Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết giới thiệu quy trình giải bài bằng phương pháp toán tử FK và sử dụng phương pháp này để giải bài toán nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản, là bài toán đã tìm được nghiệm số chính xác cho trạng thái cơ bản là -0.5 (ở đơn vị không thứ nguyên), nhằm mục đích minh hoạ cho việc sử dụng phương pháp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương pháp toán tử FK giải phương trình Schrödinger

PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER Nguyễn Phương Duy Anh 1 1. Viện Phát Triển Ứng Dụng, Trường Đại Học Thủ Dầu Một TÓM TẮT Phương pháp toán tử FK (FK operator, FK-OM) được đề xuất vào năm 1982 và được phát triển bởi các giáo sư ở trường đại học Belarus. Phương pháp này đã được phát triển rộng rãi cho các bài toán polaron, bipolaron, tương tác chùm điện tử - cấu trúc tinh thể (vật lý chất rắn), tương tác hệ boson (lý thuyết trường), .... Phương pháp toán tử FK với các ưu điểm như: đơn giản hóa tính toán ma trận phức tạp (chỉ sử dụng phép biến đổi đại số), có thể tự động hóa bằng phần mềm Mathematica, Matlab; có thể giải được phương trình Schrödinger cho hệ lượng tử với trường ngoài bất kỳ (hệ phi nhiễu loạn). Trong công trình này, chúng tôi giới thiệu quy trình giải bài bằng phương pháp toán tử FK và sử dụng phương pháp này để giải bài toán nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản, là bài toán đã tìm được nghiệm số chính xác cho trạng thái cơ bản là -0.5 (ở đơn vị không thứ nguyên), nhằm mục đích minh hoạ cho việc sử dụng phương pháp. Chúng tôi đã thu được nghiệm chính xác bằng phương pháp toán tử FK (sử dụng sơ đồ vòng lặp) có độ chính xác đến 5 chữ số thập phân, sai số dưới 1% so với nghiệm số chính xác cho trạng thái cơ bản là -0.5. Ngoài ra, chúng tôi cũng so sánh với nghiệm gần đúng bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn và khảo sát tốc độ hội tụ của bài toán thông qua tham số tự do  và tìm được vùng giá trị 3.1    4.6 là vùng tối ưu cho kết quả hội tụ nhanh nhất. Kết quả cho thấy FK-OM là phương pháp hiệu quả để giải phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro, có tiềm năng ứng dụng cho các bài toán phức tạp khác như bài toán exciton hai chiều, heli hai chiều, exciton trong đơn lớp TMD, …. Từ khóa: phương pháp toán tử FK, phương trình Schrödinger, nguyên tử hydro 1. MỞ ĐẦU Những ý tưởng về phương pháp toán tử FK (viết tắt là FK-OM) đã xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên, FK-OM được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo sư ở trường đại học Belarus (Arteca 1986; Fernandez 1982; Feranchuk 1982; Feranchuk 1995; Feranchuk 2004) và được ứng dụng thành công cho một nhóm rộng rãi các bài toán như các polaron, bipolaron trong trường điện từ, bài toán tương tác các chùm điện tử với cấu trúc tinh thể... trong vật lý chất rắn; bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường (Feranchuk 2004). Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman, Wistchel và nhiều tác giả khác (Feranchuk 2004; Van Hoang 2004; Van Hoang 2005; Nguyen 2019). Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể đó, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau: Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Thực vậy, trong suốt quá trình tính toán, ta chỉ sử dụng thuần nhất các phép biến đổi đại số. Và vì vậy có thể sử dụng các chương trình tính toán bằng các phần mềm tính toán trên biểu tượng như Matlab, Mathematica để tự động hóa quá trình tính toán; 240
Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài với cường độ bất kì, nghĩa là xác định giá trị năng lượng và hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài (hệ phi nhiễu loạn). Trong công trình này chúng tôi chỉ ra rằng FK-OM có thể sử dụng hiệu quả để giải phương trình Schrödinger cho bài toán nguyên tử hydro và nhận được nghiệm năng lượng bằng số. Kết quả có thể tính đến bổ chính bất kì và hội tụ đến giá trị với độ chính xác cho trước nên ta gọi là nghiệm chính xác bằng số. Đây là một bước kiểm tra hiệu quả của việc ứng dụng FK-OM vào bài toán nguyên tử hydro. Do bài toán nguyên tử hydro có nghiệm chính xác (López 2008) nên ta dễ dàng so sánh và đánh giá phương pháp để sau đó ứng dụng vào các bài toán khác không có nghiệm chính xác như bài toán nguyên tử hydro trong từ trường (Nguyễn Phương Duy Anh 2010). Ngoài ra qua ví dụ cụ thể này chúng tôi còn khảo sát vai trò của tham số tự do trong việc cải thiện tốc độ hội tụ của chuổi bổ chính trong phương pháp toán tử, chỉ ra miền tối ưu để chọn tham số đó. 2. CÁC BƯỚC GIẢI CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ FK Phương pháp toán tử giải phương trình Schrödinger qua bốn bước cơ bản sau: Bước 1: Biểu diễn Hamiltonian dưới dạng các toán tử sinh, hủy: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H ( x, p x ) → H ( a , a + ) (1) với  1   1  a( ) = ˆ ˆ ˆ ˆ+  x + ipx  ; a ( ) =  x − ipx  ˆ ˆ (2) 2   2   là các toán tử sinh hủy, thỏa mãn hệ thức giao hoán:  a( ), a + ( )  = 1 ˆ ˆ  (3) Bước 2: Tách Hamiltonian thành hai thành phần: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H ( a , a + ) = H 0 ( a + a,  ) + V ( a + , a,  ) (4) ˆ ˆ ˆ Với thành phần trung hòa H 0 (a + a,  ) , trong đó n = a + a , có trị riêng chính xác, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ V (a + , a,  ) “đủ nhỏ” để có thể xem như là nhiễu loạn,  là tham số tự do đưa vào nhằm tăng tốc độ hội tụ của phương pháp. Bước 3: Giải tìm nghiệm gần đúng bậc không 1 +n  n (0) = n = a 0 , En (0) = H 0 (n,  ). ˆ (5) n!  Ở đây ta chọn tham số  từ điều kiện En(0) ( ) = 0 .  Bước 4: Tính các yếu tố ma trận và thu được nghiệm gần đúng thông qua sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hoặc sơ đồ vòng lặp. Nếu chuỗi các số hạng hội tụ thì ta thu được nghiệm chính xác bằng số. 241
3. PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Phương trình Schrödinger cho nguyên tử hydro có dạng: H ( x, y, z ) =  ( x, y, z ) ˆ (6) với ˆ 1  2 2 2  Z H = −  2 + 2 + 2 − . (7) 2  x y z  x +y +z 2 2 2 Ở đây ta đã đưa phương trình (6) về dạng không thứ nguyên, trong đó đơn vị độ dài là 4 0 2 me 4 bán kính Borh a = và đơn vị năng lượng là 2 lần hằng số Rydberg Ry = 2 2 . me2 8 0 h Do trong biểu thức (7) có số hạng chứa biến động lực ở mẫu số sẽ gây khó khăn khi sử dụng FK-OM để giải, cụ thể trong FK-OM các biến số động lực sẽ được chuyển về biểu diễn toán tử sinh hủy và sau đó tác dụng lên vector trạng thái, chính vì thế các toán tử này không thể ở dưới mẫu số. Để loại trừ khó khăn trên ta sử dụng phép biến đổi Laplace như sau: e−tr 2 + ˆ 1 1 U= = r  0 t dt. (8) Khi đó toán tử Hamilton (7) được viết dưới dạng: e−tr 2 ˆ 1  2 2 2  Z + H = −  2 + 2 + 2 − 2  x y z   0 t dt. (9) Tiếp theo, chúng ta sẽ biểu diễn phương trình Schrödinger (6) với toán tử Hamilton (9) qua toán tử sinh hủy được định nghĩa như sau: 1  1   1  1   a1 = ˆ x+ ˆ+  , a1 = x− , 2  1 x  2  1 x  2  1   2  1   a2 = ˆ y+ ˆ+  , a2 = y− , (10) 2  2 y  2  2 y  3  1   3  1   a3 = ˆ z+ ˆ+  , a3 = z− , 2  3 z  2  3 z  với các tham số tự do 1 ,2 ,3 là các số thực dương, giá trị cụ thể sẽ được bàn đến khi giải phương trình (6). Các toán tử (10) thỏa mãn hệ thức giao hoán:  ai , a +  =  ij ˆ ˆj  (11) trong đó  ij là ký hiệu của delta Dirac. Đây chính là công cụ chính cho các tính toán đại số sau này, hệ thức này giúp ta đưa các toán tử sinh, hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm về phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này. Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tử. 242
Ta viết lại các thành phần trong Hamiltonian (9) qua biểu diễn các toán tử sinh, hủy như sau: Thành phần động năng: 1 ( ) HT = − 1 a1 2 + a1 + 2 a2 2 + a2 + 3 a3 2 + a3  ˆ 4  ˆ+ ˆ2 ˆ+ ˆ2 ˆ+ ˆ2  ( ) ( ) (12) 1 ( ) + 1 2a1 a1 + 1 + 2 2a2 a2 + 1 + 3 2a3 a3 + 1  4 ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ  ( ) ( ) và thành phần tương tự tương tác Coulomb ta có: 1 − 21 ( a1 ) ( ) ( ) t +2 t t + ˆ + a12 + 2 a1+ a1 +1 − ˆ ˆ ˆ ˆ+ ˆ2 ˆ+ ˆ a2 2 + a2 + 2 a2 a2 +1 − ˆ+ ˆ2 ˆ+ ˆ a3 2 + a3 + 2 a3 a3 +1 ˆ Z 22 23 U =−  0 dt t e . (13) Từ đây về sau ta sẽ sử dụng toán tử Hamiltonian biểu diễn qua các toán tử sinh hủy như sau: ˆ ˆ H = HT + Uˆ (14) trong các tính toán cho sơ đồ FK-OM. Do bài toán có tính đối xứng cầu và chỉ xét đối với trạng thái cơ bản nên ta chọn 1 = 2 = 3 =  . Mặt khác để thuận tiện trong tính toán ta sử dụng các toán tử: ˆ ˆ2 ˆ2 ˆ2 A = a1 + a2 + a3 , ˆ A + = a +2 + a + 2 + a + 2 , ˆ ˆ ˆ (15) 1 2 3 ˆ ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ ˆ+ ˆ N = 2a1 a1 + 2a2 a2 + 2a3 a3 + 3 ˆ ˆ ˆ + Dễ dàng kiểm chứng rằng ba toán tử A , A, N tạo thành một đại số kín (Hoàng 2004), nghĩa là khi chúng giao hoán với nhau không xuất hiện thêm một toán tử nào khác, thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau: ˆ ˆ ˆ  A, A+  = 2 N , ˆ ˆ ˆ  A, N  = 4 A, ˆ ˆ ˆ  N , A+  = 4 A + ,       (16) ˆ ˆ ˆ  A, A+  = 2 N , ˆ ˆ ˆ  A, N  = 4 A, ˆ ˆ ˆ  N , A+  = 4 A + .       Khi đó toán tử Hamiltonian (14) có dạng: ( t ˆ+ ˆ ˆ ) ( ) 1 Z + 1 − A + A+ N ˆ ˆ ˆ ˆ H = −  A+ + A − N − 4  0 dt t e 2 (17) Thành phần có dạng hàm mũ trong (17) có thể đưa về dạng chuẩn nhờ vào (15) và (16) như sau (Hoàng 2004): ˆ S =e − 2 ( t ˆ+ ˆ ˆ A + A+ N ) = e−1+2 A e− 1 Nˆ ln(1+2 )e−1+2 A ˆ 2 + ˆ (18) t ˆ với  = . Khai triển S theo chuỗi Taylor, ta được Hamiltonian (17) như sau: 2 2 Z + + ( −1) j + k t j +k −1/2 ˆ + j − 1 N ln(1+2t ) ˆ k ( ) + ˆ 1 ˆ 4 ˆ ˆ ˆ H = −  A+ + A − N −   j !k ! 0 dt j +k (1 + 2t ) A e 2 A j =0 k =0 (19) 243
Sử dụng tư tưởng phương pháp toán tử ta tách toán tử Hamiltonian (18) thành hai thành phần: H = H ( ) + V ˆ ˆ 0 ˆ (20) Phần “trung hòa” có dạng: 2 j −1/2 ˆ (0) = 1  N − 2 Z  1 + dt t + − N ln (1+ 2 t ) ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 2 0 H A+ j e 2 Aj (21) 4  j =0 ( j !) (1 + 2t ) 2j chỉ chứa số thừa số mà các toán tử sinh, hủy có số mũ bằng nhau. Còn toán tử “nhiễu loạn” Vˆ có dạng: 2 Z + + (−1) j + k t j +k −1/2 ˆ + j − 1 N ln(1+2t ) ˆ k ( ) + ˆ 1 ˆ 4 ˆ ˆ V = −  A+ + A −    j !k ! 0 dt j+k (1 + 2t ) A e 2 A . (22) j =0 k =0,k  j Nghiệm gần đúng bậc zero của phương trình Schrödinger chính là nghiệm riêng chính xác của toán tử H ( ) , còn các bổ chính bậc cao hơn ta có thể tính theo sơ đồ thích hợp. ˆ 0 4. XÂY DỰNG BỘ HÀM CƠ SỞ VÀ TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ MA TRẬN Ta chọn bộ hàm sóng cơ sở là nghiệm riêng của toán tử H ( ) , đó cũng chính là bộ hàm ˆ 0 sóng của dao động tử điều hòa 3 chiều viết qua biểu diễn toán tử sinh hủy: 1 n1 , n2 , n3 = ˆ+ ˆ+ ˆ+ a1 n1 a2 n2 a3 n3 0 . (23) n1 !n2 !n3 ! Trong đó trạng thái chân không 0 được xác định bởi các phương trình sau: a1 0 = 0, a2 0 = 0 , a3 0 = 0 ˆ ˆ ˆ (24) Tuy nhiên do bài toán có tính đối xứng cầu và bảo toàn đại lượng bình phương mô-men quỹ đạo cũng như hình chiếu mô-men quỹ đạo nên ta cần xây dựng bộ hàm cơ sở thỏa mãn thêm các phương trình sau: ˆ L2 n, l , m = l (l + 1) n, l , m , (25) ˆ LZ n, l , m = m n, l , m . ˆ ˆ Các toán tử L2 , LZ được biểu diễn qua các toán tử sinh hủy có dạng: ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 3 L2 = − A+ A + N 2 − N + , 4 4 (26) ˆ + ( ˆ ˆ + Lz = i a2 a1 − a1 a2 . ˆ ˆ ) Trong phần này ta chỉ xét trạng thái cơ bản cho nên chọn l = 0, m = 0 , thu được bộ hàm cơ sở chuẩn hóa như sau: 1 ˆ n = A+ n 0 . (27) 2n n !( 2n + 1)!! Bộ hàm sóng (27) sẽ được sử dụng để xây dựng nghiệm của phương trình và thu được các kết quả như sau: 244
ˆ 2 j n !( 2n + 1)!! Aj n = n− j , ( n − j )!( 2n − 2 j + 1)!! ˆ + j n = 2 ( n + j )!( 2n + 2 j + 1)!! n + j , j A (28) n !( 2n + 1)!! N n = ( 4n + 3) n . ˆ Khi đó ta thu được các yếu tố ma trận như sau: H nn = n H n = n H ( ) n ˆ ˆ 0  Z  n n!( 2n + 1)!! t4 j (29) ( 4n + 3 ) −  2 ( j !) ( n − j )!( 2n − 2 j + 1)!!  + = dt ,  j −1 (1 + t ) 2 2 n + 3/2 2 4 j =0 0 ˆ 1 ( Vns = n V s = −   s ,n−1 2n(2n + 1) +  n,s −1 2s(2s + 1) 4 ) (30) (1 −  n,s )  Z ( −1) 2k +1 n!( 2n + 1)!!s !( 2 s + 1)!! s − n min( n , s ) + t 2 n+ 2 s −4 k −   (n − k )!( s − k )!k !( 2k + 1)!! 0 dt (1 + t 2 )n+ s +3/2 . 2n + s k =0 Các tích phân trong các biểu thức (29) và (30) có thể được viết lại dưới dạng: + t 2q 2 p −q −1 ( p − q − 1)!( 2q − 1)!! 0 dt (1 + t 2 ) p +1/2 = ( 2 p − 1)!! . (31) Từ đây ta có dạng tường minh cho các yếu tố ma trận: Z  n!( 2n + 1)!! n 2 ( 2 j )!( 4n − 4 j − 1)!! 3 j +1 1 H n ,n =  ( 4n + 3 ) − 4   2n ( 4n + 1)!! j =0 j !( n − j )! ( 2 j + 1)!! 2 , (32)   1 Vn,s = −   2s ( 2s + 1) n,s −1 + 2 ( s + 1)( 2s + 3) n,s +1  4   (33) n!( 2n + 1)!!s !( 2s + 1)!! min( n,s ) 23 j +1 ( 2 j )!( 2n + 2s − 4 j − 1)!! (1 −  n,s ) ( )n+s s −n Z  −1 −  2 ( 2n + 2s + 1)!!  j !( s − j )!( n − j )!( 2 j + 1)!! . j =0 Ngoài ra, để sử dụng khi tính toán ta còn tính đến tính đối xứng của yếu tố ma trận: Vn,s = Vs ,n 5. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ 5.1. Nghiệm gần đúng Ta chọn trị riêng của toán tử H ( ) làm nghiệm gần đúng bậc không, kết quả thu được: ˆ 0 3 2Z   00) = H 0,0 =  − ( (34) 4  245
phụ thuộc vào tham số  . Như đã nói, đây là tham số đưa vào để tối ưu quá trình tính toán, ta xác định  từ điều kiện:  0 ) (0 = 0. (35)  Với trạng thái cơ bản thì điều kiện (35) có cơ sở từ định lý về biến phân (Hoàng 2004). Khi xét trường hợp trạng thái kích thích ta cần đưa ra cách chọn tham số một cách tốt hơn. Trong trường hợp hiện tại từ (35) ta có giá trị:  = 0.565884 cho trường hợp nguyên tử hydro (Z=1). Thay vào (34) ta được  0 ) = −0.424413 . (0 ˆ Vì toán tử “nhiễu loạn” V chỉ chứa các phần tử không trung hòa, nên thành phần nằm trên đường chéo chính trong ma trận của toán tử nhiễu loạn bằng không. Do đó nghiệm gần đúng đến bổ chính bậc một:  0 ) = 0 . Áp dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn ta tính các bổ chính (1 bậc cao với các kết quả đưa ra trong bảng 1. Bảng 1: Năng lượng trạng thái cơ bản theo sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn Năng lượng Độ chính xác  00 ) ( -0.424413 15.12%  01) ( -0.424413 15.12%  02 ) ( -0.510400 2.08%  03) ( -0.495110 0.98% Như vậy ta thấy phương pháp toán tử với sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn cho ta kết quả rất chính xác (dưới 1%), đến bổ chính bậc 3, so với năng lượng của nguyên tử hydro ở trạng thái cơ bản đã biết có giá trị là -0.5. Về nguyên tắc ta có thể tính tiếp các bổ chính cao hơn và xem kết quả hội tụ đến giá trị chính xác. Trong phần tiếp theo ta sẽ giải chính xác bằng số, tuy nhiên sử dụng sơ đồ vòng lặp thay vì sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn chúng ta tiết kiệm tài nguyên tính toán hơn rất nhiều (Hoàng 2004). 5.2. Nghiệm chính xác bằng số Trước tiên ta sẽ xây dựng sơ đồ vòng lặp giải phương trình Schrodinger. Hàm sóng chính xác có thể viết dưới dạng chuổi theo bộ hàm cơ sở như sau: + n = n +  Ck k (36) k =0 ( k  n ) Ta gọi hàm sóng gần đúng đến bậc (s) có dạng sau: n+ s  (n ) = n +  Ck ) k . (s s (37) k =0 ( k  n ) Thay (37) vào phương trình (6) rồi nhân hai vế từ bên trái với trạng thái n ta thu được: n+ s  ns ) = H n , n + (  Ck )Vnk (s (38) k =0 ( k  n ) 246
Tương tự như trên nhưng thay vì n ta nhân với j , ( j  n, j  n + s ) , ta được: n+ s C (j s ) ( H jj −  n ( s ) ) +  Ck )V jk = −V jn . (s (39) k =0 ( k  n , k  j ) Ta thấy (39) là một hệ gồm (n + s ) phương trình tuyến tính với (n + s ) nghiệm C (j ) , j  n, j  n + s . Ta giải hệ phương trình (38), (39) theo sơ đồ vòng lặp như sau: s ( 0) (0) C (j ) = 0 ,  n = H n,n 0 (1) V jn (1) C j = − , j = 0,..., n − 1, n + 1 , ( H jj −  n (0) ) n +1  n1) = H n,n + (  Ck )Vnk (1 k =0 ( k  n )  n +1   Ck( )V jk  , j = 0,1, 2,..., n − 1, n + 1, n + 2 1 = (1)  V jn + 1 (2) C (2) j  n − H jj  k =0 ( k  n , k  j )    n+2  n2 ) = H n,n + (  Ck )Vnk (2 k =0 ( k  n )  n + s −1   Ck( )V jk  , j  n, j  n + s 1 s −1 (s) C (j s ) = ( s −1)  V jn + n − H jj  k =0 ( k  n , k  j )    n+ s  ns ) = H n , n + (  Ck )Vnk (s k =0 ( k  n ) Ứng dụng cho trạng thái cơ bản ta được kết quả như trong bảng 2. Bảng 2: Trị riêng bằng sơ đồ vòng lặp s  0s ) ( s  0s ) ( 1 - 0.424413 150 - 0.499746 5 - 0.479114 200 - 0.499833 10 - 0.489677 300 - 0.499908 15 - 0.493796 400 - 0.499939 20 - 0.495718 500 - 0.499956 25 - 0.496816 600 - 0.499967 30 - 0.497511 700 - 0.499973 40 - 0.498325 800 - 0.499978 50 - 0.498773 900 - 0.499981 60 - 0.499052 1000 - 0.499984 70 - 0.499238 1100 - 0.499986 80 - 0.499371 1200 - 0.499988 90 - 0.499468 1300 - 0.499989 100 - 0.499543 1343 - 0.499990 Như vậy ta thấy phương pháp toán tử với sơ đồ vòng lặp cho ta hội tụ đến kết quả chính xác, cụ thể là với 1343 vòng lặp ta có năng lượng chính xác đến năm chữ số sau dấu phẩy 247
 01343) = −0.499990 . Tuy số vòng lặp lớn nhưng số lượng tính toán ít hơn khi sử dụng sơ đồ ( lý thuyết nhiễu loạn là vì với mỗi bậc nhiễu loạn ta đều có tổng vô số hạn và tốc độ hội tụ của các tổng đó cũng không cao. Cần chú ý rằng kết quả trên là ta dùng tham số  tính theo công thức biến phân (35). Ta có thể chọn  bằng cách thử sao cho tốc độ hội tụ cao nhất. Sự phụ thuộc của tốc độ hội tụ vào tham số  được đưa ra trong Bảng 3. Trong bảng này đưa ra số vòng lặp ứng với mỗi giá trị tham số  sao cho ta có kết quả chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy. Kết quả trên còn được minh họa bằng đồ thị trong hình 1. Qua bảng 3 và hình 1 ta nhận thấy giá trị  nằm trong khoảng 3.1    4.6 bài toán hội tụ về giá trị chính xác nhanh nhất (khoản 200 vòng lặp để được độ chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy). Bảng 3: Phụ thuộc tốc độ hội tụ vào tham số  . ω S ω S 0.565884 1343 4.244131 200 0.848826 895 4.583662 197 1.131768 681 4.640250 238 1.697652 429 4.753427 359 2.546479 307 4.866604 546 3.395305 247 4.979781 1289 3.961189 202 Hình 1: Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc số vòng lặp vào giá trị của  6. KẾT LUẬN Việc sử dụng phương pháp toán tử FK-OM để giải bài toán nguyên tử hydro, ta thu được các kết quả sau: - Phương pháp toán tử kết hợp phép biến đổi Laplace ứng dụng cho việc giải phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro, với việc sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn hay sơ đồ vòng lặp, cho phép ta thu được trị riêng chính xác bằng số. 248
- Vì cách giải rất tổng quát, không cần tính đến đặc điểm riêng của Hamiltonian, cho nên chúng ta có thể kỳ vọng là kết luận này áp dụng cho các bài toán nguyên tử khác. - Tham số tự do  rất quan trọng trong việc nâng cao tốc độ hội tụ đến nghiệm chính xác khi sử dụng phương pháp toán tử với trong sơ đồ vòng lặp. - Kết quả trên cho thấy mặc dù sử dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn nhưng chúng ta không cần xét đến điều kiện áp dụng của lý thuyết nhiễu loạn, vì cách tách toán tử Hamilton không phụ thuộc vào đặc điểm vật lý của hệ, nên chúng ta sẽ áp dụng để khảo sát bài toán nguyên tử hydro trong từ trường có cường độ bất kì. Như vậy thông qua bài toán có thể giải được chính xác, bài toán nguyên tử hydro, ta đã có thể kiểm chứng được tính đúng đắn của phương pháp toán tử FK và có thể áp dụng phương pháp này cho các hệ vật lý khác. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Arteca, G. A., Fernández, F. M., & Castro, E. A. (1986). Further comments on the modified operator method. Physics Letters A, 119(4), 149-152. 2. Đặng Quang Khang (2006), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Khoa học kĩ thuật. 3. Fernandez, F. M., & Castro, E. A. (1982). Comment on the operator method and perturbational solution of the Schrödinger equation. Physics Letters A, 91(7), 339-340. 4. Feranchuk, I., & Ivanov, A. (2004). Operator method for nonperturbative description of quantum systems. In ÉTudes On Theoretical Physics: Collection of Works Dedicated to 65th Anniversary of the Department of Theoretical Physics of Belarusian State University (pp. 171-188). 5. Feranchuk, I. D., & Komarov, L. I. (1982). The operator method of the approximate solution of the Schrödinger equation. Physics Letters A, 88(5), 211-214. 6. Feranchuk, I. D., Komarov, L. I., Nichipor, I. V., & Ulyanenkov, A. P. (1995). Operator method in the problem of quantum anharmonic oscillator. Annals of physics, 238(2), 370-440. 7. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, Ngô Đình Nguyên Thạch, Lê Thị Ngọc Anh, Lê Trần Thế Duy, Lê Văn Hoàng (2004), Phương pháp toán tử cho bài toán tương tác điện tử- lỗ trống của khí điện tử hai chiều với sự có mặt của từ trường và thế màn chắn, Tạp chí khoa học ĐH Sư phạm TP HCM, Phần Khoa học TN, số 4, tr 60-73. 8. López Vieyra, J. C., & Pilón, H. O. (2008). Hydrogen atom in a magnetic field: electromagnetic transitions of the lowest states. Revista mexicana de física, 54(1), 49-57. 9. Le Van Hoang, Hoang Do Ngoc Tram, Lu Thanh Trung (2005), Analytical solution of 2D exciton in a magnetic field, Comm. Phys., Suppl. 2005, 101-106. 10. Nguyen, D. A. P., Ly, D. N., Le, D. N., Hoang, N. T. D., & Le, V. H. (2019). High-accuracy energy spectra of a two-dimensional exciton screened by reduced dimensionality with the presence of a constant magnetic field. Physica E: Low-Dimensional Systems and Nanostructures, 113, 152-164. 11. Nguyễn Phương Duy Anh (2010), Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong từ trường với cường độ bất kỳ (luận văn Thạc sĩ), Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Thành phố Hồ Chí Minh. 12. Van Hoang, L., Duy, L. T. T., Tram, H. D. N., Thach, N. D. N., & Anh, L. T. N. (2004). Exact Solution of Two-Dimensional Screened Donor State in a Magnetic Field. arXiv preprint cond-mat/0410382. 249