Nghiên cứu phương pháp dựng hình bằng bao hình và công nghệ gia công bánh răng biên dạng cung tròn

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009<br /> <br /> <br /> <br /> NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH BẰNG<br /> BAO HÌNH VÀ CÔNG NGHỆ GIA CÔNG BÁNH RĂNG<br /> BIÊN DẠNG CUNG TRÒN<br /> AN INVESTIGATION INTO THE SURFACE GENERATION BY MEANS OF AN<br /> ENVELOPE METHOD AND THE MANUFACTURE OF CIRCULAR<br /> ARC PROFILE GEARS<br /> <br /> <br /> Lê Cung Trương Quang Dũng<br /> Trường Đại học Bách khoa, Trường Đại học Phạm Văn Đồng<br /> Đại học Đà Nẵng Quảng Ngãi<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Hiện nay, bánh răng có biên dạng cung tròn được sử dụng ngày càng rộng rãi trong<br /> công nghiệp. So với các loại biên dạng khác được sử dụng trong truyền động bánh răng, biên<br /> dạng cung tròn có ưu điểm nổi bật là khả năng tải cao hơn, do đó hiện nay nó được sử dụng<br /> trong các hộp giảm tốc tốc độ thấp, truyền động với công suất lớn. Tương tự như biên dạng<br /> thân khai, biên dạng răng cung tròn cũng được tạ o hình bằng phương pháp bao hình từ biên<br /> dạng răng của thanh răng sinh. Bài báo nhằm nghiên cứu lý thuyết bao hình để tạo hình biên<br /> dạng và mặt răng của cặp bánh răng cung tròn đối tiếp, từ đó đề xuất phương pháp dựng hình<br /> biên dạng và mặt răn g cho cặp bánh răng trên cơ sở ứng dụ ng phần mềm Pro/Engineer và<br /> môđun Mechanism Design. Việc dựng hình bánh răng cung tròn được thực hiện theo tham số,<br /> nhờ đó dễ dàng thay đổi môđun và số răng khi muốn tạo hình một bánh răng mới. Bên cạnh đó,<br /> bài báo cũng trình bày phương pháp gia công bánh răng cung tròn trên máy phay CNC BAZ-15<br /> Heidenhain.<br /> ABSTRACT<br /> Nowadays, circular-arc profile gears have been widely used in industries. Compared to<br /> others, the circular-arc profile gears have the main advantage of bearing much more load<br /> capacity; therefore, they have been used in the low velocity gearing reducer with much higher<br /> load. Like an involute profile, a circular-arc one is also generated by means of an envelope<br /> method that uses an imaginery rack. The article deals with an envelope method for the<br /> generation of the tooth surface of circular arc profile gears and proposes a method for circular-<br /> arc profile gear generation using the Pro/Engineer Software and Mechanism Design Module.<br /> The parametric technology used in the generation of circular-arc profile gears helps us rapidly<br /> change the obtained gear by changing its module and tooth numbers. Besides, it also deals with<br /> the manufacture of a prototype of circular arc profile spur gears on the BAZ-15 Heidenhain CNC<br /> milling machine.<br /> <br /> 1. Tổng quan<br /> Trong những nă m gần đây, bộ truyền bánh răng có biên dạng răng cung tròn<br /> được sử dụng ngày càng rộng rãi. So với các biên dạng khác đang được sử dụng trong<br /> truyền động bánh răng, biên dạng cung tròn có một số ưu điểm nổi bậc như khả năng tải<br /> cao hơn, độ bền tiếp xúc lớn hơn, khả năng bôi trơn tốt hơn và tính chống mòn cao [1].<br /> <br /> 1<br />  TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009<br /> <br /> Bánh răng cung tròn hiện nay được sử dụng trong các hộp giảm tốc tốc độ thấp, truyền<br /> động với công suất lớn.<br /> Phiên bản đầu tiên của bánh răng cung tròn dựa trên sự tạo hình bằng dao thanh răng<br /> biên dạng cung tròn do Novikov-Wildhaber đề xuất [2]. Từ khi ra đời đến nay, nhiều tác<br /> giả tiếp tục nghiên cứu về lý thuyết tạo hình, tính toán thiết kế và công nghệ gia công<br /> bánh răng biên dạng cung tròn. C. B. Tsay, Z. H. Fong, S. Tao (1989) [1] sử dụng<br /> phương pháp phần tử hữu hạn nhằm khảo sát ứng suất uốn và tiếp xúc trong răng,<br /> nghiên cứu ảnh hưởng của hình dạng dao thanh răng như bán kính góc lượn và góc áp<br /> lực pháp… đến ứng suất uốn. Litvin và cộng sự (2002) [2] áp dụng hai dao thanh răng<br /> không tương hợp có biên dạng parabôn nội tiếp nhằm tạo ra một phiên bản mới của<br /> bánh răng cung tròn. Nội dung nghiên cứu bao gồm việc thiết kế, tạo hình bằng bao<br /> hình, phân tích vết tiếp xúc trên răng, phân tích ứng suất uốn và tiếp xúc trong răng.<br /> Shyue-Cheng Yang (2008) [5] đề xuất mô hình toán học bánh răng cung tròn ba đoạn,<br /> nghiên cứu lý thuyết tạo hình mặt răng bánh dẫn và bánh bị dẫn từ biên dạng dao thanh<br /> răng, ảnh hưởn g của sai lệch khoảng cách trục đến sai số truyền động, phân tích ứng<br /> suất uốn theo mô hình 3D. Yi-Cheng Wu và cộng sự (2009) [6] nghiên cứu mô hình<br /> toán học của mặt răng bánh răng cung tròn răng cong dựa trên lý thuyết bao hình,<br /> nghiên cứu sai số động học và vết tiếp xúc của cặp bánh răng đề xuất. Minoru MAKI và<br /> cộng sự [4] nghiên cứu gia công bánh răng côn xoắn W -N trên trung tâm gia công, ử s<br /> dụng một cặp dao phay ngón lồi và lõm có tiết diện dọc trục hình tròn.<br /> Lý thuyết tạo hình và ăn khớp, việc tính toán thiết kế bộ truyền bánh răng cung tròn<br /> tương đối phức tạp, các tài liệu chưa đưa ra các trình tự tính toán thiết kế nhằm giúp các<br /> kỹ sư dễ dàng tiếp cận và ứng dụng vào thực tế thiết kế. Chính vì vậy việc nghiên cứu<br /> phương pháp dựng hình, xây dựng trình tự và chương trình tính toán thiết kế bộ truyền<br /> bánh răng cung tròn là một yêu cầu cần đặt ra . Bên cạnh đó, việc gia công bánh răng<br /> cung tròn đạt được độ chính xác và năng suất yêu cầu cũng là một vấn đề phức tạp cần<br /> được quan tâm nghiên cứu. Bài báo nhằm nghiên cứu phương pháp dựng hình theo<br /> tham số cho bề mặt răng của bánh răng cung tròn từ biên dạng thanh răng sinh sử dụng<br /> lý thuyết bao hình và phần mềm Pro/En gineer. Trên cơ sở việc tạo hình chính xác mặt<br /> răng của các loại bánh răng cung tròn khác nhau, có thể ứng dụng phần mềm phần tử<br /> hữu hạn ANSYS tính toán ứng suất uốn và tiếp xúc trên răng nhằm kiểm tra độ bền bộ<br /> truyền, dễ dàng ứng dụng các phần mềm CAD/CAM vào lập chương trình gia công và<br /> đo đạc thông số của bánh răng trên máy phay CNC và máy đo ba chiều, có thể mô<br /> phỏng tín hiệu dao động sinh ra từ bánh răng cung tròn phục vụ việc chẩn đoán hư hỏng<br /> nhờ việc sử dụng phần mềm ANSYS…<br /> 2. Phương pháp bao hình tạo hình biên dạng răng cung tròn<br /> 2.1. Tạo hình biên dạng răng thân khai<br /> Cho đường thẳng (tt) lăn không trượt với vòng tròn C(O, r). Gọi (T) là đoạn thẳng<br /> gắn cứng với (tt), pháp tuyến làm với (tt) một góc α0 . Tại những thời điểm khác nhau<br /> 2<br />  TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009<br /> <br /> trong chuyển động tương đối của (tt) Hình 1. Tạo hình<br /> đối với (C), ta ghi lại các vết khác biên dạng thân khai<br /> nhau của (T) trên mặt phẳng gắn liền (E) bằng phương pháp<br /> bao hình<br /> với (C). Ta sẽ nhận được một họ n<br /> đường thẳng mà bao hình là đường<br /> M <br /> thân khai vòng tròn (E) (hình 1). Vp<br /> α0 P<br /> Quan hệ vận tốc góc của vòng (C) và t t<br /> vận tốc dài của đường tt: V p = r.ω.<br /> Để tạo hình bánh răng thân khai, H n<br /> (C)<br /> thay vì dùng đoạn thẳng (T), ta gắn<br /> cứng lên đường thẳng (tt) một thanh (Cb) ω r<br /> răng hình thang.<br /> 2.2. Tạo hình biên dạng cung tròn O<br /> Phương pháp bao hình để tạo hình<br /> biên dạng răng cung tròn cũng tương tự như phươ ng pháp tạo hình biên dạng thân khai.<br /> Tuy nhiên, khác với biên dạng thân khai, thanh răng sinh trong bánh răng cung tròn là<br /> một đường cong trơn, đều, tổ hợp của nhiều cung tròn. Trên cơ sở phiên bản đầu tiên<br /> của thanh răng sinh do Novikov, Wildhaber [2] khởi thảo, Faydor L. Litvin [2], Shyue-<br /> Cheng Yang [5] đã đề xuất các biên dạng khác nhau của thanh răng sinh.<br /> 2.2.1. Biên dạng thanh răng sinh cung tròn ba đoạn<br /> Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng biên dạng thanh răng sinh có ba đoạn cung tròn<br /> do Shyue-Cheng Yang [5] đề xuất (hình 2). Vùng ab và bc để tạo hình răng lồi của bánh<br /> dẫn. Vùng cd và de để tạo hình răng lõm của bánh dẫn và răng lồi của bánh bị dẫn.<br /> Vùng ef để tạo hình phần lượn tròn chân răng bánh dẫn, không dùng để tạo hình bánh bị<br /> dẫn. Vùng ga để tạo hình phần lượn tròn chân răng bánh bị dẫn , không dùng để tạo hình<br /> bánh dẫn . Các thông số cơ bản của thanh răng: φc = 200; b c = (1/2).πm; h a = 0,8m;<br /> h f = 0,8m; y = 0,2.m; y 2 = 0,2.m; e x = 0,03.m; e y = 0,6.m; b x = 0,03.m; b y = 0,6.m với<br /> m là môđun của bánh răng.<br /> Trong hệ tọa độ S c (O c , x c , yc , z c ) gắn liền với thanh răng sinh, các đoạn cung tròn<br /> của thanh răng được mô tả bằng các phương trình (1) đến (6) [5]:<br /> [ ρ a sin α1 + ex ; ρ a cos α1 − e y ;1]T<br /> Rcab =<br /> <br /> Rcbc = [rj (sin α b − sin α 2 ); bc − rj .cos α 2 + rj cos α b ;1]T (2)<br /> <br /> [− rh (sin α c − sin α 3 ); bc + rh (cos α 3 − cos α c );1]T<br /> Rccd = (3)<br /> [ ( ρ f sin α 4 + bx );2bc + by − ρ f cos α 4 ;1]T<br /> Rcde =− (4)<br /> <br /> [− ( rg sin α 5 + ( ρ f − rg )sin α d + bx ) ;2bc − rg cos α 5 ;1]T<br /> Rcef = (5)<br /> <br /> =<br /> Rc<br /> ga<br /> [ra sin α 6 + ( ρ a − ra )sin α a + ex ; ra cos α 6 ;1]T (6)<br /> <br /> 3<br />  TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009<br /> <br /> Dao thanh răng truyền thống xf<br /> yg xg<br /> φg<br /> xc<br /> Og<br /> φg<br /> rpg S<br /> xp<br /> yp<br /> φp Oc yf yc<br /> <br /> φp Op<br /> rpc<br /> <br /> Hình 2. Tiết diện ngang dao thanh<br /> Hình 3. Quá trình tạo hình<br /> răng cung tròn ba đoạn<br /> bánh răng dẫn và bị dẫn<br /> <br /> 2.2.2. Phương trình biên dạng răng của bánh răng cung tròn<br /> Dựa trên phương pháp tạo hình biên dạng răng (§2.1), lý thuyết tạo hình hai biên<br /> dạng đối tiếp của Faydor L. Litvin [3], [5] và các phương trình (1)÷(6), có thể xây dựng<br /> được phương trình mô tả biên dạng răng cung tròn.<br /> Chuyển động bao hình của quá trình tạo hình bánh răng dẫn và bị dẫn được mô tả<br /> trên hình 3. Trong suốt quá trình tạo hình, hệ tọa độ S c (O c , x c , yc , z c ) được gắn cứng<br /> với thanh răng, hệ tọa độ S p (O p , x p , yp , z p ) được gắn cứng với bánh dẫn Σ p , hệ tọa độ<br /> S g (O g , x g , yg , z g ) được gắn cứng với bánh bị dẫn Σ g , hệ tọa độ S f (O f , x f , y f , z f ) cố định.<br /> Chuyển động bao hình như sau: Thanh răng sinh Σ cp (tạo hình bánh dẫn) và Σ cg (tạo<br /> hình bánh bị dẫn) thực hiện dịch chuyển thẳng S dọc theo trục y f , bánh dẫn Σ p và bánh<br /> bị dẫn Σ g quay xung quanh ục tr của mình với góc quay lần lượt là φ p và φg sao<br /> =<br /> cho pc .φ p<br /> S r= rpg .φg với r pc và r gc lần lượt là bán kính vòng chia bánh dẫn và bánh bị<br /> dẫn. Biên dạng răng bánh dẫn Σ p chính là bao hình của họ các đường cong biên dạng<br /> răng của thanh răng Σ cp mô tả trong hệ tọa độ S p . Tương tự, biên dạng răng bánh bị dẫn<br /> Σ g là bao hình của họ các đường cong biên dạng răng của thanh răng Σ cg mô tả trong hệ<br /> tọa độ S g .<br /> Ma trận biến đổi từ hệ tọa độ S c sang hệ tọa độ S p và S g lần lượt bằng:<br /> <br />  cosφ p sin φ p S sin φ p + rpc cosφ p <br />  − sin φ cosφ S cos φ − r sin φ <br /> M pc (φ p ) = (7)<br />  p p p pc p<br /> <br />  0 0 1 <br /> <br /> 4<br />  TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009<br /> <br /> cosφg − sin φg − S sin φg − rgc cosφg <br /> =M gc (φg )  sin φg cosφg S cos φg − rgc sin φg  (8)<br />  0 0 1 <br /> Do đó, phương trình một tham số mô tả họ các đường cong biên dạng răng của<br /> thanh răng trong hệ tọa độ S p và S g như sau:<br /> Riq (φi , ατ ) = M ic (φi ).Rcq (9)<br /> <br /> Trong đó i = p hay g, φi là tham số , Rcq là véctơ vị trí được mô tả bởi các phương<br /> trình (1)÷(6), chỉ số q biểu thị các vùng ab, bc, cd, de, ef và ga.<br /> ∂Riq ∂Riq<br /> Điều kiện cần để nhận được bề mặt bao hình [3]: × =<br /> 0 (10)<br /> ∂ατ ∂φi<br /> Trong đó góc α τ tương ứng với các vùng ab , bc, cd, de, ef và ga lần lượt bằng α 1 ,<br /> α 2 , α3 , α 4 , α5 , α6 (hình 2).<br /> Từ các phương trình mô tả trên đây, ứng dụng phần mềm Matlab, sẽ xây dựng được<br /> họ các đường cong biên dạng răng của thanh răng mô tả trong hệ tọa độ S p và S g , sau<br /> đó dựa vào điều kiện (10) có thể xác định các điểm khác nhau thuộc đường cong bao<br /> hình của họ các đường cong biên dạng răng của thanh răng, và đây cũng chính là biên<br /> dạng răng của bánh răng dẫn và bị dẫn. Truy nhập tập hợp điểm mô tả biên dạng răng<br /> cung tròn sang phần mềm Pro/Engineer, có thể xây dựng các loại được bánh răng khác<br /> nhau.<br /> 3. Phương pháp ựng<br /> d hình bánh răng cung tròn ứng dụng phần mềm<br /> Pro/Engineer và môđun Mechanisn Design<br /> Để thuận lợi và nhanh chóng dựng hình bánh răng cung tròn , chúng tôi ứng dụng<br /> phần mềm Pro /ENGINEER và môđun Mechanism Design nhằm dựng hình b ánh răng<br /> cung tròn dựa trên phương pháp bao hình đã trình bày ở §2.1. Để dễ dàng thay đổi kích<br /> thước nhằm tạo ra bánh răng mới, bánh răng sẽ được dựng hình theo tham số. Để thuận<br /> lợi cho việc gia công trên máy phay CNC 3 trục, chúng tôi giới hạn việc nghiên cứu ở<br /> bánh răng trụ tròn răng thẳng . Thông số cơ bản của bánh răng được dựng hình: môđun<br /> m, số răng Z.<br /> Trình tự dựng hình bánh răng như sau: Dựng hình thanh răng sinh bằng cách lập<br /> trình theo tham ốs (tham số thay đổi được: m, Z): Tools> Parameters: thiết lập các<br /> tham số, Tools>Relations: thiết lập quan hệ giữa các tham số, Sketch Tool: vẽ biên<br /> dạng thanh răng sinh (hình 4) ⇒ Dựng hình thanh răng (môđun Part) (hình 5) ⇒ Dựng<br /> hình phôi bánh ărng (môđun Sketch, Part) ⇒ Lắp ráp phôi bánh răng và thanh răng<br /> thành cơ cấu thực hiện chuyển động bao hình (môđun Assembly) (hình 6) ⇒ Phân tích<br /> động học cơ cấu tạo chuyển động bao hình (môđun Mechanism Design) ⇒ Mô phỏng<br /> <br /> 5<br />  TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009<br /> <br /> chuyển động bao hình, xem kết quả mô phỏng và vẽ bao hình của các vết khác nhau của<br /> bề mặt răng của thanh răng vạch nên trên phôi bánh răng (môdun Mechanism Design)<br /> (hình 7) ⇒ Dựng hình hoàn chỉnh bánh răng (mođun Part) (hình 8).<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 4. Tiết diện ngang của dao thanh Hình 5. Chi tiết thanh răng sinh<br /> răng cung tròn ba đoạn răng thẳng<br /> <br /> Sau khi dựng hình bánh răng, dễ dàng tạo mới bánh răng bằng cách thay đổi môđun<br /> m, số răng Z và một vài thông số khác.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hình 8. Bánh răng trụ tròn<br /> Hình 6. Cơ cấu tạo chuyển động Hình 7. Biên dạng rãnh răng<br /> răng thẳng biên dạng cung<br /> bao hình sau khi lắp ráp của bánh răng<br /> tròn hoàn chỉnh<br /> <br /> <br /> <br /> 4. Gia công bánh răng cung tròn trên máy phay CNC 3 trục<br /> Sau khi dựng hình hoàn chỉnh bánh răng cung tròn trên phần mềm Pro/Engineer,<br /> chúng tôi tiến hành lập trình gia công và gia công thử nghiệm trên máy phay CNC 3<br /> trục BAZ-15 Heidenhain của phòng thí nghiệm CRePA, chương trình PFIEV Đà Nẵng.<br /> Thông số bánh răng được gia công: m = 4, Z = 20, phôi bánh răng: hình trụ, dao cắt:<br /> dao phay ngón, dao phay mặt đầu. Các bước gia công chủ yếu: phay thô, tinh mặt đầu;<br /> phay thô, tinh mặt răng (hình 9, hình 10, hình 11).<br /> 5. Kết quả và bình luận<br /> <br /> 6<br />  TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009<br /> <br /> Bài báo trình bày một số kết quả nghiên cứu thực hiện được: Nghiên cứu lý thuyết<br /> bao hình để tạo hình biên dạng và mặt răng của cặp bánh răng cung tròn, từ đó đề xuất<br /> phương pháp dựng hình biên dạng răng cung tròn sử dụng công cụ Matlab, đề xuất một<br /> phương pháp dựn g hình biên dạng và mặt răng cho một cặp bánh răng đối tiếp, trên cơ<br /> sở ứng dụng phần mềm Pro/Engineer và môđun Mechanism Design. Việc dựng hình<br /> thanh răng sinh, cơ cấu tạo chuyển động bao h ình cũng như bánh răng cung tròn được<br /> thực hiện theo tham số, nhờ đó dễ dàng thay đổi môđun và số răng khi muốn tạo hình<br /> một bánh răng mới. Đồng thời cũng tiến hành gia công thử nghiệm một cặp bánh răng<br /> trụ răng thẳng biên dạng cung tròn trên máy phay CNC 3 trục BAZ15 Heidenhain. Bánh<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Hinh 9. Mô phỏng bước Hình 10. Gia công bánh Hình 11. Sản phẩm hoàn chỉnh<br /> gia công tinh mặt răng răng cung tròn sau khi gia công trên máy phay<br /> CNC 3 trục BAZ-15<br /> răng được gia công đạt được độ chính xác và độ bóng yêu cầu.<br /> <br /> 6. Kết luận<br /> Có thể ứng dụng phương pháp dựng hình bánh răng bằng phương pháp bao hình đề<br /> xuất nhằm dựng hình nhanh chóng các loại bánh răng biên dạng cung tròn khác nhau<br /> như bánh răng trụ răng nghiêng, bánh răng nón răng thẳng... Việc dựng hình các bánh<br /> răng theo tham số, cho phép người thiết kế nhanh chóng dựng hình lại bánh răng có<br /> mođun, số răng khác nhau. Việc dựng hình chính xác bánh răng tạo cơ sở cho các bước<br /> kế tiếp như phân tích ứng suất uốn và tiếp xúc trên răng nhằm kiểm tra bền (sử dụng<br /> phần mềm ANSYS), mô phỏng chuyển động của cặp bánh răng nhằm xác định phản lực<br /> tại chỗ tiếp xúc, phản lực ở gối trục, lập trình gia công, đo đạc bánh răng (sử dụng phần<br /> mềm Pro/Engineer), mô phỏng sai số truyền động, tín hiệu dao động phát sinh nhằm<br /> nghiên cứu dấu hiệu hư hỏng (sử dụng phần mềm ANSYS).<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1] C. B. Tsay, Z. H. Fong, S. Tao, The Mathematical model of Wildhaber-Novikov<br /> gears applicable to finite element stress analysis, Math. Comput. Modelling, Vol<br /> <br /> 7<br />  TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 6(35).2009<br /> <br /> 12, No 8, pp 939-946, 1989.<br /> [2] Faydor L. Litvin and al, New version of Novikov-Wildhaber helical gears:<br /> computerized design, simulation of meshing and stress analysis, Comput. Methods<br /> Appl. Mech. Engrg. 191, p5707-5740, 2002.<br /> [3] Faydor L. Litvin, Theory of gearing, NASA Reference Publication 1212,<br /> AVSCOM Techinca Report 88-C-035., 1989.<br /> [4] Minoru MAKI, Masaki WANATABE, A study of WN spiral bevel gear<br /> manufactured by machining center, Department of Mechanical Engineering, Kanto<br /> Gakui University, Yokohama, Japan.<br /> [5] Shyue-Cheng Yang, Mathematical model of a stepped tripled circular-arc gear,<br /> Journal of Mechanism and Machine Theory, Elsevier, 2008.<br /> [6] Yi-Cheng Wu, Kuan-Yu Chen, Chung-Biau Tsay, Yukinori Ariga, Contact<br /> Characteristics of Circular-Arc Curvilinear Tooth Gear Drives, Journal of<br /> Mechanical Design, ,Vol.131, 2009.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 8<br />