Phân tích môđun Cyclic trong đại số đường đi Leavitt

Chia sẻ: Nguathienthan6 Nguathienthan6 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, chúng tôi mô tả cấu trúc của môđun cyclic trong đại số đường đi Leavitt sinh bởi các phần tử trong đồ thị cảm sinh.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phân tích môđun Cyclic trong đại số đường đi Leavitt

Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 23-26 PHÂN TÍCH MÔĐUN CYCLIC TRONG ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT Ngô Tấn Phúc1*, Trần Ngọc Thành2 và Tăng Võ Nhật Trung2 1 Trường Đại học Đồng Tháp 2 Sinh viên, Trường Đại học Đồng Tháp * Tác giả liên hệ: ntphuc@dthu.edu.vn Lịch sử bài báo Ngày nhận: 25/02/2020; Ngày nhận chỉnh sửa: 06/4/2020; Ngày duyệt đăng: 18/4/2020 Tóm tắt Trong bài viết này, chúng tôi mô tả cấu trúc của môđun cyclic trong đại số đường đi Leavitt sinh bởi các phần tử trong đồ thị cảm sinh. Từ khóa: Đại số đường đi Leavitt, môđun cyclic, môđun đơn. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- THE DECOMPOSITION OF CYCLIC MODULES IN LEAVITT PATH ALGEBRA Ngo Tan Phuc1*, Tran Ngoc Thanh2, and Tang Vo Nhat Trung2 1 Dong Thap University 2 Student, Dong Thap University *Corresponding author: ntphuc@dthu.edu.vn Article history Received: 25/02/2020; Received in revised form: 06/4/2020; Accepted: 18/4/2020 Abstract In this paper, we describe the structure of the cyclic module in the Leavitt path algebra generated by elements in the original graph. Keywords: Leavitt path algebra, cyclic module, simple module. 23
Chuyên san Khoa học Tự nhiên 1. Mở đầu tử. Trong bài viết này, ta chỉ xét những đồ thị hữu hạn. Cho một đồ thị (trực tiếp) E và một trường số K , Abrams và Aranda Pino (2005) đã Một đường đi trong một đồ thị E là chuỗi giới thiệu lớp đại số đường đi Leavitt LK ( E ) các cạnh p  e1e2 ...en sao cho cảm sinh từ đồ thị E. Lớp đại số này là mở rộng r  ei   s  ei 1  với mọi i  1,2,..., n  1. của đại số Leavitt LK (1, n) (Leavitt, 1962). Sau đó, Abrams (2015) đã chỉ ra lí do đại số đường Trong đồ thị E , một đỉnh v được gọi là đi Leavitt trở thành một trong những đối tượng đỉnh dìm nếu như s 1  v    và v được gọi là được quan tâm không chỉ bởi nhiều nhà đại số gốc nếu như r 1 (v)  , nếu v không phải là mà còn có cả những nhà giải tích. ngọn th được gọi là đỉnh ch nh quy. Trong lý thuyết môđun, người ta quan tâm đến bài toán mô tả cấu trúc của môđun hoặc Cho một đồ thị trực tiếp E  ( E 0 , E1 , s, r ) cấu trúc của môđun con. Theo hướng nghiên và một trường bất k K , đại số đường đi cứu này, có hai lớp môđun đóng vai trò nền Leavitt LK ( E ) của đồ thị E với hệ tử trên K tảng là môđun đơn và môđun cyclic. Một là một K -đại số sinh bởi tập E 0 và E1 , cùng môđun đơn là môđun không có cấu trúc con với tập cạnh ảo {e* | e  E1}, thỏa mãn các điều thực sự và môđun cyclic là môđun có hệ sinh kiện sau với mọi v, w  E 0 và e, f  E1 : chỉ gồm một phần tử. Abrams và Aranda Pino (2005) đã đưa ra tiêu chuẩn trên đồ thị E để (1) vw   v, w w, (  là kí hiệu Kronecker); LK ( E ) là môđun đơn. Khi LK ( E ) không là môđun đơn, chúng ta có thể mô tả các môđun (2) s(e)e  e  er (e) và r (e)e*  e*  e*s(e); con đơn của nó hay không? Đây là công việc (3) e* f   e, f r (e); tương đối phức tạp và để bắt đầu, chúng ta phải xem xét cấu trúc các môđun con cyclic. (4) v  1 ee* với mọi đỉnh chính quy v. es ( v ) Đại số đường đi Leavitt của đồ thị có hướng có tập sinh là tập các đỉnh và các cạnh Cho M là một môđun trên vành R (trong của đồ thị. Một cách tự nhiên, trong bài viết bài viết này, mọi môđun đều được hiểu là này chúng tôi mô tả cấu trúc của môđun cyclic môđun trái). Nếu M có hệ sinh chỉ gồm một trong đại số đường đi Leavitt sinh bởi các cạnh phần tử th M được gọi là môđun cyclic (trên và các đỉnh của đồ thị ban đầu. vành R ). Một môđun khác 0 được gọi là môđun đơn nếu chỉ có các môđun con tầm 2. Đại số đường đi Leavitt và môđun cyclic thường (là 0 và chính nó). Trong phần này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm về đồ thị trực tiếp và đại số đường 3. Kết quả chính đi Leavitt. Trong phần này, chúng tôi mô tả cấu trúc của môđun cyclic trong đại số đường đi Một đồ thị E  ( E , E , s, r ) là một bộ bao 0 1 Leavitt sinh bởi các cạnh và các đỉnh của đồ gồm hai tập hợp E 0 và E1 và hai ánh xạ thị ban đầu. r , s : E1  E 0 . Các phần tử của E 0 được gọi là các đỉnh và các phần tử của E1 được gọi là các Định lí 1. Cho E  ( E 0 ; E1 , r , s) là đồ thị cạnh. Đối với mỗi cạnh e trong E1 , s  e  được hữu hạn với K là trường bất kì. Khi đó với mọi cạnh f  E1 mà s 1  r  f    0, ta có: gọi là điểm đầu của e và r  e  được gọi là điểm cuối của e. Đồ thị E được gọi là hữu hạn fLK  E    feLK  E  . es 1  r  f   nếu các tập E 0 và E1 là các tập hữu hạn phần 24
Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 9, Số 3, 2020, 23-26 Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh v  e* feLK  E   0. v 1 es es 1  r  f   :  r  e  L  E   vL  E  Gọi s 1  r  f    e1 ,..., en  , n  K K * . es 1  v  Giả sử  feLK  E  suy ra  r  e  e  e e . es 1  r  f   es 1  v  es 1  v  1 ,..., n  LK  E  để Trước tiên ta chứng minh   idvL E .   fe11  fe2 2  ...  fen n . K (3.1) * Lấy bất kỳ   LK  E  ta có Nhân f vào bên trái, ta có  3.1  e11  ...  en n . (3.2)   v      v   Nhân e1* vào bên trái,  3.2  1  0  ...  0.       e*  Suy ra   0 hay feLK  E   0.  es1  v     es 1  r  f   Tiếp theo, ta chứng minh       r  e  .e*  (điều kiện (2) fLK  E    feLK  E .  es1  v     es 1  r  f   trong định nghĩa) Lấy bất kỳ x  fLK  E  suy ra   LK  E  để x  f .   e.e* es 1 v  f .r  f  .  v (điều kiện (4) trong định nghĩa).  f.  ee* Tiếp theo ta chứng minh   idvL E . Lấy es 1  r  f   K   fee*   feLK  E . bất kỳ x   r  e  e   r e L  E  es 1  v  K es 1  r  f  es 1  r  f   es 1  v  Cuối cùng, ta chứng minh   x      x    feLK  E   fLK  E  .   es 1  r  f       e e   es1  v   Lấy bất kỳ x   feLK  E  suy ra e  LK  E  ,   es 1  r  f     e  s 1  r  f   để     ve. e  (điều kiện (2) trong  es1  v     x  fe e ,  e  LK  E  định nghĩa) es 1  r  f         v.e  e  f   e e   fLK  E  . es 1  v   es1  r  f        e* .e e es 1  v  es  v  1 Định lí 2. Cho E  ( E 0 , E1 , r , s) là một đồ thị hữu hạn và  là một trường. Khi đó với   r  e  e x (điều kiện (3) es 1  v  mọi v  E 0 không là đỉnh dìm ta có trong định nghĩa). vLK  E    r  e  L  E . K Ta kiểm tra  là đồng cấu: es 1  v     v   v    e      * Chứng minh. Xét hai tương ứng es 1  v   : vLK  E    r  e  L  E    e*  e*  K es 1 v es 1 v 25
Chuyên san Khoa học Tự nhiên   e*    e*  môđun đơn. Nhưng nếu R không là trường th es 1 v es 1 v kết luận trên không còn đúng. Bài viết đã chỉ    v     v  . ra điều đó trong trường hợp đại số đường đi Leavitt. Trong đó  ,   và  ,   LK  E  . Lời cảm ơn: Bài báo được hỗ trợ bởi đề Cuối cùng, ta kiểm tra  đồng cấu: tài nghiên cứu khoa học sinh viên Trường Đại   học Đồng Tháp mã số SPD2019.02.11./.   x   y      es1  v  r  e   e   e      Tài liệu tham khảo   e   e  e  G. Abrams (2015), “Leavitt path algebras: the es 1  v  first decade”, Bulletin of Mathematical   e e    e e Sciences, (5), pp. 59-120. es 1  v  es 1  v  G. Abrams and G. Aranda Pino (2005), “The    x     y  . Leavitt path algebra of a graph”, Journal Trong đó  ,   và of Algebra, (293), pp. 319-334. W. G. Leavitt (1962), “The module type of a x  e e , y   e e . ring”, Trans. Amer. Math. Soc, (42), pp. es 1 v es 1 v 113-130. 4. Kết luận Trong trường hơp vành R là một trường, ta dễ thấy mọi môđun cyclic trên R đều là 26