Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn

Chia sẻ: Dung Dung | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong công trình này, tôi giới thiệu một phương pháp đại số dùng để giải cho các bài toán phi nhiễu loạn: phương pháp toán tử FK (FK OM). Trong đó dùng bài toán nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ để minh họa cho việc giải bài toán bằng phương pháp toán tử FK. T

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn

Nguyễn Phương Duy Anh Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK CHO BÀI TOÁN PHI NHIỄU LOẠN Nguyễn Phương Duy Anh(1) (1) Trường Đại học Thủ Dầu Một Ngày nhận bài 10/4/2018; Ngày gửi phản biện 29/4/2018; Chấp nhận đăng 25/05/2018 Email: anhnpd@tdmu.edu.vn Tóm tắt Trong công trình này, tôi giới thiệu một phương pháp đại số dùng để giải cho các bài toán phi nhiễu loạn: phương pháp toán tử FK (FK OM). Trong đó dùng bài toán nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ để minh họa cho việc giải bài toán bằng phương pháp toán tử FK. Trong tính toán, tôi đã đưa được phương trình Schrödinger của nguyên tử hydro về dạng không thứ nguyên, biểu diễn được phương trình này dưới dạng các toán tử sinh hủy thông qua phép biến đổi Laplace, xây dựng được bộ hàm cơ sở dạng đại số, tính được biểu thức tường minh của các yếu tố ma trận. Nghiệm của bài toán thu được bằng hai cách: bằng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn và bằng sơ đồ vòng lặp và có so sánh mức độ hiệu quả của hai sơ đồ giải. Với sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn, chúng tôi thu được kết quả phù hợp với công trình Rösner et al. (1984) trong vùng từ trường yếu γ 1 với gần đúng đến bổ chính bậc ba và với sơ đồ vòng lặp kết quả thu được lại phù hợp với các công trình Rösner et al. (1984) trên toàn miền biến đổi của từ trường. Chúng tôi chỉ ra rằng tốc độ hội tụ của chuỗi bổ chính được cải thiện đáng kể bằng cách chọn tối ưu tham số tự do và chỉ ra được giá trị ω tối ưu ứng với từng cường độ từ trường. Từ khóa: nguyên tử hydro, phương pháp toán tử, tham số tự do, tốc độ hội tụ, từ trường Abstract FK OPERATOR METHOD FOR CALCULATING NONPERTURBATION In this work, I introduce the FK operator method (FK OM) which is the algebraic methods for solving the nonperturbation problems. Using the FK operator method calculated energies of hydrogen atom in a magnetic field of arbitrary intensity. In my calculation, I shown: the Schrödinger equation of the hydrogen atom written in atomic unit; writing the Hamiltonian in algebraic form using the creaation and annihilation operators through the Laplace transformation; calculating the algebraic basic set; showing the explicit form of the matrix elements. The solution of the problem is obtained in two ways: the perturbation theory, the loop diagram and compared between two ways. With the perturbation theory, the results are consistent with Rösner et al. (1984) for the weak magnetic field intensity up to thirdorder energies. With the loop diagram, the results are consistent with Rösner et al. (1984) for the whole range of the magnetic field intensity. We shown that the convergence rate of 86 Nguyễn Phương Duy Anh Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn approximation series can be regulated by this method of choosing the free parameter and optimal value for each magnetic field strength. 1. Giới thiệu Phổ năng lượng của nguyên tử khi có sự hiện diện của trường ngoài, từ lâu đã thu hút sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học. Việc giải các bài toán này có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như: phương pháp biến phân, phương pháp lý thuyết nhiễu loạn…. Tuy nhiên, khi trường ngoài có cường độ trung bình thì việc áp dụng các phương pháp trên để giải bài toán trong trường ngoài gặp khó khăn vì tương tác do từ trường xấp xỉ với tương tác Coulomb. Vì vậy, trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp toán tử để giải các bài toán khi có trường ngoài, thông qua ví dụ cụ thể là bài toán nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kì, dựa trên công trình (Nguyễn Phương Duy Anh (2010)) 2. Phương pháp toán tử Phương pháp toán tử (Operator method, viết tắt là OM) được xuất hiện và phát triển bởi một nhóm các giáo sư ở Đại học Belarus (Feranchuk & Komarov, 1982; Feranchuk et al., 1995; Feranchuk et al., 2004; Franciso et al., 1982; Franciso et al., 1986) vào những năm 80 của thế kỉ 20. Phương pháp này đã được ứng dụng thành công cho một nhóm rộng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương tác các chùm điện tử với cấu trúc tinh thể... trong vật lý chất rắn; bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường; bài toán nguyên tử hydro, exciton trong từ trường với cường độ bất kỳ… (Nguyễn Phương Duy Anh, 2010; Le Van Hoang, 2004); Le Van Hoang et al., 2005; Hoang Do NgocTram et al., 2013; HoangDo NgocTram et al., 2013). Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết. Ưu điểm nổi bật của phương pháp toán tử đó là việc tách toán tử Hamilton thành hai thành phần phần Hˆ và Vˆ khác hơn so với phương pháp lý 0 thuyết nhiễu loạn truyền thống. Trong phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, Hamiltonian được viết dưới dạng: Hˆ = Hˆ T + Hˆ m + Uˆ . Trường hợp từ trường yếu γ = 1 , theo phương pháp lý thuyết nhiễu loạn ta chọn Hˆ 0 = Hˆ T + Uˆ còn nhiễu loạn là Hˆ m . Ngược lại, trong trường hợp từ trường mạnh γ ? 1 , người ta chọn Hˆ = Hˆ + Hˆ và nhiễu loạn là Uˆ nhưng khi từ trường có cường độ trung 0 T m bình γ 1 ta không thể tách Hamiltonian sao cho thỏa điều kiện nhiễu loạn Vˆ = Hˆ ( 0) . Còn đối với phương pháp toán tử, việc tách Hamiltonian dựa trên hình thức của toán tử, nghĩa là Hˆ (aˆ , aˆ + ) = Hˆ 0 (aˆ + aˆ , ω ) + Vˆ (aˆ + , aˆ , ω ), 87 Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 2(37)2018 và hai thành phần này được sử dụng chung cho toàn miền biến đổi của trường ngoài. Với cách tách Hamiltonian như trên luôn thỏa các điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn: (1) Hˆ 0 chứa một phần của tương tác Coulomb và tương tác từ; (2) Hˆ 0 có trị riêng chính xác; (3) Vˆ có thể hiệu chỉnh “đủ nhỏ” (bằng cách chọn tham số ω ) để có thể xem như là nhiễu loạn với mọi giá trị của từ trường. Như vậy biễu diễn toán tử sinh, hủy cho phép sử dụng phương pháp toán tử cho các hệ vật lý có đặc điểm khác nhau. Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử có trường ngoài với cường độ bất kì, nghĩa là xác định giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài (hệ phi nhiễu loạn). Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Thực vậy, trong suốt quá trình tính toán, ta chỉ sử dụng thuần nhất các phép biến đổi đại số. Và vì vậy có thể sử dụng các chương trình tính toán bằng các phần mềm tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica để tự động hóa quá trình tính toán. Cho phép hiệu chỉnh tốc độ hội tụ của bài toán thông qua tham số tự do ω và tìm được miền hội tụ tối ưu theo tham số này. 3. Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro trong từ trường có dạng Hˆ ψ = Eψ , với ˆ 1 rˆ 2 e ur rˆ e2 2 Ze2 H= p + A. p + A − . 2m mc 2mc 2 4πε 0 r r Trong đó thế vectơ A được chọn dưới dạng ur 1r r A = − r B, 2 r và vectơ từ trường B hướng dọc theo phương của trục z. Khi đó Hamiltonian có dạng 1 rˆ 2 e e2 B 2 2 Ze2 Hˆ = p + BLˆz + �x + y 2 �− � 4πε r , 2m 2mc 8mc 2 � 0 Lˆ z là toán tử hình chiếu moment quỹ đạo trên trục z. Để tiện tính toán, ta đưa phương trình Schrödinger với Hamiltonian về dạng không thứ nguyên như sau: Hˆ ψ = εψ , với 1� 2 2 2 �1 2 �x y z �2 1 Hˆ = − � 2 + 2 + 2 �+ γ Lˆ z + γ 2 x 2 + y 2 − 8 Z ( . ) x2 + y2 + z 2 88 Nguyễn Phương Duy Anh Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn 4πε 0 h2 Trong đó đơn vị độ dài là bán kính Borh: a = , đơn vị năng lượng là 2 lần me 2 me4 hằng số Rydberg: Ry = , từ trường không thứ nguyên γ được xác định bằng biểu 8ε 0 2 h 2 2mcRy thức B = γ . eh Để đánh giá độ lớn tương đối của từ trường so với tương tác Coulomb, ta đưa ra heB phép so sánh sau: thang năng lượng từ trường được đặc trưng bởi giá trị hωc = mc (Feranchuk Ilya, Ivanov Alexey, (2004)), trong khi thang năng lượng tương tác Coulomb được đặc trưng bởi hằng số Rydberg R y . Như vậy hệ số so sánh giữa hai thang năng hω c lượng là γ = . Từ đây ta có thể gọi từ trường yếu ứng với giá trị γ > 1 . Tiếp theo ta sẽ sử dụng phương pháp toán tử để giải phương trình Schrödinger với Hamiltonian thông qua các bước cơ bản như sau: Bước 1: Biểu diễn Hamiltonian dưới dạng các toán tử sinh hủy. Các toán tử sinh hủy được định nghĩa như sau: ω� 1 � + ω� 1 � aˆ1 = �x + , aˆ1 = � �x − �, 2 � ω x� 2 � ω x� ω� 1 � + ω� 1 � aˆ2 = �y + �, aˆ2 = �y − � , 2 � ω y� 2 � ω y� ω� 1 � + ω� 1 � aˆ3 = �z + , aˆ3 = � �z − . � 2 � ω z� 2 � ω z� Các toán tử này thỏa mãn hệ thức giao hoán aˆi , aˆ +j � � � �= δ ij . Ngoài ra, trong Hamiltonian có thành phần tọa độ nằm trong căn và ở phần mẫu số, điều này gây khó khăn cho việc biểu diễn Hamiltonian này thông qua các toán tử sinh hủy. Vì vậy, ta sẽ sử dụng phép biến đổi Laplace 2 1 1 + e −tr Uˆ = = dt r π 0 t để đưa thành phần này ra khỏi căn thức và mẫu số. Khi đó ta có 89 Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 2(37)2018 ω ˆ+ ˆ ω γ γ 2 ˆ+ ˆ Hˆ = − 4 ( ) A12 + A12 − Nˆ 12 − 3 Aˆ3+ + Aˆ3 − Nˆ 3 + Lˆ z + 4 2 16ω ( A12 + A12 + Nˆ 12 ) ( ) t �ˆ + A12 + A12 + N12 � − ˆ ˆ � t �ˆ + ˆ ˆ � Z + 1 − 2ω � �A3 + A3 + N3 � � 2ω � − dt e � e � , 3 π 0 t trong đó Aˆ3 = aˆ32 , Aˆ3+ = aˆ3+2 , Nˆ 3 = 2aˆ3+ aˆ3 + 1, Aˆ12 = aˆ12 + aˆ 22 , Aˆ12+ = aˆ1+2 + aˆ 2+2 , Nˆ 12 = 2aˆ1+ aˆ1 + 2aˆ2+ aˆ2 + 2. Một điểm cần lưu ý khi sử dụng phương pháp toán tử để giải các bài toán đó là các toán tử trong Hamiltonian phải được đưa về dạng chuẩn nghĩa là các toán tử hủy luôn về phía phải của biểu thức, các toán tử sinh luôn về phía trái của biểu thức, khi đó ta có: ω ˆ+ ˆ ω ˆ+ ˆ γ γ 2 ˆ+ ˆ Hˆ = − 4 ( A12 + A12 − Nˆ 12 − 4α ) A3 + A3 − Nˆ 3 + Lˆ z + 2 16ω ( A12 + A12 + Nˆ 12 ) ( ) t t 1 1 t t Z 2ω + 1 − Aˆ12+ − Aˆ3+ − Nˆ12 ln ( 1+ 2t ) − 2 Nˆ 3 ln ( 1+2t ) −1+ 2t Aˆ12 −1+ 2t Aˆ3 − dt e 1+ 2t e 1+ 2t e 2 e e e , π 0 t Bước 2: Tách Hamiltonian thành hai thành phần: Hˆ = Hˆ 0 + Vˆ , �ω γ 2 �ˆ ω ˆ γ ˆ Hˆ 0 = � + �N12 + N 3 + Lz �4 16ω � 4α 2 + Z 2ω + + 1 t 2( h+ j )−1/2 ˆ + j ˆ + h −( Nˆ12 + Nˆ 3 ) ln 1+ 2 t − � � dt A12 A3 e Aˆ12 j Aˆ3h (1 + 2t ) ( ) 2 2 j +h π h =0 j =0 ( j !h !) 0 � ω γ �ˆ ω ˆ ˆ+ ( ) ( ) 2 Vˆ = �− + ˆ+ �A12 + A12 − A3 + A3 � 4 16ω � 4 + Z 2ω + + ( −1) j +l + h+ m t j +l + h+ m−1/2 ˆ + j ˆ + h −( Nˆ12 + Nˆ 3 ) ln 1+ 2 t − �� dt A12 A3 e Aˆ12 l Aˆ3 m π j ,l = 0 h , m = 0 j !l !h !m ! 0 (1 + 2t ) j +l + h + m j l h m Bước 3: Tính các yếu tố ma trận, giải phương trình Schrödinger thu được nghiệm gần đúng thông qua sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hoặc sơ đồ vòng lặp. Ta se tim ham song va năng l ̃ ̀ ̀ ́ ̀ ượng ưng v ́ ơi trang thai c ́ ̣ ́ ơ ban. Dê dang thây răng toan ̉ ̃ ̀ ́ ̀ ́ tử Lz giao hoan v ́ ơi Hamiltonian ́ Hˆ cho nên co s ́ ự bao toan hinh chiêu mômen quy đao. V ̉ ̀ ̀ ́ ̃ ̣ ới ̣ trang thai c ̉ ̣ ̉ Lz băng không. Do vây ta s ́ ơ ban tri riêng cua ̀ ̣ ử dung bô ham c ̣ ̣ ̀ ơ sở sau đê xây ̉ dựng nghiêm cua ph ̣ ̉ ương trinh: ̀ 1 n, k = Aˆ12+ n Aˆ3+ k 0 2 n ! 2 k !( 2k − 1) !! n k 90 Nguyễn Phương Duy Anh Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn ́ ̀ ơ sở nay đa đ Cac ham c ̀ ̃ ược chuân hoa, la nghiêm riêng cua toan t ̉ ́ ̀ ̣ ̉ ́ ử Lz vơi tri riêng ́ ̣ ̣ ̉ băng không va la nghiêm riêng cua toán t ̀ ̀ ̀ ̀ Nˆ , Nˆ . Ta thu được các yếu tố ma ử trung hoa 3 12 trận như sau: � γ2 � � 1� � 1� ω+ H n , k ;n , k = � � �n + �+ ω �k+ � � 4ω � � 2� � 4� 2 Z ω n 1 � n! k � k !( 2k − 1) !! + t 2(2 h+ 2 j ) − � � � � dt π j =0 h=0 2 �j !h!( n − j ) ! �( k − h ) !( 2k − 2h − 1) !! 0 (1 + t ) h −1 2 2 n+ 2 k +3/2 , � γ2 � �s s +1 � Vn , k ;s ,q = δ k ,q � −ω + �� δ n , s −1 + δ n ,s +1 � � 4ω � �2 2 � − δ n,s ω 4 ( 2q ( 2q − 1) δ k ,q −1 + 2 ( q + 1) ( 2q + 1) δ k ,q +1 ) Z ω n s k q (−1) j +l +h +m α h +m s !( s − l + j ) ! − �� k ,q −m+h n,s −l + j j !l !h!m! π j =0 l =0 h =0 h = 0 δ δ h +m −1 ( s − l ) !� 2 ( j l ) ( h m) 2 2 � � � q !( 2q − 1) !!( q − m + h ) !( 2q − 2 m + 2h − 1) !! + t( 2 j +l + h + m ) dt , ( q − m ) !( 2q − 2m − 1) !! 0 (1 + t 2 ) 2 s −l + j + 2 q −m +h+3/2 chú ý rằng các yếu tố ma trận này có tính đối xứng: Vn,k ;s ,q = Vs ,q ;n ,k = Vs ,k ;n ,q = Vn ,q ;s ,k Đến đây ta có thể sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hoặc sơ đồ vòng lặp cùng với giá trị ω thu được từ công thức (1.22) để giải bài toán. ε 0( 0) =0 ω Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn Sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn + ∆En( ) = Vnk ∆Ck( ) , s s −1 k =0 ( k n) 1� + s −1 � ∆C (j ) = � ( s −1) � ( s −t ) ( t) , ( j n) s � V ∆C − ∆ E ∆C � En( ) − H jj � jk k n j 0 � � ( ) k = 0 k n t =1 � ta thu được nghiệm gần đúng và so sánh kết quả với các tác giả khác [11] như sau: Hình 1. Năng lượng liên kết ở trạng thái cơ bản thu được bằng OM đến bổ chính bậc ba theo sơ đồ nhiễu loạn (đường có chấm vuông) so sánh với kết quả tác giả khác (đường có chấm tròn) 91 Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 2(37)2018 Ta nhận thấy nghiệm gần đúng đến bổ chính bậc ba có giá trị phù hợp với các tác giả khác trong vùng từ trường yếu γ 1 . Tiếp tục tính các bổ chính bậc cao theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn ta thấy kết quả bắt đầu có dấu hiệu phân kỳ từ bổ chính bậc 4. Khi đó ta thấy sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn không thể cho kết quả chính xác bằng số. Sơ đồ vòng lặp. Bằng sơ đồ vòng lặp n+ s ε n( s ) = H n ,n + Ck( ) Vnk , s k =0 ( k n ) 1 � n + s −1 ( s −1) � C (j s ) = V � jn + C k V jk ,j � n, j n+s ε n ( s −1) − H jj � � k =0 ( k n , k j ) � � Ta thu được kết quả như hình 2. Qua kết quả trên ta nhận thấy kết quả thu được bằng phương pháp toán tử thông qua sơ đồ vòng lặp cho ta kết quả phù hợp đến hai chữ số sau dấu phẩy so với các kết quả của tài liệu khác (Rösner W et al (1984)). Nhằm tăng tốc độ hội tụ của bài toán, ta tiếp tục khảo sát giá trị của tham số tự do ω và ta nhận thấy khi thay đổi giá trị ω thì kết quả thu được tốt hơn và hội tụ đến 2 chữ số sau dấu phẩy. Hình 2: Năng lượng liên kết ở trạng thái cơ bản thu được bằng OM đến vòng lặp 80 (đường có chấm tam giác) so sánh với kết quả tác giả khác (đường có chấm tròn) Bảng 1. Khảo sát ω ứng với 80 vòng lặp γ ω ε 0( 80) ( ω ) ω' ε 0( 80) ( ω ') 92 Nguyễn Phương Duy Anh Phương pháp toán tử FK cho bài toán phi nhiễu loạn 0 0.5660 1.30 .01 0 0.49953 154 0.49984 0 0.5663 3.45 .02 6 0.49942 477 0.49974 0 0.5677 1.24 .04 6 0.49913 908 0.49945 0 0.5773 1.30 .1 7 0.49705 585 0.49738 0 0.6088 1.40 .2 9 0.48995 045 0.49025 0 0.7084 1.55 .4 5 0.46423 859 0.46449 1 1.0912 2.07 2 9 0.33091 333 0.33107 4 1.7561 2.70 2 0.02203 391 0.02212 1 0 3.0591 0.719 3.36 0.71932 3 36 504 3.25228 2 0 6.8404 3.252 7.52 7.78466 4 31 448 4 17.1993 0 12.981 7.784 14.2 9 4 69 7954 1 46.2121 00 25.053 17.19 37.5 5 25 906 7988 60.740 46.21 66.8 79 223 1487 Như vậy bằng phương pháp toán tử kết hợp phép biến đổi Laplace ứng dụng cho việc giải phương trình Schrödinger cho trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ ta thu được: (1) Với sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn: ta thu được kết quả gần đúng đến bổ chính bậc ba có giá trị phù hợp với kết quả của các tác giả khác trong vùng từ trường yếu; (2) Với sơ đồ vòng lặp: ta thu được trị riêng chính xác bằng số, so với kết quả của các tác giả khác là chính xác đến hai chữ số sau dấu phẩy. Kết quả này phù hợp trên toàn miền biến đổi của từ trường. Ta cũng có thể tối ưu kết quả tính bằng cách sử dụng tham số tự do ω . 4. Kết luận Giải bài toán nguyên tử hydro trong từ trường bằng phương pháp toán tử cho kết quả phù hợp với kết quả của Rösner et al. (1984). Kết quả này cho phép áp dụng phương pháp toán tử cho các bài toán nguyên tử trong từ trường. Việc khảo sát giá trị của tham số tự do ω cũng góp phần trong việc cải thiện tốc độ tính toán của bài toán. Có thể sử dụng phương pháp này để tính toán cho nhiều bài toán khác như bài toán heli, exciton âm trong từ trường… TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phương Duy Anh (2010), Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kỳ, Luận văn thạc sĩ Vật lý lý thuyết khóa 16, Trường Đại học Khoa học tự nhiên. 93 Tạp chí Khoa học Đại học Thủ Dầu Một Số 2(37)2018 [2] Franciso M. Fernández and Eduardo A. Castro (1986), Further comments on the modified operator method, Phys. Lett. A. [3] Franciso M. Fernández and Eduardo A. Castro (1982), Comment on the operator method and perturbational solution of the Schrödinger equation, Phys. Lett. A, 91. [4] Feranchuk I.D., Komarov L.I. (1982), The operator method of approximate solution of the Schrödinger equation, Phys. Lett. A 88, 212214. [5] Feranchuk I.D., Komarov L. I, I. V. Nichipor, and Ulyanenkov A. P (1995), Operator method in the problem of quantum anharmonic oscillator, Ann. Phys. 238, 370440. [6] Feranchuk Ilya, Ivanov Alexey, (2004), Operator Method for nonperturbative description of quantum systems, In Etude on Theor. Phys. Ed. Feranchuk I. et al, World Scientific, Singapore, 171188. [7] Le Van Hoang, Le Tran The Duy, Hoang Do Ngoc Tram, Ngo Dinh Nguyen Thach, Le Thi Ngoc Anh, (2004), Exact solution of two dimensional screened donor states in a magnetic field, Comm. Phys., Suppl. 2004, 5863. [8] Le Van Hoang, Hoang Do Ngoc Tram, Lu Thanh Trung (2005), Analytical solution of 2D exciton in a magnetic field, Comm. Phys., Suppl. 2005, 101106. [9] HoangDo NgocTram, Pham DangLan and Le VanHoang, Physica B 423 (2013). [10] HoangDo NgocTram, Hoang VanHung and Le VanHoang, J. Math. Phys. 54 (2013). [11] Rösner W., Wunner G., Herold H. and Ruder H. (1984), Hydrogen atoms in arbitrary magnetic fields: I. Energy levels and wavefunctions, J. Phys. B. 17, 2952. 94