SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC
TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ.
Lĩnh vực: Toán học
Cửa Lò – 4/2022
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT CỬA LÕ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG
THỨC
TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ.
Lĩnh vực: Toán học
Người viết: Nguyễn Xuân Hòa
Tổ: Toán -Tin
Đơn vị công tác: Trường THPT Cửa Lò
Cửa Lò – 4/2022
3
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Các vấn đề liên quan tới dãy số là một phần quan trọng của Đại số và Giải
tích toán học. Song khái niệm dãy số học sinh mới chỉ được làm quen trong
chương trình toán lớp 11 phần mở đầu của Giải tích toán học. Các dạng toán liên
quan tới nội dung này ở sách giáo khoa chỉ ở mức độ mở đầu, cơ bản. Trong khi
đó các câu hỏi trong đề thi học sinh giỏi thường là khó với các em.
Qua thực tế giảng dạy chương trình toán lớp 11 những năm qua, cũng như
việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy một dạng toán
khá cơ bản về dãy số là bài toán tìm số hạng tổng quát. Lý thuyết đại số và các
bài toán về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của giải
tích toán học. Trong đa số đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh trong các năm gần đây,
nội dung dãy số chiếm khoảng 15- 20% trong đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Với
việc áp dụng sáng kiến này tôi thấy các em học sinh đã tự tin hơn khi đứng trước
bài toán về dãy số, hứng thú phân tích tìm lời giải hơn và bước đầu có những kết
quả khả quan nhất định. Đa số các em tìm được lời giải của bài toán tìm số hạng
tổng quát ở mức độ mở rộng đơn giản. Các phương pháp tìm số hạng tổng quát
của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi gần như là bài toán được đề cập tới đầu tiên.
Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác nhau bài toán này thực sự không phải là
dễ với học sinh.
Dãy số là một lĩnh vực khó và rất rộng, trong các đề thi học sinh giỏi cấp
tỉnh, quốc gia cũng thường xuất hiện các bài toán về dãy số. Để giải được các
bài toán về dãy số đòi hỏi người làm toán phải có kiến thức tổng hợp về số học,
đại số, giải tích. Các vấn đề liên quan đến dãy số cũng rất đa dạng và cũng có
nhiều tài liệu viết về vấn đề này, các tài liệu này cũng thường viết khá rộng về
các vấn đề của dãy số, các vấn đề được quan tâm nhiều hơn là các tính chất số
học và tính chất giải tích của dãy số.Tính chất số học của dãy số thể hiện như
tính chia hết, tính nguyên, tính chính phương… , tính chất giải tích có nhiều
dạng nhưng quan trọng là biết cách xác định công thức cơ bản của dãy số.
Vì vậy chúng tôi chọn đề tài “Một số phương pháp xác định công thức tổng
quát của dãy số ”
Nội dung của chuyên đề được chia làm bốn mục :
4
I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy
số có dạng công thức truy hồi đặc biệt.
II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số
III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ của dãy số
IV: Ứng dụng của bài toán xác định CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về
dãy số - tổ hợp .
Một số kết quả trong chuyên đề này đã có ở một số sách tham khảo về dãy số,
tuy nhiên trong chuyên đề các kết quả đó được xây dựng một cách tự nhiên từ đơn
giản đến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và phát triển
tư duy cho các em học sinh.
Đề tài được hoàn thành tại trường THPT Cửa Lò. Trong quá trình thực hiện đề
tài chúng tôi đã nhận được nhiều sự chỉ bảo của các thầy cô giáo đi trước về bố cục,
nội dung. Nhân đây cho phép chúng tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô
giáo, bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt là thầy Nguyễn Tất Thu và thầy cô trong tổ Toán -
Tin trường THPT Cửa Lò.
Cuối cùng do nhiều nguyên nhân, đề tài hoàn toàn không tránh khỏi được những
sai sót. Chúng tôi mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo và các
độc giả để ngày càng hoàn thiện hơn trong quá trình nghiên cứu khoa học và viết các
đề tài.
5
B. NỘI DUNG
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY
SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT.
Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dạng
dãy số có công thức truy hồi đặc biệt. Những phương pháp này được xây dựng dựa
trên các kết quả đã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp.
Trước hết ta nhắc lại một số kết quả đã biết về CSN – CSC .
1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân
1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng
Định nghĩa: Dãy số
()
n
u
gọi là cấp số cộng nếu có một số thực
d
sao cho với mọi số
nguyên
2n
ta có:
1nn
u u d

.
d
: gọi là công sai của CSC;
1
u
: gọi số hạng đầu,
n
u
gọi là số hạng tổng quát của cấp
số
Định lí 1: Cho CSC
()
n
u
. Ta có :
(1).
Định lí 2: Gọi
n
S
là tổng n số hạng đầu của CSC
()
n
u
có công sai d. Ta có:
1
S [2 ( 1) ]
2
n
nu n d
(2).
1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Định nghĩa: Dãy số
()
n
u
có tính chất
1. *
nn
u q u n
gọi là cấp số nhân
công bội q
Định lí 3: Cho CSN
()
n
u
có công bội q. Ta có:
1
1
n
n
u u q
(3).
Định lí 4: Gọi
n
S
là tổng n số hạng đầu của CSN
()
n
u
có công bội q . Ta có:
1
1-
1-
n
n
q
Su q
(4).
2. Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ của một số dạng dãy số đặc biệt