Ở Ạ S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O VĨNH PHÚC
Ạ Ụ ƯỜ TR NG THPT YÊN L C 2
Ế
Ả
BÁO CÁO K T QU
Ứ Ứ
Ụ
Ế
NGHIÊN C U, NG D NG SÁNG KI N
Tên sáng ki n: ế
Ộ Ố ƯƠ Ớ Ạ Ố M T S PH NG PHÁP TÌM GI I H N DÃY S
ả Ầ Tác gi sáng ki n: ế TR N VĂN LONG
ế Mã sáng ki n: 28.52.0 2
Vĩnh Phúc, năm 2021
Ở Ạ S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O VĨNH PHÚC
Ạ Ụ ƯỜ TR NG THPT YÊN L C 2
Ế
Ả
BÁO CÁO K T QU
Ứ Ứ
Ụ
Ế
NGHIÊN C U, NG D NG SÁNG KI N
Tên sáng ki n: ế
Ộ Ố ƯƠ Ớ Ạ Ố M T S PH NG PHÁP TÌM GI I H N DÃY S
ả Ầ Tác gi sáng ki n: ế TR N VĂN LONG
ế Mã sáng ki n: 28.52.0 2
Vĩnh Phúc, năm 2021
Ụ Ụ M C L C
ớ ệ i thi u...............................................................................................
Trang 2 2 Tên sáng
ế
ả sáng Tác gi 2
ế
ủ ầ ư ạ Ch đ u t 2
ụ Lĩnh v c áp d ng sáng ki n ế ……………………………….. 2
ế ượ ụ ụ ầ ặ ầ c áp d ng l n đ u ho c áp d ng Ngày sáng ki n đ 2
ấ ủ ả ả ế ……………………………….. b n ch t c a sáng ki n Mô t 3
ộ 3
ề
ờ 1. L i gi 2. ki n............................................................................................... 3. ki n.......................................................................................... t o ra sáng 4. ki nế ……….............................................................. ự 5. …………....... 6. thử………….…........ 7. ……….….... ế ……….. ủ . N i dung c a sáng ki n 7.1 …………………………........................ ầ ầ Ph n I. Đ t v n đ …………………………………………… Ph n II. N i dung……….………………………………………..…….
I. C s lý lu n…………………………………………..…
ậ ặ ấ ộ ơ ở
ậ ủ ề
1. C s lý lu n c a đ tài……………………………….…… 2. C s th c ti n………………………………..……….
ơ ở ơ ở ự ễ .................. 3 ... 5 ............ 5 ... 5 5
II. Th c tr ng c a v n đ nghiên c u………..
……… ự ạ ủ ấ ứ ề 5
ứ
ề ạ ủ ứ ự ề ………………........... ạ 1. Khái quát v ph m vi nghiên c u………..……………… ấ 2. Th c tr ng c a v n đ nghiên c u………. ....... 5 5
III. Bi n pháp và gi ơ
ả ự
………………….. ệ 1. C i pháp th c hi n……………..…………… ở s ấ su t ệ ề đ ........ 5 ả 5 i gi
pháp………………………………….........
ủ ế
2. Gi
i pháp ch y u……….………………………………… ớ ươ ủ ệ ạ ố i h n c a dãy s ……….. ng 1. Khái ni m gi .... 6 6
I.
ộ ố ươ ớ ạ ng 2. M t s ph ng pháp tìm gi ủ i h n c a dãy 7
ị ớ ủ ạ ố Dùng đ nh nghĩa tính gi i h n c a dãy s ……. 7
1
ả Ch …………........ ươ Ch ố s ………… ……….....
II. Ph
ử ụ ớ ạ ặ ệ ng pháp s d ng các gi i h n d c bi t và 10
III. Ph
ẹ ươ ……….... ươ ng pháp dùng nguyên lý k p….……..
……………. ươ ộ ố ế ớ ạ ng 3. M t s bài toán liên quan đ n gi i h n dãy 14 16
ế ả Ch ố . s ……… IV. K t qu sau khi th c hi n………………………………… ........
ậ ầ ế ệ ị
ả ..
ả ề ủ ụ
ế 23 24 26 27 27 27 27
ữ
ậ
ề
ế ....... ụ ế ể t đ áp d ng sáng .......
ượ ụ ế ế ả c sau khi áp d ng sáng ki n vào gi ng
ả ..........
ử ặ ụ ch c/cá nhân đã tham gia áp d ng th ho c áp 28
ự ế Ph n III. K t lu n và ki n ngh ………………………….. ……………. ệ Tài li u tham kh o…………………………………………………… 7.2. V kh năng áp d ng c a sáng ki n......................................................... ầ ượ ả 8. Nh ng thông tin c n đ c b o m t………………………………... ệ ầ 9. Các đi u ki n c n thi ki n……………………… 10. K t qu thu đ ạ d y……... ữ 11. Danh sách nh ng t ế ầ ổ ứ ầ . ụ d ng sáng ki n l n đ u
Ế Ả BÁO CÁO K T QU
Ứ Ứ Ụ Ế NGHIÊN C U, NG D NG SÁNG KI N
ờ ớ 1. L i gi
ọ ớ ạ ấ ng trình toán trung h c ph thông, các bài toán gi i h n là v n đ
ấ ng đ i v i h c sinh. Th
ố ớ ọ ớ ạ ọ ọ ươ ệ i thi u ươ ừ ượ c các bài toán gi i h n, không bi ổ ườ ế ự t l a ch n ph ề ứ ng h c sinh th y lúng túng khi đ ng ắ ầ ừ ng án nào và b t đ u t
Trong ch khó và tr u t ướ tr đâu?
ớ ạ ạ Trong quá trình gi ng d y “Các bài toán tìm gi
ả ơ ả ố ấ
2
ừ ượ ế ọ ề ạ ố khoa Đ i s và gi ọ ắ trình bày ng n g n và tr u t ả i h n dãy s ” trong sách giáo ậ i tích 11 c b n và nâng cao, tôi nh n th y sách giáo khoa ặ ấ ng. Vì th h c sinh g p r t nhi u khó khăn khi
ư ệ ố ữ ậ ẫ ơ
ượ ề ế ậ ti p c n bài toán. H n n a, sách giáo khoa và sách bài t p v n ch a h th ng và ớ ạ ạ phân d ng đ c v các bài toán tìm gi ố i h n dãy s .
ườ ng xuyên, thi
ậ Trong các kì ki m tra th ử ụ ỏ ạ i l
ố TN THPT Qu c Gia ớ ạ ề ể ả ự ư ố ể ướ ng s d ng các bài t p v tìm gi duy t ọ và thi h c sinh ỏ ọ ố i h n dãy s , đòi h i h c ế ượ i quy t đ ạ t và có s phân d ng bài toán đ gi gi i có xu h ả sinh ph i có t c bài toán.
ậ ậ ề ệ Vì v y tôi s u t m m t s tài li u, bài t p v các bài toán tìm gi i h n dãy s
ạ ổ
ư ầ ậ ớ ạ ả
ộ ố ừ ố ừ i h n dãy s , t ạ ệ ượ ố ơ ề
đó có cách làm, cách gi ế ớ ạ ọ ộ ố ươ ề ng pháp tìm gi “M t s ph
ế ệ ớ ạ ố ề ể ọ và chia các bài t p thành t ng d ng đ h c sinh có cái nhìn t ng quát v các bài ớ ợ toán tìm gi i bài toán phù h p. V i ế ố t h n, tôi quy t c t mong mu n cho vi c d y và h c v các bài toán đ m đ ề ố làm đ tài sáng ọ ị đ nh ch n đ tài i h n dãy s ” ki n kinh nghi m.
ộ ố ươ ớ ạ ố ng pháp tìm gi i h n dãy s 2. Tên sáng ki n:ế M t s ph
ả ế 3. Tác gi sáng ki n:
ầ ọ H và tên: Tr n Văn Long
ị ả ườ ạ ỉ Đ a ch tác gi sáng kiên: Giáo viên tr ng THPT Yên L c 2
ố ệ ạ S đi n tho i: 0978097190. Email: longtv.yl2@gmail.com
ủ ầ ư ạ ế Cá nhân 4. Ch đ u t t o ra sáng ki n:
ự ụ ế 5. Lĩnh v c áp d ng sáng ki n:
ớ ạ ủ ố ươ i h n c a dãy s ” trong ch ng trình
ế ượ Sáng ki n đ ả ạ ố toán Đ i s và Gi ể ụ c áp d ng đ “Tìm gi ở ườ tr i tích 11 ng THPT.
ạ ọ ố ọ ọ ỏ D y h c sinh ôn thi TN THPT Qu c gia và h c sinh thi h c sinh gi i môn
toán 11.
ế ượ ụ ụ ầ ầ ặ ử 10/01/2021 6. Ngày sáng ki n đ c áp d ng l n đ u ho c áp d ng th :
ả ả ấ ủ ế 7. Mô t b n ch t c a sáng ki n:
ề ộ ủ ế 7.1. V n i dung c a sáng ki n
Ầ Ấ Ề Ặ PH N I. Đ T V N Đ
3
ọ ề 1. Lý do ch n đ tài
ươ
ườ ng đ i v i h c sinh. Th
ổ ọ ng trình toán trung h c ph thông, các bài toán tìm gi ố ớ ọ ớ ạ ớ ạ ố i h n dãy s ọ ấ ng h c sinh th y lúng túng ọ ế ự t l a ch n cách nào và ừ ượ c các bài toán tìm gi ố i h n dãy s , không bi
Trong ch ấ ề là v n đ khó và tr u t ướ ứ khi đ ng tr ắ ầ ừ đâu? b t đ u t
ả ố Trong quá trình gi ng d y, bài toán tìm gi
ả ạ ơ ả ấ
ạ ố ắ ế ậ ế ọ ề
ặ ấ ậ ư ệ ố ữ ẫ
ớ ạ ớ ạ i h n dãy s trong sách giáo khoa ậ i tích 11 c b n và nâng cao, tôi nh n th y sách giáo khoa trình bày Đ i s và gi ọ ừ ượ ng. Vì th h c sinh g p r t nhi u khó khăn khi ti p c n bài ng n g n và tr u t ạ ơ toán. H n n a, sách giáo khoa và sách bài t p v n ch a h th ng và phân d ng ố ượ ề i h n dãy s . đ c v các bài toán tìm gi
ườ ố ọ
ướ ậ
Trong các kì ki m tra th ử ụ ỏ ạ i l ư ng xuyên, thi ề ể ả i có xu h ố ự ể và thi h c sinh ả ỏ ọ ng s d ng các bài t p v bài toán đ m, đòi h i h c sinh ph i c bài toán. TN THPT Qu c Gia ế ế ượ i quy t đ ạ t và có s phân d ng bài toán đ gi duy t gi có t
ậ ậ ề ệ Vì v y tôi s u t m m t s tài li u, bài t p v các bài toán tìm gi i h n dãy s
ạ ổ
ư ầ ậ ớ ạ đó có cách làm, cách gi
ớ ạ ề ợ i h n dãy s đ c t
ộ ố ừ ố ừ i h n dãy s , t ạ ệ ọ ề ộ ố ươ ớ ạ ế ị ng pháp tìm gi “M t s ph
ế ệ ề ố ể ọ và chia các bài t p thành t ng d ng đ h c sinh có cái nhìn t ng quát v các bài ớ ả i bài toán phù h p. V i toán tìm gi ố ượ ố ớ ạ ọ ố mong mu n cho vi c d y và h c v các bài toán tìm gi t ố ề ơ h n, tôi quy t đ nh ch n đ tài i h n dãy s ” làm đ tài sáng ki n kinh nghi m.
ụ ứ 2. M c đích nghiên c u
ệ ố ứ ộ ế ề ớ ạ Nghiên c u m t cách có h th ng và chi ti t v các bài toán tìm gi i h n dãy
ề ổ ố ể ọ s đ h c sinh có cái nhìn t ng quát v các bài toán này.
ứ ệ ụ 3. Nhi m v nghiên c u
ề ớ ạ ứ ệ Nghiên c u các khái ni m v gi ố i h n dãy s .
ệ ố ạ ớ ạ ề “bài toán tìm gi i h n dãy
ậ Xây d ng, h th ng và phân d ng các bài t p v ạ ủ ọ ể ư ự ợ ớ ự s ”ố phù h p v i s phát tri n t duy sáng t o c a h c sinh.
ố ượ ứ ể 4. Đ i t ng và khách th nghiên c u
ố ượ ứ ươ Đ i t ng nghiên c u: là các bài toán tìm gi ố i h n dãy s trong ch
ớ ạ ỏ ố ủ ọ i, thi THPT Qu c gia c a B ng trình ộ
4
ụ ạ toán THPT, các bài toán trong các kì thi h c sinh gi Giáo d c và Đào t o hàng năm.
ể ớ ọ ườ ọ ổ Khách th nghiên c u: là h c sinh l p 11 tr ng Trung h c ph thông Yên
ệ ạ ứ ạ ỉ L c 2, huy n Yên L c, t nh Vĩnh Phúc.
5. Ph m vi nghiên c u
ứ ạ
ệ ơ ả
ề ề ố ớ Các tài li u sách báo, sách giáo khoa c b n và nâng cao môn toán l p 11, các ớ ạ i h n dãy
chuyên đ ôn thi TN THPT Qu c gia hàng năm v các bài toán tìm gi s . ố
ươ ứ 6. Ph ng pháp nghiên c u
ạ ủ ọ ủ ệ ọ , quan sát vi c d y c a giáo viên và vi c h c c a h c sinh trong quá
ự ờ D gi ả ệ ớ ạ i bài toán tìm gi trình gi ố i h n dãy s .
ộ ớ ư ự ệ ả ạ ạ ớ
ố ế Ti n hành th c nghi m s ph m trên l p gi ng d y trên cùng m t l p đ i ng. ượ t
ệ ế ấ 7. C u trúc sáng ki n kinh nghi m
ế ệ ấ ầ ồ C u trúc sáng ki n kinh nghi m g m các ph n sau:
ặ ấ ầ ề Ph n I: Đ t v n đ
ầ ộ Ph n II: N i dung
ơ ở ậ I. C s lý lu n
ậ ủ ề ơ ở 1. C s lý lu n c a đ tài
ơ ở ự ễ 2. C s th c ti n
ứ ự ề ạ ủ ấ II. Th c tr ng c a v n đ nghiên c u
ứ ề ạ 1. Khái quát v ph m vi nghiên c u
ứ ự ạ ủ ấ 2. Th c tr ng c a v n đê nghiên c u
ệ ả ệ III. Bi n pháp và gi ự i pháp th c hi n
ơ ở ề ấ ả 1. C s đ xu t gi i pháp
ả 2. Gi ủ ế i pháp ch y u
ươ ề ố Ch ề ng 1. Khái ni m v dãy s
ươ ộ ố ươ ớ ạ ủ ố Ch ng 2. M t s ph ng pháp tìm gi i h n c a dãy s
5
ị ớ ạ ủ ố I. Dùng đ nh nghĩa tính gi i h n c a dãy s
ươ ớ ạ ặ ệ II. Ph ử ụ ng pháp s d ng các gi i h n d c bi t và…
ươ III. Ph ẹ ng pháp dùng nguyên lý k p
ự ế ả ệ IV. K t qu sau khi th c hi n
ế ế ầ ị ậ Ph n III: K t lu n và ki n ngh
ệ ả Tài li u tham kh o
Ộ Ầ PH N II. N I DUNG
ơ ở ậ I. C s lý lu n
ậ ủ ề ơ ở 1. C s lý lu n c a đ tài
ổ ở ườ tr Môn toán
ộ ề ả ầ
ứ ế ế c ki n th c lý thuy t và hi u th t s đ
ề ậ ự ượ ả ộ ọ ậ ọ ậ ọ ự nhiên, đòi ng Trung h c ph thông là m t môn khoa h c t ể ự ệ ố ậ ứ ạ i bài t p đ t h th ng ừ c b n ch t c a bài toán. T đó hình ọ ở ườ ng Trung h c tr
ổ ọ ỏ ự ư duy sáng t o và c n nhi u ki n th c v gi h i s t ể ế ấ ủ ượ đ ọ ứ thành h ng thú h c t p cho h c sinh h c t p b môn toán ph thông.
ơ ở ự ễ 2. C s th c ti n
ế ứ ạ ố ậ ả
Các ki n th c trong sách giáo khoa và sách bài t p Đ i s và Gi ụ ạ ộ
ế i tích 11 (ban ơ ả c b n và nâng cao) do B Giáo d c và Đào t o ban hành còn mang tính hàn lâm, lý thuy t và ít th c t ự ế .
ớ ạ ề Trong các bài ki m tra th ng xuyên v bài toán tìm gi
ườ ấ ủ ẫ ớ ể ể ượ ả c b n ch t c a bài toán, d n t ố ọ i h n dãy s , h c sinh ầ ề i hi u sai và có nhi u sai l m
ả ể ư ẫ v n ch a hi u đ i toán. khi gi
ọ ỏ ố i và thi THPT Qu c gia hàng năm có
ề ử ụ ọ Trong các đ thi h c kì, thi h c sinh gi ớ ạ ướ ng s d ng các bài toán tìm gi xu h ố i h n dãy s .
ứ ự ề ạ ủ ấ II. Th c tr ng c a v n đ nghiên c u
6
ứ ề ạ 1. Khái quát v ph m vi nghiên c u
ề ậ ớ ạ ố Các khái ni m và các bài t p v bài toán tìm gi i h n dãy s trong ch ươ ng
ổ ệ ở ườ tr trình môn toán ọ ng Trung h c ph thông.
ự ứ ề ạ ủ ấ 2. Th c tr ng c a v n đ nghiên c u
ậ ố
ư ư ệ ạ ơ ề Các bài t p v bài toán tìm gi ậ t p còn đ n đi u và ch a đ a ra đ ớ ạ i h n dãy s trong sách giáo khoa và sách bài ậ ụ ể ượ c các d ng bài t p c th .
ọ ọ H c sinh khi h c xong các bài toán tìm gi
ậ ộ ậ
ậ ượ ế ạ ạ ố ẫ ọ ườ c. Vì th khi g p lo i bài t p này h c sinh th ậ ớ ạ i h n dãy s và làm các bài t p ẩ ể ự mình ị ậ ng b lúng
trong sách giáo khoa và sách bài t p m t cách c n th n v n không th t ặ phân d ng bài t p đ túng.
ệ ả ự ệ III. Bi n pháp và gi i pháp th c hi n
ả ơ ở ề ấ 1. C s đ su t gi i pháp
ươ ầ ạ ố ệ Theo yêu c u c th c a vi c d y và h c, phân ph i ch
ế ạ ồ ọ ụ ể ủ ổ ọ ng Trung h c ph thông (g m các ti ở ườ tr t d y chính khóa và t ộ ng trình b môn ự ọ ch n) toán
ứ ề ố ầ Theo các ki n th c v bài toán tìm gi
ỹ ố
ổ ế ả ạ ượ ầ c n ph i đ t đ ỏ ọ và thi h c sinh gi ề ể c trong các đ ki m tra th ở ườ tr i môn toán ớ ạ i h n dãy s và các yêu c u k năng ề ườ ng xuyên, đ thi THPT Qu c gia ọ ng Trung h c ph thông.
ả ủ ế 2. Gi i pháp ch y u
ế ớ ạ ọ ố i các ki n th c v bài toán tìm gi ầ i h n dãy s mà h c sinh c n
ệ ố H th ng l ế ứ ề ả ậ ạ ử ụ s d ng đ n trong quá trình gi i bài t p.
ậ ớ ạ ng g p v bài toán tìm gi
ề ớ ạ ố ể ọ ặ ườ i bài toán tìm gi i h n dãy s đ h c sinh có th t ố i h n dãy s , các d ng và ờ ể ự i ạ tìm ra l
ỗ ư Đ a ra các bài t p th ả ươ ph ng pháp gi ớ ợ ả i phù h p v i m i bài toán. gi
ư ộ ụ ể ủ ề N i dung c th c a đ tài nh sau:
ƯƠ Ệ Ớ Ạ Ố CH NG 1. KHÁI NI M GI I H N DÃY S
ệ ớ ạ ượ ử ụ ể ị ọ Trong toán h c khái ni m gi i h n đ ộ ỉ c s d ng đ ch giá tr mà m t
7
ế ố ươ ế ặ ầ ố ộ ứ ế ế ầ ố ế hàm s ho c m t dãy s ti n g n đ n khi bi n s t ộ ng ng ti n g n đ n m t
ủ ệ ả ầ ộ ị ớ ạ giá tr nào đó. Trong m t kho ng không gian đ y đ , khái ni m gi i h n cho
phép ta xác đ nhị
ớ ừ ộ ể ộ ượ ị ướ ớ ạ ể m t đi m m i t m t dãy cauchy các đi m đã đ c xác đ nh tr c.gi i h n là
khái
ề ả ệ ọ ượ ử ụ ể ị ề ni m quan tr ng v gi i tích và đ ụ c s d ng đ đ nh nghĩa v tính liên t c,
đ oạ
hàm và phép tính tích phân.
ệ ớ ạ Khái ni m gi ố i h n dãy s
I. Gi
ớ ạ ữ ạ i h n h u h n
a) Đ nh nghĩa 1:
ị ớ ạ ầ ớ ươ i h n là 0 khi n d n t i d ng vô Ta nói dãy s (uố n) có gi
nu có th h n m t s d
ộ ố ươ ể ơ ể ừ ộ ố ạ ự ế c c n u ỳ ng bé tu ý, k t m t s h ng nào đó tr ở
đi.
lim (cid:0) u
0
khi
n
0
n
u n
n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Kí hi u: ệ hay (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n d n t
b) Đ nh nghĩa 2:
ị ớ ạ ầ ớ ố i h n là s a (hay v i a) khi Ta nói dãy s (vố n) có gi
a
0
(cid:0)n
vn
lim n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) , n u ế (cid:0) (cid:0) (cid:0)
a
vn
lim n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a khi n Kí hi u: ệ hay vn (cid:0) (cid:0) (cid:0)
c) M t s gi
n
=
=
ộ ố ớ ạ ơ ả i h n c b n
q <
1
c
c
q
0,
1.lim n
2.lim n
3.lim n
1 n
v i ớ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
II. Gi
ớ ạ ự i h n vô c c
a) Dãy s có gi
+(cid:0)
ố ớ ạ +(cid:0) i h n
ị ớ ạ ế ớ i h n là n u v i m i s d ỗ ố ươ ng Ta nói dãy s (uố n) có gi Đ nh nghĩa 3:
ướ ọ ố ạ ố ể ừ ộ ố ạ ủ ở tùy ý cho tr c, m i s h ng c a dãy s , k t ề m t s h ng nào đó tr đi, đ u
8
ơ ố ươ ớ l n h n s d ng đó.
= + (cid:0)
+ (cid:0)
+(cid:0)
khi n
nu
u lim n (cid:0) +(cid:0) n
(cid:0) (cid:0) Kí hi u: ệ hay
b) Dãy s có gi
(cid:0) ố ớ ạ - i h n
- (cid:0) ị ớ ạ ỗ ố ế ớ i h n là n u v i m i s âm tùy Ta nói dãy s (uố n) có gi Đ nh nghĩa 4:
ướ ọ ố ạ ố ể ừ ộ ố ạ ủ ề ở ý cho tr c, m i s h ng c a dãy s , k t m t s h ng nào đó tr đi, đ u nh ỏ
= -
ơ ố h n s âm đó.
+(cid:0)
khi n
nu
u lim n (cid:0) +(cid:0) n
(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) Kí hi u: ệ hay
ƯƠ Ộ Ố ƯƠ Ớ Ạ Ố CH NG 2. M T S PH NG PHÁP TÌM GI I H N DÃY S
ươ ể ị ớ ạ ủ ộ I. Ph ng pháp Dùng đ nh nghĩa đ tìm gi i h n c a m t dãy
ươ 1. Ph ng pháp:
(cid:0) un=0 khi và ch khi
ỉ ộ ố ươ ỏ ơ ể |un | có th nh h n m t s d ng bé tùy ý, k t ể ừ ố s ∗ lim n(cid:0)
ở ạ h ng nào đó tr đi.
(cid:0) vn=a khi và ch khi
lim n(cid:0)
lim n(cid:0)
(cid:0) (cid:0) ỉ (vna)=0
(cid:0) un=+∞ khi và ch khi
lim n(cid:0)
(cid:0) ỉ ộ ố ươ ể ớ ơ ớ un có th l n h n m t s d ng l n tùy ý, k t ể ừ ố s
ở ạ h ng nào đó tr đi
(cid:0) (un ) = +∞
(cid:0) un=∞ khi và ch khi
lim n(cid:0)
lim n(cid:0)
(cid:0) ỉ
ẫ : ậ 2. Bài t p m u
(cid:0) un=+∞
lim n(cid:0)
ỏ ứ ằ ớ ọ un> n v i m i n.ch ng minh r ng Bài 1: Cho dãy( un) th a mãn
Gi i:ả
ộ ố ươ ơ ớ ể ừ ộ ố ạ ấ Ta có : lim n =+∞ l n h n m t s d ng b t kì k t m t s h ng nào đó tr ở
đi.
9
ặ ộ ố ươ ơ ể ừ ộ ố ạ ấ m t khác ng b t kì k t m t s h ng nào đó. ớ un> n nên un l n h n m t s d
(cid:0) un=+∞
n(cid:0)
2
(cid:0) un
V y ậ lim
n(cid:0)
+ 1n n
. Tìm lim Bài 2: Cho dãy s ố ( un) có un=
1
2
Gi i:ả
1 n
n + 2
=2+ ổ un = ế Ta bi n đ i:
lim n(cid:0)
lim n(cid:0)
1 n = 0
(cid:0) un =2 vì
2
(cid:0) V y ậ
lim n(cid:0)
+ 1n n
v i m i
n | ≤
(cid:0) ế ứ ằ ớ t dãy s ỏ ố un th a mãn |u ọ n. Ch ng minh r ng: Bài 3: Bi
un=0
+ 1n Đ t ặ vn= 2 n
+ 1n 2 n
Gi i:ả
=0. Do đó |vn | có th nh h n m t s d ể
ộ ố ươ ỏ ơ Ta có lim vn=lim ng tùy ý, k t ể ừ
ộ ố ạ ở m t s h ng nào đó tr đi. (1)
ặ ả ế M t khác theo gi thi t ta c ó |un |≤ vn≤ | vn | (2)
ừ ộ ố ươ ể ể ừ ộ ố T (1) và (2) suy ra ng tùy ý, k t m t s hàng ỏ ơ un có th nh h n m t s d
ở lim un =0. nào đó tr đi nghĩa là
ụ ậ 3. Bài t p áp d ng:
lim n(cid:0)
ế ứ ằ (cid:0) t dãy s un >n2 v i m i ớ ọ n. Ch ng minh r ng: ỏ ố (un) th a mãn Bài 1: Bi
un=+∞
Gi i:ả
ộ ố ươ ể ớ ơ ừ ộ ố ạ Vì lim n2=+ ∞ nên n2 có th l n h n m t s d ng tùy ý, k ể t m t s h ng nào
10
đó tr đi.ở
ặ ả ể ớ ơ M t khác theo gi ế thuy t mà un >n2 v i m i ớ ộ ố ọ n, nên un có th l n h n m t s
(cid:0) un=+∞
n(cid:0)
ươ ể ừ ộ ố ở d ng tùy ý, k t m t s hàng nào đó tr đi. V y ậ lim
(cid:0) un=∞ và vn ế ậ ớ ề ớ ạ vn ọ n. Có k t lu n gì v gi i h n Bài 2: Cho bi t ế lim
n(cid:0) (cid:0) un=+∞ (cid:0) (cid:0) (un )=+∞ (cid:0) ướ ẫ H ng d n: (cid:0) (vn )=+∞ lim
n(cid:0) (cid:0) vn =∞ vn>un (cid:0) : lim
n(cid:0) lim
n(cid:0) n(cid:0) V y ậ lim +
+ n
3
n 2
1 ị ở un= Bài 3: Cho dãy (un) xác đ nh b i 1
1000 a, Tìm s ố n sao cho |un3|< ố ạ ủ ứ ằ ớ ề b, Ch ng minh r ng v i m i ọ n > 999 thì các s h ng c a dãy u ằ
n đ u n m trong (2,999;3001) kho ng ả ướ ẫ H ng d n: 1
1n + < 1
1000 (cid:0) n>999 a, |un3|= 1
1000 1
1000 1
1000 (cid:0) 3 (cid:0) |un3|< ể ớ ạ n (cid:0) i h n là 0 khi +∞ ? Bài 4: Vì sao dãy (un) v i ớ (un)=(1)n không th có gi ướ ẫ H ng d n: ỏ ơ ể ộ Vì |un|=|(1)n|=1 nên |un| không th nh h n m t s ố ươ
d ng bé tùy ý, ẳ ớ ở ọ n. ể ừ ộ ố
k t m t s hàng nào đó tr đi. Ch ng h n, ạ un không th ể < 0,5 v i m i ể ớ ạ Do đó dãy s ố (un) không th có gi i h n là 0. Bài 5: (cid:0) un=∞ và vn≤un v i m i ậ ớ a, Cho hai dãy (un) va (vn), bi ế
ọ n. Có k t lu n gì v ề t ế lim
n(cid:0) ớ ạ ủ +∞? gi i h n c a dãy (vn) khi n (cid:0) (cid:0) vn v i ớ vn=n! n(cid:0) 11 b, tìm lim ề ớ ạ ế ậ ố (un)? t ế |un2| ≤ 3n , có k t lu n gì v gi i h n dãy s Bài 6: Bi n ị ớ ạ ứ ố i h n dãy s , ch ng minh: Bài 7: Dùng đ nh nghĩa gi lim
n n
3
n sin
n +
2
+ =3
1 2 (cid:0) =0 c, a, lim
n(cid:0) (cid:0) (cid:0) n lim 1
n n
n +
2
+ =+∞
1 - (cid:0) = ∞ d, b, lim
n(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ớ ạ ặ ệ ể ả II. Ph ử ụ
ng pháp s d ng các gi i h n đ c bi ị
t và các đ nh lý đ gi i bài ớ ạ toán tìm gi i h n dã y. = +(cid:0) n ớ ạ ặ ệ 1. Các gi i h n đ c bi t: (cid:0) +(cid:0) n(cid:0) n n lim
n c
n c
n (cid:0) =0 ; lim =0 ; lim c=c ; lim (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
n(cid:0) n c
N* ; lim k
n (cid:0) (cid:0) (cid:0) nk=+∞ ,m i k ọ =0 m i k ọ N* (cid:0) (cid:0) lim
n(cid:0) n(cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) qn=0, |q|<1 ; lim qn=+ (cid:0) ,|q|>1 lim
n lim
n lim
n(cid:0) A
nv lim
n A
v
n (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) =0 ; vn= v n=0 ề ớ ạ ữ ạ ị 2. Đ nh lý v gi i h n h u h n: n(cid:0) n(cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi ả ử lim
s un=a và lim vn=b, khi đó: vn)=a (cid:0) (cid:0) (cid:0) b (un 1. lim
n(cid:0) = (cid:0) (un .vn)=a.b 2. lim
n(cid:0) b , 0 n a
b nu
v
n = u a n (cid:0) 3. lim (cid:0) (cid:0) n ớ 4. lim ọ n(cid:0)
(v i ớ un>0 v i m i N*) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ị 3. Đ nh lý v gi ề ớ ạ (cid:0)
i h n n(cid:0) n(cid:0) n u
thì lim n
v
n 12 (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1, N u ế lim un=a và lim vn= (cid:0) =0 (cid:0) (cid:0) n = +(cid:0) n(cid:0) n(cid:0) n u
v
n (cid:0) (cid:0) 2, N u ế lim un=a>0 và lim vn=0 và vn>0 thì lim (cid:0) (cid:0) n(cid:0) n(cid:0) n(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) un=+ (cid:0) un .vn=+ (cid:0) 3, N u ế lim và lim vn=a>0 thì lim (cid:0) ứ ử ố ẫ ố ứ ừ ủ N u ế gi ạ
ớ ạ có d ng phân th i h n c mà t s và m u s ch a lũy th a c a n thì 3 3 ử chia c ả t ẫ
và m u cho nk v i ớ k là mũ cao nh t.ấ a b a b ; (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ạ ứ ứ ứ ể ạ N u ế gi i h n là ạ
bi u th c ch a d ng căn th c (d ng ) c nầ ộ ượ ể ư ề ệ ơ ả nhân m t l ng liên hi p đ đ a v d ngạ c b n. 3 ẫ ậ
4. Bài t p m u: lim
n n
3
+
3 +
2
n
+ 5
2
n 1
+
n n 4 6 5 2 - Bài 1: Tính (cid:0) (cid:0) 3 3 ả Gi i: Ta có lim
n lim
n n
3
+
3 +
2
n
+ 3
2 5
2
n n 4 1
+ =
n
5 6 2 1
3
n
+ 2 5
- +
n
6
+ +
n 5
3
n 4
2
n 2 + + n 2 - = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
n n
1 5
2
n
1 3 Bài 2: Tính (cid:0) (cid:0) - + + 2 2 + + n 2 1
n 1
2
n 5
n = = 0 Gi i:ả lim
n lim
n 0
3 n
1 5
2
n
1 3 3 1
2
n 2 +
2 = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - - n + -
7 n 5 lim
n Bài 3: Tính (cid:0) (cid:0) 2 2 Gi iả : n 2 +
2 n n + -
7 =
5) n
2 2 2 2 lim(
n lim
n lim
n 5
+ + n n n n + -
7
+ +
7 =
5 2
+ +
7 5 - =0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ụ ậ 5. Bài t p áp d ng 13 ớ ạ i h n sau: Bài 1: tính các gi 2 2 1 m 2 lim
n li
n n �
n
�
� 2
�
�+
1
� n
n
4
+
n
3 2 4 2 +
2 - - - c, a, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 lim
n 3 + ( - - - (cid:0) (cid:0) d, b, (cid:0) (cid:0) - im
l
n n
+ n n
n 1
+
2
n 2 n
2
)
1 (3 ) 2 n n
2 5 ( ) ( n
2 3 )
1 +
n
4 lim
n n 1 4 - e, (cid:0) (cid:0) - Đáp s :ố 27
4 +
2 a,2 b,0 c,+ (cid:0) d,1 e, - n +
n n 1 lim
n +
2 Bài 2: Tính (cid:0) (cid:0) - - - - (cid:0) n +
n n 1 n lim
n lim
n 1
n 1
= -
2
n �
1
�
�
� �
�
�
� Gi i: ả = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2 2 2 + + ớ ạ i h n: Bài 3: Tính các gi n lim
n lim
n +
n
- +
n 14
2
n n
2
2
n
2 7
3 n
3
1 2 3 2 2 + - a, c, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - n n n
3 1 lim
n lim
n + -
1
n 32
n
+
n 2 - b, d, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2
2 Đáp s : a,ố b, 3 1- c,0 d, 3 2 + ớ ạ i h n sau Bài 4: Tính các gi n n 5n
n
5 1
1 3n
+
1 2
n
2 n +
1 - c, lim a, lim (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - n n lim
n n
3
4.
2.5 +
7
+
7 b, (cid:0) (cid:0) Đáp s :ố
a,+ (cid:0) b,7 c,1 14 ớ ạ i h n sau Bài 5: Tính các gi 2 + n n 1 ) n - +
n n
3 2) n lim(
n 3 3 2 2 - + - - a, lim( b, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n n n n n 2 lim
n lim
n 2 3 n 4 2 - - c, d, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n + +
3
n 2 lim
n 2 lim
n + - +
n
1
+ n n n 2 - e, g, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - Đáp s :ố 7
2 2
3 1
2 - a.0 b, c, d, e,1 g,3 n n ớ ạ i h n sau: Bài 6: Tính các gi 2 2 lim
n lim
n + + +
n
1 2 3 ....
n n + + + +
1 2 3 ...
+ +
n
1 n 2 a, b, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n 1 2 lim
n lim
n + +
+ + +
+ +
+ a a
b b a
n
b 1
1 ....
.... n + + +
n
1 3 ... 2
+ +
2
n
1 2 + + + ...... - c, d, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
n 1
1
+
2.3 3.4 �
1
�
1.2
� �
1
�+
n n
1)
(
� + + + + ...... e, (cid:0) (cid:0) lim
n ( n +
n 2 1
) (
1 2 )
1 �
1
1
1
�
�
1.3 3.5 5.7
� �
�
�
� 2 2 f, (cid:0) (cid:0) - + + + ( 2 1 n n +
2.1 3.2 )
1 + + + +
... lim
n lim
n 3
2
2 5
3
2 n
2n 1
�
�
2
� �
�
� .....
4
n - g, h, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n n 2 n n ướ ẫ ố
H ng d n và đáp s : 2 = lim
n 2 n + + + +
1 2 3 ...
+ +
n
1 lim
n lim
n a, = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) n +� �
n
1
� �
2
� �=
+ +
n
1 +
n
n
+ +
2
n n n
)
1 2 1
2 1
2 b, ( n +
1 2 )
1 n 1 n = lim
n n + + +
n
1 3 ... 2
+ +
2
n
1 2 2 lim
n n
2
+ +
n n 1 2 1
2 15 - - c, = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 a 1 = lim
n 1 b
a 1
1 b 1 = - = - = -
1 ;....; - - d, S= (cid:0) (cid:0) - - 1
+ 1
n n 1
1.2 1 1
;
2 2.3 1 1 1
;
2 3 3.4 1 1
3 4 1
= -
(
)
+
n n
1 1 + + + e, Ta có ...... 1 lim
n 1
1
+
2.3 3.4 1 1
�
�
=
lim 1
�+�
�
n
�
n �
1
�
1.2
� �
1
=
�+
n n
1)
(
� - suy ra: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) = lim
n(cid:0) 1
2 1
2 1
�
�
1
�+�
�
1n
2
� - nên f, Sn= (cid:0) ươ ẹ III. Ph ng pháp dùng nguyên lí k p ươ ớ ọ
: Cho 3 dãy s ố (un), (vn) và (wn) N u ế (un) ≤ (vn) ≤ (wn) v i m i 1. Ph ng pháp n
và lim (un)=lim (wn)= L (L(cid:0) R) thì lim vn=L + + + .... ẫ ậ
2. Bài t p m u 2 2 lim
n 1
+
2 2
+ n
+ n 1 n 2 n �
�
n
� �
�
� Tính (cid:0) (cid:0) n + + = ... . 2 2 2 1
+
2 2
+ n
+ n +
n
1 2 n + + +
1 2 .
..
+
n
n 1
2 �
�
n
� �
≥
�
� + ( + + + + + .... ... . n
2 ấ ỉ Gia : Ta th y: 2 2 1
+
2 2
+
2 n
+
2 )
1
+ 1
+
2 2
+ n
+ n
( 1 n 1 1 n n 2 và �
�
n
� �
=
�
� n +
n
1 2 n �
�
n
� �
≤
�
� + + + ... . 2 2 )
1
+ 1
+
2 2
+ n
+ (
n n
(
2 n 2 (cid:0) (cid:0) V y ậ n +
n
1 2 n 1
2 �
�
n
� �
�
� + ( n = n
2 lim
n )
1
+ n 2( 1) 1
2 + + + .... Mà (cid:0) (cid:0) 2 2 lim
n 1
+
2 2
+ n
+ n 1 n 2 n 1
2 �
�
n
� �
=
�
� V y ậ (cid:0) (cid:0) ụ ậ 3. Bài t p áp d ng 16 ớ ạ ủ ớ ạ i h n c a các gi i h n sau: Bài 1: Tính gi n 3sin lim
n lim
n +
+ n
n 4 cos
1 1
1
�-
�
b,
�
�
n
2 3
�
� + a, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) lim
n lim
n n
n
sin
+
n
4
3 +
n c
os2n
sin 2
+
n
3
1 + + + ..... c, d, (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1
2 1
2 lim
n + + 1
+
2 n n n n 1 2 �
�
� �
�
� e, (cid:0) (cid:0) Đáp s :ố 1
3 a,0 b,0 c, d,0 f,1 n=0 ế ọ ớ
n=0 va u ≤ vn v i m i n thì lim u Bài 2: Cho 2 dãy s (uố n) và (vn). cmr n u lim v ướ ẫ H ng d n: ộ ố ươ ỏ ơ ể ể ừ ố ở ng bé tùy y, k t s nào đó tr đi. lim vn=0 suy ra |vn| có th nh h n m t s d (1) n| ≤ | vn| v i m i n. (2) ớ ọ ọ ớ vì |un| ≤ vn và vn ≤ |vn| v i m i n, nên |u ừ ộ ố ươ ể ể ừ ố T (1) và (2) suy ra |u ng bé tùy y,k t s nào ỏ ơ
n| có th nh h n m t s d n=0 ở đó tr đi. Nghĩa là lim u n n ớ ạ ủ ố ạ ư ố ổ i h n c a các dãy s có s h ng t ng quát nh sau: Áp d ngụ : Tính gi 2 ( )
1
+ (
n
) 2 ( 1
!n n 1 1 2 )
1
n 2 1 - - - a, un= b, un= c, un= - d, un=(0,99)n cos n e, un=5ncos n 17 Đáp s :ố
a, 0 b, 0 c, 0 d, 0 e, + (cid:0) ƯƠ Ộ Ố Ớ Ớ Ạ CH NG 3: M T S BÀI TOÁN LIÊN QUAN T I GI Ố
I H N DÃY S ứ ộ ố ớ ạ I. Ch ng minh m t dãy s có gi i h n: ươ 1. Ph ng pháp ụ ị a, Áp d ng đ nh lý Weierstrass; (cid:0) ế ớ ạ N u dãy s (u i h n. ị ặ
ố n) tăng và b ch n trên thì nó có gi (cid:0) ị ặ ướ ế ả ớ ạ N u dãy s (u i thì nó có gi i h n. ố n) gi m và b ch n d ị ặ ứ ố ộ ố ả ị ặ
b, Ch ng minh m t dãy s tăng và b ch n trên (dãy s gi m và b ch n ướ ở ố ự ố ạ ủ ộ ầ
ệ tính m t vài s h ng đ u tiên c a dãy và quan sát d i) b i s M ta th c hi n: ệ ể ự ề ả ố ố ề
m i liên h đ d đoán chi u tăng (chi u gi m) và s M. ớ ạ ủ ự ộ ố ệ ươ c, Tính gi i h n c a dãy s ta th c hi n theo m t trong hai ph ng pháp sau: (cid:0) ươ Ph ng pháp 1: n(cid:0) (cid:0) + Đ t ặ lim un =a (cid:0) f(un) ta đ n(cid:0) n(cid:0) ượ ươ ẩ (cid:0) + T ừ lim ộ
c m t ph ng trình theo n a. un+1= lim ả ươ ệ ớ ạ ộ + Gi i ph ng trình tìm nghi m a và gi ủ
i h n c a dãy (u n) là m t trong các ủ ệ ươ ế ươ ệ ấ nghi m c a ph ng trình. N u ph ng trình có nghi m duy nh t thì đó chính là ớ ạ ế ầ ươ ự ệ ề ơ gi i h n c n tìm, còn n u ph ng trình có nhi u h n 1 nghi m thì d a vào tính ố ể ạ ấ ủ ệ ch t c a dãy s đ lo i nghi m. ớ ạ ủ ấ ố ế
i h n c a dãy s (n u có) là duy nh t. Chú ý: Gi 18 (cid:0) ươ Ph ng pháp 2: n c a dãy s b ng cách d đoán. ứ ổ ố ằ ự ủ + Tìm công th c t ng quát u n b ng ph ứ ổ ứ ằ ươ ạ ọ + Ch ng minh công th c t ng quát u ng pháp quy n p toán h c. ớ ạ ủ ứ ổ ố + Tính gi i h n c a dãy s thông qua công th c t ng quát. u + = -
2 ẫ ậ
2. Bài t p m u: 1 u = ,
2 n) b i công th c truy h i. n 1 1
n ứ ứ ở ồ Bài 1. Ch ng minh dãy (u ứ ớ ạ ớ ạ ằ
Ch ng minh r ng dãy s (u i h n và tìm gi i h n đó. ố n ) có gi + = u u 2 Gi i:ả n n + , un >0 v i m i n 1 ớ ọ ∈N Ta có u1= 2 và (cid:0) ứ Ta ch ng minh u ọ ∈ N (1) ớ
n <2 v i m i n 1= 2 <2 thi (1) đúng. ớ V i n=1 ta có u k <2. ử ấ ẳ ớ ứ
Giá s b t đ ng th c đúng v i n=k thì u n<2,m i nọ V y uậ ∈ N n) tăng: (cid:0) ứ Ch ng minh dãy (u 2 nu +� 2 un 2<0 (cid:0) (cid:0) Xét dãy un+1>un >un un 1≤ un≤ 2 n là dãy tăng. (2) Ma 0 n) có gi ứ ớ ạ T (1) và (2) suy ra (u i h n. n =a thi 0≤ a ≤2 = + + � u u 2 + = u u 2 n n +
1 n n 1 (cid:0) ặ Đ t lim u lim
n lim
n = + (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) � a a 2 � a2 –a 2=0 (cid:0) ặ a=1 ho c a=2 (cid:0) un= a ≥0.v y ậ lim (cid:0) un =2 n(cid:0) n(cid:0) 2 Ta có vì un >0 nên lim nu = và un+1=2 1
nu ứ ồ
ở
Bài 2: Cho dãy (un) b i công th c truy h i ứ ớ ạ ớ ạ Ch ng minh dãy s (u i h n và tìm gi i h n đó. ố n) có gi 19 Gi i:ả = = = u u u ; ; ; n= 2 3 4 2
3 3
4 4
= , t
5 1
2 n
n + (1)
1 ừ ự
đó ta d đoán u Ta có 1
u = ứ ự ằ ạ Ch ng minh d đoán trên b ng quy n p: 1= 1
+
1 1 1
2 = = n (
k k u ớ
v i n=1 ta có u ( đúng.) )1
> nghĩa là k k
+ k 1 + 1 = = ả ử ẳ ứ ớ Gi s đ ng th c (1) đúng v i 1
u k
+
k 2 1
2 k 2 k
+ k 1 * = u n ﾥ n (cid:0) k= + . V y ậ
1 n n n
+ , m i ọ
1 - ư ẳ ớ
nghĩa là đ ng th c (1) cũng đúng v i Khi đó ta có: uk+1= - n= lim n
n + =1
1 ừ T đó ta có lim u 3. Bài tâp áp d ngụ : + + + n) v i uớ n= 2 +
2 .... 2 2 ứ ấ , (n d u căn) là dãy s ố Bài 1: Ch ng minh dãy (u ớ ạ có gi i h n. n) tăng ho c gi m) xét (u ươ ặ ả ặ ặ ị ị Ph ng pháp xét dãy (u ặ
n) b ch n trên ho c (b ch n d i)ướ ể ớ ạ ủ ứ ồ ở i h n c a dãy cho b i công th c truy h i ta dùng các ph ươ
ng Chú ý: Đ tìm gi pháp. ứ ổ ự ươ ượ ở ầ 1. Tìm công th c t ng quát (d a vào ph ứ
ng th c đã đ c nêu trên ế
ph n ki n n. nu 1 ứ ố ớ ạ th c dãy s ). Sau đó tính gi i h n u lim
n + = lim
n(cid:0) lim
n(cid:0) u n = ả ớ ạ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2. Tìm i pt tìm tìm gi i h n. f(un). Gi un=a (cid:0) ( ) u n 2 n - +
1 3
4 (cid:0) ớ ạ ủ . Tìm gi ố
i h n c a dãy s . Bài 2: Cho dãy truy h i uồ 1=0 và ướ ẫ H ng d n và đáp s : u ố 1=0 Ta có: 20 u1=0 = -
1 3
4 1
� �
� �
4
� � = -
1 u2= 15
16 2
1
� �
� �
4
� � u3= . . 1 . n-
1
� �
� �
4
� � un=1 1 - = -
1 nu n
1
� �
� �
4
� � 1 ươ ứ ằ
b ng ph ạ
ng pháp quy n p ch ng minh n-
�
1
� �-
1
�
� �(cid:0)
�
4
� �
=1.
�
�
� u n = (cid:0) v y ậ lim
n(cid:0) (cid:0) ( ) u n 2 1=2 và n) có gi n - +
1 1
2 (cid:0) ứ , ch ng minh dãy (u iớ Bài 3: Cho dãy truy h i. uồ ớ ạ ạ
h n. Tìm gi i h n đó. n n ướ ẫ ố
H ng d n và đáp s : n= n n 2
2 - +
1 1
1 2
2 - +
1 1
1 ự (cid:0) (cid:0) + Cách 1:d đoán u =1 ; lim
n(cid:0) un= lim
n(cid:0) - - + Cách 2: n(cid:0) + a 1 (cid:0) (cid:0) ị ặ ướ lim ứ ả Ch ng minh dãy gi m và b ch n d i. un=a ,tìm a =�
a 1; 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử Gi s un1=a= un=1 lim
n(cid:0) un= lim
n(cid:0) lim
n(cid:0) + u 1 n = Bài 4: ( u n )
1 n n) có gi +
1 2 (cid:0) ứ ớ ạ .ch ng minh dãy (u i h n và a, Cho dãy truy h i uồ 1=2 và ớ ạ tìm gi i h n đó. n <1 và un+1(1un) > n) 1
4 21 ở ị ứ (n≥1) .ch ng minh dãy (u b, Cho dãy (un) xác đ nh b i 0 ớ ạ ớ ạ có gi i h n và tìm gi i h n đó. ướ ẫ ố
H ng d n và đáp s : n) là dãy tăng và b ch n trên. ứ ị ặ b, Ch ng minh (u
Ta có:0 = ấ ẳ ứ ụ Áp d ng b t đ ng th c cauchy: ( ) � � + > u u u 2. . 1 2. 1 n n n u n
;
n +
1 1 1
4 - (cid:0) (cid:0) N* un+1+(1un) n) có gi ớ ạ V y (uậ i h n. ị ặ
n) là dãy tăng và b ch n trên thì dãy (u n(cid:0) (cid:0) đ t ặ lim un=a, a>0. Ta có: ) ( ) u a a a m (
+ -
1 1 =
��
0 n n +
1 �
u
� �
� li
n 1
��
4 1
��
4 1
� �
a
� �(cid:0)
2 1
2 1
4 - - (cid:0) (cid:0) un+1+(1un) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1
2 (cid:0) un= v y ậ lim
n(cid:0) 1
2 n �+�
�
2
u
và u1>0
�
n
u
�
� ị ở n+1= Bài 5: Cho dãy (un) xác đ nh b i u n 2 (cid:0) ứ ằ ớ a, Ch ng minh r ng u ọ
v i m i n≥2. n) có gi ứ ớ ạ ớ ạ b, Ch ng minh dãy (u i h n và tìm gi i h n đó. ướ ẫ ố
H ng d n và đáp s : 1
2 n �+�
�
2
u
�
n
u
�
� (cid:0) a. Ta có u1>0. un+1= un>0,∀n∈N* = ụ ứ ấ ẳ
Áp d ng b t đ ng th c cosi: u n . 2; 1 n 2
u 1
2 n n �+�
�
2
u
�
n
u
�
� (cid:0) " (cid:0) , n∈N* un+1= n n N 2, " (cid:0) (cid:0) Suy ra un> 2, n n N 2, 2 " (cid:0) (cid:0) ị ặ ướ i. b. Ta có un> 2, nên (un) là dãy b ch n d n n N 2, 1
u 1
2 u
n
2 n n �
1
�
� �
< "
0;
�
� �+�
�
2
u
un =
�
n
u
�
� 22 - (cid:0) (cid:0) Xét un+1 un = nên un+1 = u a a
, 2 n n (cid:0) đ t ặ lim ta có: (cid:0) (cid:0) = � a a lim
n(cid:0) n(cid:0) 1
2 1
2 1
2 2
� �
+
� �
a
� � n n �+�
�
2
u
�
n
u
�
� �+�
�
2
�
u
�
n
u
�
� = 2 nu (cid:0) (cid:0) (cid:0) a2=2 (cid:0) a= 2 un+1= un+1= lim 2 v y ậ lim n ặ ho c a= (cid:0) (cid:0) n) đ ứ ượ ứ ở c cho b i công th c u ứ n=cosn, n∈ N*. Ch ng minh Bài 6: Ch ng minh dãy (u ớ ạ dãy không có gi i h n. + ướ ẫ H ng d n: ( ) n n 2 cos �
� =0 n(cid:0) � �
lim cos
�
n -� - (cid:0) (cid:0) (cid:0) Gi ả ử lim
s cosn =a (cid:0) cos (n+2)=a (cid:0) (cid:0) un= lim
n(cid:0) lim
n(cid:0) 2 lim
n(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) sin(n+1)sin1=0 (cid:0) sin(n+1)=0 (cid:0) sinn=0 lim
n(cid:0) lim
n(cid:0) (cid:0) cosn=0 (cid:0) ặ M t khác: sin(n+1)=sinn.cos1+cosn.sin1 lim
n(cid:0) n(cid:0) (cid:0) Suy ra lim (cos2n+sin2n)=0, vô lý ậ ớ ạ V y dãy s (u i h n. ố n) v i uớ n=cosn không có gi + + + ị ặ ộ ụ ứ Bài 7: Ch ng minh các dãy sau b ch n (h i t ). n N .......... ; 1
2
n 1
a. an=1+ 2
2 1
2
3 + + + (cid:0) .......... 1
n n N
;
n 1
b. bn=1+ 2
2 1
3
3 (cid:0) + + + ướ ẫ H ng d n: n N .......... ; 1
2
n 1
n=1+ 2
2 1
2
3 (cid:0) ứ ấ
a. Ta th y. dãy a ầ
là dãy tăng, ta c n ch ng minh dãy + + + + + + .......... < +
1 .... 2 ị ặ (an ) b ch n. ( 1
2
n n n 1
2
2 1
2
3 1
1.2 1
2.3 1
)
1 1
= - <
2
2 1+ - + + + ộ ụ ậ V y dãy h i t . .......... n bị 1
n n N
;
n 1
b. Dãy bn=1+ 2
2 1
3
3 (cid:0) ứ ầ là dãy tăng, ta c n ch ng minh dãy b 23 ch n.ặ + + + + + + .......... ......... . n=1+ 1
nn 1
2
n 1
2
2 1
3
3 1
(cid:0) 1+ 2
2 1
2
3 ậ ậ
Th t v y: b <2 ộ ụ ậ ị ặ
V y dãy b ch n nên h i t . ộ ấ ố ử ụ ủ ứ ổ ạ ớ II. S d ng công th c tính t ng c a m t c p s nhân lùi vô h n, tìm gi i ị ộ ố ậ ể ạ ầ ạ ố. h n. Bi u th m t s th p phân vô h n tu n hoàn thành phân s 1. Ph ươ ấ ố ạ ạ ộ ấ ố
: C p s nhân lùi vô h n là c p s nhân vô h n và có công b i là ng pháp ớ q, v i |q|<1. n): u
S=u1+u2+…+un+…= 1
q- 1 ộ ấ ố ố ạ ủ ạ ổ + T ng các s h ng c a m t c p s nhân lùi vô h n (u + + + + .... ... ọ ố ậ ề ượ ễ ướ ạ ừ ủ ể + M i s th p phân đ u đ c bi u di n d i d ng lũy th a c a 10. n 2 3 a
1
10 a+
2
10 a
3
10 a
n
10 X=N,a1a2a3…an..=N+ ẫ :
ậ
2. Bài t p m u ế ố ậ ỳ ướ ạ t s th p phân m=0,030303…(chu k 0,3) d ố ữ ỉ
i d ng s h u t . Bài 1: Vi 3 3 = m = +
3 + +
... = +
3 = +
3 = +
3 Gi i:ả +
100 10000 3
0n
10 3
99 1
33 100
33 1 3
100
1
100 + -
2 1 ... Ta có: - 1
1
+ -
2
2 ổ Bài 2: Tính t ng s=2 = - =
q
| ;| 1 2 ,1, 1
2 2
2
( 2) 1
2 1
<
2 2 = - = 4 2 2 - ả Gi i: xét dãy 2, ấ ố
,…là dãy c p s nhân q= 2 2
+
2 1 + 1 1
2 V y s=ậ 24 ậ ụ :
3. Bài t p áp d ng ế ố ậ ầ ướ ạ ạ
t s th p phân vô h n tu n hoàn sau d ố
i d ng phân s : Bài 1: Hãy vi a=34,1212….(chu kì 12) 1134
33 Đáp s : a=ố + 1 + +
... ... a. s= 1 1
1
+ +
4 16 1
4n- 1 + + + .... b. s= ạ ổ ủ ấ ố
Bài 2: Tính t ng c a c p s nhân lùi vô h n: +
2 1
2 1 2 2 1
2 s t - - ướ ẫ H ng d n: 2 = + ; s ; 4 3 2 a. q= s = b.q= 2 1
4 4
3 2 - 1+u2=4. 1
2 ấ ố ạ ế ổ ố ạ ầ t t ng S=6. Tính 2 s h ng đ u u Bài 3. Tìm c p s nhân lùi vô h n. bi u
1 = = ướ ẫ H ng d n: ) � q 6 (
6 1 u
1 q 1 + = + = ( ) � q 4. 1 4. - s= (1) - u
1 qu
1 u
1 1
2 1
2 1
q =� �
2 ế ợ (2) k t h p (1) và (2) p Bài 4: 4 ổ a. Cho 0<α< . Tính t ng s=1tan α+tan2αtan3α+… ế ố ậ ầ ướ ạ b. Vi ạ
t s th p phân vô h n tu n hoàn sau d ố ữ ỉ
i d ng phân s h u t : p p+
k a=0,272727…….. b=0,99999999……… b. Cho dãy (bn)=sin a=sin2a+sin3a+….+sinna v i aớ ≠ 2 ớ ạ . Tìm gi i h n dãy. 25 ướ ẫ H ng d n: a. S= 1
+
1 tana 1 = 1 + = 7. b. a=2. 9
.
10 1 3
11 1 1 1
10 2 2 1
10
1
10 1
10
1
10 a c. b= - - - a sin
1 sin lim (bn)= - ự ệ ế ả IV. K t qu sau khi th c hi n ả ạ ế
trên vào gi ng d y, tôi đã ti n
ượ
ạ
c
ng THPT Yên l c 2 và thu đ ệ
ế
Sau khi áp d ng ụ
“Sáng ki n kinh nghi m”
ể
ườ
ở ớ
ọ
ớ
hành ki m tra v i 10 h c sinh
l p 11A1.1 tr
ả ư
ế
k t qu nh sau: ể ầ ươ ng IV ớ ạ ươ ấ ủ ọ
ể
Đi m l n 1 là đi m ki m tra c a h c sinh sau khi đã h c xong ch
ố.
ả
ư ượ
và ch a đ ọ
i h n dãy s ể
ng pháp gi c cung c p ph i bài toán tìm gi ượ ấ
c cung c p thêm ph ươ
ng ể
Đi m l n 2 là đi m ki m tra c a h c sinh đã đ
ớ ạ
ả
i h n dãy s ể
ầ
i bài toán ủ ọ
ố. ể
tìm gi pháp gi Stt H đ mọ ệ Đi m l n 1 Đi m l n 2 Tên Ễ
NGUY N LAN 1 ANH 5 5 Ấ Ễ NGUY N TU N 2 ANH 6 6 Ặ Đ NG VĂN 3 B CẮ 4 5 Ễ
NGUY N VĂN 4 DUY 6 7 Ị ĐÀO TH THU 5 HÀ 8 8 Ị PHAN TH THU 6 HÀ 7 8 ĐÀO TH Ị 7 H NGẰ 7 8 PHAN TH Ị 8 HOÀI 5 6 9 Ị
NGÔ TH BÍCH H NGỒ 6 6 Ẩ 10 Ễ
NGUY N C M LY 6 7 26 Trung bình 6,0 6,6 ể ể ể ế ể ầ
ố ọ
ể ượ
ề ể ể K t qu trên cho ta th y đi m trung bình l n 1 là 6,0 đi m, còn đi m trung
ầ
ấ
c cung c p
ớ
ố đã tìm hi u và đi m ki m tra đ u tăng so v i
ng pháp ấ
ượ
c là 6,6 đi m. Đa s h c sinh khi đ
i h n dãy s tìm gi ả
bình l n 2 đã tăng lên đ
ớ ạ
ươ
ph
ầ
l n 1. Ầ Ế Ế Ị Ậ
PH N III. K T LU N VÀ KI N NGH Ậ Ế I. K T LU N ể ệ ạ ậ ủ ớ ạ ậ
ấ ầ i h n c a dãy s ” ạ
ố nói riêng là r t c n thi ạ
ộ ế
ể ượ ề “Tìm
Vi c tìm hi u và phân lo i bài t p nói chung và phân lo i bài t p v
ọ
t trong quá trình d y và h c. Qua
ụ ể c m t cách c th ể
ươ ể ệ ậ ả ộ gi
ọ
đó có th giúp cho giáo viên và h c sinh có th hình dung đ
ấ
ng án đ làm m t bài t p sao cho có hi u qu nh t.
các ph ậ ớ ượ ủ ọ ố ế ệ
ể ữ Vi c phân lo i bài t p giúp cho h c sinh c ng c và ghi nh đ
ề ừ ượ
ả ậ ậ ố ớ ố ớ c lí
ư ề
ng mà trong sách giáo khoa ch a đ
ư
ạ
i bài t p, nh n d ng bài t p đ a ra
ậ
t v i m t bài t p m i. Ti n t
h c sinh có ậ
ế ớ ự ọ
i t t nh t, ph n ng t ấ
ượ
c cho h c sinh kĩ năng gi
ấ
ộ
ạ ọ
ả ứ
ậ ạ
thuy t, hi u sâu thêm nh ng v n đ tr u t
ế
ậ
c p đ n. Rèn đ
ươ
ph
ng án t
ể
th khái quát các d ng bài t p. ủ ả
Trên đây là m t s kinh nghi m c a b n thân tôi khi d y bài toán tìm gi ố ạ
ớ ự ể ế ắ ộ ố
ọ
ề ệ ủ
ể ệ ạ ọ ồ ế ượ
t đ ớ
ệ
i
ạ
ờ
ạ ủ
h n c a dãy s cho h c sinh. Trong th i gian ng n và v i s hi u bi
t còn h n
ế ủ
ế
ỏ
ế
ch c a cá nhân nên đ tài sáng ki n kinh nghi m c a tôi không tránh kh i thi u
ệ
ấ
sót, r t mong b n đ c và các đ ng nghi p góp ý đ bài vi
c hoàn thi n
h n.ơ Ị Ế
II. KI N NGH ằ ụ ề ề ấ
ơ ở ộ ấ
ấ ượ ả
ọ ế
ề ề ạ ế
ng phát hành v các tr 27 ả ế
H ng năm giáo viên trong ngành giáo d c làm r t nhi u đ tài sáng ki n,
ộ
ấ
tham gia các cu c thi h i gi ng, chi n sĩ thi đua c p c s , chi n sĩ thi đua c p
ườ
ế
ỉ
ng
t nh. Ngành có k ho ch ch n các đ tài có ch t l
ọ
ể
đ giáo viên và h c sinh tham kh o. ủ ế ọ ề
ế ề ệ ề ạ ế ủ ữ ậ r t mong nh n đ ả ể ề ượ ệ ơ ệ
20 –
Trên đây là đ tài sáng ki n kinh nghi m c a tôi trong năm h c 20
ờ
ỏ
2021. Do còn h n ch v kinh nghi m và th i gian nên đ tài không tránh kh i
ượ ự
ồ
ế
nh ng thi u sót, tác gi
c s đóng góp ý ki n c a các đ ng
ệ
ộ
c hoàn thi n h n.
nghi p và đ c gi ả ấ
đ đ tài đ ả ơ Tôi xin chân thành c m n! [ Ả Ệ TÀI LI U THAM KH O ạ ố ơ ả ấ ả ụ
Nhà xu t b n giáo d c i tích 11 C b n – ]1 . Sách giáo khoa Đ i s và Gi
ả
2007
]2 .Sách giáo khoa Đ i s và Gi
[
ả ạ ố ấ ả ụ
Nhà xu t b n giáo d c i tích 11 Nâng cao – [ 2007 ]3 . Sách chuyên đ luy n thi vào đ i h c Gi
ả
ệ 28 ạ ọ ề ạ ố ổ ợ do i tích Đ i s T h p ầ ạ ụ [ [ [ ề ủ
ấ ả
Tr n Văn H o ch biên – Nhà xu t b n giáo d c phát hành năm 2001
]4 . Đ thi THPT QG các năm 20172020
[
]5 . http://baigiang.violet.vn
]6 . http://tailieu.vn
]7 . http://vnmath.vn ụ ủ ế ề ả 7.2. V kh năng áp d ng c a sáng ki n ướ ế ấ ạ ả ọ
c khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m vào gi ng d y tôi, th y h c 29 Tr
ấ ụ
ặ ớ ạ ố sinh r t lúng túng khi g p bài toán tìm gi ệ
i h n dãy s . ế ạ ả ấ ọ ậ ứ ế ề ậ ơ ọ
ệ
Sau khi áp d ng sáng ki n kinh nghi m vào gi ng d y, tôi th y h c sinh
ớ ạ
i h n
t cách làm các bài t p v tìm gi ụ
có h ng thú trong h c t p h n và đã bi
dãy s .ố ụ ế ả ọ ớ ổ ọ ố ọ ỏ ọ Sáng ki n có kh năng áp d ng cho h c sinh l p 11 trung h c ph thông,
i môn toán 11, 12. ọ
h c sinh ôn thi TN THPT Qu c gia và h c sinh thi h c sinh gi ữ 8. Nh ng thông tin c n đ ầ ượ ả m tậ : không c b o ệ ầ ề ế ể ụ ế 9. Các đi u ki n c n thi t đ áp d ng sáng ki n: ố ớ ạ ớ ạ ủ Đ i v i giáo viên: Đã d y xong bài “Gi ố
i h n c a dãy s ” ố ớ ọ ầ ắ ượ Đ i v i h c sinh c n n m đ c: Khái ni m v gi ề ớ ạ ệ ố i h n dãy s . ượ ắ ị ớ ạ ắ
N m đ c các đ nh lý và các quy t c tìm gi ố
i h n dãy s . ế ả ượ ụ ế ạ ả 10. K t qu thu đ c sau khi áp d ng sáng ki n vào gi ng d y ạ ả ế
trên vào gi ng d y, tôi đã ti n
ượ
ạ
c
ng THPT Yên l c 2 và thu đ ế
Sau khi áp d ng ụ
ệ
“Sáng ki n kinh nghi m”
ườ
ở ớ
ọ
ớ
ể
l p 11A1.1 tr
hành ki m tra v i 10 h c sinh
ả ư
ế
k t qu nh sau: ầ ể ươ ng II ớ ạ ủ ươ ấ ố ủ ọ
ể
ể
Đi m l n 1 là đi m ki m tra c a h c sinh sau khi đã h c xong ch
ư ượ
ng pháp tìm gi ọ
i h n c a dãy s . c cung c p ph và ch a đ ủ ọ ể ượ ấ
c cung c p thêm ph ươ
ng ớ ạ ủ ể
pháp tìm gi ể
ầ
Đi m l n 2 là đi m ki m tra c a h c sinh đã đ
ố
i h n c a dãy s . Stt H đ m Tên Đi m l n 1 Đi m l n 2 Ễ 1 NGUY N LAN ANH 5 5 Ễ 2 Ấ
NGUY N TU N ANH 6 6 Ắ Ặ 3 Đ NG VĂN B C 4 5 Ễ 4 NGUY N VĂN DUY 6 7 Ị 5 ĐÀO TH THU HÀ 8 8 Ị 6 PHAN TH THU HÀ 7 8 Ằ Ị 7 ĐÀO TH H NG 7 8 Ị 8 PHAN TH HOÀI 5 6 30 Ồ Ị 9 NGÔ TH BÍCH H NG 6 6 Ễ 10 Ẩ
NGUY N C M LY 6 7 Trung bình 6,0 6,6 ấ ả t cách gi ả
ể ể ươ ể ấ ế
K t qu trên cho ta th y h c sinh đã bi
ể
c là 6,6 đi m. Đa s h c sinh khi đ iớ
ố và đi m trung bình l n 1 là 6,0 đi m, còn đi m trung bình l n 2 đã
ượ
tìm i các bài toán
tìm gi
ầ
ng pháp c cung c p ph ượ
ớ ầ ể ể ế
ạ
h n dãy s
tăng lên đ
ớ ạ
gi ọ
ầ
ố ọ
ề
ố và đi m ki m tra đ u tăng so v i l n 1. i h n dãy s ữ ổ ứ ử ặ ụ ch c/cá nhân đã tham gia áp d ng th ho c áp ế ầ ụ ầ 11. Danh sách nh ng t
d ng sáng ki n l n đ u Tên t ch c/cá Số
TT áp d ng sáng ki n ầ ạ ố ả 1 Tr n Văn Long THPT Yên L c 2ạ Đ i s và gi ớ
i tích l p 11 ạ ố ả ớ THPT Yên L c 2ạ Đ i s và gi ớ
i tích l p 11 ọ
2 H c sinh l p 11
ự
ọ
và h c sinh d
thi TN THPT
QG ớ
l p 12 ......., ngày.....tháng......năm 2021 ủ ưở Ủ Ị ế ả Ế ị
ơ
ng đ n v
Th tr
(Ký tên, đóng d u)ấ Yên L cạ , 25/2/2021
sáng ki n
Tác gi
ọ
(Ký, ghi rõ h tên) ........, ngày.....tháng......năm 2021
Ộ Ồ
CH T CH H I Đ NG
Ấ Ơ Ở
SÁNG KI N C P C S
(Ký tên, đóng d u)ấ Tr n Văn Long 31)
(
(
)
(
)
(
)2
(
)
(
)
1
)
1
ể
ầ
ể
ầ
ọ ệ
ể
ầ
ể
ầ
ị
ạ
ỉ
Đ a ch
ự
Ph m vi/Lĩnh v c
ổ ứ
nhân
ụ
ế
ầ
