SGK - Đại số tuyến tính: Phần 2

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:113

Thêm vào BST

Báo xấu

69
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 Tài liệu Đại số tuyến tính trình bày nội dung chương 6 đến chương 10, bao gồm: Dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương; không gian ơclit; không gian unita; đại số Tenxơ. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SGK - Đại số tuyến tính: Phần 2

Chương VI DẠNG TUYẾN TÍNH, DẠNG SONG TUYẾN TÍNH DẠNG TOÀN PHƯƠNG § 1 . DẠNG T U Y Ế N T Í N H . KHÔNG GIAN Đ Ổ I NGẪU Giả sử K là m ộ t k h ô n g gian t u y ế n t í n h t r ê n m ộ t t r ư ờ n g T. T r o n g § Ì, c h ư ơ n g I V ta đ ã định nghĩa dạng tuyến tính t r ê n K là m ộ t á n h xạ t u y ế n tính cp của K v à o T, T đ ư ợ c coi n h ư k h ô n g gian t u y ế n t ỉ n h t r ê n c h í n h n ỏ . N ó i cách k h á c , dạng tuyến t í n h 9 cho ứng v ớ i m ỗ i v e c t ơ X của K , p h ệ n t ử 9 ( x ) của t r ư ờ n g T, sao cho nếu X j v à x là t hai vectơ t ù y ý của K và k l ả m ộ t p h ệ n t ử tùy ý cua T, t h ì ' , cp(k ) =Xl k(p( ). X l Nếu cp Tà cp là hai dạng t u y ế n t í n h t r ê n K t h i tống q>! + t 2 cp của 2 chúng đ ư ợ c định nghĩa b ở i h ệ thức x . Oi +
Anh xạ Q K M | g là m ộ t — m ộ t l ỏ n . Mặt k M c , nếu a iu:..- I \ ỉ—" ( i ' *» •". n ) ' cp l - > ( b , , b , a a 2 2 b,) lùi r õ ràn*:' ị > i + (a.» a , a ) + (b b 2 n 1 ( 2 ) b„), ( kcp, | - > k ( a a a ). l ( 2> u Vậy K * v ì # ỉ ả â ẳ n g c á u . Do đ ỏ K * cũng là m ộ t k h ô n g gian n chiều. § 2. DẠNG SONG T U Y Ể N T Í N H ' G i ả ự E fà F là hai k h ô n g gian t u y ế n tỉnh, p h à o M ệ t hoặc k h ô n g , t r ẽ n Cùng m ộ t ttrờnỊT, X là m ộ t vectơ t ù y ý cua E, y là m ậ t vectơ tùy ý của F. MộỆàíib i
Một dạng 80Dg t u y ê n tính (p t r ê n Ẽ X E g ọ i là đỗi xứng, ta
Ư1. ơ i >•••» ỉ/m là các tọa độ cùa vectơ J trong cơ sở ỉ , ĩ2,...» 1 f . Các vố hướng m ù u chỉ phụ thuộc vào các cơ sở đã được lựa chọn, chúng 'được tính thẹo cộng thức: a,ị = cp(ei, f j ) . Ma trận Ả = [ a ] được u gọi là m a trận của dạng song t u y ế n tinh
Hai ma trận vuông A và À' liên hê vởi nhau bởi một hệ thức dạng (4), trong đố T là một ma trận "không suy biến, gọi là tương hợp. Vậy một dạng song tuyến tính cp(x, y) trên E X E cỏ trong hai cơ sở khác nhau của E những ma trận tương hợp. Muốn tìm liên hệ giữa định thức của các ma trận Ả' và A, ta áp đửng định lỹ vè tích các định thức vào hệ thức trên, ta được: |A'|= | A | |T>. Vậy, lưu E là một không gian thực thì I A' I và ị A Ị cùng dấu. Thi dụ: Giả sử R là không gian các vectơ ba chiều trê n trường số thực. 3 3 3 Giả sử dạng song tuyến tinh cp trê n R X R xác định như sau: (p(x, ĩ ) = x,y! + 2x y, + 3x yị'. •-. 2 3 3 Trong R ta chọn một cơ sò mới: e', = ( l , Ì, 1) e' = (Ì, 2 Ì -1) . = ạ - Ì , -1) Hãy tim ma trận của cp(x, y) trong cơ sò ay. ớ đây ta cỏ : Ì 0 0 \ ị Ì Ì Ì \ A = 0 2 0 , T = IÌ Ì - Ì , \o 0 3/ \ 1-1-1/ Vậy / l i Ì \ / Ì 0 0 \ / Ì Ì l \ Ị 6 0 -4 \ A'.« Ị Ì Ì -ĩ Ị . 0 2 0 0 Ị Ì 1 - 1 = 1 (i 2 Ị . \ Ì - Ì - Ì / \ 0 \ -4 2 0 (ì Ị 3 / \ Ì - Ì —Ì / /lếu gọi Vị, X ' , X'3 và V'l , y , y«3 là các tọa độ mới của các vectơ X v à Ỵ, thi 2 2 trong cơ tò mới (p (x, ý) cỏ dạng: cp(x, y) = Òx^r, - 4x\y' 3 + 6x' y' + 2x' y' - 4x y\ 2 a 2 3 3 + 2x' y' + 6x' yV 3 2 3 • § 3. DẠNG TOÀN PHƯƠNG Giỗ sử E là một không gian tuyến tinh trê n một trường T vời đặc số k h á c 2, và tp là một dạng song tuyến tính trê n ExE. Ta gọi dạng thắn phương w Hèn kết với ff là một ánh xạ lí) của E vào T, ảnh xạ đỏ cho ứng vói mỗi vecto X của Ề, phần từ tó(x) = cp(x, x) của T. NếuE là một không gian n chiều; lị, e 2 e là một cơ sĩt của nó và n ế u n X = + ... + x»e t h ì Xjej'4- x é ( 2 2 n p n V • a X x ^ i , 2 Xjej = ì i i=t . j=i- / 1=1 j=i Bảo. lại, một ảnh xạ tu của E vào trường T xác định bởi biêu thức: = ỉ; Ề XjXjaij, i=l j=l 132
í một dạng t o à n p h ư ơ n g . Thật vậy, ta co m e Uira ra dạng song u i y e n H i m : «K*. y) = é t XiỴị&iị , i=l j=l •ong đó y j ( j — 1 , 2 n ) là cáe tọa độ của vectơ y trong cơ sở ej, «i «r. úc đó rõ ràng ta có : co(x) = cp(x, x). Cùng một (lạng toàn phương 0) có thề dược tạo nên từ nhiêu dạng song tuyến nh khác nhau. Thật vậy, nếu (p không phải là một dạng song tuyến linh đ ố i xứng lì: x
Thật vậy, theo c ô n g thức (1) ta c ỏ : f p(*> y) = ị ÍẸẸ ai; (Xn+y,) (Xj + yj) - Ẹ - S A í X I x i - 2 2 a„ y, y,] = ^ Li j ĩ í I í Đó chính là biêu thức (2). Ta'có thế viết công thức (3) dưới đạn j ma trận : o(x)==(x)A.(x)% trong đó ( x ) là dòng tọa đ ộ của, vectơ X , A == (ajj) là ma trận của dạng toàn c phương, và ( x ) là ma trận chuyền vị của ( x ) . Nếu trong k h ô n g gian E ta thực hiện phép đôi cơ s ố mả ma trận chuyên là T thì như đ ã chứng minh trong mệc trên, ma trận A' của dạng toàn phưong tứ (x). trang, ạợí«ì& m ử i sẽ ịầ: 0 . . , A' = T Á T . Ma trận này dĩ nhiên cũng đ ờ i xứng. T a c ỏ thê thử lại ngay điều đ ỏ : 0 C C 0 À' = (TAT ) = TÁT = A' . T a gọi hạng' c ủ a một dạng toàn phương là hạng Ì' của ma trận A của n ó trong một cơ abpịọ đỏ, N ế u r BỊP n, tức là ma .trận À không suy biến, thi dạng toàn phương (ứ ( x ) cũng gọi là không suy biên. T a hãy chửng minh rằng: Hạng của dạng toàn phương co ( x ) không phụ thuộc và@ sự lựa chọn cơ sở (mặc dầu mũ trậa của nổ thị phụ thuộc vào sự lựa chọn cơ sở). Phép chứng minh định lý này -dựa trên bố 'đè sau : Hạng ũỗ(k tích JÚUÌU mattpẠnt không, lớn hạn hạng của mỗi nhàn tử. Nếu/ một trong hai nhân tử không suy biên, thì hạng của tích bằng hạng của nhàn từ kia. - * Ta sẽ chứng minh bỗ đ ề n à y cho trường hợp hai nhân tử. Giả sử đã cho Hài ma trận A W B , s à o ơầo tỉch € ta*-BA c ỏ nghĩa, ta hãy xét c ô n g thức của phần tử tông quát của ma trận tích : Cifel**,. E ạ * *fc|,-,TT,.fci-.hút +»••+ ;• k=l J ' Ị Nếu ta'CỐ địrib j ^ à i l ă y công, tbửỊB; này cho Ị»ẹi ì (i — Ị i 2 ...) thỉ tạ nhận thấy rằng cột thử ị c ủ a ma trận tích là tố hợp tuyến tỉnh của các Gột, của mạ trận A , và do đ ỏ n ó thuộc không gian con sinh ra hòi các cột của mã trận, A . Chợ j biến thiên, ta thấy rằng tất cả các cột của ma trận c đều thuộc không gian đó. Vì vậy hạng của hệ cột c ủ a c, tức lá.hạng của má trận c, không thê lớn hơn hạng của hệ cột của ma trận A , tức là không thề lớn lion hạng của A i ' í • Mặỉikhác, s ế u trong còng thức trẻo, ta c ờ định i và xét n ó v ớ i mọi fj, thì ta nhận thây rằng dòng i của ma trận (C) thuộc không gian con sinh r a bời các đònơ cụa ma trận B . Do đ ỏ , cũng n h ư ' t r ê n , ta suy ra rằng hạng của ma trận c không t h ế lớn h ơ n hạng của ma trậri B . Giả sử thêm rằng ma trận B là không suy biỉn, gọi r là hạng của Á, r' là hạng- c ô è Cf theo trên taỉ'eó' !r'
Bây g i ờ tấ bẩy b ư ớ c vào chứng m i n h định lý. Ta bi ỐI lằng n í u r t r o u g k h ô n g Ịian E ta đ ô i sang cơ sờ m ớ i v ớ i ma t r ậ n c h u y ê n là T thi ma'trận*!*' của dạng: loàn p h ư ơ n g trong cơ số m ớ i sẽ là : 0 A' = TÁT . (4) Vì T l à k h ô n g suy b i ế n n ê n hạng của Ả' bằng hạng cíia A. Vậy hạng của dạng toàn p h ư ơ n g k h ô n g phu thuộc vào' sự l ự a chần c ơ s ỏ . Nó là m ộ t bất biên của dạng đ ã cho. Ta c ò n cỏ t h ề chứng m i n h định lý n à y m ộ t cách rất. đ o n giản n h ư sau : theo tiêu c h u ầ n t ư ơ n g đ ư ơ n g t h ử hai của các X — ma t r ậ n , á p dựng v à o t r ư ờ n g hợp : á c ma t r ậ n k h ô n g đôi, ta biết r ằ n g n ế n hai ma trận A v à Á' liên h ệ v ớ i nhau bởi bệ t b ứ ẹ địệng A' —• PAQ, x : li trong đ ó p v à Ọ là n h ữ n g ma t r ậ n k h ô n g suy b i ế n thi chúng t ư ơ n g đ ư ơ n g v ớ i nhau. T ừ h ệ thức (4) suy ra ngay r ằ n g các ma t r ậ n A và A' của cùng m ộ t dạng toàn p h ư ơ n g trong hai cơ sờ k h á c nhau là tươỉỊg đ ư ơ n g với nhau, v ậ y chúng có s ù n g m ộ t hạng. § 4. ĐƯA DẠNG TOÀN P H Ư Ơ N G V Ề DẠNG CHÍNH TẮC Giả sử đ ã cho m ộ t dạng t o à n phưcrng t ù y ý U)(x) trên k h ô n g gian tuyến tính n chiều K t r ê n T. Ta hẩy chứng m i n h r ằ n g trong khàng gian K có một cơ sỏ tị, ti, •••> f„> s a o cho trong cơ sở đó nếu : a •. • .:'., lị' IỊ ĩ ì í • • ì ịú ị: > ị X — ỵ: lự;, 1=1 thì »(x) - k,uf. + M * - h . . . + k„uj[ , , ,:| m ; song đ ó • ' ,' kỵ, ki, i : , là những pkàn tử của trưởng T. M ộ t Cơ sò, cò tinh chất ăỹ, g ầ i lé : zơ sở chính tắc của dạng w(x) v à biêu thức (1) g ầ i là (lạng chính''tẵờ'rửà Cú(x), sác p h ầ n t ử kỵ, k , k g ầ i là các hệ tử chính'tấc của dạng u,(x). 2 n ' Giả sử é p e , 2 e n là m ộ t c ớ sò tầyỹ của k h ô n g gian K, n ê u X — X XịCị, :hì, n h ư ta đ ã b i ế t , U)(x) có d ạ n g : •to = 2 i a x u i X j . Ị£ Ta sẽ l ầ n l ư ợ t đ ỗ i cơ sờ sao cho trong công t h ứ c (2) c á c tích của các tầa l ộ v ớ i chỉ SỔ k h á c nhai! &t đ i . Vì ứng v ớ i m ỗ i phép biến đ ỗ i cơ sở.là, m ộ t pỊiệp j i ế n đ ỗ i xác định của các tầa đ ộ (xem c h ư ơ n g ni, § 2) và đảo l ạ i , nen la. c ó thề n ế t các công thức b i ế n đ ỗ i t ầ a đ ộ t h a y cho các c ò n g t h ứ c đôi cơ S& ; đ i n h i è n ỗ i l ầ n , ma t r ậ n của p h é p b i ế n đ ổ i đ ê u phải k h ô n g SUV biến. Ta p h â n b i ệ t hai trtròrig h ợ p tùy theo trong (lạng (2) tất CẬ các ^ ệ . t ừ a H i = Ì, 2, n) đêu bằng 0, hoặc k h ô n g phải l ấ t cả c á c hệ tử ấv đ ề u bằng k h ô n g . Ta c ó t h ế dựa t r ư ờ n g hợp t h ứ nhất về t r ư ờ n g hợp Ui lừ hai một cách d ễ d à n g . 135
Thật v ậ y , n ế u t ố t cả c á c a ị đ ề u bẵng khống, n h ư n g ít nhất một a f u (ĩ =f= ị) k h á c k h ô n g , t h i á p d ự n g p h é p đ ồ i tọa đ ộ : *1 X i , *2 X í . Xi — X ị , Xi' + Xj' , x„ = X'.. Nếu ta g i ả tbỉết t r ư ờ n g cơ sở T k h ô n g cỏ đặc số bằng 2, thì ma t r ộ n của phép b i ế n đ u i n à y l à k h ô n g S U Y b i ế u , vì ta c ó : 0 —Ì = 2 + 0. 0 D ư ử i t á c đ ụ n g của p h é p b i ế n đ ô i đ ỏ , hạng t ử a . j X t X j sẽ trò t h à n h : a j (x'i - S X',) (x'í + x'i) = H - a.j .>'i N h ư Tây là t h ự c t ế ta đ ả c h u y ê n sang trường h ọ p t h ứ hai, V ậ y bao g i ờ ta ' ' ù n g c ó t h ê g i ả (thiết r ằ n g trong dạng (2) ít nhất m ộ t t r o n g các h ệ t ử của b i n h p h ư ơ n g c á c ấ n là k h á c k h ô n g . Đê. đ ơ n g i ả n ta g)ạ thiết rằng a -f*'0. Sau k h i n h ó m l ạ i l ấ t cẵ các hạng t ử chửa X i , ta có thê viết. Ví(x) d ư ổ i u dạng : • («)-.„(*»,.Ỷ 2. . Ì * + 2 ỊỊỉSr X ^ a - f ... + : an ' • ' • + 2-2*- XiX n ị + g ( x „ x à , . . . . x„), My a x « l A + •••+. ln n -) + g ( X o , X , , .... x„), 'li trong đ ó g ( x , 2 x ) ký h i ệ u tỏng các hạng t ử k h ô n g chửà X j . n B ỗ sung v à o b i ê u thức n ằ m trong đ ẩ u ngoặc đ ễ n ó t r ử t h à n h m ộ t chinh p h ư ơ n g , ta đ ư ợ c : a x - Ị - . . . -Ị- a x ĩ 2 2 l n n \* (a x t > 2 + ... + a x)ìn a au (*1 + + » ( x ) *=* »11 -ĩ- + g(x , 2 ... ,;x„). 136
[NÊU ta (lạt : l x X i v*2> 3> —» J = i — rã 1- ụ, (x , X, 2 x ), n thi ta nhận thấy rằng tị có dạng hoàn toàn tương l ự với vế phải của biêu thức (2), L'hi khác một điều lít nó không c ò n chửa tọa độ thứ nhất Xj nửa. Vậy ta có thê đặt: » ụ a x x fi — X 2 'ij i i> i=2 j=2 và U)(x) cỏ dạng - ( « ) = «11 í Si + + " + » 1 , X. \+ s ị ; ị a . • ' a u / i 2 = j 2 = ra đặt: yj = X j + —— ỉ + a x ••• -T ~~ a x fl» ll ll x y 2 2> lức l à : Ma trận của phép biế n đ ồ i tọa độ nà}' là ma trận tam giác, vời định thức bẳtìg í, (rốy nỏ không suy biế ri Lúc đỏ U)(x) trở thành = »11^ + Ế ị a'jjjy,. Nếu troíig biế u thức V} £ a'ii Ti Vị có ít nhất ì =2 j~2 • , .. một trong các hệ tử của binh phương các tọa độ v , y khốc không, thì ta l ạ i có s t thế áp đụng vào nò phương pháp đè xuất ra binh phirong như đã trinh bày ờ trên. Giả sử hệ tử của yl chẳng hạn là khác không. Thế thì bằng một phép biế n ỉ ỗ i tam giác thích hợp ta có thế đưa Biế u thức đó về dạng È .Ị a'ijy.Jj = a't Zi 4- 2 ± Ế a'Vj. 1 i=2 j=2 ' ; i=3 j=3 'ỉ ííặu ta đặt thêm J*Ị = 7. thỉ ta sệ được một -phép biế n đôi tam giác, của tất cậ cốc x x>a độ Ỵi, y , ... , y . Với những tọa độ m ỏ i , ttì(r) bây giờ có dạng : 2 n 0)(x) = a zỉ+a\ zị u 9 4- é £ a'jzjZj. i J ^ i=s j=3 Tiếp tục quá trình trên đây, sau một số hữu hạn bước, ta sẽ đưa được «(x) về dạng chính tắc (1): a 1=1 i
P h ư ơ n g p h á p t r i n h bày t r ê n gọi là phương pháp Layrăng. Giỗ sử trong c á c hệ t ừ kị ( i = l , 2, .... n) cỏ r h ệ tử k h á c k h ô n g , Ì < r -^11. Ta có t h ế g i ả t h i ế t ( m à v ẫ n k h ô n g l à m m ấ t t í n h chất t ô n g q u á t của lý l u ậ n ) rằng kị, k ị , k r là k h á c k h ô n g , c ò n k = ... = kn — 0. Lúc đ ỏ ta sẽ đ ư ợ c dạng r + 1 chỉnh.tắc: " ' 0)(x) = k ? + ... + k u? + . 0 . u ? + . . . + 0. u ố . l U r tl Ma t r ậ n của (tì(x) trong cơ sò t ư ờ n g ứng sẽ là : . ; k, 0 Ị. k 3 • > 0 'ù • \ • hạng của n ó là r. V ậ y : Sỗ các binh phương với hệ tử khúc không trong dạng chỉịìh lắc của một dạng toàn phương bằng hạng của nó. Số n à y k h ô n g phụ thuộè v à o sự l ự a c h ọ n Thi dạ : Giả sử b ong k h ô n g gian ba chiều v ờ i cơ sở tị, « J , «3 Bào đ ỏ , c h ẹ dạng t o à n p h ư ơ n g . ỉ Ctì(x) = X * — 2XJXJ'^- xỉ + 4xjX 3 + 4X3 + 2***3 • Theo p h ư ơ n g p h á p L a g r ă n g ta có l ầ n l ư ợ t : ' ^ ^ -V, ;«(*) = XÌ - 2X! ( x 2 - 2x ) + xi + 4x1 + 2 X X , = (li 3 2 - x 2 + 2x,)» + 6x,x . 3 NẾU đặt: X i — x + 2xjj e£ y j , 1 2 2 — y , í , = y , tixí c á c hệ thức đỏ xóc đ ị n h p h é p 2 3 b i ế n đ ồ i tọa đ ộ Â m ì - : * Với các tọa độ mới, (í)(m) bây giờ cò dạng « ( * ) = yf + 6y»y . 3 Vế p h ả i k h ô n g chứa c á a b ì n h p h ư ơ n g của, y , và y . Muốn tránh 3 tích5 yjy 3 ta đ ặ t : í yi = Zi» j y» = *» + z . 3 ( y 3 = z — z . 2 3 Cuối cùng,
M u ố n tìm ma t r ậ n của phốp b i ế n đ ồ i tọa độ l ừ X , , x 2 x 3 sang thảng 2 , 2 , z ì i t chỉ việc l ấ y ma t r ậ n t í c h : Ì Ì 2' 1 0 ơ 1 3\ 0 Ì 0 0 Ì Ì í, Ì 0 0 lo Ì -Ì lo Vậy *1 z,— z 2 + 3z , 3 z :+ 2 z ,a X. NẾU gọi T là ma trận chuyến từ cơ s ố é,, e 2 saDg cơ số chinh tắc ĩÌ, f , f t thi ta có : 3 _ X ĩ i ( l i , X,, x ) = (z Zj, Z )T. 3 1 ( S V ậ y T ờ đày l à : Ì 0 0 —Ì Ì Ì 3 Ì — Ì Và c ơ aỉr c h í n h tắc l à : f s = —e, + e, + e . t f 3 == 3e, -f e — e 2 s §5. Cơ SỞ CHÍNH TẮC CỦA DẠNG SONG T U Y Ế N TÍNH Giả sợ E là m ộ t k h ô n g gian l u y ế n t i n h Q c h i ê u t r ê n m ộ t t r ư ờ n g T, (p(x, J J là m ộ t dạng song t u y ế n t í n h t r ê n E X E . Vectơ X j đ ư ợ c g ọ i l à liên hợp v ớ i vecto y, â ố i v ớ i dạng song t u y ế n t í n h cp(x, y ) n ế u Yl = 0. C ơ sở e i , e , . . . . e của k h ô n g gian E đ ư ợ c g ọ i l ả cơ sở chính tắc cho dọng* z B ĩong tuyến lỉnh v ( x , y ) n ế u cá c v e c t ơ của cơ sỏ' liên hợp t ừ n g đ ô i : j) = e khi i =h j . M ọ i ma t r ậ n c h é o là đ ố i xứng", v ậ y dạng song t u y ể n t í n h cỏ m ộ t cơ sò ỉhỉnh tắc, ắ t p h ả i đ ố i x ứ n g . Ta h ã y chứng m i n h r ằ n g : Mọi dạng song tuyên tỉnh đối xứng q>(x, y ) đêu có một cơ sở chỉnh tắc : T h ậ t v ậ y , ta h ã y xét dạng t o à n p h ư ơ n g (x, x) l i ê n k ế t v ớ i dạng song t u y ế n i n h đ ố i x ứ j i g cp(x, y ) đ ã cho. Ta ĩ)iết r ằ n g trong khiêng gian E có ruột cơ sò ĩ",', íJ, . . . , Y trong đó dạng toàn phương ẹ(ĩí, x ý c ỏ dạng chính tắc : n
tp(*. * ) - s a,uf, n v ớ i Ui l à các tọa đ ộ của v e c t ơ X trong cơ sở f „ ín, X = 2 U ị f ị. 1=1 N h ư đ ã chửng m i n h trong mục t r ê n , dạng song t u y ế n t í n h đ ố i x ứ n g cp(x, y ) t ư ơ n g ứng l à : n cp(x, y ) = 2 ajUjT,, i=l Ũ trong đ ó y = £ V j f j , v ậ y m a t r ậ n của n ỏ là c h é o . N h ư n g đ i ê u đ ỏ c h ứ n g t ỏ r ằ n g J=l ca sỉr £ f , 2 f là m ộ t cơ sỏ- c h í n h tắc cho d ạ n g song t u y ế n t í n h •> n» Trong cơ sò é,,' ề t , e n dạng song t ú y ế ù t h i h đ ố i x ứ ứ g ẹ ( x , ì ) c ó d ạ n g ĩ M «1» . . . . . . f 2 - K i i "f b e 2 i e í« ^ # • • • • • • fn = b ni«i + n e b í i i + • • • + ỉ>«*n- Ta chú ý r ằ n g n ế u : • cp(f j , ei) = 0 v ớ i i =* Ì, 2 j — Ì t h ì ta cũng cỏ > _ u f(fj, fi) = 0 y ớ i i == 1 2 , . „ , j - r Ì, T h ậ t .vậy,
N h ư v ậ y , n ế u (e„ e ) + 2 ... + bjị cp(e , Cj) t =0, b e e b e E e jl i) = 0, h e iM i-l> l»j» e — Xe]. j) e au 3]2 • • a„ é , ) (ej, e j ) q>(ẹj, e ) 2 ... (p(ej, ej) • H Theo già t h i ế t Dị k h á c k h ò h g . V ả y h ệ (4) la hề O ă m é, hệ hầy cỏ m ộ t nghiệm duy nhữt k h á c k h ô n g . V ậ y v e c t ơ f j đ ư ợ c h o à n t o à n xác định. Và n h ư v ậ y là vữn đ ề t ì m cá c vecto' f j , f 2 f n thỏa m ã n các đ i ề u kiên q>(f„ f j) = 0 k h i i + ị (i, j = Ì, 2 n) đã g i ả i quyết xong. Đ ế c h ứ n g m i n h r à n g các vecto- đ ó là độc lập tuyến t i n h , t r ư ớ c hết ta t i m cáp h ệ số bjj. T ừ h ệ (4) ta suy ra ngay: " í ' , trong đ ó D ị . ! và D j l à n h ữ n g đ ị n h thức con chính. Theo g i ả thiết, c h ú n g k h á c k h ô n g . V ậ y b „ =É= 0 ( j = Ì, 2 n). Theo c á c c ò n g t h ứ c (1) ma t r ậ n c h u y ê n t ừ các vecto' e j , c 2 en sang các vectơ í Ị, f j f là n ' bu b 2 l b ỉ 2 141
frong cơ sở mới, dạng song tuyến tỉnh cp cỏ dạng : . / X Ì , £>I , D2 _
trong đ ỏ x , X , , . . . , Xa là các tọa đ ộ của v e c t ơ X . Ta h ã y g i ả t h i ế t l ẳ n g n ó có hai c ơ t sĩf c h í n h tắc £ f f và g j , g , g „ . v a n 2 Ta g ọ i y y , .... y là các tọa đ ộ của vectơ X trong cơ sở {ị, f , .... f ; và v 2 n 2 n Zj, z , 2 z là c á c t ọ a đ ọ của n ỏ trong cơ sò g , g , g D . Các công thức đôi tọa x 2 n độ tương ứng l à : I yi = b l] l x + b 12 2 x + - + b l n x n , / Zj = CJJXJ + c x 1 2 2 + ... + Cj x n n , ỹâ = bâiXi + b x 2 ĩ 2 + ... + băn x „ , v à Zg = c iXj + 2 c x 2 2 2 + ... + c ín x„ , ^ ỹ„ = b.iXj + b n 2 X 2 + ... + *>nnX n , z„ -= C j X i + n C ọX n 2 + ... + C X„ . nn Giả sử t r o n g C O ' sò í Ị, f , 2 f n w(x) có d ạ n g : 2 •00 = k i y i + . . . + K?l - - - - và trong c ơ sỏi g j , gt, .... g a n ò cò d ạ n g : 2 2 2 w ( x ) = z,z + ... + Z.Z* - z a + 1 z - / z , r 1 1 + 1 \ / Ì ' ì q 9 q+l r trong đ ỏ r là h ạ n g của (o(x), các hệ số k k , / í đ ề u là d ư ơ n g . \ & sẽ t r t r chứng m i n h r ằ n g p = q. T h ậ t v ậ y , v i ế t hai v ế p h ả i của các đẳng thức t r ô n t h à n h đẳng thức r ò i đ ư a các h ạ n g t ử â m sang r i ê n g m ộ t v ế , ta đ ư ợ c : z y * + ... + k y ^ +k j V . + - + < rl = p «Z *ấ + . . . + ( , * J + . k ? . , y ; „ + ...+ * , £ • 1 (2) Giả t h i ế t r ằ n g p < q. Ta h â y t ì m m ộ t vectơ X , thỏa m ẩ n các đ i ề u k i ệ n : ý . = 0 . y . — o,..., y p = 0, z q+1 = 0,..., z r+1 = 0,..., z n = 0. (3) Số các đ i ề u k i ệ n n à y d ĩ n h i ê n n h ỏ h ơ n n, v i p
xác định dương, nếu tất cà n hệ sổ chính tắc của nó đần lủ aương. T ừ đỏ suy ra ngay rằng một dạng xác định dương luôn luôn nhận giả trị dương với mại vectơ khác không của không gian. Đảo lại, nia một dạng toàn phương nào đô, trong một không gian tuyến tỉnh thực n chiêu luôn luôn lấy giá trị dương với mọi vectơ khác không của khổng gian ấy, thì hạng của nó bằng n và chỉ sổ dirơny qaán tính của nổ cũng bằng n. Thật vậy, đ ố i với một d ậ D g có hạng nhỏ h ơ n n hoặc c ó chỉ số dương quán tính nhỏ hơn n, thì trong dạng chính tắc của nỏ, hoặc là bình p h ư ơ n g của một tọa độ nào đó, y,„ chẳng hạn, không có mặt, hoặc là nó có mặt nhưng với hệ số không dương. T a hãy chợng minh rằng trong những điều kiện ấy, có thế tim được một vectcr X khác không sao c > 0 («)(x) < 0. Muốn thể ta xét hệ n phương trình tuy ến tinh sau : Yi = 0, y , = 0,..., y ,,-, » 0, y n = Ì Kết hợp hệ này với (1) ta sẽ được một hệ Crame, hệ này có một nghiệm duy nhất khác k h ô n g : X i , x x . Điền các giá trị ấy v à o các biếu thợc của 2 n các y i , ròi lại điền các giá trị của J j v à o dạng chính tắc, thì, trong trường hạp a y không cỏ mặt, ta sẽ được co(x) = 0, và trong trường hợp y* c ỏ hộ số â m , ta sẽ được eo(x)< 0. Một dạng song tuyến tính cp(x, y ) được gọi là không suy biến nếu hạng của nỏ bằng số chiều của không gian, hay nói cách khác, nếu trong dạng chinh tắc của n ỏ tất cả các hệ tử đ ề u khác không. Nếu một dạng song tuy ến tinh thực không suy biến có tất cả các h ệ số chính tắc dương, thi n ỏ được gọi là xác định dương. Một dạng song tuy ến tính xác định dương có đặc tính là đ ậ D g t o à n phương tương ợng w(x) = x) luôn luôn lấy giá trị d ư ơ n g với m ọ i X =f= 0. MtíỊn cho một dạng song tuyến tính đổi xứng là xác định dương ắt có và đả là tất cả các định Chức con chính của mạ trận của nó trong mật cơ sở nào đó đìu dương. Thật vậy, trước hết giả sử dạng song tuy ến tính đ ố i xợng (Ị) (x, y) là xác định dương, ta hay chửng minh rằng tất cả các định thợc con chính của n ỏ đều dương. Xét định thợc con chính cấp m : a a a 21 22 ••• 2m D = a a a ml m2 ••• mm Ma trận (ajj) (i, j = Ì, 2 m) là ma trận của dạng 9(x, y) trên k h ô n g gian con E m sinh r a bói m v e c t ơ Cơ s ở đầu t i ê n . Vì t r ê n k h ô n g gian con ấ y , dạng cp (x, y) là xác định đ ư ơ n e , (cp (x, y) > 0 khi X =f= 0), n ê n có một cơ sở chính tắc c ủ a E trong đó cp(x,j) được viết d ư ớ i dạng chính tắc với hệ s ố dương. Định m thợc của dạng ẹ(x, y ) trong cơ sờ ấy bằng tích của các hệ sổ chính tắc, v ậ y n ỏ cũng dương. Đ ễ ý đèn m ố i liên hệ giữa các định thợc củịa các ma t r ậ n của một dạng song tuy ề'n tính trong các cơ sò khác nhau (xem § 2 ) ta nhận thấy rằng đ i n h thợc của dạng cp(x, ỵ ) trong cơ sỏi xuất phát cũng là dương. NÍìợng định thợc của dạng cp(x, ỵ ) trong CO' sở xuất phát là định thợc con D . Vậy Đ > ò. m m 146
Đảo l ạ i , nếu tất cả các định thức con c h í n h của ma t r ậ n A của dạng song t u y ể n t í n h đ ố i x ứ n g cp ( x , y ) đ ề u d ư ơ n g , t h ì theo công thức (5) của § 4 tất cả các b ệ s ố c h í n h tắc của dạng (p(x, y ) t r o n g m ộ t CO' sỏ- c h i n h t ắ c n à o đ ó đ ề u đ ư ơ n g ; do đó dạng cp(x, y) là x á c định d ư ơ n g . §7. DẠNG SONG T U Y Ể N TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN PHỨC Tất c ả các đ ị n h nghĩa của dạng t u y ế n t í n h , d ạ n g song t u y ế n t í n h và dạng t o à n p h ư ơ D g đ ã n ê u t r o n g các mục §1, Ị 2, §3 đ ề u c ó n g h ĩ a đ ố i v ớ i m ộ t k h ô n g gian t r ê n m ộ t t r ư ữ n g t ù y ý, trong đ ỏ có trường số phức. N g o à i ra, trong k h ô n g gian phức, ta còn cố t h ề đ ư a các k h á i Diệm đó v à o bằng m ộ t cách k h á c n ữ a . Dạng tu-vến tính l o ạ i m ộ t T à l o ạ i hai. Giả sử K là m ộ t k h ô n g gian t u y ế n t í n h t r ê n t r ư ữ n g số phức p . M ộ i á n h x ạ rp của K v à o p g ọ i l à m ộ t dạng tuyến lỉnh loại một nếu n ó thỏa m ã n các đ i ề u k i ệ n sau : 1. cp(x + y) = (y), 2. cp(kx) = k(x+y) = q>(x) + cp ( y ) , 2. cp(kx) = kcp(x), trong đó k là số phức liên hợp của k. N ế u trong k h ô n g gian K ta chọn m ộ t cơ sò 8 ] , e 2 e n v à n ế u trong cơ sở đó vecto' X có d ạ n g : X = Xjej + >. e 2 2 +...+ x n e n , thì ta đễ d à n g k i ê m tra r ằ n g m ọ i dạng iuyín tỉnh loại một đ ề u cỏ t h ê v i ế t d ư ớ i dạng: q> ( s ) = a ^ ! -f- a x + . . . + a x , 2 2 n a trong đ ó ãị = cp(ej). Và mọi dạng tuyến tỉnh loại hai đ ề u cỏ t h ề viết d ư ớ i d ạ n g : cp(x) = bj*! + b x 2 2 + ...+ b x B a , trong đó bị = cp ( e j ) và Xị là số phức l i ê n hợp của X ị , Đạag song tuyên tinh l i ê n h ạ p . Ánh xạ ẹ của tập tích K X K v à o t r ư ữ n g số phức p : ( x , y ) |-wp ( x , y ) 6 p áưọ-c gọi là m ộ t dạng song tuyến tính liên hợp, nếu n ó là dạng t u y ế n t í n h l o ạ i một của X k h i cố định y, v à là dạng t u y ế n t í n h l o ạ i hai của y k h i cố định X . Nói cách k h á c , (p ( x , y ) là dạng sopg t u y ế n tính liên h ợ p t r ê n K X K nếu các điề u k i ệ n sau đ ư ợ c thỏa m ã n : 147
1. " - , y ) - T a kiếrr 1( 2 n n tra được ngay rằng các điêu kiện 1), 2) của định nghĩa đ ề u đưọ-c thỏa m ã n . Ta hẩy tìm biếu thức của một dạng song tuyến tinh l i ê n hợp qua các tại đ ộ của các vectơ X và y trong cơ sở ej, e , . . . , e . T a cỏ thê viết X v à y đười dạng 2 n X = x e l 1 + x 2 e 2 + — + X n e n J e y = ĩWì + y* 2 + ••• + y «n. n Ta c ó : x x e e x 9( .y) =
— y ) =