Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn

Chia sẻ: Dung Dung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

0
6
lượt xem
1
download

Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong công trình này, tôi giới thiệu một phương pháp đại số dùng để giải cho các bài toán phi nhiễu loạn: phương pháp toán tử FK (FK OM). Trong đó dùng bài toán nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ để minh họa cho việc giải bài toán bằng phương pháp toán tử FK. T

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn

  1. Nguyễn Phương Duy Anh  Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn   PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK CHO BÀI TOÁN PHI NHIỄU LOẠN Nguyễn Phương Duy Anh(1) (1) Trường Đại học Thủ Dầu Một Ngày nhận bài 10/4/2018; Ngày gửi phản biện 29/4/2018; Chấp nhận đăng 25/05/2018  Email: anhnpd@tdmu.edu.vn Tóm tắt Trong công trình này, tôi giới thiệu một phương pháp đại số dùng để giải cho các bài   toán phi nhiễu loạn: phương pháp toán tử FK (FK OM). Trong đó dùng bài toán nguyên tử   hydro trong từ  trường với cường  độ  bất kỳ  để  minh họa cho việc giải bài toán bằng   phương pháp toán tử  FK. Trong tính toán, tôi đã đưa được phương trình Schrödinger của   nguyên tử  hydro về dạng không thứ  nguyên, biểu diễn được phương trình này dưới dạng   các toán tử sinh hủy thông qua phép biến đổi Laplace, xây dựng được bộ hàm cơ sở dạng   đại số, tính được biểu thức tường minh của các yếu tố ma trận. Nghiệm của bài toán thu   được bằng hai cách: bằng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn và bằng sơ đồ vòng lặp và có so sánh   mức độ  hiệu quả của hai sơ đồ  giải. Với sơ  đồ  lý thuyết nhiễu loạn, chúng tôi thu được   kết quả phù hợp với công trình Rösner et al. (1984) trong vùng từ trường yếu  γ 1 với gần   đúng đến bổ chính bậc ba và với sơ đồ vòng lặp kết quả thu được lại phù hợp với các công   trình Rösner et al. (1984) trên toàn miền biến đổi của từ trường. Chúng tôi chỉ ra rằng tốc   độ hội tụ của chuỗi bổ chính được cải thiện đáng kể bằng cách chọn tối ưu tham số tự do   và chỉ ra được giá trị  ω  tối ưu ứng với từng cường độ từ trường. Từ khóa: nguyên tử hydro, phương pháp toán tử, tham số tự do, tốc độ hội tụ, từ trường Abstract FK OPERATOR METHOD FOR CALCULATING NON­PERTURBATION In this work, I introduce the FK operator method (FK OM) which is the algebraic   methods for solving the non­perturbation problems. Using the FK operator method calculated   energies of hydrogen atom in a magnetic field of arbitrary intensity. In my calculation, I   shown: the Schrödinger equation of the hydrogen atom written in atomic unit; writing the   Hamiltonian in algebraic form using the creaation and annihilation operators through the   Laplace transformation; calculating the algebraic basic set; showing the explicit form of the   matrix elements. The solution of the problem is obtained in two ways: the perturbation theory,   the loop diagram and compared between two ways. With the perturbation theory, the results   are consistent with Rösner et al. (1984) for the weak magnetic field intensity up to third­order   energies. With the loop diagram, the results are consistent with Rösner et al. (1984) for the   whole   range   of   the   magnetic   field   intensity.   We   shown   that   the   convergence   rate   of   86
  2. Nguyễn Phương Duy Anh  Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn   approximation series can be regulated by this method of choosing the free parameter and   optimal value for each magnetic field strength. 1. Giới thiệu Phổ  năng lượng của nguyên tử  khi có sự  hiện diện của trường ngoài, từ  lâu đã thu  hút sự  quan tâm của rất nhiều nhà khoa học. Việc giải các bài toán này có thể  sử  dụng   nhiều phương pháp khác nhau như: phương pháp biến phân, phương pháp lý thuyết nhiễu   loạn…. Tuy nhiên, khi trường ngoài có cường độ  trung bình thì việc áp dụng các phương  pháp trên để giải bài toán trong trường ngoài gặp khó khăn vì tương tác do từ trường xấp xỉ  với tương tác Coulomb. Vì vậy, trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp toán   tử  để  giải các bài toán khi có trường ngoài, thông qua ví dụ  cụ  thể  là bài toán nguyên tử  hydro trong từ trường với cường độ bất kì, dựa trên công trình (Nguyễn Phương Duy Anh   (2010)) 2. Phương pháp toán tử Phương pháp toán tử  (Operator method, viết tắt là OM) được xuất hiện và phát  triển bởi một nhóm các giáo sư ở Đại học Belarus (Feranchuk & Komarov, 1982; Feranchuk   et al., 1995; Feranchuk et al., 2004; Franciso et al., 1982; Franciso et al., 1986) vào những  năm 80 của thế kỉ 20. Phương pháp này đã được ứng dụng thành công cho một nhóm rộng   rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương tác các chùm   điện tử với cấu trúc tinh thể... trong vật lý chất rắn; bài toán tương tác hệ các boson trong   lý thuyết trường; bài toán nguyên tử hydro, exciton trong từ trường với cường độ bất kỳ…  (Nguyễn Phương Duy Anh, 2010; Le Van Hoang, 2004); Le Van Hoang et al., 2005; Hoang­ Do Ngoc­Tram et al., 2013; Hoang­Do Ngoc­Tram et al., 2013). Qua nghiên cứu và khai thác   trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của   nó so với các phương pháp đã biết.  Ưu điểm nổi bật của phương pháp toán tử  đó là việc  tách toán tử Hamilton thành hai thành phần phần  Hˆ  và  Vˆ  khác hơn so với phương pháp lý  0 thuyết nhiễu loạn truyền thống. Trong phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, Hamiltonian   được viết dưới dạng: Hˆ = Hˆ T + Hˆ m + Uˆ .   Trường hợp từ  trường yếu   γ = 1 , theo phương pháp lý thuyết nhiễu loạn ta chọn  Hˆ 0 = Hˆ T + Uˆ  còn nhiễu loạn là  Hˆ m . Ngược lại, trong trường hợp từ trường mạnh  γ ? 1 ,  người ta chọn  Hˆ = Hˆ + Hˆ  và nhiễu loạn là  Uˆ nhưng khi từ trường có cường độ trung  0 T m bình  γ 1  ta không thể tách Hamiltonian sao cho thỏa điều kiện nhiễu loạn  Vˆ = Hˆ ( 0) .  Còn đối với phương pháp toán tử, việc tách Hamiltonian dựa trên hình thức của toán tử,  nghĩa là  Hˆ (aˆ , aˆ + ) = Hˆ 0 (aˆ + aˆ , ω ) + Vˆ (aˆ + , aˆ , ω ), 87
  3. Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một  Số 2(37)­2018 và hai thành phần này được sử dụng chung cho toàn miền biến đổi của trường ngoài.  Với cách tách Hamiltonian như trên luôn thỏa các điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn: (1)   Hˆ 0  chứa một phần của tương tác Coulomb và tương tác từ; (2)  Hˆ 0  có trị  riêng chính xác;  (3)   Vˆ có thể hiệu chỉnh “đủ nhỏ” (bằng cách chọn tham số  ω ) để có thể xem như là nhiễu   loạn với mọi giá trị của từ trường. Như vậy biễu diễn toán tử sinh, hủy cho phép sử  dụng   phương pháp toán tử cho các hệ vật lý có đặc điểm khác nhau. Cho phép xét các hệ cơ học   lượng tử có trường ngoài với cường độ bất kì, nghĩa là xác định giá trị năng lượng và hàm   sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài (hệ phi nhiễu loạn). Đơn giản  hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp thông thường phải tính tích phân các hàm   đặc biệt. Thực vậy, trong suốt quá trình tính toán, ta chỉ sử dụng thuần nhất các phép biến  đổi đại số. Và vì vậy có thể  sử dụng các chương trình tính toán bằng các phần mềm tính   toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica để tự động hóa quá trình tính toán. Cho phép   hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của bài toán thông qua tham số tự do  ω  và tìm được miền hội tụ  tối ưu theo tham số này. 3.   Phương   pháp   toán   tử   cho   bài   toán   nguyên   tử   hydro   trong   từ   trường   với   cường độ bất kỳ Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro trong từ trường có dạng Hˆ ψ = Eψ , với ˆ 1 rˆ 2 e ur rˆ e2 2 Ze2 H= p + A. p + A − . 2m mc 2mc 2 4πε 0 r r Trong đó thế vectơ  A  được chọn dưới dạng ur 1r r A = − r B, 2 r và vectơ  từ  trường   B   hướng dọc theo phương của trục z. Khi đó Hamiltonian   có  dạng 1 rˆ 2 e e2 B 2 2 Ze2 Hˆ = p + BLˆz + �x + y 2 �− � 4πε r , 2m 2mc 8mc 2 � 0 Lˆ z  là toán tử hình chiếu moment quỹ đạo trên trục z. Để tiện tính toán, ta đưa phương trình Schrödinger  với Hamiltonian  về dạng không   thứ nguyên như sau:  Hˆ ψ = εψ , với 1� 2 2 2 �1 2 �x y z �2 1 Hˆ = − � 2 + 2 + 2 �+ γ Lˆ z + γ 2 x 2 + y 2 − 8 Z ( . ) x2 + y2 + z 2 88
  4. Nguyễn Phương Duy Anh  Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn   4πε 0 h2 Trong đó đơn vị  độ  dài là bán kính Borh:   a = , đơn vị  năng lượng là 2 lần  me 2 me4 hằng số Rydberg:  Ry = , từ  trường không thứ  nguyên  γ  được xác định bằng biểu  8ε 0 2 h 2 2mcRy thức  B = γ .  eh Để  đánh giá độ  lớn tương đối của từ  trường so với tương tác Coulomb, ta đưa ra  heB phép   so   sánh   sau:   thang   năng   lượng   từ   trường   được   đặc   trưng   bởi   giá   trị   hωc =   mc (Feranchuk Ilya, Ivanov Alexey, (2004)), trong khi thang năng lượng tương tác Coulomb  được đặc trưng bởi hằng số  Rydberg   R y . Như  vậy hệ  số  so sánh giữa hai thang năng   hω c lượng là  γ = . Từ đây ta có thể gọi từ trường yếu  ứng với giá trị   γ > 1 . Tiếp theo ta sẽ sử dụng phương pháp toán tử để giải phương trình Schrödinger  với   Hamiltonian  thông qua các bước cơ bản như sau: Bước 1: Biểu diễn Hamiltonian dưới dạng các toán tử sinh hủy. Các toán tử sinh hủy được định nghĩa như sau: ω� 1 � + ω� 1 � aˆ1 = �x + , aˆ1 = � �x − �, 2 � ω x� 2 � ω x� ω� 1 � + ω� 1 � aˆ2 = �y + �, aˆ2 = �y − � , 2 � ω y� 2 � ω y� ω� 1 � + ω� 1 � aˆ3 = �z + , aˆ3 = � �z − . � 2 � ω z� 2 � ω z� Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán aˆi , aˆ +j � � � �= δ ij . Ngoài ra, trong Hamiltonian  có thành phần tọa độ nằm trong căn và ở phần mẫu số,  điều này gây khó khăn cho việc biểu diễn Hamiltonian này thông qua các toán tử sinh hủy.   Vì vậy, ta sẽ sử dụng phép biến đổi Laplace  2 1 1 + e −tr Uˆ = = dt r π 0 t để đưa thành phần này ra khỏi căn thức và mẫu số. Khi đó ta có 89
  5. Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một  Số 2(37)­2018 ω ˆ+ ˆ ω γ γ 2 ˆ+ ˆ Hˆ = − 4 ( ) A12 + A12 − Nˆ 12 − 3 Aˆ3+ + Aˆ3 − Nˆ 3 + Lˆ z + 4 2 16ω ( A12 + A12 + Nˆ 12 ) ( ) t �ˆ + A12 + A12 + N12 � − ˆ ˆ � t �ˆ + ˆ ˆ � Z + 1 − 2ω � �A3 + A3 + N3 � � 2ω � − dt e � e � , 3 π 0 t trong đó Aˆ3 = aˆ32 , Aˆ3+ = aˆ3+2 , Nˆ 3 = 2aˆ3+ aˆ3 + 1, Aˆ12 = aˆ12 + aˆ 22 , Aˆ12+ = aˆ1+2 + aˆ 2+2 , Nˆ 12 = 2aˆ1+ aˆ1 + 2aˆ2+ aˆ2 + 2. Một điểm cần lưu ý khi sử dụng phương pháp toán tử để giải các bài toán đó là các   toán tử trong Hamiltonian phải được đưa về  dạng chuẩn nghĩa là các toán tử  hủy luôn về  phía phải của biểu thức, các toán tử sinh luôn về phía trái của biểu thức, khi đó ta có: ω ˆ+ ˆ ω ˆ+ ˆ γ γ 2 ˆ+ ˆ Hˆ = − 4 ( A12 + A12 − Nˆ 12 − 4α ) A3 + A3 − Nˆ 3 + Lˆ z + 2 16ω ( A12 + A12 + Nˆ 12 ) ( ) t t 1 1 t t Z 2ω + 1 − Aˆ12+ − Aˆ3+ − Nˆ12 ln ( 1+ 2t ) − 2 Nˆ 3 ln ( 1+2t ) −1+ 2t Aˆ12 −1+ 2t Aˆ3 − dt e 1+ 2t e 1+ 2t e 2 e e e , π 0 t Bước 2: Tách Hamiltonian  thành hai thành phần: Hˆ = Hˆ 0 + Vˆ , �ω γ 2 �ˆ ω ˆ γ ˆ Hˆ 0 = � + �N12 + N 3 + Lz �4 16ω � 4α 2 + Z 2ω + + 1 t 2( h+ j )−1/2 ˆ + j ˆ + h −( Nˆ12 + Nˆ 3 ) ln 1+ 2 t − � � dt A12 A3 e Aˆ12 j Aˆ3h (1 + 2t ) ( ) 2 2 j +h π h =0 j =0 ( j !h !) 0 � ω γ �ˆ ω ˆ ˆ+ ( ) ( ) 2 Vˆ = �− + ˆ+ �A12 + A12 − A3 + A3 � 4 16ω � 4 + Z 2ω + + ( −1) j +l + h+ m t j +l + h+ m−1/2 ˆ + j ˆ + h −( Nˆ12 + Nˆ 3 ) ln 1+ 2 t − �� dt A12 A3 e Aˆ12 l Aˆ3 m π j ,l = 0 h , m = 0 j !l !h !m ! 0 (1 + 2t ) j +l + h + m j l h m Bước   3:   Tính   các   yếu   tố   ma   trận,   giải   phương   trình   Schrödinger   thu   được   nghiệm gần đúng thông qua sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hoặc sơ đồ vòng lặp.  Ta se tim ham song va năng l ̃ ̀ ̀ ́ ̀ ượng ưng v ́ ơi trang thai c ́ ̣ ́ ơ ban. Dê dang thây răng toan ̉ ̃ ̀ ́ ̀ ́  tử  Lz  giao hoan v ́ ơi Hamiltonian  ́ Hˆ cho nên co s ́ ự bao toan hinh chiêu mô­men quy đao. V ̉ ̀ ̀ ́ ̃ ̣ ới  ̣ trang thai c ̉ ̣ ̉ Lz  băng không. Do vây ta s ́ ơ ban tri riêng cua  ̀ ̣ ử dung bô ham c ̣ ̣ ̀ ơ  sở sau đê xây ̉   dựng nghiêm cua ph ̣ ̉ ương trinh: ̀ 1 n, k = Aˆ12+ n Aˆ3+ k 0 2 n ! 2 k !( 2k − 1) !! n k 90
  6. Nguyễn Phương Duy Anh  Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn   ́ ̀ ơ  sở nay đa đ Cac ham c ̀ ̃ ược chuân hoa, la nghiêm riêng cua toan t ̉ ́ ̀ ̣ ̉ ́ ử   Lz  vơi tri riêng ́ ̣   ̣ ̉ băng không va la nghiêm riêng cua toán t ̀ ̀ ̀ ̀ Nˆ , Nˆ  . Ta thu được các yếu tố ma  ử  trung hoa  3 12 trận như sau: � γ2 � � 1� � 1� ω+ H n , k ;n , k = � � �n + �+ ω �k+ � � 4ω � � 2� � 4� 2 Z ω n 1 � n! k � k !( 2k − 1) !! + t 2(2 h+ 2 j ) − � � � � dt π j =0 h=0 2 �j !h!( n − j ) ! �( k − h ) !( 2k − 2h − 1) !! 0 (1 + t ) h −1 2 2 n+ 2 k +3/2 , � γ2 � �s s +1 � Vn , k ;s ,q = δ k ,q � −ω + �� δ n , s −1 + δ n ,s +1 � � 4ω � �2 2 � − δ n,s ω 4 ( 2q ( 2q − 1) δ k ,q −1 + 2 ( q + 1) ( 2q + 1) δ k ,q +1 ) Z ω n s k q (−1) j +l +h +m α h +m s !( s − l + j ) ! − ���� k ,q −m+h n,s −l + j j !l !h!m! π j =0 l =0 h =0 h = 0 δ δ h +m −1 ( s − l ) !� 2 ( j l ) ( h m) 2 2 � � � q !( 2q − 1) !!( q − m + h ) !( 2q − 2 m + 2h − 1) !! + t( 2 j +l + h + m ) dt , ( q − m ) !( 2q − 2m − 1) !! 0 (1 + t 2 ) 2 s −l + j + 2 q −m +h+3/2 chú ý rằng các yếu tố ma trận này có tính đối xứng: Vn,k ;s ,q = Vs ,q ;n ,k = Vs ,k ;n ,q = Vn ,q ;s ,k Đến đây ta có thể sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hoặc sơ đồ vòng lặp cùng với  giá trị  ω  thu được từ công thức (1.22) để giải bài toán. ε 0( 0) =0 ω Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn Sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn  + ∆En( ) = Vnk ∆Ck( ) , s s −1 k =0 ( k n) 1� + s −1 � ∆C (j ) = � ( s −1) � ( s −t ) ( t) , ( j n) s � V ∆C − ∆ E ∆C � En( ) − H jj � jk k n j 0 � � ( ) k = 0 k n t =1 � ta thu được nghiệm gần đúng và so sánh kết quả với các tác giả khác [11] như sau: Hình 1. Năng lượng liên kết ở trạng thái   cơ bản thu được bằng OM đến bổ chính   bậc ba theo sơ đồ nhiễu loạn (đường có   chấm vuông) so sánh với kết quả tác giả   khác (đường có chấm tròn) 91
  7. Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một  Số 2(37)­2018 Ta nhận thấy nghiệm gần đúng đến bổ chính bậc ba có giá trị phù hợp với các tác giả  khác trong vùng từ  trường yếu   γ 1 . Tiếp tục tính các bổ  chính bậc cao theo sơ  đồ  lý   thuyết nhiễu loạn ta thấy kết quả bắt đầu có dấu hiệu phân kỳ từ bổ chính bậc 4. Khi đó   ta thấy sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn không thể cho kết quả chính xác bằng số. Sơ đồ vòng lặp. Bằng sơ đồ vòng lặp n+ s ε n( s ) = H n ,n + Ck( ) Vnk , s k =0 ( k n ) 1 � n + s −1 ( s −1) � C (j s ) = V � jn + C k V jk ,j � n, j n+s ε n ( s −1) − H jj � � k =0 ( k n , k j ) � � Ta thu được kết quả như hình 2. Qua kết quả trên ta nhận thấy kết quả thu được bằng phương pháp toán tử thông qua  sơ đồ vòng lặp cho ta kết quả phù hợp đến hai chữ số sau dấu phẩy so với các kết quả của   tài liệu khác (Rösner W et al (1984)). Nhằm tăng tốc độ  hội tụ  của bài toán, ta tiếp tục   khảo sát giá trị của tham số tự do  ω  và ta nhận thấy khi thay đổi giá trị   ω  thì kết quả thu  được tốt hơn và hội tụ đến 2 chữ số sau dấu phẩy. Hình 2:  Năng lượng  liên  kết  ở  trạng thái cơ bản thu được bằng   OM đến vòng lặp 80 (đường có   chấm tam giác) so sánh với kết   quả   tác   giả   khác   (đường   có   chấm tròn) Bảng 1. Khảo sát  ω  ứng với 80 vòng lặp γ ω ε 0( 80) ( ω ) ω' ε 0( 80) ( ω ') 92
  8. Nguyễn Phương Duy Anh  Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn   0 0.5660 ­ 1.30 ­ .01 0 0.49953  154 0.49984 0 0.5663 ­ 3.45 ­ .02 6 0.49942  477 0.49974 0 0.5677 ­ 1.24 ­ .04 6 0.49913 908 0.49945 0 0.5773 ­ 1.30 ­ .1 7 0.49705 585 0.49738 0 0.6088 ­ 1.40 ­ .2 9 0.48995 045 0.49025 0 0.7084 ­ 1.55 ­ .4 5 0.46423 859 0.46449 1 1.0912 ­ 2.07 ­ 2 9 0.33091 333 0.33107 4 1.7561 ­ 2.70 ­ 2 0.02203  391 0.02212 1 0 3.0591 0.719 3.36 0.71932 3 36 504 3.25228 2 0 6.8404 3.252 7.52 7.78466 4 31 448 4 17.1993 0 12.981 7.784 14.2 9 4 69  7954 1 46.2121 00 25.053 17.19 37.5 5 25 906 7988 60.740 46.21 66.8 79 223 1487 Như  vậy bằng phương pháp toán tử  kết hợp phép biến đổi Laplace  ứng dụng cho   việc giải phương trình Schrödinger cho trạng thái cơ  bản của nguyên tử  hydro trong từ  trường với cường độ bất kỳ ta thu được: (1) Với sơ  đồ  lý thuyết nhiễu loạn: ta thu được   kết quả gần đúng đến bổ chính bậc ba có giá trị phù hợp với kết quả của các tác giả  khác   trong vùng từ trường yếu; (2) Với sơ đồ vòng lặp: ta thu được trị riêng chính xác bằng số,  so với kết quả của các tác giả khác là chính xác đến hai chữ số sau dấu phẩy. Kết quả này   phù hợp trên toàn miền biến đổi của từ  trường. Ta cũng có thể  tối  ưu kết quả  tính bằng  cách sử dụng tham số tự do  ω . 4. Kết luận Giải bài toán nguyên tử hydro trong từ trường bằng phương pháp toán tử cho kết quả  phù hợp với kết quả của Rösner et al. (1984). Kết quả này cho phép áp dụng phương pháp   toán tử cho các bài toán nguyên tử trong từ trường. Việc khảo sát giá trị của tham số tự do  ω   cũng góp phần trong việc cải thiện tốc  độ  tính toán của bài toán. Có thể  sử  dụng   phương pháp này để tính toán cho nhiều bài toán khác như bài toán heli, exciton âm trong từ  trường… TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phương Duy Anh (2010),   Phương pháp toán tử  cho bài toán nguyên tử  hydro   trong từ  trường có cường độ  bất kỳ, Luận văn thạc sĩ Vật lý lý thuyết khóa 16, Trường  Đại học Khoa học tự nhiên. 93
  9. Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một  Số 2(37)­2018 [2] Franciso M. Fernández and Eduardo A. Castro (1986), Further comments on the modified   operator method, Phys. Lett. A. [3] Franciso M. Fernández and Eduardo A. Castro (1982),  Comment on the operator method   and perturbational solution of the Schrödinger equation, Phys. Lett. A, 91. [4] Feranchuk I.D., Komarov L.I. (1982), The operator method of approximate solution of the   Schrödinger equation, Phys. Lett. A 88, 212­214. [5] Feranchuk  I.D.,   Komarov  L.   I,   I.   V.   Nichipor,   and  Ulyanenkov  A.   P  (1995),   Operator   method in the problem of quantum anharmonic oscillator, Ann. Phys. 238, 370­440. [6] Feranchuk Ilya, Ivanov Alexey, (2004),  Operator Method for nonperturbative description   of   quantum   systems,  In   Etude   on   Theor.   Phys.   Ed.   Feranchuk   I.   et   al,   World   Scientific,  Singapore, 171­188. [7] Le Van Hoang, Le Tran The Duy, Hoang Do Ngoc Tram, Ngo Dinh Nguyen Thach, Le Thi  Ngoc Anh, (2004),  Exact solution of two­ dimensional screened donor states in a magnetic   field, Comm. Phys., Suppl. 2004, 58­63. [8] Le Van Hoang, Hoang Do Ngoc Tram, Lu Thanh Trung (2005), Analytical solution of 2D   exciton in a magnetic field, Comm. Phys., Suppl. 2005, 101­106. [9] Hoang­Do Ngoc­Tram, Pham Dang­Lan and Le Van­Hoang, Physica B 423 (2013). [10] Hoang­Do Ngoc­Tram, Hoang Van­Hung and Le Van­Hoang, J. Math. Phys. 54 (2013). [11] Rösner   W.,   Wunner   G.,   Herold  H.   and  Ruder   H.   (1984),  Hydrogen  atoms   in  arbitrary   magnetic fields: I. Energy levels and wavefunctions, J. Phys. B. 17, 29­52. 94

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản