Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết

MỤC LỤC

Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ............................................................................. Trang 2

1.1. Lý do chọn đề tài................................................................................. Trang 2

1.2. Mục đích của đề tài............................................................................. Trang 3

1.3. Đối tượng nghiên cứu......................................................................... Trang 3

1.4. Giới hạn của đề tài............................................................................. Trang 3

1.5. Nhiệm vụ của đề tài .......................................................................... Trang 3

1.6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................... Trang 3

1.7. Bố cục của đề tài ............................................................................... Trang 4

Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.................................................... Trang 5

Chương 1. Cơ sở lý thuyết và thực tiễn.................................................... Trang 5

1.1. Khái niệm........................................................................................... Trang 5

1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực............................................................... Trang 5

1.3. Thực trạng của đề tài.......................................................................... Trang 5

1.4. Cơ sở lý thuyết.................................................................................... Trang 6

1.5. Cơ sở thực tiễn.................................................................................... Trang 6

Trang 7

Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết ...................................................................................

2.1. Một số kiến thức cơ bản...................................................................... Trang 7

Trang 10

2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp

Trang 23

2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm liên kết

2.4. Bài tập tự luyện................................................................................... Trang 39

Chương 3. Các biện pháp tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu.......... Trang 44

Phần III. KẾT LUẬN.............................................................................. Trang 46

PHỤ LỤC.................................................................................................. Trang 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................... Trang 50

Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1. Lý do chọn đề tài

Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ mục tiêu cụ thể về giáo dục phổ thông, trong đó có mục tiêu: Hình thành năng lực công dân, phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời.

Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ: “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho học sinh những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình hoá toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học,…”. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể cũng chỉ ra: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.

Để góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường THPT, hoạt động dạy giải bài tập toán có vai trò hết sức quan trọng. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục tiêu dạy học bộ môn Toán ở bậc THPT. Trong việc dạy giải bài tập Toán nhiệm vụ quan trọng hàng đầu là phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, tức là phải hình thành cho người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.

Bài toán cực trị của hàm hợp, hàm liên kết là một trong những dạng toán hay và khó, thường xuyên xuất hiện trong đề thi trung học phổ thông quốc gia và đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông những năm gần đây. Các bài toán này nhằm mục đích phân loại trình độ học sinh với độ khó ngày một tăng dần. Để giải được lớp bài toán này đòi hỏi học sinh phải linh hoạt sử dụng tổng hợp một số kiến thức đã học trong chương trình môn Toán bậc THPT.

Trong sách giáo khoa và sách bài tập môn Toán lớp 12 hiện nay đang sử dụng ở bậc THPT, lớp bài toán cực trị của hàm hợp, hàm liên kết lại không được đề cập. Do đó các em học sinh rất lúng túng và gặp không ít khó khăn trong việc tiếp cận và tìm tòi lời giải các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết. Là một giáo viên giảng dạy bộ môn Toán tôi luôn băn khoăn, trăn trở trong việc tìm các giải pháp để các em với học lực môn Toán khác nhau được làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT, giúp các em được rèn luyện một cách hợp lý kỹ năng giải các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từng bước tạo sự đam mê, hứng thú học tập môn Toán, hình thành năng lực tự học, khả năng sáng tạo cho học sinh.

Để phát huy được tính sáng tạo giải toán cho học sinh đòi hỏi người thầy cần đầu tư xây dựng một hệ thống các bài toán cho riêng mình bám sát xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT thông qua việc trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp đặc biệt là các chuyên gia về bộ môn Toán bậc THPT.

Với những lí do nêu trên tác giả lựa chọn đề tài: “Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết ”.

1.2. Mục đích của đề tài

- Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.

- Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh.

1.3. Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 12 (chú trọng học sinh khá giỏi).

- Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học, thi HSG cấp tỉnh

khối 12.

- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT.

1.4. Giới hạn của đề tài

Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các kỹ năng cần thiết rèn luyện cho học sinh khi dạy chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12.

1.5. Nhiệm vụ của đề tài

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng

tạo.

- Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề cực trị hàm số

thuộc chương trình giải tích lớp 12.

- Định hướng cho học sinh kỹ năng giải một số dạng bài toán thường gặp thuộc chủ đề cực trị của hàm hợp, hàm liên kết thông qua việc khai thác các bài toán cực trị hàm hợp, hàm liên kết trong các đề thi minh họa, đề thi tham khảo, đề thi chính thức của Bộ GD&ĐT, các đề thi thử trên cả nước, từ đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh.

- Hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống các bài toán cực trị hàm hợp, hàm liên kết, giúp học sinh làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ GD&ĐT về chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết, qua đó giúp các em học sinh tự tin hơn trong việc tìm tòi lời giải các bài toán cực trị hàm hợp, hàm liên kết, góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh.

1.6. Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận.

- Phương pháp điều tra quan sát.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.

1.7. Bố cục của đề tài

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình

bày trong 3 chương.

Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn.

Chương 2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua

dạy học chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết.

Chương 3. Các biện pháp tổ chức và kết quả nghiên cứu.

Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn

1.1. Khái niệm

- Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.”

- Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng

lực là:

+ Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện

của người học.

+ Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc

tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,...

+ Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở sự

thành công trong hoạt động thực tiễn.

1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực

- Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành và

phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau:

+ Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo.

+ Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất.

- Theo chương trình GDPT môn Toán năm 2018, yêu cầu cần đạt về năng lực đặc thù là: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

1.3. Thực trạng của đề tài

Có thể nói rằng chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết là một chủ đề hay và khó trong chương trình môn Toán lớp 12 ở trường THPT. Khi giảng dạy chủ đề này ngoài các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK ban cơ bản giáo viên thường lựa chọn các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích

lớp 12, các bài toán cực trị trong các đề thi THPTQG, đề thi TNTHPT và đề thi HSG để giảng dạy cho học sinh. Tuy nhiên vẫn còn một số tồn tại sau:

- Các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12 vẫn còn khá dễ và chưa sát với các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết trong các đề thi THPTQG nay là đề thi TNTHPT và tuyển sinh đại học.

- Khi giảng dạy các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết giáo viên thường ít chú trọng hoạt động “nhận biết, khai thác và phát triển” các bài toán dẫn tới năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo của học sinh bị hạn chế.

- Chưa thật sự chú trọng trong việc tìm tòi, xây dựng các bài toán mới để từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán về cực trị hàm hợp và hàm liên kết.

1.4. Cơ sở lý thuyết

1.4.1. Kiến thức cơ bản về đại số và giải tích lớp 11:

Đạo hàm của hàm số; Giải phương trình.

1.4.2. Kiến thức cơ bản về giải tích lớp 12:

Bảng biến thiên của hàm số; Cực trị của hàm số; Đồ thị của hàm số và các

bài toán liên quan.

1.4.3. Các hàm số sơ cấp cơ bản.

1.5. Cơ sở thực tiễn

Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường THPT Lê Lợi nói riêng hầu hết các em học sinh còn hạn chế về năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo (nhiều em có điểm môn Toán tuyển sinh vào 10 chưa đ ạt 1,0 điểm). Các bài toán thuộc chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết trong các đề thi thường ở mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao. Để giải được lớp bài toán này học sinh cần biết sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước biến đổi.

Qua thực tế giảng dạy trực tiếp các lớp khối, tôi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng trong quá trình giải. Cụ thể tháng 9 năm 2020, khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Tôi cho học sinh các lớp làm bài khảo sát, kết quả như sau:

Điểm 9-10

Điểm 7-8

Điểm 5-6

Điểm <5

Lớp

Số HS

SL

TL(%) SL

TL(%)

37 12A1

2 5,4%

18 48,7% 15

40,5% 2

5,4%

37 12A2 0 0% 10 27,0% 16 43,2% 11 29,8%

36 12A5

0 0%

8 20,2% 17

47.2% 11

30.6%

Chương 2.

Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết

2.1. Một số kiến thức cơ bản

2.1.1. Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số có đạo hàm tại là

hàm tại là thì hàm hợp , và hàm số là: có đạo hàm tại có đạo .

Ví dụ 1.1. Với là một hàm số của ta có:

( ). +

2.1.2. Cực trị của hàm số

2.1.2.1. Định nghĩa

Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng và điểm

với mọi và

+ Nếu tồn tại số thì ta nói hàm số sao cho đạt cực đại tại .

với mọi và

+ Nếu tồn tại số thì ta nói hàm số sao cho đạt cực tiểu tại .

2.1.2.2. Điều kiện cần đạt cực trị

Định lý 1: Nếu hàm số

có đạo hàm tại

và đạt cực trị tại điểm đó thì

liên tục trên khoảng .

2.1.2.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

liên tục trên

và có

Định lý 2: Giả sử hàm số hoặc trên

đạo hàm trên

, với

.

trên khoảng và trên

+ Nếu là một điểm cực đại của hàm số thì .

trên khoảng và trên

thì + Nếu là một điểm cực tiểu của hàm số .

Minh họa bằng bảng biến thiến

Định lý 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng

chứa điểm , và có đạo hàm cấp hai khác tại .

a) Nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm .

b) Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm .

Chú ý: Trong định lý 3 nếu thì ta chưa kết luận được hàm số đạt

hay không đạt cực trị tại

.

Ví dụ 1.2. (Trích đề thi THPTQG 2020) Cho hàm số liên tục trên ,

có bảng xét dấu như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Ta có liên tục trên và đổi dấu từ khi qua các điểm

. Suy ra hàm số có hai điểm cực tiểu là sang và .

Ví dụ 1.3. Cho hàm số

liên tục trên toàn

và có đồ thị đạo hàm

như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. .

B. . C. .

D. Lời giải

Chọn A

Dựa vào đồ thị ta có bảng xét dấu của :

Vậy hàm số có 3 cực trị.

Ví dụ 1.4. (Trích đề thi THPTQG 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số

để hàm số

đạt cực tiểu tại

?

A. . B. . C. . D. Vô số.

Lời giải

Chọn C

Ta có

Xét hàm số . Xét giá trị :

TH1. Nếu

. Do hàm số

liên tục trên

sao cho

đổi dấu từ dương sang

, nên tồn tại số đi qua

âm khi

, Hàm số đã cho không đạt cực tiểu tại

.

. Do hàm số

TH2. Nếu , nên tồn tại số

sao cho

,

trên sang dương khi

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

liên tục đổi dấu từ âm . Vậy

đi qua thỏa đề bài. Do nguyên nên .

TH3. Nếu .

* Với . Khi đó đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua

điểm nên suy ra là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy thỏa mãn đề bài.

* Với thì .

Bảng biến thiên

không là điểm cực tiểu của hàm số. Vậy

Dựa vào bảng biến thiên ta có không thỏa mãn đề bài.

Vậy cả ba trường hợp ta được 4 giá trị nguyên của thỏa đề bài.

2.2. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng

tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm hợp

Ví dụ 2.1. (Trích đề thi THPTQG 2019). Cho hàm số , bảng biến thiên

của hàm số như sau

D. .

Số điểm cực trị của hàm số B.

.

A. là C.

.

Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học.

Đây là bài toán tìm số điểm cực trị của hàm hợp

khi cho biết

bảng biến thiên của hàm số

.

Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.

.

+ Tính đạo hàm của hàm hợp

+ Tính số nghiệm bội lẻ của phương trình

+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số .

Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các

công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.

Ta có:

:

Lập bảng biến thiên của hàm số

Ta có:

Từ bảng biến thiên của hàm số

,

ta có mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt khác 1 và trong các nghiệm đó không có hai nghiệm nào trùng nhau. Do đó phương trình có 7 có 7 nghiệm đơn phân biệt. Từ đó hàm số điểm cực trị.

Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự.

- Để giải được bài toán trên, ngoài việc học sinh nắm được công thức tính

đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan trọng là:

Thứ nhất: Từ bảng biến thiên của hàm số

suy ra nghiệm

của

phương trình

.

Thứ hai: Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra số nghiệm bội

lẻ của các phương trình , , , , .

- Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho bảng biến thiên của

hàm số . Tính số điểm cực trị của hàm số .

- Chúng ta có thể giúp học sinh giải và xây dựng các bài toán cực trị của

hàm hợp tương tự, trước hết bằng cách thay đổi giả thiết ta có các bài toán sau:

* Giả thiết cho bằng đồ thị của hàm số :

Ví dụ 2.2. (Trích đề

thi TK THPTQG 2020). Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ. Số điểm

cực trị của hàm số là

A. B.

C.

D.

Lời giải

Xét hàm số ta có:

Phương trình

Từ đồ thị của hàm số

Ta có:

Xét hàm số

ta có

Bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy:

có 1 nghiệm duy nhất

có 3 nghiệm phân biệt

có 1 nghiệm duy nhất.

Suy ra có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt và đổi dấu qua các

nghiệm này nên hàm số có 7 điểm cực trị.

* Giả thiết cho biểu thức của :

Ví dụ 2.3. Cho hàm số có đạo hàm liên tục và xác định trên

. Gọi có biểu thức tương ứng là

và là tập chứa các giá trị có nhiều điểm cực trị nguyên của tham số để hàm số

nhất. Số phần tử của tập là

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có:

Xét hàm số

ta có:

.

Ta có:

Yêu cầu bài toán tương đương với tổng số nghiệm bội lẻ khác của các

phương trình là nhiều nhất.

Xét hàm số ta có

Bảng biến thiên của hàm số :

Do nên từ bảng biến thiên ta có tổng số nghiệm đơn

khác của các phương trình nhiều nhất khi và chỉ khi

Do . Vậy tập hợp có 2 phần tử.

* Giả thiết cho công thức của :

Ví dụ 2.4. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến

thiên của hàm số như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số

.

C.

B.

D. A. Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học.

Đây là bài toán tìm số cực trị của hàm hợp

khi cho

biết bảng biến thiên của hàm số

.

Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.

+ Từ bảng biến thiên của hàm số truy về được bảng biến thiên

của hàm số

.

+ Tính đạo hàm của hàm hợp

+ Tìm số nghiệm bội lẻ của phương trình .

+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số .

Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các

công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.

Trước hết ta tìm bảng biến thiên của hàm số :

Ta có:

Từ bảng biến thiên của hàm số ta có

Xét hàm số ta có

Bảng biến thiên của hàm số

:

Từ bảng biến thiên của hàm số

đơn khác và khác của các phương trình , ta có tổng số các nghiệm là 6 nghiệm.

Do đó phương trình có 9 nghiệm đơn phân biệt hay hàm số

có 9 điểm cực trị.

Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự.

- Để giải được bài toán trên, ngoài việc học sinh nắm được công thức tính

đạo hàm của hàm hợp, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan trọng là:

Thứ nhất: Từ bảng biến thiên của hàm số cần suy ra được bảng

biến thiên của hàm số .

Thứ hai: Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra số

nghiệm bội lẻ của các phương trình , , , .

- Chúng ta có thể tổng quát hóa bài toán như sau: Cho bảng biến thiên của ). Tính số điểm cực trị của hàm số ( hàm số

Tiếp theo bằng cách thay đổi biểu thức của hàm hợp, chúng ta hướng dẫn

học sinh xây dựng và giải các bài toán về cực trị của hàm hợp

Ví dụ 2.5. Cho hàm số xác định và liên tục trên và có bảng

biến thiên của hàm số như hình vẽ (trong đó )

Tìm số điểm cực trị của hàm số

.

A.

B.

C.

D. Lời giải

, ta có:

Xét hàm số

.

không xác định khi .

Ta có:

, ta có tổng số nghiệm bội lẻ khác và

Từ bảng biến thiên của hàm số của các phương trình khác là nghiệm. Do đó hàm số

có điểm cực trị.

Ví dụ 2.6. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến

thiên của hàm số như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số

.

A.

B.

C.

D. Lời giải

Xét hàm số

, ta có:

không xác định khi

Từ bảng biến thiên của hàm số , ta có

Xét hàm số , ta có .

Bảng biến thiên của hàm số :

Từ bảng biến thiên của hàm số

bội lẻ khác 1 của các phương trình , ta có tổng số nghiệm là 8 nghiệm. Vậy hàm số

có 9 điểm cực trị.

Nhận xét: Khi giải bài toán trên, học sinh thường quyên xét trường hợp không xác định dẫn tới giải sai bài toán.

Ví dụ 2.7. Cho hàm số

và có đồ thị có đạo hàm liên tục trên như hình vẽ. Tìm số điểm cực trị của trên hàm

số

khoảng

.

A. B.

C. D.

Lời giải

Xét hàm số , ta có

Xét hàm số trên khoảng ta có:

Cho

Vậy trên khoảng

, phương trình

có các nghiệm là

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng

trên khoảng

Từ bảng biến thiên của hàm số tổng số nghiệm bội lẻ của các phương trình trên khoảng , ta có là 7

nghiệm. Vậy trên khoảng hàm số có 7 điểm cực trị.

Nhận xét: Để giải tốt bài toán trên, học sinh cần nắm vững kiến thức chủ đề

hàm số lượng giác thuộc chương trình Đại số & giải tích lớp 11.

Ví dụ 2.8. Cho hàm số

xác định, liên tục trên

và có bảng biến

thiên của hàm số

như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số .

A. B. C. D.

Lời giải

Xét hàm số , ta có:

Từ bảng biến thiên của hàm số , ta có

+ Phương trình (1) có các nghiệm: (nghiệm đơn),

(bội chẵn).

+ Phương trình (2) có các nghiệm: (nghiệm đơn),

(bội chẵn).

+ Phương trình (3) và phương trình (5) vô nghiệm.

+ Phương trình (4) các nghiệm đơn là:

,

.

Vậy phương trình

có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt. Do đó hàm số

có 7 điểm cực trị.

Ví dụ 2.9. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến

thiên của hàm số

như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số thuộc đoạn để hàm

số có nhiều điểm cực trị nhất.

A. B. C. D.

Lời giải

Xét hàm số , ta có:

Cho .

. Ta có phương trình (1) có các nghiệm là

Hàm số

có nhiều điểm cực trị nhất khi và chỉ khi có số nghiệm bội lẻ nhiều nhất khi và chỉ khi phương trình

phương trình (2) có số nghiệm bội lẻ khác và khác nhiều nhất.

Từ bảng biến thiên, ta có:

Do nguyên thuộc đoạn , nên .

Ví dụ 2.10. (Trích đề Vted 2020). Cho hàm số

có bảng xét dấu

của đạo hàm như hình vẽ sau:

Số điểm cực trị của hàm số

trên khoảng

là

A.

B.

C.

D. Lời giải

Cách thứ nhất:

Ta có cùng dấu với .

cùng dấu với biểu thức :

Suy ra

Hay cùng dấu với biểu thức :

Do nên suy ra cùng dấu với biểu thức

Đồ thị của hàm số trên khoảng như sau :

Từ đồ thị ta có hàm số đổi dấu 7 lần trên khoảng

Do đó hàm số có 7 điểm cực trị trên khoảng

Cách thứ hai:

Theo trên ta có:

không xác định

Đồ thị của các hàm số trên khoảng

Dựa vào đồ thị của các hàm số trên khoảng

suy ra tổng số các nghiệm bội lẻ của các phương trình trên khoảng

là 7 nghiệm. Do đó hàm số có 7 điểm cực trị

trên khoảng .

2.3. Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng

tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề cực trị của hàm liên kết

Trước hết chúng ta xét bài toán sau:

Ví dụ 3.1. (Trích đề thi thử chuyên có có hàm

ĐHV năm 2020). Cho hàm số và hàm số đạo hàm trên đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn

số có

bao nhiêu điểm cực trị ?

A. . B. . C. . D. .

Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học.

Đây là bài toán tìm số điểm cực trị của hàm liên kết

khi cho biết đồ thị của hàm số

Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.

.

+ Tính đạo hàm của hàm liên kết

+ Tính số nghiệm bội lẻ của phương trình

+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số

.

Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các

công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.

Ta có ,

; .

Đặt , khi đó phương trình có dạng

trong đó .

Số điểm cực trị của hàm số

là số

nghiệm đơn (hay bội lẻ ) của phương trình

trên khoảng

. Từ đồ thị hàm số

ta suy

và đồ thị của hàm số

ra hàm số đã cho có điểm cực trị.

Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự.

- Để giải được bài toán trên, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan

trọng là:

Thứ nhất: Tính được đạo hàm của hàm số liên kết

Thứ hai: Từ đồ thị của các hàm số và suy ra tổng số

nghiệm bội lẻ của phương trình

từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm

số

.

- Để phát triển năng lực sáng tạo của học sinh giáo viên cần hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán mới. Trong Ví dụ 3.1 chúng ta đã khai thác mối

quan hệ giữa đồ thị của hàm số

và đồ thị của hàm số

. Bằng

và các hàm số sơ cấp

cách thay đổi mối quan hệ giữa đồ thị của hàm số cơ bản chúng ta hướng dẫn học sinh xây dựng các bài toán sau:

* Mối quan hệ giữa đồ thị hàm số

và đường thẳng:

Ví dụ 3.2. Cho hàm số và hàm số

hàm trên như hình vẽ. Trên đoạn có đạo có đồ thị hàm số

có

bao nhiêu điểm cực trị ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Xét hàm số , ta có:

Ta có:

Xét phương trình:

(1)

Đặt , ta có: (2)

Dựa vào đồ thị hàm số

và đường , ta có phương trình (2) có các

thẳng nghiệm là

Xét hàm số trên đoạn , ta có:

.

Bảng biến thiên của hàm số

trên đoạn

:

Từ bảng biến thiên của hàm số

tổng số các nghiệm bội lẻ khác là 5 trên khoảng nghiệm. Do , ta có trên đoạn của các phương trình số hàm đó

có 6 điểm cực trị trên đoạn .

Ví dụ 3.3. Cho hàm số và hàm có đạo hàm có đồ thị như hình vẽ, biết trên

. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số để hàm số

có đúng ba điểm cực trị ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Xét hàm số , ta có:

Đặt thay vào ta có:

(1)

Yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình (1) có ba nghiệm bội lẻ

phân biệt.

Dễ thấy đường thẳng

có phương trình

luôn đi qua

điểm cố định

.

Xét vị trí của đường thẳng khi tiếp xúc với đồ thị của hàm số tại

điểm . Khi đó giá trị tương ứng của phải thỏa mãn .

Xét vị trí của đường thẳng trị . Khi đó giá khi tiếp xúc với đồ thị của hàm số của tương ứng phải tại thỏa mãn điểm

Phương trình (1) có ba nghiệm bội lẻ phân

biệt khi và chỉ khi

Nhận xét: Để giải được bài toán trên học sinh cần chú ý điểm cố định của

. đường thẳng :

Ví dụ 3.4. Cho hàm số đa thức

như hình vẽ bên. có đồ thị của hàm số Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham để hàm số số thuộc đoạn

có đúng

một điểm cực trị ?

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Xét hàm số , ta có:

Đặt thay vào ta có:

(1)

Hàm số có đúng một điểm cực trị khi và

chỉ khi phương trình (1) có duy nhất một nghiệm bội lẻ.

Từ đồ thị của hàm số

, ta có

và:

Ta viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc

bằng :

Cho .

Từ đó ta có các tiếp tuyến của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng

là:

Yêu cầu bài toán tương đương với đường

thẳng có phương trình nằm trên

đường thẳng hoặc nằm dưới đường thẳng

hay là ta có:

.

Do

nguyên thuộc đoạn

suy ra

.

Nhận xét: Để giải được bài toán trên học sinh cần chú ý phương bất biến

của đường thẳng : .

* Mối quan hệ giữa đồ thị của hàm số

và Parabol:

Ví dụ 3.5. Cho hàm số

có đạo hàm trên có đồ và hàm số thị như hình vẽ. Tính số điểm cực trị của

hàm số .

A. . B. .

C. . D. .

Lời giải

Ta có: .

Đặt ta có (1).

Dựa vào đồ thị của các hàm số và

ta có phương trình (1) có các

nghiệm là:

Với .

Vậy hàm số có duy nhất một điểm cực trị.

Ví dụ 3.6. Cho hàm số đa thức

có như hình vẽ. Số điểm cực trị của đồ thị

trên đoạn

hàm số

là

A. . B.

. C.

.

D. .

Lời giải

Xét hàm số , ta có:

Xét phương trình (2):

suy ra Đặt

Phương trình (2) trở thành (3)

Dựa vào đồ thị của các hàm số và

, ta có phương trình (3) có các nghiệm là

Dựa vào đồ thị của các hàm số

trên đoạn

, ta có tổng số các nghiệm bội lẻ của các phương trình (1), (4), (5) trên khoảng

là 12 nghiệm. Vậy hàm số

có 12 điểm

cực trị trên đoạn

.

Nhận xét: Để giải được bài toán trên học sinh cần nắm vững kiến thức hàm số lượng giác của Đại số & giải tích 11 và kiến thức về công thức lượng giác của Đại số 10.

* Mối quan hệ giữa đồ thị của hàm số và đồ thị của hàm số

lượng giác:

Ví dụ 3.7. Cho hàm số

, hàm trên

. Hàm số

có đạo là một nguyên hàm của có đồ thị như hình vẽ. Tính số điểm cực tiểu của hàm số: trên

khoảng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

, ta có Xét hàm số

Cho

Từ đồ thị của các hàm số

ta có

trên khoảng và phương trình (1) có ba nghiệm đơn là

Xét trên khoảng ta có

.

Do đó ta có bảng xét dấu của

trên khoảng

như sau:

ta có hàm số

có hai điểm cực tiểu trên

Từ bảng xét dấu của . khoảng

* Mối quan hệ giữa đồ thị của hàm số

và đồ thị hàm số

:

Ví dụ 3.8. Cho hàm số

có đạo là một nguyên hàm của hàm trên ,

. Hàm số

có đồ thị như hình vẽ. Tính số điểm cực tiểu của hàm số:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải

Xét hàm số , ta có

Cho

Từ đồ thị của hàm số và hàm số ta có phương trình (1) có hai

nghiệm đơn là .

Xét trên khoảng ta có

Do đó ta có bảng xét dấu của

như sau:

Từ bảng xét dấu của

ta có hàm số

có hai điểm cực đại.

Nhận xét:

1) Tiếp tục theo hướng như trên chúng ta có thể hướng dẫn học sinh xây

dựng thêm nhiều bài toán mới.

2) Trong các ví dụ 3.1 đến ví dụ 3.8, hàm liên kết có dạng thì cách

. Nếu hàm liên kết có dạng

xử lý bài toán sẽ như thế nào ? liệu có sử dụng được mối quan hệ của các đồ thị hàm số nữa không ? Chúng ta cùng xét bài toán sau:

Ví dụ 3.9. (Đề Vted năm 2020). Cho số hàm

có đồ thị của đạo hàm như

hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. . B. .

C. . D. .

Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học.

Đây là bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số

khi cho biết đồ thị của hàm số

, trong đó liên kết là

hàm đa thức bậc 4.

Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.

Hướng thứ nhất:

.

+ Tính đạo hàm của hàm liên kết

+ Tính số nghiệm bội lẻ của phương trình .

+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số .

Hướng thứ hai:

+ Xác định các nghiệm bội chẵn, bội lẻ của phương trình

+ Suy ra hình dạng đồ thị của hàm số

+ Suy ra các điểm cực trị của hàm số .

Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các

công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.

+ Từ đồ thị của hàm số

, ta có:

,

.

Vì vậy

.

Do

(1).

+ Cách 1:

Ta có

.

. Khi đó

Từ đó có 5 nghiệm bội lẻ (nghiệm đơn) là ; ; ;

có 5 điểm cực trị.

Vậy hàm số

+ Cách 2:

Từ (1) ta có: có các nghiệm bội chẵn là .

Xét hàm số , ta có:

.

trình có các nghiệm bội chẵn là

Như vậy phương .

Dễ thấy .

Do đó đồ thị của hàm số có dạng như sau:

Từ đó suy ra hàm số

có 5 điểm cực trị.

Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự.

- Trong hai cách giải trên đối với bài toán này thì cách 1 là ngắn gọn hơn, tuy nhiên nếu chúng ta thay đổi biểu thức hàm liên kết phức tạp hơn thì cách 2 lại hiệu quả hơn.

- Chẳng hạn, ta thay hàm số

bằng hàm số

thì rõ ràng công thức

sẽ rất phức tạp, sẽ rất khó khăn.

từ đó việc xử lý số nghiệm bội lẻ của phương trình Bằng cách 2 chúng ta giải quyết một cách đơn giản như sau:

Ta có: .

Như vậy phương trình có các nghiệm bội chẵn là

Dễ thấy .

Do đó đồ thị của hàm số có dạng như sau:

Từ đó suy ra hàm số

có 7 điểm cực trị.

- Nếu chúng ta khai thác cách giải thứ hai thì sẽ giải quyết được nhiều câu

cực trị của hàm liên kết một cách ngắn gọn:

Ví dụ 3.10. (Đề thi TNTHPT năm 2020). Cho hàm số bậc bốn có

bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

. B.

. C.

.

D. .

A. Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học.

Đây

là bài

tìm số điểm cực

trị của hàm số

toán liên kết khi cho biết bảng biến thiên của hàm đa thức bậc 4

.

Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.

Hướng thứ nhất:

.

+ Tính đạo hàm của hàm liên kết

+ Tính số nghiệm bội lẻ của phương trình .

+ Kết luận số điểm cực trị của hàm số .

Hướng thứ hai:

+ Xác định các nghiệm bội chẵn, bội lẻ của phương trình

+ Suy ra hình dạng đồ thị của hàm số

+ Suy ra số điểm cực trị của hàm số .

Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các

công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.

Cách 1:

Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra dạng của biểu thức :

Sử dụng ta có hệ phương trình:

Suy ra .

Xét hàm số , ta có:

Cho

.

* Với phương trình

:

Vì

là hàm bậc bốn và có bảng biến thiên như trên ta thấy phương trình

có bốn nghiệm đơn phân biệt

khác

.

* Với phương trình

Ta thấy phương trình không nhận các số làm nghiệm.

Đặt

, phương trình

trở thành:

Xét hàm số ta có

, cho .

Ta có bảng biến thiên

Do đó phương trình

có 4 nghiệm đơn phân biệt hay phương trình

có 4 nghiệm đơn phân biệt . Hay hàm số

có 9 điểm cực trị là .

Cách 2:

Nhận xét .

Cho

Nhận thấy: Nếu tịnh tiến đồ thị sang phải đơn vị ta thu được đồ thị

của

Do đó

Vì thế

có

nghiệm phân biệt bội chẵn.

Hay đồ thị có 5 điểm tiếp xúc với trục hoành:

Vậy hàm số có 9 cực trị.

Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự.

Bằng cách giải thứ 2 chúng ta đã giải được bài toán một cách nhanh chóng, chính xác, phù hợp với đề thi trắc nghiệm, thiên về tư duy giải toán chứ không phải tính toán cồng kềnh, phức tạp.

Ví dụ 3.11. Cho hàm đa thức có đồ thị như vẽ. Số số hàm cực của trị bậc bốn điểm

là

A. . B.

.

C. . D. .

Bước 1. Nhận biết, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng toán học.

Đây là bài toán tìm số điểm cực trị của hàm số

liên kết khi cho biết bảng biến thiên của hàm đa thức

bậc 4 .

Bước 2. Lựa chọn, đề xuất cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề.

Trước hết ta xét hàm số

+ Xác định các nghiệm bội chẵn, bội lẻ của phương trình

+ Suy ra hình dạng đồ thị của hàm số

+ Suy ra số điểm cực trị của các hàm số

.

Bước 3. Sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các

công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra.

Xét hàm số

, ta có

.

Cho

và Parabol

Dựa vào đồ thị của hàm số ta có phương trình (1) có các nghiệm bội lẻ và nghiệm bội chẵn là là

có và

Suy ra phương trình các nghiệm bội chẵn là nghiệm bội lẻ là .

Do đó đồ thị của hàm số hoành tại các điểm có hoành độ tiếp xúc với trục và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

Mặt khác từ hình dạng đồ thị của hàm số ta có

Do đó ta có hình dạng đồ thị của hàm số

như sau

có 3 điểm cực trị dương. Do Suy ra hàm số

có 7 điểm cực trị. đó hàm số

Bước 4. Đánh giá giải pháp và khái quát hoá cho vấn đề tương tự.

- Để giải được bài toán trên, học sinh cần giải quyết hai “nút thắt” quan

trọng là:

Thứ nhất: Cần xử lý mối quan hệ giữa đồ thị của hàm số

và

Parabol

.

Thứ hai: Từ số nghiệm bội lẻ và bội chẵn của phương trình

từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số

suy ra

hình dạng của đồ thị hàm số suy ra số điểm cực trị của hàm số

2.4. Bài tập tự luyện

có đạo hàm liên

Bài 4.1. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số như sau: và bảng biến thiên của hàm số tục trên

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. . B. . C. . D. .

Bài 4.2. (Trích đề thi TNTHPT năm 2020). Cho hàm số bậc 4 có bảng biến

thiên như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số là

A. . B. . C. . D. .

Bài 4.3. (Trích đề Vted 2020). Cho hàm số có bảng biến thiên của

như hình vẽ bên:

?

Hàm số

có bao nhiêu cực trị thuộc khoảng

A. .

B. .

C. .

D. .

Bài 4.4. (Trích đề Vted 2020). Cho hàm số

như hình vẽ bên. Hàm số

thị

có đồ

có bao nhiêu điểm cực

tiểu ?

A. .

B. .

C. .

D.

Bài 4.5. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số là hàm số đa

thức bậc bốn và có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. 7. B. 6. C. 5. D. 4.

Bài 4.6. (Trích đề Vted 2020). Cho hàm

số có đồ thị

như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của

của hàm số là

A. C. . . B. D. . .

Bài 4.7. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số liên tục trên

và có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số là

A. 2. B. 1. C. 4. D. 3.

Bài 4.8. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số

có đạo hàm trên

và có bảng biến thiên của

như hình vẽ:

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. .

B. .

C. . D.

.

Bài 4.9. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số có đạo hàm

Tìm số điểm cực trị của hàm số .

A. . B. . C. . D. .

Bài 4.10. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho như hình có đồ thị hàm số

vẽ. Khi đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?

A. B. .

C. . D. .

. Biết có

Bài 4.11. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho là một đồ thị như hình hàm số nguyên hàm của hàm số

vẽ. Số điểm cực trị của hàm số

là

A. . B. .

C. . D. .

hàm

Bài 4.12. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho số và

hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

. Hàm Đặt

số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. .

B. .

C. .

D. .

Bài 4.13. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm số

có đạo hàm

với mọi

. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của

để hàm số

có

điểm cực trị ?

A. . B. . C. . D. .

Bài 4.14. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm có đồ thị số

như hình vẽ. Biết rằng Số

của đạo hàm điểm cực trị của hàm số bằng

A. . B.

C. D.

bậc ba

Bài 4.15. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị trên

đoạn .

A. . B. .

C. . D. .

Bài 4.16. (Trích đề thi thử năm 2021). Cho hàm

. Đồ thị hàm số

như hình bên. Hàm số số

có bao nhiêu điềm cực tiểu ?

A. . B. .

C. . D. .

Bài 4.17. (TDM 2020). Cho đồ thị hàm đa thức

như hình vẽ. Hỏi hàm số

có tất cả bao nhiêu điểm cực

trị ?

A. .

B. .

C. .

D. Bài 4.18. (TDM 2020). Cho bảng biến thiên của hàm số

như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số

là

A. .

B. .

C. .

D. .

Chương 3. Tổ chức thực hiện và kết quả nghiên cứu

3.1. Mục đích thực nghiệm

Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến.

3.2. Nội dung thực nghiệm

Thực nghiệm theo nội dung của sáng kiến.

3.3. Tổ chức thực nghiệm

3.3.1. Địa điểm và đối tượng thực nghiệm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại các lớp 12A1, 12A4, 12A7 trường

THPT Lê Lợi, huyện Tân kỳ, tỉnh Nghệ An.

+ Lớp thực nghiệm: 12A1, 12A2 sĩ số 37 học sinh (năm học 2019 - 2020).

+ Lớp đối chứng: 12A5 sĩ số 36 học sinh (năm học 2019 - 2020).

Tôi đã tìm hiểu rất kỹ và nhận thấy trình độ chung về môn toán tương ứng

của các lớp 12A2, 12A5 là tương đương nhau. Đối với 12A1 có học lực khá hơn.

Trên cơ sở đó, tôi đã đề xuất được thực nghiệm tại lớp 12A1, 12A5 và lấy

12A2 làm lớp đối chứng.

3.3.2. Thời gian thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm được tiến hành từ ngày 15/9/2019 đến 10/04/2020.

Phần lớn số tiết này được giảng dạy cho học sinh trong các tiết luyện tập, tự

chọn, ôn thi TNTHPT.

3.3.3. Công tác chuẩn bị và tổ chức thực hiện

+ Công tác chuẩn bị:

Điều tra thực trạng học tập của lớp thực nghiệm.

Soạn bài giảng dạy theo nội dung của sáng kiến.

Bài kiểm tra thực nghiệm.

+ Tổ chức thực hiện:

* Ở lớp dạy thực nghiệm:

Dạy theo nội dung sáng kiến trong các giờ luyện tập, ôn thi TNTHPT quốc gia. Quan sát hoạt động học tập của học sinh xem các em có phát huy được tính tích cực, tự giác và có phát triển được tư duy sáng tạo hay không.

Tiến hành bài kiểm tra (45 phút) sau khi thực nghiệm.

Cho các em giải các bài toán về cực trị của hàm hợp và hàm liên kết trong

các đề thi thử TNTHPT.

* Ở lớp đối chứng:

Giáo viên thực hiện quan sát hoạt động học tập của học sinh ở lớp đối chứng được giáo viên giảng dạy các bài tập cùng nội dung trong sáng kiến nhưng không theo hướng đi của sáng kiến.

Tiến hành cùng một đề kiểm tra như lớp thực nghiệm.

3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm

Thực tế cho thấy, nhìn chung có khá nhiều em học sinh học tập bị động, máy móc, thiếu tính linh hoạt và sáng tạo, không có nhiều tìm tòi để sáng tạo ra bài toán mới, học tập không thật sự tích cực.

Nhưng tôi vẫn thấy rằng, ở lớp thực nghiệm thì nhìn chung các em tích cực hoạt động, học tập sôi nổi và có sự linh hoạt hơn. Đa số các học sinh khá – giỏi môn Toán rất hứng thú trong buổi học chuyên đề do giáo viên thực hiện. Các em không chỉ nắm được cốt lõi cách giải các bài toán mà còn tự xây dựng được các bài toán mới.

Các giờ học đã góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho các em học sinh lớp 12. Còn ở lớp đối chứng, hoạt động học tập còn khiên cưỡng, các em chủ yếu giải toán một cách thụ động, hoặc chỉ giải được bài toán mà không khai thác được bài toán đó, ít có khả năng sáng tạo ra cái mới.

Nhiều em học sinh ở các lớp thực nghiệm đã giải được nhiều bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết trong các kỳ thi THPT quốc gia những năm trước, kỳ thi thử TNTHPT và các đề thi chọn học sinh giỏi 12 các tỉnh thành phố trên cả nước sau khi các em đã được giảng dạy theo nội dung của sáng kiến.

Tôi áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12A1, 12A5 và 12A2 ở năm học

trước 2018-2019 đã thu được kết quả bài kiểm tra như sau:

Khi chưa áp dụng sáng kiến:

Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 Lớp Số HS SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%)

5,4%

18 48,7% 15

40,5% 2

5,4%

12A1

37

2 0%

10 27,0% 16

43,2% 11

29,8%

12A2

37

0 0%

8 20,2% 17

47.2% 11

30.6%

12A5

36

0 Năm học 2019 - 2020 áp dụng sáng kiến với lớp 12A1, 12A5 và kết quả bài

kiểm tra:

Điểm 9-10 Điểm 7-8 Điểm 5-6 Điểm <5 Lớp Số HS TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL

12A1

37 21,6% 25

67,6% 4

10,8% 0

0%

8

12A5 36 2 5,6% 18 50% 16 44,4% 0 0%

Căn cứ vào kết quả thực nghiệm, bước đầu có thể thấy hiệu quả của việc rèn luyện năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề hàm hợp và hàm liên kết mà tôi đã đề xuất và thực hiện trong quá trình thực nghiệm.

Qua kỳ thi TNTHPT vừa qua cho thấy, nhiều em đạt điểm thi môn Toán trên 9,0 điểm, có một học sinh đạt 9,8 điểm. Đặc biệt có rất nhiều em giải được bài cực trị hàm liên kết ở mức độ vận dụng cao trong đề thi TNTHPT năm 2020.

Phần III. KẾT LUẬN

1. Đề tài đã giải quyết được vấn đề sau - Củng cố cho học sinh các chuẩn kiến thức, kỹ năng của chuyên đề cực trị hàm số thuộc chương trình giải tích lớp 12.

- Hình thành kỹ năng giải toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết cho học sinh

qua đó góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh lớp 12.

- Giúp học sinh xây dựng các bài toán mới về cực trị của hàm hợp và hàm

liên kết qua đó góp phần phát triển năng lực sáng tạo cho học lớp 12.

- Như vậy đề tài đã góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo, đây là các năng lực đặc thù của bộ môn Toán mà chúng ta cần rèn luyện cho học sinh theo chương trình GDPT mới năm 2018.

- Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ cho tính khả thi và hiệu quả

của sáng kiến.

2. Hướng phát triển của đề tài

Đề tài có thể phát triển lên theo hướng tiếp tục nghiên cứu các bài toán cực

trị của hàm chứ dấu giá trị tuyệt đối.

3. Một số kinh nghiệm rút ra

3.1. Đối với giáo viên

Cần chủ động, tích cực tìm hiểu, nghiên cứu chương trình GDPT mới năm 2018 thông qua việc học tập nghiêm túc các nội dung BDTX theo các Mô đun do Sở GD&ĐT tổ chức.

Tăng cường đổi mới phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá theo định

hướng phát triển phẩm chất và năng lực người học.

Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển phẩm chất và năng lực của các em học sinh.

Phải thường xuyên học hỏi trau dồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy

học phù hợp.

Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em

không cảm thấy áp lực trong học tập.

Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học

sinh.

Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh.

Rèn luyện tư duy tương tự hóa, khái quát hóa và đặc biệt hóa cho học sinh, giúp các em có cách nhìn nhận vấn đề một cách bao quát, cụ thể, có tính hệ thống, và giải quyết vấn đề nhanh hơn, có tính lôgic cao hơn...

3.2. Đối với học sinh

Việc học tập theo định hướng trên giúp học sinh:

Không còn bỡ ngỡ, có cách tiếp cận và có kỹ năng tốt hơn trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm hợp và hàm liên kết, hình thành cho bản thân năng lực giải quyết vấn đề.

Biết cách sáng tạo bài toán mới từ những kiến thức đã biết, hình thành cho

bản thân năng lực sáng tạo.

4. Kiến nghị

Bài toán cực trị của hàm hợp và hàm liên kết thường xuất hiện trong các đề thi THPTQG nay là kỳ thi TNTHPT đặc biệt là các kỳ thi HSG. Các bài toán này không được đề cập trong SGK và SBT hiện hành mà thường xuất hiện trong các tài liệu tham khảo. Đề tài này góp phần hệ thống lại chủ đề cực trị hàm hợp và hàm liên kết và đưa ra một số hướng giúp các em học sinh xây dưng bài toán mới. Đề tài có thể đưa vào giảng dạy lồng ghép trong tiết tự chọn khi luyện tập về chủ đề cực trị của hàm hợp và hàm liên kết, phù hợp với đối tượng học sinh khá giỏi; góp phần nâng cao chất lượng kết quả bộ môn, đặc biệt là kết quả thi TNTHPT sắp tới.

Tuy đã cố gắng nỗ lực, song do năng lực chuyên môn và thời gian thực hiện có hạn nên đề tài chỉ đạt được một số kết quả mang tính minh họa, các ví dụ còn chưa đa dạng. Bên cạnh đó, đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý thầy cô, đồng nghiệp đặc biệt là các chuyên gia góp ý.