Ứ
Ụ
Ả
Ị
NG D NG Đ NH LÝ VIET TRONG GI I TOÁN
Ở Ầ Ầ 1. PH N M Đ U
ọ ề 1.1. Lý do ch n đ tài:
ọ ự ọ ự ế ộ ộ Toán h c là m t b môn khoa h c t ứ nhiên nghiên c u, có tính th c t ả cao, nh
ưở ờ ố ế ớ ườ ọ ề ằ h ng l n đ n đ i s ng con ng ứ i. Các công trình nghiên c u khoa h c đ u cho r ng:
ấ ả ề ậ ọ ế ớ ụ ậ ọ T t c các môn khoa h c khác đ u liên quan m t thi ế t v i Toán h c. V n d ng ki n
ể ả ứ ọ ệ ượ ự ậ th c Toán h c đ gi i thích các hi n t ng trong t ụ nhiên và v n d ng vào th c t ự ế
ộ ố ả ướ ệ ậ ả ạ ố ọ ớ ụ ộ ớ cu c s ng Mu n v y vi c gi ng d y Toán h c ph i h ng t ơ i m t m c đích l n h n,
ể ệ ệ ạ ẩ ọ ọ thông qua vi c d y h c Toán mà h c sinh phát tri n trí tu , hình thành ph m ch t t ấ ư
ế §æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc lµ mét yªu cÇu tÊt yÕu, ®¶m b¶o cho ầ duy c n thi t.
sù ph¸t triÓn cña gi¸o dôc. Ngµy nay nÒn kinh tÕ trÝ thøc cïng víi sù bïng næ
th«ng tin, gi¸o dôc ®· vµ ®ang thay ®æi ®Ó phï hîp víi sù ph¸t triÓn cña khoa
häc kü thuËt, sù ph¸t triÓn cña x· héi. Néi dung tri thøc khoa häc cïng víi sù ®å
sé vÒ lîng th«ng tin yªu cÇu chóng ta ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc. Môc tiªu
gi¸o dôc thay ®æi kÐo theo yªu cÇu ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc mét c¸ch
phï hîp. Để gióp cho gi¸o viªn th¸o gì nh÷ng khã kh¨n trong qu¸ tr×nh ®æi míi ph-
¬ng ph¸p d¹y häc, ®· cã nhiÒu gi¸o s tiÕn sü, c¸c nhµ khoa häc chuyªn t©m
nghiªn cøu, thÝ ®iÓm vµ triÓn khai ®¹i trµ vÒ ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc.
Mét trong nh÷ng yªu cÇu ®Æt ra cña c¶i c¸ch lµ ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p
d¹y häc theo híng tÝch cùc ho¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh, díi sù tæ chøc h-
íng dÉn cña gi¸o viªn. Häc sinh tù gi¸c, chñ ®éng t×m tßi, ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt
nhiÖm vô nhËn thøc vµ cã ý thøc vËn dông linh ho¹t, s¸ng t¹o c¸c kiÕn thøc ®·
häc vµo bµi tËp vµ thùc tiÔn, trong ®ã cã ®æi míi d¹y häc m«n To¸n. Trong trêng
phæ th«ng, d¹y To¸n lµ d¹y ho¹t ®éng To¸n häc. §èi víi häc sinh cã thÓ xem viÖc
gi¶i To¸n lµ h×nh thøc chñ yÕu cña ho¹t ®éng to¸n häc. Qu¸ tr×nh gi¶i to¸n lµ qu¸
tr×nh rÌn luyÖn ph¬ng ph¸p suy nghÜ, ph¬ng ph¸p t×m tßi vµ vËn dông kiÕn thøc
vµo thùc tÕ. Th«ng qua viÖc gi¶i to¸n thùc chÊt lµ h×nh thøc ®Ó cñng cè, kh¾c
s©u kiÕn thøc rÌn luyÖn ®îc nh÷ng kÜ n¨ng c¬ b¶n trong m«n to¸n. Tõ ®ã rót ra
1
®îc nhiÒu ph¬ng ph¸p d¹y häc hay, nh÷ng tiÕt lªn líp cã hiÖu qu¶ nh»m ph¸t huy
høng thó häc tËp cña häc sinh, gãp phÇn n©ng cao chÊt lîng gi¸o dôc toµn diÖn.
ươ ậ ọ ượ ọ ươ Ph ị ng trình b c hai và Đ nh lý Viet h c sinh đ c h c trong ch ạ ng trình Đ i
ặ ệ ệ ứ ụ ệ ấ ị ả ố s 9 và đ c bi t bi t Đ nh lí Viet có ng d ng r t phong phú trong vi c gi i các bài
ư ủ ệ ẩ ậ ươ ố ế ổ ậ toán b c hai nh : nh m nghi m c a ph ng trình b c hai, tìm hai s bi t t ng và tích
ậ ươ ệ ậ ướ ố ủ c a chúng, l p ph ng trình b c hai có các nghi m cho tr ệ ữ c, tìm m i liên h gi a
ủ ươ ậ ỉ ệ các nghi m c a ph ng trình b c hai….Tuy nhiên, trong sách giáo khoa ch trình bày
ộ ố ứ ơ ả ờ ượ ụ ớ ư ề m t s ng d ng c b n v i th i l ng ch a nhi u.
ế ậ ớ ị ươ ậ V i các bài t p có liên quan đ n Đ nh lí Viet và ph ầ ớ ng trình b c hai ph n l n
ậ ụ ứ ế ậ ặ ế ế ể ệ ấ ố ọ h c sinh v n d ng ki n th c ch m ho c không bi t làm th nào đ xu t hi n m i liên
ữ ệ ầ ế ố ớ ậ ệ ủ h c a các d ki n c n tìm v i các y u t đã bi ế ể ả t đ gi i bài t p.
ố ớ ọ ỏ ề ạ ậ ươ Đ i v i h c sinh khá gi i thì các d ng bài t p v ph ậ ng trình b c hai trong
ườ ứ ư ả ọ ố SGK th ớ ng ch a làm các em tho mãn vì tính ham h c, mu n khám phá tri th c m i
ủ c a mình.
ứ ụ ệ ớ ị Hi n nay, trong kì thi vào l p 10 THPT các bài toán có ng d ng Đ nh lí Viet
ổ ế khá ph bi n.
ự ế ạ ớ ữ ả ậ ấ ầ Xét trên th c t ọ ậ qua nh ng năm gi ng d y l p 9 tôi nh n th y nhu c u h c t p
ố ượ ứ ổ ợ ể ể ậ ụ ế ế ủ ọ c a h c sinh, mu n đ ệ c ti p thu các ki n th c b tr đ có th v n d ng vào vi c
ả ộ ố ườ ấ ậ ặ gi i các bài t p trong các kì thi c p THCS, kì thi vào THPT ho c m t s tr ớ ng, l p
ấ ượ ấ ầ ế ệ ề ậ ạ ạ ch t l ng cao là r t c n thi ứ ự t. Vì v y tôi m nh d n th c hi n đ tài nghiên c u:
ụ ị ả Ứ “ ng d ng Đ nh lý Viet trong gi i Toán”.
Ứ ụ ề ị ả ề ườ * Đ tài “ ng d ng Đ nh lý Viet trong gi i toán” đã có nhi u ng i nghiên
ạ ớ ữ ả ạ ườ ầ ứ c u – là nh ng giáo viên gi ng d y l p 9 t i các tr ậ ng THCS. Các th y cô giáo t p
ơ ả ứ ế ệ ạ ậ ạ ị trung vào vi c nghiên c u các d ng bài t p, các d ng toán c b n liên quan đ n Đ nh
ậ ổ ế ể ạ ợ ớ ị lý Viet, các d ng bài t p t ng h p có liên quan đ n Đ nh lý Viet. Đi m m i trong đ ề
ị ầ ụ ủ ậ ậ ậ ị ố ớ ạ tài này, tôi t p trung trang b đ y đ các d ng bài t p v n d ng Đ nh lý Viet. Đ i v i
ỗ ạ ư ươ ả ụ ể ụ ậ m i d ng toán đ a ra ph ng pháp gi i c th và t p trung phân tích kĩ các ví d và
ư ủ ụ ề ậ ầ ạ ừ ễ ế bài t p áp d ng. Trong đ tài này tôi đ a ra đ y đ các d ng toán t d đ n khó, các
2
ậ ọ ỏ ễ ắ ặ ạ ọ bài t p nâng cao dành cho h c sinh khá gi ắ i. Khi g p d ng toán h c sinh d n m b t
ậ ụ và v n d ng.
ố ượ ạ ứ 1.2. Ph m vi và đ i t ng nghiên c u:
ệ ạ ườ ự ề ả ạ Đ tài th c hi n t i tr ng đang gi ng d y
ộ ố ứ ủ ị ỉ ư ụ ề ứ Trong đ tài này, tôi ch đ a ra nghiên c u m t s ng d ng c a đ nh lí Viet trong
ả ộ ố ườ ặ ở ấ ệ vi c gi i m t s bài toán th ng g p c p THCS.
Ầ Ộ 2. PH N N I DUNG
ệ ạ ự ọ ạ 2.1. Th c tr ng vi c d y và h c Toán:
ố ớ a) Đ i v i giáo viên:
ệ ạ ầ ả ạ ộ Giáo viên đ t trình đ chuyên môn, có tinh th n trách nhi m cao trong gi ng d y.
ứ ọ ậ ồ ưỡ ệ ụ ộ Luôn có ý th c h c t p, b i d ự ng nâng cao trình đ chuyên môn, nghi p v , năng l c
ư ạ s ph m
ượ ệ ườ ỉ ả ổ Luôn đ c ban giám hi u Nhà tr ng, T chuyên môn quan tâm ch b o trong công
ượ ồ ệ ả ạ ỡ ỉ ả tác. Đ c đ ng nghi p ch b o, giúp đ trong gi ng d y
ố ớ ọ b) Đ i v i h c sinh:
ọ ỏ ọ ậ ứ ầ ầ ọ H c sinh đa ph n chăm ngoan, có ý th c trong h c t p, có tinh th n h c h i, xây
ứ ố ế ộ ự d ng bài, lĩnh h i ki n th c t t.
ứ ề ệ ọ ậ ầ ớ ề ậ ọ Ph n l n h c sinh là con em gia đình làm ngh nông nên nh n th c v vi c h c t p
ệ ọ ậ ủ ế ồ ư ề ạ ờ ờ còn h n ch . Đ ng th i, th i gian dành cho vi c h c t p c a các em ch a nhi u.
ộ ố ọ ứ ậ ả ậ ọ ủ Kh năng nh n th c Toán h c c a m t s h c sinh còn ch m.
ể ả Ứ ụ ộ ị ậ ấ ạ ươ ố N i dung ng d ng Đ nh lí Viét đ gi i bài toán b c hai r t đa d ng và t ng đ i
ộ ố ọ ứ ủ ớ ọ ế ế ả ậ ụ khó v i h c sinh. Kh năng ti p thu và v n d ng ki n th c c a m t s h c sinh còn
ả ắ ỏ ọ ữ ứ ế ặ ậ ộ ch m. M t khác, n i dung này đòi h i h c sinh ph i n m v ng các ki n th c liên quan
ươ ứ ạ ố ấ ẳ ứ ế ể ằ ẳ ổ ư nh : ph ứ ng trình, h ng đ ng th c, b t đ ng th c, bi n đ i bi u th c đ i s …Trong
ệ ậ ụ ữ ứ ế ề ấ ắ ọ ọ khi đó, r t nhi u h c sinh không n m v ng ki n th c đã h c nên vi c v n d ng vào
ậ ấ ạ các d ng bài t p là r t khó khăn.
ố ệ ả ướ ề c) S li u kh o sát tr ụ c khi áp d ng đ tài:
3
ướ ớ ộ ứ ụ ế ế ề Tr ả c khi áp d ng đ tài tôi ti n hành kh o sát v i n i dung ki n th c liên quan
ả ạ ượ ứ ụ ủ ế ọ ị ị ế đ n Đ nh lý Viét và ng d ng c a Đ nh lý Viét trên 30 h c sinh. K t qu đ t đ c
ư nh sau:
0 < 2 2 < 5 5 < 6,5 6,5 < 8 8 10
% / SL 6 % 20 SL 9 % 30 SL 10 % 33,3 SL 5 % 16,7
SL / ả ế * K t qu :
ơ ả ắ ượ ộ ữ ứ ủ ụ ủ ị ị ọ C b n h c sinh n m đ c n i dung c a Đ nh lý Viét và nh ng ng d ng c a Đ nh
lý
ư ậ ụ ề ạ ượ ộ ủ ị ả ọ Bên c nh đó còn nh u h c sinh ch a v n d ng đ c n i dung c a Đ nh lý vào gi i
ế ạ ươ ố ậ ứ ươ ậ toán. Các d ng bài t p liên quan đ n ph ng trình có ch a tham s : l p ph ng trình
ủ ứ ứ ể ệ ế ổ ươ ị ủ ậ ậ b c hai, bi n đ i các bi u th c ch a nghi m c a ph ng trình b c hai, tìm giá tr c a
ệ ứ ệ ữ ố ỏ ứ ứ ể ệ ệ ộ tham s th a mãn bi u th c ch a nghi m, tìm h th c liên h gi a các nghi m đ c
ậ ớ ố ậ l p v i tham s ... còn ch m
ậ ụ ứ ế ả ậ ủ ọ ế ề ạ Kĩ năng v n d ng ki n th c vào gi i bài t p c a h c sinh còn h n ch , nhi u em
ế ứ ể ế ệ ổ ả ươ ế ư ch a bi ứ t cách bi n đ i các bi u th c ch a nghi m, kĩ năng gi i ph ng trình, bi n
ứ ạ ố ậ ụ ứ ể ằ ậ ặ ẳ ệ ạ ổ đ i bi u th c đ i s , v n d ng các h ng đ ng th c còn ch m. Đ c bi t là d ng toán
ư ắ ệ ứ ệ ữ ệ ề ớ ố ượ ộ ậ tìm h th c liên h gi a các nghi m đ c l p v i tham s nhi u em ch a n m đ c
cách gi iả
ả 2.2. Các gi i pháp
ứ ơ ả ế ấ 2.2.1. Cung c p ki n th c c b n
ệ ứ a) H th c Viét:
2 + bx + c = 0 (a (cid:0)
1 và x2 là hai nghi m c a ph
ủ ệ ươ N u xế ng trình ax 0) thì:
x
x 1
2
b a
xx . .1
2
c a
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ủ ệ ẩ ươ ậ b) Tính nh m nghi m c a ph ng trình b c hai
4
2 + bx + c = 0 (a (cid:0)
ươ ươ ế N u ph ng trình ax 0) có a + b + c = 0 thì ph ng trình có
1 = 1; x2 =
c a
ệ nghi m: x
2 + bx + c = 0 (a (cid:0)
ươ ươ ế N u ph ng trình ax 0) có a b + c = 0 thì ph ệ ng trình có nghi m:
c a
x1 = 1; x2 =
ố ế ổ ủ c) Tìm hai s khi bi t t ng và tích c a chúng
vu
S
Pvu .
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ế ố ủ ệ ươ N u có hai s u và v thoã mãn: thì u và v là hai nghi m c a ph ng trình: (cid:0) (cid:0)
x2 – Sx + P = 0.
2 – 4P (cid:0)
ề ệ ố ể (Đi u ki n đ có hai s u và v là: S 0)
ướ ứ ư ẫ ạ ạ ọ ố H ng d n và l u ý cho h c sinh các bài toán có ch a tham s và phân lo i các d ng
ộ ố ớ ọ ể ư ề ấ ậ ậ bài t p nh t là các bài toán có th đ a v bài toán b c hai quen thu c đ i v i h c sinh.
ậ ế ệ ấ ậ ế ấ ể ệ ấ Phân tích nh n bi t các d u hi u chung, nh n bi t các tính ch t đ làm xu t hi n các
ệ ầ ứ ấ ệ ứ h th c có ch a các d u hi u c n tìm.
ả ậ ướ ẫ ộ Trong quá trình tìm tòi và gi i bài t p tôi đã h ạ ng d n và phân lo i cho các em m t
ứ ụ ậ ị ố ạ s d ng bài t p có ng d ng Đ nh lí Viet.
ậ ậ ụ ị ủ ố ượ ạ ị 2.2.2. Trang b đ các d ng bài t p v n d ng Đ nh lý Viet cho các đ i t ọ ng h c
sinh.
ủ ệ ẩ ươ ậ I. Tính nh m nghi m c a ph ng trình b c hai
ạ ặ ệ ươ ệ ậ ặ 1. D ng đ c bi t: Ph ộ ng trình b c hai có m t nghi m là 1 ho c – 1
ươ ặ ổ Ph ng pháp : Xét t ng a + b + c ho c a – b + c
ủ ệ ẩ ươ ng trình sau: Ví dụ. Nh m nghi m c a các ph
x
x
3 2 x
8
11
0
2 2 x
5
3
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b)
Gi i:ả
cba
(83
)11
0
(cid:0)x
1
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ệ a) Ta có: nên ph ộ ng trình có m t nghi m là ,
x
2
c a
11 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ạ nghi m còn l i là
5
(cid:0)x
1
cba
352
0
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ệ b) Ta có: nên ph ộ ng trình có m t nghi m là ,
x
2
c a
3 2
(cid:0) (cid:0) ệ ạ nghi m còn l i là
ủ ệ ươ ng trình: Bài t p. ậ Tìm nghi m c a ph
m
mx
2 2 x
(
)5
3
0
x
5 2 x
14
9
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) b)
ươ ộ ệ ố ư ậ ế ướ ệ ộ 2. Cho ph ng trình b c hai, có m t h s ch a bi t, cho tr c m t nghi m, tìm
ệ ạ ệ ố ư ỉ ế ủ ươ nghi m còn l i và ch ra h s ch a bi t c a ph ng trình:
ươ ệ ị ươ Ph ng pháp : Thay giá tr 1 nghi m vào ph ệ ố ể ng trình đ tìm h s
ụ ế ệ ứ ệ ữ ệ ổ ị Áp d ng đ nh lí Viet vi ặ t h th c liên h gi a hai nghi m (t ng ho c
ệ ệ ạ ể tích hai nghi m) đ tính nghi m còn l i
2
Ví d 1: ụ
x
px
2
5
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ệ ệ ằ ộ ạ ủ a) Ph ng trình có m t nghi m b ng 2, tìm p và nghi m còn l i c a
2
ươ ph ng trình
x
qx
5
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ệ ệ ằ ộ ạ ủ b) Ph ng trình có m t nghi m b ng 5, tìm q và nghi m còn l i c a
ươ ph ng trình
Gi iả
p
44
5
0
(cid:0)x
2
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ượ a) Thay vào ph ng trình ta đ c
p
p
49
0
9 4
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
5
0
9 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ở Ph ng trình đã cho tr thành
x
5
x
x
2
xx 21
2
x 1
2
2
x 1
5 2
9 2
9 2
5 2
9 2
5 x 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Theo Viet: ( ho c ặ )
(cid:0)x
5
q
52
5.5
0
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ượ b) Thay vào ph ng trình ta đ c
q
50
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
5
50
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ở Ph ng trình đã cho tr thành
x
50
10
xx 21
2
50 x 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Theo Viet
Ví d 2ụ :
6
2
x
qx
7
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ế ủ ệ ệ ệ ằ a) Ph ng trình bi t hi u hai nghi m b ng 11. Tìm q và hai nghi m c a
2
ươ ph ng trình
x
(cid:0) qx
50
0
(cid:0) (cid:0) ươ ệ ệ ệ ấ b) Ph ng trình ộ có hai nghi m trong đó m t nghi m g p đôi nghi m
ệ kia, tìm q và hai nghi m đó
ươ ế ệ ứ ệ ữ ế ợ ệ ề ớ Ph ng pháp : Vi ộ ệ t h th c liên h gi a hai nghi m theo đ bài k t h p v i m t h
ứ ủ ể ệ ị th c c a Đ nh lí Viet đ tìm các nghi m đó
ệ ố ư Tìm h s ch a bi ế t
Gi iả
(cid:0) x
11
x 1
2
(cid:0) ề a) Theo đ bài ta có
(cid:0) x
7
x 1
2
(cid:0) ị Theo đ nh lí Viet:
x
11
9
2
x
x 1 x
7
2
x 1 x 1
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)xx
)2(9
18
21
x (cid:0)
2x
(cid:0) (cid:0) (cid:0) => q =
1
2
b) Ta có .
x
5
2
2
2
x
x
50
2
50
25
xx 21
2
2
x
5
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị Theo đ nh lí Viet ta có (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)x
(cid:0)x
q
x
5
10
2
1
x 1
2
(cid:0) (cid:0) V i ớ thì , = 10 + 5 = 15
(cid:0)x
(cid:0)x
q
x
5
10
2
1
x 1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V i ớ thì , = ( 10) + ( 5) = 15
2
ệ ị ạ ủ ươ i c a ph ng trình Bài t pậ : Xác đ nh m và tìm nghi m còn l
x mx+
= 35 0
- ế ằ ộ a) bi ệ t m t nghi m b ng – 5
+ m
= + x m
22 x
(
4)
0
- ế ằ ộ b) bi ệ t m t nghi m b ng – 3
mx
m
2 2(
+ - = x m 2)
3 0
- - ế ằ ộ c) bi ệ t m t nghi m b ng 3
ươ ậ ậ II. L p ph ng trình b c hai
ươ ế ủ ậ 1. L p ph ậ ng trình b c hai bi ệ t 2 nghi m c a nó
ươ ủ ừ ệ ổ Ph ng pháp : T 2 nghi m đã cho tính t ng và tích c a chúng
ươ ế ổ ậ L p ph ậ ng trình b c hai khi bi t t ng và tích
ộ ươ ứ ệ ậ ng trình b c hai ch a hai nghi m là 3 và 2 ậ Ví d 1.ụ L p m t ph
S
x
23
5
x 1
2
2.3
6
xxP 21
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi i:ả Ta có (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
7
2
x
+ = Sx P
0
2
- ủ ệ ậ ươ V y 3 và 2 là hai nghi m c a ph ng trình:
x
x
5
6
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1
(cid:0)x
2
(cid:0)x
1
1
3
13 2
(cid:0) ; Ví d 2.ụ Cho (cid:0)
1; x2
ươ ệ ậ ậ Hãy l p ph ng trình b c hai có ngi m: x
(cid:0)x
1
Gi iả (cid:0) Ta có:
13 2 1
2x
1
3
1
13
3
(cid:0) (cid:0) 1 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 13 2
x
3
x 1
2
13 2
.
xx 21
13 2 13 2
13 2
1 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Nên: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1; x2 là x2 3 x +
1 2
ậ ươ ệ V y ph ng trình có hai nghi m x = 0
Hay 2x2 2 3 x + 1 = 0
ậ ươ ệ ậ ng trình b c hai có các nghi m là: Bài t p:ậ L p ph
1
2 (cid:0)
3
a) 8 và 3 b) 36 và – 104
1 (cid:0)
1 (cid:0)
2
2
2
3
c) và d) và (cid:0)
ươ ế ứ ủ ệ ệ ỏ ậ 2. L p ph ậ ng trình b c hai bi ể t 2 nghi m th a mãn bi u th c c a 2 nghi m
2
ươ ướ ủ c a ph ng trình cho tr c
x
x
3
2
0
1; xx
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ng trình có hai nghi m ệ . Ví d 1.ụ Cho ph
x
y
;
y 1
2
2
x 1
1 x
1 x 1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ệ ậ ậ Hãy l p ph ng trình b c hai có các nghi m
ậ ả ạ Nh n xét: bài toán d ng này có hai các gi i:
1; yy
2
1; xx
2
ự ế ệ ằ ươ b ng cách: Tìm nghi m ủ c a ph ng trình đã cho Cách 1: Tính tr c ti p
1; yy
2
2
ứ ể ồ r i thay vào bi u th c tính
cba
2)3(1
0
x
x
3
2
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ươ Ph ng trình có nên ph ng trình có hai
2
x 1
x ;1 2
(cid:0) (cid:0) ệ nghi m là
x
y
2
;3
1
y 1
2
2
x 1
1 x
1 1
1 2
3 2
1 x 1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có
8
1; yy
2
ươ ế ệ ạ ậ L p ph ậ ng trình b c hai bi t hai nghi m (d ng 2.1)
S
y
3
y 1
2
9 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
yyP
.3
1
2
3 2 9 2
3 2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
y
0
y
Sy
P
0
9 2
9 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ạ Ph ầ ậ ng trình c n l p có d ng: hay
y
2 2 y
9
9
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) hay
S
;
1; yy
2
y 1
yyPy 2
1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ụ ị mà áp d ng Đ nh lí Viet tính sau đó l p ậ Cách 2: Không tính
1; yy
2
ươ ệ ậ ph ng trình b c hai có các nghi m là
ị Theo Đ nh lí Viet ta có:
x
2
S
y
x
x
x
(
)
(
)
3
y 1
2
2
x 1
x 1
2
x 1
2
1 x
1 x
3 2
9 2
1 x 1
2
x 1 xx 21
1 x 1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
(
).(
11
112
)
2
x 1
xx 21
1 x
1 2
9 2
1 x 1
2
1 xx 21
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
y
0
y
Sy
P
0
9 2
9 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ạ Ph ầ ậ ng trình c n l p có d ng: hay
y
2 2 y
9
9
0
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) hay
x
x
5
01
1; xx
2
4
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ươ ng trình có hai nghi m ệ ậ . Hãy l p ph ng trình Ví d 2:ụ Cho ph
y
x
;
y 1
x 1
2
2
(cid:0) (cid:0) ệ ậ b c hai có các nghi m
x
5
2
1
x 1 xx . 1
2
2
4
4
2
22
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị Gi i:ả Theo Đ nh lý Viet ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
y
x
x
x
2
2
2
727
y 1
2
x 1
2
x 1
2
2 xx 1
2
x 1
2
xx 21
xx 21
4
4
(
)
1
yy 1
2
4 xx 1
2
xx 21
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 727y + 1 = 0
ậ ươ ầ ậ V y ph ng trình c n l p là: y
2
Bài t p:ậ
x
x
2
8
0
1; xx
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ươ ậ Bài 1. Cho ph ng trình có hai nghi m ệ ậ . Hãy l p ph ng trình b c
y
x
;3
3
y 1
x 1
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) hai có các nghi m ệ
9
2
ậ ươ ủ ệ ệ ậ ả ị Bài 2. L p ph ằ ng trình b c hai có các nghi m b ng ngh ch đ o các nghi m c a
x
(cid:0) mx
2
(cid:0) ươ ph ng trình
x
2
x 1
2
1; xx
2
3
3
x
26
x 1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ ươ ệ ậ ỏ Bài 3. L p ph ng trình b c hai có hai nghi m th a mãn: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ố ế ổ ủ III. Tìm hai s khi bi t t ng và tích c a chúng
vu
S
Pvu .
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ế ố Ph ng pháp : N u có hai s u và v thoã mãn: (cid:0) (cid:0)
2 – Sx + P = 0.
ủ ệ ươ thì u và v là hai nghi m c a ph ng trình: x
2 – 4P (cid:0)
ệ ề ố ể (Đi u ki n đ có hai s u và v là: S 0)
ố ế t u + v = 3, uv = 4 Ví d 1.ụ Tìm hai s u và v bi
2
Gi i: ả
x
x
3
4
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ệ ố ươ Hai s u và v là nghi m c a ph ng trình
x
4
1
x ;1 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ ượ Gi i ph ng trình trên ta đ c
ế ế ậ V y n u u = 1 thì v = 4; n u u = 4 thì v = 1
ố ế t S = u + v = 3, P = uv = 6 Ví d 2.ụ Tìm hai s u và v bi
2
Gi i: ả
x
x
3
6
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ủ ệ ố ươ Hai s u và v là nghi m c a ph ng trình
32
6.1.4
9
24
15
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ươ ồ ạ ề ố ỏ Ph ệ ng trình vô nghi m nên không t n t i hai s u và v th a mãn đ bài
2
2
ớ ườ ể ậ ợ V i tr ng h p này ta cũng có th nh n xét ngay L u ý:ư
S
P
4
3
6.4
9
24
15
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ồ ạ ầ ố nên không t n t ỏ i hai s u và v th a mãn yêu c u đ ề
ư ầ ậ ươ bài mà ch a c n l p ph ng trình
Bài t p.ậ
ố ế ổ Bài 1. Tìm hai s bi t t ng S = 9 và tích P = 20
ố ế Bài 2. Tìm hai s x, y bi t:
2
2
+
=
=
x
y
xy
25;
12
a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66
ố ế Bài 3, Tìm hai s x, y bi t:
10
ề ể ủ ữ ệ ạ ươ ậ ứ IV. D ng toán v bi u th c gi a các nghi m c a ph ng trình b c hai
2
2
2
ế ổ ộ ố ể ứ ườ Bi n đ i m t s bi u th c th ặ ng g p
x
x
2
xx 21
2
x 1
2
x 1
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
4
xx 21
2
x 1
2
x 1
3
3
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
x
3
2
xxx 1 21
2
x 1
2
x 1
2
22
2
2
2
2
4
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
x
2
2
2
2
2 xx 1
2
x 1
2
xx 21
xx 21
x 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
2
2 1 x
x 1 xx 21
2
x 1 1 x 1
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x 1
xx 21
2
x 2 2
2 2
1 x
2
x 1 2 xx 1
2
2 xx 21
1 2 x 1 ...
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ứ ề ượ ọ ế ấ ổ ể Chú ý: M i bi u th c đ u đ c bi n đ i xu t hi n x ệ 1 + x2 và x1 . x2
ị ủ ứ ứ ệ ể 1. Tính giá tr c a bi u th c ch a nghi m
ươ ả ươ ứ ế ể ậ ổ ướ Ph ng pháp : Không gi i ph ng trình b c hai, ta bi n đ i bi u th c đã cho d i
ệ ổ ạ d ng t ng và tích các nghi m
ậ ụ ị ủ ể ể ị ứ V n d ng Đ nh lý Viet đ tính giá tr c a bi u th c
1
2
x
+ x
;x x hãy tính
2 8
= 15 0
2
2
+
x+
- ươ ng trình có hai nghi m ệ Ví dụ: Cho ph
x 1
2
1 x 1
1 x 2
a) b)
+
8;
15
Gi iả
x 1
x 2
= x x 1 2
b = - = a
c = a
2
2
2
2
+
=
+
=
=
ị Theo Đ nh lý Viet ta có:
x
(
)
2
= - 8
2.15 64 30 34
x 1
x 2
x 1
2
x x 1 2
+
x 2
+
=
=
- - a)
8 15
1 x 1
1 x 2
x 1 x x 1 2
b)
2
Bài t pậ .
1
2
x
x
5
3
0
;x x hãy tính
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ Bài 1. Cho ph ng trình có hai nghi m ệ
x+
2
x 1
2
1 x
1 2 x 1
2
2
(cid:0) a) b)
1
2
x
4
;x x hãy tính
3
(cid:0) (cid:0) ươ Bài 2. Cho ph ng trình có hai nghi m ệ
(cid:0) 2
x+
x (cid:0)
x
x 7 b) (cid:0)
3 x 1
2
1
2
a)
11
ố ỏ ị ủ ứ ể ệ 2. Tìm giá tr c a tham s th a mãn bi u th c nghi m cho tr ướ c
;x x 1 2
ươ ố ể ươ ề ệ Ph ng pháp: ệ ủ Tìm đi u ki n c a tham s đ ph ng trình có hai nghi m
ừ ể ệ ứ ể ả ụ ứ ứ ệ T bi u th c ch a nghi m đã cho, áp d ng h th c Viet đ gi i
ươ ph ng trình tìm m
ề ệ ể ế ố ớ ị Đ i chi u v i đi u ki n đ xác đ nh m
ị ủ ể ệ ươ ng trình
1
2 1
2 2
(cid:0) Ví d 1ụ . Tìm giá tr c a tham s m đ các nghi m x x ủ 1, x2 c a ph (cid:0) x ố mx2 2(m 2)x + (m 3) = 0 thoã mãn
Gi i:ả
(cid:0) ệ ề ể ươ ng trình có hai nghi m: m 0 ; (cid:0) ' ≥ 0
(cid:0)
)2
(2
x
x 1
2
m m
m
3
xx 21
m
2
(cid:0) ệ Đi u ki n đ ph ' = (m 2)2 m(m 3) = m + 4 ' (cid:0) m (cid:0) 0 (cid:0) 4. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ớ V i 0 m (cid:0) 4, theo Đ nh lý Viet: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
1
2
1
2 2
x 1
2
xx 21
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Do đó: x 2 1
2
2
3
4
1
2
m m
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
(cid:0)
2
(cid:0) ị m (cid:0) 4
2 2
ậ = 1
ớ Ví d 2ụ . Cho ph
m m 4m2 16m + 16 2m2 + 6m = m2 m2 10m + 16 = 0 ặ m = 2 ho c m = 8 Giá tr m = 8 không thoã mãn 0 V y v i m = 2 thì ươ ể ươ Tìm m đ ph
x (cid:0) 1 x 2 + 3x – m = 0 (1) ng trình x ng trình có hai nghi m x
1, x2 th a mãn: 2x
1 + 3x2 = 13.
ệ ỏ
m
m
0
49
0
9 4
Gi iả (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ươ ệ Đ ph ng trình có 2 nghi m thì
ị Theo Đ nh lý Viet và theo bài ra ta có:
x
3
22
x
x 1 x
2 3
13
19
2 m
x 1 x 2 1 xx 21 ậ
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 m 418 ớ V y v i m = 418 thì ph ậ Ví d 3ụ . Cho ph
ươ ệ ỏ ng trình có 2 nghi m th a mãn 2x1 + 3x2 = 13.
2 – mx +m – 1 = 0 2 – 6 x1x2 = 8
1
ươ ị ủ ể Tìm giá tr c a m đ A = x ng trình b c hai x 2 +x2
2
2
m
m
m
m
(
)
(4
)1
(
)2
0
Gi iả (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có :
12
1, x2
x
m
2
m
1
x 1 xx 1
2
ươ ệ Nên ph ng trình luôn có 2 nghi m x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị Theo Đ nh lý Viet ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ặ
ớ
2 – 4x + m + 5 = 0
ươ A = (x1 +x2)2 – 8x1x2 = m 2 8 (m 1) = m2 – 8m + 8 A = 8 <=> m2 – 8m +8 = 8 <=> m2 8m = 0 <=> m = 0 ho c m = 8 ặ V y v i m = 0 ho c m = 8 thì A = 8 ng trình 3x ậ Ví d 4ụ . Cho ph
1 x
4 7
1 x 1
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ươ ệ Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m phân bi t x ệ 1, x2 sao cho :
ề ể ọ ọ (Đ ki m tra h c kì II – Năm h c 20092010)
Gi iả
ươ ệ ệ Ph ng trình có 2 nghi m phân bi t khi:
m
0'
(34
)5
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
m
m 3
11
0
11 3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x 1
2
4 3
m
5
xx 21
3
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị Theo Đ nh lý Viet ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
Ta có:
x
m
5
4
2
:
1 x
m
4 7
4 7
4 3
3
4 7
5
4 7
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
1 x 1 m
m
TMDK
x 1 xx 21 (12
5
7
)
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
ậ ớ ươ ệ ỏ V y v i m = 12 thì ph ng trình có ệ hai nghi m phân bi t th a mãn :
4 7
2
1 1 x x 1 Bài t p: ậ
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
mx
m
x
m
(2
)1
(3
)2
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ Bài 1. Cho ph ng trình .
1
1
2
x 1
x 2 2
2
(cid:0) (cid:0) ể ươ ệ ị ủ Tìm giá tr c a m đ ph ng trình có hai nghi m ỏ ;x x th a mãn
x
m
mx
2
2
4
0
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ Bài 2. Cho ph ng trình
x
2
0
x 1
2
xx 21
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ể ươ ệ ị ủ Tìm giá tr c a m đ ph ng trình có hai nghi m x ỏ 1, x2 th a mãn:
2
- = 2
ử ề ọ (Đ thi th vào THPT năm h c 20132014)
x
+ m
+ x m
2(
2)
9 0
- ươ Bài 3. Cho ph ng trình
x 1
= x 2
+ x 1
x 2
- ể ươ ệ ị ủ Tìm giá tr c a m đ ph ng trình có hai nghi m x ỏ 1, x2 th a mãn:
13
ệ ứ ệ ữ ụ ộ ị ủ ệ 3. Tìm h th c liên h gi a hai nghi m không ph thu c vào giá tr c a
tham s ố
' 0
0 ho c a.c < 0).
+
= -
x
= S x 1
2
=
= P x x 1 2
D (cid:0) (cid:0) ươ ể ươ ề ệ ệ ặ Ph ng pháp : Tìm đi u ki n đ ph ng trình có nghi m ( (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; D b a (cid:0) ệ ứ ậ ươ L p h th c Viét cho ph ng trình . (cid:0) (cid:0) (cid:0)
c a ạ ố
ố ằ ử ươ ệ ứ ộ Kh tham s (b ng ph ng pháp c ng đ i s ) tìm h th c liên h ệ
2
(cid:0) ữ ệ ứ ộ ậ ớ gi a S và P ố Đó là h th c đ c l p v i tham s .
x
m
mx
2
1
3
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ng trình: Ví d 1ụ : Cho ph
ươ ị ủ ớ ọ a) CMR ph ệ ng trình luôn có hai nghi m v i m i giá tr c a m
ệ ữ ệ ứ ộ ậ ệ ớ b) Tìm h th c liên h gi a các nghi m đ c l p v i m
ử ề ọ (Đ thi th vào THPT năm h c 20132014)
2
Gi iả
2
2
m
m
m
m
m
'
1
(
)3
m 3
4
0
3 2
7 4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) Ta có: (cid:0) (cid:0)
ậ ươ ệ ệ ớ ị ủ ọ V y ph ng trình luôn có hai nghi m phân bi t v i m i giá tr c a m
x
m
m
m
m
x
(2
)1
2
2
(2
)1
2
2
2
2
m
m
3
2
6
x 1 xx 21
x 1 xx 2 21
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị b) Theo Đ nh lý Viet ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
2
4
x 1
2
xx 21
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ủ ụ ộ không ph thu c vào giá tr c a m
x
m
x
m
(
)1
2
2
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ng trình Ví d 2: ụ Cho ph
ệ ữ ệ ứ ụ ệ ộ ố Tìm h th c liên h gi a hai nghi m không ph thu c tham s m
ử ề (Đ thi th vào THPT năm 20132014)
2
2
2
Gi iả
m
m
m
m
m
m
1
24
2
6
9
3
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Ta có:
ươ ị ủ ệ ớ ọ Nên ph ng trình luôn có nghi m v i m i giá tr c a m
x
m
x
m
1
(2
)
2
2
2
x 1
m
2
2
2 m 2
2
x 1 xx 21
xx 21
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị Theo Đ nh lý Viet ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
2
4
x 1
2
xx 21
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị ủ ụ ộ không ph thu c vào giá tr c a m
m
x
+ - = mx m
(
1)
2
4 0
2
=
+
- - ủ ươ ệ ;x x là nghi m c a ph ng trình Ví d 3ụ : G i ọ 1
A
3(
+ ) 2
8
x 1
x 2
x x 1 2
- ứ ứ ể ị ủ ụ Ch ng minh bi u th c ộ không ph thu c giá tr c a m
14
Gi iả
1
0
1 0
�
�
2
1
;x x thì:
m
0
4 0
m � m
a � � �
m � � 5 �
4 5
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ể ươ ệ Đ ph ng trình có hai nghi m D (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
+
=
x 1
x 2
m 1
=
x x 1 2
m m
2 m 4 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) ị Theo Đ nh lí Viet ta có: - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
=
+
+
A
3(
+ ) 2
8
3.
2.
- = 8
0
x 1
x 2
x x 1 2
2 m
m m
0 m
m 1
4 1
= 1
=
+
- - ượ Thay vào A ta đ c: = - - -
A
3(
+ ) 2
8
m (cid:0)
1m"
x 1
x 2
x x 1 2
4 5
- (cid:0) V y ậ = 0 v i ớ và
ụ ứ ể ộ hay bi u th c A không ph thu c vào m
Bài t pậ :
2 – (m – 3)x – 2m = 0 (1).
ươ ậ B ài 1 . Cho ph ng trình b c hai x
ươ ệ ệ ớ ọ a) CMR: Ph ng trình (1) luôn có hai nghi m phân bi t v i m i m.
2
- = 2
ệ ứ ụ ộ b) Tìm h th c liên h gi a x ệ ữ 1, x2 không ph thu c vào m.
x
+ m
+ x m
2(
1)
1 0(1)
- ươ Bài 2 Cho ph ng trình
ấ ả ệ ể ị a) Tìm t t c các giá tr m đ (1) có nghi m
1
2
;x x c a (1) sao cho h th c đó không
ệ ữ ệ ứ ệ ệ ứ ủ b) Tìm h th c liên h gi a hai nghi m
ụ ộ ố ph thu c tham s m
ị ớ ứ ứ ệ ể ấ ỏ ấ ủ 4. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a bi u th c ch a nghi m
ươ ị ng pháp : * Tìm giá tr nh nh t c a A :
ộ ằ ấ ủ (cid:0) 2)(xf ỏ Ph Phân tích A = (cid:0) ố + M (M là m t h ng s )
ấ ỏ ị A có giá tr nh nh t khi f(x) = 0
ả Gi i f(x) = 0 tìm x
ấ ủ ỏ ị Giá tr nh nh t c a A là M
ị ớ
ấ ủ * Tìm giá tr l n nh t c a A: (cid:0) 2)(xf Phân tích A = M (cid:0) ố ằ (M là h ng s )
ị ớ ấ A có giá tr l n nh t khi f(x) = 0
ả Gi i f(x) = 0 tìm x
15
ấ ủ ị ớ Giá tr l n nh t c a A là M
2 – 2mx + m2 – 1 = 0
ươ ng trình x Ví d 1ụ . Cho ph
ươ ệ ệ ớ ọ a) CMR ph ng trình luôn có hai nghi m phân bi t v i m i m
2
2
ủ ệ ươ ấ ủ ể ị ứ ỏ ng trình. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c b) G i xọ 1, x2 là hai nghi m c a ph
x
xP 1
2
xx 21
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
ề ể ọ (Đ ki m tra HKII – Năm h c 20082009)
2
1
Gi iả
m
m
m
'
(
01)1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) Ta có:
ậ ươ ệ ệ ớ ọ V y ph ng trình luôn có hai nghi m phân bi t v i m i m
x
m
2
2 2
m
1
x 1 xx 21
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị b) Theo Đ nh lý Viet ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
x
x
2
xP 1
2
xx 21
x 1
2
xx 21
xx 21
2
2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
m
m
m
m
2
3
1
33
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
ậ ỏ ị ấ ủ V y giá tr nh nh t c a P = 3 khi m = 0
x
m
+ - = 2 x m m
(
1)
2 0
x+
- - - ươ ng trình Ví d 2ụ . Cho ph
1 và x 2 , tìm giá tr c a m đ
2 2
ệ ọ ị ủ ạ ấ ỏ G i 2 nghi m là x ị đ t giá tr nh nh t. ể 2 x 1
Gi iả
x
m
1
2
2
m
m
2
x 1 xx 21
2
2
2
+
=
+
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị Theo Đ nh lý Viet ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
=
- - - - -
(
) 2
2
m
+ 2 m m
(
1)
2(
2)
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
2
2
2
m
+ + m
m
m
m
1 2
2
+ = m 2
4 3
+ 4
5
2
2
=
- - - =
+ m
m
m
3
3(
2
)
4 3
5 3
4 11 2 + + 3 9 9
� m � �
� = � �
- -
m= 3(
22 + ) 3
11 11 3 3
- (cid:0)
)
x+
2 x 1
2 2
11 3
2 3
khi m = của ( ậ V y GTNN là
2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0
ủ
Ví d 3ụ . G i xọ 1; x2 là nghi m c a ph ị ớ ươ ng trình 2x ứ ể ệ ấ ủ Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: A = (cid:0) x1x2 2x1 2x2(cid:0)
Gi iả
16
x
m
(
)1
x 1
2
2
m
m
3
xx 21
4 2
2
2
ể ươ Đ ph (cid:0) 0 (cid:0) ệ ng trình đã cho có nghi m thì: ' = (m + 1)2 2(m2 + 4m + 3) = (m + 1)(m + 5) (cid:0) 5 (cid:0) m (cid:0) 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị Theo Đ nh lý Viet ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0)
m
m
m
3
7
A
x
m
2
2
(2
)1
xx 21
x 1
2
4 2
m 8 2
2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
m
m
m
5
1
8
0
1 2
m
7
(9
)4
m (cid:0)
7 9 2
m 7 (cid:0) m 2
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Vì (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Suy ra: A = = nên 82 m 2
ả ấ D u “ = ” x y ra khi (m + 4)
2 = 0 hay m = 4 9 2
ị ớ ạ ậ ấ khi m = 4 V y A đ t giá tr l n nh t là
2
- = 2
Bài t pậ .
x
m
2(
+ x m 4)
8 0
2
1
+
- - ể ươ Bài 1. Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m ệ ỏ ;x x th a mãn:
3
= A x 1
x 2
x x 1 2
2
+
- ị ớ ạ a) ấ đ t giá tr l n nh t
= 2 B x 1
x 2
x x 1 2
- ạ ỏ b) ấ ị đ t giá tr nh nh t
2 – mx + (m 2)2 = 0
ươ Bài 2. Cho ph ng trình: x
1x2 + 2x1 + 2x2
2
ấ ủ ị ớ ứ ể ấ ỏ Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c: A = x
x
m
- = 2 m
(3
+ x 1)
2(
1) 0
- - ươ Bài 3. Cho ph ng trình
ứ ươ ệ ọ ớ a) Ch ng minh ph ng trình luôn có nghi m v i m i m
2
;x x là hai nghi m c a ph
2
+
= 2 A x 1
x 2
ủ ệ ươ ấ ủ ể ị b) G i ọ 1 ứ ỏ ng trình, tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
ủ ệ ấ ươ ậ V. Xét d u các nghi m c a ph ng trình b c hai
ườ ấ ủ ệ ợ Các tr ng h p xét d u c a nghi m
D (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) ươ ệ Ph ấ (cid:0) ng trình có 2 nghi m cùng d u (cid:0) > P 0
D (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ệ ươ Ph ng trình có 2 nghi m d ng (cid:0) (cid:0) > P 0 > S 0
17
D (cid:0) (cid:0) 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ệ Ph ng trình có 2 nghi m âm (cid:0) (cid:0)
P
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) > P 0 < S 0 0 (cid:0) ươ ệ Ph ấ (cid:0) ng trình có 2 nghi m trái d u (cid:0) (cid:0)
ươ ệ ổ ị Ph ng pháp : Tính t ng và tích hai nghi m theo Đ nh lý Viet
ấ ủ ổ ự ề ể ệ D a vào đi u ki n đ xét d u c a t ng và tích
2 + 3x – m = 0
ươ ng trình x Ví d 1ụ . Cho ph
ể ươ ệ ấ Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m cùng d u
Gi iả
0
�
�
< m 0
�
m �
> P 0
9 � � 4
- >
9 4 m 0
(cid:0) D (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - ươ ệ ấ Ph ng trình có hai nghi m cùng d u (cid:0) (cid:0) (cid:0)
2 2(m + 2)x + m = 0
ươ ng trình mx Ví d 2ụ . Cho ph
ể ươ ệ ệ a) Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m phân bi t
ể ươ ệ ệ ề b) Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m phân bi t đ u âm
2
2
Gi iả
m
m
m
'
(
)2
4
4
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a) Ta có :
m
m
m
0
0
0
m
m
0'
4
4
0
1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ệ ệ Ph ng trình có hai nghi m phân bi t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:0) ậ ớ ươ ệ ệ V y v i m 0 và m > 1 thì ph ng trình có hai nghi m phân bi t
)2
(2
S
x
x 1
2
m m
1
xxP 21
m m
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị b) Theo Đ nh lý Viet ta có: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
18
ươ ệ ệ ề Ph ng trình có hai nghi m phân bi t đ u âm
0
m
0
0
m m
1
m m
m m
m
1
1
0
1 m
2
0
0
01 m (2
)2
P S
0 0' 0 0
0
m
m m
2 0
0
2
m m
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
m
1
0
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ậ ớ ươ ệ ệ ề V y v i thì ph ng trình có hai nghi m phân bi t đ u âm
Bài t pậ :
2 2( m 2)x 6m = 0
ươ Bài 1. Cho ph ng trình: x
ả ươ a) Gi i ph ng trình khi m = 3
ể ươ ệ b) Tìm m đ ph ng trình có hai nghi m cùng âm
x
m
2 2(
- = + x m 2 1)
3 0
- - ươ Bài 2. Cho ph ng trình (1)
ứ ệ ớ ọ a) Ch ng minh (1) luôn có nghi m v i m i m
ị ủ ệ ể ấ b) Tìm giá tr c a m đ (1) có hai nghi m trái d u
ị ủ ệ ệ ệ ể ấ c) Tìm giá tr c a m đ (1) có hai nghi m sao cho nghi m này g p đôi nghi m kia
ể ươ ị Bài 3. Xác đ nh m đ ph ng trình
mx
+ m
+ x
- = m
2 2(
2)
3(
2) 0
2
- a) có hai nghi m cùng d u ấ ệ
m
x
(
1)
+ = x m 2
0
- - ệ ấ ộ b) có ít nh t m t nghi m không âm
ả ả ụ ề ế II.1. K t qu kh o sát sau khi áp d ng đ tài
ớ ộ ứ ụ ế ế ề ả Sau khi áp d ng đ tài tôi ti n hành kh o sát v i n i dung ki n th c liên quan
ả ạ ượ ủ ứ ụ ế ọ ị ị ế đ n Đ nh lý Viét và ng d ng c a Đ nh lý Viét trên 30 h c sinh. K t qu đ t đ c
ư nh sau:
19
0 < 2 2 < 5 5 < 6,5 6,5 < 8 8 10
SL / % / SL 2 % 6,7 SL 9 % 30 SL 9 % 30 SL 10 % 33,3
ế ả *K t qu :
ố ượ ụ ề ố ượ ả ọ ể ạ ọ Sau khi áp d ng đ tài thì s l ế ng h c sinh y u gi m, s l ng h c sinh đ t đi m
ỏ khá gi i tăng lên
ố ọ ắ ượ ộ ủ ứ ụ ị ả Đa s h c sinh n m đ c n i dung c a Đ nh lý Viet và ng d ng trong gi i toán,
ậ ụ ề ậ ố nhi u em v n d ng vào làm bài t p khá t t
ứ ứ ể ệ ế ạ ọ ổ ế H c sinh đã bi n đ i khá thành th o các bi u th c ch a nghi m, bi ị t cách tìm giá tr
ệ ứ ộ ậ ố ỏ ứ ứ ể ệ ớ ố tham s th a mãn các bi u th c ch a nghi m, tìm h th c đ c l p v i tham s
Ầ Ậ Ế C. PH N K T LU N
ủ ề 1. Ý nghĩa c a đ tài:
ự ề ướ ẫ ọ ệ Trong quá trình th c hi n đ tài nay, tôi đã h ạ ng d n cho h c sinh phân lo i
ậ ạ ờ ả ố ớ ừ ạ ố các d ng bài t p, cách phân tích tìm l i gi i đ i v i t ng d ng bài, tìm m i liên h ệ
ế ố ầ ế ố ữ ế ể ậ ụ ứ ế gi a các y u t ớ c n tìm v i các y u t đã bi t đ v n d ng các ki n th c liên quan
ả ệ vào vi c gi i toán.
ệ ứ ứ ụ ủ Ngoài các ng d ng c a h th c Viét đã nêu trong sách giáo khoa tôi đã cung
ự ủ ọ ộ ố ạ ọ ợ ớ ậ ấ c p thêm cho h c sinh m t s d ng bài t p khác phù h p v i năng l c c a h c sinh.
ệ ồ ờ ọ ổ ả ậ ượ Đ ng th i, vi c tôi cùng các em h c sinh trao đ i, gi i bài t p giúp phát huy đ c tính
ạ ủ ọ ủ ộ ự ự ứ tích c c, ch đ ng, sáng t o c a h c sinh, giúp các em t ọ ậ tin và có h ng thú h c t p
ả ơ ệ ệ ậ ờ ọ ơ ự ơ h n. Nh đó khi làm bài t p h c sinh đã th c hi n nhanh h n và có hi u qu h n, có
ộ ố ữ ả ấ ắ ọ ộ ư m t s em còn đ a ra nh ng cách gi i r t hay và ng n g n cho cùng m t bài toán.
ậ ứ ủ ự ữ ạ ị ọ ụ Trên đây là nh ng d ng bài t p ng d ng c a Đ nh lí Viét mà tôi đã l a ch n
ẽ ậ ụ ạ ế ề ằ ọ ố ể đ truy n đ t đ n h c sinh, mong r ng qua đó các em s v n d ng t ơ t và phát huy h n
ọ ậ ự ế ả ự ể ệ ạ ộ ữ n a năng l c h c t p b môn. Qua th c t gi ng d y và tìm hi u tài li u tôi đã c ố
ể ệ ự ứ ề ệ ắ g ng th hi n đ tài nghiên c u này. Tuy nhiên trong quá trình th c hi n không th ể
ồ ạ ữ ỏ ế ệ ấ ầ ồ tránh kh i nh ng t n t ế i, thi u sót r t mong quý th y cô, đ ng nghi p đóng góp ý ki n
ư ề ượ ứ ế ự ả ơ ể ấ đ v n đ mà tôi đ a ra đ ụ c ng d ng thi ệ t th c và có hi u qu cao h n.
20
21
