Nghiên cứu thực nghiệm một phương pháp chia miền giải các bài toán với điều kiện biên hỗn hợp trong miền hình học phức tạp.

Chia sẻ: Bút Màu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu thực nghiệm một phương pháp chia miền giải các bài toán với điều kiện biên hỗn hợp trong miền hình học phức tạp. Vào những năm 1940 sự nghiên cứu các quá trình điều khiển/điều chỉnh và mô tả bằng mô hình toán học được tiếp tục nghiên cứu tiếp tục và năm 1034 có hai bài báo quan trọng đã được xuất bản.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Nghiên cứu thực nghiệm một phương pháp chia miền giải các bài toán với điều kiện biên hỗn hợp trong miền hình học phức tạp.

. . a ` e e’ Tap ch´ Tin hoc v` Diˆu khiˆn hoc, T.21, S.3 (2005), 216—229 ı . ˆ ´. . ˆ ˆ . . ´ NGHIEN CU U THU C NGHIEM MOT PHU O NG PHAP CHIA MIEN . . . ` ˆ ’ ´ ` ´ ´. ` ˆ ˆ . ˆ ˜ ˆ GIAI CAC BAI TOAN VO I DIEU KIEN BIEN HON HO P . . ` TRONG MIEN H` ˆ ´. INH HOC PHU C TAP . . DANG QUANG A1 , VU VINH QUANG2 ˘ . ´ ˜ 1 Viˆn e. Cˆng nghˆ thˆng tin o e o . 2 Khoa CNTT - Dai hoc Th´i Nguyˆn a e . . Abstract. In this paper we propose a method of domain decomposition based on the update of conormal derivative of the function to be found for solving elliptic problems with mixed boundary conditions in domains of complicated geometry. The results of experimental study on convergence of the method for examples in domains consisting of two, three or more rectangles with various conﬁguration are presented. These results conﬁrm the applicability of the method for problems complicated in both boundary conditions and geometry of domains. T´m t˘t. Trong b`i b´o n`y ch´ng tˆi dˆ xuˆ t mˆt phu.o.ng ph´p chia miˆn giai c´c b`i to´n biˆn o ´ a a a a u o ` e a ´ o . a ` e ’ a a a e elliptic v´.i c´c diˆu kiˆn biˆn hˆ n ho.p trong miˆn h` hoc ph´.c tap v` tr` b`y kˆt qua nghiˆn o a ` e e . e o ˜ . `e ınh . u . a ınh a e ´ ’ e c´.u thu.c nghiˆm su. hˆi tu cua phu.o.ng ph´p trˆn mˆt sˆ th´ du v´.i c´c miˆn cˆ u th`nh t`. hai, ba u . e . . o . ’ . a e . ´ o o ı . o a ` a e ´ a u ho˘c nhiˆu ho.n h` ch˜. nhˆt v´.i c´c cˆu h` kh´c nhau. C´c kˆt qua n`y kh˘ng dinh kha n˘ng a. `e ınh u a o a a ınh a . ´ a e ´ ’ a a’ . ’ a a ´p dung phu .o.ng ph´p cho c´c b`i to´n ph´.c tap ca vˆ miˆn h` hoc v` diˆu kiˆn biˆn. a a a a u . ’ ` ` e e ınh . a e ` e e . . ’. A 1. MO D` U ˆ Trong [1] d˜ dˆ xuˆ t mˆt phu.o.ng ph´p chia miˆn m´.i giai phu.o.ng tr` elliptic v´.i diˆu a ` e a ´ o . a ` e o ’ ınh o ` e kiˆn Dirichlet v` d˜ ch´ e a a u .ng minh du.o.c su. hˆi tu cua phu.o.ng ph´p c˜ng nhu. chı ra tham sˆ o . ’ a u ’ o´ . . . . l˘p tˆ a o . ´i u.u cho tru.`.ng ho.p miˆn ch˜. nhˆt. Trong b`i b´o n`y ch´ng tˆi tiˆp tuc ph´t triˆ n o . `e u a . a a a u o e ´ . a e’ phu.o.ng ph´p d´ cho c´c b`i to´n v´.i c´c diˆu kiˆn biˆn hˆn ho.p Dirichlet v` Neumann. Dˆng a o a a a o a ` e e . e o ˜ . a o . co. th´ c dˆ y ch´ng tˆi ph´t triˆn phu.o.ng ph´p n`y l` su. cai thiˆn mˆt phˆn vˆ tˆc dˆ hˆi u a ’ u o a e’ a a a . ’ e . o. ` ` o o o a e ´ . . tu v` th`.i gian t´nh to´n cua phu.o.ng ph´p n`y so v´.i phu.o.ng ph´p cˆp nhˆt h`m trˆn biˆn . a o ı a ’ a a o a a . a a . e e a ’ . dung khi x´t b`i to´n Dirichlet. Su. cai thiˆn n`y s˜ du.o.c chung m` Saito v` Fujita [2] d˜ su . a a e a a . ’ e a e . . ’ e o . ı . . ’ a a ch´ng tˆi chı ra trˆn mˆt th´ du trong muc 3 cua b`i b´o. u o ˆ ’ . . ´ 2. MO TA PHU O NG PHAP X´t b`i to´n e a a − u = f (x), x ∈ , (1) u = ϕ(x), x ∈ ∂ , (2)
´. . . . ˆ . . . NGHIEN CU U THU C NGHIEM MOT PHU O NG PHAP CHIA MI` N... ˆ ˆ ´ ˆ E 217 trong d´ o l` miˆn gi´.i nˆi trong R2 v´.i biˆn Lipschitz ∂ cˆ u th`nh t`. c´c phˆn biˆn tro.n a ` e o o . o e a´ a u a ` a e k ∂ = Sj , l` to´n tu. Laplace, l` to´n tu. diˆu kiˆn biˆn, f (x) v` ϕ(x) l` c´c h`m cho a a ’ a a ’ ` e e . e a a a a j=1 tru.´.c. o Gia su. r˘ ng ’ ’ ` a u= iu = ϕi (x), x ∈ Si , (i = 1, . . . , k), (3) ∂u trong d´ o iu ` = u (diˆu kiˆn biˆn Dirichlet), ho˘c i u = e e. e a. (diˆu kiˆn biˆn Neumann) v´.i νi `e e. e o ∂νi a a ´ e a ’ l` ph´p tuyˆn ngo`i cua phˆn biˆn Si . ` a e Ta s˜ nghiˆn c´ e e u .u phu.o.ng ph´p chia miˆn giai b`i to´n (1), (2) trong c´c miˆn h` hoc a ` e ’ a a a ` e ınh . ph´ . u .c tap. Dˆi v´.i b`i to´n biˆn Dirichlet, t´.c l` khi u = u, nhiˆu t´c gia d˜ dˆ xuˆ t v` ´ o a o a e u a ` a e ’ a ` e a a ´ nghiˆn c´ a e u .u c´c phu.o.ng ph´p chia miˆn kh´c nhau (xem, ch˘ng han [ 2, 5]). M´.i dˆy trong a `e a ’ a o a . [1] ch´ng tˆi d˜ dˆ a u o a e ` xuˆ t mˆt phu.o.ng ph´p chia miˆn m´.i du.a trˆn viˆc t´ lai gi´ tri dao ´ o . a `e o . e e ınh . . a . . h`m cua nghiˆm trˆn biˆn chung gi˜.a c´c miˆn, phu.o.ng ph´p n`y c´ thˆ xem l` ngu.o.c dˆi a ’ e . e e u a `e a a o e ’ a . o ´ v´o.i phu.o.ng ph´p du.o.c nghiˆn c´.u trong [2]. Su. hˆi tu cua phu.o.ng ph´p v` gi´ tri tˆi u.u a e u ’ ´ . . o . . a a a . o cua tham sˆ l˘p d˜ du.o.c thiˆt lˆp. Theo ch´ng tˆi du.o.c biˆt chu.a c´ nghiˆn c´.u n`o du.o.c ’ ´ . o a a . ´ . e a u o . ´ e o e u a . o o ` ´ e cˆng bˆ vˆ phu .o.ng ph´p chia miˆn cho b`i to´n v´.i c´c diˆu kiˆn biˆn hˆ n ho.p. Ch´ v` a ` e a a o a ` e e e o ˜ ınh ı . . thˆ, trong b`i b´o n`y ch´ng tˆi tiˆp tuc ph´t triˆ n phu.o.ng ph´p d˜ du.o.c nghiˆn c´.u cho ´ e a a a u o e .´ a e’ a a . e u c´c b`i to´n v´ ` .i diˆu kiˆn biˆn hˆn ho.p trong mˆt sˆ miˆn h` hoc ph´.c tap cˆ u th`nh t`. ˜ o o ` a a a o e e. e o . . ´ e ınh . u . a ´ a u hai, ba ho˘c nhiˆu ho.n h` ch˜. nhˆt con. a. ` e ınh u a . Dˆ dˆ h` dung y tu.o.ng cua phu.o.ng ph´p , du.´.i dˆy ch´ng tˆi mˆ ta phu.o.ng ph´p chia ’ e e ˜ ınh ´ ’ ’ a o a u o o ’ a miˆ ` n giai b`i to´n (1), (2) khi miˆn du.o.c chia th`nh 2 miˆn 1 v` 2 v´.i biˆn chung Γ. e ’ a a `e . a ` e a o e K´ hiˆu Gi = ∂ i \ Γ, ui = u| i , (i = 1, 2), trong d´ ∂ i l` biˆn cua miˆn i . D˘t y e . o a e ’ `e a . ∂u1 .i ν1 l` ph´p tuyˆn ngo`i cua ∂ 1 . g= v´o a a ´ e a ’ ∂ν1 Γ Qu´ tr` l˘p o. m´.c vi phˆn du.o.c thu.c hiˆn nhu. sau: xuˆ t ph´t t`. xˆ p xı ban dˆu g (0) , a ınh a ’ u . a . . e . ´ a a u a ’ ´ ` a v´o.i k = 0, 1, 2, ... giai liˆn tiˆp 2 b`i to´n ’ e e´ a a  − u(k) = f trong 1 ,  1   (k) u1 = ϕ trˆn G1 , e (3)  ∂u(k)  1   = g (k) trˆn Γ,e ∂ν1  (k) − u2 = f  trong 2, (k) u =ϕ trˆn G2 , e (4)  (k) 2 (k)  u2 = u1 trˆn Γ. e Xˆp xı m´.i cua g du.o.c t´ theo cˆng th´.c ´ a ’ o ’ . ınh o u (k) (k+1) (k) ∂u g = θg − (1 − θ) 2 , (5) ∂ν2 Γ
218 ˘ ´ ˜ DANG QUANG A, VU VINH QUANG . o a o a ` ´ . a . ’ trong d´ θ l` tham sˆ l˘p cˆn chon dˆ qu´ tr` l˘p hˆi tu. e a ınh a o . . . Trong tru o .`.ng ho.p miˆn cua b`i to´n du.o.c chia th`nh n + 1 miˆn con v´.i c´c biˆn chung `e ’ a a a ` e o a e . . Γ1 , Γ2 , . . . , Γn phu .o.ng ph´p l˘p (3)-(5) s˜ du.o.c ´p dung dˆ hiˆu chınh dao h`m ph´p tuyˆn a a e ’ e ’ ´ . . a . e . . a a e ’ a e a e ´ . o a e ˜ cua h`m trˆn c´c biˆn chung. Tham sˆ l˘p θ trˆn mˆ i biˆn chung c´ thˆ kh´c nhau. o e o e a ’ Dˆ e’ hiˆn thu.c ho´ phu.o.ng ph´p l˘p (3)-(5) ch´ ng tˆi thay c´c b`i to´n vi phˆn (3), (4) e . . a a a . u o a a a a bo.i c´c lu.o.c dˆ sai phˆn c´ xˆ p xı bˆc 2 v` su. dung cˆng th´.c sai phˆn c`ng bˆc dˆ t´ dao ’ a . ` o ´ a o a ’ a . a ’ . o u a u ’ a e ınh . . a a ´ h`m ph´p tuyˆn trong (5). e Khi c´c miˆn con l` h` ch˜. nhˆt ch´ng tˆi d˜ xˆy du.ng bˆ chu.o.ng tr` giai c´c b`i a `e a ınh u a . u o a a . o . ınh ’ a a .ng v´.i mˆi b`i to´n vi phˆn (3), (4) v` c´c loai diˆu kiˆn biˆn hˆn ho.p kh´c ˜ ˜ to´n vi phˆn u a a ´ o o a a a a a . `e e. e o . a nhau. K´ hiˆu L1 v` L2 l` dˆ d`i cua c´c canh h` ch˜. nhˆt, h = L1 /M, k = L2 /N l` c´c y e . a a o a ’ a . . ınh u a. a a .´.c lu.´.i trˆn c´c canh, (M + 1), (N + 1) l` c´c sˆ diˆ m n´ t trˆn mˆ i canh. Su. dung phu.o.ng bu o o e a . a a o ´ e ’ u e ˜ . o ’ . ph´p sai phˆn ta chuyˆ n b`i to´n vˆ dang phu.o.ng tr` hˆ vecto. 3 diˆ m. a a ’ e a a ` . e ınh e . e’ −Yj−1 + CYj − Yj+1 = Fj , 1 j N − 1, Y0 = F0 , YN = FN , (6)  CY0 − 2Y1  = F0 , j = 0, −Y + CYj − Yj+1 = Fj , 1 j N − 1, (7)  j−1  −2YN−1 + CYN = FN , j = N, N = 2n , dˆi v´.i b`i to´n biˆn hˆn ho.p, trong d´ Yj l` c´c vecto. nghiˆm, Fj l` c´c vecto. M chiˆu ch´.a ´ o o a a e o ˜ . o a a e . a a ` e u c´c gi´ tri h`m vˆ phai v` gi´ tri h`m ho˘c dao h`m trˆn biˆn, C l` mˆt ma trˆn 3 du.`.ng a a . a e´ ’ a a . a a . a . e e a o . a . o e ’ a ınh a ´ ch´o thoa m˜n t´ chˆ t ch´o trˆi. e o . K´ hiˆu b1, b2, b3, b4 l` c´c gi´ tri biˆn Dirichlet ho˘c Neumann trˆn c´c biˆn tr´i, phai, y e . a a a . e a . e a e a ’ .´.i v` trˆn cua miˆn ch˜. nhˆt. Ap dung c´c thuˆt to´n thu gon ho`n to`n [4] giai hˆ c´c du o a e ’ `e u a ´ a a a a a ’ e a . . . . . phu.o.ng tr` vecto. 3 diˆ m dˆ thu du.o.c c´c ma trˆn nghiˆm tai c´c diˆm lu.´.i, ch´ng tˆi tiˆn ınh e’ e’ . a a . e . . a e’ o u o e ´ h`nh xˆy du a a .ng c´c thu tuc b˘ ng ngˆn ng˜. MATLAB dˆ giai c´c b`i to´n co. ban sau: a ’ . ` a o u ’ e ’ a a a ’ . ’ . ’ a a + U 0000(b1, b2, b3, b4, L1 , L2 , M, N ) tra lai nghiˆm cua b`i to´n trong tru o e .`.ng ho.p b1, b2, b3, b4 . . l` c´c gi´ tri biˆn Dirichlet. a a a . e + U 1000(b1, b2, b3, b4, L1 , L2 , M, N ) tra lai nghiˆm cua b`i to´n trong tru.`.ng ho.p b1 l` ’ . e . ’ a a o . a gi´ tri biˆn Neumann, b2, b3, b4 l` c´c gi´ tri biˆn Dirichlet. a . e a a a . e + U 0100(b1, b2, b3, b4, L1 , L2 , M, N ) tra lai nghiˆm cua b`i to´n trong tru.`.ng ho.p b2 l` ’ . e . ’ a a o . a gi´ tri biˆn Neumann, b1, b3, b4 l` c´c gi´ tri biˆn Dirichlet. a . e a a a . e + U 0010(b1, b2, b3, b4, L1 , L2 , M, N ) tra lai nghiˆm cua b`i to´n trong tru.`.ng ho.p b3 l` ’ . e . ’ a a o . a gi´ tri biˆn Neumann, b1, b2, b4 l` c´c gi´ tri biˆn Dirichlet. a . e a a a . e + U 0001(b1, b2, b3, b4, L1 , L2 , M, N ) tra lai nghiˆm cua b`i to´n trong tru.`.ng ho.p b4 l` ’ . e . ’ a a o . a gi´ tri biˆn Neumann, b1, b2, b3 l` c´c gi´ tri biˆn Dirichlet. a . e a a a . e ’ . a C´c thu tuc h`m a U 0101(b1, b2, b3, b4, L1 , L2 , M, N ), U 1001(b1, b2, b3, b4, L1 , L2 , M, N ), U 0110(b1, b2, b3, b4, L1 , L2 , M, N ), U 1010(b1, b2, b3, b4, L1 , L2 , M, N ), .o.c k´ hiˆu l` c´c thu tuc h`m tra lai nghiˆm cua b`i to´n trong tru.`.ng ho.p c´ hai biˆn du . y e a a ’ . a ’ . e ’ a a o . . . o e ` Neumann kˆ nhau. e
´. . . . ˆ . . . NGHIEN CU U THU C NGHIEM MOT PHU O NG PHAP CHIA MI` N... ˆ ˆ ´ ˆ E 219 . ˆ ’ ˆ ´ ˆ ` ´ 3. THU C NGHIEM GIAI MOT SO BAI TOAN . . . Su. dung phu.o.ng ph´p l˘p d˜ dˆ xuˆ t c`ng v´.i c´c thu tuc h`m d˜ xˆy du.ng, ch´ng tˆi ’ . a a a ` . ´ e a u o a ’ . a a a . u o ´ tiˆn h`nh t´ to´n thu e a ınh a .c nghiˆm cho mˆt sˆ tru.`.ng ho.p chia miˆn dˆi v´.i c´c b`i to´n biˆn e o o´ o ` ´ e o o a a a e . . . . hˆ n ho.p trong c´c miˆn h` hoc ph´.c tap m` c´c t´c gia kh´c chu.a dˆ cˆp dˆn. Trong c´c ˜ o . a `e ınh . u . a a a ’ a ` a e e ´ ´ a b`i to´n n`y ch´ ng tˆi chon tru o a a a a a u o .´.c c´c h`m u∗ l` nghiˆm d´ng, c`n c´c diˆu kiˆn biˆn v` vˆ a e u o a ` e e e a e´ . . . ’ .o.c t´ t`. u∗ . Qu´ tr` l˘p du.o.c thu.c hiˆn cho dˆn khi dˆ lˆch cua hai xˆ p xı liˆn phai du . ınh u a ınh a e ´ e o e ’ ´ ’ e a . . . . . . tiˆp u(k) v` u(k−1) t´ theo chuˆ n dˆu cua h`m lu.´.i nho ho.n dˆ ch´nh x´c cho tru.´.c. Du.´.i ´ e a ınh ’ e ’ a a ` o ’ o ı . a o o a e´ o ’ o a . ’ dˆy, nˆu khˆng chı r˜ gi´ tri cua th` ch´ng ta s˜ lˆ y = 10 ı u e a ´ −4 . B`i to´n 1. a a   ` − u = f trong miˆn , e    u = ϕ, trˆn {−a x a, y = −b} ∪ {0 x  e a, y = b}    ∪{x = −a, −b y 0} ∪ {x = a, −b y b},  ∂u   ∂y = β(x) trˆn {−a x 0, y = 0},   e   ∂u   = g(y) trˆn {x = 0, 0 y b}, (H` 1). e ınh ∂x y b 0 1 Ω2 0 -a 1 a x 0 Γ 0 Ω1 0 0 H` 1 ınh 1 - Biˆn Neumann; 0 - Biˆn Dirichlet e e Chia th`nh hai miˆn 1 v` 2 bo.i biˆn chung Γ = {0 x a, y = 0} v` k´ hiˆu ui l` a `e a ’ e a y e . a ∂u1 nghiˆm trong i , (i = 1, 2), ξ = e . . ∂y Γ Viˆc giai b`i to´n du.o.c thu.c hiˆn bo.i qu´ tr` l˘p sau dˆy: e . ’ a a . . e . ’ a ınh a. a Cho tru o.´.c ξ (0) = 0. V´.i k = 0, 1, . . . thu.c hiˆn c´c bu.´.c sau: o e a o . . Bu.´.c 1: Giai b`i to´n trong miˆn 1 o ’ a a ` e (k) ım e . o a a a . e a ` T` nghiˆm u1 = U 0001(. . . ) trong d´ b1, b2, b3 l` c´c gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ a e a ´t, biˆ e ξ (k) , 0 x a, y = 0, b4 = β(x), −a x 0, y = 0. Bu.´.c 2: Giai b`i to´n trong miˆn o ’ a a `e 2
220 ˘ ´ ˜ DANG QUANG A, VU VINH QUANG . (k) ım e. o a a a . e a ` T` nghiˆm u2 = U 1000(. . . ) trong d´ b1, b2, b4 l` c´c gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ a e a ´ (k) biˆt, b3 = u1 l` gi´ tri biˆn nhˆn du . u a a e a a . e a .o.c t`. b`i to´n trong miˆn 1 . `e . (k) .´.c 3: T´ xˆ p xı cua h`m ξ trˆn Γ : ξ (k+1) = θξ (k) + (1 − θ) ∂u2 Bu o ınh a ´ ’ ’ a e . ∂y Γ Kˆt qua thu.c nghiˆm khao s´t su. hˆi tu cua phu.o.ng ph´p phu thuˆc tham sˆ l˘p du.o.c ´ e ’ . e. ’ a . o . ’ . a . o . ´ . o a . cho trong ba ’ ng du.´.i dˆy, trong d´ cˆt “Sai sˆ” chı sai sˆ cua nghiˆm gˆn d´ng so v´.i nghiˆm o a o o . o´ ’ o´ ’ e . ` u a o e . d´ng trong chuˆ n dˆu. Tiˆu chuˆ n d`.ng l˘p l` = 10−4 . u ’ e a ` e ’ a u a a . ´ ’ Kˆt qua: K´ thu o e ıch .´.c miˆn a = b = 1 , lu.´.i chia 64 × 64. `e o u∗ =10x(1-x)y(1-y) u∗ =10x(1-x)y2 (1-y) u∗ = sin x sin y Tham sˆ ´ o Sai o ` ´ a Sˆ lˆn Tham sˆ ´ o Sai o ` ´ a Sˆ lˆn Tham sˆ o´ Sai o ` ´ a Sˆ lˆn teta ´ sˆ o l˘p a . teta sˆ o´ l˘p a. teta ´ sˆ o l˘p a . 0.3 2.10−6 18 0.3 5.10 −5 10 0.3 7.10 −6 15 0.4 9.10−7 11 0.4 6.10−5 6 0.4 6.10−6 8 0.5 3.10−7 6 0.5 5.10 −5 5 0.5 6.10 −6 6 0.6 2.10−6 10 0.6 4.10−5 8 0.6 7.10−6 11 0.7 2.10−6 16 0.7 5.10−5 12 0.7 7.10−6 16 Kˆt luˆn: So. dˆ l˘p giai b`i to´n trˆn hˆi tu kh´ nhanh v´.i gi´ tri tham sˆ l˘p du.o.c chon ´ a e . ` . o a ’ a a e o . a . o a . ´ . o a . . trong khoa ’ ng (0.3, 0.7), gi´ tri tˆi u.u xˆ p xı b˘ ng 0.5. a . o ´ ´ ’ ` a a Nhˆn x´t: V´.i c´ch chia miˆn nhu. H` 1 ch´ng tˆi d˜ giai b`i to´n b˘ ng c´ch l˘p cˆp a e . o a `e ınh u o a ’ a a ` a a a a . . nhˆt gi´ tri cua h`m trˆn biˆn chung Γ nhu ´ ’ a a . ’ a e e . y tu.o.ng cua Saito-Fujita [2]. Khi d´ th´. tu. giai ’ o u . ’ . c´c b`i to´n trong c´c miˆn con phai thu.c hiˆn ngu.o.c lai: dˆu tiˆn trong 2 giai b`i to´n a a a a ` e ’ . e . . . ` a e ’ a a .i diˆu kiˆn biˆn Dirichlet trˆn Γ, sau d´ trong 1 giai b`i to´n v´.i diˆu kiˆn biˆn Neumann v´ ` o e e e e o ’ a a o ` e e e . . trˆn Γ . Kˆt qua thu.c nghiˆm vˆ tˆc dˆ hˆi tu v` th`.i gian t´ to´n cua phu.o.ng ph´p cˆp e ´ e ’ . e ` o o o . a o . e ´ . . ınh a ’ a a . nhˆt dao h`m du . a . a .o.c mˆ ta o. trˆn v` phu.o.ng ph´p cˆp nhˆt h`m [2] trˆn th´ du, trong d´ o ’ ’ e a a a a a e ı . o . . . nghiˆm d´ng l` h`m u = 10x(1 − x)y 2 (1 − y) dˆi v´.i lu.´.i 32 × 32 v` 64 × 64 du.o.c cho trong e. u a a ´ o o o a . a ’ c´c bang sau. Bang 1. Lu.´.i 32 × 32 v` = 10−3 ’ o a phu.o.ng ph´p cˆp nhˆt a a . a . dao h`m . a phu.o.ng ph´p Saito-Fujita a Tham sˆ Sˆ lˆn Th`.i gian ´ o o ` ´ a o Sai Sˆ lˆn Th`.i gian o ` ´ a o Sai teta l˘p a . t´ (giˆy) ınh a ´ sˆ o l˘p a . t´ (giˆy) ınh a ´ sˆ o 0.3 7 2.1 9.10−4 14 4.0 5.10−4 0.4 5 1.6 3.10−4 9 2.7 5.10−4 0.5 4 1.3 3.10−4 6 1.9 2.10−4 0.6 6 1.9 4.10−4 7 2.1 4.10−4 0.7 9 2.6 5.10−4 11 3.1 7.10−4 So s´nh kˆt qua thu.c nghiˆm vˆ hai phu.o.ng ph´p dˆ thˆy r˘ ng phu.o.ng ph´p cˆp nhˆt a ´ e ’ . e . ` e a ˜ a ` e ´ a a a . a. a ’ u o o ` dao h`m cua ch´ng tˆi c´ phˆn nhanh ho a .n phu.o.ng ph´p cˆp nhˆt h`m trong [2]. Ch´ diˆu a a a a ınh ` e . . . n`y l` dˆng co. th´ c dˆ y ch´ng tˆi ph´t triˆn phu.o.ng ph´p cˆp nhˆt dao h`m dˆ giai c´c b`i a a o . u a ’ u o a e’ a a . a . a . ’ e ’ a a to´n kh´c ph´ . a a u.c tap ho.n.
´. . . . ˆ . . . NGHIEN CU U THU C NGHIEM MOT PHU O NG PHAP CHIA MI` N... ˆ ˆ ´ ˆ E 221 Bang 2. Lu.´.i 64 × 64 v` ’ o a = 10−4 phu.o.ng ph´p cˆp nhˆt a a . a . dao h`m . a phu.o.ng ph´p Saito-Fujita a Tham sˆ Sˆ lˆn Th`.i gian ´ o o ` ´ a o Sai Sˆ lˆn Th`.i gian o ` ´ a o Sai teta l˘p a . t´ (giˆy) ınh a ´ sˆ o l˘p a . t´ (giˆy) ınh a ´ sˆ o 0.3 10 10.7 5.10−5 14 14.9 7.10−5 0.4 6 6.6 6.10−4 7 7.6 5.10−5 0.45 5 5.6 2.10−5 8 8.6 2.10−5 0.5 5 5.6 5.10−5 6 6.6 4.10−5 0.55 6 6.6 8.10−5 7 7.6 7.10−5 B`i to´n 2. a a   ` − u = f trong miˆn , e    u = ϕ, trˆn {−a x a, y = −b} ∪ {0 x  e 2a, y = b}    ∪{x = −a, −b y 0} ∪ {x = 2a, 0 y b},   ∪{a x 2a, y = 0} ∪ {x = a, −b y 0},   ∂u    ∂y = β(x) trˆn {−a x 0, y = 0},   e    ∂u   = g(y) trˆn {x = 0, 0 y b}, (H` 2). e ınh ∂x y b 0 1 Ω2 0 1 a 0 2a x 0 Γ 0 Ω1 0 0 H` 2 ınh 1 - Biˆn Neumann; 0 - Biˆn Dirichlet e e Chia ` th`nh hai miˆn a e 1 v` a bo.i biˆn chung Γ = {0 x ’ 2 e a, y = 0}, k´ hiˆu ui l` y e . a ∂u1 . e ` nghiˆm triˆn miˆn i , (i = 1, 2), ξ = e e . ∂y Γ Viˆc giai b`i to´n du.o.c thu.c hiˆn bo.i qu´ tr` l˘p sau dˆy: e . ’ a a . . e . ’ a ınh a. a Cho tru o.´.c ξ (0) = 0. V´.i k = 0, 1, . . . thu.c hiˆn c´c bu.´.c sau: o e a o . . Bu.´.c 1: Giai b`i to´n trong miˆn 1 o ’ a a ` e (k) ım e . o a a a . e a ` T` nghiˆm u1 = U 0001(. . . ) trong d´ b1, b2, b3 l` c´c gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ a e a
222 ˘ ´ ˜ DANG QUANG A, VU VINH QUANG . ´ biˆt, e ξ (k) , 0 x a, y = 0, b4 = β(x), −a x 0, y = 0. Bu.´.c 2: Giai b`i to´n trong miˆn 2 o ’ a a `e (k) ım e. o a a a . e a ` T` nghiˆm u2 = U 1000(. . . ) trong d´ b1, b2, b4 l` c´c gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ a e a ´ biˆt, e u1 l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t`. b`i to´n 1, (k) a a . e a . . u a a b3 = ϕ(x), a x 2a, y = 0. (k) ∂u Bu.´.c 3: Hiˆu chınh gi´ tri cua h`m ξ trˆn Γ : ξ (k+1) = θξ (k) + (1 − θ) 2 o e . ’ a . ’ a e . ∂y Γ Kˆt qua: K´ thu.´.c miˆn a = b = 1 , lu.´.i chia 64 × 64. ´ e ’ ıch o `e o u∗ =10x(1-x)y(1-y) u∗ =10x(1-x)y2 (1-y) u∗ = sin x sin y Tham sˆ ´ o Sai o ` ´ a Sˆ lˆn Tham sˆ ´ o Sai o ` ´ a Sˆ lˆn Tham sˆ o´ Sai o ` ´ a Sˆ lˆn teta ´ sˆ o l˘p a . teta ´ sˆ o l˘p a . teta ´ sˆ o l˘p a . 0.1 0.036 20 0.1 0.021 20 0.1 0.014 20 0.2 3.10−4 20 0.2 8.10−4 17 0.2 1.10−4 20 0.3 1.10−6 18 0.3 8.10−4 10 0.3 7.10−6 15 0.4 2.10 −6 10 0.4 8.10 −4 6 0.4 7.10 −6 9 0.5 5.10−7 8 0.5 8.10−4 4 0.5 7.10−6 5 0.6 1.10 −6 12 0.6 8.10 −4 6 0.6 7.10 −6 8 0.7 2.10−6 18 0.7 8.10−4 8 0.7 7.10−6 13 0.8 2.10 −4 20 0.8 8.10 −4 15 0.8 6.10−6 20 0.9 0.019 20 0.9 0.0049 20 0.9 0.0015 20 Kˆt luˆn: So. dˆ l˘p giai b`i to´n trˆn hˆi tu v´.i gi´ tri tham sˆ l˘p du.o.c chon trong ´ e a . ` . o a ’ a a e o . o . a . ´ . o a . . ’ a . o .u xˆ p xı b˘ ng 0.5. khoang (0.1, 0.9), gi´ tri tˆi u a ’ ` ´ ´ a B`i to´n 3. a a   ` − u = f trong miˆn , e    u = ϕ, trˆn {−a x a, y = −b} ∪ {−a x a, y = 2b}  e    ∪{x = −a, −b y 0} ∪ {x = −a, b y 2b}, ∪{x = a, −b y 2b,  ∂u   ∂y = β(x) trˆn {−a x 0, y = 0} ∪ {−a x 0, y = b},   e   ∂u   = g(y) trˆn {x = 0, 0 y b}, (H` 3). e ınh ∂x Chia th`nh ba miˆn a `e , 1 v` a bo.i 2 biˆn chung Γ = {0 2’ 3 e 1 x a, y = 0} v`a ∂u1 Γ2 = {0 x . a e . ` a, y = b} k´ hiˆu ui l` nghiˆm trong 3 miˆn y e e i , (i = 1, 2, 3), ξ1 = , ξ2 = ∂y Γ1 ∂u2 . ∂y Γ2
´. . . . ˆ . . . NGHIEN CU U THU C NGHIEM MOT PHU O NG PHAP CHIA MI` N... ˆ ˆ ´ ˆ E 223 y 0 0 Ω2 1 b Γ2 1 Ω3 0 1 Γ1 a x 0 0 Ω1 0 H` 3 ınh 1 - Biˆn Neumann; 0 - Biˆn Dirichlet e e Viˆc giai b`i to´n du.o.c thu.c hiˆn bo.i qu´ tr` l˘p sau dˆy: e . ’ a a . . e . ’ a ınh a . a ’.i dˆng ξ1 = 0, ξ2 = 0. V´.i k = 0, 1, . . . thu.c hiˆn c´c bu.´.c sau: Kho o . (0) (0) o . e a . o .´.c 1: Giai b`i to´n 1 trong miˆn 1 Bu o ’ a a ` e (k) ım e . o a a a . e a ` T` nghiˆm u1 = U 0001(. . . ) trong d´ b1, b2, b3 l` c´c gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ a e a ´ biˆt, e (k) ξ1 , 0 x a, y = 0, b4 = β(x), −a x 0, y = 0. Bu.´.c 2: Giai b`i to´n 2 trong miˆn 2 o ’ a a `e (k) ım e. o a a a . e a ` T` nghiˆm u2 = U 0010(. . . ) trong d´ b1, b2, b4 l` c´c gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ a e a ´ biˆt, e (k) ξ2 , 0 x a, y = b, b3 = β(x), −a x 0, y = 0. Bu.´.c 3: Giai b`i to´n trong miˆn 3 o ’ a a `e (k) ım e. o a a a . e a ` T` nghiˆm u3 = U 1000(. . . ) trong d´ b1, b2 l` c´c gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ a e a ´ e (k) a a . e a .o.c t`. b`i to´n 1, b4 = u(k) l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t`. biˆt, b3 = u1 l` gi´ tri biˆn nhˆn du . u a a a a . e a . 2 . . u b`i to´n 2. a a (k) .´.c 4: Diˆu chınh gi´ tri trˆn c´c biˆn chung ξ (k+1) = θ1 ξ (k) + (1 − θ1 ) ∂u3 Bu o ` e ’ a . e a e (k+1) , ξ2 = 1 1 ∂y Γ1 (k) (k) ∂u θ2 ξ2 − (1 − θ2 ) 3 . ∂y Γ2 Kˆt qua: K´ thu.´.c miˆn a = b = 1 , lu.´.i chia 64 × 64. ´ e ’ ıch o `e o
224 ˘ ´ ˜ DANG QUANG A, VU VINH QUANG . u∗ =10x(1-x)y(1-y) u∗ =10x(1-x)y2 (1-y) u∗ = sin x sin y Tham sˆ´ o Sai o ` ´ a Sˆ lˆn Tham sˆ´ o Sai o ` ´ a Sˆ lˆn Tham sˆo´ Sai o ` ´ a Sˆ lˆn θ1 = θ2 ´ sˆ o l˘p a . θ1 = θ2 ´ sˆ o l˘p a. θ1 = θ2 ´ sˆ o l˘p a . 0.3 Khˆng o 0.3 Khˆng o 0.3 Khˆng o hˆi tu o . . hˆi tu o . . hˆi tu o . . 0.4 2.10−5 30 0.4 7.10−4 19 0.4 8.10−6 30 0.5 2.10−6 15 0.5 8.10−4 8 0.5 8.10−6 13 0.6 2.10 −6 13 0.6 8.10 −4 8 0.6 8.10 −6 14 0.7 2.10−6 20 0.7 8.10−4 13 0.7 8.10−6 20 0.8 7.10 −6 30 0.8 8.10−4 20 0.8 8.10 −6 30 0.9 0.0045 30 0.9 0.002 30 0.9 3.10−4 30 Kˆt luˆn: So. dˆ l˘p giai b`i to´n trˆn hˆi tu v´.i c´c gi´ tri tham sˆ l˘p du.o.c chon trong e´ a . ` . o a ’ a a e o . o a . a . ´ . o a . . ’ ng (0.4, 0.9), gi´ tri tˆi u.u trong khoang (0.5, 0.6). khoa a . o ´ ’ B`i to´n 4. a a y 0 Ω3 Γ3 b Γ2 1 MiÒn 0 Ω4 1 rçng 1 Ω2 0 1 a Γ4 Γ1 x 0 Ω1 0 H` 4 ınh 1 - Biˆn Neumann; 0 - Biˆn Dirichlet e e X´t b`i to´n e a a  − u = f trˆn miˆn ,  e `e    u = ϕ, trˆn biˆn {−a x 2a, y = −b} ∪ {−a x 2a, y = 2b}  e e    ∪{x = −a, −b y 2b} ∪ {x = 2a, −b y 2b},  ∂u   ∂y = β(x) trˆn {0 x a, y = 0} ∪ {0 x a, y = b},   e   ∂u   = g(y) trˆn {x = 0, 0 y b} ∪ {x = a, 0 y b}, (H` 4). e ınh ∂x Chia th`nh 4 miˆn 1 , 2 , 3 , 4 bo.i 4 biˆn chung Γ1 = {a a ` e ’ e x 2a, y = 0}, Γ2 = {a x 2a, y = b}, Γ3 = {−a x 0, y = b} v` Γ4 = {−a x 0, y = 0}, k´ hiˆu ui l` a y e. a
´. . . . ˆ . . . NGHIEN CU U THU C NGHIEM MOT PHU O NG PHAP CHIA MI` N... ˆ ˆ ´ ˆ E 225 ∂u1 ∂u3 ∂u3 ∂u1 e . ` nghiˆm trong 4 miˆn e i , (i = 1, . . . , 4), ξ1 = , ξ2 = , ξ3 = , ξ4 = . ∂y Γ1 ∂y Γ2 ∂y Γ3 ∂y Γ4 Viˆc giai b`i to´n du.o.c thu.c hiˆn bo.i qu´ tr` l˘p sau dˆy: e . ’ a a . . e . ’ a ınh a . a .i dˆng ξ (0) = 0, ξ (0) = 0, ξ (0) = 0, ξ (0) = 0. V´.i k = 0, 1, . . . thu.c hiˆn c´c bu.´.c sau: ’ . Kho o o e a o 1 2 3 4 . . Bu.´.c 1: Giai b`i to´n 1 trong miˆn 1 o ’ a a ` e (k) ım e . o a a a . e a ` T` nghiˆm u1 = U 0001(. . . ) trong d´ b1, b2, b3 l` c´c gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ a e a ´ biˆt, e  (k) ξ1 , a x 2a, y = 0,  b4 = β(x), 0 x a, y = 0,  (k)  ξ4 , −a x 0, y = 0. Bu.´.c 2: Giai b`i to´n 2 trong miˆn o ’ a a `e 2 (k) T` nghiˆm ım e . u3 o a a . e a ` a e a e ´ = U 0010(. . . ) trong d´ b1, b2, b4 l` gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ biˆt,  (k) ξ3 , −a x 0, y = b,  b3 = β(x), 0 x a, y = b,  (k)  ξ2 , a x 2a, y = b. Bu.´.c 3: Giai b`i to´n trong miˆn o ’ a a `e 2 (k) T` nghiˆm ım e. u2 o a a . e a ` a e a e ´ = U 1000(. . . ) trong d´ b1, b2 l` gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ biˆt, (k) a a . e a .o.c t`. b`i to´n 1, b4 = u(k) l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t`. b`i l` gi´ tri biˆn nhˆn du . u a a a a . e a b3 = u1 . 3 . . u a to´n 2. a Bu.´.c 4: Giai b`i to´n trong miˆn o ’ a a `e 4 (k) T` nghiˆm ım e. u4 o a a . e a ` a e a e ´ = U 0001(. . . ) trong d´ b1, b2 l` gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ biˆt, (k) a a . e a .o.c t`. b`i to´n 1, b4 = u(k) l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t`. b`i l` gi´ tri biˆn nhˆn du . u a a a a . e a b3 = u1 . 3 . . u a to´n 2. a Bu.´.c 5: Diˆu chınh c´c gi´ tri trˆn c´c biˆn chung o `e ’ a a . e a e (k) (k) (k+1) (k) ∂u2 (k+1) (k) ∂u2 ξ1 = θ1 ξ1 + (1 − θ1 ) , ξ2 = θ2 ξ2 − (1 − θ2 ) , ∂y Γ1 ∂y Γ2 (k) (k) (k+1) (k) ∂u (k+1) (k) ∂u ξ3 = θ3 ξ3 − (1 − θ3 ) 4 , ξ4 = θ 4 ξ4 + (1 − θ4 ) 4 , ∂y Γ3 ∂y Γ4 Kˆt qua: K´ thu.´.c miˆn a = b = 1, lu.´.i chia 64 × 64. ´ e ’ ıch o `e o
226 ˘ ´ ˜ DANG QUANG A, VU VINH QUANG . u∗ =10x(1-x)y(1-y) u∗ =10x(1-x)y2 (1-y) u∗ = sin x sin y Tham sˆ ´ o Sai o ` ´ a Sˆ lˆn Tham sˆ ´ o Sai o ` ´ a Sˆ lˆn Tham sˆo´ Sai o ` ´ a Sˆ lˆn θ1 = θ2 = ´ sˆ o l˘p a . θ1 = θ2 = ´ sˆ o l˘p a . θ1 = θ2 ´ sˆ o l˘p a . θ3 = θ4 θ3 = θ4 θ3 = θ4 0.3 Khˆng o 0.3 Khˆng o 0.3 Khˆng o hˆi tu o . . hˆi tu o . . hˆi tu o . . 0.4 0.0016 30 0.4 3.10−4 30 0.4 2.10−4 30 0.5 5.10−7 22 0.5 2.10−4 12 0.5 1.10−5 15 0.6 4.10 −7 17 0.6 2.10 −4 12 0.6 1.10 −5 16 0.7 5.10−7 25 0.7 2.10−4 20 0.7 1.10−5 22 0.8 3.10 −5 30 0.8 2.10 −4 30 0.8 1.10 −5 30 0.9 0.0087 30 0.9 0.0042 30 0.9 0.0012 30 Kˆt luˆn: So. dˆ l˘p giai b`i to´n trˆn hˆi tu v´.i gi´ tri tham sˆ l˘p du.o.c chon trong ´ e a . ` . o a ’ a a e o . o . a . ´ . o a . . ’ ´ khoang (0.4, 0.9), gi´ tri tˆi u a . o .u trong khoang (0.5, 0.6). ’ B`i to´n 5. a a y 0 Ω3 Γ6 b Γ5 Γ4 1 1 MiÒn MiÒn Ω4 1 rçng 1 Ω5 0 rçng 1 Ω2 0 1 1 x Γ1 0 a Γ2 Γ3 Ω1 0 H` 5 ınh 1 - Biˆn Neumann; 0 - Biˆn Dirichlet e e   ` − u = f trong miˆn , e    u = ϕ trˆn biˆn {−a x 4a, y = −b} ∪ {−a x 4a, y = 2b}  e e    ∪{x = −a, −b y 2b} ∪ {x = 4a, −b y 2b} ∪ {x = 2a, 0 y b},    ∂u  = g(y) trˆn {x = 0, 0 x b} ∪ {x = a, 0 y b} e  ∂x  ∪{x = 3a, 0 y b},    ∂u     ∂y = β(x) trˆn {0 x a, y = 0} ∪ {2a x 3a, y = 0}   e   ∪{0 x a, y = b} ∪ {2a x 3a, y = b}(H` 5).ınh
´. . . . ˆ . . . NGHIEN CU U THU C NGHIEM MOT PHU O NG PHAP CHIA MI` N... ˆ ˆ ´ ˆ E 227 Chia th`nh 6 miˆn 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 bo.i 6 biˆn chung Γ1 , Γ2 , Γ3 , Γ4 , Γ5 , Γ6 , k´ hiˆu a ` e ’ e y e . a e . ` ui l` nghiˆm trong 6 miˆn i , (i = 1, . . . , 6), k´ hiˆu e y e . ∂u1 ∂u1 ∂u1 ∂u3 ∂u3 ∂u3 ξ1 = , ξ2 = , ξ3 = , ξ4 = , ξ5 = , ξ6 = ∂y Γ1 ∂y Γ2 ∂y Γ3 ∂y Γ4 ∂y Γ5 ∂y Γ6 l` c´c gi´ tri dao h`m trˆn c´c biˆn chung Γi tu.o.ng u.ng (i = 1, . . . , 6). a a a . . a e a e ´ e ’ a a Viˆc giai b`i to´n du . .o.c thu.c hiˆn bo.i qu´ tr` l˘p sau dˆy: e ’ a ınh a a . . . . Kho.i dˆng ξ1 = 0, ξ2 = 0, ξ3 = 0, ξ4 = 0, ξ5 = 0, ξ6 = 0. (0) (0) (0) (0) (0) (0) ’ o. V´.i k = 0, 1, . . . thu.c hiˆn c´c bu.´.c sau: o . e a . o Bu.´.c 1: Giai b`i to´n 1 trong miˆn 1 o ’ a a ` e (k) ım e . o a a a . e a ` T` nghiˆm u1 = U 0001(. . . ) trong d´ b1, b2, b3 l` c´c gi´ tri trˆn c´c phˆn biˆn d˜ a e a ´ biˆt, e  (k) ξ1 , −a x 0, y = 0,    β(x), 0 x a, y = 0,   (k) b4 = ξ2 , a x 2a, y = 0,   β(x), 2a x 3a, y = 0,    (k)  ξ3 , 3a x 4a, y = 0. Bu.´.c 2: Giai b`i to´n 2 trong miˆn 3 o ’ a a `e (k) ım e . o a a . e e a e ´ T` nghiˆm u3 = U 0010(. . . ) trong d´ b1, b2, b4 l` gi´ tri trˆn biˆn d˜ biˆt,  (k) ξ4 , 3a x 4a, y = b,    β(x), 0 x a, y = b,   (k) b3 = ξ5 , a x 2a, y = b,   β(x), 2a x 3a, y = b,    (k)  ξ6 , −a x 0, y = b. Bu.´.c 3: Giai b`i to´n trong miˆn 2 o ’ a a `e (k) (k) ım e . o a a . e e a e ´ T` nghiˆm u2 = U 1000(. . . ) trong d´ b1, b2 l` gi´ tri trˆn biˆn d˜ biˆt, b3 = u1 l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t`. b`i to´n 1, b4 = u3 l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t`. b`i to´n 2. (k) a a . e a . . u a a a a . e a . . u a a Bu.´.c 4: Giai b`i to´n trong miˆn 4 o ’ a a `e (k) (k) ım e . o a a . e e a e ´ T` nghiˆm u4 = U 0100(. . . ) trong d´ b1, b2 l` gi´ tri trˆn biˆn d˜ biˆt, b3 = u1 l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t`. b`i to´n 1, b4 = u3 l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t`. b`i to´n 2. (k) a a . e a . . u a a a a . e a . . u a a Bu.´.c 5: Giai b`i to´n trong miˆn 5 o ’ a a `e (k) (k) ım e . o a a . e e a e ´ T` nghiˆm u5 = U 1000(. . . ) trong d´ b1, b2 l` gi´ tri trˆn biˆn d˜ biˆt, b3 = u1 l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t`. b`i to´n 1, b4 = u3 l` gi´ tri biˆn nhˆn du.o.c t`. b`i to´n 2. (k) a a . e a . . u a a a a . e a . . u a a Bu.´.c 6: Diˆu chınh c´c gi´ tri trˆn c´c biˆn chung o `e ’ a a . e a e (k) (k) (k+1) (k) ∂u (k+1) (k) ∂u ξ1 = θ1 ξ1 + (1 − θ1 ) 4 , ξ2 = θ 2 ξ2 + (1 − θ2 ) 5 , ∂y Γ1 ∂y Γ2
228 ˘ ´ ˜ DANG QUANG A, VU VINH QUANG . (k) (k) (k+1) (k) ∂u2 (k+1) (k) ∂u2 ξ3 = θ3 ξ3 + (1 − θ3 ) , ξ4 = θ4 ξ4 − (1 − θ4 ) , ∂y Γ3 ∂y Γ4 (k) (k) (k+1) (k) ∂u (k+1) (k) ∂u ξ5 = θ5 ξ5 − (1 − θ5 ) 5 , ξ6 = θ 6 ξ6 − (1 − θ6 ) 4 , ∂y Γ5 ∂y Γ6 k = k + 1. Kˆt qua: K´ thu.´.c miˆn a = b = 1 , lu.´.i chia 64 × 64. ´ e ’ ıch o `e o u∗ =10x(1-x)y(1-y) u∗ =10x(1-x)y2 (1-y) u∗ = sin x sin y Tham Sai o ` ´ a Sˆ lˆn Tham Sai o ` ´ a Sˆ lˆn Tham Sai o ` ´ a Sˆ lˆn ´ sˆ θk o ´ sˆ o l˘p a . ´ sˆ θk o ´ sˆ o l˘p a . ´ sˆ θk o ´ sˆ o l˘p a . 0.5 Khˆng o 0.5 Khˆng o 0.5 Khˆng o hˆi tu o . . hˆi tu o . . hˆi tu o . . 0.6 0.0032 13 0.6 0.005 30 0.6 6.10−5 30 0.7 1.10−6 30 0.7 0.0048 18 0.7 1.10−5 22 0.8 0.001 30 0.8 0.0048 30 0.8 2.10 −5 30 0.9 Khˆng o 0.9 Khˆng o 0.9 Khˆng o hˆi tu o . . hˆi tu o . . hˆi tu o . . Kˆt luˆn: So. dˆ l˘p giai b`i to´n trˆn hˆi tu v´.i gi´ tri tham sˆ l˘p du.o.c chon trong e´ a. ` . o a ’ a a e o . o . a . ´ . o a . . ’ ng (0.6, 0.8), gi´ tri tˆi u.u xˆ p xı 0.7. khoa a . o ´ ´ ’ a ˆ ´ ´ ˆ ` 4. NHAN XET CUOI CUNG . Trˆn co. so. kˆt qua thu.c nghiˆm d˜ thu du.o.c, ch´ng tˆi c´ mˆt sˆ kˆt luˆn v` nhˆn x´t e ’ e ´ ’ . e . a . u . ´ ´ a a a e o o o o e . . sau dˆy:a + Dˆi v´.i b`i to´n biˆn elliptic v´.i diˆu kiˆn biˆn hˆn ho.p trong c´c miˆn h` hoc ph´.c ´ o o a a e o ` e e . e o ˜ . a ` e ınh . u tap th` viˆc su . . ı e . ’. dung phu.o.ng ph´p chia miˆn l` kha thi v` luˆn du.a vˆ du.o.c mˆt sˆ h˜.u han a ` a e ’ ı o `e . o o . ´ u . c´c b`i to´n dang co. ban. a a a . ’ + Dˆi v´.i diˆu kiˆn biˆn hˆn ho.p th` phu.o.ng ph´p su. dung l˘p dao h`m trˆn biˆn to ra o o ` ´ e e . e o ˜ . ı a ’ . a . . a e e ’ h˜ u .u hiˆu ho.n phu.o.ng ph´p su. dung l˘p gi´ tri h`m trˆn biˆn. e a ’ . a a . a e e . . + Viˆc lu.a chon tham sˆ tˆi u.u trong viˆc hiˆu chınh c´c dao h`m trˆn biˆn nhˆ t l` trong e . . . ´ ´ o o e . e. ’ a . a e e ´ a a .`.ng ho.p c`ng mˆt l´c su. dung nhiˆu d˜y l˘p chu.a kh˘ng dinh b˘ ng l´ thuyˆt, nhu.ng qua tru o ’ . ` ’ ` ´ . u o u . e a a . a . a ı e kˆt qua thu.c nghiˆm cho thˆ y r˘ ng phu.o.ng ph´p hˆi tu v´.i tham sˆ θ nhˆn gi´ tri trong e´ ’ . e . a ` ´ a a o . o . o´ a . a . khoa ’ ng (0.4, 0.8) v` gi´ tri tˆi u.u phu thuˆc t`.ng b`i to´n. a a . o ´ . o u . a a + V´.i phu.o.ng ph´p d˜ dˆ xuˆ t c´ kha n˘ng giai quyˆt du.o.c c´c b`i to´n biˆn elliptic v´.i o a a ` a o ’ a e ´ ’ ´ e . a a a e o ` diˆu kiˆn biˆn hˆn ho e e e o ˜ .p trong c´c miˆn h` hoc rˆ t ph´.c tap. a ` e ınh . a ´ u . . . ` ˆ ’ TAI LIEU THAM KHAO . [1] Dang Q. A., Vu V. Quang, Domain decomposition method for solving an elliptic boundary value problem, Proceedings of the ICAM Ha Noi, 2004, (to appear).
´. . . . ˆ . . . NGHIEN CU U THU C NGHIEM MOT PHU O NG PHAP CHIA MI` N... ˆ ˆ ´ ˆ E 229 [2] Saito N., Fujita H., Operator Theoretical Analysis to Domain Decomposition methods, 12th Int. Conf. on Domain Decomposition Problems, Editors: Tony chan, Takashi, Hideo, Oliver Pinoneau, 2001, www. DDM.org, 63 - 70. [3] Dang Q. A., Domain decomposition method for solving a strongly mixed boudary value problem, Proceedings of ICAM Hanoi, 2004, (to appear). [4] Samarski A. A., Nikolaev E. C., Numerical methods for grid equations, Moscow, Nauka, 1978 (Russian). [5] Rice J. R., Vavalis E. A., Yang D, Analysis of a nonoverlapping domain decomposition method for elliptic partial diﬀerential equations, Journal of Comput. and Appl. Math. 87 (1) (1997) 11—19. [6] Osmolovski V. G, Rivkind V. Ia, A decomposition method for elliptic equations with discontinuous coeﬀcients, U.S.S.R Comput. Math. and Math. Phys. 21 (1) (1981) 33—38. Nhˆn b`i ng`y 22 - 4 - 2005 a a . a ’ Nhˆn lai sau su a . .a ng`y 11 - 10 -2005 a .