SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG NGUYỄN CẢNH CHÂN
===== =====
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
LĨNH VỰC: TOÁN HỌC
Đề tài: Tư duy sử dụng hàm đặc trưng để giải hệ phương
trình trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi
Tên tác giả
Võ Văn Thọ
Nguyễn Thị Bích Hải
Tổ bộ môn Toán - Tin
Năm thực hiện : 2021 – 202
1
I. MỞ ĐẦU
1.
Lý do chọn đề tài
Môn Toán ở trường phổ thông mang ý nghĩa là môn học công cụ, song nó cũng là
môn học rèn luyện được nhiều hình thức tư duy cho học sinh đặc biệt là tư duy logic
và tư duy sáng tạo. Môn toán không chỉ giúp học sinh phát triển năng lực tính toán mà
còn giúp học sinh hình thành những năng lực chung theo yêu cầu của chương trình giáo
dục phổ thông tổng thể (đó là năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác,
năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo).
Trong ít năm gần đây trong các cuộc thi chọn học sinh giỏi toán THPT khối 12. Ta
thấy bài toán giải hệ phương trình là một bài toán không thể thiếu trong các kỳ thi trên.
Vì yêu cầu bài toán giải hệ phương trình mang tính rộng hơn giải phương trình, nên
việc thí sinh giải hệ phương trình giống như một mũi tên trúng hai đích. Nó giúp người
ra đề vừa kiểm tra được học sinh phần kiến thức về phương trình, vừa kiểm tra được
kiến thức phần hệ phương trình. Như vậy kiến thức từ phương trình đến hệ phương
trình giống như một sợi chỉ đỏ gắn liền với các bạn học sinh trong đội tuyển học sinh
giỏi toán suốt ba năm ôn thi học sinh giỏi. Qua thực tế bồi dưỡng học sinh, tôi nhận
thấy trong các đề thi học sinh giỏi, tác giả cho đề bài giải hệ phương trình rất tinh vi,
lợi hại hơn những năm trước rất nhiều, chúng thiên về phương pháp hàm số đặc trưng,
đòi hỏi người giải phải là một người có bản lĩnh, có tư duy tốt và cực tốt mới giải được
một cách nhanh, điêu luyện. Tuy nhiên khi sử dụng phương pháp này học sinh thường
gặp những khó khăn sau đây:
+ Học sinh chưa nhận dạng được bài toán. Tức là giáo viên hướng dẫn
các em giải hệ phương trình bằng cách nào thì các em rập khuôn, không linh
hoạt và sáng tạo. Đề chỉ cho khác đi một chút đã khiến các em không giải được,
còn lúng túng không biết nên giải quyết chúng theo cách nào và hệ đã cho có
nên giải theo phương pháp hàm số đặc trưng hay không.
+ Vì chưa có hệ thống phương pháp chung khi giải các bài toán dạng
này nên các em trình bày lời giải chưa khoa học, thiếu chặt chẽ.
+ Các em tâm lý lo lắng, thiếu tự tin khi giải hệ phương trình bằng phương
pháp hàm số đặc trưng thể hiện qua việc bắt gặp các hệ phương trình chứa biểu
thức x,y dạng cồng kềnh vừa ẩn ngoài, ẩn trong căn, ẩn dưới mẫu, ẩn trên tử,
bậc của ẩn x, y lớn, nhỏ khác nhau.
2
+ Chưa biết tìm hàm số đặc trưng. Và tìm như thế nào, việc này dẫn
đến tình trạng các em mất rất nhiều thời gian, không kiểm soát được bài
toán.
Bên cạnh đó sách giáo khoa chỉ đưa ra các định lí, tính chất về tính đơn
điệu của hàm số mà không nêu lên ứng dụng của nó trong giải hệ phương
trình.
Ngoài ra các tài liệu trên mạng internet, sách tham khảo tuy nhiều nhưng chưa mang
tính hệ thống, hoặc chưa chi tiết các dạng, đặc điểm nhận dạng của từng dạng toán
này mà chỉ đưa ra đề bài và trình bày lời giải theo một hoặc nhiều cách, làm cho bạn
đọc cảm giác hoang mang khi đứng giữa một kho tàng tri thức rộng lớn. Không biết
tại sao giải như vậy. Tại sao giải theo cách này mà không giải theo cách khác. Do vậy
tôi lựa chọn đề tài “ TƯ DUY SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM ĐẶC TRƯNG
TRƯNG TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNGTRÌNH TRONG VIỆC BỒI DƯỠNG HỌC
SINH GIỎI”
2. Mục đích nghiên cứu:
Tổng hợp các trường hợp cụ thể của phương pháp giải hệ phương trình về phương
pháp hàm đặc trưng nhằm giúp học sinh giải tốt các bài toán về hệ phương trình.
3. Đối tượng nghiên cứu:
Phương pháp hàm đặc trưng trong giải hệ phương trình
4. Phương pháp nghiên cứu:
Từ lý thuyết chung về ứng dụng của đạo hàm,tính chất đơn điệu của hàm số, các
dạng liên hợp, các tính chất của bất đẳng thức xây dựng hệ thống các dấu hiệu nhận
biết để giải các bài tập có liên quan.
II.
NỘI DUNG
1.
Cơ sở lý luận.
Chính vì mục đích khắc phục những nhược điểm của thực trạng nêu trên
là vô cùng cấp bách rất cần khắc phục nên tôi đã nghiên cứu, học hỏi và mạnh
dạn đưa ra đề tài.
Bên cạnh đó việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh khá, giỏi giúp các em trở
thành “Hiền tài là nguyên khí Quốc Gia”, tạo cho các em niềm đam mê, lửa
nhiệt huyết và hình thành cho các em một tư duy tốt trong giải hệ phương trình
bằng phương pháp hàm số đặc trưng được tôi tiến hành theo các bước sau:
3
BƯỚC 1: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN.
Bước này cung cấp đầy đủ một nền móng kiến thức vững chắc. Các em
cần phải hiểu và vận dụng chúng một cách linh hoạt và chính xác khi “Tư duy
sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng trong giải hệ phương trình”.
Bảng tính đạo hàm
Đạo hàm các hàm sơ cấp
Đạo hàm các hàm số hợp
( )
( )
'1
'
2
'
[ ] .
11
1
2
xx
xx
xx
−
=
−

=


=
( )
( )
' 1 '
''
2
'
'
[ ] . .
1
2
u u u
u
uu
u
uu
−
=
−

=


=
( )
( )
'
'
'2
2
'2
2
sin cos
cos sin
1
(tan ) = tan 1
cos
1
(cot ) (1 cot )
sin
xx
xx
xx
x
xx
x
=
=−
=+
−
= = − +
( )
( )
''
''
'
' ' 2
2
'
' 2 '
2
sin .cos
cos .sin
(tan ) = u .(tan 1)
cos
(cot ) (1 cot ).
sin
u u u
x u u u
u
xu
u
u
x x u
x
=
=−
=+
−
= = − +
Các định lí, tính chất về tính đơn điệu của hàm số
Định lí: Cho hàm số y =f (x) có đạo hàm trên K.
a) Nếu f( x) 0 x K, thì hàm số y =f(x) đồng biến trên K.
b) Nếu f( x) < 0 x K, thì hàm số y =f(x) nghịch biến trên K.
+) Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f( x) ( 0),
x K và f(x) =0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch
biến) trên K
Chú ý: K có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng.
Các tính chất :
+ Tính chất 1: Giả sử hàm số f (x)liên tục và đơn điệu một chiều trên tập D thì
phương trình f (x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm thuộc D.
+ Tính chất 2: Nếu phương trình f (x) = 0 có một nghiệm trên khoảng (a; b)
+ Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) đồng biến , ( nghịch biến) trên khoảng (a;b) và
u,v (a;b). Khi đó f(u)=f(v)
u=v.
+ Tính chất 4: Giả sử y=f (x) đơn điệu trên khoảng (a;b) thì x,y,z (a;b) là nghiệm
4
của hệ phương trình
+ Tính chất 5: Giả sử hàm số y =f(x) đồng biến trên (a;b) thì f(u) < f(v) u<v, f(x)
nghịch biến trên (a;b) thì f(u) < f(v)
với u,v (a;b)
Các dạng liên hợp thường sử dụng làm xuất hiện hàm số đặc trưng.
2
3 3 3 3
3 3 3 3
2 2 2 2
33
33
33
33
2 3 2 2 3 2
..
..
A B A B
A B A B
A B A B
A B A B
A B A B
A A B B A A B B
A B A B
A B A B
A A B B A A B B
−−
− = − =
++
−+
− = + =
+ + − +
−+
− = + =
+ + − +
Bất đẳng thức Cauchy( bất đẳng thức AM- GM)
Cho 2 số a,b không âm. Khi đó
.
2
ab ab
+
Các tính chất bất đẳng thức.
Tính chất
Tên gọi
Điều kiện
Nội dung
a b a c b c + +
Cộng 2 vế của bất đẳng thức
với 1 số
0c
..a b a c b c
Nhân 2 vế của bất đẳng thức
với 1 số
0c
..a b a c b c
a < b và c < d => a+c
<b+d
Cộng 2 bất đẳng thức cùng
chiều
0; 0ac
a < b và c < d => a.c < b.d
Nhân 2 bất đẳng thức cùng
chiều
*
nN
2 1 2 1nn
a b a b
++
Nâng 2 vế của bất đẳng thức
lên 1 lũy thừa
*
nN
và
0a
22nn
a b a b
0a
a b a b
Khai 2 căn vế của 1 hằng
đẳng thức
33
a b A B
BƯỚC 2: NÊU PHƯƠNG PHÁP CHUNG KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐẶC TRƯNG