Nghiên cứu Didactic về khái niệm hình và hình vẽ biểu diễn trong hình học

TAÏP CHÍ KHOA HOÏC ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN Soá 33 (58) - Thaùng 10/2017<br /> <br /> <br /> <br /> Nghiên cứu Didactic về khái niệm hình và<br /> hình vẽ biểu diễn trong hình học<br /> Didactic research on concepts of figure and drawing in geometry<br /> <br /> TS. Nguyễn Ái Quốc,<br /> Trường Đại học Sài Gòn<br /> <br /> Nguyen Ai Quoc, Ph.D.,<br /> Saigon University<br /> <br /> Tóm tắt<br /> Bài báo này trình bày một số quan điểm của các nhà Didactic Toán trên hai đối tượng của Hình học là<br /> "hình vẽ biểu diễn" và "hình", trong tiếng Anh là "drawing" và "figure", hay trong tiếng Pháp là<br /> "dessin" và "figure". Hơn nữa, bài báo cũng đề cập đến một số đối tượng khác liên quan đến hai đối<br /> tượng trên như "mô thức hình học" và "hình vẽ hình học".<br /> Từ khóa: hình vẽ biểu diễn, hình, mô thức, hình hình học.<br /> Abstract<br /> - the two<br /> objects in geometry which are called "dessin" and "figure" respectively in French. Moreover, the paper<br /> refers to some miscellaneous objects in association with two previous objects called "paradigm" and<br /> "geometric drawing".<br /> Keywords: drawing, figure, paradigm, geometric drawing.<br /> <br /> <br /> 1. Mô thức hình học phân biệt các thực thể cấu thành của mô<br /> 1.1. Mô thức của Kuhn thức tổng thể. Điều này đề cập đến thực<br /> "Từ mô thức, theo phương diện tổng hành của các cá thể của trường môn học<br /> thể, chỉ tập hợp các niềm tin, kỹ thuật và này." [11]<br /> các giá trị mà một nhóm nhà khoa học chia 1.2. Mô thức hình học của<br /> sẽ với nhau. Nó cố định cách thức đúng Houdement – Kuzniak<br /> đắn để đặt ra và thực hiện việc giải quyết "Tốt hơn hết là xem sự tiến triển của<br /> một vấn đề. Theo nghĩa này, Kuhn cũng hình học là một chuỗi đứt gãy không thể<br /> nói đến ma trận môn học, cái mà cho phép hòa hợp được, chúng ta chấp nhận một tầm<br /> nhóm các lý thuyết, và tổng quát hơn, các nhìn thống nhất của hình học nhờ vào ý<br /> kiến thức của một nhóm làm việc trên cùng tưởng tổng hợp biện chứng tiến hóa giữa<br /> một chủ đề. các cực khác nhau…" [9, tr.11]<br /> Theo nghĩa thứ hai, khá thú vị trong  "Hình học tự nhiên hay sự lẫn lộn<br /> quan điểm didactic Toán, mô thức nêu lên giữa hình học và thực tế (GI):<br /> đặc trưng các ví dụ có ý nghĩa cho sinh Hình học tự nhiên là nguồn đánh giá<br /> viên để dạy cho họ nhận biết, tách riêng và thế giới thực, cảm nhận được. Nó bao gồm<br /> <br /> 29<br /> NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC<br /> <br /> <br /> ba phương diện trực quan, kinh nghiệm, Đối với Houdement và Kuzniak, đối<br /> suy diễn, nhưng suy diễn được thực hiện tượng hình học của GII không có nghĩa<br /> chủ yếu trên các đối tượng vật chất nhờ trong lý thuyết vì nó là mô hình của một<br /> trực quan và thao tác các dụng cụ. Điều đối tượng thực. Theo quan điểm này, rõ<br /> này sẽ đặt ra vấn đề về tính hợp thức… ràng là đối tượng thứ nhất là đối tượng<br /> Đây là một bằng chứng rõ ràng trên thực, đối tượng lý thuyết của GII là một<br /> giác quan, không phải trên suy diễn logic mô hình của thực tế. Vai trò của hình vẽ<br /> và trừu tượng thuần túy. Theo nghĩa này, ta biểu diễn trong GII rất phức tạp vì nó là<br /> có thể nói đến một "hình học thực biểu diễn của một đối tượng hình học lý<br /> nghiệm"… thuyết mà bản thân nó chính là mô hình<br /> Việc xây dựng và nhận thức là trái tim của một đối tượng thực.<br /> của hình học tự nhiên kiểu thực nghiệm." 1.3. Mô thức hình học của Parzysz<br /> [10, tr.97-98] Nhận xét về mô thức hình học của<br />  "Hình học tiên đề tự nhiên hay hình Houdement và Kuzniak, Parzysz cho rằng:<br /> học như một sơ đồ của thực tế (GII): "Sự nối khớp giữa GI và GII – về mặt<br /> Trong tổng hợp tiên đề Eulide, các bản chất khoa học luận – cơ bản hơn sự nối<br /> phương diện "không chặt chẽ" và các yêu khớp tách đôi GII và GIII… Thực vậy,<br /> cầu trực quan nhường chỗ cho suy diễn trong GI, các đối tượng vẫn còn là đối<br /> logic và chứng minh nằm trong một hệ tượng vật lý lý tưởng nhiều hơn hay ít hơn<br /> thống tiên đề chính xác nhất có thể… các tình huống của "thực tế" (mô hình ngôi<br /> Hình học này không đòi hỏi như hình nhà, hình vẽ một cánh đồng…) và việc<br /> học tự nhiên là một thực tế, nhưng nó khao đánh giá vẫn còn theo bậc nhận thức (dụng<br /> khát là một sơ đồ thực tế." [9, tr.12-13] cụ hóa hay không). Ngược lại, trong GII<br /> "Các tiên đề của nó tương ứng với một cũng như GIII, các đối tượng liên quan là<br /> mô hình không gian thực mang tính địa các yếu tố nằm ngoài thực tế (nhưng được<br /> phương." [10, tr.98] biểu diễn bởi các đối tượng vật lý), việc<br />  "Hình học tiên đề hình thức chủ đánh giá các khẳng định theo bậc suy diễn:<br /> nghĩa hay sự độc lập của Hình học với thực "học sinh được gợi ý từ bỏ một kiểm tra<br /> tế (GIII): mang tính kinh nghiệm chủ nghĩa các<br /> Lần này… dây chằng buộc hình học và tuyên bố của họ vì lợi ích của một kiểm tra<br /> thực tế bị chặt đứt. Các tiên đề không còn bằng phương thức suy luận." [3, tr.32].<br /> được dựa trên tri giác và tính ưu việt của Như vậy, theo Parzysz, sự phân biệt<br /> suy luận logic là cần thiết." [9, tr.11-13] của GII với GI và GIII chủ yếu dựa trên hai<br /> Như vậy, trong GI, học sinh làm việc phương diện:<br /> trên các đối tượng vật chất nhờ vào nhận 1/ GII là một mô hình hóa của không<br /> thức và thao tác các dụng cụ. Các đối gian "vật lý" (nghĩa là GI), trong khi GIII<br /> tượng vật chất này là các đối tượng hình vẽ không còn tham chiếu đến "thực tế" nào<br /> hình học trong trường hợp hình học phẳng. khác;<br /> Trong GII, hình vẽ biểu diễn chỉ là một 2/ GII có thể gọi là một GIII tiên đề<br /> biểu diễn của đối tượng hình học lý thuyết hóa không hoàn toàn, hay tốt hơn là một<br /> và chúng ta làm việc trên chính các đối hình học trong đó các "tiên đề" (có tính<br /> tượng hình học lý thuyết này. kinh điển hay không) ngầm ẩn theo từng<br /> <br /> <br /> 30<br />  NGUYỄN ÁI QUỐC<br /> <br /> <br /> phần (có ý thức hay không). Nói chính xác được trình bày ở trên, chúng tôi đề xuất<br /> hơn, GII dựa trên các lập luận suy diễn có một phép thử tổng hợp các mô hình trước<br /> hiệu lực xuất phát từ một số thực tế được đó, đặc biệt bao gồm một sự nối khớp khác<br /> xem xét như "hiển nhiên"; với điều này nó một ít với sự nối khớp được đề xuất của<br /> tương tự với GIII (phiên bản Euclide). Nói Houdement – Kuzniak vì những lý do nêu<br /> chung, ở một vài chỗ, nơi mà GIII bao hàm trên. Các yếu tố mà mô hình này dựa trên,<br /> một tiên đề và có thể cả các định nghĩa và một mặt là bản chất của các đối tượng liên<br /> các định lý bắt nguồn từ nó thì GII đành quan (vật lý với lý thuyết), mặt khác là các<br /> chấp nhận "ta thấy rằng" (thậm chí có thể phương thức đánh giá (nhận thức với suy<br /> ngầm ẩn). Nhận thức vẫn còn hiện diện, diễn logic). Bắt đầu từ "hiện thực", hay "cụ<br /> nhưng nó coi như chỉ phục vụ xây dựng thể" (G0) mà không phải là hình học,<br /> một lý thuyết của không gian nhận thức chúng tôi gây tương phản, một mặt với một<br /> được, và không còn – ít nhất là về nguyên hình học không tiên đề, dựa trên các tình<br /> tắc – để hỗ trợ một luận chứng (ngay cả khi huống cụ thể được lý tưởng hóa để tạo<br /> "chúng ta thấy rằng" mâu thuẫn với nhận thành "không gian – đồ họa" (GI) và mặt<br /> xét này)." [16, tr.100-101] khác với một hình học tiên đề, sự tiên đề<br /> Như vậy, không giống như Houdement hóa có thể tường minh hoàn toàn (GIII)<br /> – Kuzniak làm nổi bật sự liên tục giữa các hay không (GII), và tham chiếu "thực" là<br /> mô thức khác nhau, Parzysz nhấn mạnh tùy chọn cho cái thứ nhất (nhưng không<br /> trên sự đứt gãy giữa GI và GII. cho cái thứ hai); trong trường hợp thứ hai,<br /> Parzysz định nghĩa các mô thức hình chúng ta sẽ nói về hình học tiền tiên đề.<br /> học của riêng mình như sau: Tình huống có thể được sơ đồ hóa bằng<br /> "Bằng cách làm theo các phân biệt biểu đồ 1 sau:<br /> <br /> Các Hình học không tiên đề Các Hình học tiên đề<br /> Kiểu "Hình học" Hình học Hình học Hình học<br /> hình học cụ thể (G0) Không gian – đồ họa (GI) tiền tiên đề (GII) tiên đề (GIII)<br /> Đối tượng Vật lý Lý thuyết<br /> Đánh giá Nhận thức Suy diễn<br /> Biểu đồ 1<br /> <br /> Như vậy, nếu xét theo quan điểm - Chuyển từ GII sang GIII: các thuộc<br /> didactic, sự phân biệt giữa các hình học tính được coi là "hiển nhiên". [16, tr.101]<br /> này xuất hiện trong các đứt gãy của hợp Rõ ràng có một vài đặc trưng của các<br /> đồng xảy ra giữa cái này với cái khác, hay mô thức hình học khác nhau có thể được<br /> cụ thể hơn: làm rõ bằng cách so sánh với định nghĩa<br /> - Chuyển từ G0 sang GI: tính vật của Houdement – Kuzniak. Trước hết, kinh<br /> chất của các đối tượng liên quan (gỗ, bìa nghiệm nuôi dưỡng sự duy diễn trong GI<br /> cứng, rơm…) của Houdement – Kuzniak, nhưng trong<br /> - Chuyển từ GI sang GII: độ dày của định nghĩa của Parzysz đó là các đánh giá<br /> nét vẽ, của điểm; kiểm chứng bằng nhận thức kiểu nhận thức. Trong cả hai trường hợp,<br /> <br /> 31<br /> NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC<br /> <br /> <br /> vấn đề là tác động mang tính vật chất trên một số bài báo của Arsac:<br /> các đối tượng thực của GI. Hành động này, "Theo truyền thống từ thời Plato đã<br /> chúng ta gọi là kinh nghiệm hay đánh giá phân biệt hình được vẽ trên giấy, thường<br /> kiểu nhận thức, có thể thay đổi: đo đạc, vẽ, để chỉ một hình vẽ biểu diễn, với đối tượng<br /> cắt, lật ngược,… Mặt khác, trong GI, hình học mà trên đó thực hiện các chứng<br /> chúng ta có thể đánh giá bằng sự nhận thức minh." [3]<br /> với hay không với dụng cụ. Sau cùng, hai “Về sau, chúng ta phân biệt hình vẽ<br /> định nghĩa dựa trên các yếu tố khác nhau: biểu diễn với hình, hình vẽ biểu diễn để chỉ<br /> trực giác, kinh nghiệm và suy diễn của hình vẽ được vẽ cụ thể trên trang giấy (hay<br /> Houdement – Kuzniak, và bản chất của đối trên cát của Archimede) và hình để chỉ đối<br /> tượng và kiểu đánh giá vận hành ở Parzysz. tượng toán học mà trong đó hình vẽ chỉ là<br /> 2. Hình vẽ biểu diễn – đối tượng một sự biểu diễn…Vì thế, hình là một phần<br /> hình học tử của "thế giới toán học" và không phải là<br /> 2.1. Hình vẽ biểu diễn – đối tượng phần tử của thế giới cảm tính…” [1, tr.86]<br /> hình học Trong một bài báo, Laborde và<br /> Parzysr (1988) phân biệt hình vẽ biểu Capponi nêu rõ:<br /> diễn với hình trong các biểu diễn đồ họa "Người ta phân biệt các đối tượng hình<br /> trong hình học: hình vẽ biểu diễn là vết vật học và các quan hệ hình học có tính chất lý<br /> chất trên một tờ giấy trong khi hình đề cập thuyết với sự thể hiện ra bên ngoài của<br /> đến đối tượng lý thuyết được biểu diễn. chúng trong các hệ thống biểu đạt khác<br /> Hay nói cách khác, hình vẽ biểu diễn thể nhau. Người ta quan tâm đặc biệt đến các<br /> hiện cho một hình và hình bao gồm các đối thực tế đồ họa không gian (các hình vẽ<br /> tượng hình học trong một mối quan hệ. biểu diễn được tạo ra bằng vết vẽ của chì<br /> Parzysr nhấn mạnh hai quan điểm về trên trang giấy, của một que gỗ trên cát,<br /> hình bằng cách đề cập tính đa nghĩa của từ của các hạt điện tử trên màn hình máy tính)<br /> hình qua việc sử dụng hai từ phân biệt: biểu diễn các đối tượng lý thuyết này." [13]<br /> hình vẽ biểu diễn và đối tượng hình học: Như vậy, hình vẽ biểu diễn được xem<br /> "Trong thực tế, từ này chỉ hoặc là đối là các vết vẽ vật chất trên trang giấy, trên<br /> tượng hình học (lý tưởng, theo nghĩa của bảng, trên cát, trên màn hình máy tính, biểu<br /> Plato) mà các nghiên cứu thực hiện trên đó, diễn cho một đối tượng hình học lý thuyết<br /> hoặc là một hình vẽ biểu diễn của đối trong thế giới cảm tính, và đối tượng hình<br /> tượng này." [15, tr.13] học lý thuyết này được gọi là hình (xem<br /> Một giải thích khác về hình cũng được biểu đồ 2). Đối tượng hình học lý thuyết<br /> trình bày trong [14, tr. 80]: được xem xét dưới hai quan điểm, như<br /> “Hình hình học là đối tượng hình học Parzysz đã đề cập: một đối tượng được<br /> được mô tả bằng văn bản định nghĩa, một ý định nghĩa bởi một lý thuyết, chẳng hạn<br /> tưởng, một sự sáng tạo của trí tuệ trong khi hình học Euclide, từ các định nghĩa, các<br /> hình vẽ biểu diễn là một sự biểu diễn cho tiên đề,… và do đó hoàn toàn thuộc thế<br /> đối tượng hình học đó.” giới toán học hay nói đúng hơn là một đối<br /> Ngoài ra, chúng tôi cũng tìm thấy sự tượng lý tưởng theo nghĩa của Plato, như<br /> phân biệt hình vẽ biểu diễn và hình trong Arsac đã nhắc lại:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 32<br />  NGUYỄN ÁI QUỐC<br /> <br /> <br /> <br /> Hình vẽ biểu diễn Đối tượng hình học lý thuyết<br />  Vết vẽ vật chất  Đối tượng được định nghĩa<br /> trên một giá vẽ, bởi một lý thuyết hình học.<br /> thực tế đồ họa.  Đối tượng lý tưởng.<br /> không gian<br /> <br /> Biểu đồ 2<br /> <br /> “Các thành phần của hình (điểm, đoạn) xem xét ở cấp độ này là xem hình vẽ biểu<br /> có thể được xem như có một trạng thái của diễn như hình vẽ hình học trước bất kỳ sự<br /> các đối tượng lý tưởng (theo quan điểm Hy diễn giải, suy luận và suy diễn nào. Chúng<br /> lạp) hay được định nghĩa đơn giản bằng ta có thể bổ sung quan điểm này bằng sự<br /> các tiên đề (theo quan điểm hiện đại)…” phân loại việc xử lý hình vẽ của Duval:<br /> [1, tr.86] "Sự lĩnh hội nhận thức… cho phép<br /> 2.2. Hình vẽ hình học ngay lập tức nhận dạng hay nhận biết một<br /> Hình vẽ hình học được Parzysz nói hình dạng, hay một đối tượng, hoặc trong<br /> đến trong việc mô tả GI: mặt phẳng, hoặc trong không gian. Quá<br /> "GI là một hình học trong đó các đối trình nhận dạng một hình dạng 2D hay 3D<br /> tượng vật lý đã trải qua sự khởi đầu của được thực hiện theo các quy tắc được gọi là<br /> việc lý tưởng hóa, theo nghĩa chỉ có một số "những nhà tổng hình học" của tổ chức hay<br /> đặc tính của đối tượng vật chất được giữ lại theo các thông số cấu hình… ví dụ sự khác<br /> thỏa đáng (ví dụ màu của các nét vẽ trên biệt về kích thước hay định hướng."<br /> một trang giấy hay một màn hình máy tính, [6, tr.123]<br /> vật liệu mà một mô hình được thực hiện Mặc dù Duval nói đến hình (ông<br /> trên đó sẽ không được tính đến). Nghĩa là không phân biệt hình và hình vẽ biểu diễn)<br /> cái nhìn trên các đối tượng đã có một ít ở đây nhưng chúng ta vẫn xem hình vẽ<br /> trừu tượng và được đơn giản hóa so với biểu diễn theo nghĩa sự lĩnh hội nhận thức<br /> hiện thực (mô hình, vết vẽ trên trang giấy, xảy ra trên đối tượng vật lý, vết vẽ trên<br /> trên màn hình máy tính)." [17] giấy,…, được xem xét như một hình vẽ<br /> Như vậy, hình vẽ hình học không còn hình học.<br /> là một đối tượng vật lý "thô" nữa, mà là 2.3. Hình vẽ biểu diễn của đối tượng<br /> một đối tượng đã trải qua quá trình chuyển hình học lý thuyết<br /> đổi trí tuệ và diễn giải để tạo ra một hình Thực tế cho thấy, mối quan hệ giữa<br /> vẽ hình học. Thực tế, người đọc có thể đối tượng hình học lý thuyết và biểu diễn<br /> hoặc không thể xem hình vẽ như một đối của nó rất phức tạp. Labord và Capponi<br /> tượng hình học. [13] đặc biệt xem xét một số khía cạnh của<br /> Tùy thuộc vào ngữ cảnh, hình vẽ biểu tính phức tạp này.<br /> diễn trở thành hình vẽ hình học kể từ lúc 2.3.1. Đa diễn giải<br /> người đọc quyết định nó, chẳng hạn hình Việc biểu diễn một đối tượng hình học<br /> vẽ biểu diễn này nằm trên bảng của lớp học lý thuyết dễ dẫn đến nhiều diễn giải khác<br /> toán hay trên một trang sách giáo khoa nhau. Mặc dù cùng một việc đọc hình học,<br /> toán. Hành động duy nhất của chủ thể được nhưng diễn giải lại phụ thuộc vào tri thức<br /> <br /> 33<br /> NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC<br /> <br /> <br /> của người đọc. Chẳng hạn, hình vẽ biểu hình thoi, hay hình vuông hay có thể là một<br /> diễn (hình 1) trong hệ trục tọa độ vuông mặt phẳng.<br /> góc Oxy, có thể được diễn giải như một<br /> đường tròn hay một hình tròn tâm O(0; 0),<br /> bán kính bằng 1 ở học sinh lớp 10, hay tập<br /> hợp các điểm M(x; y) biểu diễn cho số Hình 3<br /> phức z = x+iy trong mặt phẳng phức thỏa Hay nói cách khác, cùng một hình vẽ<br /> mãn hệ thức ở học sinh lớp 12, có thể đề cập đến các đối tượng hình học lý<br /> thuyết khác nhau.<br /> hay như một quả cầu đóng tâm O(0; 0) và 2.3.2. Miền hoạt động bị giới hạn<br /> bán kính 1 ở sinh viên toán năm 2 của Miền hoạt động của một đối tượng<br /> trường đại học. hình học lý thuyết được định nghĩa như<br /> sau:<br /> "Như là biểu đạt của một đối tượng<br /> hình học lý thuyết, hình vẽ biểu diễn trình<br /> bày các tính chất của đối tượng này nhưng<br /> chỉ thực hiện được từng phần. Người ta có<br /> thể gắn liền một miền hoạt động với hình<br /> vẽ biểu diễn (là tập hợp các tính chất hình<br /> học được biểu diễn bởi một số tính chất<br /> không gian của hình vẽ biểu diễn)." [13,<br /> tr.171]<br /> Đối tượng hình học lý thuyết có một<br /> Hình 1<br /> số tính chất có thể không thấy được trên<br /> Diễn giải này cũng phụ thuộc vào ngữ hình vẽ biểu diễn. Miền hoạt động là miền<br /> cảnh. Cùng một học sinh cấp trung học cơ trong đó hình vẽ biểu diễn có khả năng<br /> sở sẽ xem hình vẽ biểu diễn (hình 2) như cung cấp các thông tin thỏa đáng. Bởi vì<br /> một đường tròn hay một hình tròn tùy theo hình vẽ biểu diễn không nói được hết tất cả<br /> học sinh đó đang quan tâm đến chu vi hay mọi thứ của đối tượng hình học lý thuyết,<br /> là diện tích hình. do đó cần thiết phải có văn bản mô tả.<br /> Chẳng hạn, trong hình 4, làm thế nào biết<br /> hình vẽ biểu diễn một đoạn thẳng hay một<br /> đường thẳng? Chúng ta có thể lưu ý rằng,<br /> từ một văn bản mô tả, có thể thực hiện một<br /> hình vẽ biểu diễn, thậm chí là nhiều hơn, vì<br /> đối tượng hình học lý thuyết hoàn toàn<br /> Hình 2 được xác định bởi một văn bản mô tả,<br /> nhưng từ một hình vẽ biểu diễn, không thể<br /> Diễn giải này cũng phụ thuộc vào các<br /> tái tạo lại văn bản mô tả và do đó không<br /> ràng buộc của thể chế dạy học. Chẳng hạn,<br /> thể xác định được đối tượng hình học lý<br /> trong hình biểu diễn ở hình 3, một học sinh<br /> thuyết một cách chắc chắn.<br /> trung học cơ sở có thể xem là hình bình<br /> hành, nhưng một học sinh trung học phổ<br /> thông có thể xem là một hình chữ nhật, hay Hình 4<br /> <br /> 34<br />  NGUYỄN ÁI QUỐC<br /> <br /> <br /> 2.3.3. Miền diễn giải bị giới hạn diễn và tập hợp các đối tượng hình học lý<br /> "Tất cả các tính chất của hình vẽ biểu thuyết bởi vì cùng một hình vẽ biểu diễn có<br /> diễn không thể được diễn giải như đề cập thể tương ứng với nhiều đối tượng hình<br /> đến các thuộc tính của đối tượng, do đó có học lý thuyết, chẳng hạn trường hợp hình<br /> một miền diễn giải gắn liền với hình vẽ vuông và quả cầu trong mục 2.2.1., và<br /> biểu diễn. Chẳng hạn, vị trí của hình vẽ ngược lại nhiều hình vẽ biểu diễn có thể<br /> biểu diễn trong trang giấy nằm ngoài miền tương ứng với cùng một đối tượng hình<br /> diễn giải của các hình vẽ như các biểu đạt học lý tưởng, chẳng hạn nhiều hình vẽ biểu<br /> của các đối tượng của hình học Euclide. diễn thể hiện cho một tam giác bất kỳ. Từ<br /> Một số vấn đề học sinh gặp phải cho thấy đó, không thể xác định đối tượng hình học<br /> chính xác rằng họ hoạt động với một miền lý thuyết bằng một hình vẽ và cần thiết<br /> diễn giải khác với miền diễn giải của hình phải có một mô tả suy lý logic để:<br /> học Euclide." [13, tr.172]  tháo gỡ các nhập nhằng gắn kết với<br /> Thực tế cho thấy học sinh cấp trung hình vẽ biểu diễn<br /> học phổ thông dễ dàng sử dụng các biểu "Một mô tả suy lý logic nêu đặc trưng<br /> thức kiểu "ở phía trên", "ở trên", "bên đối tượng hình học lý thuyết là cần thiết để<br /> phải", "ngang", "thẳng đứng",… mà không tháo gỡ các nhập nhằng gắn kết với hình vẽ<br /> phải là một phần của "miền diễn giải các biểu diễn." [13, tr.171]<br /> hình vẽ biểu diễn như biểu đạt của các đối  lựa chọn đối tượng được biểu diễn:<br /> tượng của hình học Euclide." "Một hình chỉ có thể biểu diễn một<br /> Chẳng hạn, trong hình 5, một điểm tình huống hình học trong một phạm vi mà<br /> thuộc miền 3 có thể được học sinh diễn giải ý nghĩa của một số đơn vị biểu trưng và<br /> nằm phía dưới mặt phẳng và một điểm một số quan hệ của chúng được cố định<br /> thuộc miền 4 có thể được học sinh diễn giải tường minh ngay từ đầu… cùng một hình<br /> nằm phía trên mặt phẳng. Các diễn giải này vẽ có thể biểu diễn nhiều tình huống toán<br /> bắt nguồn từ xu hướng của học sinh mở học rất khác nhau và như vậy phục vụ hỗ<br /> rộng mặt phẳng theo phương nằm ngang trợ trực quan cho các suy luận khác nhau.<br /> nhiều hơn so với phương thẳng đứng. Do đó cần phải có một sự chỉ dẫn bằng lời<br /> nói để cố định hình vẽ như sự biểu diễn<br /> cho đối tượng toán học nào đó." [7, tr.188]<br />  hay chỉ đơn giản định nghĩa đối<br /> tượng này:<br /> "Hình là đối tượng hình học được mô<br /> tả bằng văn bản định nghĩa cho nó."<br /> [14, tr.80]<br /> 2.4. Hình vẽ biểu diễn – đối tượng<br /> của hình học<br /> Hình 5<br /> Đối với học sinh tiểu học và trung học<br /> 2.3.4. Vắng bóng đẳng cấu và mô tả cơ sở, trong giai đoạn đầu khi học hình<br /> suy lý logic học, đối tượng hình học lý thuyết là một<br /> Tính phức tạp của diễn giải hình vẽ đối tượng tư duy không thể tiếp cận được.<br /> biểu diễn cho thấy rõ sự vắng bóng của Khi đó, hình vẽ biểu diễn là đối tượng hình<br /> "đẳng cấu" giữa tập hợp các hình vẽ biểu học mà học sinh làm việc trên đó. Học sinh<br /> <br /> <br /> 35<br /> NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC<br /> <br /> <br /> trước hết trích ra các tính chất bằng tri tâm đến đối tượng hình học lý thuyết.<br /> giác, sau đó dẫn đến việc sử dụng các dụng Chẳng hạn, trong một bài tập được trích ra<br /> cụ hình học để kiểm chứng các giả thuyết từ Sách giáo khoa Toán của Pháp Maths<br /> được phát biểu. Do đó, các hoạt động hình CM1 [5, tr.79], tương đương lớp 4 của Việt<br /> học được thực hiện trực tiếp trên các hình Nam, học sinh được yêu cầu dựng lại một<br /> vẽ hình học mà không tham chiếu đến một hình với các số đo thực trên giấy kẻ ô lưới<br /> đối tượng hình học lý thuyết. Mục đích 1cmx1cm với các dụng cụ hình học từ một<br /> chính của các hoạt động này là cho phép sơ đồ vẽ bằng tay cho trước trên đó có ghi<br /> học sinh làm quen với các đối tượng của số đo của các cạnh (Hình 7).<br /> mặt phẳng và của không gian và chuyển<br /> dần dần từ một hình học trong đó các đối<br /> tượng và các tính chất của chúng được<br /> kiểm tra bằng tri giác sang một hình học<br /> trong đó họ nhờ đến các công cụ và kiến<br /> thức về một số tính chất của đối tượng hình<br /> học lý thuyết. Chẳng hạn, ở bài tập 13,<br /> trang 79, Sách giáo khoa Toán 6, tập hai Hình 7<br /> [18], học sinh được yêu cầu đo các góc Sơ sồ trong hình 7 có thể được diễn<br /> , , ở hình 6: giải như một biểu diễn của một đối tượng<br /> vật lý hay một đối tượng lý thuyết, nhưng<br /> nó không được quan tâm trong bài tập này.<br /> Hoạt động của học sinh trong trường hợp<br /> này là giải mã sơ đồ trong 7 để thực hiện<br /> dựng hình. Việc dựng hình ở đây được<br /> xem xét đơn giản là tạo ra một hình vẽ hình<br /> học tương ứng với mô tả bằng mã hóa. Do<br /> đó, đối tượng làm việc ở đây là hình vẽ mà<br /> Hình 6 trên đó học sinh cần đo độ dài các cạnh, sử<br /> dụng thước êke,…<br /> Việc xác định số đo của ba góc trong 3. Hình<br /> tam giác IKL được học sinh thực hiện bằng 3.1. Hình là hình vẽ biểu diễn<br /> cách sử dụng thước đo độ thao tác trực tiếp Duval định nghĩa hình theo nghĩa vết<br /> trên hình vẽ biểu diễn để đo các góc. Trong vẽ vật chất trên trang giấy, hay nói cách<br /> trường hợp này, đối với học sinh, hình vẽ khác, Duval sử dụng từ hình cho cái mà<br /> biểu diễn tam giác IKL được xem là đối chúng ta gọi là hình vẽ biểu diễn hay hình<br /> tượng hình học và không được xem là hình vẽ hình học, đối tượng hình học hay biểu<br /> vẽ biểu diễn cho đối tượng hình học lý diễn của một đối tượng hình học lý thuyết.<br /> thuyết. 3.2. Hình là đối tượng hình học lý<br /> Trong tất cả các trường hợp như trên, thuyết<br /> đối tượng làm việc là hình vẽ, không có bất Theo quan điểm cổ điển của Arsac và<br /> cứ sự mã hóa cũng như mô tả suy lý logic Parzysz, từ hình để chỉ một số đối tượng<br /> nào cho phép xem xét một đối tượng hình hình học lý thuyết.<br /> học lý thuyết. Tuy nhiên, việc đưa vào mã "…chúng tôi dành riêng (là một quy<br /> hóa không có nghĩa là người ta cần quan ước, có thể tranh luận như mọi quy ước<br /> <br /> 36<br />  NGUYỄN ÁI QUỐC<br /> <br /> <br /> khác) từ HÌNH cho bản thể hình học, trong đường tròn ngoại tiếp của nó.<br /> khi chúng tôi sử dụng từ HÌNH VẼ BIỂU Labord và Capponi phát triển khái<br /> DIỄN cho một biểu diễn đồ họa (mặt niệm lớp tương đương theo cách phức tạp<br /> phẳng) của hình này." [15, tr.14] hơn: đưa khái niệm hình vào trong tam<br /> Tuy nhiên, trong thực tế, từ hình được giác cái biểu đạt – cái được biểu đạt – cái<br /> sử dụng để chỉ một đối tượng phức tạp hơn quy chiếu. Hình vẽ biểu diễn là cái biểu<br /> các đối tượng của hình vẽ biểu diễn hay đạt, sự biểu diễn; đối tượng hình học lý<br /> của đối tượng hình học lý thuyết. thuyết là quy chiếu, đối tượng được biểu<br /> 3.3. Hình là lớp tương đương các diễn.<br /> hình vẽ biểu diễn "Hình hình học bao gồm sự ghép cặp<br /> Arsac, trong một số trường hợp, xem một quy chiếu cho trước với tất cả các hình<br /> xét hình như một lớp tương đương các hình vẽ biểu diễn, do đó nó được định nghĩa như<br /> vẽ biểu diễn cùng một đối tượng hình học tập hợp các cặp được hình thành từ hai từ,<br /> lý thuyết. Chính là cái mà Arsac gọi là từ thứ nhất là quy chiếu, từ thứ hai là một<br /> quan điểm toán học trên hình. trong các hình vẽ biểu diễn; từ thứ hai<br /> "Một hình xuất hiện như một lớp tương được lấy từ trong không gian tất cả các<br /> đương: cụ thể, hai hình vẽ biểu diễn cùng hình vẽ biểu diễn có thể của quy chiếu.<br /> một hình khi chúng đồng dạng và đẳng cự Trong sự chấp nhận này, từ hình hình học<br /> (tùy theo loại thuộc tính mà chúng ta muốn phản chiếu việc thiết lập một quan hệ giữa<br /> nghiên cứu) hay thậm chí chúng tương ứng một đối tượng hình học và các biểu diễn có<br /> trong một phép biến đổi affine." [2, tr.174] thể có của nó. Trong cách tiếp cận này, các<br /> Trong trường hợp của hai hình vẽ biểu mối liên quan giữa hình vẽ biểu diễn và<br /> diễn trong hình 8, không tồn tại một phép quy chiếu của nó được xây dựng bởi một<br /> biến đổi affine biến hình vẽ biểu diễn này chủ thể, người đọc hay người tạo ra hình vẽ<br /> thành hình vẽ biểu diễn kia. biểu diễn, bao gồm cái được biểu đạt của<br /> hình hình học liên kết với chủ thể này. Cái<br /> được biểu đạt này tương ứng với cái mà<br /> Fischbein (1993) gọi là khái niệm hình."<br /> [12, tr.168]<br /> 4. Kết luận<br /> Việc làm rõ các quan điểm về hình và<br /> Hình 8 hình vẽ biểu diễn cũng như mối quan hệ<br /> Tuy nhiên, nếu xét từ một quan điểm giữa chúng là điều cần được quan tâm<br /> khác, chúng biểu diễn cùng một đối tượng trong công tác đào tạo giáo viên Toán bậc<br /> hình học : một tứ giác bất kỳ và đường tròn phổ thông từ tiểu học đến trung học phổ<br /> ngoại tiếp của nó. Vậy chúng ta có thể mở thông.<br /> rộng định nghĩa ở trên của Arsac và xem Sự phân biệt giữa hai đối tượng hình<br /> xét hình như tập hợp tất cả các hình vẽ biểu và hình vẽ biểu diễn mở ra một miền rộng<br /> diễn của một đối tượng hình học được định lớn cho các nghiên cứu liên quan đến<br /> nghĩa bằng một phát biểu mô tả các đối chúng. Các đặc trưng của mối quan hệ giữa<br /> tượng, các thuộc tính, các mối quan hệ: hai đối tượng này trong hình học phẳng đã<br /> một tứ giác bất kỳ, nghĩa là không có góc được nhiều nhà didactic toán làm rõ trong<br /> vuông, không có hai cạnh song song và các công trình nghiên cứu của họ.<br /> <br /> <br /> 37<br /> NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NI M HÌNH VÀ HÌNH VẼ BIỂU DIỄN TRONG HÌNH HỌC<br /> <br /> <br /> Thực tế dạy học cho thấy trong hình 10. Houdement, C., & Kuzniak, A. (2000):<br /> học không gian, mối quan hệ giữa hình và Formation des maitres et paradigmes<br /> géométriques. Recherches en Didactique des<br /> hình vẽ biểu diễn rất phức tạp vì vấn đề Mathematiques. Vol. 20. n01. P 89-116. Ed.<br /> biểu diễn một đối tượng hình học lý thuyết La Pensée Sauvage. Grenoble.<br /> của không gian 3D trong không gian 2D 11. Kuhn, T. (1977). The Essential Tension: Selected<br /> được thực hiện qua phép chiếu song song Studies in Scientific Tradition and Change.<br /> và việc chọn lựa một môi trường làm việc Chicago: University of Chicago Press.<br /> trên đó, môi trường giấy-bút chì hay máy 12. Labord, C., & Capponi, B. (1994): Cabri-<br /> tính, sẽ ít nhiều ảnh hưởng đến mối quan Géometre constituant d’un milieu pour<br /> hệ này. l’apprentissage de la notion de figure<br /> géometrique. Recherches en Didactique des<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO mathematiques. Vol. 14. n01.2. p165-210. Ed.<br /> 1. Arsac, G., (1989): La construction du concept La Pensée Sauvage. Grenoble.<br /> de figure chez des éleves de 12 ans. Actes de 13. Labord, C., & Capponi, B. (1995):<br /> la 13ème conference PME. Paris. P85-92. Modelisation à double sens. Actes de la 8ème<br /> Artigue M., Rogalski J. et Vergnaud G. Ecole d’éte de Didactique des mathematiques.<br /> 2. Arsac, G., & al. (1992): Initiation au Saint Sauves d’Auvergne. Aout 1995. Ed.<br /> raisonnement déductif au college. Ed. Presses IREM de Clemont-Ferrand.<br /> Universitaires de Lyon. 14. Parzysz, B. (1988): "Knowing" vs "seeing".<br /> 3. Arsac, G., (2004): Bases élementaires de Problems of the plane representation of space<br /> l’étude de la démonstration mathematique. geometry figures. Educational Studies in<br /> Séminaire de Didactique, Histoire et Mathematics. n019. P79-92. Ed. Kluwer<br /> Épistemologie des Mathematiques, des Academic Publishers.<br /> Sciences et des Techniques du PREMST. 15. Parzysz, B. (1989): Représentations planes et<br /> IUFM de Lyon. 28 janvier 2004. enseignement de la géométrie de l’espace au<br /> 4. Berthelot, R., & Salin, M. (1992): Espace et lycée. Contribution à l’étude de la relation<br /> géométrie dans la scolarite obligatoire. Thèse voir/savoir. Thèse de doctorat. Université<br /> de doctorat. Université de Bordeaux 1. Paris-7. Ed. IREM Paris-7.<br /> 5. Charney, R., & Combier, G., & Dussuc M. P. 16. Parzysz, B. (2002): Articulation entre<br /> (2003): Cap Maths. CM1. Ed. Hatier. perception et déduction dans une démarche<br /> géometrique en PÉ. Actes du 28ème colloque<br /> 6. Duval, R. (1994): Les differents Inter-IREM des formateurs et professeurs<br /> fonctionnements d’une figure dans une chargés de la formation des maitres. Tours.<br /> démarche géometrique. Reperes IREM. n017. Mai 2001. P.99-110. Ed. Presses<br /> P121-138. Ed. IREM de Grenoble. Universitaires d’Orléans.<br /> 7. Duval, R. (1995): Sémiosis et pensée 17. Parzysz, B. (2004): Preuve perceptive ou<br /> humaine. Ed. Springer. Berne. démonstration? Le rapport des PE1 à la<br /> 8. Fischbein, E. (1993): The theory of figural géometrie, étudie à travers leur discours<br /> concepts. Educational Studies in "méta". Actes du 31ème colloque Inter-IREM<br /> Mathematics. Vol. 24. n02. P139-162. Ed. des formateur et professeurs charges de la<br /> Kluwer Academic Publishers. formation des maitres. Foix. Mai 2004. Ed.<br /> 9. Houdement, C., & Kuzniak, A. (1999.3): IREM de Toulouse.<br /> Géométrie et paradigmes géométriques. Petit 18. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Phạm Gia Đức (2012),<br /> x. n0 51. P5-21. Ed. IREM de Grenoble. Toán 6 – tập hai, Nxb Giáo Dục Việt Nam.<br /> <br /> <br /> Ngày nhận bài: 02/9/2017 Biên tập xong: 15/10/2017 Duyệt đăng: 20/10/2017<br /> <br /> <br /> <br /> 38<br />