intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

SKKN: Dùng kiến thức tổ hợp thuần túy hướng dẫn học sinh giải bài toán tính tổng các số tổ hợp

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:22

Thêm vào BST
Báo xấu
18
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là Tìm hiểu nhu cầu và những khó khăn của học sinh khi các bài toán tính tổng các số tổ hợp. Từ đó nghiên cứu, đề xuất phương pháp khắc phục những khó khăn đó, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn toán trong trường trung học phổ thông.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Dùng kiến thức tổ hợp thuần túy hướng dẫn học sinh giải bài toán tính tổng các số tổ hợp

  1. PHÂN 1: M ̀ Ở ĐÂU ̀ 1. Li do chon đê tai ́ ̣ ̀ ̀           Cac bai toan tô h ́ ̀ ́ ̉ ợp (hay con goi la cac bai toan vê giai tich tô h ̀ ̣ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ̉ ́ ̉ ợp) chiêm ́   ̣ ̣ ́ ̣ môt vi tri quan trong trong viêc phat triên t ̣ ́ ̉ ư duy, tinh sang tao cua hoc sinh. Do ́ ́ ̣ ̉ ̣   sự ly thu cua cac bai toan nay nên chung luôn xuât hiên trong cac ki thi hoc sinh ́ ́ ̉ ́ ̀ ́ ̀ ́ ́ ̣ ́ ̀ ̣   ̉ ̉ gioi, thi tuyên sinh vao cac tr ̀ ́ ương Đai hoc va Cao đăng. Trong nôi dung nay, co ̀ ̣ ̣ ̀ ̉ ̣ ̀ ́  ́ ̉ bai toan tinh cac tông liên quan đên sô tô h ̀ ́ ́ ́ ́ ̉ ợp. Khi gặp bài toán thuộc loại này,  học sinh thường rất ngại tìm cách giải, có tâm lí sợ và rất dễ có tư tưởng bỏ  qua bài toán. Bằng kinh nghiệm giảng dạy, tôi rút ra được một số  nguyên  nhân sau đây dẫn đến các em học sinh có tâm lí sợ  các bài toán về  tinh cac ́ ́  ̉ tông liên quan đên sô tô h ́ ́ ̉ ợp: ­ Vi th ̀ ơi l̀ ượng danh cho nôi dung nay qua it, nên hoc sinh chi m ̀ ̣ ̀ ́́ ̣ ̉ ơi đ ́ ược lam ̀   quen vơi môt sô bai toan  ́ ̣ ́ ̀ ́ ở mức đô đ ̣ ơn gian. ̉ ́ ̀ ̣ ­ Cac tai liêu viêt vê tô h ́ ̀ ̉ ợp trinh bay nhiêu cach giai bai toan nay, trong đo co ̀ ̀ ̀ ́ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ́  cach kêt h ́ ́ ợp kiên th ́ ức tô h ̉ ợp vơi đao ham hoăc tich phân. Điêu đo tao ra s ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̣ ự  ́ ̣ kho khăn nhât đinh cho hoc sinh vi li do kiên th ́ ̣ ̀ ́ ́ ức vê tô h ̀ ̉ ợp được hoc  ̣ ở hoc ki ̣ ̀  ̀ ̣ I, con đao ham đ ̀ ược trinh bay  ̀ ̀ ở cuôi hoc ki II cua l ́ ̣ ̀ ̉ ơp 11, tich phân đ ́ ́ ược hoc̣   ở cuôi ch ́ ương trinh l ̀ ơp 12. ́ ­ Hệ thống bài tập minh hoạ cho mỗi phương pháp tinh cac tông liên quan đên ́ ́ ̉ ́  ́ ̉ ợp chưa phong phú, chưa đưa các em tới nhiều tình huống.  sô tô h ­ Các bài tập mà các em được tiếp cận chưa phản ánh được bản chất và dấu  hiệu của mỗi phương pháp tinh cac tông liên quan đên sô tô h ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp.  ­ Khi dạy học sinh tìm lời giải bài toán tinh cac tông liên quan đên sô tô h ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp,  các thầy cô giáo chưa hướng dẫn học sinh hoạt động một cách tích cực, chưa   phát huy được tính tự giác, năng lực sáng tạo của học sinh.           Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học toán ở  trường trung học phổ  thông chủ  yếu theo hướng phát huy cao độ  nỗ  lực cá   nhân học sinh, cá nhân hoá việc dạy học, tích cực hoá hoạt động học tập của   học sinh. Một trong những hoạt động quan trọng của học sinh trong quá trình   giải toán đó là hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động phân loại các bài  toán, hoạt động tìm tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán nhằm nắm vững các khái  niệm, các tính chất, các phương pháp, các thuật toán, cac công th ́ ưc.           ́ ́ ̀ ̣           Vân đê đăt ra  ở đây la nêu chi dung kiên th ̀ ́ ̉ ̀ ́ ức tô h ̉ ợp thuân tuy thi co giai ̀ ́ ̀ ́ ̉  được cac bai toan tinh cac tông liên quan đên sô tô h ́ ̀ ́ ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp không. Sau nhiêu trăn ̀   trở, tim toi, tôi đa co câu tra l ̀ ̀ ̃ ́ ̉ ơi: Co môt công th ̀ ́ ̣ ức đơn gian liên quan đên sô tô ̉ ́ ́ ̉  hợp co thê giup ta giai đ ́ ̉ ́ ̉ ược loai toan nay khi kêt h ̣ ́ ̀ ́ ợp no v ́ ơi nhi th ́ ̣ ưc Niu­t ́ ơn,   ́ ̉ ́ co thê vi von công th ưc nay giông nh ́ ̀ ́ ư  môt “bao bôi” cua ng ̣ ̉ ́ ̉ ười giai toan tô ̉ ́ ̉  hợp. No se đ ́ ̃ ược đê câp trong phân 2, muc I.3. Đê giup hoc sinh vân dung công ̀ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ ̣ ̣ ̣   thưc nay môt cach linh hoat, giao viên cân giup cac em nhân dang đ ́ ̀ ̣ ́ ̣ ́ ̀ ́ ́ ̣ ̣ ược những  bai toan nao dung đ ̀ ́ ̀ ̀ ược công thưc đo. Cân giup cac em nhin nhân, biên đôi ́ ́ ̀ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̉  công thưc đo d ́ ́ ươi nhiêu hinh th ́ ̀ ̀ ưc khac nhau đê giai đ ́ ́ ̉ ̉ ược nhiêu bai toan khò ̀ ́ ́  1
  2. hơn, la h ̣ ơn. Cân co môt hê thông bai tâp phong phu, phân loai đê hoc sinh ̀ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ̣   được ren luyên ky năng. T ̀ ̣ ̃ ừ đo gop phân phát tri ́ ́ ̀ ển cho hoc sinh năng l ̣ ực tìm  tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán tinh cac tông liên quan đên sô tô h ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp, bởi vì   mục đích của việc giải toán không chỉ nắm vững từng kiểu bài toán, thậm chí  từng bài tập mà rèn luyện khả năng giải bài tập nói chung để có thể ứng phó   với những tình huống mới mẻ, không phụ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn.                          Vì những lí do trên,   tôi chọn đề  tài nghiên cứu của sáng kiến kinh  nghiệm như sau: Dung kiên th ̀ ́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy ̀ ́  hương dân hoc sinh giai bai  ́ ̃ ̣ ̉ ̀ toan tinh tông cac sô tô h ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp. 2. Muc đich nghiên c ̣ ́ ưu ́           Tìm hiểu nhu câu va nh ̀ ̀ ưng khó khăn c ̃ ủa học sinh khi cac bai toán tinh ́ ̀ ́   ̉ ́ ́ ổ hợp. Từ đó nghiên cứu, đề xuất phương phap kh tông cac sô t ́ ắc phục nhưng ̃   kho khăn đo, góp ph ́ ́ ần nâng cao chất lượng dạy va h ̀ ọc môn toán trong trường  trung học phổ thông. 3. Đôi t ́ ượng nghiên cưu ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp dung kiên th           Cac bai toan tinh tông cac sô tô h ́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ức tô h ̉ ợp thuân tuy đê ̀ ́ ̉  ̉ giai quyêt. ́ 4. Phương phap nghiên c ́ ưu ́ a) Phương phap nghiên c ́ ứu xây dựng cơ  sở  ly thuyêt: Nghiên c ́ ́ ứu sách giáo  khoa, những tài liệu về phương pháp dạy học toán, các tài liệu về tâm lý học,  giáo dục học, các công trình nghiên cứu có liên quan đến đề tài của một số tác   giả, các sách tham khảo… b) Phương phap đi ́ ều tra khao sat th ̉ ́ ực tê: Ti ́ ến hành tìm hiểu về  các số  liệu  thông qua giáo viên toán  ở  các trường phổ  thông, qua bài kiểm tra học sinh   trương THPT Vinh Lôc. ̀ ̃ ̣ c) Phương phap thông kê, x ́ ́ ử  ly sô liêu: Ti ́ ́ ̣ ến hành day th ̣ ực nghiệm một số  ̉ ở trường THPT Vinh Lôc. buôi  ̃ ̣ PHÂN 2: NÔI DUNG SANG KIÊN KINH NGHIÊM ̀ ̣ ́ ́ ̣ I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SANG KIÊN KINH NGHIÊM ́ ́ ̣ 1. Công thức nhị thức Niu­tơn 2
  3. n (a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + ...Cnk a n − k b k + ... + Cnnb n = Cnk a n −k b k k =0 2. Môt sô khai triên va công th ̣ ́ ̉ ̀ ưc suy ra t ́ ư công th ̀ ức nhi th ̣ ưc Niu­t ́ ơn            (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + ... + Cn x n 0 1 2 2 3 3 n n            (1 − x)n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x 2 − Cn3 x3 + ... + (−1) n Cnn x n            (1 + x)2 n = C20n + C21n x + C22n x 2 + C23n x 3 + ... + C22nn x 2 n            (1 − x)2 n = C20n − C21n x + C22n x 2 − C23n x3 + ... − C22nn −1 x 2 n −1 + C22nn x 2 n            (1 + x)2 n +1 = C20n +1 + C21n+1 x + C22n +1 x 2 + C23n+1 x3 + ... + C22nn++11 x 2 n +1            (1 − x)2 n +1 = C20n +1 − C21n +1 x + C22n +1 x 2 − C23n+1 x3 + ... + C22nn+1 x 2 n − C22nn++11 x 2 n +1 (1 + x) 2 n + (1 − x) 2n            = C20n + C22n x 2 + C24n x 4 + ... + C22nn x 2 n 2 (1 + x) − (1 − x) 2 n 2n            = C21n x + C23n x3 + ... + C22nn −1 x 2 n −1 2 2 n +1 (1 + x) + (1 − x) 2 n +1            = C20n +1 + C22n +1 x 2 + ... + C22nn+1 x 2 n 2 (1 + x) 2 n +1 − (1 − x) 2 n +1            = C21n +1 x + C23n +1 x3 + ... + C22nn++11 x 2 n +1 2            Cn + Cn + Cn2 + Cn3 + ... + Cnn = 2n 0 1            Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + ... + (−1) n Cnn = 0            Cn0 + Cn2 + Cn4 + ... = Cn1 + Cn3 + Cn5 + ... = 2n −1 . 3. Công thức quan trong dung trong đê tai ̣ ̀ ̀ ̀ k k 1            kCn nCn 1     ( n γ ﾥ * , n 2; k = 1, 2,..., n)             (I)            (k 1)Cnk 11 (n 1)Cnk     ( n �ﾥ * ; k = 0,1,..., n)      (II) 1 1            C nk C nk 11         ( n �ﾥ * ; k = 0,1,..., n)      (III) k 1 n 1 Chu y ́ ́.  ­ Cac công th ́ ưc nay t ́ ̀ ương đương nhau, chi khac nhau vê hinh th ̉ ́ ̀ ̀ ức viêt. Đê dê ́ ̉ ̃  nhơ, chung ta chi cân nh ́ ́ ̉ ̀ ớ công thức (I). Tuy viêc ap dung vao bai toan cu thê, ̀ ̣ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ̣ ̉  ́ ̉ ừ công thưc (I) biên đôi thanh cac công th co thê t ́ ́ ̉ ̀ ́ ức (II), (III) đê s ̉ ử  dung cho ̣   phu h ̀ ợp. ­ Công thưc (I) đ́ ược chứng minh hêt s ́ ức đơn gian nh ̉ ư sau Vơi  ́ n γ ﾥ , n 2  va ̀ k = 1, 2,..., n  ta co ́ * n! k .n.(n − 1)! (n − 1)! kCnk = k . = = n. = nCnk−−11   (đpcm) k !(n − k )! k (k − 1)!(n − k )! (k − 1)!(n − k )! Trong công thưc (I), thay  ́ n  bởi  n + 1  va thay  ̀ k  bởi  k + 1  ta thu được công thưc ́  (II). Công   thưć   (III)   có  được   từ  công   thức   (II)   băng ́   chia   cả   hai   vế  cho   ̀   cach (n + 1)(k + 1) . 3
  4. 4. Dấu hiệu nhận biết dùng cac công th ́ ưc (I), (II), (III) đê đ ́ ̉ ưa môt tông ̣ ̉   liên quan đên sô tô h ́ ́ ̉ ợp vê môt tông quen thuôc ̀ ̣ ̉ ̣           Sử dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III) cho chung ta m ́ ́ ột phương pháp hay  và rất có hiệu quả  để  giai bai toan tinh tông liên quan đên sô tô h ̉ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp. Các bài  ̉ toán tinh tông liên quan đên sô tô h ́ ́ ́ ̉ ợp có thể áp dụng được phương pháp này,  nếu như sô hang tông quat cua các tông đó co thê biên đôi thanh biêu th ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ ́ ̉ ́ ̉ ̀ ̉ ức ở vế  ́ ̉ ̣ trai cua môt trong cac công th ́ ưc (I), (II), (III). Cac b ́ ́ ươc th ́ ực hiên tinh tông ̣ ́ ̉   liên quan đên cac sô tô h ́ ́ ́ ̉ ợp băng cach dung cac công th ̀ ́ ̀ ́ ức (I), (II), (III): ́ ̣ ́ ̣ ­ Xac đinh sô hang tông quat cua tông cân tinh.̉ ́ ̉ ̉ ̀ ́ ̉ ́ ̣ ̉ ­ Biên đôi sô hang tông quat đo đê lam xuât hiên biêu th ́ ́ ́ ̉ ̀ ́ ̣ ̉ ức  ở  vê trai cua môt ́ ́ ̉ ̣  trong cac công th́ ưc (I), (II), (III). ́ ­ Dung cac công th ̀ ́ ức (I), (II), (III) đưa tông đa cho vê cac tông quen thuôc. ̉ ̃ ̀ ́ ̉ ̣ Chu y ́ ́ ́ ̣ ́ ́. Chung ta cân chu y đên đăc điêm nôi bât cua cac công th ́ ̀ ̉ ̉ ̣ ̉ ́ ức (I), (II), (III)   ̉ ́ ững đinh h đê co nh ̣ ướng quan trong trong giai toan. ̣ ̉ ́ Trong cac công th ́ ưc (I), (II), (III),  ́ k  thay đôi con  ̉ ̀ n  cô đinh. Nh ́ ̣ ư  vây, khi ap ̣ ́  ̣ dung cac công th ́ ưc nay, ta co muc đich biên đôi đai l ́ ̀ ́ ̣ ́ ́ ̉ ̣ ượng thay đôi  ̉ k  vê đai ̀ ̣  lượng cô đinh  ́ ̣ n . Tư tưởng chung nay giup ta biên đôi tông cân tinh thanh môt ̀ ́ ́ ̉ ̉ ̀ ́ ̀ ̣  ̉ tông quen thuôc.              ̣ II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ           Toán học là môn học mà khi dạy bao giờ cũng gắn liền giữa lí thuyết   với bài tập áp dụng. Trong chương trình sách giáo khoa, kiến thức và bài tập   áp dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III) h ́ ầu như không có. Vì thế các em học sinh   rất lúng túng và có tâm lí lo sợ khi gặp dạng toán tinh tông co liên quan đên sô ́ ̉ ́ ́ ́  tô h ̉ ợp, dẫn đến việc bỏ  qua bài toán nay th ̀ ường xuất hiện trong các kỳ  thi   vào Đại học và Cao đẳng, thi học sinh giỏi.           Sử dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III) là m ́ ột phương pháp hay và rất có   hiệu quả để giai bai toán tinh tông co liên quan đên sô tô h ̉ ̀ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp, tạo nên sự  độc  đáo, ngắn gọn và sáng tạo trong lời giải của bài toán. Qua thực tế dạy học, tôi  thấy rằng học sinh đang còn thiếu kinh nghiệm trong việc áp dụng cac công ́   thưc (I), (II), (III) đ ́ ể giải toán nói chung và giải các bai toán tinh tông co liên ̀ ́ ̉ ́   quan đên sô tô h ́ ́ ̉ ợp nói riêng.           Khi sử dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III)  gi ́ ải các bài toán tinh tông có ̉ ́  liên quan đên sô tô h ́ ́ ̉ ợp học sinh còn gặp nhiều khó khăn như sau: ­ Đứng trước những tông co liên quan đên sô tô h ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp nào có thể  lựa chọn sử  dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III) đ ́ ể  giải và nếu dùng được cac công th ́ ức đó  thì băt đâu t ́ ̀ ừ đâu đê biên đôi đ ̉ ́ ̉ ược tông đo. Khó khăn đó n̉ ́ ảy sinh do hệ thống  các bài tập trong sách giáo khoa chưa đa dạng, phong phú để khắc sâu phương  pháp sử dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III) trong viêc gi ́ ̣ ải các bài toán tinh tông ́ ̉   co liên quan đên sô tô h ́ ́ ́ ̉ ợp. 4
  5. ­ Việc định hướng đúng, xác định đúng đường lối để giải cũng như chọn lựa   đúng phương pháp và công cụ  để  giải là một yêu cầu phát triển trí tuệ  cho  học sinh.            Việc rèn luyện giải cac bai toán tinh tông co liên quan đên sô tô h ́ ̀ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp   bằng phương pháp sử dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III) s ́ ẽ góp phần phát triển  cho học sinh năng lực tìm tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán, bởi vì mục đích   của việc giải toán không chỉ nắm vững từng kiểu bài toán, thậm chí từng bài   tập mà rèn luyện khả  năng giải bài tập nói chung để  có thể   ứng phó với  những tình huống mới mẻ, không phụ thuộc vào khuôn mẫu có sẵn.           Các tài liệu viết về phương pháp sử  dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III) ́   chưa nhiều, chưa đi sâu nghiên cứu các bài toán tinh tông co liên quan đên số ̉ ́ ́ ́  ̉ ợp giai đ tô h ̉ ược bằng phương pháp sử  dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III) nên ́   chưa thực sự thuận lợi cho thầy và trò trong việc dạy và học về loai toan nay, ̣ ́ ̀   chưa xây dựng được hệ  thống các bài tập đa dạng, phong phú để  khắc sâu   phương pháp sử  dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III), đ ́ ể  học sinh có cơ  hội rèn  luyện kĩ năng giải toán, tạo nên sự nhạy bén trong nhiều tình huống học tập.  III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN            Việc nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ  cấp bằng cách ghép   thành những nhóm bài toán giải được bằng cùng một phương pháp là một  việc làm hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết và bài tập sách  giáo khoa môn toán phổ thông và một số sách toán khác, người giáo viên bằng   kiến thức và kinh nghiệm của mình có thể  sử  dụng các phương pháp phân  loại các bài toán, vạch ra sự  khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu để  giúp ích cho học sinh khi giải toán.           Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tôi đã áp dụng đề tài tại   các lớp 12A2,  12A3  trong hai năm học 2014­2015, 2015­2016. Khi được tiếp  cận với chuyên đề  này, học sinh học tập rất hứng thú và có hiệu quả. Bằng   cách kiểm tra, đối chứng tôi nhận thấy chuyên đề  này đã góp phần nâng cao  kĩ năng giải toán cho các em học sinh, giúp các em nhạy bén trong việc sử  dụng cac công th ́ ưc (I), (II), (III). ́ ̉           Đê thây đ ́ ược vai tro quan trong cua cac công th ̀ ̣ ̉ ́ ức trên, sau đây tôi xin   trình bày một số  ví dụ  vận dụng. Cac vi du nay đ ́ ́ ̣ ̀ ược trich t ́ ừ cac đê thi Đai ́ ̀ ̣  ̣ ́ ̣ hoc (vi du 7, 9, 17), thi th ử đai hoc, thi hoc sinh gioi va đêu đ ̣ ̣ ̣ ̉ ̀ ̀ ược giai chi tiêt, ̉ ́  kem theo nh ̀ ưng phân tich va nhân xet đê hoc sinh thây đ ̃ ́ ̀ ̣ ́ ̉ ̣ ́ ược ứng dung rông rai, ̣ ̣ ̃  ́ ̣ ̉ cai hay, cai đep cua cac công th ́ ́ ức (I), (II), (III). Ví dụ 1. Tinh tông ́ ̉ S = 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + (n − 1)Cnn −1 + nCnn . Lơi giai. ̀ ̉  Tông cân tinh hêt s ̉ ̀ ́ ́ ức quen thuôc. Sau đây tôi xin đ ̣ ưa ra 3 cach giai  ́ ̉ k −1 bai toan nay, trong đo co cach giai s ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ̉ ử dung công th ̣ ức  kCn = nCn −1 . Tư đo co thê  k ̀ ́ ́ ̉ ̣ binh luân vê  ̀ ̀ưu nhược điêm cua t ̉ ̉ ừng cach. ́ 5
  6. Cach 1 ́ ̣ ́ . Sô hang tông quat cua tông  ̉ ́ ̉ ̉ S  la ̀ kCnk , vơi  ́ k = 1, 2,..., n . ́ ̣ ̉ Sô hang tông quat nay lam ta nh ́ ̀ ̀ ớ đên công th ́ ức  k −1                   kCn = nCn−1 (n γ ﾥ , n 2; k = 1, 2,..., n) . k * ́ ̣ Ap dung công th ưc nay, ta biên đôi đ ́ ̀ ́ ̉ ược tông  ̉ S  như sau     S = 1Cn + 2Cn + 3Cn + ... + (n − 1)Cn + nCn = n ( Cn0−1 + Cn1−1 + Cn2−1 + ... + Cnn−−11 ) = n.2n −1 . 1 2 3 n −1 n Cach 2. ́  Sử dung công th ̣ ưc ́ Cnk = Cnn−k  vơi  ́ k = 0,1,..., n , ta viêt lai tông đa cho nh ́ ̣ ̉ ̃ ư  sau:     S = nCn0 + (n − 1)Cn1 + (n − 2)Cn2 + ... + 1Cnn −1 . Như vây, ta có ̣     S = 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + (n − 1)Cnn −1 + nCnn     S = nCn0 + (n − 1)Cn1 + (n − 2)Cn2 + ... + 1Cnn −1 ̣ Công theo vê hai đăng th ́ ̉ ưc trên ta đ ́ ược n −1     2S = nCn + nCn + nCn + ... + nCn + nCn 0 1 2 n     � 2S = n.2n Vây  ̣ S = n.2n −1 . Cach 3. Dung đao ham  ́ ̀ ̣ ̀ Ta co    ́ (1 + x) = Cn + Cn x + Cn2 x 2 + Cn3 x 3 + ... + Cnn −1 x n −1 + Cnn x n     (1) n 0 1 ́ ̣ Lây đao ham hai vê cua (1) ta đ ̀ ́ ̉ ược     n(1 + x) = Cn + 2Cn x + 3Cn x + ... + (n − 1)Cnn−1 x n−2 + nCnn x n −1     (2) n −1 1 2 3 2 Trong (2), cho  x = 1  ta được    S = 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + (n − 1)Cnn −1 + nCnn = n.2n −1 . Nhân xet.  ̣ ́ ̣ ­ Viêc dung cach 1 la hêt s ̀ ́ ̀ ́ ức tự  nhiên, tao nên s ̣ ự  đơn gian trong l ̉ ơi giai bai ̀ ̉ ̀  toan. Cach giai nay chi dung cac kiên th ́ ́ ̉ ̀ ̉ ̀ ́ ́ ức tô h ̉ ợp thuân tuy, không mang tinh ki ̀ ́ ́ ̃  ̣ thuât trong biên đôi, tao nên s ́ ̉ ̣ ự nhe nhang, dê hiêu đôi v ̣ ̀ ̃ ̉ ́ ới đa sô hoc sinh. ́ ̣ ­ Hai cach giai con lai phai biêt kêt h ́ ̉ ̀ ̣ ̉ ́ ́ ợp nhiêu kiên th ̀ ́ ức, co nhiêu biên đôi mang ́ ̀ ́ ̉   ̣ tinh ki thuât cao, thâm chi con phai kêt h ́ ̃ ̣ ́ ̀ ̉ ́ ợp vơi đao ham. Vi vây, hai cach giai ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ́ ̉  nay không hê đ ̀ ̀ ơn gian đôi v ̉ ́ ới hoc sinh. ̣ Ví dụ 2. Chưng minh răng   ́ ̀ 2C2 n + 4C24n + 6C26n + ... + 2nC22nn = n.22 n −1 . 2 Lơi giai. ̀ ̉  Goi  ̣ S  la vê trai cua đăng th ̀ ́ ́ ̉ ̉ ức cân ch ̀ ứng minh. ́ ̣ Sô hang tông quat cua  ̉ ́ ̉ S  la ̀ 2kC2 n , k = 1, 2,..., n . 2k ̣ Vân dung công th ̣ ưc  ́ kCnk = nCnk−−11 (n γ ﾥ * , n 2; k = 1, 2,..., n)  ta co ́ 2kC22nk = 2nC22nk−−11 ́ S = 2n ( C21n −1 + C23n −1 + C25n −1 + ... + C22nn−−11 ) = 2n.22 n −2 = n.22 n−1 . Do đo     Vi du 3. ́ ̣  Chưng minh răng   ́ ̀ 1.22 C22n + 2.24 C24n + 3.26 C26n + ... + n.22 n C22nn = n. ( 32 n −1 + 1) . Lơi giai. ̀ ̉  Goi  ̣ S  la vê trai cua đăng th ̀ ́ ́ ̉ ̉ ức cân ch ̀ ứng minh. ́ ̉ ́ ̣ ̉ Ta biên đôi sô hang tông quat cua  ́ ̉ S  như sau:       k .2 C2 n = 2 .2kC2 n = 2 .2nC22nk−−11 , vơi  2k 2k 2 k −1 2k 2 k −1 ́ k = 1, 2,..., n . 6
  7. (1 + 2) 2 n −1 − (1 − 2) 2 n −1 Do đo ́ S = 2n ( C21n −1.21 + C23n−1.23 + ... + C22nn−−11.22 n −1 ) = 2n. = n ( 32 n −1 + 1) . 2 Vi du 4. ́ ̣  Tinh tông   ́ ̉ S = 1.2.C 2 n + 2.3.C 3 n + 3.4.C 4 n + ... + ( n − 1). nC n  vơi  n ́ n ﾥ  va ̀ n > 2 . Lơi giai. ̀ ̉  Sô hang tông quat cua  ́ ̣ ̉ ́ ̉ S  la ̀(k − 1).kCnk , k = 2,3,..., n . Vơi ́ n ﾥ  va ̀ n > 2  va ̀ k = 2,3,..., n  ap dung công th ́ ̣ ́ kCnk = nCnk−−11  hai lân ta co ưc  ̀ ́ k −1 k −1 k −2 (k − 1)kCn = (k − 1)nCn −1 = n( k − 1)Cn −1 = n(n − 1)Cn − 2 . k ́ ̣ Ap dung kêt qua v ́ ̉ ừa co, ta đ ́ ược S = 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + ... + (n − 1).nCnn = n(n − 1) ( Cn0− 2 + Cn1− 2 + Cn2− 2 + ... + Cnn−−22 ) = n(n − 1).2n − 2 . Nhân xeṭ ̉ ̀ ́ ́. Ta hay xem xet cach giai bai toan trên băng cach kêt h ̃ ́ ́ ̀ ́ ́ ợp kiên th ́ ức tổ  hợp vơi đao ham câp hai sau đây.  ́ ̣ ̀ ́ Ta co ́ (1 + x) = Cn + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x 3 + ... + Cnn x n     (1) n 0 ́ ̣ Lây đao ham hai vê cua (1) ta đ ̀ ́ ̉ ược            n(1 + x) = Cn + 2Cn x + 3Cn x + ... + nCnn x n−1     (2) n −1 1 2 3 2 ́ ̣ Lây đao ham hai vê cua (2) ta đ ̀ ́ ̉ ược  n(n − 1)(1 + x) = 1.2Cn + 2.3Cn3 x + 3.4Cn4 x 2 + ... + ( n − 1)nCnn x n −2    (3) n−2 2 Trong (3), cho  x = 1  ta được                   S = 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + ... + (n − 1).nCnn = n(n − 1).2n −2 . ̃ ̀ ơi giai trên mang tinh ki thuât cao va kho đôi v Ro rang l ̀ ̉ ́ ̃ ̣ ̀ ́ ́ ới nhiêu hoc sinh. ̀ ̣ Vi du 5. ́ ̣  Tinh tông   ́ ̉ S = 1.2.3.Cn + 2.3.4.Cn + ... + (n − 2)(n − 1)nCn . 3 4 n Lơi giai. ̀ ̉  Ap dung công th ́ ̣ ́ kCnk = nCnk−−11 nhiêu lân đê biên đôi sô hang tông quat  ưc  ̀ ̀ ̉ ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ cua ̉ S  như sau:    (k − 2)(k − 1)kCnk = (k − 2)(k − 1)nCnk−−11 = n(k − 2)(k − 1)Cnk−−11 = n(k − 2)(n − 1)Cnk−−22    = n(n − 1)(k − 2)Cnk−−22 = n(n − 1)(n − 2)Cnk−−33 . Suy ra      S = n(n − 1)(n − 2) ( Cn0−3 + Cn1−3 + Cn2−3 + ... + Cnn−−33 ) = n(n − 1)(n − 2).2n −3 . Vi du 6. ́ ̣  Tinh tông  ́ ̉                                   S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + ... + n 2Cnn  vơi ́ n ﾥ  va ̀ n > 2 . Lơi giai. ̀ ̉  Xet sô hang tông quat cua tông  ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S  la ̀ k Cn , vơi  2 k ́ k = 2,3, 4,..., n . ́ ̣ ̉ Trong sô hang tông quat nay co biêu th ́ ̀ ́ ̉ ức  kCnk . Tư đo ap dung công th ̀ ́́ ̣ ức  kCnk = nCnk−−11 , ta có    k 2Cnk = k .kCnk = k .nCnk−−11 = n[(k − 1) + 1]Cnk−−11 = n(k − 1)Cnk−−11 + nCnk−−11 = n(n − 1)Cnk−−22 + nCnk−−11 Hoăc:  ̣ k 2Cnk = [k (k − 1) + k ]Cnk = (k − 1)kCnk + kCnk = n(n − 1)Cnk−−22 + nCnk−−11    ́ ̣ Ap dung kêt qua nay va chu y  ́ ̉ ̀ ̀ ́ ́12 Cn1 = nCn0−1 , ta có S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + ... + n 2Cnn = n(n − 1) ( Cn0− 2 + Cn1− 2 + ... + Cnn−−22 ) + n ( Cn0−1 + Cn1−1 + ... + Cnn−−11 ) = n(n − 1).2n − 2 + n.2 n −1 = n( n + 1).2 n −2 . 7
  8. Nhân xet. ̣ ̉ ́  Sau đây la hai cach tinh tông trên băng cach kêt h ̀ ́ ́ ̀ ́ ́ ợp kiên th ́ ức tô h ̉ ợp  vơi đao ham. ́ ̣ ̀ 1) Ta co ́ k Cn = [k (k − 1) + k ]Cnk = (k − 1)kCnk + kCnk  nên 2 k S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + ... + n 2Cnn = ( 1.2.Cn2 + 2.3.Cn3 + 3.4.Cn4 + ... + ( n − 1).nCnn ) + ( 1Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn ) = n(n − 1).2n − 2 + n.2 n −1 = n( n + 1).2 n −2 Cach giai nay s ́ ̉ ̀ ử dung cac tông  ̣ ́ ̉ ở Vi du 1 va Vi du 4. Đây la ki thuât tach tông  ́ ̣ ̀ ́ ̣ ̀ ̃ ̣ ́ ̉ cân tinh thanh hai tông quen thuôc. Nh ̀ ́ ̀ ̉ ̣ ưng ban chât cua cach giai vân la kêt h ̉ ́ ̉ ́ ̉ ̃ ̀ ́ ợp  kiên th́ ức tô h ̉ ợp vơi đao ham nên không hê đ ́ ̣ ̀ ̀ ơn gian đôi v ̉ ́ ới hoc sinh. ̣ 2) Ta co ́(1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + ... + Cn x     (1) n 0 1 2 2 3 3 n n ́ ̣ Lây đao ham hai vê cua (1) ta đ ̀ ́ ̉ ược              n(1 + x) = Cn + 2Cn x + 3Cn x + ... + nCnn x n −1       (2) n −1 1 2 3 2 Nhân hai vê cua (2) v ́ ̉ ơi  ́ x 0  ta được  n −1             nx(1 + x) = Cn x + 2Cn2 x 2 + 3Cn3 x3 + ... + nCnn x n     (3) 1 ́ ̣ Lây đao ham hai vê cua (3) ta đ ̀ ́ ̉ ược  n(1 + x) + n(n − 1) x(1 + x ) = 12 Cn1 + 22 Cn2 x + 32 Cn3 x 2 + ... + n 2Cnn x n−1    (4) n −1 n−2 Trong (4), cho  x = 1  ta được                  S = 12 Cn1 + 22 Cn2 + 32 Cn3 + ... + n2Cnn = n.2n −1 + n(n − 1).2n −2 = n(n + 1).2n −2 . ̉ ̀ ́ Cach giai nay rât kho đôi v ́ ́ ́ ới hoc sinh. ̣ Vi du 7 (ĐH khôi A năm 2005).  ́ ̣ ́ Tim sô nguyên d ̀ ́ ương  n  sao cho  C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + ... + (2n + 1).2 2 n C22nn++11 = 2005      (1) Lơi giai. ̀ ̉  Goi  ̣ S  la vê trai cua PT (1).   ̀ ́ ́ ̉ ́ ̉ S  la ̀(k + 1). ( −2 ) C2kn++11 , k = 0,1,..., 2n . k ́ ̣ ̉ Sô hang tông quat cua  ̣ ̉ ̉ ́ ̣ Đăc điêm cua sô hang tông quat nay lam ta nh ̉ ́ ̀ ̀ ớ đên công th ́ ức k 1 k (k 1)Cn 1 (n 1)Cn    ( n �ﾥ ; k = 0,1,..., n) * ́ ̣ Ap dung công th ưc nay, ta biên đôi sô hang tông quat cua  ́ ̀ ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ ̉ S  như sau    (k + 1). ( −2 ) C2kn++11 = ( −2 ) .(k + 1)C2kn++11 = ( −2 ) .(2n + 1)C2kn = (2n + 1).C2kn ( −2 ) . k k k k Tư đo  ̀ ́ S = C21n +1 − 2.2C22n+1 + 3.2 2 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + ... + (2n + 1).2 2 n C22nn++11 �2n ( ) C 0 −2 + C21n ( −2 ) + C22n ( −2 ) + C23n ( −2 ) + ... + C22nn ( −2 ) � 0 1 2 3 2n = (2n + 1). � � = (2n + 1). ( 1 − 2 ) 2n = 2n + 1 . ̉ Theo gia thiêt ta co  ́ ́ 2n + 1 = 2005 � n = 1002  (thoa man). ̉ ̃ ̣ ́ ̣ ̀ ̀ Vây gia tri cân tim cua  ̉ n  la ̀ n = 1002 . Nhân xet.̣ ́  +) Sau đây la l ̀ ơi giai d ̀ ̉ ựa vao đao ham̀ ̣ ̀ Ta co    ́ (1 + x)2 n +1 = C20n +1 + C21n+1 x + C22n+1 x 2 + C23n+1 x3 + ... + C22nn++11 x 2 n +1 , ∀x ﾥ    (1) ̣ ́ ̉ Đao ham hai vê cua (1) ta co ̀ ́     (2n + 1)(1 + x) = C2 n +1 + 2C2 n +1 x + 3C23n +1 x 2 + ... + (2n + 1)C22nn++11 x 2 n , ∀x ﾥ      (2) 2n 1 2 8
  9. Trong (2), cho  x = −2  ta được     C21n +1 − 2.2C22n +1 + 3.22 C23n +1 − 4.23 C24n +1 + ... + (2n + 1).22 n C22nn++11 = 2n + 1 ̉ Theo gia thiêt ta co   ́ ́ 2n + 1 = 2005 � n = 1002  (thoa man). ̉ ̃ ̣ ̀ ̣ ̉ +) Viêc binh luân vê hai cach giai trên xin danh cho cac ban. ̀ ́ ̀ ́ ̣ Vi du 8. ́ ̣  Tinh tông  ́ ̉ 1 1 1 1 S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn (n ﾥ * ) . 1 2 3 n +1 1 Lơi giai. ̀ ̉  Xet sô hang tông quat cua tông  ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S  la ̀ Cnk , k = 0,1,..., n . k +1 1 1 ́ ̣ Ap dung công th ưc  ́ Cnk = Cnk++11 , ta có k +1 n +1 1 1 2 n +1 − 1 S= n +1 ( n+1 n+1 C 1 + C 2 + ... + C n +1 ) n +1 = n +1 ( 2 n +1 − C n +1 ) 0 = n +1 . Nhân xet. ̣ ́  +) Lơi giai trên co  ̀ ̉ ́ ưu điêm la ngăn gon, dê trinh bay va co h ̉ ̀ ́ ̣ ̃ ̀ ̀ ̀ ́ ương giai “t ́ ̉ ự  nhiên”. Quan trong h ̣ ơn ca la giao viên co thê h ̉ ̀ ́ ́ ̉ ướng dân hoc sinh giai bai toan ̃ ̣ ̉ ̀ ́  ̉ ngay ca khi ch ưa hoc đao ham va tich phân. ̣ ̣ ̀ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ́ ̣ +) Sau đây la cach giai bai toan băng cach dung tich phân đê cac ban xem xet. ́ ́ (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + Cn x + ... + Cn x Ta co   n 0 1 2 2 3 3 n n 1 1 Suy ra:   � ( Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + Cn3 x3 + ... + Cnn x n ) dx (1 + x) dx = � n 0 0 1 (1 + x) n +1 1 2n+1 − 1 ́ (1 + x) dx = = n Ta co:       0 n +1 0 n +1 ̣ Măt khac: ́ 1 � 1 x 2 2 x 3 n x n +1 �1 ( C + C x + C x + C x + ... + C x ) dx = �x + Cn 2 + Cn 3 + ... + Cn n + 1 �0 0 n 1 n 2 n 2 3 3 n n n n 0 � � 1 1 1 = 1 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn 2 3 n +1 1 1 1 2 1 2n +1 − 1 ̣ Vây:     1 + Cn + Cn + ... + Cn = n . 2 3 n +1 n +1 Vi du 9 (ĐH khôi A năm 2007).  ́ ̣ ́ Chưng minh răng ́ ̀ 1 1 1 3 1 22 n − 1 C2 n + C2 n + ... + C22nn −1 = . 2 4 2n 2n + 1 Lơi giai. ̀ ̉  Goi  ̣ S  la vê trai cua đăng th ̀ ́ ́ ̉ ̉ ức đa cho.   ̃ 1 2 k −1 ́ ̣ ̉ ́ ̉ S  la  ̀ Sô hang tông quat cua  C2 n , k = 1, 2,..., n . 2k 1 1 1 1 ́ ̣ Ap dung công thưc  ́ Cnk = Cnk++11 , ta co ́ C22nk −1 = C22nk+1 k +1 n +1 2k 2n + 1 Tư đo ̀ ́ 9
  10. 1 1 1 2 n −1 1    S = C21n + C23n + ... + 2 4 2n C2 n = 2n + 1 ( C22n+1 + C24n+1 + ... + C22nn+1 ) 1 22 n − 1    = ( 2n+1 2n+1 2n+1 � 2n + 1 � C 0 + C 2 + C 4 + ... + C 2 n +1 ) 2n − C 0 � 2 n +1 �= 2n + 1 . Ta co đpcm. ́ Nhân xet. ̣ ́  ́ ̣ +) Cac ban hay xem xet l ̃ ́ ời giai bai toan trên d ̉ ̀ ́ ựa vao tich phân nh ̀ ́ ư sau Ta co ́ (1 + x) = C2 n + C2 n x + C2 n x + ... + C2 n x 2n 0 1 2 2 2n 2n            (1 − x)2 n = C20n − C21n x + C22n x 2 − ... + C22nn x 2 n � (1 + x) 2 n − (1 − x) 2 n = 2 ( C21n x + C23n x3 + C25n x 5 + ... + C22nn −1 x 2 n −1 ) 1 1 (1 + x) 2 n − (1 − x) 2 n �� 2 dx = � ( C21n x + C23n x 3 + C25n x 5 + ... + C22nn −1 x 2 n −1 ) dx 0 0 1 (1 + x) 2 n − (1 − x) 2 n (1 + x) 2n +1 + (1 − x) 2n +1 1 2 2 n − 1 dx = =       (1) 0 2 2(2n + 1) 0 2n + 1 1 � 1 x2 3 x 4 5 x 6 2 n −1 x 2n �1 ( 2n 2n C 1 x + C 3 3 x + C 5 5 2n x + ... + C 2 n −1 2 n −1 2n x ) � 2n 2 2n 4 2n 6 dx = C + C . + C . + ... + C 2n . � 2n �0 0 � 1 1 1 1 = C21n + C23n + C25n + ... + C22nn −1      (2) 2 4 6 2n Tư (1) va (2) ta co điêu phai ch ̀ ̀ ́ ̀ ̉ ứng minh. ̉ ựa vao tich phân kha ph +) Ta thây cach giai d ́ ́ ̀ ́ ́ ức tap. L ̣ ời giai chi d ̉ ̉ ựa vao cac  ̀ ́ công thưc vê tô h ́ ̀ ̉ ợp thuân tuy ngăn gon h ̀ ́ ́ ̣ ơn va tiêp cân t ̀ ́ ̣ ự nhiên hơn. 1 1 1 Vi du 10.   ́ ̣ ́ ̉ Tinh tông   S = C20n + C22n + C24n + ... + C22nn . 3 5 2n + 1 1 Lơi giai. ̀ ̉  Sô hang tông quat cua tông  ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S  la ̀ C22nk , k = 0,1,..., n . 2k + 1 1 1 ́ ̣ Ap dung công thưc   ́ Cnk = Cnk++11 , ta biên đôi sô hang tông quat cua  ́ ̉ ́ ̣ ̉ ́ ̉ S  như  k +1 n +1 1 1 sau:      C22nk = C22nk++11 . 2k + 1 2n + 1 1 22 n Suy ra   S = 2n + 1 ( C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + ... + C22nn++11 ) = 2n + 1 . 1 1 1 1 Vi du 11. ́ ̣  Tinh tông   ́ ̉ S = C20n + C22n + C24n + ... + C22nn . 2 4 6 2n + 2 1 Lơi giai. ̀ ̉  Sô hang tông quat cua tông  ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S  la ̀ C22nk , k = 0,1,..., n . 2k + 2 1 1 ́ ̣ Ap dung công thưc   ́ Cnk = Cnk++11 , ta có k +1 n +1 1 2k + 1 1 � 1 � 1 1 1 1 C22nk = . C22nk = � 1− �. C22nk++11 = C22nk++11 − . C22nk++11 2k + 2 2k + 2 2k + 1 � 2k + 2 �2n + 1 2n + 1 2n + 1 2 k + 2 10
  11. 1 1 1 = C22nk++11 − . C22nk++22 . 2n + 1 2 n + 1 2n + 2 1 1 Suy ra   S = 2n + 1 ( C21n +1 + C23n +1 + ... + C22nn++11 ) − (2n + 1)(2n + 2) ( C22n + 2 + C24n + 2 + ... + C22nn++22 ) 2 n +1 2 n +1 2 2n 2 −1 n.2 + 1 = − = . 2n + 1 (2n + 1)(2n + 2) (2n + 1)(2n + 2) 22 1 2 4 3 2 6 5 2 2 n 2 n −1 Vi du 12. ́ ̣  Tinh tông   ́ ̉ S= C2 n + C2 n + C2 n + ... + C2 n . 2 4 6 2n 22 k 2 k −1 Lơi giai. ̀ ̉  Sô hang tông quat cua tông  ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S  la ̀ C2 n , k = 1, 2,..., n . 2k 1 1 ́ ̣ Ap dung công thưc   ́ Cnk = Cnk++11 , ta có k +1 n +1 2k 2 1 1 C22nk −1 = 22 k . C22nk −1 = 22 k. C22nk+1 2k 2k 2n + 1 Suy ra  1 1 � (1 + 2) 2 n +1 + (1 − 2) 2 n+1 � 3(32 n − 1) S= 2n + 1 ( 2n+1 C 2 .2 2 + C 4 2 n +1 .2 4 + ... + C 2n 2 n +1 .2 2n ) 2n + 1 � = − C 0 2 n +1 �= . � 2 � 2(2n + 1) Vi du 13. ́ ̣  Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1 0 1 1 1 2 1 3 ( −1) n n 1 Cn − C n + C n − C n + . . . + Cn = . 2 3 4 5 n+2 156 Lơi giai. ̀ ̉  Goi  ̣ S  la vê trai cua PT đa cho.  ̀ ́ ́ ̉ ̃ (−1) k k ́ ̣ ̉ Sô hang tông quat cua  ́ ̉ S  la ̀ Cn , k = 0,1,..., n . k+2 1 1 ́ ̣ Ap dung công th ưc   ́ Cnk = Cnk++11  nhiêu lân ta co ̀ ̀ ́ k +1 n +1 (−1) k k k +1 1 � 1 �1 Cn = ( −1) k . Cnk = (−1) k � 1− � . Cnk++11 k+2 k + 2 k +1 � k + 2 �n + 1 1 1 1 1 1 1 = ( −1) k Cnk++11 − ( −1) k . Cnk++11 = ( −1) k Cnk++11 − (−1) k Cnk++22 n +1 n +1 k+2 n +1 n +1 n + 2 1 1 1 1 (−1) nn Tư đo  ̀ ́ S = Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + . . . + Cn 2 3 4 5 n+2 1 1 = Cn1+1 − Cn2+1 + Cn3+1 − Cn4+1 + ... + (−1) n Cnn++11 � � � �− �Cn2+1 − Cn3+1 + Cn4+1 − Cn5+1 + ... + (−1) n Cnn++22 � n +1 (n + 1)(n + 2) � � 1 1 1 1 1 1 1 =− n +1 ( −Cn0+1 − )( n + 1)( n + 2) ( −Cn0+ 2 + Cn1+ 2 =) − n + 1 ( n + 1)( n + 2) (n + 1) = − = n + 1 n + 2 ( n + 1)( n + 2) 1 1 Từ đó ta có  (n + 1)(n + 2) = 156 � (n + 1)(n + 2) = 12.13 � n = 11  (vì  n N* ). Nhân xet.  ̣ ́ Mơi cac ban xem xet l ̀ ́ ̣ ́ ơi giai bai toan trên băng cach kêt h ̀ ̉ ̀ ́ ̀ ́ ́ ợp kiên ́  thưc tô h ́ ̉ ợp vơi tich phân ́ ́ Với mọi  x R  và mọi số nguyên dương n, theo nhị thức Niu­tơn ta có ( ) Cn0 x − Cn1 x 2 + . . . + ( −1) n Cnn x n +1 = Cn0 − Cn1 x + . . . + ( −1) n Cnn x n x = (1 − x) n x. 11
  12. 1 1 Suy ra  � ( ) Cn0 x − Cn1 x 2 + . . . + ( −1) n Cnn x n +1 dx = � (1 − x) n xdx.   0 0 n 1 1 1 0 1 1 ( −1) n 1 1 1 Hay   2 Cn − 3 Cn + . . . + n + 2 C n = � (1 − x) n dx − � (1 − x) n +1dx = − = ,  0 0 n + 1 n + 2 ( n + 1)( n + 2) với mọi  n N*. 1 2 1 Từ đó ta có  (n + 1)(n + 2) = 156 � n + 3n − 154 = 0 � n = 11  (vì  n N* ). −Cn1 2Cn2 3Cn3 (−1) n nCnn Vi du 14. ́ ̣  Tinh tông    ́ ̉ S= + − + ... + .   2.3 3.4 4.5 (n + 1)(n + 2) (−1) k kCnk Lơi giai.  ̀ ̉ Sô hang tông quat cua tông  ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S  la ̀  , k = 1, 2,..., n    (k + 1)(k + 2) 1 1 ́ ̣ Ap dung công th ưc ́ Cnk = Cnk++11 , ta có k +1 n +1 (−1) k kCnk 1 1 1 1 = (−1) k k . Cnk = (−1) k k . . Cnk++11 (k + 1)(k + 2) k + 2 k +1 k + 2 n +1 1 1 1 1 = (−1) k k . Cnk++11 = (−1) k k . Cnk++22 n +1 k+2 n +1 n+2 1 1 1 = (−1) k k .Cnk++22 = (−1)k [( k + 2) − 2].Cnk++22 n +1 n + 2 ( n + 1)(n + 2) 1 = (−1) k (k + 2)Cnk++22 − 2(−1) k Cnk++22 � � � � (n + 1)(n + 2) 1 = (−1) k (n + 2)Cnk++11 − 2( −1) k Cnk++22 � � � � (n + 1)( n + 2) Tư đo ̀ ́  1 S= � ( ) ( (n + 2) −Cn2+1 + Cn3+1 − Cn4+1 + ... + (−1) n Cnn++11 − 2 −Cn3+ 2 + Cn4+ 2 − Cn5+ 2 + ... + (−1) n Cnn++22 � (n + 1)(n + 2) � �) − (n + 2) � 0 = (n + 1)(n + 2) ( � Cn +1 − Cn1+1 + Cn2+1 − Cn3+1 + Cn4+1 + ... + (− 1) n+1 Cnn++11 ) − ( Cn0+1 − Cn1+1 ) � � 2 − (n + 1)( n + 2) ( � � Cn0+ 2 − Cn1+ 2 + Cn2+ 2 − Cn3+ 2 + Cn4+ 2 − Cn5+ 2 + ... + (−1) n Cnn++22 ) − ( Cn0+ 2 − Cn1+ 2 + Cn2+ 2 ) � � 1 � � � (n + 2)( n + 1) � �� = −(n + 2) � � (1 � − 1) n +1 − ( 1 − n − 1) �− � �2 (1 − 1) n+ 2 − 1 � − n − 2 + � �� (n + 1)( n + 2) � � � 2 � � 1 −n = [ −(n + 2)n + (n + 1)n] = . (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) Nhân xet ̣ ́.  ̉ +) Đây la bai toan rât kho. Cach giai chi dung kiên th ̀ ̀ ́ ́ ́ ́ ̉ ̀ ́ ức tô h ̉ ợp thuân tuy phân ̀ ́ ̀  ̉ nao giam b ̀ ơt đô kho đo, tao ra s ́ ̣ ́ ́ ̣ ự tự nhiên trong đinh h ̣ ướng vê ph ̀ ương phap ́  ̉ giai quyêt bai toan. ́ ̀ ́ +) Mơi cac ban xem xet l ̀ ́ ̣ ́ ơi giai bai toan co s ̀ ̉ ̀ ́ ́ ử dung kiên th ̣ ́ ức tô h̉ ợp kêt h ́ ợp  vơi đao ham va tich phân ́ ̣ ̀ ̀ ́ Ta co ́ (1 − x) = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x 2 − Cn3 x3 + Cn4 x 4 − ... + (−1) n Cnn x n   (1) n 12
  13. ́ ̣ ́ ̉ Lây đao ham hai vê cua (1) đ ̀ ược −n(1 − x) n −1 = −Cn1 + 2Cn2 x − 3Cn3 x 2 + 4Cn4 x3 − ... + (−1) n nCnn x n −1   � −nx(1 − x ) n −1 = −Cn1 x + 2Cn2 x 2 − 3Cn3 x 3 + 4Cn4 x 4 − ... + (−1) n nCnn x n −nx (1 − x) n −1 dx = � �� � �−Cn1 x + 2Cn2 x 2 − 3Cn3 x 3 + 4Cn4 x 4 − ... + (−1) n nCnn x n � dx � � n� � �(1 − x) n − (1 − x)n −1 � �dx = � � �−Cn1 x + 2Cn2 x 2 − 3Cn3 x 3 + 4Cn4 x 4 − ... + (−1) n nCnn x n � dx � �−(1 − x) n +1 (1 − x) n � −Cn1 2 2Cn2 3 3Cn3 4 4Cn4 5 ( −1) n nCnn n +1 � n� + �= x + x − x + x − ... + x + C   (2) � n + 1 n � 2 3 4 5 n + 1 ́ ̣ Ta xac đinh hăng sô C băng cach trong (2) cho  ̀ ́ ̀ ́ x = 0 , ta được  �1 1 � 1 n� − �= C � C = �n n + 1 � n +1 ̣ ́ ̉ Lây tich phân trên đoan [0; 1] hai vê cua (2) ta đ ́ ́ ược 1 1 −(1 − x ) n +1 (1 − x) n � � −Cn1 2 2Cn2 3 3Cn3 4 4Cn4 5 � ( −1) n nCnn n +1 1 � � 0 n � � n +1 + n � �dx = � � 0 � 2 x + 3 x − 4 x + 5 x − ... + n +1 x + dx � n + 1� Hay:  � (1 − x) n + 2 (1 − x)n +1 �1 �−Cn1 3 2Cn2 4 3Cn3 5 4Cn4 6 (−1) n nCnn n + 2 1 �1 n� − �0 = � x + x − x + x − ... + x + x� (n + 1)( n + 2) n( n + 1) � �2.3 � 3.4 4.5 5.6 ( n + 1)( n + 2) n + 1 �0 � 1 1 � −Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 ( −1) n nCnn 1 � n� − �= + − + − ... + + �n(n + 1) ( n + 1)(n + 2) � 2.3 3.4 4.5 5.6 ( n + 1)( n + 2) n + 1 −Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 (−1) n nCnn −n � + − + − ... + = .  2.3 3.4 4.5 5.6 ( n + 1)( n + 2) ( n + 1)( n + 2) ̉ ̀ ́ ́ ́ ới hoc sinh. Cach giai nay rât kho đôi v ́ ̣ 1 0 1 1 1 Vi du 15. ́ ̣  Tinh tông   ́ ̉ S= Cn + Cn + ... + Cnn . 1.2 2.3 ( n + 1).(n + 2) 1 1 Lơi giai. ̀ ̉  Ap dung công th ́ ̣ ưc  ́ Cnk = Cnk++11  hai lân ta biên đôi sô hang tông  ̀ ́ ̉ ́ ̣ ̉ k +1 n +1 ́ ̉ S  là quat cua  1 1 �1 � 1 1 1 �1 � 1 1   Cnk = . � Cnk �= . Cnk++11 = .� Cnk++11 �= . Cnk++22 . (k + 1).( k + 2) k + 2 �k + 1 � k + 2 n + 1 n + 1 �k + 2 � n +1 n + 2 Vâỵ   1 1 2n + 2 − n − 3 S= (n + 1)( n + 2) ( n+2 n +2 C 2 + C 3 + ... + C n+2 ) n+2 = (n + 1)(n + 2) ( 2 n+2 − C 0 n+2 − C n+2 ) 1 = (n + 1)(n + 2) . 1 1 1 Vi du 16. ́ ̣  Tinh tông   ́ ̉ S= Cn0 + Cn1 + ... + Cnn . 1.2.3 2.3.4 ( n + 1).(n + 2)( n + 3) 1 Lơi giai. ̀ ̉  Sô hang tông quat cua  ́ ̣ ̉ ́ ̉ S  la ̀ Cnk , k = 0,1,..., n . (k + 1)(k + 2)(k + 3) 13
  14. 1 1 ́ ̣ Ap dung công thưc  ́ Cnk = Cnk++11  ba  lân ta co ̀ ́  k +1 n +1 1 1 1 1 1 1 1 1 Cnk = . Cnk = . Cnk++11 = . . Cnk++11 (k + 1)(k + 2)( k + 3) (k + 2)( k + 3) k + 1 ( k + 2)( k + 3) n + 1 n +1 k + 3 k + 2 1 1 1 1 1 1 = . . Cnk++22 = . . Cnk++33 .  n +1 n + 2 k + 3 n +1 n + 2 n + 3 Suy ra   1 1 S= (n + 1)(n + 2)(n + 3) ( Cn3+3 + Cn4+3 + ... + Cnn++33 ) = (n + 1)(n + 2)(n + 3) ( 2n +3 − Cn0+3 − Cn1+3 − Cn2+3 ) 2n + 4 − n 2 − 7n − 14 = . 2(n + 1)(n + 2)(n + 3) Vi du 17 (ĐH khôi B năm 2003).  ́ ̣ ́ Cho  n  la sô nguyên d ̀ ́ ương. Tinh tông: ́ ̉ n+1 2 −1 1 2 −1 2 2 3 2 −1 n S = Cn0 + Cn + Cn + ... + Cn . 2 3 n+1 2k+1 − 1 k Lơi giai. ̀ ̉  Sô hang tông quat cua  ́ ̣ ̉ ́ ̉  la  ̀ S Cn , k = 0,1,..., n . k +1 1 1 ́ ̣ Ap dung công thưc  ́ Cnk = Cnk++11 , ta co ́ k +1 n +1 2k+1 − 1 k 1 1 1 1 k +1 ( Cn = 2k+1 − 1 . k +1 ) Cnk = 2k+1 − 1 . n+1 ( Cnk++11 = n+1 ) Cnk++11.2k+1 − n+1 Cnk++11 . Tư đo ̀ ́ 1 1 S= n +1 ( Cn1+1.2 + Cn2+1.22 + ... + Cnn++11.2n +1 ) − n +1 ( Cn1+1 + Cn2+1 + ... + Cnn++11 ) 1 1 3 − 2 n +1 n +1 = � (1 + 2) n +1 − 1�− (2 n +1 − 1) = . n +1 � � n +1 n +1 Nhân xet ̣ ́ +) Mơi cac ban xem viêc tinh tông trên băng cach kêt h ̀ ́ ̣ ̣ ́ ̉ ̀ ́ ́ ợp kiên th ́ ức tô h ̉ ợp với  tich phân va cho binh luân ́ ̀ ̀ ̣ ́ (1 + x) = Cn + Cn x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n Ta co    n 0 1 2 2 Suy ra   � ( Cn0 + Cn1 x + Cn2 x 2 + ... + Cnn x n ) dx (1 + x) dx = � n 1 1 1 2 �0 x2 x3 x n +1 �2 � (1 + x) n +1 = � Cn x + Cn1 . + Cn2 . + ... + Cnn . � n +1 1 � 2 3 n + 1 �1 22 − 1 1 23 − 1 2 2n+1 − 1 n 3n+1 − 2n+1 �C + 0 n Cn + Cn + ... + Cn = 2 3 n+1 n+1 ̉ ̉ ̀ ́ ức tô h +) Cach giai chi dung kiên th ́ ̉ ợp thuân tuy co môt sô  ̀ ́ ́ ̣ ́ưu điêm sau: ̉ ­ Đây la cach tinh tr ̀ ́ ́ ực tiêp chi dung kiên th ́ ̉ ̀ ́ ức cơ  ban cua giai tich tô h ̉ ̉ ̉ ́ ̉ ợp,   ̉ ̀ ́ ́ ́ ức vê tich phân. không phai dung đên cac kiên th ̀ ́ 14
  15. ̣ ́ ̣ ̣ ̣ ­ Đê thi hiên nay co muc tiêu la phân loai hoc sinh, phat huy tinh sang tao, ̀ ̀ ́ ́ ́ ̣   ̣ ́ ̀ ̉ không dâp khuôn, không theo lôi mon trong khi giai toan. Cach giai trên phân ́ ́ ̉ ̀  ̀ ́ ứng được muc tiêu đo. H nao đap  ̣ ́ ơn nưa t ̃ ừ cach giai trên cung co thê đê ra cac ́ ̉ ̃ ́ ̉ ̀ ́  ̉ bai toan khac, chăng han ̀ ́ ́ ̣ 1. Tinh tông: ́ ̉ a2 − 1 1 a3 − 1 2 an+1 − 1 n       (a − 1)Cn0 + Cn + Cn + ... + Cn     2 3 n+1 2. Tinh: ́ a2 − b2 1 a3 − b3 2 an+1 − bn+1 n       (a − b)Cn0 + Cn + Cn + ... + Cn . 2 3 n+1 Vi du 18.  ́ ̣ Cho đa thưć    P( x) = (2x − 1)2015  viêt d ́ ươi dang khai triên la   ́ ̣ ̉ ̀ P( x) = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + ... + ak x k + ... + a2015 x2015 . ̉ S = a1 + 22 a2 + 32 a3 + ... + 20152 a2015 . Tinh tông  ́ 2015 ̀ ̉  Ta co ́ P( x) = (2x − 1)2015 = ( −1 + 2x)2015 = Lơi giai. k C2015 ( −1)2015−k (2x)k k= 0 2015− k ̣ ́ ̉ ́ ̣ Hê sô cua sô hang ch ứa  x  la ̀C (−1) k k 2015 .2 , k = 0,1,...,2015 . k ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̉ S  la  ̀ k ak , k = 1,2,...,2015 . Sô hang tông quat cua tông  2 Ta có  k2ak = k2C2015 k ( −1)2015−k .2k = C2015 k ( −1)2015−k 2k k.kC2015 k = (−1)2015−k .2k k.2015.C2014 k −1 = 2015.(−1)2015−k 2k.[(k − 1) + 1] C2014 k −1 k −1 = 2015C2014 (−1)2015−k 2k + 2015.(−1)2015−k 2k.( k − 1)C2014 k −1 k−1 = 2015C2014 (−1)2015− k 2k + 2015.2014.( −1)2015− k 2k.C2013 k− 2 Tư đo ̀ ́ 0 ( a1 + 22 a2 + 32 a3 + ... + 20152 a2015 = 2015 C2014 .2 − C2014 1 .22 + C2014 2 .23 − ... + C2014 2014 2015 .2 ) +2015.2014.( −C2013 0 .22 + C2013 1 .23 − ... + C2013 .2 ) 2013 2015 = 2015.2.(1 − 2)2014 + 2015.2014.(−22 ).(1 − 2)2013 = 2015.2 + 2015.2014.4 = 16 236 870 Nhân xet.  ̣ ́ Mơi cac ban xem l ̀ ́ ̣ ơi giai tinh tông trên băng đao ham va so sanh v ̀ ̉ ́ ̉ ̀ ̣ ̀ ̀ ́ ới  ̉ cach giai trên. ́ ́ P '( x) = 2015.(2x − 1)2014 .2 = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ... + 2015.a2015 x2014 Ta co         P ''( x) = 2015.2014.(2x − 1)2013.22 = 2a2 + 3.2a3 x + ... + 2015.2014.a2015 x2013   � P '(1) = 2015.2 = a1 + 2a2 + 3a3 + ... + 2015a2015 (1)       P ''(1) = 2015.2014.4 = 2a2 + 3.2a3 + ... + 2015.2014a2015 (2) Céng (1) vµ (2) theo vÕ ta ®îc: a1 + 22 a2 + 32 a3 + ... + 20152 a2015 = 2015.2 + 2015.2014.4 = 16 236 870 . Hoăc: ̣ P '( x) = 2015.(2x − 1)2014 .2 = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + ... + 2015.a2015 x2014   (3) ́ ̉ Nhân hai vê cua (3) v ơi  ́ x 0 , ta được  2015.x(2x − 1) .2 = a1x + 2a2 x2 + 3a3 x3 + ... + 2015.a2015 x2015      (4) 2014 15
  16. ́ ̣ ́ ̉ Lây đao ham hai vê cua (4) ta co ̀ ́ 2015.2(2x − 1)2014 + 2015.2.2014(2x − 1)2013.2x = a1 + 22 a2 x + 32 a3 x2 + ... + 20152.a2015 x2014 , ∀x 0      (5) Trong (5), cho  x = 1  ta được  S = a1 + 22 a2 + 32 a3 + ... + 20152 a2015 = 2015.2 + 2015.2014.4 = 16 236 870 . Vi du 19.  ́ ̣ Haỹ  tim sô t ̀ ́ ự nhiên  n  thoa man ̉ ̃     2 n−1 2 n−1 C2n − 2.2.C2n + 3.2 .C2n − ... − 2n.2 .C2n + (2n + 1).22n.C22nn = 2013 . 0 1 2 2 Lơi giai. ̀ ̉  Goi  ̣ S  la vê trai cua PT đa cho.  ̀ ́ ́ ̉ ̃ ́ ̣ ̉ Sô hang tông quat cua  ́ ̉ S  la ̀( −1)k (k + 1).2k.C2kn , k = 0,1,...,2n. ́ ̉ Ta biên đôi ( −1) (k + 1).2k.C2kn = (−1)k .2k.kC2kn + ( −1)k .2k.C2kn = ( −1)k .2k.2nC2kn−−11 + ( −1)k .2k.C2kn k Tư đo ̀ ́      C20n − 2.2.C21n + 3.22.C22n − ... − 2n.22n−1.C22nn−1 + (2n + 1).22n.C22nn ( 0 1 2 2n−1 2 n 0 1 ) (       = 2n. −C2n−1.2 + C2n−1.2 − ... + C2n−1 .2 + C2n − C2n .2 + ... + C2n .2 2n 2 n )       = 2n.( −2).( 1 − 2) + ( 1 − 2) = 4n + 1 . 2 n−1 2n ̉ Theo gia thiêt ta co ́ ́  1 + 4n = 2013 � n = 503 . Nhân xet. ̣ ́  Sau đây la cach giai s ̀ ́ ̉ ử dung đao ham đê cac ban so sanh. ̣ ̣ ̀ ̉ ́ ̣ ́ 2 n −1 2 n −1 Ta co   ́ (1 − x) = C2 n − C2 n x + C2 n x − C2 n x + ... − C2 n x + C2 n x    (1) 2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n Suy ra    x(1 − x) 2 n = C20n x − C21n x 2 + C22n x 3 − C23n x 4 + ... − C22nn −1 x 2 n + C22nn x 2 n +1  vơi  ́ x 0   (2) ́ ̣ Lây đao ham hai vê cua (2) ta đ ̀ ́ ̉ ược 2 n −1 (1 − x) − 2n.x(1 − x) 2n = C2 n − 2C2 n x + 3C22n x 2 − 4C23n x 3 + ... − 2nC22nn−1 x 2 n −1 + (2n + 1)C22nn x 2 n   (3) 0 1 Trong (3) cho  x = 2  ta được  1 + 4n = C20n − 2.2.C21n + 3.22.C22n − ... − 2n.22n−1.C22nn−1 + (2n + 1).22n.C22nn ̉ Theo gia thiêt ta co ́ ́  1 + 4n = 2013 � n = 503 . Lơi giai nay co tinh ki thuât cao nên rât kho đôi v ̀ ̉ ̀ ́ ́ ̃ ̣ ́ ́ ́ ới hoc sinh. ̣ Vi du 20.  ́ ̣ Tim sô nguyên d ̀ ́ ương  n  thoa man ̉ ̃ 2C22n+1 − 3.2.2C23n+1 + ... + ( −1) k .k( k − 1).2k−2.C2kn+1 + ... − 2n(2n + 1).22n−1.C22nn++11 = −40200 Lơi giai. ̀ ̉  Goi  ̣ S  la vê trai cua PT đa cho.  ̀ ́ ́ ̉ ̃ ́ ̣ ̉ Sô hang tông quat cua ́ ̉ S  la ̀( −1) .k( k − 1).2k−2.C2kn+1, k = 2,3,...,2n + 1. k Ta có  ( −1)k .k( k − 1).2k−2.C2kn+1 = (−1)k .2k−2.( k − 1).kC2kn+1 = ( −1)k .2k−2.( k − 1).(2n + 1)C2kn−1 = (2n + 1).(−1)k .2k−2.(k − 1)C2kn−1 = (2n + 1).(−1)k .2k−2.2n.C2kn−−21 = (2n + 1).2n.(−1)k .2k−2 C2kn−−21 Tư đo ̀ ́ 2C22n+1 − 3.2.2C23n+1 + ... + (−1)k .k(k − 1).2k−2.C2kn+1 + ... − 2n(2n + 1).22n−1.C22nn++11 ( = (2n + 1).2n. C20n−1 − C21n−1.2 + C22n−1.22 − ... − C22nn−−11.22n−1 ) 16
  17. = (2n + 1).2n.( 1 − 2) 2n−1 = −(2n + 1).2n ́ ̉ Do đo, theo gia thiêt ta co ́ ́  (2n + 1).2n = 40200 � (2n + 1).2n = 201.200 � 2n = 200 � n = 100   (vi ̀ n ﾥ * ) Nhân xet. ̣ ́  Mơi cac ban xem cach s ̀ ́ ̣ ́ ử dung đao ham đê giai bai toan  va cho binh ̣ ̣ ̀ ̉ ̉ ̀ ́ ̀ ̀   ̣ luân. Ta co ́ (1 − x)2 n +1 = C20n +1 − C21n +1 x + C22n +1 x 2 − C23n+1 x3 + ... + C22nn+1 x 2 n − C22nn++11 x 2 n +1    (1) ́ ̣ Lây đao ham hai vê cua (1) ta đ ̀ ́ ̉ ược (2n + 1)(1 − x) = −C2 n +1 + 2C2 n +1 x − 3C23n +1 x 2 + ... + 2nC22nn+1 x 2n −1 − (2n + 1)C22nn++11 x 2 n   (2) 2n 1 2 ́ ̣ Lây đao ham hai vê cua (1) ta đ ̀ ́ ̉ ược 2 n −1 −2n(2n + 1)(1 − x) = 2C2 n +1 − 3.2C2 n+1 x + ... − 2n(2n + 1)C22nn++11 x 2 n−1      (3) 2 3 Trong (3) cho  x = 2  ta được 2C22n+1 − 3.2.2C23n+1 + ... + (−1)k .k(k − 1).2k−2.C2kn+1 + ... − 2n(2n + 1).22n−1.C22nn++11 = −2n(2n + 1) . ̉ Theo gia thiêt ta co   ́ ́ 2n(2n + 1) = 40200 � 2n2 + n − 20100 = 0 � n = 100 . BAI TÂP VÂN DUNG ̀ ̣ ̣ ̣ Bai 1. ́ ̉ ̀  Tinh cac tông sau đây ́ 1.  S1 = 1Cn − 2Cn + 3Cn3 − ... + (−1) n nCnn   vơi  1 2 ́ n �ﾥ * , n > 1 . 2.  S2 = 1Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + ... + nCnn −1 . 3.  S3 = 1Cn2 + 2Cn3 + 3Cn4 + ... + (n − 1)Cnn   vơi  ́ n �ﾥ * , n > 2 . 4.  S4 = 1Cn2 − 2Cn3 + 3Cn4 − ... + (−1) n (n − 1)Cnn   vơi ́ n �ﾥ * , n > 2 . 5.  S5 = Cn1 + 2.aCn2 + 3.a 2Cn3 + 4.a 3Cn4 + ... + n.a n −1Cnn ,  n ﾥ * 6.  S6 = Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + ... + (n + 1)Cnn, n ﾥ * 7.  S7 = Cn0 − 2Cn1 + 3Cn2 − ... + (−1) n (n + 1)Cnn ,   n ﾥ * 8.  S8 = 1.Cn2 + 2Cn3 + 3Cn4 + ... + (n − 1)Cnn ,  n γ ﾥ * , n 2 9.  S9 = n.2n Cn0 + (n − 1).2n−1 Cn1 + ... + 2Cnn−1 10.  S10 = 4C2014 2 + 8C2014 4 + 12C2014 6 + ... + 4028C2014 2014                  11.  S11 = 22.Cn2 − 32.Cn3 + 42.Cn4 − ... + (−1)n .n2 .Cnn 12.  S12 = n 2Cn0 + (n − 1)2 Cn1 + (n − 2) 2 Cn2 + .... + 22 Cnn −2 + 12 Cnn −1 . 13.  S13 = 5n −1 Cn1 − 2.5n −2 Cn2 + 3.5n −3 Cn3 − 4.5n − 4 Cn4 ... + (−1) n −1 nCnn ,  n ﾥ * 14.  S14 = 12 Cn1 .a n −1 + 22 Cn2 .a n −2 + ... + (n − 1) 2 Cnn −1.a1 + n 2Cnn .a 0 ,  n ﾥ * 15.  S15 = 13 Cn1 + 23 Cn2 + 33 Cn3 + ... + n3Cnn . 16.  S16 = 1.2Cn1+1 + 3.4.a 2Cn2+1 + 5.6.a 4Cn3+1 + 7.8.a 6Cn4+1 + ... + (2n + 1)(2n + 2).a 2 nCnn++11  vơi    ́         a > 0, n ﾥ . * 1 1 1 ( −1) n +1 n 17.  S17 = Cn1 − Cn2 + Cn3 − ... + Cn   vơi  ́ n ﾥ *. 2 3 4 n +1 17
  18. 1 1 1 1 18.  S18 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cnn  vơi  ́ n ﾥ *. 2 3 4 n+2 1 1 1 1 19.  S19 = C20n + C22n + C24n + ... + C22nn 2 4 6 2n + 2 2 2 2 3 2 4 2n +1 n 20.  S20 = Cn1 + Cn2 + Cn3 + ... + Cn  vơi  ́ n ﾥ *. 2 3 4 n +1 1 1 1 1 21.  S21 = + + + ... +  vơi  ́ n ﾥ *. 1!.(2n − 1)! 3!.(2n − 3)! 5!.(2n − 5)! (2n − 1)!.1! 1 1 1 2 n −1 22.  S22 = C21n + C23n + ... + C2 n ,   n ﾥ * 2 4 2n 2 3 a 1 a 2 a 3 4 a n n −1 a n +1 n 23.  S23 = Cn + Cn + Cn + ... + Cn + Cn ,  n ﾥ * 2 3 4 n n +1 1 1 1 1 1 24.  S24 = 2.Cn0 + 22. Cn1 + 23. Cn2 + 24. Cn3 + ... + 2 n. Cnn −1 + 2n +1. Cnn 2 3 4 n n +1 1 1 1 2 1 25.  S25 = Cn + Cn + ... + Cnn . 1.2 2.3 n.(n + 1) Bai 2. ̀  Cho  0 < a < b, n ﾥ * . Chưng minh răng ́ ̀ b − a 0 b2 − a 2 1 b3 − a 3 2 b n +1 − a n +1 n (1 + b) n +1 − (1 + a ) n +1 Cn + Cn + Cn + ... + Cn = 1 2 3 n +1 n +1 An3 + Cn3 Bai 3. ̀  Cho sô nguyên  ́ ̉ n  thoa man   ̃ = 35 ( n 3) . Tinh tônǵ ̉ ( n − 1)(n − 2) S = 22.Cn2 − 32.Cn3 + 42.Cn4 − ... + (−1)n .n2 .Cnn . Baì  4.  Tim ̀   hê ̣ số cuả   x3   trong  khai  triên̉   P( x) = (1 + x + x3 + x 4 ) n ,  biêt́   n   là số  1 1 1 2 1 nguyên dương thoa man   ̉ ̃ Cn0 − Cn1 + Cn − ... + (−1)n Cnn = − . n+1 n n −1 2014 Bai 5.  ̀ Chưng minh răng v ́ ̀ ới  n  la sô nguyên d ̀ ́ ương ta co    ́ 2n.Cn0 2n−1.Cn1 20.Cnn 3n+1 − 1                     + + ... + = n+1 n 1 2(n + 1) IV. HIÊU QUA CUA SANG KIÊN KINH NGHIÊM ̣ ̉ ̉ ́ ́ ̣ 1. Thực nghiệm sư pham ̣           Mục đích của việc thực nghiệm là đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính   đúng đắn của giả thuyết khoa học, tính hiệu quả của việc sử dụng cac công ́   thưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h ̀ ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp. 2. Nội dung và cách thức tiến hành thực nghiệm           Được sự cho phép của Hiệu trưởng trường THPT Vĩnh Lộc, tôi đã tiến   hành dạy 2 buổi cho học sinh lớp 12A3 với nội dung: Sử dụng cac công th ́ ưć   ̉ ợp thuân tuy đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h tô h ̀ ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp. Sau quá trình dạy học, tôi đã tiến hành kiểm tra tại lớp 12A3. 18
  19. Chọn lớp đối chứng tại lớp 12A2 trường THPT Vĩnh Lộc.           Dưới đây là nội dung bài kiểm tra (thời gian: 60 phút) Bài 1. Tinh tông  ́ ̉ S = 1C21n +1 + 3C23n +1 + 5C25n+1 + ... + (2n + 1)C22nn++11 . Bài 2. H·y t×m sè tù nhiªn n tho¶ m·n 1.30.22n.C20n − 2.3.22n−1.C21n + 3.32.22n−2.C22n − 4.33.22n−3.C23n + ... + (2n + 1).32n.20.C22nn = 73 1 1 1 Bài 3. Tinh tông    ́ ̉ S = C20n + C22n + C24n + ... + C22nn . 3 5 2n + 1 Dụng ý của các bài tập trên: Nhằm kiểm tra khả  năng vận dụng cac công ́   thưc tô   ́ ̉ hợp thuân tuy đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h ̀ ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp. 3. Kết quả thực nghiệm           Trong lớp 12A3 mà tôi tiến hành dạy thực nghiệm không có học sinh   giỏi, có khoảng 12 đến 15 em học tương đối khá, còn lại là mức trung bình.  Bởi vậy, phần lớn các em cho rằng phương pháp cac công th́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân ̀  ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp là tương đối khó. tuy đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h         Về bài kiểm tra, tôi chấm kĩ và thu được kết quả như sau Lớp Sĩ  Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 12  45 9 20 22 48, 9 20 5 11, 0 0 A3 9 1 12  45 2 4,4 12 26, 15 33,3 14 2 4,4 31, A2 7 1   Kết quả sơ bộ: + Lớp thực nghiệm, tỉ  lệ  học sinh đạt điểm từ  trung bình trở  lên là 88,9%,   trong đó có 68,9% loại khá, giỏi. + Lớp đối chứng, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên là 64,4%, trong  đó có 31,1% loại khá, giỏi. 4. Hiêu qua cua sang kiên kinh nghiêm ̣ ̉ ̉ ́ ́ ̣           Qua quá trình thực nghiệm, tôi rút ra một số kết quả sau ­ Việc dạy học phương pháp sử  dung cac công th ̣ ́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy đê giai ̀ ́ ̉ ̉  ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp có tác dụng rèn luyện năng  cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h ́ ̀ ́ ́ lực giải bài tập toán cho học sinh. ­ Việc dạy học phương pháp đó còn giúp cho học sinh khả năng nhìn nhận bài  toán cũng như  lựa chọn phương pháp và công cụ  để  giải toán một cách có  hiệu quả hơn. ­ Việc tổ chức dạy học phương pháp đó có tác dụng tốt trong việc gây hứng  thú học tập cho học sinh, tạo điều kiện phát huy tính tích cực của học sinh   trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải của bài toán và giải bài toán đó. 19
  20. ­ Việc tổ chức dạy học phương pháp sử dung cac công th ̣ ́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy ̀ ́  ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp tạo cho học sinh có   đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h niềm tin, có tư  duy linh hoạt, nhạy bén, chủ  động tìm hướng giải quyết bài  toán theo nhiều cách và lựa chọn được cách giải có lợi nhất.  PHÂN 3: K ̀ ẾT LUẬN VÀ KIÊN NGHI ́ ̣ 1. Kết luận            Qua quá trình nghiên cứu đề  tài “Dung kiên th ̀ ́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy ̀ ́  hương dân hoc sinh giai bai toan tinh tông cac sô tô h ́ ̃ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ̉ ợp”, tôi đã thu được  một số kết quả sau  ­ Sáng kiến kinh nghiệm đã làm sáng tỏ các căn cứ lý luận của việc rèn luyện  năng lực giải bài tập toán. ­ Sáng kiến kinh nghiệm đã xây dựng được hệ  thống các bài toán minh hoạ  cho việc áp dụng cac công th ́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy đê giai cac bai toan tinh tông ̀ ́ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉   ́ ́ ́ ̉ ợp  ở  nhiều tình huống khác nhau. Giúp các em học   liên quan đên cac sô tô h sinh rèn luyện kĩ năng, phát triển tư  duy sáng tạo, nhạy bén trong giải quyết   các vấn đề mới. ­ Sáng kiến kinh nghiệm chứng tỏ phương pháp sử dung cac công th ̣ ́ ưc tô h ́ ̉ ợp  ̉ ̉ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp là một   thuân tuy đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h ̀ ́ ́ ̀ ́ ́ phương pháp quan trọng trong hoạt động giải các bài tập toán. ­  Sáng kiến  kinh nghiệm   đáp  ứng  được  yêu  cầu của  hoạt  động  đổi mới  phương pháp dạy học: phát huy tính tích cực, tự  giác, chủ  động, tư  duy sáng   tạo, linh hoạt của người học. Bồi dưỡng năng lực tự  học, lòng say mê học  tập và ý chí vươn lên của học sinh. ­ Kết quả thực nghiệm cho phép xác nhận giả  thuyết khoa học của đề  tài là  chấp nhận được, có tính hiệu quả và mục đích nghiên cứu đã hoàn thành. ­ Tôi hi vọng sáng kiến kinh nghiệm này có thể  làm tài liệu tham khảo cho  giáo viên và học sinh trong việc dạy học toán và mong được quý đồng nghiệp  trao đổi, góp ý.    2. Kiên nghi ́ ̣           Qua quá trình thực hiện, tôi có kiến nghị như sau:  ­ Sách giáo khoa và sách bài tập nên xây dựng hệ thống các bài tập đa dạng,  phong phú để khắc sâu phương pháp sử  dung cac công th ̣ ́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy ̀ ́  ̉ ̉ ́ ̀ ́ ́ ̉ ́ ́ ́ ̉ ợp, để học sinh có cơ hội   đê giai cac bai toan tinh tông liên quan đên cac sô tô h rèn luyện kĩ năng giải toán. ­ Các thầy cô giáo nên dành một số  buổi hoạt động ngoại khoá về  phương  pháp sử  dung cac công th ̣ ́ ưc tô h ́ ̉ ợp thuân tuy đ ̀ ́ ể  giải các bài toán tô h ̉ ợp, để  học sinh được trang bị  tương đối đầy đủ  về  phương pháp nay, t ̀ ừ  đó các em  có sự nhạy bén trong việc giải các bài toán bằng phương pháp này.     20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2