Sáng kiến kinh nghiệm: Định lý Mê-nê-la-uyt

I- LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.<br /> 1. Lí do khách quan:<br /> Như ta đã biết Toán học là cơ sở của ngành khoa học và công nghệ. Trong bối<br /> cảnh của cuộc cách mạng công nghệ thông tin, trong xu thế tiến tới một xã hội thông<br /> tin thì vốn hiểu biết định lượng và văn hóa tính toán do giáo dục toán học đem lại sẽ<br /> cần cho mọi lực lượng lao động trong khoa học công nghệ và quản lý “ Dù khó khăn<br /> đến đâu cũng phải tiếp tục thi đua dạy tốt và học tốt. Trên nền tảng giáo dục chính trị<br /> và lãnh đạo tư tưởng tốt phải nâng cao chất lượng văn hóa và chuyên môn nhằm thiết<br /> thực giải quyết các vấn đề do cách mạng nước ta đề ra và trong thời gian không xa đạt<br /> đỉnh cao của khoa học và kỹ thuật”.<br /> Thực tế nước ta và trên thế giới cho thấy. Nhiều học sinh giỏi Toán đã trở thành<br /> chuyên gia giỏi trong nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật, kinh tế quản lý và cả chính<br /> trị nữa. Xét về khía cạnh đào tạo con người, việc học tập môn Toán là một phương<br /> cách tốt để rèn luyện tư duy logic, tư duy sáng tạo, óc phê phán, để phát triển khả năng<br /> phân tích tìm kiếm. Toán học là một môn ngôn ngữ phổ quát mà mọi dân tộc trên thế<br /> giới đều có thể chia sẻ với nhau. Là một công cụ đầy sức mạnh cho khoa học và đời<br /> sống, toán học là một môn thể thao trí tuệ có sức hấp dẫn, thách thức tuổi trẻ không<br /> thua kém các trò chơi thể thao khác.<br /> 2. Lí do chủ quan:<br /> Học toán mà đặc biệt là môn hình học, mỗi học sinh đều cảm thấy có những khó<br /> khăn riêng của mình. Nguyên nhân đó là nhiều học sinh chưa nắm vững các khái niệm<br /> cơ bản; các định lý; các tính chất của hình học. Chính vì vậy tôi đã chọn cho mình một<br /> sáng kiến kinh nghiệm mà ở đó chỉ gói gọn trong một đề tài nhỏ (bàn về định lý Mênê-la-uyt ) nhằm giúp các em hiểu sâu hơn về định lý Mê-nê-la-uyt, một công cụ hỗ trợ<br /> đắc lực khi giải các bài toán về hình học.<br /> Khi nhắc đến định lý Mê-nê-la-uyt, học sinh (ngay cả giáo viên Toán) thường<br /> nghĩ đây là một định lý khó, không phổ biến, ít áp dụng được nhiều cho hình học thuần<br /> túy. Có lần tôi hỏi học sinh giỏi ở trường rằng: Em có biết định lý Mê-nê-la-uyt<br /> không? Có vận dụng định lý đó để giải các bài toán hình học không? Đa phần nói<br /> không hoặc nếu có biết thì cũng không biết cách nào để vận dụng giải các bài toán hình<br /> học. Đôi khi có ý kiến duy ý chí cho rằng đã giải được bằng hình học thuần túy rồi thì<br /> giải chi bằng Mê-nê-la-uyt cho mệt ?<br /> Đúng là Mê-nê-la-uyt khó thật, nó phức tạp và khó nhớ hơn các định lý khác.<br /> Theo tôi sở dĩ nó phức tạp và khó nhớ hơn các định lý khác là vì nó không được học<br /> trong chương trình phổ thông THCS mà chỉ dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi, khó nhớ<br /> bởi chúng ta ít vận dụng về nó, cũng như trước đây ta thấy khó vì chưa thân thuộc với<br /> Talet, với Pi-Ta-Go. Qua bài viết này, tôi mong muốn các em học sinh và các bạn yêu<br /> toán hãy đổi cách nhìn về nó, xem nó là một người bạn thân thiết, song hành cùng với<br /> định lý Ta-Let, định lý Pitago.... mà ta đã được biết từ lâu.<br /> <br /> II/ MỤC ĐÍCH:<br /> Trong quá trình dạy toán của mình, tôi thấy đa số học sinh hay thỏa mãn trong<br /> học tập, bằng lòng và kết thúc công việc giải một bài toán hình học khi đã tìm được<br /> một cách giải nào đó, chưa chú ý tìm tòi cách giải khác. Học thuộc bài một cách cứng<br /> 1<br /> Đoàn Cát Nhơn<br /> <br /> nhắc, không chịu suy nghĩ để các kiến thức thu được trở thành kiến thức sống, linh<br /> hoạt, sẵn sàng vận dụng trong bất cứ trường hợp nào - Đây là một điều rất nguy hiểm<br /> trong việc học toán (cũng như học các môn học khác).<br /> Ta trong lớp được gọi là "Tuổi trẻ ", mà tuổi trẻ nói chung thì có nhiều sáng tạo.<br /> Học toán cũng vậy, chúng ta không phải chỉ học y như trong sách, hoặc chỉ làm những<br /> bài tập các thầy cô ra, như thế chưa đủ. Khi học đến một vấn đề nào đó, các em hãy<br /> suy nghĩ, tìm tòi, phát hiện thêm cách giải mới hoặc suy rộng ra xem vấn đề này có<br /> liên quan gì đến các vấn đề khác và trên cơ sở đó rút ra được những điều bổ ích gì.<br /> Phải luôn luôn luyện tập quan sát, mò mẫm, dự đoán... tức là tập dược làm những việc<br /> mà một người nghiên cứu toán học phải làm, mà cụ thể là nghiên cứu Định lý Mê-nêla-uyt để áp dụng giải các bài toán hình học thông thường và ngược lại. Đây chính là<br /> mục đích mà tôi muốn gửi đến các em học sinh cấp THCS trong sáng kiến kinh<br /> nghiệm của mình.<br /> <br /> III/ CƠ SỞ VÀ THỜI GIAN TIẾN HÀNH:<br /> Một thực trạng ở trường THCS Nhơn Lộc trước đây và hiện nay là:<br /> 1/ Về phía giáo viên:<br /> + Thiên về cung cấp bài giải cho học sinh một cách thụ động, chưa chú trọng dạy học<br /> sinh giải toán hình học.<br /> + Ít chú ý hướng dẫn học sinh suy nghĩ tìm tòi cách giải khác, hay hơn hoặc khai thác<br /> thêm ở bài toán vừa giải để phát huy tư duy sáng tạo trong học sinh.<br /> + Thường chú ý số lượng hơn chất lượng bài giải.<br /> 2/ Về phía học sinh:<br /> + Rất lúng túng trước đề bài toán hình học: Không biết làm gì, bắt đầu từ đâu, không<br /> phân biệt những cái đã cho với cái cần tìm.<br /> + Suy luận hình học còn kém, chưa hiểu thế nào là chứng minh, lập luận thiếu căn cứ,<br /> không chính xác lấy điều cần chứng minh làm giả thiết, suy nghĩ rất hời hợt máy móc.<br /> + Trình bày bài giải hình học không tốt: Hình vẽ không rõ ràng, chính xác, ngôn ngữ<br /> và kí hiệu tùy tiện, câu văn lủng củng không gọn, thiếu lo-gic.<br /> Nhằm khắc phục phần nào những khuyết điểm trên đây tôi mạnh dạn nêu ra sáng<br /> kiến này, từ đó thống nhất ý kiến với nhau: Khi làm toán cần phải suy nghĩ sáng tạo,<br /> sáng tạo để khám phá ra những điều mà chưa ai bảo cho ta. Kinh nghiệm thể hiện trong<br /> sáng kiến được đúc kết qua 5 năm giảng dạy môn Toán tại trường THCS Nhơn Lộc,<br /> đặc biệt là năm học 2007 - 2008.<br /> <br /> IV/ ĐỊNH LÝ MÊ-NÊ-LA-UYT VÀ CÁC BÀI TOÁN<br /> .<br /> Dưới đây là nội dung Định lý và các bài toán được giải theo hai cách nhằm giúp<br /> ta thấy được cái ưu khi sử dụng định lý. Đây cũng là biện pháp chính của sáng kiến phương pháp suy nghĩ sâu sắc và sáng tạo ( được giới thiệu theo cấp độ từ dễ đến khó<br /> để bạn đọc tiện theo dõi ), luyện tập thói quen tò mò, thích khám phá ra những cái mới,<br /> cái đó cần thiết để chúng ta chẳng những trở thành một học sinh giỏi toán mà còn giỏi<br /> ở bất kì một môn học nào khác.<br /> 1/ Định lí Mê-nê-la-uyt:<br /> 2<br /> <br /> Đoàn Cát Nhơn<br /> <br /> Cho tam giác ABC và ba điểm M, N, P trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA,<br /> AB sao cho: hoặc cả ba điểm nằm trên phần kéo dài của ba cạnh; hoặc một điểm nằm<br /> trên phần kéo dài của một cạnh, còn hai điểm kia nằm trên hai cạnh của tam giác. Điều<br /> kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng là:<br /> <br /> MB NC PA<br /> .<br /> .<br /> =1<br /> MC NA PB<br /> <br /> (1)<br /> <br /> Chứng minh:<br /> Trường hợp 1: Trong ba điểm M, N, P có đúng hai điểm thuộc cạnh của tam giác, giả<br /> sử N và P.<br /> Phần thuận: Giả sử M, N, P thẳng hàng. Ta chứng<br /> A<br /> minh (1).<br /> PA<br /> AN MB<br /> BD<br /> =<br /> ;<br /> =<br /> PB<br /> BD MC<br /> NC<br /> MB NC PA<br /> BD NC AN<br /> .<br /> .<br /> =<br /> .<br /> .<br /> = 1 ( đpcm).<br /> MC NA PB<br /> NC NA BD<br /> <br /> Kẽ BD // AC ( D ∈ MN). Ta có:<br /> Suy ra:<br /> <br /> Phần đảo: Ngược lại, giả sử N, P nằm trên hai cạnh<br /> AC và AB của tam giác ABC; M nằm trên phần kéo<br /> dài của BC. Gọi M' là giao điểm của NP và BC, suy ra<br /> M' nằm trên phần kéo dài của BC. (1)<br /> Vì M' , N, P thẳng hàng nên ta có:<br /> M ' B NC PA<br /> MB NC PA<br /> M'B<br /> MB<br /> .<br /> .<br /> =1 =<br /> .<br /> .<br /> ⇒<br /> =<br /> M ' C NA PB<br /> MC NA PB<br /> M ' C MC<br /> <br /> .<br /> <br /> N<br /> P<br /> D<br /> M<br /> C<br /> <br /> B<br /> <br /> (2)<br /> <br /> Từ (1) và (2) suy ra M ' ≡ M . Hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.<br /> Trường hợp 2: Cả ba điểm M, N, P đều nằm trên phần kéo dài của ba cạnh chứng minh<br /> tương tự.<br /> 2/ Bài tập vận dụng:<br /> Bài toán 1: Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến BD ( D ∈ AC). Trên tia AB lấy một<br /> điểm E sao cho AE = 2BE; CE cắt BD tại F. Chứng minh EF<br /> <br /> =<br /> <br /> 1<br /> CE<br /> 4<br /> <br /> .<br /> <br /> Lời giải:<br /> Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt).<br /> Gọi M là trung điểm của AE, suy ra DM là đường trung bình của tam giác AEC<br /> ⇒ DM // EC và DM =<br /> <br /> EC<br /> 2<br /> <br /> ⇒ EF // MD ⇒ F là trung<br /> <br /> B<br /> <br /> điểm của BD ⇒ EF là đường trung bình của tam giác<br /> MD CE<br /> =<br /> BMD ⇒ EF =<br /> . (đpcm)<br /> 2<br /> <br /> Cách 2: ( dùng Mê-nê-la-uyt).<br /> Xét tam giác EAC với ba điểm B, F, D thẳng hàng.<br /> Ta có:<br /> <br /> E<br /> <br /> 4<br /> <br /> FE DC BA<br /> FE BE 1<br /> FE 1<br /> .<br /> .<br /> =1⇒<br /> =<br /> = ⇒<br /> =<br /> FC DA BE<br /> FC<br /> BA 3<br /> EC 4<br /> <br /> 3<br /> <br /> F<br /> M<br /> <br /> (đpcm).<br /> A<br /> <br /> D<br /> <br /> C<br /> <br /> Đoàn Cát Nhơn<br /> <br /> Bài toán 2: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua M và<br /> song song với phân giác của góc BAC cắt AC, AB lần lượt ở E và F. Chứng minh<br /> rằng CE = BF.<br /> Lời giải:<br /> Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt). Ta giải vắn tắt như<br /> sau:<br /> Từ AD // FM và ME // AD<br /> ⇒<br /> <br /> BA<br /> BF<br /> =<br /> BD BM<br /> <br /> (1);<br /> <br /> CE<br /> CA<br /> =<br /> CM<br /> CD<br /> <br /> F<br /> A<br /> E<br /> <br /> (2)<br /> <br /> Mặt khác theo tính chất đường phân giác có:<br /> BA<br /> CA<br /> =<br /> BD CD<br /> <br /> (3)<br /> <br /> Từ (1), (2) và (3) suy<br /> <br /> BF<br /> CE<br /> ra BM = CM ⇒ BF = CE<br /> <br /> B<br /> <br /> D<br /> <br /> C<br /> <br /> M<br /> <br /> (do BM = CM ).<br /> Cách 2: (dùng Mê-nê-la-uyt)<br /> Xét tam giác ABC với ba điểm F, E, M thẳng hàng ta có:<br /> EA MC FB<br /> .<br /> .<br /> =1<br /> EC MB FA<br /> <br /> Do<br /> <br /> (1)<br /> <br /> ^<br /> <br /> B nênC∆ AEF cân ở A. Suy ra AE = AF (2)<br /> A<br /> A = AF = E F<br /> 2<br /> ^ ^<br /> <br /> Từ (1) và (2) suy ra FB = EC. (đpcm)<br /> Bài toán 3: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB , AC lần lượt lấy các điểm E và F sao<br /> cho BE<br /> <br /> =<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> BA; AF = AC<br /> 4<br /> 5<br /> <br /> . Gọi M là giao điểm của BF và CE, cho biết SAMB = 2 ( đơn<br /> <br /> vị diện tích). Tính SABC ?<br /> <br /> ( Kí hiệu SXYZ là diện tích của tam giác XYZ).<br /> Lời giải:<br /> Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt).<br /> A<br /> Gọi A', C' là chân đường vuông góc hạ từ A, C xuống BF.<br /> Ta có:<br /> S EMB BE 1<br /> 1<br /> =<br /> = ⇒ S EMB =<br /> (đvdt)<br /> S AMB BA 4<br /> 2<br /> S BMC CC ' CF 1<br /> 1<br /> =<br /> =<br /> = ⇒ S BMC =<br /> S AMB<br /> AA' FA 4<br /> 2<br /> <br /> E<br /> A'<br /> <br /> (đvdt)<br /> <br /> M<br /> <br /> F C'<br /> <br /> B<br /> <br /> ⇒ SBEC = SEMB + SBMC = 1 (đvdt)<br /> <br /> C<br /> <br /> ⇒ S ABC = 4 S BEC = 4<br /> <br /> (đvdt)<br /> Cách 2: ( dùng Mê-nê-la-uyt).<br /> Gọi N, P là chân đường vuông góc hạ từ M, C xuống AB.<br /> Áp dụng Định lí Mê-nê-la-uyt vào tam giác AEC với cát<br /> tuyến BMF ta có:<br /> <br /> A<br /> P<br /> N<br /> E<br /> <br /> 4<br /> <br /> M<br /> <br /> F<br /> <br /> Đoàn Cát Nhơn<br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> BE FA MC<br /> 1 MC<br /> .<br /> .<br /> = 1 ⇒ .4.<br /> = 1 ⇒ MC = ME<br /> BA FC ME<br /> 4 ME<br /> S<br /> MN EM 1<br /> ⇒ AMB =<br /> =<br /> = ⇒ S ABC = 2S AMB = 4<br /> S ABC<br /> CP<br /> EC 2<br /> <br /> (đvdt).<br /> <br /> Bài toán 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Dựng về phía ngoài các hình vuông<br /> ABEF; ACPQ. Đường thẳng BP cắt đường cao AH của tam giác ABC tại O. Chứng<br /> minh rằng ba điểm C, O, E thẳng hàng.<br /> Lời giải:<br /> B<br /> E<br /> Cách 1: (không dùng Mê-nê-la-uyt)<br /> H<br /> Dựng hình chữ nhật AFMQ. Khi đó ∆ ABC = ∆ FAM<br /> (c-g-c)<br /> <br /> ^<br /> <br /> ^<br /> <br /> ^^^<br /> <br /> A<br /> <br /> ⇒ F + F + B A = 1 A A M8 B H0<br /> <br /> 0 . Suy ra 3 điểm M, A, H thẳng<br /> ⇒ A = BF CA M<br /> <br /> hàng. (1)<br /> Ta có: ∆ EBC = ∆ BAM (c-g-c)<br /> <br /> ^ ^<br /> <br /> O<br /> <br /> F<br /> <br /> M<br /> <br /> Q<br /> <br /> C<br /> <br /> P<br /> <br /> ⇒ B = ME ⇒ E C⊥BB C AM<br /> <br /> (2).<br /> <br /> Tương tự ta cũng có BP ⊥ MC (3).<br /> Từ (1), (2) và (3) suy ra EC, MH, BP là ba đường cao của tam giác BMC nên chúng<br /> đồng quy tại trực tâm của tam giác BMC. Nhưng BP cắt AH tại O hay O là trực tâm<br /> của tam giác BMC. Suy ra C, E, O thẳng hàng. (đpcm)<br /> B<br /> N<br /> E<br /> H<br /> Cách 2: ( dùng Mê-nê-la-uyt) Dựng hình chữ nhật<br /> K<br /> ABNC.<br /> O<br /> C<br /> Gọi K là giao điểm của EC và AB, lúc đó có: F<br /> A<br /> EB<br /> BK PO<br /> PC<br /> EB CN OP<br /> BK CN PC<br /> =<br /> ;<br /> =<br /> ⇒<br /> .<br /> .<br /> =<br /> .<br /> .<br /> =1.<br /> EN<br /> <br /> NC OB<br /> <br /> BK<br /> <br /> EN CP OB<br /> <br /> NC CP BK<br /> <br /> Hay ba điểm C, O, E thẳng hàng (đpcm)<br /> * Lời bàn:<br /> P<br /> Q<br /> 1/ Để vận dụng Định lý Mê-nê-la-uyt, ta cần phải<br /> tìm ra một tam giác sao cho 2 trong 3 điểm E, O, C<br /> nằm trên hai cạnh, 1 điểm còn lại nằm trên phần kéo dài. Nhờ đó ta nghĩ đến việc dựng<br /> hình chữ nhật ABNC.<br /> 2/ Nếu hay suy xét bài toán bằng con mắt nhạy bén, nhìn bài toán ở nhiều góc độ<br /> khác nhau ta có hai cách phát biểu khác cho bài toán trên như sau:<br /> Bài toán 1: Cho tam giác ABC, về phía ngoài dựng các tam giác vuông cân ABE<br /> (tại E); ACF (tại F). Chứng minh rằng CE, BF và đường cao AH của tam giác ABC<br /> đồng quy tại một điểm.<br /> Bài toán 2: Cho hình vuông ABCD. I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua I<br /> kẽ các đường thẳng song song với các cạnh của hình vuông cắt AB, BC, CD và DA lần<br /> lượt ở M, N, P, Q . Chứng minh rằng AN, CM và ID đồng quy tại một điểm.<br /> Điều này đơn giản bạn đọc tự kiểm tra.<br /> 5<br /> <br /> Đoàn Cát Nhơn<br /> <br />