Phân tích dao động riêng của tấm bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

Chia sẻ: ViSatori ViSatori | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

56
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết sử dụng lý thuyết cắt bậc nhất (FSDT) của Reissner-Mindlin để phân tích dao động riêng của tấm chữ nhật làm bằng vật liệu rỗng. Do sự phân bố liên tục và không đều của các lỗ rỗng làm cho mô đun đàn hồi và mật độ khối lượng của vật liệu biến đổi trơn theo tọa độ chiều dày tấm với hai dạng phân bố (đối xứng và bất đối xứng).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích dao động riêng của tấm bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất

Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2018. 12 (7): 9–19 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM BẰNG VẬT LIỆU RỖNG THEO LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC NHẤT Lê Thanh Hảia,∗, Trần Minh Túb , Lê Xuân Huỳnhb a Khoa Xây dựng, Trường Đại học Vinh, 182 đường Lê Duẩn, thành phố Vinh, tỉnh Nghệ An, Việt Nam b Khoa Xây dựng Dân dụng và Công nghiệp, Trường Đại học Xây dựng, 55 đường Giải Phóng, quận Hai Bà Trưng, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 01/10/2018, Sửa xong 29/11/2018, Chấp nhận đăng 30/11/2018 Tóm tắt Bài báo sử dụng lý thuyết cắt bậc nhất (FSDT) của Reissner-Mindlin để phân tích dao động riêng của tấm chữ nhật làm bằng vật liệu rỗng. Do sự phân bố liên tục và không đều của các lỗ rỗng làm cho mô đun đàn hồi và mật độ khối lượng của vật liệu biến đổi trơn theo tọa độ chiều dày tấm với hai dạng phân bố (đối xứng và bất đối xứng). Hệ phương trình chuyển động của tấm được thiết lập theo nguyên lý Hamilton. Ảnh hưởng của hệ số mật độ lỗ rỗng, dạng phân bố lỗ rống và các tham số kích thước hình học của tấm đến tần số dao động riêng được khảo sát. Độ tin cậy của lời giải được kiểm chứng qua so sánh kết quả số với kết quả đã công bố cho trường hợp tấm bằng vật liệu đẳng hướng. Từ khoá: dao động riêng; tấm vật liệu rỗng; lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. VIBRATION ANALYSIS OF POROUS MATERIAL PLATE USING THE FIRST-ORDER SHEAR DEFORMATION THEORY Abstract In this paper the first-order shear deformation theory (FSDT) is used to analyze the free vibration of the rectangular plate made of porous materials. The elasticity moduli and mass density of porous materials are assumed to be graded in the thickness direction according to two different distribution types (symmetric and un-symmetric). Based on the Hamilton’s principle, the equations of motion are derived. The effect of porosity coeficient, varying porosity distributions, and geometrical parameters on natural frequencies are investigated. To verify the reliability of the present solution, the comparisons between the obtained results and those available in the literature are performed for isotropic plate, and very good agreement is observed. Keywords: vibration analysis; porous material plate; fisrt shear deformation theory. c 2018 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) https://doi.org/10.31814/stce.nuce2018-12(7)-02 1. Giới thiệu Vật liệu rỗng là loại vật liệu trong đó một thành phần ở dạng rắn, thành phần kia ở dạng lỗ rỗng trong cấu trúc vật liệu. Các lỗ rỗng này phân bố liên tục với một quy luật nhất định nhằm đạt được những tính chất cơ học mong muốn của người thiết kế. Do có trọng lượng nhẹ, các kết cấu bằng vật liệu rỗng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực công nghiệp: hàng không, chế tạo ô tô, tàu biển, xây dựng dân dụng, . . . Tính chất hấp thụ năng lượng của vật liệu rỗng được sử dụng để giảm ồn, cách âm và chế tạo những cấu kiện chịu được tải trọng động, tải trọng va chạm. Các nghiên cứu về ứng xử cơ học ∗ Tác giả chính. Địa chỉ e-mail: haidhvinh@gmail.com (Hải, L. T.) 9 Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng của các kết cấu bằng vật liệu rỗng luôn là đề tài thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước thể hiện qua một số lượng lớn các công bố trong thời gian gần đây. Magnucka-Blandzi [1] tính toán độ võng và lực tới hạn cho tấm tròn bằng vật liệu rỗng liên kết khớp trên chu tuyến chịu tải nén đều trong mặt trung bình và tải trọng uốn đối xứng trục. Mojahedin [2] phân tích ổn định của tấm tròn bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Lời giải chính xác cho dao động tự do của tấm dày hình chữ nhật làm bằng vật liệu rỗng ở trạng thái bão hòa nước được trình bày trong [3] dựa trên lý thuyết biến dạng cắt bậc ba và xem xét ảnh hưởng của chất lỏng trong mạng lưới lỗ rỗng của vật liệu, điều kiện biên, ảnh hưởng của chất lỏng, kích thước hình học và mật độ phân bố lỗ rỗng cũng đã được khảo sát. Arani và cộng sự [4] nghiên cứu dao động tự do của tấm chữ nhật trên nền Winkler làm bằng vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc ba của Reddy, tần số dao động xác định bằng phương pháp DQM (differential quadrature method). Leclaire [5] đã phân tích dao động riêng của tấm mỏng chữ nhật làm bằng vật liệu rỗng có dạng bão hòa bởi chất lỏng. Mục đích của bài báo là thiết lập các hệ thức, các phương trình chủ đạo của tấm vật liệu rỗng theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Dạng nghiệm theo Navier được sử dụng nhằm xác định tần số dao động riêng của tấm chữ nhật tựa khớp trên chu vi. Các ví dụ kiểm chứng sẽ được thực hiện qua so sánh với một số kết quả đã có khi đưa bài toán về trường hợp riêng cho vật liệu đẳng hướng. Ảnh hưởng của mật độ lỗ rỗng, kích thước hình học của tấm đến tần số dao động riêng sẽ được khảo sát. 2. Mô hình tấm bằng vật liệu rỗng Xét tấm chữ nhật bằng vật liệu rỗng là vật liệu đàn hồi tuyến tính, có kích thước các cạnh a × b, chiều dày h. Mặt phẳng trung bình là mặt phẳng Oxy và z là phương chiều dày của tấm (Hình 1). Hệ số Poisson được giả thiết không đổi theo chiều dày tấm. Các hằng số vật liệu còn lại biến thiên liên tục theo tọa độ chiều dày tấm với quy luật hàm cosine đơn giản dạng đối xứng (dạng 1) hoặc bất đối xứng (dạng 2) [6]: πz    E(z) = E 1 − e cos  1 0   h   πz    G(z) = G1 1 − e0 cos (1)    h     πz    ρ(z) = ρ1 1 − e0 cos h π z π    E(z) = E1 1 − e0 cos +    2 h 4     π z π  G(z) = G1 1 − e0 cos + (2)    2 h 4     πz π    ρ(z) = ρ1 1 − e0 cos + 2h 4 trong đó E1 , G1 , ρ1 lần lượt là các giá trị lớn nhất của mô đun đàn hồi kéo - nén, mô đun đàn hồi trượt và khối lượng riêng; E2 , G2 , ρ2 là các giá trị nhỏ nhất tương ứng. Các hệ số rỗng e0 cho mô đun đàn hồi và hệ số rỗng em cho khối lượng riêng được tính theo [6]: E1 G1 =1− E2 G2 (3) p ρ1 = 1 − 1 − e0 ρ2 (4) e0 = 1 − em = 1 − 10 hệ số rỗng [6]: ]: [6]: [6]: cho mô đun đàn hồi và hệ số rỗng cho khối lượng riêng được tính theo E1E1G GG11 r1 r1 E0 11=-1 -E e= =111-eme=m r 1= G r e = 11-- e1 - e0 1-11 - = 1 (3) (3) 1 1 0 e0 = 1 = 1E-E=2 1 - GG2 emem= = 1-- = 11 e0 = 1 1- = =211r - ee00 0 (3) r (3) 2 2 E2 E22 G2 G2Hải, rr2Xây L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ 2 dựng (4) (4) (4) (4) Hình Tấm bằng liệu rỗng hàm phân lỗ rỗng khác nhau: Hình 1. 1. Tấm bằng vậtvật liệu rỗng vớivới cáccác hàm mậtmật độ độ phân bố bố lỗ rỗng khác nhau: (a) Dạng 1 (b) Dạng 2 (a) Dạng 1 và (b) Dạng 2. (a) - Dạng 1 và (b) - Dạng 2. Hình Hình 1. Tấm vật liệu các hàm phân lỗ rỗng 1. bằng Tấm bằng vậtrỗng liệu với rỗng với cácmật hàmđộmật độbố phân bố lỗkhác rỗngnhau: khác nhau Hình 1. Tấm bằng vật liệu rỗng với các hàm mật độ phân bố lỗ rỗng khác nhau (a) -(1) Dạng 1thấy và (b) - Dạng 2. (a)cho - Dạng 1 phân và (b)bố- lỗ Dạng Từ Hình 2a và biểu thức sự rỗng2.theo dạng 1 là đối xứng, Từ Hình 2a và biểu thức (1) cho thấy sự phân bố lỗ rỗng theo dạng 1 là đối xứng, giátrịtrịlớn lớnnhất nhất của các hằng liệu đạt được mặt ở mặt trên mặt dưới của tấm, giá của sốsố vậtvật liệu được trên và1và mặt tấm, giágiá trị trị Từ Hình 2(a) vàcác biểuhằng thức (1) cho thấy sựđạt phân bố lỗ ởrỗng theo dạng là đốidưới xứng,của giá trị lớn nhất nhỏ nhất được mặt trung bình nơi có mật độ rỗng lớn nhất. Trong đó Từ Hình 2a và biểu thức (1) thấy sự phân rỗng dạng là khi đối xứng, Từ Hình 2a và biểu thức cho thấy sự phân bố lỗ rỗng theo dạng làphân đối xứ nhỏ nhất đạtđạt được tạitại mặt bình nơi có mật độbố lỗ lỗ rỗng lớn nhất. Trong khi đó1 phân của các hằng số vật liệu đạttrung đượccho ở (1) mặt trên và mặt dưới của tấm, giá trịtheo nhỏ nhất đạt 1được tại mặt bố lỗ rỗng theo dạng 2 (Hình 2b) và biểu thức (2) là bất đối xứng, giá trị lớn nhất và nhỏ á trịgiá lớn của các số vật liệu đạt được ởđược và mặt dưới của tấm, giá trị giá bốtrị lỗnhất rỗngbình theo dạng 2 độ (Hình 2b) và biểu thức là bấtởtrên xứng, giá trị nhất vàvà nhỏ lớn nhất của các hằng số vật liệu đạt mặt trên và mặt dưới của tấm, trung nơi có hằng mật lỗ rỗng lớn nhất. Trong khi(2) đómặt phân bốđối lỗ rỗng theo dạng 2lớn (Hình 2(b)) nhất lần lượt đạt được tại mặt trên và dưới tương ứng với vị trí có mật độ lỗ rỗng mật biểu thức bấttại đối xứng, giátrên trị lớn nhất vàmật nhỏ lần rỗng lượt đạt được tạimật mặtTrong trênlỗ vàrỗng dưới nhấtđạt lầnđược lượt đạt tại mặt và dưới tương ứng với lỗ vịlớn trí có độ mật độ độ ỏ nhất tạilàđược mặt trung bình nơi cónơi độmật lỗ nhất. khi tương đó khi phân nhỏ nhất đạt (2) được mặt trung bình cónhất độ rỗng lớn nhất. Trong đó ph lỗ rỗng nhỏ nhất và lớn nhất. ứng với vị trí có mật độ lỗ rỗng mật độ lỗ rỗng nhỏ nhất và lớn nhất. lỗ rỗng nhỏ nhất và lớn nhất. lỗ rỗng theo dạng 2 (Hình 2b) và biểu thức (2) là bất đối xứng, giá trị lớn nhất và nhỏ bố lỗ rỗng theo dạng 2 (Hình 2b) và biểu thức (2) là bất đối xứng, giá trị lớn nhất và n ất nhất lần lượt tại mặt dưới ứng với vị với trí có độmật lỗ rỗng độmật lần đạt lượtđược đạt được tạitrên mặtvàtrên và tương dưới tương ứng vị mật trí có độ lỗmật rỗng rỗng nhỏ nhất lớnvànhất. lỗ rỗng nhỏ và nhất lớn nhất. (b) (b) Phân bố(b) dạng 2 (a)(a) (a) Phân bố dạng 1 Hìnhthiên 2.thiên Biến thiên của môđun đun đànhồi hồi kéokéo (nén) trong tấm vật liệu rỗng Hình 2. 2. Biến của mô đun đàn kéo (nén) trong tấm vật liệuliệu rỗng, phân Hình Biến của mô đàn hồi (nén) trong tấm vật rỗng, phân bốbố dạng 1 (hình a),a), phân bốbố dạng 2 (hình b) b) dạng 1 (hình phân dạng 2 (hình (b) (b) (a) Hình 2. Biến thiên của mô đun đàn hồi kéo (nén) trong tấm vật liệu rỗng, phân Hình 2. Biến thiên của mô đun đàn1 hồi kéo (nén) trong tấm vật liệu rỗng, phân bố dạng 1 (hình a), phân1 bố dạng 2 (hình b) bố dạng 1 (hình a),11phân bố dạng 2 (hình b) (a) 1 Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 3. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Reissner – Mindlin 3.1. Các thành phần chuyển vị Trường chuyển vị theo lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất giả thiết dưới dạng [7]: u(x, y, z) = u0 (x, y) + zθ x (x, y) v(x, y, z) = v0 (x, y) + zθy (x, y) (5) w(x, y, z) = w0 (x, y) = w(x, y) trong đó u0 , v0 , w0 là các thành phần chuyển vị của điểm trên mặt trung bình theo các phương x, y, z. θ x , θy là các góc xoay của pháp tuyến mặt trung bình quanh trục y, x. 3.2. Các thành phần biến dạng Trường biến dạng được suy ra từ trường chuyển vị thông qua các biểu thức quan hệ chuyển vị biến dạng, biểu diễn dưới dạng: (6) {ε} = {ε0 }T + z{κ}T trong đó n oT {ε} = ε xx , εyy , ε xy , γ xz , γyz )T n o n oT ( ∂u0 ∂v0 ∂u0 ∂v0 ∂w0 ∂w0 , , + , + θx , + θy ε0 = ε0 xx , ε0 yy , ε0 xy , γ0 xz , γ0 yz = ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ( ) T n oT ∂θ x ∂θy ∂θ x ∂θy , , + , 0, 0 {κ} = κ x , κy , κ xy , 0, 0 = ∂x ∂y ∂y ∂x (7) 3.3. Các thành phần ứng suất Quan hệ tuyến tính giữa ứng suất – biến dạng trong tấm bằng vật liệu rỗng được viết với dạng sau:       σ xx  ε xx  0 0    Q11 Q12 0                           ε Q Q 0 0 0 σ   yy 21 22 yy                 γ 0 0 Q 0 0 σ = [Q] {ε} (8) =      xy 66 xy                        0 0 Q44 0   σ xz     0  γ xz            σyz    0 0 0 0 Q55  γyz  trong đó Q11 = E(z) = Q22 ; 1 − ν2 Q12 = νE(z) = Q21 ; 1 − ν2 E(z) 2 (1 + ν) Q44 = Q55 = Q66 = (9) 3.4. Các thành phần nội lực Các thành phần nội lực trong tấm được xác định theo các biểu thức định nghĩa có dạng sau:   N xx    Nyy     N xy h  Z2     =     − 2h   σ xx    σyy     σ xy      dz;       M xx    Myy     M xy h  Z2     =     − h2   σ xx    σyy     σ xy 12      zdz;     h ( Qx Qy ) =k Z2 ( − h2 σ xz σyz ) dz (10) Hải, L. T. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng với k = 5/6l hệ số hiệu chỉnh cắt. Quan hệ ứng lực – chuyển vị có thể biểu diễn tổng quát dưới dạng:                                      N xx Nyy N xy M xx Myy M xy Qx Qy                           =                          A11 A12 0 B11 B12 0 0 0 A12 0 B11 B12 0 0 0 A11 0 B12 B11 0 0 0 0 A66 0 0 B66 0 0 B12 0 D11 D12 0 0 0 B11 0 D12 D11 0 0 0 0 B66 0 0 D66 0 0 0 0 0 0 0 A44 0 0 0 0 0 0 0 A55                                                                                            ∂u0 ∂x ∂v0 ∂y ∂u0 ∂v0 + ∂y ∂x ∂θ x ∂x ∂θy ∂y ∂θ x ∂θy + ∂y ∂x ∂w0 + θx ∂x ∂w0 + θy ∂y                                                                                (11) Q44 dz (12) trong đó Ai j = h h h h Z2 Z2 Z2 Z2 Qi j dz; Bi j = − h2 Qi j zdz; Dij = − 2h Qi j z2 dz; A44 = A55 = k − h2 − h2 4. Hệ phương trình chuyển động theo các thành phần chuyển vị Sử dụng nguyên lý Hamilton ta nhận được hệ phương trình chuyển động biểu diễn dưới dạng [7]: δu0 : δv0 : δw0 : δθ x : δθ x : ∂N xx ∂N xy ∂2 u0 ∂2 θ x + = I0 2 + I1 2 ∂x ∂y ∂t ∂t 2 ∂N xy ∂Nyy ∂2 θy ∂ v0 + = I0 2 + I1 2 ∂x ∂y ∂t ∂t 2 ∂Q x ∂Qy ∂ w0 + = I0 2 ∂x ∂y ∂t ∂M x ∂M xy ∂2 u0 ∂2 θ x + − Q x = I1 2 + I2 2 ∂x ∂y ∂t ∂t 2 ∂My ∂M xy ∂2 θy ∂ v0 + − Qy = I1 2 + I2 2 ∂y ∂x ∂t ∂t (13) trong đó các thành phần mô men quán tính được tính theo công thức h I0 , I1 , I2 = Z2 ρ(1, z, z2 )dz − h2 13 (14)