Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI

ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT

MÔN: TOÁN

Tác giả: Lê Thị Thu Hương

Tổ: Toán - Tin

Năm: 2020 - 2021

Điện thoại: 0941 05 4567

Năm học: 2020 - 2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT MÔN: TOÁN

Năm học: 2020 - 2021

MỤC LỤC

MỤC LỤC ................................................................................................................. 1 PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................... 1 1.1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................. 1 1.2. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 1 1.3. Đối tượng nghiên cứu ......................................................................................... 1 1.4. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................... 2 1.5. Đóng góp của đề tài ............................................................................................ 2 PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU .................................................................... 3 2.1. Cơ sở lý luận. ..................................................................................................... 3 2.1.1. Cấp số cộng. .................................................................................................... 3 2.1.2. Cấp số nhân. .................................................................................................... 3 2.1.3. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học: .................................................. 3 2.1.4. Một số công thức lượng giác thường dùng trong giải toán liên quan dãy số ...... 3 2.2. Thực trạng vấn đề giải toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số ......... 4 2.3. Một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số ................... 4 2.3.1. Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ) .......................................................... 4 2.3.2. Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp toán học. .................................................................................................................. 32 2.3.3. Một số phương pháp tổng hợp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. ... 39 PHẦN III. KẾT LUẬN .......................................................................................... 44 3.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường ...................................................................................... 44 3.2. Kiến nghị .......................................................................................................... 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 46

PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1. Lí do chọn đề tài

Trong giai đoạn hiện nay, để đổi mới phương pháp dạy học có hiệu quả, giáo viên là yếu tố quyết định hàng đầu trong việc thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy. Người giáo viên phải có kiến thức đa dạng, xác định được những vấn đề cần đổi mới, nắm vững kĩ năng truyền đạt kiến thức, chủ động và có sáng kiến. Từ đó, làm cho học sinh biết tự học, tự vận dụng, biết hợp tác và chia sẻ, học cách thức đi tới sự hiểu biết, coi trọng sự khám phá và khai thác trong học thuật…

Thực tiễn dạy học chương trình Đại số và Giải tích 11 cho thấy, chủ đề dãy số là một chủ đề trừu tượng, hơn nữa các bài toán về dãy số là một nội dung gần như không thể thiếu trong các đề thi học sinh giỏi Toán THPT. Khi gặp các bài toán này, học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc tìm ra cách giải của chúng, đặc biệt là bài toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. Hơn nữa, ở một số lớp bài toán liên quan đến dãy số, khi đã xác định được công thức số hạng tổng quát của dãy số thì bài toán gần như được giải quyết. Đứng trước tình hình đó, người giáo viên phải nắm vững kiến thức và kĩ năng cần truyền đạt đến học sinh để thiết kế dẫn dắt học sinh đi từ dễ đến khó, từ ít đến nhiều. Giáo viên xác định việc dạy cách học, học cách học hoặc hướng vào người học là để phát huy tính tích cực chủ động của người học, hỗ trợ người học tìm chọn và xử lí thông tin một cách linh hoạt và sáng tạo. Vì thế, để đổi mới phương pháp giảng dạy có hiệu quả, giáo viên là yếu tố quyết định hàng đầu trong việc thực hiện đổi mới. Vị trí của giáo viên không phải được xác định bằng sự độc quyền về thông tin và trí thức có tính đẳng cấp, mà bằng những phẩm chất, trí tuệ và sự từng trải của mình trong quá trình dẫn dắt học sinh tự học. Vì các lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt”.

1.2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài góp phần bồi dưỡng, bổ sung và nâng cao kiến thức, kĩ năng cho học sinh, giúp các em giải quyết được một số bài toán về tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, cũng như kì thi THPTQG sau này. Phát huy tinh thần sáng tạo, tự học, tự rèn luyện của các em nhằm mục tiêu bồi dưỡng nhân tài, hình thành các phẩm chất, năng lực đặc biệt

cho học sinh.

Nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi,

đồng thời góp phần nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ sư phạm của bản thân.

1.3. Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số dạng toán về dãy số có công thức truy hồi đặc biệt, từ đó trang bị cho các em học sinh khá, giỏi các kĩ năng cơ bản để tìm công thức số

hạng tổng quát của dãy số trong chương trình môn toán THPT.

1.4. Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, đồng nghiệp và các

tài liệu tham khảo liên quan

Chú trọng các phương pháp dạy học trên cơ sở phương pháp khoa học: phương pháp tái hiện, phương pháp tư duy, phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa,…

Định hướng cho học sinh tìm ra cách giải quyết bài toán nhằm phát huy khả năng quan sát, khả năng vận dụng kiến thức, tái hiện kiến thức và kết hợp kiến thức liên quan trong quá trình giải toán.

1.5. Đóng góp của đề tài

Đề tài đã tổng hợp một số kỹ năng cơ bản trong việc tìm số hạng tổng quát

của dãy số thông qua các phương pháp sau :

- Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ).

- Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác kết hợp phương pháp quy nạp toán học.

- Phương pháp tổng hợp.

- Thông qua việc định hướng các phương pháp giải, giúp học sinh rèn luyện các kỹ năng phân tích, biến đổi công thức truy hồi dạng đặc biệt của dãy số, kĩ năng đặt ẩn phụ, kĩ năng sử dụng công thức lượng giác đưa dãy số đã cho về dãy số đặc biệt đã có cách tìm ra công thức số hạng tổng quát, kĩ năng dự đoán công thức số hạng tổng quát, kĩ năng chứng minh công thức số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp toán học đã có cách tìm ra công thức số hạng tổng quát…

PHẦN 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2.1. Cơ sở lý luận.

2.1.1. Cấp số cộng.

Định nghĩa: Dãy số được gọi là cấp số cộng (CSC) nếu

: công sai của CSC; số hạng đầu của CSC; số hạng tổng

Trong đó quát của CSC.

Số hạng tổng quát của CSC:

Tổng số hạng đầu của CSC:

2.1.2. Cấp số nhân.

Định nghĩa: Dãy số được gọi là cấp số nhân (CSN) nếu

: công bội của CSN; số hạng đầu của CSN; số hạng tổng

Trong đó quát của CSN.

Số hạng tổng quát của CSN:

Tổng số hạng đầu của CSN:

2.1.3. Phương pháp chứng minh quy nạp toán học:

Để chứng minh mệnh đề: đúng, ta chứng minh:

+) Với đúng

+) Giả sử đúng. Ta chứng minh đúng.

2.1.4. Một số công thức lượng giác thường dùng trong giải toán liên quan

dãy số

- Công thức lượng giác cơ bản

- Công thức nhân đôi

- Công thức nhân ba

2.2. Thực trạng vấn đề giải toán tìm công thức số hạng tổng quát của

dãy số

Chủ đề dãy số là một chủ đề đóng vai trò cực kì quan trọng trong toán học cũng như nhiều lĩnh vực của đời sống. Trong chương trình toán THPT, các bài toán thường gặp về dãy số là các bài toán như: giới hạn, số hạng tổng quát, tính đơn điệu, bị chặn,… Trong đó bài toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số thường xuyên xuất hiện trong các đề thi Olimpic Toán, các kì thi học sinh giỏi quốc gia, các kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi trường. Khi gặp các bài toán dạng này, học sinh thường lúng túng không biết tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số như thế nào. Trước tình hình đó, việc định hướng cho các em tìm ra công thức số hạng tổng quát của dãy số là một nhiệm vụ cần thiết đối với người giáo viên trong quá trình dạy học. Nhất là khi dãy số đó cho bởi các công thức truy hồi đặc biệt. Khi tìm được công thức số hạng tổng quát của dãy số thì việc xét tính đơn điệu, bị chặn hay tìm giới hạn của dãy số hầu như được giải quyết. Bằng các kinh nghiệm, vốn tri thức của mình, người giáo viên định hướng cho học sinh tìm số hạng tổng quát của dãy số thông qua một số phương pháp như đặt dãy số phụ, phương pháp quy nạp, phương pháp thế lượng giác,… để từ đó đưa dãy số đã cho về dãy số đặc biệt đã có cách tìm công thức số hạng tổng quát như CSC, CSN, …

2.3. Một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số

2.3.1. Phương pháp đổi biến (đặt dãy số phụ)

Dạng 1: Dãy số thỏa mãn: ( )

Định hướng: thì Khi . Khi đó, là một CSC nên ta tìm được

số hạng tổng quát của dãy số.

Khi . Ta nghĩ đến việc phân thì

không phải là CSC hay CSN do tích công thức truy hồi, thông qua việc đặt dãy số phụ đưa dãy số đó về một CSN.

Giả sử

Đặt

công bội

Suy ra, dãy số Ta tìm được là CSN có

Ví dụ 1: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo

(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2014-2015)

Định hướng: Ta có:

Đây là một dãy số có dạng 1, với , ta tìm được

Khi đó:

Bài toán được giải quyết.

Giải quyết vấn đề:

Từ công thức truy hồi, ta có:

Đặt

Suy ra, dãy số là CSN có , công bội

Vậy .

Nhận xét: Nếu công thức truy hồi có dạng:

, là một đa thức có bậc , hoặc là một phân thức hữu

(trong đó tỉ theo ) thì ta sẽ làm như thế nào ?

Ta đưa công thức truy hồi đã cho về dạng:

Khi đó, ta sẽ tìm cách phân tích :

Vấn đề đặt ra là tìm như thế thế nào?

*) Nếu là một đa thức thì ta xét các trường hợp như sau:

Khi :

là một đa thức có bậc nhỏ hơn 1 bậc so . Khi đó ta

với bậc của đa thức chọn là một đa thức bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của và có hệ số tự do bằng .

: là một đa thức cùng bậc với đa thức

Khi . Khi đó ta chọn là một đa thức cùng bậc với đa thức

Ta có dạng toán sau:

Dạng 2: Cho dãy số thỏa mãn:

, là một đa thức có bậc hoặc là một phân thức

(trong đó ) hữu tỉ theo

Định hướng: Tìm để .

Khi là một đa thức có bậc theo :

+) Nếu thì chọn là một đa thức có bậc và có hệ số tự do

bằng .

+) Nếu là một đa thức cùng bậc với đa thức thì ta chọn

Khi đó, đặt: . Ta đưa về: là CSN

Ta tìm được

Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 2: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng : Ta có mà Chọn

Giả sử:

Bài toán được giải quyết.

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Đặt

Suy ra là một dãy số không đổi , mà

Vậy

Nhận xét: Ngoài cách đặt dãy số phụ thì ở bài này ta có thể nghĩ đến phương

pháp cộng dồn để tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số. Cách này thường được dùng khi

Thật vậy: Từ công thức truy hồi ta có:

…

Cộng vế theo vế, ta có:

Ta thấy, tổng là tổng của số hạng đầu của

CSC có số hạng đầu bằng 10, công sai

Suy ra:

Vậy

Ví dụ 3: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo

(Đề thi HSG tỉnh Thái Nguyên năm 2019-2020)

Định hướng: Ta có mà

Nên chọn

Giả sử:

Bài toán được giải quyết.

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Đặt

Suy ra là một cấp số nhân có , công bội

Vậy .

, cách định hướng trên có thể dùng trong các bài mà đa thức Nhận xét: Ở bài này, học sinh có thể từ công thức truy hồi dễ dàng tìm được phức tạp khó tìm đa thức .

Ví dụ 4: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo

(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2015-2016)

Định hướng:

Tìm sao cho: , là phân thức hữu

tỷ theo

Ta có:

Như vậy,

Bài toán được giải quyết.

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Đặt

là một cấp số nhân với công bội

Vậy

Nhận xét: Khi công thức truy hồi của dãy số có dạng:

(trong đó là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo

thì ta sẽ biến đổi như thế nào để bằng cách đặt ẩn phụ đưa được về một dãy số mới là một CSN ?

Dạng 3: Cho dãy số thỏa mãn:

(Trong đó là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo )

Định hướng: Phân tích làm xuất hiện để đưa công

thức truy hồi về dạng:

( trong đó ,

là các đa thức hoặc phân thức hữu tỉ theo )

Khi đó, ta đặt là một cấp số

nhân.

Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 5: Cho thỏa mãn:

Tính ?

Định hướng: Để tìm , ta tìm công thức số hạng tổng quát

của dãy số

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Khi đó, từ công thức:

Đặt

là một cấp số nhân với công bội

Vậy

Ví dụ 6: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm

(Đề thi HSG tỉnh Nghệ An năm 2018-2019)

Định hướng: Để tìm giới hạn trên, ta đi tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Từ công thức truy hồi, ta có:

Nhận xét: Từ VT của , ta nghĩ đến VP của phải xuất hiện .

Như vậy nhân 2 vế của cho , ta có:

Từ , ta nghĩ đến việc tìm để đưa về dạng:

Thật vậy:

Khi đó, ta thấy:

xuất hiện

Bài toán được giải quyết

Giải quyết vấn đề:

Từ công thức truy hồi, ta có:

Nhân 2 vế của cho , ta có:

Ta có:

Khi đó:

Đặt:

Từ là một cấp số nhân với công

bội

Ta có:

Khi đó:

Ta có:

Vậy

Ví dụ 7: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát . của dãy số theo

(Đề thi HSG Toán 11 tỉnh Nghệ An năm 2016-2017)

Định hướng:

Từ công thức truy hồi, ta thấy ở VP có nên ta nghĩ đến làm xuất

hiện ở VT

Từ , ta nghĩ đến việc tìm để đưa về dạng:

Ta phân tích: để tìm

Ta có:

Khi đó

Bài toán được giải quyết.

Giải quyết vấn đề:

Từ công thức truy hồi, suy ra:

Ta có:

Khi đó:

Đặt: . Từ

là một cấp số nhân với công bội

Vậy

Nhận xét: Một số đề thi học sinh giỏi các tỉnh cùng dạng tương tự như sau:

Ví dụ 8: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát và tính của dãy số theo

(Đề thi HSG Toán tỉnh Quảng Trị năm 2020 )

Ví dụ 9: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát và tính của dãy số theo

(Đề thi HSG Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm 2020 )

Dạng 4: Cho dãy số thỏa mãn:

( với )

Định hướng: Ta phân tích để đưa công thức truy hồi

đã cho ở trên về dạng:

Giả sử . Từ ta suy ra:

+) Nếu

Khi đó:

Vậy

+) Nếu thì ta phân tích:

Khi đó, đặt là một CSC

có công sai

Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 10: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo

(Đề thi Olimpic Toán 11 năm 2019-2020 Hà Nội)

Định hướng:

Ta thấy ở bài này

Chọn với . Khi đó:

Giải quyết vấn đề:

Từ công thức:

Đặt

là một cấp số nhân với công bội

Vậy

Ví dụ 11: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo và tính

(Đề thi HSG Tỉnh Toán 11 năm 2018-2019 Thanh Hóa )

Định hướng:

Ta thấy, trường hợp này là nên ta giải quyết bài toán theo trường

hợp thứ 2 của dạng 3.

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Đặt là một CSC có

công sai

Vậy

Ta có:

Vì , mà

Mặt khác

Vậy và

Nhận xét:

1) Nếu dãy số thỏa mãn:

( với )

thì ta biến đổi công thức truy hồi đưa về dạng 3:

2) Nếu dãy số thỏa mãn:

( trong đó, là một đa thức theo và )

thì ta tìm để phân tích : . Khi đó đưa

được công thức truy hồi về dạng:

Bài toán được giải quyết.

, trong đó là một đa thức cùng bậc với đa

Lưu ý: thức

3) Nếu dãy số thỏa mãn:

( trong đó, là một đa thức theo và )

thì ta làm tương tự dãy số dạng trên.

Ví dụ 12: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng:

Từ công thức truy hồi đã cho, giả sử

Khi đó:

Khi đó

Bài toán được giải quyết.

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Từ công thức truy hồi:

Đặt

là một CSN có công bội

Vậy

Ví dụ 13: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng:

Từ công thức truy hồi đã cho, giả sử:

Khi đó:

Khi đó

Bài toán được giải quyết.

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Từ công thức truy hồi:

Đặt

là một CSN có , công bội

. Vậy

Dạng 5: Cho dãy số thỏa mãn:

). ( trong đó

Định hướng: Đưa công thức truy hồi về dạng:

Khi đó ta có hệ:

Với điều kiện là 2 nghiệm phương trình:

(phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của dãy)

Ta tìm được

Đặt

là một CSN có

Khi đó

là dãy số dạng 4 đã có cách giải.

Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 14: Cho dãy số thỏa mãn:

Tính ?

( Đề thi HSG Toán 11 Tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019 )

Định hướng:

Từ công thức truy hồi của dãy số, ta có:

Xét phương trình đặc trưng của dãy số:

Phương trình có 2 nghiệm:

Từ đó ta có cách giải quyết bài toán như sau:

Giải quyết vấn đề: Với , ta có:

Đặt

là một CSN có

là dãy số không đổi Đặt

Vậy

Nhận xét: Vì nên từ công thức

Ta nghĩ đến phương pháp cộng dồn các số hạng của dãy số.

Từ ta có:

…

Cộng vế theo vế, ta có:

Vậy

Nhận xét: Nếu VP của công thức truy hồi ở dạng 5 là một đa thức thì

ta tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số như thế nào ?

Khi dãy số có công thức truy hồi dạng: ,

trong đó là một đa thức bậc theo

Ta tìm cách phân tích , đưa công thức

truy hồi đã cho về dạng:

Khi đó, đặt

Vấn đề ở chỗ, ta tìm như thế nào?

Từ ta thấy, là một đa thức bậc theo nên ta phải chọn sao

cho

là một đa thức bậc theo .

Giả sử là một đa thức

bậc theo

Khi đó, ở VP của , hệ số của là , hệ số của là

Do đó: +) Nếu phương trình: có 2 nghiệm phân biệt khác thì

nên VP của là một đa thức bậc

có 2 nghiệm phân biệt mà trong đó có một nghiệm

, nghiệm còn lại bằng VP

+) Nếu phương trình bằng của thì suy ra là một đa thức bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của

Khi đó bậc của là và có hệ số tự do bằng

có nghiệm kép bằng

+) Nếu phương trình là một đa thức bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của VP của . Khi

đó bậc của là và có hệ số tự do bằng .

Từ nhận xét trên, ta có cách tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số dạng

Dạng 6: Dãy số thỏa mãn:

( trong đó là một đa thức theo , ).

Định hướng: Tìm sao cho

Khi đó, đưa công thức truy hồi về dạng:

Khi đó, đặt

Như vậy, để chọn ta cần chú ý như sau:

có 2 nghiệm phân biệt khác thì là một đa +) Nếu phương trình thức cùng bậc với

+) Nếu phương trình

bằng có 2 nghiệm phân biệt mà trong đó có một nghiệm . là một đa thức cùng bậc , trong đó thì ta chọn

+) Nếu phương trình có nghiệm kép bằng thì ta chọn ,

trong đó là một đa thức cùng bậc .

Vấn đề được giải quyết.

Ví dụ 15: Dãy số thỏa mãn:

Tìm ?

( Đề thi chọn HSGQG THPT Tỉnh Kon Tum năm 2018-2019)

Định hướng: Đưa về công thức truy hồi dạng 6.

Ta tìm đa thức để phân tích được:

Ta thấy phương trình có nghiệm kép nên chọn

Khi đó bằng cách đồng nhất hệ số đẳng thức ta tìm được

Bài toán được giải quyết.

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Khi đó:

Đặt

là một dãy số không đổi

là một CSC với

, công sai

Vậy

Ví dụ 16: Dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng: Đưa công thức truy hồi về dạng 6.

Ta tìm đa thức để phân tích được:

Ta thấy phương trình: có 2 nghiệm phân biệt khác là

nên chọn

Khi đó bằng cách đồng nhất hệ số đẳng thức , ta tìm được

Bài toán được giải quyết.

Giải quyết vấn đề:

Từ

Ta có:

Đặt

Khi đó:

Đặt

là một CSN có , công bội

Từ

Đặt

là một CSN với ,

Từ

Vậy

Nhận xét: Ở dạng 6, nếu thì ta làm như thế nào? Ta có

ví dụ sau:

Ví dụ 17: Dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng: Ta tìm biểu thức để phân tích được:

Chọn .

Khi đó:

Từ công thức truy hồi, ta suy ra:

Đặt

Đây là một dãy số dạng 5 đã có cách giải. Bài toán được giải quyết.

Dạng 7: Dãy số thỏa mãn:

Định hướng:

+) Khi :

Đặt là dãy số dạng 1 Tìm được

+) Khi Ta đặt . Khi đó:

Để đưa về dạng thì ta chọn thỏa mãn:

Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 18: Dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng: Ta thấy công thức truy hồi của dãy số đã cho có dạng 7 khi

Bài toán được giải quyết.

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Đặt

là một CSN có , công Đặt

bội

Vậy

Ví dụ 19: Dãy số thỏa mãn:

Tính

( Đề thi chọn HSG Tỉnh Gia Lai năm 2019-2020) Định hướng: Công thức truy hồi của dãy số có dạng 7 trong trường hợp

Khi đó, đặt .

Ta có:

Chọn thỏa mãn:

Khi đó:

Như vậy, ta đã đưa được về dãy số dạng 7 trong trường hợp đã có cách giải.

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Đặt dãy số là một CSC

có , công sai

Ta có:

Do đó:

Ví dụ 20: Dãy số thỏa mãn:

Tìm ?

( Đề thi chọn HSG Tỉnh Bắc Ninh năm 2019-2020)

Định hướng: Từ công thức truy hồi của dãy số, ta thấy có dạng tương tự công thức truy hồi dạng 7, vì vậy ta giải quyết vấn đề của bài toán theo cách định hướng của dãy số dạng 7. Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Đặt

Ta có: …

Cộng vế theo vế ta có:

Vậy

Dạng 8: Dãy số thỏa mãn:

Định hướng:

Ta có:

Khi đó:

Ta đã đưa về dãy số có dạng 5 đã biết cách giải.

Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 21: Dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

Khi đó:

Đặt

là một CSN có , công bội

là dãy số dạng 4, nên ta chọn được thỏa mãn:

Đặt

là một CSN có , công bội

Vậy

Dạng 9: Dãy số thỏa mãn:

( trong đó ).

Định hướng: Từ công thức truy hồi:

Khi ta có:

hay

Ta thấy là 2 nghiệm của phương trình:

Theo định lí Viet, ta có:

Ta đã đưa được về dãy số dạng 5

Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 22. Dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

(Đề thi chọn HSGQG tỉnh An Giang năm 2020-2021)

Giải quyết vấn đề:

Ta có:

suy ra là 2 nghiệm của phương trình: Từ

Theo định lí Viet, ta có:

Đặt

Từ công thức truy hồi đã cho, ta tính được:

Đặt

Vậy

Ví dụ 23. Dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ? Tính

(Đề thi HSG Tỉnh Quảng Trị năm 2019-2020)

Định hướng: Giải tương tự ví dụ 22

Ví dụ 24: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng: Ta biến đổi công thức truy hồi đã cho về công thức truy hồi

dạng 9 Ta có:

Đặt

Dãy số là dãy số có dạng 9 ở trên.

Bài toán được giải quyết.

Nhận xét: Với dãy số thỏa mãn: , trong đó

, ta biến đổi công thức truy hồi về dạng:

Đặt . Như vậy, ta đã đưa được

về một dãy số có dạng 9 đã có cách giải.

2.3.2. Phương pháp sử dụng phép thế lượng giác kết hợp phương pháp

quy nạp toán học.

Ví dụ 1 : Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng:

Ta thấy

Mặt khác, nếu đặt thì

Như vậy bài toán được giải quyết.

Giải quyết vấn đề:

Ta có

Tương tự:

Ta chứng minh: bằng phương pháp quy nạp toán học.

Thật vậy:

( đúng ) Với

Giả sử

Vậy

Ví dụ 2 : Cho dãy số thỏa mãn:

Tính ?

( Đề thi HSG toán 12 Tỉnh Bình Định năm 2019-2020)

Định hướng: Ta thấy

Tương tự:

Ta chứng minh được: bằng phương pháp quy nạp

Suy ra

Như vậy bài toán được giải quyết.

Ví dụ 3: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm số hạng tổng quát theo ?

( Đề thi HSG toán THPT Tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019)

Định hướng:

Từ giả thiết, ta suy ra

Ta có:

Để làm mất căn thức trong biểu thức , ta đặt:

(do ).

Khi đó:

Vì ;…

Từ đó, ta tìm được công thức tổng quát của dãy số

Như vậy bài toán được giải quyết.

Ví dụ 4: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

( Đề thi HSG toán 12 TP Hà Nội năm 2019-2020)

Định hướng: Ta thấy, trong công thức truy hồi xuất hiện nên ta nghĩ

đến phép thế lượng giác để khử căn.

Từ giả thiết, suy ra

mà

Đặt

Khi đó:

Ta có:

Ta chứng minh được bằng phương pháp quy nạp toán học.

Vậy

Như vậy bài toán được giải quyết.

Ví dụ 5: Cho dãy số thỏa mãn:

Hai dãy số xác định như sau:

. Tìm các giới hạn

( Đề thi HSG toán 12 TP Hải Phòng năm 2019-2020)

Định hướng: Ta thấy, để tìm các giới hạn yêu cầu, ta đi tìm công thức số

hạng tổng quát của dãy số .

Từ công thức truy hồi của dãy số , ta suy ra:

Chọn sao cho

, do

Tương tự:

Bằng quy nạp, ta chứng minh được

Từ đó ta tính được Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 6: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng: Từ công thức truy hồi: , ta nghĩ đến công thức

lượng giác:

Ta có:

Ta chứng minh được bằng quy nạp:

Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 7: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

thì không tồn tại để . Khi

Định hướng: Ở bài này, khi đó bài toán được giải quyết như thế nào?

Ta tìm

Ta chọn

Khi đó, ta có:

…

Bằng quy nạp, ta chứng minh được:

Nhận xét: Từ ví dụ 6, 7 trên, ta có các bài toán tổng quát như sau:

1) Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng:

Nếu : đặt . Khi đó ta có:

Nếu : đặt , trong đó

Khi đó, là nghiệm của phương trình: .

Ta có:

…

Bằng quy nạp, ta chứng minh được:

Vậy bài toán được giải quyết.

2) Cho dãy số thỏa mãn: , trong đó

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng:

+) Nếu dãy số đã cho trở thành:

Khi đó, ta đặt

Bằng quy nạp, ta chứng minh được

+) Nếu :

Tìm cách đưa công thức truy hồi về dạng 1) ở trên.

Đặt

Từ công thức truy hồi, ta suy ra:

Bài toán đã được giải quyết.

3) Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng:

Nếu : đặt . Khi đó, bằng quy nạp ta chứng minh được:

Nếu : đặt , trong đó . Tương tự dạng 1) ở trên, ta

chứng minh được:

Ví dụ 8: Dãy số thỏa mãn:

Chứng minh là số chính phương.

(Đề thi chọn HSG Tỉnh Nghệ An năm 2020-2021)

Định hướng 1:

Đặt đặt , trong đó và cùng dấu.

Ta có phương trình:

Chọn

Ta có:

…

Bằng quy nạp, ta chứng minh được:

Khi đó:

Suy ra:

Vì nên ta suy ra điều phải chứng minh.

Định hướng 2:

Từ công thức truy hồi, ta suy ra:

là số chính phương.

Nhận xét: Ở ví dụ này, có thể giải theo 2 định hướng trên. Tuy nhiên, nếu bài toán yêu cầu tìm số hạng tổng quát của dãy số hay các yêu cầu liên quan đến việc tìm số hạng tổng quát của dãy số thì ta thực hiện theo định hướng 1.

Từ các định hướng giải trên, ta có thể đưa ra bài toán mới như sau:

Dãy số thỏa mãn:

Tìm ?

Ở bài toán này, ta làm tương tự ví dụ 8

Từ

2.3.3. Một số phương pháp tổng hợp tìm công thức số hạng tổng quát của

dãy số.

Ta có thể gặp những dãy số cho bởi các công thức truy hồi không có các dạng đặc biệt ở trên, nhưng bằng các kĩ năng biến đổi, phân tích, đặt dãy số phụ,… ta có thể đưa các dãy số đó về một trong các dạng đặc biệt đã đưa ra ở trên hoặc về dạng đặc biệt nào đó mà ta đã biết cách giải.

Ví dụ 1: Cho dãy số thỏa mãn:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

( Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2020 - 2021)

Định hướng:

Ta phân tích :

Đặt

là CSN có , công bội

Từ , ta có: , , …,

Vậy

Nhận xét: Ở ví dụ này, ta đã sử dụng kết hợp phương pháp đặt dãy số phụ và

phương pháp cộng dồn các số hạng của một CSN để tìm được công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho.

Ví dụ 2: Cho dãy số xác định như sau:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

( Đề thi HSG Tỉnh Bình Dương năm 2020 - 2021)

Định hướng: Ta có thể phân tích, biến đổi công thức truy hồi đã cho về dạng

tương tự công thức truy hồi của ví dụ 1.

Ta có:

( công thức có dạng tương tự công thức truy

hồi của dãy số ví dụ 1 ở trên)

là một dãy số không đổi Đặt

Mà , suy ra ,

Vậy

Ví dụ 3: Cho dãy số xác định như sau:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

( Đề thi HSG Tỉnh Phú Yên năm 2020 - 2021)

Định hướng: Từ công thức truy hồi, ta có thể nghĩ đến cách biến đổi đưa dãy

số về dạng tương tự ví dụ 1 bằng cách nghịch đảo 2 vế của công thức truy hồi.

Ta có:

Khi đó, đặt

Đến đây, ta thấy có thể làm xuất hiện bình phương ở vế phải, ta biến đổi như sau:

Đặt

Ta có: Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được:

Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 4: Cho dãy số xác định như sau:

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số .

b) Tính tổng

( Đề thi HSG Tỉnh Cà Mau năm 2020 - 2021)

Định hướng: Từ công thức truy hồi, ta có thể nghĩ đến cách bình phương 2

vế để mất căn.

a) Ta có:

Đặt là CSN có , công sai

Khi đó:

b) Từ công thức số hạng tổng quát, ta có:

Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 5: Cho dãy số xác định như sau:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

(Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2019 - 2020)

Định hướng: Làm xuất hiện bình phương của một biểu thức ở vế phải của

công thức truy hồi.

Đặt

Ta đưa về dãy số dạng 1, mục 2.3.1 đã có cách giải.

Bài toán được giải quyết.

Ví dụ 6: Cho dãy số xác định như sau:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

Định hướng: Làm xuất hiện bình phương của một biểu thức ở vế phải của

công thức truy hồi.

Đặt

Bài toán được giải quyết.

Nhận xét: Phương pháp tìm công thức ở thường gọi là phương pháp

hàm lặp.

Ví dụ 7: Cho dãy số xác định như sau:

Tìm công thức số hạng tổng quát theo ?

( Đề thi HSG Tỉnh Hưng Yên năm 2019 - 2020)

Định hướng: Từ công thức truy hồi, ta có thể nghĩ đến cách bình phương 2

vế để mất căn.

Nhân 2 vế của với 2, ta có:

Ta tìm sao cho:

Giả sử

Khi đó, từ ta suy ra:

Đặt

Như vậy bài toán được giải quyết.

PHẦN III. KẾT LUẬN

3.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với

bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

3.1.1. Đối với hoạt động giáo dục học sinh

Đề tài có tính hiệu quả và thực tiễn cao trong công tác giáo dục học sinh. Trang bị tốt cho các em những hướng tư duy cơ bản, các năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy lập luận logic,… khi đứng trước một bài toán khó, phức tạp. Đồng thời rèn luyện cho các em những kỹ năng cần thiết khi thực hiện giải toán tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số thông qua các phương pháp đặt dãy số phụ, phương pháp quy nạp, phương pháp thế lượng giác.

Qua việc tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh năm học 2019 - 2020; năm học 2020 - 2021 tại trường, tôi thấy tầm quan trọng và tính hiệu quả của việc định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt, 100 % các em đều làm đúng câu dãy số trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2020 - 2021.

Kết quả khảo sát bài kiểm tra đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh của trường năm

học 2019-2020 khi chưa áp dụng đề tài như sau:

Lần kiểm tra Số học sinh Tỉ lệ Số học sinh làm được câu dãy số

1 5 1 20 %

2 5 2 40 %

3 5 1 20 %

Kết quả khảo sát bài kiểm tra đội tuyển thi học sinh giỏi tỉnh của trường năm

học 2020 -2021 khi áp dụng đề tài như sau:

Lần kiểm tra Số học sinh Tỉ lệ Số học sinh làm được câu dãy số

1 3 2 66,7 %

2 3 3 100 %

3 3 3 100 %

Từ kết quả khảo sát, ta thấy, sau khi được trang bị cho các em các kĩ năng, phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số, các em làm bài tốt hơn, biết vận dụng linh hoạt kiến thức được học vào giải toán dãy số. Qua đó ta thấy

được hiệu quả của việc vận dụng SKKN áp dụng vào giảng dạy, làm cho các em tự tin, hứng thú và say mê tìm tòi trong học tập.

3.1.2. Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Đề tài giúp bản thân nâng cao trình độ chuyên môn cũng như nghiệp vụ sư phạm, trang bị cho bản thân thêm công cụ để giải toán và giáo dục học sinh. Đề tài đã được tổ Toán- Tin góp ý và đánh giá cao trong công tác giảng dạy, tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi. Góp phần quan trọng trong phong trong nghiên cứu khoa học của tổ chuyên môn. Đề tài được công khai rộng rãi đến tập thể học sinh trong trường, giúp các em có thêm tư liệu để ôn tập, từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy và giáo dục của nhà trường.

3.2. Kiến nghị

Đối với Sở Giáo dục:

Kính mong Sở giáo dục và đào tạo tiếp tục chỉ đạo công tác nghiên cứu khoa học, triển khai những sáng kiến có chất lượng trong toàn tỉnh đến các trường THPT để chúng tôi học hỏi rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy và giáo dục học sinh

Đối với nhà trường:

Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi về chuyên môn, xây dựng các tiết dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh, phải xem sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn là công việc để trau dồi về chuyên môn, tự học tập lẫn nhau giúp nhau cùng tiến bộ.

Để đề tài thực hiện tốt thì cần có những buổi sinh hoạt, seminar về toán học để các em học sinh bày tỏ quan điểm của mình cũng như tự giúp các em phát hiện ra phương pháp giải thông qua các bài toán.

Đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót và để hoàn thiện hơn nữa,

tác giả rất mong được sự bổ sung và góp ý chân thành của các đồng nghiệp.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Sách giáo khoa, sách bài tập đại số 11 cơ bản và nâng cao.

2. Sách giáo viên toán 11.

3. Các đề thi học sinh giỏi Tỉnh của các tỉnh, thành phố trong nước, đề thi học

sinh giỏi Quốc Gia và đề thi thử THPT quốc gia.

4. Báo toán học & Tuổi trẻ.

5. Đề thi Olympic 30/4.

6. Tài liệu tập huấn dạy học và kiểm tra đánh giá kết quả học tập theo định

hướng phát triển năng lực cho học sinh.

7. Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT môn Toán, tập 1 của các tác giả: Hà Duy Hưng, Nguyễn Sơn Hà, Nguyễn Ngọc Giang, Lê Minh Cường, Nxb ĐHQGHN.

8. Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THPT môn Toán, tập 2 của tác giả: Trịnh

Khắc Quân, Nxb ĐHQGHN.

9. Phương pháp dạy học môn Toán của Nguyễn Bá Kim, Nxb ĐHSP.

10. Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018 của Bộ Giáo Dục.

11. Một số bài toán chọn lọc về dãy số, Nguyễn Văn Mậu, NXBGD 2003.

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Định hướng cho học sinh một số phương pháp tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số cho bởi công thức truy hồi đặc biệt