MỤC LỤC
Mục lục ........................................................................................................................ trang 1
Tài liệu tham khảo ........................................................................................................ trang 2
I. Sơ lược lý lịch tác giả ............................................................................................... trang 3
II. Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị ........................................................................... trang 3
III. Mục đích, yêu cầu của đề tài sáng kiến .................................................................. trang 3
1. Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến ........................................... trang 3
2. Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến ................................................................ trang 4
3. Nội dung sáng kiến
3.1. Quy trình xây dựng sáng kiến ............................................................... trang 4
3.2. Ý tưởng .................................................................................................. trang 5
3.3. Cơ sở lý luận ......................................................................................... trang 6
3.4. Giải quyết ý tưởng ................................................................................. trang 7
3.5. Biện pháp tổ chức áp dụng sáng kiến .................................................. trang 17
3.6. Thời gian áp dụng sáng kiến ................................................................ trang 24
3.7. Đơn vị, cá nhân áp dụng sáng kiến lần đầu ......................................... trang 24
3.8. Mức độ khả thi ..................................................................................... trang 24
IV. Hiệu quả đạt được ............................................................................................... trang 25
V. Mức độ ảnh hưởng ................................................................................................ trang 28
VI. Kết luận ............................................................................................................... trang 28
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 1
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)- Nguyễn Văn Đoành- Trần
Đức Huyên, Sách giáo khoa hình học 10, NXB Giáo dục, năm 2006.
[2] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)- Văn Như Cương (Chủ biên)- Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn
Nghị, Sách giáo khoa hình học 10 (nâng cao) , NXB Giáo dục, năm 2006.
[3] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)- Khu Quốc Anh- Trần Đức
Huyên, Sách giáo khoa hình học 12, NXB Giáo dục, năm 2006.
[4] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)- Văn Như Cương (Chủ biên)- Phạm Khắc Ban- Lê Huy
Hùng- Tạ Mân, Sách giáo khoa hình học 12 (nâng cao) , NXB Giáo dục, năm 2006.
[5] Tủ sách Toán học và Tuổi trẻ, Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp
trung học phổ thông và thi đại học, cao đẳng môn toán tập 2, NXB Giáo dục, năm
2012.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU CẢNH
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Chợ Mới, ngày 25 tháng 02 năm 2019.
BÁO CÁO Kết quả thực hiện sáng kiến, cải tiến, giải pháp kỹ thuật, quản lý, tác nghiệp, ứng dụng tiến bộ kỹ thuật hoặc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng
I- Sơ lược lý lịch tác giả:
- Họ và tên: VÕ THANH GIANG Nam, nữ: Nam
- Ngày tháng năm sinh: 20/10/1990
- Nơi thường trú: Kiến Hưng I- Kiến Thành- Chợ Mới-An Giang
- Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh
- Chức vụ hiện nay: Giáo viên
- Trình độ chuyên môn: ĐHSP Toán
- Lĩnh vực công tác: Giáo dục
II.- Sơ lược đặc điểm tình hình đơn vị:
- Tóm tắt tình hình đơn vị: Ban lãnh đạo nhà trường luôn quan tâm, hỗ trợ sâu sát và kịp thời mọi mặt. Tập thể giáo viên đoàn kết, hòa đồng, hỗ trợ nhau trong công tác giảng dạy, có chuyên môn vững vàng, tâm huyết và trách nhiệm với nghề, không ngừng tự học, sáng tạo, đổi mới trong giảng dạy. Đa số học sinh chăm ngoan, phấn đấu trong học tập. Cơ sở vật chất, trang thiết bị dạy học phần lớn đảm bảo tốt cho công tác dạy và học,….
- Thuận lợi: Được sự quan tâm, hỗ trợ sâu sát của ban Lãnh đạo nhà trường và tổ chuyên môn và đồng nghiệp; thư viện đáp ứng nguồn tài liệu tham khảo phục vụ tốt cho việc giảng dạy; trang thiết bị dạy học đáp ứng được yêu cầu giảng dạy; đa số học sinh có sự phấn đấu trong học tập, chấp hành tốt nội qui nhà trường;….
- Khó khăn: Một bộ phận học sinh còn ham chơi, khả năng tự học chưa cao,…
- Tên sáng kiến/đề tài giải pháp: Phương pháp đổi điểm trong cực trị hình học giải tích.
- Lĩnh vực: Toán học
III. Mục đích yêu cầu của đề tài, sáng kiến:
1. Thực trạng ban đầu trước khi áp dụng sáng kiến
cho tọa độ hai điểm
. Tìm tọa độ của điểm sao cho
- Học sinh lớp 10 sau khi học xong chương III của hình học thì đã biết cách giải và phương trình bài toán : “ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (tổng quát hoặc tham số) của đường thẳng lớn nhất” . Tuy nhiên cách làm đó đòi hỏi học sinh phải tính toán khá nhỏ nhất và phức tạp và phải dựa vào kiến thức của hình học phẳng. Hơn nữa, nếu cho phương trình của đường thẳng ở dạng phương trình tham số thì phải chuyển về dạng tổng quát mới làm được.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 3
- Một dạng nữa, học sinh rất sợ là bài toán: “ Trong không gian với hệ tọa độ
và phương trình (chính tắc hoặc tham số) của đường thẳng
nhỏ nhất và sao cho
. Tìm cho tọa độ hai điểm tọa độ của điểm lớn nhất”. Bằng các kiến thức của hình học không gian ta có thể giải quyết được. Tuy nhiên để giải bài toán này khó hơn rất nhiều so trong mặt phẳng và rất công phu, nắm thật vững kiến thức trong hình học không gian mới giải quyết được. Kể cả học sinh giỏi chưa chắc làm tốt được dạng này.
- Và một dạng toán thường gặp nữa là: “ Trong không gian với hệ tọa độ
tọa độ hai điểm và phương trình tổng quát của mặt phẳng cho Tìm tọa độ của điểm
sao cho nhỏ nhất và lớn nhất” . Đối với dạng này ta cũng có
phương pháp giải. Tuy nhiên đòi hỏi tính toán khá phức tạp mới có được kết quả.
Tóm lại, khi gặp những dạng toán trên đa số học sinh rất sợ kể cả các em khá giỏi, thường các em gặp khó khăn hoặc bỏ qua không chịu làm trong các đề kiểm tra nếu có các câu dạng này.
2. Sự cần thiết phải áp dụng sáng kiến
- Trong giải toán mà thực hiện một phương pháp nào đó mà việc tính toán khá phức tạp hay đòi hỏi sự vận dụng nhiều kiến thức liên quan mới tìm được kết quả thì đa số học sinh rất dễ làm sai và điều đó làm giảm sự say mê, hứng thú của bộ phận học sinh đối với vấn đề đó.
- Một bài toán đã có phương pháp giải, mà đòi hỏi sự tính toán phức tạp. Ta nên tìm ra phương pháp khác để khắc phục. Hoặc là phương pháp đó đã gọn nhẹ rồi thì ta cũng phải tìm thêm những cách làm khác để khơi gợi lên sự sáng tạo, đam mê, hứng thú về toán học cho học sinh và cũng thông qua đó rèn luyện tư duy phân tích, tìm tòi, suy luận cho học sinh.
- Hơn nữa, với hình thức trắc nghiệm thì yêu cầu học sinh phải có kĩ thuật làm bài nhanh, tính toán đơn giản. Đòi hỏi phải có những phương pháp làm giảm sự tính toán phức tạp nhiều quá trình và phương pháp này tỏ ra hiệu lực trong việc giải quyết các dạng toán đã nêu ở trên, đặc biệt là bài toán thứ hai.
- Những dạng thường gặp trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia.
3. Nội dung sáng kiến
3.1. Quy trình xây dựng sáng kiến
- Bước 1: Xây dựng ý tưởng làm sáng kiến.
- Bước 2: Nghiên cứu thật kĩ cơ sở lý luận, để có hướng giải quyết và hoàn thiện ý tưởng.
- Bước 3: Xây dựng đề cương của sáng kiến.
- Bước 4: Tiến hành biên soạn nội dung.
- Bước 5: Đem vào tổ chuyên môn đánh giá, góp ý.
- Bước 6: Hoàn thiện sáng kiến lần đầu.
- Bước 7: Tiến hành thực nghiệm giảng dạy, rút kinh nghiệm lần đầu.
- Bước 8: Tiến hành khảo sát, đánh giá hiệu quả mang lại của sáng kiến.
- Bước 9: Hoàn thiện cuối cùng và đem vào áp dụng trong giảng dạy.
- Bước 10: Phát triển sáng kiến này nếu có thể.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 4
3.2. Ý tưởng
cho hai điểm
- Việc giải quyết bài toán : “Trong mặt phẳng thuộc trục hoành sao cho nhỏ nhất (với
- Từ đó, nảy sinh các ý tưởng sau:
điểm hoành) và .Tìm tọa độ nằm khác phía với trục nằm cùng phía với trục hoành) ” là rất dễ dàng . lớn nhất (với
o Ý tưởng 1, sẽ chuyển bài toán : “ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
và phương trình (tổng quát hoặc tham số) của đường thẳng
sao cho nhỏ nhất và cho tọa . lớn
độ hai điểm Tìm tọa độ của điểm nhất” về bài toán trên dựa vào đó tìm đáp án.
o Ý tưởng 2, chuyển bài toán “ Trong không gian với hệ tọa độ
và phương trình (chính tắc hoặc tham số) của đường thẳng
cho tọa độ . lớn sao cho nhỏ nhất và
hai điểm Tìm tọa độ của điểm nhất” về bài toán trong mặt phẳng.
o Ý tưởng 3, Xét bài toán: “ Trong không gian với hệ tọa độ
điểm và phương trình tổng quát của mặt phẳng cho tọa độ hai Tìm tọa độ của điểm
sao cho nhỏ nhất và lớn nhất” . Ta đưa nó về bài
toán nằm trên mặt phẳng thành nằm trên đường thẳng .
3.3. Cơ sở lý luận
3.3.1. Một số kết quả trong hình học phẳng và trong hình học không gian.
a) Trong hình học phẳng ta đã biết:
- Nếu nằm về hai phía đối với đường thẳng thì
nhỏ nhất là giao điểm của đường thẳng và .
nằm về cùng phía đối với đường thẳng và là điểm đối xứng của qua
- Nếu thì
nhỏ nhất là giao điểm của đường thẳng và .
- Nếu nằm về cùng phía đối với đường thẳng mà cắt thì
lớn nhất là giao điểm của đường thẳng và .
- Nếu và là điểm đối xứng của qua mà
nằm về hai phía đối với đường thẳng thì cắt
lớn nhất là giao điểm của đường thẳng và .
b) Trong không gian ta đã biết
- Nếu nằm về hai phía đối với mặt phẳng thì
nhỏ nhất là giao điểm của đường thẳng và .
nằm về cùng phía đối với mặt phẳng và là điểm đối xứng của qua
- Nếu thì
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 5
nhỏ nhất là giao điểm của đường thẳng và .
- Nếu nằm về cùng phía đối với mặt phẳng mà không song song thì
lớn nhất là giao điểm của đường thẳng và .
- Nếu nằm về hai phía đối với mặt phẳng và là điểm đối xứng của qua
mà cắt thì
lớn nhất là giao điểm của đường thẳng và .
3.3.2. Tham số hóa tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng
- Trong mặt phẳng cho đường thẳng có phương trình là nếu điểm
thì .
- Trong mặt phẳng cho đường thẳng có phương trình là với
nếu thì hoặc .
- Trong không gian cho đường thẳng có phương trình tham số là
hoặc phương trình chính tắc là với thì
.
3.3.3. Phương trình mặt phẳng
a) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Cho mặt phẳng . Nếu khác và áo giá vuông góc với thì được gọi là
vectơ pháp tuyến của .
Chú ý: Nếu không cùng phương và có giá song song
hoặc nằm trong thì là một vectơ pháp tuyến
của .
b) Định nghĩa
với được gọi là phương
Phương trình có dạng trình tổng quát của mặt phẳng.
Nhận xét:
- Nếu có phương trình tổng quát là thì có một vectơ pháp
tuyến là
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 6
- Phương trình của mặt phẳng đi qua và nhận khác
làm vectơ pháp tuyến là .
c) Phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng
Gọi là hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên mặt phẳng
- Cách 1:
+ Tìm giao điểm của và .
+ Chọn trên một điểm khác . Tìm là hình chiếu vuông góc của trên
+ Khi đó đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là từ đó tìm
được phương trình của
- Cách 2: Chọn hai điểm thuộc đường thẳng Tìm
trên Khi đó đi qua hai điểm lần lượt là hình nên ta có phương trình
chiếu vuông góc của của .
- Cách 3:
+ Viết phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với . Khi đó vectơ
pháp tuyến của là
+ Đường thẳng nên là tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn hệ
gồm hai phương trình tổng quát của và
+ Từ hệ đó ta tìm hai điểm thuộc Từ đó viết phương trình của
3.4. Ý tưởng giải quyết
3.4.1. Bài toán 1: “ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trình (tổng quát hoặc tham số) của đường thẳng cho tọa độ hai điểm . Tìm tọa độ của điểm và phương sao cho
nhỏ nhất và lớn nhất”
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng
Tìm tọa độ điểm nằm trên đường thẳng sao cho độ dài đường gấp
khúc ngắn nhất.
Lời giải.
Vì nên
Độ dài đường gấp khúc bằng .
Mà
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 7
Xét . Khi đó,
Mà chạy trên trục hoành và hai điểm nằm khác phía so với trục hoành.
Do đó, độ dài đường gấp khúc ngắn nhất
ngắn nhất là giao điểm của trục hoành và đường thẳng ngắn nhất .
Ta có:
Vậy
Nhận xét:
1) Để giải bài này ta vẫn dựa vào kiến thức của hình học . Tuy nhiên việc thay đường thẳng khi xét vị trí tương đối của các điểm đã làm cho độ phức tạp trong thành trục tính toán giảm đi rất nhiều.
2) Chúng ta không cần chuyển phương trình tham số của đường thẳng
phương trình tổng quát. Không cần xét vị trí tương đối của hai điểm thành so với đường thẳng
3) Việc chọn điểm phải khéo léo sao cho chúng khác phía so với trục hoành
(tung độ của chúng trái dấu) việc tính toán càng dễ hơn.
4) Ta có và nằm giữa hai điểm cùng với tính chất hai tam giác
đồng dạng nên
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường thẳng và hai điểm
. Tìm tọa độ điểm sao cho lớn nhất.
Lời giải.
Vì nên
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 8
Ta có:
. Khi đó, Xét
Mà chạy trên trục và nằm cùng phía với trục hoành
lớn nhất là giao điểm của trục lớn nhất
Do đó, hoành và đường thẳng
Ta có:
Vậy
Nhận xét:
thẳng học ta tìm điểm 1) Theo cách làm thông thường ta phải xét vị trí tương đối của so với đường Trong trường hợp này hai điểm đó nằm khác phía. Nếu áp theo phương pháp hình sau đó tìm phương trình của đường thẳng đối xứng với điểm
tìm giao điểm của Làm như vậy việc tính khá phức tạp. qua và đường thẳng
2) Tuy nhiên làm theo cách mới này việc tính toán giảm đi rất nhiều và lời giải gọn
nhẹ hơn nhiều.
3) Việc chọn hai hai điểm sao cho chúng cùng phía với trục hoành thì tính toán dễ dàng hơn.
4) Vì và nằm về một phía so hai điểm cùng với tính chất hai tam
giác đồng dạng nên
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm và đường thẳng có
phương trình tham số Tìm điểm thuộc sao cho
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 9
a) nhỏ nhất.
b) lớn nhất.
Lời giải.
a) Vì nên . Khi đó ta có:
Xét . Khi đó
Mà chạy trên trục và ngược phía với trục hoành
nhỏ nhất nhỏ nhất là giao điểm của trục Do đó, hoành và đường thẳng . Khi đó ta có:
Vậy
b) Tương tự câu a) ta có:
Xét . Khi đó
Mà chạy trên trục hoành và nằm cùng phía với trục hoành
lớn nhất là giao điểm với
Do đó, đường thẳng lớn nhất
Khi đó,
Vậy
cho hai điểm và đường thẳng có
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ phương trình Tìm tọa độ điểm sao cho:
nhỏ nhất. a)
lớn nhất. b)
Lời giải.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 10
a) Vì nên
Ta có:
Xét . Khi đó
Mà chạy trên trục và nằm ngược phía với trục hoành
nhỏ nhất nhỏ nhất là giao điểm của trục
Do đó, hoành và đường thẳng . Khi đó ta có:
Vậy
b) Tương tự câu a). Ta có:
Xét . Khi đó
Mà chạy trên trục và nằm cùng phía với trục hoành
lớn nhất lớn nhất là giao điểm của
Do đó, trục hoành và đường thẳng . Khi đó ta có:
Vậy
Bài tập tương tự
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hai điểm
có phương trình là Tìm tọa độ điểm nằm trên đường thẳng và đường thẳng sao cho
a) nhỏ nhất.
b) lớn nhất.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 11
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho đường thẳng có phương trình tham số
và hai điểm Tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng là
sao cho
nhỏ nhất. a)
lớn nhất. b)
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hai điểm và đường
thẳng Biết thuộc sao cho độ dài đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính
A. B. C. D.
Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hai điểm và và đường
thẳng : . Tọa độ điểm thuộc sao cho lớn nhất.
A. . B. . C. . D. .
cho tọa độ hai điểm
. Tìm tọa độ của điểm và sao
3.4.2. Bài toán 2: “ Trong không gian với hệ tọa độ phương trình (chính tắc hoặc tham số) của đường thẳng cho nhỏ nhất và lớn nhất”
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa cho và đường thẳng
có phương trình tham số Tìm thuộc sao cho:
a) nhỏ nhất.
b) lớn nhất.
Lời giải.
a) Vì nên
Ta có:
Xét
Khi đó,
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 12
Mà chạy trên trục hoành và nằm khác phía với trục hoành.
nhỏ nhất nhỏ nhất là giao điểm của trục
Do đó, hoành và đường thẳng .
Ta có:
Vậy
b) Tương tự như câu a) ta có:
Xét
Khi đó,
Mà chạy trên trục hoành và nằm cùng phía với trục hoành.
lớn nhất lớn nhất là giao điểm của trục Do đó, hoành và đường thẳng .
Ta có:
Vậy
Nhận xét:
1) Phương pháp này rất hiệu lực đối với bài toán 2 này. Làm theo phương pháp hình không đồng và đường thẳng
học rất phức tạp và khó đặc biệt là trường hợp hai điểm phẳng.
2) Trong lời giải trên không những ta đã thay đường thẳng thành trục
thành hệ thống đồng phẳng gồm hai điểm và đường thẳng
khi xét vị trí tương đối của các điểm mà còn chuyển hệ thống không đồng phẳng gồm hai điểm và trục hoành( trong và trục hoành( trong câu b). Đó là
câu a) hoặc hệ thống đồng phẳng gồm hai điểm nguyên nhân cơ bản giúp ta có một lời giải đơn giản.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ cho và đường thẳng
có phương trình Tìm thuộc sao cho nhỏ nhất.
Lời giải.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 13
Phương trình tham số của
Vì nên
Ta có:
. Xét
Khi đó:
Mà chạy trên trục hoành và nằm khác phía so với trục hoành.
nhỏ nhất nhỏ nhất là giao điểm của trục
Do đó, hoành và đường thẳng
Ta có:
Vậy
Bài tập tương tự
Bài 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai điểm và
đường thẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho
a) nhỏ nhất.
b) lớn nhất.
Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai điểm và
đường thẳng . Biết điểm sao cho nhỏ nhất.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
cho tọa độ hai điểm
3.4.3. Bài toán 3: “ Trong không gian với hệ tọa độ phương trình tổng quát của mặt phẳng Tìm tọa độ của điểm sao cho và
nhỏ nhất và lớn nhất”
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và mặt
phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho
có phương trình nhỏ nhất.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 14
Lời giải.
Dễ dàng ta thấy cũng nằm trên hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên
và vectơ pháp tuyến của là Ta có:
Gọi là mặt phẳng chứa hai điểm và vuông góc với mặt phẳng
Khi đó, vectơ pháp tuyến của là
Do đó, phương trình của hay
Ta có:
Ta lại có:
. Xét
Khi đó,
Mà chạy trên trục hoành và nằm khác phía với trục hoành.
nhỏ nhất nhỏ nhất là giao điểm của trục
Do đó, hoành và đường thẳng
Khi đó, ta có:
Vậy
Nhận xét:
hình chiếu vuông góc của đường thẳng 1) Theo phương pháp hình học ta dễ nhận thấy điểm trên mặt phẳng là nằm trên đường thẳng . Vì vậy ta có thể thay giả
thiết thành Đây là ý tưởng để giải bài toán này.
2) Việc tìm hình chiếu vuông góc của của đường thẳng trên mặt phẳng có
nhiều cách. Ở đây ta chọn viết phương trình chứa hai điểm và vuông góc với .
Khi đó
3) Ta cũng không cần thiết viết phương trình tham số của
độ điểm và ta chỉ cần tham số tọa thay vào hệ phương trình gồm hai phương theo . Do đó, ta chỉ việc cho
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 15
trình tổng quát của và theo hoặc ta hoán đổi cho rồi tìm
theo hoặc cho tìm từ đó giải tìm theo .
4) Theo phương pháp này ta đã chuyển bài toán số 3 thành bài toán số 2, cách làm này hoàn toàn khác so cách ta đã biết (phương pháp hình học).
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm và mặt
phẳng có phương trình Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho
lớn nhất.
Lời giải.
Dễ dàng ta thấy nằm trên hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt
phẳng
Ta có: và vectơ pháp tuyến của là
Gọi là mặt phẳng chứa và vuông góc với
Khi đó, vectơ pháp tuyến của là
Do đó, phương trình của hay
nên . Ta có:
Ta lại có:
Xét .Khi đó,
Mà chạy trên trục hoành và nằm cùng phía với trục hoành
lớn nhất lớn nhất là giao điểm của trục
Do đó, hoành và đường thẳng .
Ta có:
Vậy
Bài tập tương tự
Bài 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai điểm và mặt
phẳng có phương trình là . Tìm tọa độ điểm thuộc sao cho
a) nhỏ nhất.
b) lớn nhất.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 16
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm
, . Điểm thuộc sao cho nhỏ nhất. Giá
trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Bài 3. Trong không gian , cho hai điểm , và mặt phẳng
. Điểm thuộc mặt phẳng sao cho lớn nhất.
Tính tổng .
A. . B. . C. . D. .
3.5. Biện pháp tổ chức áp dụng sáng kiến
- Xây dựng nội dung của sáng kiến như chuyên đề dạy học đem vào trong giảng dạy.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 17
cho tọa độ hai điểm
. Tìm tọa độ của điểm
- Cách tổ chức dạy bài toán 1: “ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ và phương trình (tổng quát hoặc tham số) của đường thẳng sao cho nhỏ nhất và lớn nhất”
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
- Tiếp nhận ví dụ: đọc kỹ đề, xác định giả thiết, yêu cầu bài toán, suy nghĩ ý tưởng làm bài. - Giới thiệu ví dụ 1: Trong mặt phẳng với và đường hệ tọa độ cho điểm
thẳng Tìm tọa độ điểm
nằm trên đường thẳng sao cho độ dài
đường gấp khúc ngắn nhất. - Độ dài đường gấp khúc bằng
- Trả lời
- Yêu cầu học sinh nêu cách tính độ dài đường gấp khúc
sao cho
- Vậy bài toán trở thành tìm ngắn nhất. Nếu
nằm về hai phía đối với đường là nhỏ nhất thì - Gọi học sinh nêu cách giải bài toán trên trong hình học phẳng thẳng giao điểm của đường thẳng và .
Nếu
và
đường thẳng của qua thì
nằm về cùng phía đối với là điểm đối xứng nhỏ nhất và
là giao điểm của đường thẳng .
so với
+ Vì
- Làm theo hướng dẫn của thầy - Nêu nhận xét: Nếu làm theo cách này ta phải chuyển phương trình đường thẳng sang dạng tổng quát, sau đó kiểm tra vị trí và nằm về tương đối của cùng một phía phải thực hiện khá nhiều tính toán phức tạp. Bây giờ thầy sẽ giới thiệu cho các em cách làm nhẹ nhàng hơn
nên thì tọa độ có dạng như + Ta có thế nào? + Độ dài đường gấp khúc bằng + Gọi học sinh tính theo Mà
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 18
+ Hướng dẫn:
. Khi đó, Xét
+ Quan sát, theo dõi để hiểu được thủ thuật làm của giáo viên.
Mà chạy trên trục hoành và hai điểm
nằm khác phía với trục hoành.
Do đó, độ dài đường gấp khúc nhất ngắn
ngắn nhất
ngắn nhất là giao điểm của trục hoành và đường thẳng - Gọi học làm tiếp .
Ta có:
- Nhận xét : Ta có hai điểm giác và nằm giữa cùng với tính chất hai tam nên đồng dạng
Vậy
- Thực hiện ví dụ 2:
tọa độ cho đường Vì nên hai và Ta có: - Giới thiệu ví dụ 2: Trong mặt phẳng với thẳng hệ điểm . Tìm tọa độ điểm
sao cho lớn nhất.
- Yêu cầu thực hiện tương tự như ví dụ 1, sao cho điểm khác là chọn hai điểm cùng phía so với trục hoành.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 19
Xét . Khi đó,
và nằm chạy trên trục
Mà cùng phía với trục hoành
lớn nhất
là giao điểm của trục hoành và
Do đó, lớn nhất đường thẳng
Ta có:
Nhận xét, hoàn chỉnh bài giải của học sinh. Vậy
Cho bài tập tương tự cho học sinh rèn luyện Rèn luyện thêm thông qua các bài tập tượng tự
Bài tập tương tự
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hai điểm và đường
thẳng Biết thuộc sao cho độ dài đạt giá trị nhỏ nhất.
Tính
A. B. C. D.
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hai điểm và và đường
thẳng : . Tọa độ điểm thuộc sao cho lớn nhất.
A. . B. . C. . D. .
- Cách tổ chức bài toán 2:
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
- Giới thiệu ví dụ: Trong không gian với hệ - Tiếp nhận ví dụ
tọa cho và
đường thẳng có phương trình tham số
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 20
Tìm thuộc sao cho:
a) nhỏ nhất.
b) lớn nhất.
- Nắm ý tưởng, hiểu cách làm và trình bày lại được bài toán.
- Bài giải câu b)
- Làm minh họa câu a) và hướng dẫn cho học sinh hiểu ý tưởng: “quy về bài toán trong mặt phẳng” và yêu cầu học sinh làm câu b tương tự b) Tương tự như câu a) ta có:
- Bài giải câu a) Vì nên
Ta có:
Xét Xét
Khi đó, Khi đó,
chạy trên trục hoành và nằm chạy trên trục hoành và nằm Mà khác phía với trục hoành. Mà cùng phía với trục hoành.
nhỏ nhất
là giao điểm của trục hoành lớn nhất là giao điểm của trục hoành Do đó, nhỏ nhất và đường thẳng . Do đó, lớn nhất và đường thẳng .
Ta có: Ta có:
Vậy Vậy
- Khẳng định : ý tưởng này tỏ ra rất hiệu quả cho lớp bài toán dạng này. Nếu dựa vào hình
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 21
học không gian đây là một dạng rất khó, đòi hỏi ta phải vận dụng nhiều kiến thức liên quan và thực tính toán khá phức tạp
Cho bài tập tương tự cho học sinh rèn luyện Rèn luyện thêm thông qua các bài tập tượng tự
Bài tập tương tự
Bài 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai điểm và
đường thẳng . Tìm tọa độ điểm sao cho
a) nhỏ nhất.
b) lớn nhất.
Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho hai điểm và
đường thẳng . Biết điểm sao cho nhỏ nhất.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. B. C. D.
- Cách tổ chức bài toán 3
HOẠT ĐỘNG CỦA GIÁO VIÊN HOẠT ĐỘNG CỦA HỌC SINH
- Giới thiệu ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ cho hai điểm
và mặt phẳng có
Tìm tọa độ
nhỏ thuộc sao cho
- Tiếp nhận ví dụ, hình thành hướng giải. - Nêu hướng giải
+ Nếu phẳng nằm về hai phía đối với mặt thì nhỏ nhất là
giao điểm của đường thẳng và .
+ Nếu phẳng nằm về cùng phía đối với mặt và là điểm đối xứng của
qua thì nhỏ nhất là
giao điểm của đường thẳng và .
+ Nếu phẳng nằm về cùng phía đối với mặt không song song mà thì
lớn nhất là giao điểm của phương trình điểm nhất. - Yêu cầu học sinh nêu cách giải bài toán này dựa vào kiến thức hình học không gian.
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 22
đường thẳng và .
+ Nếu phẳng nằm về hai phía đối với mặt là điểm đối xứng của và
cắt lớn
qua nhất
mà và thì là giao điểm của đường thẳng .
- Nhận xét: - Giải
cũng nằm trên hình chiếu nằm trên đường thẳng Dễ dàng ta thấy vuông góc của đường thẳng trên
1) Theo phương pháp hình học ta dễ nhận là thấy điểm hình chiếu vuông góc của đường thẳng . Vì vậy ta có thể thay trên mặt phẳng Ta có: và vectơ pháp tuyến
thành Đây là ý của là giả thiết tưởng mới để giải bài toán này.
Gọi là mặt phẳng chứa hai điểm và
vuông góc với mặt phẳng trên mặt phẳng
Khi đó, vectơ pháp tuyến của là 2) Việc tìm hình chiếu vuông góc của của đường thẳng có nhiều cách. Ở đây ta chọn viết phương trình và vuông góc với chứa hai điểm
. Khi đó
Do đó, phương trình
của hay
và ta chỉ cần tham số tọa độ . Do đó, ta chỉ việc cho theo
3) Ta cũng không cần thiết viết phương trình tham số của điểm thay vào hệ phương trình gồm hai phương trình tổng quát của và Ta có: từ đó giải tìm rồi tìm
theo theo hoặc ta hoán đổi cho hoặc cho tìm theo . Ta lại có:
4) Theo phương pháp này ta đã chuyển bài toán số 3 thành bài toán số 2, cách làm này hoàn toàn khác so cách ta đã biết (phương pháp hình học). - Cho học sinh thời gian suy nghĩ và thực hiện theo cách mới.
Xét
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 23
. Khi đó,
chạy trên trục hoành và nằm
Mà khác phía với trục hoành.
nhỏ nhất
là giao điểm của trục hoành
Do đó, nhỏ nhất và đường thẳng
Khi đó, ta có:
Vậy
Cho bài tập tương tự cho học sinh rèn luyện Rèn luyện thêm thông qua các bài tập tượng tự
Bài tập tương tự
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và điểm
, . Điểm thuộc sao cho nhỏ nhất. Giá
trị của bằng
A. . B. . C. . D. .
Bài 2. Trong không gian , cho hai điểm , và mặt phẳng
. Điểm thuộc mặt phẳng sao cho lớn nhất.
Tính tổng .
A. . B. . C. . D. .
3.6. Thời gian áp dụng sáng kiến:
- Trong học kỳ II của mỗi năm học của khối 10 ( áp dụng cho bài toán 1) và khối 12
(áp dụng cho bài toán 2,3).
- Trong ôn tập thi THPT quốc gia của học sinh khối 12.
3.7. Đơn vị, cá nhân áp dụng sáng kiến lần đầu
- Lớp 10C11 và 12C11 năm học 2017-2018 của Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh.
- Lớp 10C9, 10C10,10C11 và 12C8 năm học 2018-2019 của Trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh.
3.7. Mức độ khả thi
- Đối với học sinh khối 10 và 11: chỉ giải quyết được bài toán số 1 vì các em mới học xong phương pháp tọa độ trong mặt phẳng . Yêu cầu về kiến thức phải nắm được :
+ Tọa độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 24
+ Kiến thức hình học phẳng:
Nếu nằm về hai phía đối với đường thẳng thì
nhỏ nhất là giao điểm của đường thẳng và .
Nếu nằm về cùng phía đối với đường thẳng và là điểm đối xứng của qua
thì
nhỏ nhất là giao điểm của đường thẳng và .
Nếu nằm về cùng phía đối với đường thẳng mà cắt thì
lớn nhất là giao điểm của đường thẳng và .
Nếu nằm về hai phía đối với đường thẳng và là điểm đối xứng của qua
mà cắt thì
lớn nhất là giao điểm của đường thẳng và .
- Đối với học sinh khối 12: giải quyết được cả ba bài toán. Yêu cầu về kiến thức phải nắm được:
+ Tọa độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình đường thẳng trong mặt phẳng
+ Kiến thức hình học phẳng:
Nếu nằm về hai phía đối với đường thẳng thì
nhỏ nhất là giao điểm của đường thẳng và .
nằm về cùng phía đối với đường thẳng và là điểm đối xứng
Nếu của qua thì
nhỏ nhất là giao điểm của đường thẳng và .
Nếu nằm về cùng phía đối với đường thẳng mà cắt thì
lớn nhất là giao điểm của đường thẳng và .
Nếu và là điểm đối xứng của
qua nằm về hai phía đối với đường thẳng thì mà cắt
lớn nhất là giao điểm của đường thẳng và .
+ Kiến thức hình học trong không gian
Nếu nằm về hai phía đối với mặt phẳng thì
nhỏ nhất là giao điểm của đường thẳng và .
Nếu nằm về cùng phía đối với mặt phẳng và là điểm đối xứng
của qua thì
nhỏ nhất là giao điểm của đường thẳng và .
Nếu nằm về cùng phía đối với mặt phẳng mà không song song
thì
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 25
lớn nhất là giao điểm của đường thẳng và .
Nếu nằm về hai phía đối với mặt phẳng và là điểm đối xứng của
qua mà cắt thì
lớn nhất là giao điểm của đường thẳng và .
+ Tọa độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng
trong không gian
IV. Hiệu quả đạt được:
- Những điểm khác biệt trước và sau khi áp dụng sáng kiến:
+ Trước khi áp dụng sáng kiến này: bài giải các bài toán trên khá cồng kềnh do
thực hiện nhiều bước , tính toán phức tạp dễ sai, phải vận dụng nhiều kiến thức liên quan, đặc
biệt kiến thức hình học phẳng và hình học không gian…làm cho học sinh rất sợ kể cả học sinh
khá , giỏi.
+ Sau khi áp dụng sáng kiến: Lời giải của các bài toán trên gọn hơn, sáng tạo hơn,
tính toán nhẹ nhàng, ít phức tạp, ít sai, dễ thực hiện hơn; học sinh hứng thú hơn, gặp dạng toán
đó thì ít sợ, tự tin thực hiện bài giải và làm tốt dạng toán này ….. Hiệu quả cách làm này rất tối
ưu cho bài toán 2.
- Lợi ích thu được khi sáng kiến áp dụng:
+ Học sinh làm tốt các dạng toán trên, hứng thú và say mê hơn trong học toán.
+ Thể hiện được tư duy sáng tạo trong giải toán.
+ Thời gian giải nhanh hơn đáp ứng tốt cho hình thức kiểm tra trắc nghiệm như
hiện nay.
+ Là tài liệu dùng để giảng dạy, học tập môn toán trong trường học phổ thông; là tài
liệu bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT quốc gia.
+ Kết quả thu được qua khảo sát
Câu hỏi khảo sát dành cho học sinh của lớp 10C11. Thời gian làm bài: 10 phút Nội dung câu hỏi:
và đường thẳng có phương
Trong mặt phẳng trình là cho hai điểm . Tìm tọa độ điểm sao cho nhỏ nhất.
------HẾT----
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 26
Kết quả thu được
Học sinh làm tốt Học sinh làm chưa tốt
Số lượng 25 16
Tỉ lệ % 60,98% 39,02%
Câu hỏi khảo sát dành cho học sinh của các lớp 12C11. Thời gian làm bài: 20 phút Nội dung câu hỏi:
Câu 1: Trong không gian cho hai điểm và đường thẳng
Tìm tọa độ của điểm sao cho nhỏ nhất.
Câu 2: Trong không gian cho hai điểm và và mặt phẳng
. Tìm tọa độ của điểm sao cho lớn nhất.
---HẾT---
Kết quả thu được
Học sinh làm tốt Học sinh làm chưa tốt
27 (chiếm 72,97%) 10 (chiếm 27,03%) Câu 1
25 (chiếm 67,57%) 12 (chiếm 32,43%) Câu 2
- Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng giải pháp theo ý kiến của tác giả: Học sinh
làm bài nhanh hơn, ít sai do tính toán ít phức tạp và không cần thực hiện nhiều công đoạn như
các phương pháp trước đây đối với bài toán 1,2; còn đối với bài toán 3 thể hiện sáng tạo trong
lời giải. Đặc biệt thể hiện tính tối ưu cho bài toán 2.
- Đánh giá lợi ích thu được do áp dụng giải pháp theo ý kiến của tổ chức, cá nhân
tham gia áp dụng giải pháp lần đầu: Theo đa số học sinh được áp dụng sáng kiến này thích thú,
Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2018-2019 | Trang 27
cảm thấy không còn sợ dạng toán này nữa, làm bài tốt ít sai và ít tốn thời do tính toán ít phức
tạp và bài giải gọn nhẹ.
- Cách giải các bài toán trên theo phương pháp này gọn, đơn giản, dễ thực hiện và
làm nhanh ít tính toán phức tạp rất phù hợp với hình thức trắc nghiệm.
V. Mức độ ảnh hưởng:
- Khả năng áp dụng của giải pháp cho học sinh THPT đặc biệt các học sinh đang ôn
thi THPT quốc gia và dùng làm tài liệu bồi dưỡng ôn thi học sinh giỏi môn toán.
- Làm cho học rất thích thú, cảm thấy đam mê toán hơn, không còn cảm giác toán
học là môn khô khan, khó học và sợ học toán. Đem lại cho các em sự sáng tạo, khơi dậy óc tìm
tòi, phát triển tư duy,…
- Là tài liệu cho học sinh, đồng nghiệp tham khảo, phục vụ cho việc học tập và công
tác giảng dạy.
- Góp phần vào đổi mới tư duy giải toán, thực hiện cuộc vận động mỗi thầy cô giáo là
một tấm gương đạo đức tự học và sáng tạo.
VI- Kết luận:
Thông qua giải pháp này, đã góp thêm một phương pháp giải toán độc đáo, sáng tạo, đơn giản, gọn nhẹ, tính toán ít phức tạp dễ thực hiện, ít mắc sai lầm. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học; khơi dậy tư duy sáng tạo, tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh,…
Mong rằng nhận được thêm nhiều ý kiến quý báu từ các quý đồng nghiệp, học sinh để giải pháp này được hoàn thiện và phát triển hơn.
Tôi cam đoan những nội dung báo cáo là đúng sự thật.
Người viết sáng kiến
Xác nhận của đơn vị áp dụng sáng kiến
Võ Thanh Giang
