NG D NG ĐNH LÝ VI-ET TRONG GI I TOÁNỨ Ụ Ị Ả
1. PH N M ĐUẦ Ở Ầ
1.1. Lý do ch n đ tài:ọ ề
Toán h c là m t b môn khoa h c t nhiên nghiên c u, có tính th c t cao, nhọ ộ ộ ọ ự ứ ự ế ả
h ng l n đn đi s ng con ng i. Các công trình nghiên c u khoa h c đu cho r ng:ưở ớ ế ờ ố ườ ứ ọ ề ằ
T t c các môn khoa h c khác đu liên quan m t thi t v i Toán h c. V n d ng ki nấ ả ọ ề ậ ế ớ ọ ậ ụ ế
th c Toán h c đ gi i thích các hi n t ng trong t nhiên và v n d ng vào th c tứ ọ ể ả ệ ượ ự ậ ụ ự ế
cu c s ng Mu n v y vi c gi ng d y Toán h c ph i h ng t i m t m c đích l n h n,ộ ố ố ậ ệ ả ạ ọ ả ướ ớ ộ ụ ớ ơ
thông qua vi c d y h c Toán mà h c sinh phát tri n trí tu , hình thành ph m ch t tệ ạ ọ ọ ể ệ ẩ ấ ư
duy c n thi t.ầ ế §æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ mét yªu cÇu tÊt yÕu, ®¶m b¶o cho
sù ph¸t triÓn cña gi¸o dôc. Ngµy nay nÒn kinh tÕ trÝ thøc cïng víi sù bïng næ
th«ng tin, gi¸o dôc ®· vµ ®ang thay ®æi ®Ó phï hîp víi sù ph¸t triÓn cña khoa
häc kü thuËt, sù ph¸t triÓn cña x· héi. Néi dung tri thøc khoa häc cïng víi sù ®å
sé vÒ lîng th«ng tin yªu cÇu chóng ta ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc. Môc tiªu
gi¸o dôc thay ®æi kÐo theo yªu cÇu ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc mét c¸ch
phï hîp. Để gióp cho gi¸o viªn th¸o gì nh÷ng khã kh¨n trong qu¸ tr×nh ®æi míi ph-
¬ng ph¸p d¹y häc, ®· cã nhiÒu gi¸o s tiÕn sü, c¸c nhµ khoa häc chuyªn t©m
nghiªn cøu, thÝ ®iÓm vµ triÓn khai ®¹i trµ vÒ ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc.
Mét trong nh÷ng yªu cÇu ®Æt ra cña c¶i c¸ch lµ ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p
d¹y häc theo híng tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh, díi sù tæ chøc h-
íng dÉn cña gi¸o viªn. Häc sinh tù gi¸c, chñ ®éng t×m tßi, ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt
nhiÖm vô nhËn thøc vµ cã ý thøc vËn dông linh ho¹t, s¸ng t¹o c¸c kiÕn thøc ®·
häc vµo bµi tËp vµ thùc tiÔn, trong ®ã cã ®æi míi d¹y häc m«n To¸n. Trong trêng
phæ th«ng, d¹y To¸n lµ d¹y ho¹t ®éng To¸n häc. §èi víi häc sinh cã thÓ xem viÖc
gi¶i To¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc. Qu¸ tr×nh gi¶i to¸n lµ qu¸
tr×nh rÌn luyÖn ph¬ng ph¸p suy nghÜ, ph¬ng ph¸p t×m tßi vµ vËn dông kiÕn thøc
vµo thùc tÕ. Th«ng qua viÖc gi¶i to¸n thùc chÊt lµ h×nh thøc ®Ó cñng cè, kh¾c
s©u kiÕn thøc rÌn luyÖn ®îc nh÷ng kÜ n¨ng c¬ b¶n trong m«n to¸n. Tõ ®ã rót ra
1
®îc nhiÒu ph¬ng ph¸p d¹y häc hay, nh÷ng tiÕt lªn líp cã hiÖu qu¶ nh»m ph¸t huy
høng thó häc tËp cña häc sinh, gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc toµn diÖn.
Ph ng trình b c hai và Đnh lý Vi-et h c sinh đc h c trong ch ng trình Điươ ậ ị ọ ượ ọ ươ ạ
s 9 và đc bi t bi t Đnh lí Vi-et có ng d ng r t phong phú trong vi c gi i các bàiố ặ ệ ệ ị ứ ụ ấ ệ ả
toán b c hai nh : nh m nghi m c a ph ng trình b c hai, tìm hai s bi t t ng và tíchậ ư ẩ ệ ủ ươ ậ ố ế ổ
c a chúng, l p ph ng trình b c hai có các nghi m cho tr c, tìm m i liên h gi aủ ậ ươ ậ ệ ướ ố ệ ữ
các nghi m c a ph ng trình b c hai….Tuy nhiên, trong sách giáo khoa ch trình bàyệ ủ ươ ậ ỉ
m t s ng d ng c b n v i th i l ng ch a nhi u.ộ ố ứ ụ ơ ả ớ ờ ượ ư ề
V i các bài t p có liên quan đn Đnh lí Vi-et và ph ng trình b c hai ph n l nớ ậ ế ị ươ ậ ầ ớ
h c sinh v n d ng ki n th c ch m ho c không bi t làm th nào đ xu t hi n m i liênọ ậ ụ ế ứ ậ ặ ế ế ể ấ ệ ố
h c a các d ki n c n tìm v i các y u t đã bi t đ gi i bài t p.ệ ủ ữ ệ ầ ớ ế ố ế ể ả ậ
Đi v i h c sinh khá gi i thì các d ng bài t p v ph ng trình b c hai trongố ớ ọ ỏ ạ ậ ề ươ ậ
SGK th ng ch a làm các em tho mãn vì tính ham h c, mu n khám phá tri th c m iườ ư ả ọ ố ứ ớ
c a mình. ủ
Hi n nay, trong kì thi vào l p 10 THPT các bài toán có ng d ng Đnh lí Vi-etệ ớ ứ ụ ị
khá ph bi n.ổ ế
Xét trên th c t qua nh ng năm gi ng d y l p 9 tôi nh n th y nhu c u h c t pự ế ữ ả ạ ớ ậ ấ ầ ọ ậ
c a h c sinh, mu n đc ti p thu các ki n th c b tr đ có th v n d ng vào vi củ ọ ố ượ ế ế ứ ổ ợ ể ể ậ ụ ệ
gi i các bài t p trong các kì thi c p THCS, kì thi vào THPT ho c m t s tr ng, l pả ậ ấ ặ ộ ố ườ ớ
ch t l ng cao là r t c n thi t. Vì v y tôi m nh d n th c hi n đ tài nghiên c u:ấ ượ ấ ầ ế ậ ạ ạ ự ệ ề ứ
“ ng d ng Đnh lý Vi-et trong gi i Toán”. Ứ ụ ị ả
* Đ tài “ ng d ng Đnh lý Vi-et trong gi i toán” đã có nhi u ng i nghiênề Ứ ụ ị ả ề ườ
c u – là nh ng giáo viên gi ng d y l p 9 t i các tr ng THCS. Các th y cô giáo t pứ ữ ả ạ ớ ạ ườ ầ ậ
trung vào vi c nghiên c u các d ng bài t p, các d ng toán c b n liên quan đn Đnhệ ứ ạ ậ ạ ơ ả ế ị
lý Vi-et, các d ng bài t p t ng h p có liên quan đn Đnh lý Vi-et. Đi m m i trong đạ ậ ổ ợ ế ị ể ớ ề
tài này, tôi t p trung trang b đy đ các d ng bài t p v n d ng Đnh lý Vi-et. Đi v iậ ị ầ ủ ạ ậ ậ ụ ị ố ớ
m i d ng toán đa ra ph ng pháp gi i c th và t p trung phân tích kĩ các ví d vàỗ ạ ư ươ ả ụ ể ậ ụ
bài t p áp d ng. Trong đ tài này tôi đa ra đy đ các d ng toán t d đn khó, cácậ ụ ề ư ầ ủ ạ ừ ễ ế
2
bài t p nâng cao dành cho h c sinh khá gi i. Khi g p d ng toán h c sinh d n m b tậ ọ ỏ ặ ạ ọ ễ ắ ắ
và v n d ng.ậ ụ
1.2. Ph m vi và đi t ng nghiên c u:ạ ố ượ ứ
- Đ tài th c hi n t i tr ng đang gi ng d yề ự ệ ạ ườ ả ạ
- Trong đ tài này, tôi ch đa ra nghiên c u m t s ng d ng c a đnh lí Vi-et trong ề ỉ ư ứ ộ ố ứ ụ ủ ị
vi c gi i m t s bài toán th ng g p c p THCS.ệ ả ộ ố ườ ặ ở ấ
2. PH N N I DUNGẦ Ộ
2.1. Th c tr ng vi c d y và h c Toán: ự ạ ệ ạ ọ
a) Đi v i giáo viên:ố ớ
- Giáo viên đt trình đ chuyên môn, có tinh th n trách nhi m cao trong gi ng d y. ạ ộ ầ ệ ả ạ
Luôn có ý th c h c t p, b i d ng nâng cao trình đ chuyên môn, nghi p v , năng l cứ ọ ậ ồ ưỡ ộ ệ ụ ự
s ph mư ạ
- Luôn đc ban giám hi u Nhà tr ng, T chuyên môn quan tâm ch b o trong công ượ ệ ườ ổ ỉ ả
tác. Đc đng nghi p ch b o, giúp đ trong gi ng d yượ ồ ệ ỉ ả ỡ ả ạ
b) Đi v i h c sinh:ố ớ ọ
- H c sinh đa ph n chăm ngoan, có ý th c trong h c t p, có tinh th n h c h i, xây ọ ầ ứ ọ ậ ầ ọ ỏ
d ng bài, lĩnh h i ki n th c t t. ự ộ ế ứ ố
- Ph n l n h c sinh là con em gia đình làm ngh nông nên nh n th c v vi c h c t p ầ ớ ọ ề ậ ứ ề ệ ọ ậ
còn h n ch . Đng th i, th i gian dành cho vi c h c t p c a các em ch a nhi u.ạ ế ồ ờ ờ ệ ọ ậ ủ ư ề
- Kh năng nh n th c Toán h c c a m t s h c sinh còn ch m.ả ậ ứ ọ ủ ộ ố ọ ậ
- N i dung ng d ng Đnh lí Vi-ét đ gi i bài toán b c hai r t đa d ng và t ng đi ộ Ứ ụ ị ể ả ậ ấ ạ ươ ố
khó v i h c sinh. Kh năng ti p thu và v n d ng ki n th c c a m t s h c sinh còn ớ ọ ả ế ậ ụ ế ứ ủ ộ ố ọ
ch m. M t khác, n i dung này đòi h i h c sinh ph i n m v ng các ki n th c liên quanậ ặ ộ ỏ ọ ả ắ ữ ế ứ
nh : ph ng trình, h ng đng th c, b t đng th c, bi n đi bi u th c đi s …Trong ư ươ ằ ẳ ứ ấ ẳ ứ ế ổ ể ứ ạ ố
khi đó, r t nhi u h c sinh không n m v ng ki n th c đã h c nên vi c v n d ng vào ấ ề ọ ắ ữ ế ứ ọ ệ ậ ụ
các d ng bài t p là r t khó khăn.ạ ậ ấ
c) S li u kh o sát tr c khi áp d ng đ tài:ố ệ ả ướ ụ ề
3
Tr c khi áp d ng đ tài tôi ti n hành kh o sát v i n i dung ki n th c liên quanướ ụ ề ế ả ớ ộ ế ứ
đn Đnh lý Vi-ét và ng d ng c a Đnh lý Vi-ét trên 30 h c sinh. K t qu đt đc ế ị ứ ụ ủ ị ọ ế ả ạ ượ
nh sau:ư
0 - < 2 2 - < 5 5 - < 6,5 6,5 - < 8 8 - 10
SL % SL % SL % SL % SL %
/ / 6 20 9 30 10 33,3 5 16,7
* K t qu :ế ả
- C b n h c sinh n m đc n i dung c a Đnh lý Vi-ét và nh ng ng d ng c a Đnh ơ ả ọ ắ ượ ộ ủ ị ữ ứ ụ ủ ị
lý
- Bên c nh đó còn nh u h c sinh ch a v n d ng đc n i dung c a Đnh lý vào gi i ạ ề ọ ư ậ ụ ượ ộ ủ ị ả
toán. Các d ng bài t p liên quan đn ph ng trình có ch a tham s : l p ph ng trình ạ ậ ế ươ ứ ố ậ ươ
b c hai, bi n đi các bi u th c ch a nghi m c a ph ng trình b c hai, tìm giá tr c a ậ ế ổ ể ứ ứ ệ ủ ươ ậ ị ủ
tham s th a mãn bi u th c ch a nghi m, tìm h th c liên h gi a các nghi m đc ố ỏ ể ứ ứ ệ ệ ứ ệ ữ ệ ộ
l p v i tham s ... còn ch mậ ớ ố ậ
- Kĩ năng v n d ng ki n th c vào gi i bài t p c a h c sinh còn h n ch , nhi u em ậ ụ ế ứ ả ậ ủ ọ ạ ế ề
ch a bi t cách bi n đi các bi u th c ch a nghi m, kĩ năng gi i ph ng trình, bi n ư ế ế ổ ể ứ ứ ệ ả ươ ế
đi bi u th c đi s , v n d ng các h ng đng th c còn ch m. Đc bi t là d ng toán ổ ể ứ ạ ố ậ ụ ằ ẳ ứ ậ ặ ệ ạ
tìm h th c liên h gi a các nghi m đc l p v i tham s nhi u em ch a n m đc ệ ứ ệ ữ ệ ộ ậ ớ ố ề ư ắ ượ
cách gi iả
2.2. Các gi i phápả
2.2.1. Cung c p ki n th c c b nấ ế ứ ơ ả
a) H th c Vi-ét: ệ ứ
N u xế1 và x2 là hai nghi m c a ph ng trình axệ ủ ươ 2 + bx + c = 0 (a 0) thì:
a
c
xx
a
b
xx
2.1
21
.
b) Tính nh m nghi m c a ph ng trình b c hai ẩ ệ ủ ươ ậ
4
- N u ph ng trình axế ươ 2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì ph ng trình cóươ
nghi m: xệ1 = 1; x2 =
c
a
- N u ph ng trình axế ươ 2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì ph ng trình có nghi m:ươ ệ
x1 = -1; x2 = -
c
a
c) Tìm hai s khi bi t t ng và tích c a chúngố ế ổ ủ
N u có hai s u và v thoã mãn: ế ố
Pvu
Svu
.
thì u và v là hai nghi m c a ph ng trình: ệ ủ ươ
x2 – Sx + P = 0.
(Đi u ki n đ có hai s u và v là: Sề ệ ể ố 2 – 4P 0)
- H ng d n và l u ý cho h c sinh các bài toán có ch a tham s và phân lo i các d ng ướ ẫ ư ọ ứ ố ạ ạ
bài t p nh t là các bài toán có th đa v bài toán b c hai quen thu c đi v i h c sinh.ậ ấ ể ư ề ậ ộ ố ớ ọ
- Phân tích nh n bi t các d u hi u chung, nh n bi t các tính ch t đ làm xu t hi n cácậ ế ấ ệ ậ ế ấ ể ấ ệ
h th c có ch a các d u hi u c n tìm.ệ ứ ứ ấ ệ ầ
- Trong quá trình tìm tòi và gi i bài t p tôi đã h ng d n và phân lo i cho các em m t ả ậ ướ ẫ ạ ộ
s d ng bài t p có ng d ng Đnh lí Vi-et.ố ạ ậ ứ ụ ị
2.2.2. Trang b đ các d ng bài t p v n d ng Đnh lý Vi-et cho các đi t ng h cị ủ ạ ậ ậ ụ ị ố ượ ọ
sinh.
I. Tính nh m nghi m c a ph ng trình b c haiẩ ệ ủ ươ ậ
1. D ng đc bi t: Ph ng trình b c hai có m t nghi m là 1 ho c – 1ạ ặ ệ ươ ậ ộ ệ ặ
Ph ng phápươ : Xét t ng a + b + c ho c a – b + cổ ặ
Ví dụ. Nh m nghi m c a các ph ng trình sau:ẩ ệ ủ ươ
a)
01183 2 xx
b)
0352 2 xx
Gi i:ả
a) Ta có:
0)11(83 cba
nên ph ng trình có m t nghi m là ươ ộ ệ
1
1x
,
nghi m còn l i là ệ ạ
3
11
2 a
c
x
5