zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Phần III: Vi tích phân

Chia sẻ: Nguyễn Quang Hòa | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:34

Báo xấu

238
lượt xem 56
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách tự nhiên và cần thiết của phép tính vi phân hàm số một biến số. Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn. Đây là những kiến thức cần thiết để nghiên cứu các kiến thức chuyên...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phần III: Vi tích phân

PHẦN II. VI TÍCH PHÂN Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 1
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ∈ X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: f : X → Y x  f (x) x  y = f (x) • Đơn ánh: ∀x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2) • Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃ x ∈ X: y = f(x) • Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh • Nếu f: X→Y là song ánh thì f-1: Y→X là ánh xạ ngược của f 2
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa hàm số: Với X ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x ∈ X}: miền giá trị của f Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị: y = 2x2 - 4x + 6 3
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X: • f = g: f(x) = g(x), ∀ x ∈ X • (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), ∀x∈X • (fg)(x) = f(x)g(x), ∀x∈X f f (x) ( )( x ) = , ∀x ∈ X1 g g( x ) Hàm số f/g có miền xác định X1 = X\{x: g(x) = 0} : • (af)(x) = af(x), ∀x∈X 4
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f[g(x)] là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu fog. Ví dụ: Tìm gof, goh, fog, hog g = log x 2 h = ex f = sin x Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X→Y là một song ánh thì f-1: Y→X được gọi là hàm số ngược của f. • Đồ thị của f, f-1 đối xứng nhau qua đường y = x. 5
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số đơn điệu: • f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈ (a,b): x1 < x2 => f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) ≥ f(x2)) • f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈ (a,b): x1 < x2 => f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)) • Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu. Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D ⊂ X. 6
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: ∃ T ≠ 0: f(x+T) = f(x), ∀ x ∈ X Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0 = 2π. Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0=π. 7
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x ∈ X. • f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ X • f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ X Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx +   x2 là Hàm số chẵn x- g( x ) = lg( x + x 2 + 1) Hàm số lẻ Ghi chú: • Hàm số chẵn đối xứng qua Oy • Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 8
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ 2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ y = xα , với α ∈ R 1. Hàm số luỹ thừa: • α ∈ N: mxđ R • α nguyên âm: mxđ x ≠ 0. • α có dạng 1/p, p ∈ Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ • α là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = xα tại mọi x ≥ 0 nếu α > 0 và tại mọi x > 0 nếu α < 0. Đồ thị của y = xα luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu α > 0, không đi qua góc toạ độ nếu α < 0. 9
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1) • Hàm số mũ xác định với mọi x dương. • Hàm số mũ tăng khi a > 1. • Hàm số mũ giảm khi a < 1. • Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. 10
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1 • Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0. • Hàm số logax tăng khi a > 1 • Hàm số logax giảm khi a < 1 • Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị • Hàm số y = logax là hàm số ngược của số y = ax 11
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ • Một số tính chất của logax: Loga(x1x2) = Loga(x1) + Loga(x2) x1 Loga ( ) = Loga ( x1) − Loga ( x 2 ) x2 Logaxα = αLogax loga b b=a Logcb Logab = Logc a 12
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 4. Hàm số lượng giác: • y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2π • y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2π • y = tgx, mxđ ∀ x ≠ (2k+1)π/2, hàm lẻ, chu kỳ π • y = cotgx, mxđ ∀ x ≠ kπ, k ∈ Z, hàm lẻ, chu kỳ π 13
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 5. Hàm số lượng giác ngược: • Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị [-π/2,π/2] và là một hàm số tăng. • Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [0,π] . • Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị (- π/2,π/2) và là hàm số tăng. • Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị (0,π) là hàm số giảm. 14
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa: Các hàm số hằng số, hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác và các hàm số ngược được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản. • Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng, hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là hàm số sơ cấp. Ví dụ: f(x) là hàm số sơ cấp.  2 sin( x 2 ) + 3  f ( x ) = log3    x2 + 2    15
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ 3. GIỚI HẠN HÀM SỐ 1. Giới hạn hữu hạn của hàm số: Định nghĩa lân cận: • x thuộc lân cận của x0 ⇔ ∃ δ > 0: | x-x0| < δ • x thuộc lân cận của +∞ ⇔ ∃ A: x > A • x thuộc lân cận của -∞ ⇔ ∃ B: x < B Mở rộng thêm: • x thuộc lân cận của x0 và x ≠ x0 ⇔ ∃ δ > 0: 0
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa giới hạn: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở chứa x0 (riêng tại x0, f(x) có thể không tồn tại). Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x →x0, nếu ∀ε > 0 cho trước, ∃ δ > 0: 0 < | x – x0| < δ ⇒ | f(x) – L| < ε. Ký hiệu: lim f ( x ) = L x → x0 Ví dụ, Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng x2 − 1 =2 lim (2x + 1) = 7 lim x →1 x − 1 x →3 17
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa giới hạn một bên: • Giới hạn bên phải: ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x0 < x < x0 + δ ⇒ | f(x) – L| < ε lim f ( x ) = L lim f ( x ) = L x → x 0 ,x > x 0 x → x0 + • Giới hạn bên trái: ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x0 - δ < x < x0 ⇒ | f(x) – L| < ε lim f ( x ) = L lim f ( x ) = L x → x0 − x → x 0 ,x < x 0  x khi x > 0 f (x) =  Ví dụ, Tim giới hạn f(x) khi x→0 1 - x khi x < 0 lim f ( x ) = L < = > lim f ( x ) = lim f ( x ) = L Định lý: x → x0 x → x0 + x → x0 − 18
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của điểm x0 thì: lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 Định nghĩa giới hạn lân cận ∞ : lim f ( x ) = L x→+ ∞ nếu ∀ε > 0, ∃ N > 0 đủ lớn: x > N ⇒ | f(x) - L| < ε . lim f ( x ) = L x → −∞ nếu ∀ε > 0, ∃ N < 0 đủ nhỏ: x < N ⇒ | f(x) - L| < ε 1 =0 lim Ví dụ, chứng minh rằng x →+ ∞x 19
C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. Giới hạn vô hạn của hàm số: lim f ( x ) = + ∞ x → x0 ∀N > 0 lớn tuỳ ý, ∃ δ > 0: 0 < | x – x0| < δ ⇒ f(x) > N lim f ( x ) = −∞ x → x0 ∀N < 0 nhỏ tuỳ ý, ∃ δ > 0: 0 < | x – x0| < δ ⇒ f(x) < N 1 =+∞ Ví dụ: chứng minh lim 2 x →a ( x − a) 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.