intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

SKKN: Phương trình hàm và giải tích

Chia sẻ: Hòa Phát | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
28
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình hàm là một chuyên đề phong phú với nhiều phương pháp giải. Các yếu tố giải tích là một công cụ rất mạnh để giải quyết một số bài toán phương trình hàm… Trong đề tài nhỏ này giới thiệu một số phương pháp giải phương trình hàm dựa vào các yếu tố giải tích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Phương trình hàm và giải tích

  1. Phương trình hàm và giải tích                                                                    Trang 1        PHƯƠNG TRÌNH HÀM  VÀ  GIẢI TÍCH Phương trình hàm là một chuyên đề  phong phú với nhiều phương pháp  giải. Các yếu tố  giải tích là một công cụ  rất mạnh để  giải quyết một số  bài  toán phương trình hàm… Trong đề  tài nhỏ  này, xin giới thiệu một số  phương   pháp giải phương trình hàm dựa vào các yếu tố giải tích. A. PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ GIỚI HẠN, TÍNH LIÊN TỤC Với những bài toán dữ liệu đề bài cho tính liên tục của hàm số thì việc  xây dựng dãy biến số hội tụ là công cụ rất mạnh vì ta có thể đưa giới hạn vào   trong hay ra ngoài hàm số, đó là một cách giải một số bài phương trình hàm Ví dụ 1 Tìm tất cả các hàm số f:  0,1 0,1  thoả: 1. f là đơn ánh 2.  2x­f(x) 0,1           x 0,1 3. f 2 x f x x         x 0,1  Giải :  Thay x bởi f(x) ta được: f 2f x f f x f x Vì f là đơn ánh nên 2f(x)­ f(f(x))=x Thay x bởi  f n x ,   (với f n (x)= f 0 f 0 ... f  ) n lần Ta được: 2 f n 1 x ­ fn 2 x = fn x   fn 2 x fn 1 x fn 1 x fn x ..... f x x SVTH: Nguyễn Gia Hưng
  2. Phương trình hàm và giải tích                                                                    Trang 2 Ta có :  f n x n f x x x Ta cố định x Nếu f(x)>x thì với n đủ lớn :    f n x 1  : vô lý Nếu f(x)
  3. Phương trình hàm và giải tích                                                                    Trang 3 1 Giả sử  lim x n  Thế thì  2 0 n 4 1 2 1 Vì f(x) liên tục nên :  lim f x n f (lim x n ) f n n 2 1 Nhưng  f x n 1 f x n2 f xn n N 4 1 1 f x0 f x1 ..... f xn f    x0 0, 2 2 1 II.  x0 . 2 1 Xét dãy số sau : x n 1 xn  . 4 1  Dễ dàng chứng minh dãy số này hội tụ vì : lim x n n 2 1 1 f liên tục nên : lim f x n f ( )  và  f x n 1 f x n2 f xn n 2 4 1 f xn f . 2 Vì thế f(x) là hàm hằng trên  0,  và vì nó là hàm chẵn nên nó là hàm  hằng trên R Ngược lại, mọi hàm hằng đều thoả mãn yêu cầu đề bài. B. PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM  SỐ  Tính đơn điệu của hàm số là một công cụ mạnh  để  đánh giá hàm số,   nhờ đó ta có thể định khoảng giá trị hàm số, chứng minh hàm số tồn tại hoặc   không tồn tại.  Ví dụ 1    :  SVTH: Nguyễn Gia Hưng
  4. Phương trình hàm và giải tích                                                                    Trang 4 Cho R+  là tập hợp các số  thực dương. Tìm hàm số : f : R R   thoả  2 mãn : f x f x y f x y x, y  R  Giải    : Giả sử tồn tại hàm f(x) thoả mãn đề bài. Từ đẳng thức đề bài ta có : yf x f x f x y 0 x, y  R f x y f là một hàm giảm. Cố định x>0, chọn n N  sao cho :nf(x+1) 1 Khi k=1,2,….,n­1 ta có : 1 k f x k k 1 n n 1 f x f x k 1,2,..., n 1 n n k 1 2n f x n n Cộng các bất đẳng thức trên ta được : 1 f x f x 1    với m>2f(x) ta có : 2 m f x m f x 0  trái với giả thiết f dương. 2 Vậy : không tồn tại hàm thoả mãn đề bài.  Ví dụ 2    :  Có tồn tại hay không một hàm : f :R R , khả vi liên tục sao cho :  f(x)>0  x R  và f’(x)=f(f(x)).  Giải :  Giả sử tồn tại hàm số thoả mãn đề bài. Ta có: f’(x)=f(f(x))>0  f(x) đơn điệu tăng nghiêm ngặt. Do đó f’(x)=f(f(x))>f(0)  Hàm số h(x)= f(x)­(x+1)f(0) tăng ngặt ( Do h’(x)=f’(x)­f(0)>0)  h(x)
  5. Phương trình hàm và giải tích                                                                    Trang 5 lấy x 1  ta được f(x)
  6. Phương trình hàm và giải tích                                                                    Trang 6 1 Nếu f đơn điệu tăng trên D thì   f 3 x   đơn điệu tăng trên D ( vô  x lý !) Vậy f đơn điệu giảm trên D. 1 Giả sử  x0 D  sao cho  f x 0 x0 Ta có : 1 1 f x0 f f x0 f  (1) x0 x0 1 1 f f f x0 f f x0 x0 1 1 f f f f x0   (2) x0 x0 Từ (1) và (2) suy ra : 1   f f x0 x0    f 3 x0 f x0 . Mâu thuẫn ! x0 1 Vậy không tồn tại  x0 D :    f x 0 x0 1 Tương tự, ta chứng minh được không tồn tại  x0 D : f x0 x0 1 1 Vậy :  f x       x D f 2002 . x 2002  Nhận xét    : Từ kết quả bài toán trên, ta được một kết quả khá ‘‘đẹp’’. Với hàm liên tục f : D R   (D là một khoảng không chứa điểm 0) và  1 1 f3 x  thì  f x       x D. x x SVTH: Nguyễn Gia Hưng
  7. Phương trình hàm và giải tích                                                                    Trang 7 1 Dễ  dàng chứng minh : f đơn ánh,f liên tục nên f đơn điệu và   f 3 x   x 1 giảm nên f giảm, tương tự như trên ta có  f x     x D x Ví dụ 4 : Tìm tất cả các hàm số : f : 1, 1,  Sao cho : f xf y y. f x    x, y 1, Giải : Cho x=y=1  f f 1 f 1 Cho y= f 1 f x. f f 1 f 1.f x                     f x. f 1 f 1 f x Cho y=1  f x. f 1 f x Do  f x 0  nên   f 1 1 Cho x=1 thì  f f y y. f 1 y Nếu  f y 1  thì  f f y 1  hay y=1 f y 1      y 1 x x x Cho x>y 1  thì    f x f .y f .f f y f y .f f y y y y  f là đơn điệu tăng nghiêm ngặt trên [1, ) Giả sử  x0 1, : f x0 x0 f f x0 f x0 x0 f x0 Mâu thuẫn ! Vậy không tồn tại  x0 1, : f x0 x0 Nếu  x1 1, : f x1 x1 f f x1 f x1 x1 f x1 Mâu thuẫn ! Vậy không tồn tại  x1 1, : f x1 x1 f x x      x 1, SVTH: Nguyễn Gia Hưng
  8. Phương trình hàm và giải tích                                                                    Trang 8 Thử lại ta thấy f(x) vừa tìm thoả mãn đề bài. C. PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ TÍNH KHẢ VI. Tính khả vi là một công cụ rất mạnh và hiệuquả trong việc giải các bài   toán phương trình hàm, tuy nhiên tính khả vi đôi khi không đựơc cho cụ thể mà  phải qua quá trình chứng minh thông qua các dữ liệu khác. Vì lớp bài toán này rất rộng trong đề  tài này, chỉ  xin giới thiệu vài bài  toán phương trình hàm sử dụng tính khả vi tương đối cơ bản.  Ví dụ 1   : Tìm tất cả các hàm số  f : R R  khả vi và thoả mãn điều kiện : x y f x f y f    (1) 2 2  Giải   : Lần lượt lấy đạo hàm hai vế (1) theo x và y, ta có : 1 x y f' x f'     x, y R 2 2 2 1 x y f' y f'      x, y R 2 2 2 f' x f ' y     x, y R f' x a =const      x R f x ax+b   x R Thử lại ta thấy hàm này thoả điều kiện bài toán. Vậy : f(x)= ax+b      x R  Ví dụ 2    : Tìm tất cả các hàm số f(x) liên tục trên [0,1], khả vi trong (0,1), thoả  mãn điều kiện : SVTH: Nguyễn Gia Hưng
  9. Phương trình hàm và giải tích                                                                    Trang 9 a)  f 0 f 1 1 b) 2003 f ' x 2004 f x 2004  Giải    : 2004 Đặt   g x e 2003 x f x 1 Rõ ràng g(x) là hàm liên tục trên [0,1] ; khả vi trong (0,1), ta có : 2004 x 2004 2004 g' x e 2003 f' x f x 0     x 0,1 2003 2003 g x  đồng biến trên (0,1), mà g(x) liên tục trên  [0,1] nên g(x) đồng   biến trên [0,1]. Lại có g(0)=g(1)=0 g x =0      x 0,1 2004 Mà   e 2003 x 0      x 0,1 f x 1       x 0,1 Thử lại ta thấy  f x 1  thoả đề bài.  Nhận xét    : Bài toán trên có thể  tồng quát thành :  Tìm tất cả  các hàm số  liên tục  trên [a,b], khả vi trong (a,b) thoả : f(a)=f(b)=c mf’(x)+nf(x) nc     (m 0 ) Bằng cách giải tương tự ta thu được : f x c        x a, b  Ví dụ 3    : Tìm tất cả các hàm số liên tục : f :R R , khả vi tại x=0 thoả mãn : f’(0)=1        (1) f’(x+y)=f(x)+f(y)+ axy  (2) SVTH: Nguyễn Gia Hưng
  10. Phương   trình   hàm   và   giải   tích   Trang10  Giải    : Cho x=y=0 ta được :  f(0)=2f(0)   f(0)=0 Với  y 0 , từ (2) ta có : f x y f x f y f 0 ax y y f y f 0 Cho y 0  ta được :   lim ax f' 0 ax 1 ax y 0 y f x y f x Do đó :  lim 1 ax y 0 y Hay f’(x)=1+ax x2 f x a x c    (c=const) 2 x2 Thay vào (2) ta được c=0    f x a x    f' 0 1 2 x2 Vậy, hàm số thoả mãn đề bài là :  f x a x     x R 2 D.PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ TÍCH PHÂN         Các bài toán phương trình hàm có yếu tố  tích phân thường mang   đậm          màu sắc giải tích. Để giải lớp bài toán này thường phải kết hợp nhiều kiến thức về giải   tích.  Ví dụ 1    : Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định và liên tục trên R thoả : 2x y f x f y f t dt      x, y R x 2y  Giải    : 2x Cho y=0 ta được :    f x f 0 f t dt x SVTH: Nguyễn Gia Hưng
  11. Phương   trình   hàm   và   giải   tích   Trang11 Do f liên tục   f khả vi liên tục trên R Bằng phương pháp quy nạp ta được : f khả vi vô hạn lần trên R Đạo hàm lần lượt đối với x và y ta được : f' x 2 f 2x y f x 2 y   (*) f ' 2x y f ' x 2 y               (**) Cho x= ­2y vào (**), ta được : f' 3y f ' 0       y R f' x const f x ax b Thay f(x)=ax+b vào (*) và cho x=0 ta được a=b Lại thay f(x)= ax+a vào (*) ta được a=0   f x 0 Thử lại ta thấy f(x)=0 thoả điều kiện đề bài Vậy  f(x)=0   x R Ví dụ 2: x Tìm tất cả các hàm liên tục f:  0, R  thoả   0 f x 2010 f t dt   0 x 0, Giải: x 2010 x Xét  x e f t dt 0 Rõ ràng  x  khả vi liên tục trên  0, . SVTH: Nguyễn Gia Hưng
  12. Phương   trình   hàm   và   giải   tích   Trang12 x 2010 x Ta có:  ' x e f x 2010 f t dt 0      x 0, 0 x  giảm trên  0, ,  0 0 x x 0     x 0,    f t dt 0     x 0, 0 ' x Mà  f t dt f x 0     x 0, 0 x 0 f t dt f t dt 0      x 0, 0 0 x f t dt 0       x 0, 0 f x 0           x 0,  Thử lại, ta thấy f(x) thoả mãn đề bài. Vậy  f(x)=0     x 0, Ví dụ 3: Tìm tất cả các hàm f : [0,1] R  liên tục, thoả: 1 k N : x k f x dx 0 0 Giải: Ta sẽ chứng minh: f(x)=0       x 0,1 SVTH: Nguyễn Gia Hưng
  13. Phương   trình   hàm   và   giải   tích   Trang13 Thật vậy, giả sử:  f 0 c 0,1 Sao cho f(c)=0; giả sử: f(c)>0  (nếu f(c)
  14. Phương   trình   hàm   và   giải   tích   Trang14 Mặt khác, do tính chất tuyến tính, ta dễ dàng chứng minh: 1 n Px f x dx 0        n N 0 Mâu thuẫn!  Do đó ta có f(x)=0 thoả mãn đề bài. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1].  Võ Giang Giai, 100 bài toán phương trình hàm. NXB Đại Học Quốc   Gia TP HCM 2005 [2].     Nguyễn  Sinh   Nguyên,   Chuyên  đề   bồi  dưỡng  phương  trình  hàm.  NXB  Đà Nẵng 2006 [3].   Đề thi IMC [4].   Đề thi VMO [5].   Jean­Marie Monier, Giáo trình toán Giải tích, NXB Giáo Dục 2000 SVTH: Nguyễn Gia Hưng
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2