UBND QUẬN HOÀNG MAI TRƯỜNG THCS YÊN SỞ TIN BÀI:
ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT ĐỂ ÔN LUYỆN THI VÀO 10
A/ ĐẶT VẤN ĐỀ I. Mở đầu:
Chúng ta đã biết rằng dạy toán không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh có những khái niệm, những định lí, những kiến thức…., mà điều quang trọng hơn cả là người thầy phải dạy cho học sinh có được năng lực trí tuệ, năng lực này sẽ được hình thành và phát triển trong hoạt động học tập. Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách và cần thiết, nhằm hình thành cho học sinh thói quen tư duy tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện cho các em khả năng vận dụng kiến thức vào thực tiển, đòi hỏi mỗi giáo viên đứng lớp phải có một phương pháp truyền đạt kiến thức phù hợp, có khả năng hệ thống, phân loại và chọn lựa các dạng bài tập phong phú, đáp ứng được yêu cầu tối thiểu của ngưòi học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin và sự hứng thú trong học tập của học sinh.Trong chương trình toán 9, lí thuyết phần lớn có tính chất hệ thống, cung cấp phương pháp, bài tập thì phong phú, rèn luyện được kỹ năng giải toán cho học sinh . Trong đó “Ứng dụng hệ thức Vi-ét” là phần kiến thức quan trọng, cơ bản của chương “Hàm số y = ax2 (a khác 0) – Phương trình bậc hai một ẩn”. Những bài toán có sử dụng hệ thức Vi ét rất phong phú, nhờ đó mà ta có thể giải quyết được các yêu cầu của bài toán. II. Cơ sở lí luận
Để phát triển khả năng tư duy và sáng tạo trong việc học toán và giải toán thì việc tìm ra kết quả của một bài toán, phải được coi như là giai đoạn mở đầu cho một công việc. Trong quá trình dạy học toán nói chung và quá trình giải toán nói riêng, người dạy cần tạo cho học sinh thói quen là “sau khi tìm được lời giải một bài toán, dù lời giải bài toán đó đơn giản hay phức tạp, thì cũng cần tiếp tục suy nghĩ lật lại vấn đề, tìm thêm lời giải khác, cố gắng tìm ra phương án giải tối ưu nhất có thể được”. Hãy luôn nghĩ đến việc khai thác bài toán bằng các con đường tương tự hoá, tổng quát hoá, đặc biệt hoá để tạo ra bài toán mới trên cơ sở bài toán đã có. Đối với việc học toán thì việc rèn luyện kỹ năng giải toán là hết sức cần thiết, cần phải rèn luyện thường xuyên kỹ năng giải toán bằng nhiều cách, giải nhiều bài tập thuộc nhiều dạng khác nhau, nhiều loại toán khác nhau và sau đó tựmình suy nghĩ rồi rút ra bài học kinh nghiệm. Trước khi giải một bài toán, nên tìm hiểu xem bài toán thuộc loại nào?
dạng nào? Sau đó tư duy chọn phương pháp giải cho thích hợp, có định hướng cho phương pháp giải đó và khai thác bài toán tốt hơn III. Cơ sở thực tiễn Đối với học sinh trường THCS Yên Sở phần lớn các em học còn yếu về môn toán, với nhiều lí do khác nhau, điều này hạn chế rất lớn đến việc phát huy tính tích cực và độc lập nhận thức khi giải toán của học sinh, dẫn đến các em không ham học toán và không tự tin khi giải toán, lúng túng trong lí luận và trình bày.
Hệ thức Viét là một nội dung quan trọng trong chương trình Đại số 9. Là một phần không thể thiếu trong quá trình ôn thi vào 10. Trong các tài liệu tham khảo chỉ viết chung chung nên học sinh lúng túng khi học phần này. Sau nhiều năm dạy lớp 9, bằng kinh nghiệm giảng dạy và tìm tòi thêm các tài liệu tôi đã phân chia ứng dụng của Hệ thức Vi-ét thành nhiều dạng để học sinh dễ nhận dạng và vận dụng linh hoạt khi gặp dạng toán này Sau đây là hệ thống bài tập mà tôi đã áp dụng vào luyện tập, ôn tập, ôn thi cho học sinh lớp 9 và có hiệu quả tốt. B/ NỘI DUNG
I. Lý thuyết: + Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 thì S = x1 +x2 = b a P = x1.x2 = c a
+ Nếu hai số x1 , x2 có tổng x1 + x2 = S và tích x1x2 = P thì hai số đó là các nghiệm của phương trình X2 - SX + P = 0 (Định lý Vi-ét đảo) II. Nội dung: Vận dụng Định lý Vi-ét và Vi-ét đảo ta chia làm các dạng bài tập sau: Dạng 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm
;x x 1 2
Ví dụ : Cho 1
5
S
x 1
Theo hệ thức Vi-et ta có
6
x 2
P x x 1 2
2
2
x
Sx P
0
x
5
x
6
0
2;x x là nghiệm của phương trình có dạng:
2
2
2 x ; 3 x lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên 2
Vậy 1 Bài tập áp dụng: Cho:
1. 2. 3. 4.
và và và và
x1 = 8 x1 = 3a x1 = 36 x1 = 1
x2 = -3 x2 = a x2 = -104 x2 = 1
Hãy lập phương trình bậc hai lần lượt chứa hai nghiệm trên 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : 2 3 x
có 2 nghiệm phân biệt
2
0
x
2;x x . Không giải
1
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
y
và
y 1
x 2
2
x 1
1 x
1 x 1
2
Ta có:
x 2
S
y
x
(
)
(
)
3
y 1
2
2
x 1
x 1
x 2
x 1
x 2
1 x
3 2
9 2
1 x
2
1 x 1
x 1 x x 1 2
1 x 1
2
(
)(
)
1 1
2 1 1
P y y 1 2
x 2
x 1
x x 1 2
1 2
9 2
1 x 2
1 x 1
1 x x 1 2
2
y
Sy P
0
Vậy phương trình cần lập có dạng:
2
2
hay
y
y
0
2
y
9
y
9
0
9 2
9 2
Dạng bài tập này đã khó hơn một chút, đòi hỏi học sinh phải biết suy luận. Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình
có 2 nghiệm phân biệt
x 5
23 x
6
0
1
y
x
trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm
và
y 1
x 1
2
2
2;x x . Không giải phương 1 x 1
1 x 2
2
26 y
y 5
(Đáp số:
) 3 0
y
hay 0
1 2
2/ Cho phương trình :
1 0
có 2 nghiệm
5 y 6 2 5 x
x
1
x
y
2;x x . Hãy lập phương trình bậc 2 có (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của
và
ẩn y thoả mãn
2
4 2
y 1
2 727
4 x 1 phương trình đã cho). (Đáp số :
2
2
x
2
x m
0
3/ Cho phương trình bậc hai:
có các nghiệm
2;x x . Hãy lập phương
1
trình bậc hai có các nghiệm
y y ) 1 0
2
;y y sao cho : 1
a)
x và 1 3
1
x y 2 2 3
y 1 và
b)
2
2
2
2
2
y 1 x 22
x 12 y 1 (Đáp án
a)
b)
y 4 y 3 m y 2 y (4 m 3) 0 0 )
Dạng 2:Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1= 1, còn nghiệm kia là x2 = c a
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a khác 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1= -1, còn nghiệm kia là x2 = - c a
a) 3x2 - 5x + 2 = 0 b) -7x2 - x + 6 = 0
Ví dụ 1: Không giải phương trình hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: Giải: a) Ta có a + b + c = 3 - 5 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = c a
= 2 3
b) Ta có a - b + c = -7 +1 + 6 = 0 nên phương trình có hai nghiệm x1= -1, x2 = - c a
= 6 7
x1+ x2 = 7 và x1x2 = 10 ta nhẩm được hai nghiệm là x1= 2, x2 = 5
. Theo hệ thức Viét ta có
Trong trường hợp phương trình có nghiệm nguyên đơn giản ta có thể nhẩm nghiệm theo hệ thức Vi-ét, xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình sau a) x2 - 7x + 10 = 0 b) x2 + 6x +8 = 0 Giải: a) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 thì theo hệ thức Viét ta có: b) Tương tự như câu a) ta có x1 + x2 = -6 và x1x2 = 8 nên x1 = -2, x2 = -4 Dạng 3:Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho Ví dụ1: Cho phương trình 2x2 - px + 5 = 0. Biết phương trình có một nghiệm là 2. Tìm p và tìm nghiệm còn lại Giải: Cách 1: Thay x = 2 vào phương trình ta được p = 13 2
x1x2 = 5 2
mà x1= 2 nên x2 = 5 4
.
Mặt khác x1+ x2 =
Cách 2: Vì phương trình có nghiệm nên theo hệ thức Viét ta có mà x1 = 2 nên x2 = 5 x1 x2 = 5 4 2 p = 2 + 5 4 2
p = 13 2
p 2
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 + mx - 3 = 0. Biết phương trình có một nghiệm là 3. Tìm m và tìm nghiệm còn lại Giải:
2 7
x q
0
x
Tương tự như ví dụ trên ta tìm được m = -2 và nghiệm còn lại là x = -1 Ví dụ 3 : Cho phương trình :
, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
và theo Vi-et ta có
x
nghiệm của phương trình. Giải: Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử 1 x
x
11
9
2 11
2 x
7
2
x 1 x 1
2
x 1 x 2
7 , ta giải hệ sau: x 1 x 2
Suy ra
2
q 18 x x 1 2
x qx 50 0
Ví dụ 4: Tìm q và hai nghiệm của phương trình :
và theo Vi-et ta có
, biết phương trình có
2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Giải: Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử 1 x
x 22
. Suy ra
x
5
2
2
2
50
5
2 x 2
2 2
x
5
2
x
50 x x 1 2
Với
2
x
5
Với
x 10
2
2
ax
bx
0
c
(a 0) . Khi đó:
0 ac
x thì 1 5 x thì 1 10
Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Cho phương trình: 1.Phương trình có hai nghiệm trái dấu
2.Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
0 0
P
0
P
0
3.Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
S
0
4.Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt
0 0 0
P S
5.Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
nghiệm dương
ac 0 S 0
0
Chú ý: Phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình có hai nghiệm 0 Ví dụ1 : Không giải phương trình xét dấu các nghiệm của các phương trình sau:
a) x2 - 2 3 x + 4 = 0 b) x2 + 5x - 1 = 0
c) x2 - 2 3 x + 1 =0 d) x2 + 9x + 6 = 0
Giải: a) Ta có '= -1 < 0 nên phương trình vô nghiệm b) Ta có P < 0 nên phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Ta có ' = 2; S = 2 3 > 0; P = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm dương phân biệt d) Ta có =57; S = -9 < 0; P = 6 > 0 nên phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Ví dụ 2: Tìm điều kiện của m để phương trình sau: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 a) Có hai nghiệm khác dấu b) Có hai nghiệm phân biệt đều âm c) Có hai nghiệm phân biệt đều dương d) Có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau Giải a) Phương trình có hai nghiệm khác dấu khi P < 0 hay m - 1 < 0 m < 1 b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm khi
0
0
3
2
m
m
m
S P
2 m 0 1 0
1 2 m
0 0
1 3 2
c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương khi
0
2
m
3
0
S
1 2
0
2 m
0
không có giá trị nào của m thoả mãn
P
0
m
1 0
0 0
x
1 - 2m = 0 m = 1 2
d) Phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau hay phương trình có hai nghiệm đối nhau . Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi S Điều cần chú ý ở đây là khi < 0 thì không cần xét dấu các nghiệm của phương trình vì phương trình vô nghiệm. Khi P < 0 thì kết luận ngay phương trình có hai nghiệm trái dấu vì > 0 Khi P > 0 ta phải xét đến hai yếu tố còn lại là và S Dạng 5:Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình đã cho .Phương pháp: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( 1 x
) và 1 2x x
2
2
(
2
) 2
(
)
2
a/
2 x 1
2 x 2
2 x 1
x x 1 2
x x 1 2
x 2
x x 1 2
3
b/
2
3 x 1
3 x 2
x 1
x 2
2 x 1
x x 1 2
2 x 2
x 1
x 2
x 1
x 2
x x 1 2
2 x 2
2
2
x
(
(
x
x
2
(
)
2
2
c/
4 x 1
4 2
2 2 x ) 1
2 2 ) 2
2 x 1
2 2 x x 1 2
x 1
x 2
x x 1 2
2 2 x x 1 2
2 2
x 1 2
3
3
2
2
2
2
(
x
)(
x
)
.
x
(
x
)
d/
x 1
2
x 1
2
x 1
2
x 1
2
5 x 1
x = 5 2
x
2
đ/
1 x
1 x 1
2
x 1 x x 1 2
2
2
2
?
Ta biết
e/ 1 x
x 2
2
4 4 x 1 x 1 x 2 x x 1 2 x 1 x 1 x 2 x x 1 2
(
x
)
4
.(
x
g/
2
x 1
2
xx 21
x 1
2 x 1
2 x 2
x 1 x 1 x 2 x 2
h/
=…….
=
2
2 x 1
2 x 2
3 x 1
3 x 2
x 2 ) x x 1 2 x 2 = x x 1 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2
x
i/
2 2
2 x 1
2 x 1
2 2
4 x 1
4 x 2
x
(
(
x
= =
k/
= ……..
2 2
2 3 x ) 1
2 3 x ) 2
2 x 1
2 x x 1
2 2
4 2
6 x 1
6 x 2
x
=……
2
2
2
2
(
(
x
32 )
32 )
22 )
22 )
...
x
x
x
(
.
2
x 1
x 1
x 1
2
2
2
4 x 1 ()
6 x 1
6 x 2
3 c)
l/ x ( 1 Ví dụ 1: Cho phương trình x2+ mx + 1 = 0 ( m là tham số) Nếu phương trình có nghiệm x1, x2 . Hãy tính giá trị biểu thức sau theo m: a) x1
2 b) x1
3 + x2
2 + x2
2 = (x1 +x2)2 - 2x1x2 = m2 - 2 3 = (x1+x2)3 - 3x1x2(x1+ x2) = -m3+ 3m
2 + x2 3 + x2
=
2 4m
x 2 x 1
x 2 x 1
Giải: Vì phương trình có nghiệm x1, x2 nên theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = -m và x1.x2 = 1 a) x1 b) x1 c) (x1 - x2)2 = (x1 +x2)2 - 4x1x2 = m2- 4 nên Ví dụ 2: Cho phương trình x2- 4x + 1 = 0 . Không giải PT, tính giá trị của biểu thức
A
2
8
9 5
4 x 1
x 1
x 1
5
5
x 1
( với x1 là một nghiệm của phương trình đã cho) Giải: Ta phải biến đổi biểu thức dưới căn bậc hai thành dạng (5x1+a)2 để đưa A về dạng A= 1 a x Bằng cách xét dấu nghiệm của phương trình đã cho chứng tỏ 5x1+ a > 0 từ đó tính được giá trị của A. Sau đây là cách biến đổi cụ thể: Vì x1 là nghiệm của phương trình đã cho nên : x1
2 = 4x1-1 x1
2 - 8x1+ 1
4 = 16x1
A
32
8
11 5
25
7
8
11 5
2 x 1
x 1
x 1
2 x 1
2 x 1
x 1
x 1
25
7(4
1) 8
11 5
2 x 1
x 1
x 1
x 1
2
5
2
5
5
2
5
x 1
x 1
x 1
x 1
x
4 0
Phương trình đã cho có ' > 0 nên theo hệ thức Viét ta có:
2
1 0
x 1 x x 1 2
x1 > 0 5x1+ 2 > 0 A =2 Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + x - 1 = 0 và x1,x2 là nghiệm của phương trình (x1 < x2) . Không giải PT tính giá trị của biểu thức
8
2
21
B =
8 x 1
2 x 1
x 1
x 1
2 = 1 - x1 x1
4 = x1
2 -2x1 + 1=(1 - x1) - 2x1 + 1=- 3x1 + 2
Giải: Từ giả thiết ta có: x1 x1
8 = 9x1
2 - 12x1+ 4
10
25
5
8
2
21
2
8 x 1
2 x 1
x 1
= x 1
2 x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
Vì P < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu mà x1< x2 nên x1< 0 Vậy B =
2 6
5 = 5 - x1+ x1 = 5 x 1 x 1
mx m m 9 x 3
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức nào đó Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình (có ẩn là tham số). - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ 1: Cho phương trình :
1
2x thoả mãn hệ thức : 1 x
x 2
x x 2. 1
0
0
0
27 0
' 9
m 2
2 m
2 m
' 9
m
0
0 1
m m 3)
9(
m
0
1
21
0
1 9
m m
m
3
2
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm 1x và Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 l à : m m '
1)
6(
x 1
x 2
Theo hệ thức Vi-et ta có:
. Suy ra:
và từ giả thiết: 1 x
9(
x x 1 2
m m m 3) m
6(
1)
9(
3)
m
6(
1)
9(
m
6
3)
m
6
9
m
m 3
27
21
m
7
m m
m m
x 2 x x 1 2
(thoả mãn điều kiện xác định )
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm
1x và
2x thoả mãn hệ thức :
2 = 6 2 = 8
2 -x2 2 + x2
x 2 x x 2. 1
2 (1)
Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5; x2= -7
1 (2) (3)
x x 1 2 2 3 x x 2 1 x x m 1 2 Thay vào (3) ta được m = -35 (thoả mãn điều kiện) b) Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ:
; x2 = 1 Giải hệ (1), (2) ta được x1= 5 2 2
6 (1) 2 (2) (3)
2 2 x x 2 1 x x 1 2 x x m 1 2
(thoả mãn điều kiện)
Thay vào (3) ta được m = - 5 4
2 + x2
x 1 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 + 2x + m = 0 (m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn a) 3x1 + 2x2 = 1 b) x1 c) x1 Giải: Để phương trình có nghiệm thì ' 0 m 1 a) Áp dụng hệ thức Viét ta có hệ:
2 = (x1+ x2)2 - 2x1x2 4 - 2m = 8 m = -2 (thoả mãn) c) x1 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x2 - mx + 3 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm thoả mãn 3x1+ x2 = 6 Giải: Để phương trình có nghiệm thì 0 hay m2 - 12 0 m 2 3 hoặc m -2 3 Kết hợp với hệ thức Viét ta có
(1) 6 (2)
; x2 = 3
giải hệ (1), (2) ta được x1= 6
m 2
m 6 2
x m 2 x 2 3 (3)
4 32
4 + x2
x 1 3 x 1 x x 1 2 Thay vào (3) ta được (6 - m)(3m - 6) = 12 giải ra ta được m = 4 (thoả mãn) Ví dụ 4: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2mx + 4 = 0. Xác định m để x1 Giải: Để phương trình có nghiệm thì ' 0 hay m2 - 4 0 2m
2
2
2
2
2(
)
Ta có: x1
4 + x2
4 = (x1
2 + x2
2)2 - 2x1
2x2
x 1
x 2
x x 1 2
x x 1 2
2 =
x
2
m
x 1
Theo hệ thức Viét ta có:
4
2 x x 1 2
4 32 (4m2 - 8)2 - 32 32
2
4 + x2 2 2
2
m
2 2
m
nên x1 2 m
2
Kết hợp với điều kiện ' 0 ta được m = 2 hoặc m = -2 Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) - Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x1 + x2 và P = x1x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2. Ví dụ1 : Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m2 =0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Giải: a) Ta có ' = (m + 1)2 - m2 = 2m + 1 Phương trình đã cho có nghiệm ' 0 m - 1 2
x
2(
m
1)
(1)
b ) Theo hệ thức Vi-ét ta có
2
(2)
x 2 1 x x m 1 2
2
x
x 1
2
x 1
2 1
1
Từ (1) ta có m =
thay vào (2) ta được
hay
x x 1 2
x 2
2
4x1x2 = (x1 + x2 - 2)2 là hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m Cách giải chung của dạng này là theo hệ thức Vi-ét ta có hai biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình. Từ một trong hai biểu thức ta rút m theo hai nghiệm, sau đó thế vào biểu thức còn lại ta được biểu thức cần tìm. Tuy nhiên có thể dùng cách biến đổi tương đương để khử m từ hai phương trình, ta xét tiếp ví dụ sau: Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 3)x + m+ 1 = 0 (m là tham số ) Biết phương trình luôn có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m. Giải : Do phương trình luôn có hai nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét ta có:
3)
2(
2
(1)
x 1
x 2
m m
6 m
1
m
1
(2)
x x 1 2
m
(3). Cộng vế theo vế của (1) và (3)
1 m Ta có (2) 6x1x2 = 6 + 6 m
m mx m 2 4 0
ta được x1 + x2 + 6x1x2 = 8. Vậy biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 6x1x2 = 8 Ví dụ 3 : Gọi
21 x
2;x x là nghiệm của phương trình :
1
A
3
2
8
minh rằng biểu thức
không phụ thuộc giá trị của m.
x 1
x 2
x x 1 2
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :
1
1
m
1 0
m
1
2
' 0
5
m
4
0
m
m
(
m
1)(
m
4) 0
m
4 5
m
Theo hệ thức Vi-et ta c ó :
x 1
x 2
thay vào A ta c ó:
x x . 1
2
2 m
m 1 4 1
m m
6
m
2
m
m
1)
A
3
x
2
8 3.
2.
8
0
x 1
2
x x 1 2
2 m
m 1
m m
4 1
8 8( m 1
0 m
1
Vậy A = 0 với mọi
1m và
m . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m
4 5
2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
2 + x2
. Chứng
Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm - Sau đó dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Dạng 8:Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, chứng minh bất đẳng thức của biểu thức nghiệm Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - 5 = 0 với m là tham số Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình trên. Với giá trị nào của m thì biểu thức A = x1 Giải: Ta có ' = (m - 1)2 -(m - 5) = m2 - 3m + 6 > 0 nên phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Theo hệ thức Viét ta có: x1+ x2 = 2(m - 1) và x1x2 = m - 5 x1
2 = (x1+x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 - 2(m - 5)
2+ x2
2
m
= 4m2 - 10m +14 =
31 4
25 31 4 2 khi m = 5 . Vậy Amin = 31 4 4
Dấu bằng xảy ra khi m = 5 4 Ví dụ2: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình 2012x2 - (2012m - 2013)x - 2012 = 0 Chứng minh
2
2
x
x 1
2
2
24
A=
x 2
x 1
2
3 2
1 x 1
2
2013
1 x Giải: Theo hệ thứcViet ta có: x1 + x2 = 2012
và x1x2 = -1
m 2012
b)
a)
nên A = 6(x1 - x2)2 = 6( (x1 + x2)2 + 4) 24 Dạng 9: Ứng dụng hệ thức Vi-ét đảo vào bài tập Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết 3 y 2 y 5
x y 2 2 y
2 34
x 2 x
x
2
3 2 P
S
3 2
S
5
Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ S P
Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0 Giải phương trình ta được x1 = 1; x2 = 2 . Vậy (x ; y)
2;1 ; 1;2
b) Đặt S = x - y; P = xy ta có hệ
2
S
S 2 P
2
34
2 15
S P
Suy ra x + (-y) = 2 và x(-y) = -15 hay x và -y là nghiệm của phương trình X2 - 2X - 15 = 0 giải ra ta được x1 = 3; x2 = -5 Vậy (x ; y)
3;5 ; 5;3 Thực chất dạng này được ứng dụng vào giải hệ đối xứng hai ẩn. Ta xét tiếp ví dụ sau Ví dụ 2: Giải hệ
2
2
a)
b)
xy x ( 2 x
1)( y 2 x y
2) 2 1 y 2
x x
xy xy
y 4 2 y
Giải: a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ
2
S = 2 , P = 0 hoặc S = -3; P = 5
4 2
P S S P
Suy ra x, y là nghiệm phương trình X2 - 2X = 0 hoặc X2 + 3X + 5 =0
0;2 ; 2;0
suy ra S, P là nghiệm phương trình X2 - X - 2 = 0
SP S P
2 1
2
2
Từ đó ta có
hoặc
x 2
2
x 2 y
2
x y
1
y
Vậy (x ; y)
Vậy (x ; y) b) Đặt x2 + x = S; y2 - 2y = P ta đưa về hệ đối xứng hai ẩn sau: Giải ra ta được x1= -1; x2 = 2 1 x 2 y 2 2;1
1;1 ;
Hệ thức Vi-ét đảo còn được ứng dụng vào chứng minh bất đẳng thức, vận dụng
vào các bài toán chứng minh khác. Ta xét các ví dụ sau
Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện sau: a > 0, a2 = bc, a + b + c = abc. Chứng minh rằng: a 3 , b > 0, c > 0 và b2 + c2 2a2 Giải: Từ a + b + c = abc b + c = a(bc - 1) = a( a2 - 1) mà bc = a2 nên b, c là nghiệm của phương trình: X2 - (a3 - a) X + a2 = 0 Ta có =(a3 - a)2 - 4a2 0( vì PT trên có nghiệm là b và c ) (a2 - 1)2 4 a2
3 a 3 ( vì a > 0)
Khi đó b+ c = a( a2 - 1) > 0 và bc = a2> 0 nên b > 0, c > 0. ( b - c)2 0 b2 +c2 2bc b2 +c2 2a2 Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số khác nhau từng đôi một và c 0. Chứng minh rằng nếu hai phương trình x2 + ax + bc = 0 (1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thoả mãn phương trình x2 + cx + ab = 0
bc
0
ax 0
( a - b)(x0 - c) = 0 x0 = c ( vì a b)
ca
0
2 x 0 2 x 0
bx 0
Giải: Giả sử (1) có nghiệm x0 , x1 và (2) có nghiệm x0 , x2 ( x1 x2). Ta có:
b
c
a
b
và
x 2
x 1
bc
ca
x 2
ab
x 1 x x 1 2
x 0 x x 0 2
x 0 x x 0 1
0
Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (1) và phương trình (2) ta có: x 1 a x 2 a b c
Do đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + cx + ab = 0 (phương trình này luôn có
nghiệm vì = c2 - 4ab = (a + b)2- 4ab = (a - b)2> 0).
D/ Kết luận:
Trên đây là nội dung ứng dụng hệ thức Viét vào các dạng bài tập mà tôi đã hệ thống trong quá trình dạy cho học sinh lớp 9, ôn thi vào 10 bằng cách hệ thống thành nhiều dạng: Dạng1: Lập phương trình bậc hai Dạng 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số khi biết một nghiệm của phương trình đã cho Dạng 4: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức chứa các nghiệm của phương trình đã cho Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm thoả mãn hệ thức nào đó Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số Dạng 8: Tính giá trị lớn nhất nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức của biếu thức chứa nghiệm Dạng 9: Ứng dụng hệ thức Viét đảo vào bài tập Qua thời gian tiếp tục nghiên cứu và áp dụng, bản thân tôi xét thấy đề tài này có tác dụng rất lớn trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9, tôi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về hệ thức Vi-ét để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này. Trong thời gian ôn tập, ôn thi các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng trên. Vì thế việc áp dụng hệ thức Vi-ét đối với các em khi gặp trong các kỳ thi hay trong các bài kiểm tra không còn khó khăn nữa và các em biết vận dụng linh hoạt khi tiếp tục học lên chương trình THPT. Phần ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã có nhiều bạn đọc quan tâm, là một phần có nhiều ứng dụng hay. Tuy nhiên tôi đã trình bày theo quan điểm của mình, theo kinh nghiệm giảng dạy lớp 9 nhiều năm và cho thấy có hiệu quả tốt. Rất mong được sự góp ý chân thành từ các đồng nghiệp để sáng kiến hay hơn, phong phú hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, ngày 15 tháng 3 năm 2019
