1 + a2 ) x + (3a0 + 4a1 + a2 ) x 2 Viết ma trận A của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở chính tắc. Tìm ma trận nghịch đảo −1 2 A−1 , từ đó suy ra công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược f (b0 + b1 x + b2 x ) . 13
4 Câu D.4.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : ? ? 4 xác định bởi: f ( x, y, z, t ) = ( x + 4 y + 2 z + 3t , −4 x + 2 y − 3 z, 6 x + 6 y + 7 z + 6t , 2 x + 8 y + 4 z + 6t ) a) Viết ma trận của f trong cơ sở chính tắc của ? 4 . b) Tìm một cơ sở của Ker f và Im f . Câu D.5.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : P3 P3 có công thức xác định ảnh ( ) f a0 + a1x + a2 x 2 + a3 x3 = (3a0 + 2a1 − a2 − a3 ) + (2a0 + a1 + a2 ) x + (5a0 + 3a1 − a3 ) x 2 + (a0 + 3a2 + a3 ) x3 P3 là không gian véc tơ các đa thức bậc 3 . a) Viết ma trận của f trong cơ sở chính tắc của P3 . b) Tìm một cơ sở của Ker f và Im f . Câu D.6.2: Cho f là ánh xạ từ không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2 vào chính nó 2 5� � xác định bởi công thức: f ( A) = AM − MA , trong đó M = � �. 4 2� � a) Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính. b) Tìm một cơ sở của Ker f . c) Tìm hạng của f . Câu D.7.2: Cho f là ánh xạ từ không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2 vào chính nó �1 −2 � xác định bởi công thức: f ( A) = MA , trong đó M = � . −3 � 6� � a) Chứng minh f là một ánh xạ tuyến tính. b) Tìm một cơ sở của Ker f . c) Tìm một cơ sở của Im f . 4 Câu D.8.2: Cho ánh xạ tuyến tính f : ? ? 4 xác định bởi: f ( x, y, z, t ) = ( x + y + z + mt , x + y + mz + t , x + my + z + t , mx + y + z + t ) Viết ma trận của f trong cơ sở chính tắc. Tìm các giá trị m để: a) f là một đẳng cấu; b) dim Ker f = 1 . 4 Câu D.9.2: Trong không gian véc tơ ? xét hệ véc tơ : S u1 = (1,1, 0, −1) , u2 = (1, 2,1,3) , u3 = (1,1, −9, 2) , u4 = (16, −13,1,3) 14
a) Chứng tỏ rằng S là một hệ trực giao và là một cơ sở của ? 4 . b) Tìm tọa độ của véc tơ v = ( x, y, z, t ) trong cơ sở S. Câu D.10.2: Cho u1 , u2 là hai véc tơ trực giao độc lập tuyến tính của không gian véc tơ v; u1 v; u2 Euclide V , đặt W = span { u1 , u2 } . Với mọi v V , xét v* = u1 + u2 W . u1; u1 u 2 ; u2 a) Chứng minh rằng v − v * v − u với mọi u W . b) Tìm v * ứng với trường hợp v = (1,3, 7,5) ; u1 = (1,1,1,1) , u2 = (1, −3, 4, −2) của ? 4 . Câu D.11.2: a) Cho { v1 , v2 ,..., vn } là một hệ véc tơ trực giao. Chứng minh rằng 2 2 2 2 v1 + v2 + ... + vn = v1 + v2 + ... + vn . b) Nghiệm lại công thức trên với v1 = (1,1,1,1) , v2 = (−3, −3, 0, 6) , v3 = (1,3, −6, 2) Câu D.12.2: Trong không gian véc tơ Euclide V , , . 2 2 2 2 a) Chứng minh bất đẳng thức hình bình hành u + v + u − v = 2 u + 2 v . 1 2 1 2 b) Công thức dạng cực u, v = u + v − u − v . 4 4 Câu D.13.2: Trong ? 3 xét họ 3 véc tơ độc lập tuyến tính: u1 = (1,1,0) ; u2 = (0,1,1) ; u3 = (1,1,1) . Hãy trực chuẩn hóa GramShmidt họ véc tơ S = { u1 , u2 , u3 } . Câu D.14.2: Trong ? 4 xét họ 3 véc tơ độc lập tuyến tính: u1 = (1,1,1,1) ; u2 = (1,1, 2, 4) ; u3 = (1, 2, −4, −3) . Hãy trực chuẩn hóa GramShmidt họ véc tơ S = { u1 , u2 , u3 } . Câu D.15.2: Trong không gian véc tơ P2 các đa thức bậc 2 , xét tích vô hướng 1 f , g = f (t ) g (t )dt 0 Tìm một cơ sở của không gian véc tơ con W trực giao với h(t ) = 2t + 1 . Loại 3 điểm Câu D.1.3: Cho dạng song tuyến tính η của không gian véc tơ ? 2 xác định bởi: η ( ( x1 , y1 );( x2 , y2 ) ) = x1x2 − 3 x1 y2 + y1 y2 15
a) Viết ma trận A của η trong cơ sở { u1 = (1, 0), u2 = (1,1)} . b) Viết ma trận B của η trong cơ sở { v1 = (2,1), v2 = (1, −1)} . c) Tìm ma trận P chuyển từ cơ sở { u1 , u2 } sang cơ sở { v1, v2 } và nghiệm lại công thức B = P t AP . Câu D.2.3: a) Tìm các giá trị k để dạng song tuyến tính sau là một tích vô hướng trên ? 2 : η ( u , v ) = x1 x2 − x1 y2 − y1x2 + ky1 y2 với u = ( x1 , y1 ) , v = ( x2 , y2 ) . b) Khi k = 3 , viết ma trận A của η trong cơ sở chính tắc và ma trận B của η trong cơ sở { u1 = (1,5), u2 = (3, 4)} . Nghiệm lại công thức B = P t AP , trong đó P là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở mới. Câu D.3.3: Gọi W là không gian véc tơ con của ? 4 sinh bởi hai véc tơ u = (1, −2,3, 4) và v = (3, −5,7,8) . Tìm một cơ sở của phần bù trực giao W ⊥ . Câu D.4.3: Cho véc tơ u = (1, 2,3,1) ? 4 . Tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian véc tơ con của ? 4 trực giao với u . Câu D.5.3: Giả sử { w1 ,..., wn } là một hệ trực chuẩn và v là một véc tơ bất kỳ của không gian véc tơ Euclide V . n 2 2 a) Chứng minh rằng v, wk v . k =1 n = v khi và chỉ khi { w1 ,..., wn } là một cơ sở. 2 2 b) Với mọi v V : v, wk k =1 3 Câu D.6.3: Cho dạng toàn phương Q : ? ? xác định bởi: Q( x, y, z ) = x 2 + y 2 + 5 z 2 + 4λxy − 2 xz + 4 yz a) Viết ma trận của Q trong cơ sở chính tắc. b) Tìm tất cả các giá trị của tham số λ để Q là dạng toàn phương xác định dương. Câu D.7.3: Cho dạng toàn phương Q( x, y, z ) = x 2 + y 2 + 5 z 2 + 6 xy + 2 xz + 2 yz Tìm phép biến đổi tọa độ (tìm cơ sở mới) để đưa dạng toàn phương đã cho về chính tắc a) bằng phương pháp Lagrange; b) bằng phương pháp Jacobi. 3 Câu D.8.3: Cho dạng toàn phương Q : ? ? xác định bởi: Q( x, y, z ) = 14 x 2 + 17 y 2 + 14 z 2 − 4 xy − 8 xz − 4 yz . 16
a) Viết ma trận của Q trong cơ sở chính tắc. b) Tìm một cơ sở trực chuẩn của ? 3 để biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc. Câu D.9.3: Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 R 3 xác định bởi: f ( x, y, z ) = (2 y + z , x − 4 y,3x) a) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc. b) Viết ma trận P chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở B ' = { e '1 , e '2 , e '3 } , e '1 = (1, −1, 2), e '2 = ( −1,1, −1), e '3 = (1, −2,1) . c) Hãy viết ma trận A ' của ánh xạ f trong cơ sở B ' . d) Tính det( A) , det( A ') . Câu D.10.3: Giả sử B = { e1,..., en } là một cơ sở của không gian véc tơ V . Tự đồng cấu f thỏa mãn f (e1 ) = 0 , f (e2 ) = a12e1 , f (e3 ) = a13e1 + a23e2 , … , f (en ) = a1ne1 + L + an−1,n en−1 . a) Viết ma trận của f trong cơ sở B . b) Tính f m (ek ) với k m . c) Chứng minh rằng f n = 0 . Câu D.11.3: Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 R 3 xác định bởi: f ( x, y , z ) = (3x + y + z , 2 x + 4 y + 2 z , x + y + 3z ) a) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc. b) Tìm ma trận P sao cho P −1 AP có dạng chéo. c) Tính det( A2 − 3 A) . Câu D.12.3: Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 R 3 xác định bởi: f ( x, y, z ) = (−5 x + 3 y + 3 z, −3 x + y + 3 z , −6 x + 6 y + 4 z ) a) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc. b) Tìm ma trận P sao cho P −1 AP có dạng chéo. c) Tính det( A2 + A) . Câu D.13.3: Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3 R 3 xác định bởi: f ( x, y, z ) = (− x + 3 y − z , −3 x + 5 y − z, −3 x + 3 y + z ) a) Hãy viết ma trận A của ánh xạ f trong cơ sở chính tắc. b) Tìm ma trận P sao cho P −1 AP có dạng chéo. c) Tính det( A3 − 3 A2 ) . 17
�2 −1� Câu D.14.3: Cho ma trận A = � �−2 3 � � a) Tìm ma trận P sao cho P −1 AP có dạng chéo. b) Tính A3 − 3 A2 . c) Tìm ma trận B thỏa mãn B 2 = A . Câu D.15.3: a) Tìm ma trận A đối xứng cấp 2 có hai giá trị riêng λ1 = 1 , λ2 = 4 và có véc tơ riêng u = (1,1) ứng với giá trị riêng λ1 = 1 . b) Tìm ma trận B thỏa mãn B 2 = A . 18