Phủ tổng quát của môđun và một vài kết quả liên quan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, giới thiệu về các khái niệm phủ tổng quát của môđun, môđun đối bất biến tự đồng cấu và một vài tính chất của chúng. Bài báo cũng đưa ra một số kết quả liên quan đến bài toán Schroder-Bernstein đối ngẫu cho lớp môđun x − đối bất biến đẳng cấu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phủ tổng quát của môđun và một vài kết quả liên quan

UED Journal of Social Sciences, Humanities & Education - ISSN: 1859 - 4603 TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC PHỦ TỔNG QUÁT CỦA MÔĐUN VÀ MỘT VÀI KẾT QUẢ LIÊN QUAN Đào Thị Tranga, Nguyễn Quốc Tiếna*, Trương Thị Thúy Vânb Nhận bài: 23 – 07 – 2019 Tóm tắt: Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu về các khái niệm phủ tổng quát của môđun, môđun đối Chấp nhận đăng: bất biến tự đồng cấu và một vài tính chất của chúng. Bài báo cũng đưa ra một số kết quả liên quan đến 23 – 08 – 2019 http://jshe.ued.udn.vn/ bài toán Schroder-Bernstein đối ngẫu cho lớp môđun  − đối bất biến đẳng cấu. Từ khóa:  − phủ tổng quát; phủ xạ ảnh,; môđun  − đối bất biến đẳng cấu; Định lí Schroder- Bernstein. nhiều kết quả thú vị. Trong suốt bài báo, vành R là 1. Giới thiệu về một số khái niệm vành kết hợp có đơn vị, mọi R -môđun là môđun unita. Singh và Srivastava trong [1] đã giới thiệu lớp Ta kí hiệu M R để chỉ M là một R -môđun phải, R M môđun đối bất biến tự đẳng cấu, nó là khái niệm đối ngẫu của môđun bất biến tự đẳng cấu được nghiên cứu để chỉ M là một R -môđun trái. Khi không sợ nhầm bởi Lee và Zhou trong [2]. Trong [3], Guil Asensio, lẫn về phía của môđun, ta viết môđun M . Ký hiệu Tutuncu và Srivastava đã tổng quát các khái niệm này A £ M để chỉ A là môđun con của M , End (M ) là và đưa ra một số kết quả đẹp. Phần đầu bài viết này, tập tất cả các đồng cấu từ M đến M . Môđun con K chúng tôi giới thiệu lại các khái niệm trên và làm rõ một của R - môđun M được gọi là môđun con cốt yếu số mối quan hệ giữa chúng. Phần sau của bài viết, trong M , kí hiệu K £ e M , nếu với mọi môđun con L chúng tôi đưa ra một số kết quả liên quan đến bài toán của M mà K Ç L = 0 thì L = 0 . Lúc này, ta cũng nói Schroder-Bernstein đối ngẫu cho lớp môđun c - bất M là mở rộng cốt yếu của K . Đối ngẫu, chúng ta có biến đẳng cấu. Chúng ta biết rằng, trong lí thuyết tập khái niệm môđun con đối cốt yếu. Một môđun con K hợp, định lí Schroder-Bernstein phát biểu rằng: nếu tồn của R - môđun M được gọi là môđun con đối cốt yếu tại các đơn ánh A ® B và B ® A giữa hai tập hợp A trong M , kí hiệu K = M , nếu với mọi môđun con L và B , khi đó tồn tại một song ánh A ® B . Đối ngẫu, của M mà K + L = M thì L = M . Vành R mà mọi ta có, nếu tồn tại các toàn ánh A ® B và B ® A giữa R -môđun phải đều có phủ xạ ảnh được gọi là vành hai tập hợp A và B , khi đó tồn tại một song ánh giữa hoàn chỉnh phải. A và B . Trong lí thuyết môđun, Bumby [4] đã chứng minh rằng phát biểu kiểu định lí Chroder-Bernstein đúng cho các môđun bất biến dưới tự đồng cấu của bao nội xạ. Trong [5], Guil Asensio đã chứng minh bài toán Schroder-Bernstein đúng đối với các môđun bất biến dưới tự đẳng cấu của bao nội xạ. Việc mở rộng bài toán Schroder-Bernstein trên môđun hiện nay vẫn đang được 2. Phủ tổng quát và môđun c - đối bất biến tự các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu và hi vọng có đồng cấu Nhắc lại rằng, với một R - môđun phải M , toàn aTrường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp HCM bTrường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long cấu p : P ® M được gọi là phủ xạ ảnh đối với M nếu * Tác giả liên hệ P là R - môđun xạ ảnh và p là toàn cấu đối cốt yếu Nguyễn Quốc Tiến Email: nguyenquoctien1982@gmail.com 12 | Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục Tập 9, số 3 (2019), 12-18
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục Tập 9, số 3 (2019), 12-18 (tức ker ( p ) = P ). Lúc này, ta cũng nói P là phủ xạ Thật vậy, gọi p : X (M ) ® M là c - phủ tổng ảnh của M . Phủ xạ ảnh của M có các tính chất quan quát của M . Vì mọi môđun M là ảnh toàn cấu của trọng sau: một môđun xạ ảnh X ¢(M ) nào đó và kết hợp với điều Định lí 2.1. [10, Theorem 2.27] Cho P là phủ xạ kiện đầu của c -phủ tổng quát ta suy ra p là một toàn ảnh của R - môđun phải M . Nếu Q là môđun xạ ảnh cấu. Lấy L là mô dun con của X (M ) sao cho và q : Q ® M là một toàn cấu, khi đó Q có sự phân L + ker ( p) = X (M ) , suy ra thu hẹp p |L : X (M ) ® M tích thành tổng trực tiếp Q = P1 Å P2 với là một toàn cấu. Do X (M ) Î c là xạ ảnh nên tồn tại P1 @ P , P2 Í Ker (q) và q |P : P1 ® M là phủ xạ ảnh của M. 1 đồng cấu f : X (M ) ® L sao cho p = p |L f Định lí 2.2. [10, Theorem 2.27] Nếu q : Q ® M và p : P ® M là hai phủ xạ ảnh của M thì tồn tại đẳng cấu f : Q ® P thỏa pf = q . Cho c là lớp các R - môđun phải. Ta nói c đóng dưới các đẳng cấu nếu M Î c và N @ M thì N Î c . Để ý p |L = pi với i là phép nhúng chính tắc L Bây giờ chúng ta có khái niệm phủ tổng quát như sau: vào X (M ) , do đó p = pif = pf . Theo điều kiện thứ Định nghĩa 2.3. Cho vành R và c là lớp các hai của c -phủ tổng quát ta có f là một tự đẳng cấu của R - môđun phải đóng dưới các đẳng cấu. Một c - phủ X (M ) , điều này suy ra L = X (M ). Vậy tổng quát của một R - môđun phải M là một đồng cấu p : X (M ) ® M , X (M ) Î c thỏa mãn các điều kiện sau: ker ( p ) = X (M ) hay p : X (M ) ® M là phủ xạ ảnh của M . Ngược lại, lấy p : P ® M là phủ xạ ảnh của 1) Với mọi đồng cấu g : X ¢(M ) ® M , X ¢(M ) Î c M , rõ ràng p đúng với điều kiện thứ nhất của c - phủ tồn tại đồng cấu f : X ¢(M ) ® X (M ) sao cho g = pf tổng quát. Giả sử có tự đồng cấu f của P thỏa điều kiện p = pf . Do P = ker ( p) + f (P ) và ker ( p ) = P nên P = f (P ) , suy ra P là toàn cấu. Mặt khác dãy khớp 0 ® ker ( p) ® P ® P ® 0 là chẻ ra do P là xạ ảnh, nên tồn tại đồng cấu g : P ® P sao cho fg = 1p 2) Nếu mọi tự đồng cấu và khi đó g là đơn cấu với P = g(P ) + ker ( f ) . Do f : X (M ) ® X (M ), X (M ) Î c thỏa p = pf thì f là p = pf , nên ker ( f ) £ ker ( p ) = P . Điều này suy ra một tự đẳng cấu. P = g(P ) , do đó g là một tự đẳng cấu. Do fg = 1p nên f cũng là một tự đẳng cấu. Vậy p : P ® M là một c - phủ tổng quát của M . Định lí 2.5. [6, Theorem 1.2.10]. Giả sử Nhận xét 2.4. 1) Dễ dàng thấy từ định nghĩa, nếu M = M 1 Å M 2 Å ... Å M n với M i , i = 1, n là môđun môđun M có hai c - phủ tổng quát là p : X (M ) ® M con của M , pi : X (M i ) ® M i là các c - bao tổng và p ¢: X ¢(M ) ® M thì X ¢(M ) @ X (M ) . quát của M i . Khi đó, Å pi : ÅX (M i ) ® M là một 2) Trong trường hợp c là lớp các môđun xạ ảnh, c - bao tổng quát của M . c - phủ tổng quát của môđun M chính là phủ xạ ảnh của M. 13
Đào Thị Trang, Nguyễn Quốc Tiến, Trương Thị Thúy Vân Định nghĩa 2.6. Cho các R - môđun M , N và c c - đối bất biến đẳng cấu khi và chỉ khi với mọi tự là lớp R - môđun đóng dưới các đẳng cấu. M được đẳng cấu g của P , tồn tại tự đẳng cấu f của gọi là c - N -xạ ảnh nếu tồn tại các c - phủ tổng quát P /ker ( p ) sao cho f p = p g, pM : X (M ) ® M và pN : X (N ) ® N sao cho với bất kì đồng cấu g : X (M ) ® X (N ) tồn tại đồng cấu f : M ® N sao cho fpM = pN g Do đó p g( ker ( p )) = f p ( ker ( p )) = 0 , suy ra g( ker ( p )) £ ker ( p ) . Vì g - 1 là tự đẳng cấu nên ta cũng có g- 1( ker ( p )) £ ker ( p ) . Vậy g( ker ( p )) = ker ( p ) . Nếu M là c - M - xạ ảnh thì M được gọi là c - Áp dụng [1, Theorem 27] ta được P / ker( p ) là môđun đối bất biến tự đồng cấu; nếu với bất kì đẳng cấu đối bất biến đẳng cấu hay M là môđun đối bất biến g : X (M ) ® X (M ) tồn tại đồng cấu f : M ® M sao đẳng cấu. cho fpM = pM g thì ta nói M là môđun c - đối bất 3. Một số kết quả liên quan bài toán Schroder- biến đẳng cấu. Như vậy, môđun c - đối bất biến tự đồng Bernstein đối ngẫu cấu là môđun c - đối bất biến đẳng cấu. Cho c là lớp R - môđun đóng dưới tổng trực tiếp Từ định nghĩa, rõ ràng chúng ta có thể chứng minh hữu hạn. Ta có các định nghĩa sau: được kết qua sau: Định nghĩa 3.1. Một đồng cấu p : M ® N được Bổ đề 2.7. Giả sử M là c - N - xạ ảnh và N là gọi là một c - toàn cấu mạnh thuần túy (SPE) nếu với c- M - xạ ảnh với các c - phủ tổng quát bất kì đồng cấu f : X ® N , X Î c , có thể nâng đến pM : X (M ) ® M và pN : X (N ) ® N . Khi đó, nếu một đồng cấu g : X ® M sao cho pg = f X (M ) @ X (N ) , thì M @ N . Định nghĩa 2.8. Môđun M được gọi là đối bất biến đẳng cấu nếu với mọi môđun con đối cốt yếu K 1, K 2 của M , với mọi toàn cấu Định nghĩa 3.2. Một môđun M được gọi là f : M / K 1 ® M / K 2 sao cho ker( f ) = M / K 1 thì c - đối đóng mạnh thuần túy (SPCC) nếu với mọi f có thể nâng được thành một tự đồng cấu môđun thương N của M thì phép chiếu chính tắc f ¢: M ® M p : M ® N là một c - SPE. Trong phần còn lại sau đây, ta giả thiết c là lớp môđun mà mọi R - môđun đều có c - phủ tổng quát. Kết quả sau là một trong các kết quả chính của bài báo. Nhận xét 2.9. Khi c là lớp các môđun xạ ảnh và Định lí 3.3. Cho A là R - môđun c - SPCC, B là R là vành hoàn chỉnh thì R - môđun c - đối bất biến môđun thương c - đối bất biến tự đồng cấu của A thỏa đẳng cấu chính là R - môđun đối bất biến đẳng cấu. A là c - B - xạ ảnh và B là c - A - xạ ảnh. Gọi Thật vậy, gọi p : P ® M là phủ xạ ảnh của M ta pA : X (A ) ® A, pB : X (B ) ® B là các toàn cấu được ker ( p ) = P , M @ P /ker ( p ) và p : P ® P /ker ( p ) c - phủ tổng quát của lần lượt A, B. Khi đó, nếu tồn tại là phủ xạ ảnh của P /ker ( p ) . Khi đó, M là R - môđun một c - SPE j : B ® A thì A @ B . 14
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục Tập 9, số 3 (2019), 12-18 Chứng minh. Gọi m : A ® B là phép chiếu chính vì A là một môđun c - SPCC nên B cũng vậy, điều tắc, khi đó m là một c - SPE. Ta có mpA : X (A ) ® B này suy ra p 1 là một c - SPE. Khi đó, p1 pB thỏa điều thỏa điều kiện thứ nhất của c - phủ tổng quát nên tồn kiện thứ nhất của phủ tổng quát. Do đó, tồn tại đồng cấu tại một đồng cấu f1 : X (B ) ® X (A ) sao cho u : X (B ) ® X (B ) thỏa p 1 pB u = pB mpA f1 = pB . Hơn nữa, do pB : X (B ) ® B là một phủ tổng quát nên tồn tại đồng cấu f2 : X (A ) ® X (B ) với mpA = pB f2 . Khi đó, pB = pB ( f2 f1 ) , và do đó f2 f1 là một đẳng cấu. Điều này suy ra f 2 là một toàn cấu chẻ ra. Tương tự ta cũng được một toàn cấu chẻ ra Ta có pB là phủ tổng quát nên có một đồng cấu g2 : X (B ) ® X (A ) sao cho j pB = pA g2 . Vì h : X (B ) ® X (B ) thỏa pB h = p 1 pB . Suy ra f2g2 : X (B ) ® X (B ) cũng là toàn cấu chẻ ra nên tồn tại pB = pB hu . Điều này suy ra hu là một đẳng cấu, do tự đồng cấu v của X (B ) sao cho ( f2g2 )v = 1 . Thêm đó h là một toàn cấu chẻ ra. Lấy k : X (B ) ® X (B ) là nữa, do B là một môđun c - đối bất biến tự đồng cấu đồng cấu sao cho hk = 1X ( B ) . nên tồn tại một tự đồng cấu w của B thỏa wpB = pB v . Khi đó, k là đơn cấu chẻ ra với Im (h ) là hạng tử Từ đó ta có: trực tiếp của X (B ) và (kh)2 = kh . Hơn nữa, vì B là pB = pB f2g2v = mpA g2v = mj pB v = ( mj w )pB . một môđun c - đối bất biến tự đồng cấu nên tồn tại Vì pB là toàn cấu nên mj w = 1B , hay m là toàn a : B ® B sao cho a pB = pB kh . Vậy a (B ) = ( pB k )(X (B )) cấu chẻ ra và suy ra B là đẳng cấu với một hạng tử trực và tiếp của A . Do đó ta có thể giả sử B là hạng tử trực tiếp của A . Đặt A = H Å B . Xét toàn cấu 0 = pB (1 - kh )(kh ) = pB (kh ) - pB (kh )(kh ) = ( a - a 2 ) pB . j : B ® A . Khi đó, j - 1 (A ) ³ j - 1 (H ) + j - 1 (B ) và Do pB là đẳng cấu nên a = a 2 và do đó a (B ) là A = H ÅB hạng tử trực tiếp của B . Do đó tồn tại đồng cấu ³ H Åj - 1 (A ) i : a (B ) ® B sao cho a i = 1a ( B ) . Bây giờ chúng ta ³ H Å [j - 1 (H ) + j - 1 (B )] ³ H Å [j - 1 (H ) + j - 1 (j - 1 (A ))] chứng minh pB k : X (B ) ® ( pB k )(X (B )) là một phủ ¥ tổng quát. Thật vậy, lấy ³ H Å [å (j - 1 k ) (H )]. k= 1 f : X ¢® ( pB k )(X (B )) = a (B ) là một đồng cấu với X ' Î c . Xét biểu đồ sau: với (j - 1 k ) (H ) = j - 1 (j - 1 (...j - 1 (H )...)) . Đặt ¥ P = H Å [å (j ) (H )] ta được: - 1 k k= 1 ¥ B ÇP = å (j - 1 k ) (H ) = j - 1 (P ). k= 1 Hơn nữa, do j là toàn cấu do đó P = j (B Ç P ) . Khi đó, tồn tại một đồng cấu b : X ¢® X (B ) với Lấy p1 : B ® B / B Ç P = B là phép chiếu tự nhiên, pB b = i f . Lấy g = h b , và do đó 15
Đào Thị Trang, Nguyễn Quốc Tiến, Trương Thị Thúy Vân pB k g = pB kh b = a pB b = a i f = f . đồng cấu do là hạng tử trực tiếp của A và do đó suy ra được a (B ) và a (B ) Å H là c - xạ ảnh tương hỗ. Vậy Suy ra pB k : X (B ) ® ( pB k )(X (B )) thỏa điều kiện ta có hệ quả sau: đầu của phủ tổng quát. Để chứng minh Hệ quả 3.4. Cho c là lớp môđun mà mọi pB k : X (B ) ® ( pB k )(X (B )) là một c - phủ tổng quát, R - môđun đều có c - phủ tổng quát, và A, B là các theo [6, Corollary 1.2.8] ta chỉ cần chỉ ra không tồn tại môđun c - đối bất biến tự đồng cấu với các toàn cấu hạng tử trực tiếp L ¹ 0 của X (B ) chứa trong c - phủ tổng quát tương ứng ker ( pB k ) . Giả sử có L như vậy, khi đó k (L ) ¹ 0 và pA : X (A ) ® A, pB : X (B ) ® B . Giả sử A là một chứa trong ker ( pB ) . Vì k là đơn cấu chẻ ra nên k (L ) môđun c - SPCC và B là môđun thương của A . Nếu là hạng tử trực tiếp của Im (k ) và do đó k (L ) là hạng tử tồn tại một c - SPE từ B vào A thì A @ B . trực tiếp của X (B ) . Điều này mâu thuẫn với phủ tổng Trên vành hoàn chỉnh các môđun phải tựa xạ ảnh quát của pB . Vậy pB k : X (B ) ® ( pB k )(X (B )) = a (B ) cũng chính là môđun phải đối bất biến tự đồng cấu . Do đó, từ hệ quả 3.4, ta có kết quả sau: là một phủ tổng quát. Hệ quả 3.5. Cho A, B là các môđun phải tựa xạ ảnh Bây giờ, lấy K là môđun con của B sao cho trên vành hoàn chỉnh R . Nếu tồn tại các toàn cấu B = a (B ) Å K , do đó A = H Å a (B ) Å K . Theo A ® B và B ® A thì A @ B . cách xây dựng P , ta có A / P @ B / (B Ç P ) và Một trong những mở rộng quan trọng của lớp A / (P Ç B ) @ A / P Å A / B @ A / P Å H @ [B / (B Ç P )] Å H . môđun tựa xạ ảnh là lớp môđun giả xạ ảnh. Một môđun M được gọi là giả xạ ảnh nếu bất kì toàn cấu Hơn nữa, xét đồng cấu f : A / (P Ç B ) ® A / P f : M ® K và mỗi toàn cấu g : M ® K , thì tồn tại với f (a + P Ç B ) = j (a ) + P . Ta có, do j là toàn cấu một tự đồng cấu h : M ® M sao cho fh = g . Như nên với a Î A tồn tại b Î B sao cho a = j (b) hay với chúng ta được biết, trên vành hoàn chỉnh thì lớp các mọi a+ P tồn tại b + P ÇB sao cho môđun giả xạ ảnh và lớp các môđun đối bất biến đẳng f (b + P Ç B ) = j (b) + P = a + P , do đó f là toàn cấu trùng nhau. Tiếp theo chúng ta có kết quả sau: Định lí 3.6. Cho M và N là các môđun giả xạ ảnh cấu. Mặt khác, f (a + P Ç B ) = 0 khi và chỉ khi trên vành hoàn chỉnh phải R . Nếu tồn tại các toàn cấu j (a ) Î P = j (P Ç B ) . Do đó, f : M ® N và g : N ® M thì M @ N . a Î K er (j ) + (P Ç B ) = P Ç B , hay f là đơn cấu. Chứng minh. Theo giả thiết f : M ® N và Vậy f là đẳng cấu. Ta có A / (P Ç B ) @ A / P điều g : N ® M là các toàn cấu và M, N là các môđun giả này suy ra B / (B Ç P ) @ [B / (B Ç P )] Å H . Như vậy, xạ ảnh nên f và g là các toàn cấu chẻ ra. Gọi ta có X (B ) @ X (B ) Å X (H ) . Từ giả thiết, chúng ta có f ¢: N ® M và g ¢: M ® N là các đồng cấu sao cho thể kiểm tra a (B ) và a (B ) Å H là c - xạ ảnh tương ff ¢ = 1 và gg ¢ = 1 . Lấy p M : PM ® M và hỗ. Mặt khác, ta có X (B ) ® a ( B ) và p N : PN ® N là các phủ xạ ảnh của M và N . Do đó, X (B ) Å X (H ) ® a (B ) Å H là các phủ tổng quát. Theo có một đẳng cấu h : PM ® PN . Không mất tính tổng Bổ đề 2.7, ta có a (B ) @ a (B ) Å H . Khi đó, quát, giả sử M = PM / ker ( p M ) và N = PN / B = a (B ) Å K @ a (B ) Å H Å K = A . ker ( p N ) . Đặt M ¢= h - 1( ker ( p N )) + ker( p M ) và Trong phép chứng minh trên, nếu chúng ta giả thiết A là các môđun c - đối bất biến tự đồng cấu thì N ¢= h( ker ( p M )) + ker ( p N ) , ta được M ¢ = PM và ta được a (B ) Å H cũng là môđun c - đối bất biến tự 16
ISSN 1859 - 4603 - Tạp chí Khoa học Xã hội, Nhân văn & Giáo dục Tập 9, số 3 (2019), 12-18 N ¢= PN và h(M ¢) = N ¢, h - 1(N ¢) = M ¢. Khi đó tồn Khi đó, p1ba = h - 1 p2a = h - 1hp1 = p1 . Do đó, tại các đồng cấu h , h - 1 sao cho các sơ đồ giao hoán: p1 (1 - ba ) = 0 hay Im (1 - ba ) £ ker ( p1 ). Vì ker( p1 ) = M ¢/ ker ( p M ) với ker ( p M ) = PM và M ¢ = PM , suy ra ker ( p1 ) = PM / ker ( p M ) . Do đó, Im (1 - ba ) = PM / ker ( p M ) . Do M = PM / ker ( p M ) ( là môđun giả xạ ảnh nên, 1 - ba Î J End (M ) . Suy ra ) ba là khả nghịch trong End( M ), đồng thời a b cũng Đặt p1 : PM / ker ( p M ) ® PM / M ¢ và khả nghịch trong End( M ). Vậy a là một đẳng cấu. p2 : PN / ker ( p N ) ® PN / N ¢ là các phép chiếu tự Chúng ta biết rằng, trên vành hoàn chỉnh các nhiên. Xét sơ đồ các đồng cấu: môđun phải giả xạ ảnh cũng chính là môđun phải đối bất biến đẳng cấu. Do đó, ta có kết quả hiển nhiên sau: Hệ quả 3.7. Cho M và N là các môđun đối bất biến đẳng cấu trên vành hoàn chỉnh phải R . Nếu tồn tại các toàn cấu f : M ® N và g : N ® M thì M @ N . Tài liệu tham khảo Vì N là môđun giả xạ ảnh nên tồn tại [1] S. Singh, A.K. Srivastava (2012). Dual k : PN / ker ( p N ) ® PN / ker ( p N ) sao cho p2k = hp1g . automorphism-invariant modules. J. Algebra, 371, Do gg ¢ = 1 nên tồn tại đồng cấu 262-275. [2] T.K. Lee, Y. Zhou (2013). Modules which are a : PM / ker ( p M ) ® PN / ker ( p N ) sao cho p2 a = hp1 . invariant under automorphisms of their injective Một cách tương tự, tồn tại đồng cấu hulls. J. Algebra Appl., 12 (2). [3] P. A. Guil Asensio, D. K. Tutuncu and A. K. b : PN / ker ( p N ) ® PM / ker ( p M ) sao cho p1b = h p2 - 1 Srivastava (2015). Modules invariant under automorphisms of their covers and envelopes. Israel Journal of Mathematics, 206, 457-482. [4] R. T. Bumby (1965). Modules which are isomorphic to submodules of each other. Arch. der Math., 16, 184-185. [5] P. A. Guil Asensio, B. Kalebogaz, A. K. Srivastava (2018). The Schroder-Bernstein problem for modules. J.Algebra, 498(15), 153-164. Vậy ta có sơ đồ các đồng cấu sau: [6] J. Xu (1996). Flat Covers of Modules. Lecture Notes in Mathematics, 1634. Springer-Verlag, Berlin. [7] S. E. Dickson and K. R. Fuller (1969). Algebras for which every indecomposable right module is invariant in its injective envelope. Pacic Journal of Mathematics, 31, 655-658. [8] N. Er, S. Singh, A.K. Srivastava (2013). Rings and modules which are stable under automorphisms of their injective hulls. J. Algebra, 379, 223-229. [9] L. E. T. Wu and J. P. Jans (1967). On quasi- 17
Đào Thị Trang, Nguyễn Quốc Tiến, Trương Thị Thúy Vân projectives. Illinois Journal of Mathematics, 11 Modules with Semilocal Endomorphism Rings. (1967), 439-448. Progress in Mathematics, 331. [10] Alberto Facchini (2019). Semilocal Categories and GENERAL COVER OF MODULES AND SOME RELATED RESULS Abstract: In this studying, we introduce the concept(definition) of general cover of a module, endomorphism coinvariant module and some of their properties. The paper also provides some results concerning the dual of Schroder-Bernstein problem for endomorphism  − coinvariant modules. Key words: general  − cover; projective cover; automorphism  − coinvariant module; Schroder-Bernstein's Theorem. 18