intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Phương trình thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi micropolar đẳng hướng chứa biên phân chia độ nhám cao

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST
Báo xấu
3
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của bài viết là tìm ra các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi micropolar đẳng hướng trong miền hai chiều chứa biên phân chia độ nhám cao. Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa, viết các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi micropolar dưới dạng ma trận, tác giả thu được các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi micropolar đẳng hướng chứa biên phân chia độ nhám cao

  1. Phương trình thuần nhất hóa của lý thuyết đàn hồi micropolar đẳng hướng chứa biên phân chia độ nhám cao Homogenized equations of the theory of isotropic micropolarelasticity with very rough interfaces Nguyễn Thị Kiều Tóm tắt 1. Giới thiệu Các bài toán biên hay biên phân chia độ nhám cao xuất hiện nhiều trong thực Mục đích chính của bài báo là tìm ra các tế. Tuy nhiên, các bài toán này không có lời giải giải tích. Một số tác giả đã giải phương trình thuần nhất hóa dạng hiện của bằng phương pháp số [1][2] nhưng việc mô phỏng số rất khó khăn vì ở miền gần lý thuyết đàn hồimicropolarđẳng hướng biên cần nhiều nút lưới và cấu trúc lưới không xác định, nghiệm số có tính ổn định trong miền hai chiềuchứa biên phân chia không cao. Để vượt qua khó khăn này, các nhà khoa học đã đưa ra ý tưởng thay độ nhám cao. Sử dụng phương pháp thuần thế biên phân chia độ nhám cao bởi các biên phẳng bằng cách thay miền chứa nhất hóa, viếtcác phương trình cơ bản của biên phân chia có độ nhám cao bằng một lớp vật liệu mới có biên là phẳng. Đó lý thuyết đàn hồi micropolar dưới dạng chính là ý tưởng chính để giải quyết bài toán thuần nhất hóa biên phân chia có độ ma trận, tác giả thu được các phương trình nhám cao. Về mặt toán học, ta cần tìm các phương trình vi phân đạo hàm riêng thuần nhất hóa dạng hiện. Các phương trình mô tả chuyển động của lớp vật liệu mới. Các phương trình này được gọi là các thuần nhất hóa thu được có dạng hiện nên phương trình thuần nhất hóa. rất thuận tiện để giải các bài toán thực tế. Năm 1997, Nevard và Keller [3] nghiên cứu thuần nhất hóa biên phân chia có Từ khóa: sự thuần nhất hóa, phương trình thuần độ nhám cao trong miền ba chiều dao động giữa hai mặt phẳng song song của nhất hóa, đàn hồimicropolar, đẳng hướng hai vật thể đàn hồi dị hướng tuyến tính. Các tác giả đã thu được các phương trình thuần nhất hóa dưới dạng ẩn. Năm 2003, Gilbert và Ou [4] nghiên cứu sự thuần nhất hóa đối với biên phân chia độ nhám cao ba chiều phân chia hai vật thể đàn Abstract hồi xốp và các phương trình thuần nhất hóa thu được cũng ở dạng ẩn. Từ năm The main purpose of this paper is finding the 2010, Vinh và Tung [5], đã sử dụng các phương trình cơ bản và điều kiện biên explicit homogenized equations of the isotropic dạng ma trận để tìm các phương trình thuần nhất hóa. Với cách tiếp cận này, elasticity micropolar theory with very rough các tác giả đã tìm được các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện đối với bài interfaces. Using the homogenization method toán biên phân chia có độ nhám cao dao động giữa hai đường thẳng song song, hai đường tròn đồng tâm của các lý thuyết đàn hồi, đàn điện và đàn nhiệt. Các with the matrix formulation of the theory of phương trình thuần nhất hóa dạng hiện nghĩa là các hệ số của chúng là các hàm micropolar elasticity, the explicit homogenized hiển của các tham số vật liệu và đặc trưng hình học của biên phân chia. Vì vậy, equations have been derived. Since the obtained các kết quả đạt được rất thuận tiện để giải quyết các bài toán thực tế khác nhau. equations are totally explicit, they are very Do vậy, mục tiêu chính trong bài báo này là tìm các phương trình thuần nhất convenient for solving practical problems. hóa dạng hiện của lý thuyết đàn hồi micropolar đẳng hướng. Để đạt được mục Key words: homogenization, homogenized đích này, tác giả sử dụng phương pháp thuần nhất hóa cùng các phương trình cơ equation, micropolar, isotropic bản dạng ma trận của lý thuyết đàn hồi micropolar đẳng hướng. Bài báo thu được các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng thành phần của lý thuyết đàn hồi micropolar đẳng hướng. 2. Các phương trình cơ bản và điều kiện liên tục dạng ma trận Giả sử biên phân chia độ nhám cao L phân chia hai vật thể đàn hồi micropolar đẳng hướng. Khi đó biên phân chia được biểu diễn bởi x2 = h( x1 /  ), 0 < 
  2. KHOA H“C & C«NG NGHª Hình 1. Biên phân chia độ nhám cao = u= u 2 (x1 , x 2 , t), u1 1 (x1 , x 2 , t), u2 Σ1,1 + Σ 2,2 + Bu,1 + Du,2 + Eu + F = ρ u . .. (9) = φ (x1 , x 2 , t), u 3 ≡ φ1 ≡ φ2 ≡ 0. φ3 (3) Phương trình (6) (hay (9)) là phương trình cơ bản dạng Với trạng thái biến dạng phẳng (3) thì phương trình ma trận của lý thuyết đàn hồi micropolar. Các phương trình chuyển động (1) và phương trình trạng thái (2) có dạng sau: (8) có thể được xem như các phương trình trạng thái. (+) t11,1 + t 21,2 += ρ 1 , t12,1 + t 22,2 + = ρ  2 , ρ f1 u ρ f2 u Giả sử hai miền Ω và Ω( − ) gắn chặt với nhau dọc theo L, khi đó điều kiện liên tục m + m + t − t + ρ l =φ ρ j  13,1 23,2 12 21 3 (4) [φ ]L = 0,[uk ]L 0,[t1k n1 + t2 k n2 ]L = t11 = (λ + 2 µ + κ )u1,1 + λ u 2,2 , t 22 = λ u1,1 + (λ + 2 µ + κ )u 2,2 , = 1k n1 + m2 k n2 ]L = = 0,[m 0, k 1,3 (10) t12 = 1,2 + ( µ + κ )u 2,1 − κφ , t 21 = + κ )u1,2 + µ u 2,1 + κφ , µu (µ phải thỏa mãn, trong đó nk là véctơ pháp tuyến đơn vị = γφ,1 , m 23 γφ,2 m13 = của đường cong L và ký hiệu bước nhảy [ f ]L : f − f . = + − (5) Các điều kiện liên tục (10) được biểu diễn dưới dạng ma Các phương trình (4) được viết dưới dạng ma trận như trận như sau: sau: [u= 0, A u + A u + Gu n ] L [( 11 ,1 21 ,2 ) ] 1 L ( A11u,1 + A12u,2 + Gu ),1 + ( A 21u,1 + A 22u,2 + Hu ),2 + [(A 12 u,1 + A 22 u,2 + Hu)n ] 2 L 0. = .. (11) +Bu,1 + Du,2 + Eu + F = ñu Theo Bensoussan và các cộng sự, (6) trong đó: giả sử u( x1 , x2 , , t ) = U ( x1 , y, x2 , , t ) và biểu diễn U dưới dạng sau [4]: λ + κ + 2µ 0 0 0 λ 0  A11=  0   κ + µ 0  , A12 = µ 0  0 , U =  ( N1V + N11V,1 + N12 V,2 ) V+   0 0 γ 0 0  0  +  2 (N 2 V + N 21V,1 + N 22 V,2 + N 211V,11 + N 212 V,12 + N 222 V,22 )  0 µ 0 κ + µ 0 0 + O( 3 ) = λ 0 0 =  0 A 21   , A 22  λ + κ + 2µ 0 ,   0 0 0  0 0 γ (12)     trong đó V = V ( x1 , x2 , t ) (không phụ thuộc y), các ma 0 0 0  0 0 0 trận 4 × 4 N , N , N , 1 11 12 B 0 0 0 , D    (7) = =  0 0 0 , N 2 , N 21 , N 22 , N 211 , N 212 , N 222 là các hàm của y và x1 0 κ 0   −κ 0 0   (không phụ thuộc x1 và t) và tuần hoàn theo y với chu kỳ 1. 0 0 0  0 0 0  0 0 κ Sử dụng phương pháp thuần nhất hóa [5], ta thu được E  = 0 0 0 = 0 0 − κ  , H = 0 0 , G     0 ,  các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng ma trận  0 0 −2 κ    0 0 0     0 0  0 như sau: = [ρf1 ρf 2 ρl3 ] , u [u1 u 2 φ] , ρ diag[ρ F = = T T ρ ρj]. Với x2 < 0 và x2 > H : ( A11 ) V,1 (± + A12 ) V,2 (± + G (±) V ) ,1 ( ) T T Đặt Σ1 =t11 t12 m13 ] và Σ 2 = 21 [ [t t22 m23 ] . Khi + A ( ± ) V,1 + A ( ± ) V,2 +H V (±) (13) 21 22 đó hai véctơ này được tính như sau: ,2 .. = A11u,1 + A12 u,2 + Gu,= A 21u,1 + A 22 u,2 + Hu. Σ1 Σ2 + B ( ± ) V,1 + D( ± ) V,2 + E( ± ) V + F ( ± ) =V ρ( ± ) (8) Với 0 < x2 < H : Phương trình (6) biểu diễn qua Σ k có dạng: 30 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C & XŸY D¼NG
  3. −1 −1 −1 −1 ( 〈 A11 〉 −1 V,11 + 〈 A11 〉 −1 〈 A11 A12 〉 V,12 + 〈 A 21A11 〉〈 A11 〉 −1 V,1 −1 ) ,2  1,11 (( 〈 a −1 〉 −1V + 〈b〉 + 〈b −1 〉 −1 〈 µ b −1 〉 2 − 〈 µ 2 b −1 〉 V ) ) 1,2 ,2 +{(〈 A 〉 + 〈 A A 〉〈 A 〉 〈 A A 〉 − 〈 A A A 22 21 −1 11 −1 −1 11 −1 11 12 21 −1 11 12 〉)V } ,2 ,2  −1 −1 −1 ( −1 −1 +〈 a 〉 〈λ a 〉V2,12 + 〈b 〉 〈 µ b 〉V2,1 ,2 −1 ) +(〈 BA 〉〈 A 〉 + 〈 A 〉 〈 A G 〉)V  (( ) ) −1 −1 −1 −1 −1 −1 .. 11 11 11 11 ,1 + 〈κ 〉 + 〈κµ b −1 〉 − 〈b −1 〉 −1 〈κ b −1 〉〈 µ b −1 〉 Φ ,2 + 〈 f1 〉 = 〈 ρ 〉 V1 , +(〈 D〉 + 〈 BA 〉〈 A 〉 〈 A A 〉 − 〈 BA A 〉)V  ( ) −1 −1 −1 −1 −1 11 11 11 12 11 12 ,2 〈b −1 〉 −1 〈 µ b −1 〉V + 〈 a −1 〉 −1 〈 λ a −1 〉V −1 −1  1,12 1,1 ,2 + 〈b 〉 V2,11 +{(〈 A A 〉〈 A 〉 〈 A G 〉 − 〈 A A G 〉 + 〈 H〉)V} −1 −1 −1 −1 −1 21 11 11 11 21 11 ,2  (( −1 −1 −1 2 2 −1 ) ) + 〈 a〉 + 〈 a 〉 〈 λ a 〉 − 〈 λ a 〉 V2,2 ,2 − 〈b 〉 〈κ b 〉Φ ,1 −1 −1 −1 +(〈 E〉 + 〈 BA 〉〈 A 〉 〈 A G 〉 − 〈 BA G 〉)V + 〈 F〉 = 〈ρ〉 V .. −1 −1 −1 −1 −1  .. 11 11 11 11 +〈 f 〉 = 〈 ρ 〉 V , 2 2 (14)  Chú ý rằng  ( )  〈b −1 〉 −1 〈κ b −1 〉〈 µ b −1 〉 − 〈κµ b −1 〉 − 〈κ 〉 V + 〈b −1 〉 −1 〈κ b −1 〉V 1,2 2,1 〈φ 〉 = 1 ∫ (φ )dy 0 = ( y2 − y1 )φ ( + ) + (1 − y2 + y1 )φ ( − ) (15)  −1 −1 ( ) ( 2 −1 +〈γ 〉 Φ ,11 + 〈γ 〉Φ ,2 ,2 + 〈κ b 〉 − 〈b 〉 〈κ b 〉 − 2〈κ 〉 Φ −1 −1 −1 2 )   Trên các đường thẳng x2 = 0, x2 H , = điều kiện liên +〈l3 〉 = 〈 ρ j 〉Φ tục được thỏa mãn:  (19) [ V ]L* = 0, [ Σ 0 ]L* = 0, L* : x2 = 0, x2 = H 2 trong đó 0 0 0 V1 , V2 , t21 , t23 , Φ, m23 , (20) (16) trong đó Điều kiện liên tục: 0 0 0 Các đại lượng V1 , V2 , t21 , t23 , Φ, m23 , liên tục trên các Σ0 = 2 [〈 A 21 A111 〉〈 A111 〉 −1 〈 A111G 〉 − 〈 A 21 A111G 〉 + 〈 H〉 ]V − − − − đường: x2 H , x2 0 : = = + 〈 A 21 A111 〉〈 A111 〉 −1 V,1 − − 0 0 [Vk ]L* = 0, [t2 k ]L* = 0, k = 1, 2, [Φ ]L* = 0, [m23 ]L* = 0 (21) + [〈 A 22 〉 + 〈 A 21 A111 〉〈 A111 〉 −1 〈 A111 A12 〉 − 〈 A 21 A111 A12 〉 ]V,2 − − − − Nhận xét: (17) Nếu hai miền Ω + , Ω _ giống nhau = φ= φ ( − ) , thì φ (+) các phương trình (18), (19) trùng nhau. 3. Các phương trình thuần nhất hóa dạng hiện dạng thành phần 4. Kết luận Thay các ma trận Trong bài báo này, tác giả đã sử dụng phương pháp (+) (+) thuần nhất hóa để thu được các phương trình thuần nhất A ( + ) , B ( + ) , D( + ) , hk E (+) ,G ,H ( A ( − ) , B ( − ) , D( − ) , hk E (−) , hóa dạng hiện đối với biên phân chia độ nhám cao giữa hai (-) (-) miền đàn hồi micropolar đẳng hướng. Các phương trình G ,H ) thuần nhất hóa dạng hiện và các điều kiện liên tục tương trong (7) vào các phương trình thuần nhất hóa dạng ma ứng được viết cụ thể dưới dạng thành phần. Các phương trận (13), (14), ta thu được các phương trình thuần nhất hóa trình thuần nhất hóa dạng hiện thu được rất thuận tiện để dạng hiện dạng thành phần như sau: nghiên cứu bài toán phản xạ, khúc xạ của sóng đối với biên Với x2 > H và x2 > H : phân chia độ nhám cao trong môi trường đàn hồi micropolar đẳng hướng./. (λ ( ± ) + 2 µ ( ± ) + κ ( ± ) )V1,11 + ( µ ( ± ) + κ ( ± ) )V1,22  +(λ ( ± ) + µ ( ± ) )V2,12 + κ ( ± ) Φ ,2 + ρ ( ± ) f1 T¿i lièu tham khÀo  1. Talbot J.R.S., Titchener J.B., Willis J.R. (1990), “The reflection  = ρ ( ± )V1 of electromagnetic waves from very rough interfaces”, Wave  (±)  (±) (±) (±) Motion 12, pp. 245-260. (λ + µ )V1,12 + ( µ + κ )V2,11 18) ( 2. Zaki K.A., Neureuther A.R. (1971), “Scattering from a  (±) (±) (±) (±) (±) perfectly conducting surface with a sinusoidal hight profile: TE +(λ + 2 µ + κ )V2,22 − κ Φ ,1 + ρ f 2 polarization”, IEEE Trans Atenn Propag 19, pp. 208-214.   = ρ ( ± )V2 − κ ( ± )V1,2 + κ ( ± )V2,1 + γ ( ± ) Φ ,11 + γ ( ± ) Φ ,22  3. Nevard J., Keller J.B. (1997), “Homogenization of rough boundaries and interfaces”, SIAM J Appl Math 57, pp. 1660-  (±) (±) ( ± )   − 2κ Φ + ρ = ρ jΦ  l3 1686. 4. Gilbert R., Ou M., (2003) “Acoustic wave propagation in (+) trong đó dấu (+) ứng với bán không gian Ω , dấu (-) a composite of two different poroelastic materials with a ứng với bán không gian 0 < x < H . 2 very rough periodic interface: A homogenizationapproach”, International Journal for Multiscale Computtational Với 0 < x2 < H : Engineering 1, pp. 431-440. 5. Vinh P.C., Tung D.X. (2010), “Homogenized equations of the linear elasticity in two-dimensional domains with very rough interfaces”, Mechanics Research Communications 37, pp. 285-288. 6. Eringen A.C. (1999) Microcontinuum Field Theories, I. Foundations and Solids, Springer. S¬ 53 - 2024 31
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2428 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
7=>1