Sơ đồ sai phân đơn điệu xấp xỉ bậc hai trên lưới không đều đối với phương trình parabol giả tuyến tính với điều kiện biên loại ba

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày nghiên cứu về việc xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn đơn điệu có xấp xỉ cục bộ bậc hai trên lưới không gian không đều cho phương trình parabol giả tuyến tính với điều kiện biên loại ba mà không sử dụng chính phương trình vi phân cơ sở tại biên của miền xác định.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sơ đồ sai phân đơn điệu xấp xỉ bậc hai trên lưới không đều đối với phương trình parabol giả tuyến tính với điều kiện biên loại ba

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 22, NO. 1, 2024 75 SƠ ĐỒ SAI PHÂN ĐƠN ĐIỆU XẤP XỈ BẬC HAI TRÊN LƯỚI KHÔNG ĐỀU ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOL GIẢ TUYẾN TÍNH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI BA MONOTONE DIFFERENCE SCHEMES OF THE SECOND ORDER OF APPROXIMATION ON NON-UNIFORM GRIDS FOR QUASILINEAR PARABOLIC EQUATIONS WITH A BOUNDARY CONDITION OF THE THIRD KIND Lê Minh Hiếu* Trường Đại học Kinh tế - Đại học Đà Nẵng, Đà Nẵng, Việt Nam1 *Tác giả liên hệ / Corresponding author: hieulm@due.edu.vn (Nhận bài / Received: 24/10/2023; Sửa bài / Revised: 16/11/2023; Chấp nhận đăng / Accepted: 05/01/2024) Tóm tắt - Trong bài báo này, tác giả trình bày nghiên cứu về Abstract - In this article, the author presents a study on việc xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn đơn điệu có xấp xỉ cục bộ constructing a second order local approximation monotone bậc hai trên lưới không gian không đều cho phương trình difference schemes on spatial non-uniform grids for the parabol giả tuyến tính với điều kiện biên loại ba mà không sử quasilinear parabolic equation with a third kind boundary dụng chính phương trình vi phân cơ sở tại biên của miền xác condition without using the basic differential equation at the định. Mục tiêu là sự kết hợp giữa đẳng thức vi phân và giả thiết boundary of the domain. The goal is a combination of differential về sự tồn tại duy nhất của một nghiệm trơn. Trong trường hợp equality and the assumption of the existence and uniqueness of a này, các điều kiện biên được xấp xỉ trực tiếp với bậc hai trên smooth solution. In this case, the boundary conditions are directly mẫu hai nút. Với sự trợ giúp của nguyên lý sai phân cực đại, các approximated with the second order on a two-point stencil. With đánh giá hai phía của nghiệm sai phân được thiết lập và thu được the help of the difference maximum principle, two-sided đánh giá tiên nghiệm quan trọng trong chuẩn C đồng nhất. Các estimates of the difference solution are established and an thực nghiệm số được giới thiệu để kiểm chứng lại các kết luận important a priori estimate in a uniform C-norm is obtained. lý thuyết được chứng minh. Computational experiments, confirming the theoretical conclusions, are given. Từ khóa - Lưới không đều; nguyên tắc tối đa không chuẩn; sơ đồ Key words - Nonuniform grid; nonstandard maximum principle; sai phân đơn điệu; phương trình parabol giả tuyến tính; đánh giá monotone difference scheme; quasilinear parabolic equation; hai phía two-side estimate 1. Đặt vấn đề mô hình hóa toán học các bài toán ứng dụng đa chiều với Trong lý thuyết sơ đồ sai phân [1, 2], nguyên tắc đối đa các đặc trưng trong miền hình học phức tạp, người ta được sử dụng để chứng minh tính ổn định và sự hội tụ của thường phải dựa vào việc sử dụng các lưới không đều nghiệm sai phân trong chuẩn C. Các phương pháp sai phân (không đồng nhất). Tuy nhiên, khi chuyển từ lưới đều sang hữu hạn thỏa mãn nguyên tắc tối đa thường được gọi là đơn lưới không đều, bậc của sai số xấp xỉ cục bộ thường giảm. điệu (xem ở [1, 2]). Sơ đồ đơn điệu đóng một vai trò quan Ví dụ khi xấp xỉ đạo hàm bậc hai trên mẫu 3 nút thông trọng trong thực hành tính toán. Chúng cho phép nhận thường [1] trong chuẩn C và trong chuẩn L2 , chỉ có xấp xỉ nghiệm số mà không bị xuất hiện các giao động ngay cả trong trường hợp nghiệm không trơn [3]. ( bậc 1 xảy ra, tức là u( xi ) − uxxˆ,i = O hi +1 − hi + 2 i ) , ở đây Ngoài việc đánh giá trên, một vấn đề không kém phần uxxˆ,i = ( ux,i − ux ,i ) / i , ux,i = ( ui +1 − ui ) / hi +1 , quan trọng đó là người ta cần đánh giá dưới nghiệm của ux ,i = ( ui − ui −1 ) / hi , = 0,5 ( hi +1 + hi ) , bài toán vi-sai phân (trong trường hợp tổng quát, được gọi i là đánh giá hai phía). Điều này thật sự quan trọng để hi là bước nhảy của lưới không đều. Chỉ bằng cách áp dụng nghiên cứu các tính chất lý thuyết của các phương pháp số chuẩn “âm” (negative norm), độ chính xác bậc 2 mới có thể xấp xỉ các bài toán phi tuyến, khi mà cần phải chứng minh được chứng minh cho các sơ đồ sai phân tương ứng trên được nghiệm sai phân thuộc vào miền giá trị của nghiệm các lưới không đồng nhất. Một cách tiếp cận để cải thiện chính xác. Liên quan đến vấn đề này, chúng ta chú ý đến độ chính xác của phương pháp là tính gần đúng phương công trình [4], trong đó các đánh giá hai phía cho nghiệm trình vi phân ban đầu không phải tại các nút của lưới tính của sơ đồ sai phân xấp xỉ bài toán Dirichlet cho phương toán mà tại một số điểm trung gian của miền tính toán. Thật trình parabol tuyến tính nhận được trong các trường hợp vậy, tại một điểm không thuộc lưới được xác định theo rời rạc và liên tục. công thức xi = ( xi +1 + xi + xi −1 ) / 3 = xi + ( hi +1 − hi ) / 3 , xấp Việc cải thiện bậc chính xác của một phương pháp mà xỉ thông thường của đạo hàm sai phân cấp 2 bảo toàn được không làm tăng mẫu chuẩn (số nút chuẩn) của các sơ đồ sai bậc 2, nghĩa là u( xi ) − uxxˆ,i = O ( 2i ) . Ý tưởng đơn giản phân luôn là một nhiệm vụ cấp bách của vật lý toán. Khi 1 The University of Danang - University of Economics, Danang, Vietnam (Le Minh Hieu)
76 Lê Minh Hiếu này đã được phát triển sau đó trong các công trình của A.A. F ( x) F ( x) Samarskii, P.N. Vabishchevich và P.P. Matus. Cụ thể, min  y ( x )  max , x  h . (4) xh D ( x) xh D ( x) trong [5], các sơ đồ sai phân hữu hạn có bậc xấp xỉ cao hơn đã được xây dựng cho phương trình vi phân thường bậc Hệ quả. (xem ở [1]) Giả sử các điều kiện dương (2), (3) hai, cho các phương trình parabol và hyperbol một chiều. được thỏa mãn. Khi đó, đối với nghiệm của sơ đồ sai phân Trong [6, 7], đối với phương trình Poisson đa chiều, các sơ (1), đánh giá tiên nghiệm sau đây trên chuẩn C là đúng đắn: đồ bảo toàn đơn điệu có bậc 2 xấp xỉ cục bộ được xây dựng F y = max y ( x )  . trên một lưới không đều tùy ý. C xh DC Khi chúng ta xây dựng các sơ đồ sai phân đơn điệu xấp xỉ một phương trình parabol với các điều kiện biên loại ba, 3. Bài toán và sơ đồ sai phân việc duy trì độ chính xác bậc hai là rất quan trọng. Việc Trong hình chữ nhật Q = ( x, t ) : 0  x  l , 0  t  T  tăng bậc xấp xỉ của các điều kiện biên thường đạt được bằng cách sử dụng chính phương trình vi phân ban đầu tại ta xem xét bài toán biên-ban đầu đối với phương trình biên của vùng tính toán (ví dụ, trong trường hợp hình hộp parabol giả tuyến tính sau p-chiều, xem [8, 9]). Tuy nhiên, với cách tiếp cận cổ điển u   u  như vậy, khó có thể chứng minh được sự hội tụ bậc 2 trong =  k (u )  + f ( x, t ), (5) t x  x  chuẩn đồng nhất C. Trong nghiên cứu [10], một cách tiếp cận đã được đề xuất để xây dựng các sơ đồ sai phân hữu với điều kiện ban đầu hạn đơn điệu cho các bài toán vi phân tuyến tính với các u ( x, 0) = u0 ( x), 0  x  l, (6) điều kiện biên loại hai và loại ba mà không sử dụng phương và điều kiện biên loại 3 trình vi phân chính tại biên của miền tính toán, và đặc biệt hơn là chúng bảo toàn được bậc 2 của cả sự xấp xỉ và độ u k ( u (0, t ) ) (0, t ) −  1u (0, t ) = − 1 (t ), chính xác. Ý tưởng chính dựa trên giả định về sự tồn tại và x tính duy nhất của nghiệm trơn trong một lân cận đủ nhỏ (7) u nào đó của miền xác định bài toán. Trong trường hợp này, −k ( u (l , t ) ) (l , t ) −  2u (l , t ) = − 2 (t ), x các điều kiện biên được xấp xỉ với bậc hai trên mẫu hai nút. Nếu chúng ta giả sử rằng phương trình cũng có ý nghĩa tại ở đây  2 ,  2 = const  0. các nút biên thì trong trường hợp này, các sơ đồ sai phân Giả sử rằng bài toán (5)-(7) tồn tại nghiệm duy nhất và có bậc 4 cũng có thể được xây dựng trên các lưới đều [10]. thể được mở rộng liên tục trong h-lân cận của miền xác Hơn nữa, trong bài viết này chúng ta không thảo luận về định bài toán các vấn đề về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm liên tục của bài toán trong một lân cận đủ nhỏ nào đó của miền Qh = ( x, t ) : − h  x  l + h, 0  t  T . xác định bài toán. Vấn đề này đáng được xem xét riêng, Hơn nữa, giả sử tồn tại hai số thực k1 and k2 để điều kiện chẳng hạn như, dựa trên cơ sở của các định lý Cauchy– Picard nổi tiếng [11]. parabol của phương trình (5) trên nghiệm được thỏa mãn (theo định nghĩa của A. Friedman [11]) 2. Kết quả sơ bộ 0  k1  k ( u )  k2 , u  Du , Giả sử h là tập hữu hạn các nút trong một miền đóng Du = u ( x, t ) : m1  u ( x, t )  m2 , ( x, t )  Qh  , của không gian Ơ-clit n chiều và x  h là một điểm của với m1 và m2 là các hằng số được xác định bởi điều kiện sau h . Xét phương trình có dạng    (t )  (t )   A( x) y ( x) =  B ( x,  ) y (  ) + F ( x ) , x h , (1) m1 = min min  1 , 2  , min u0 ( x )   ( x )  0t T   1  2  − h  x l + h    được gọi là dạng chuẩn của sơ đồ sai phân [1]. Ở đây,  ( x ) = ( x ) x và ( x ) là một cấu trúc các nút của + T min 0, inf f ( x, t ) , ( x ,t )QT sơ đồ. Vì bất kì sơ đồ sai phân nào cũng có thể viết về dạng (1) nên tính đơn điệu của nó có thể được hiểu là sự thỏa     (t )  (t )    m2 = max max  1 , 2  , max u0 ( x )  mãn của các điều kiện dương sau đây  0  t T  1  2  −h xl + h    A ( x )  0, B ( x,  )  0,   ( x), (2)   + T max 0, sup f ( x, t ) . D ( x) = A( x) −   ( x ) B ( x,  )  0,   ( x). (3)  ( x ,t )QT  Để nhận được đánh giá hai chiều đối với nghiệm của sơ đồ Trên miền Qh ta xây dựng lưới không gian không đều sai phân, có kết quả sau. ˆ = ˆ h   h , ˆ h = xi = xi −1 + hi , i = 1, 2,..., N , Bổ đề. (xem ở [12, 13]) Giả sử các điều kiện dương (2), (3) đối với các hệ số được thỏa mãn. Khi đó giá trị lớn nhất và  h1 h   h =  x0 = −  −h, xN +1 = xN + hN +1 = l + N +1  l + h  , nhỏ nhất của nghiệm sơ đồ sai phân (1) sẽ nằm trong  2 2  khoảng giá trị của dữ liệu ban đầu: và lưới đều theo biến thời gian
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 22, NO. 1, 2024 77   = tn = n , n = 0, N 0 ,  N 0 = T =   0.  hệ số 1 ,  2 , 3 ,  4 sẽ bằng 0 và sơ đồ sai phân (8) sẽ trở thành sơ đồ sai phân hữu hạn bậc 2 xấp xỉ cổ điển đã biết. Với sự giúp đỡ của đẳng thức vi phân ( ) 4. Sai số xấp xỉ ( ku) = 0,5 ( ku ) + ku − k u Trong phần này, sẽ chứng minh sơ đồ (8)-(10) xấp xỉ bài toán (5)-(7) với sai số bậc 2 theo biến không gian tương ta xây dựng sơ đồ sai phân đơn điệu bậc 2 xấp xỉ trên mẫu ứng với nút xi và bậc 1 theo biến thời gian, tức là cần phải sáu-điểm thông thường trong miền lưới không đều chứng minh rằng ˆ = ˆ h    i ( xi , tn ) = Auˆ − ut (   ) +  = O ( 2 + ), yt ( 12 ) = Ayˆ + ˆ , ( x, t )  ˆ , (8) 1 2 i Auˆ = 0,5 ( k ( u ) uˆ ) xxˆ + k( 12 ) ( u ) uˆ xxˆ − k xxˆ ( u ) uˆ( 3 4 )  . y 0 = u0 ( x), x  h , (9)   k ( y0 ) + k ( y1 ) yˆ + yˆ Thật vậy, ta có yˆ x ,1 − 1 0 1 = − ˆ1 , x = 0, t   ,  2 u ( xi , tn +1 ) 2 2 uˆ xxˆ,i − = O( 2 ). (12) x 2 i k ( y N ) + k ( y N +1 ) yˆ + yˆ N +1 (10) − yˆ x , N +1 −  2 N = − ˆ 2 , 2 2 Từ (12) suy ra x = l , t   ,  2 ( k (u )u )( xi , tn +1 ) ( k (u )uˆ ) xxˆ,i − = O( 2 + ), (13) ở đây x 2 i y = yin = y ( xi , tn ) , yˆ = yin +1 = y ( xi , tn +1 ) , t = tn , x = xi ,  2 k ( xi ) k xxˆ,i ( u ) − = O( 2 ). (14) x 2 i yˆ − y ˆ = f ( xi , tn +1 ) , ˆ1 = 1 ( tn +1 ) , ˆ 2 = 2 ( tn +1 ) , yt = ,  Từ (11) nhận được u ( xi , tn +1 ) xi = xi −1 + xi + xi +1 h −h = xi + hi , hi = i +1 i , = hi +1 + hi , ut ( 12 ) − = O( 2 + ), (15) t i i 3 3 2 k( 12 ) ( u ) − k ( ui ) = O ( ), ui = u ( xi ) . Ayˆ = 0,5 ( k ( y ) yˆ ) xxˆ + k( 12 ) ( y ) yˆ xxˆ − k xxˆ ( y ) yˆ( 3 4 )  , 2 i (16)   vx − vx vi +1 − vi v −v Từ (12)-(16), ta chứng minh được  i ( xi , tn ) = O ( 2 i + ) . vxxˆ = , vx = , vx = i i −1 , i hi +1 hi Ngoài ra, đối với các nút ở biên, sử dụng khai triển hàm số theo công thức Taylor, dễ dàng thấy được v( k k +1 ) =  ki vi +1 + (1 −  ki −  k +1,i ) vi +  k +1,i vi −1 , k (u0 ) + k (u1 ) uˆ + uˆ  0 ( 0, tn ) = uˆ x ,1 −  1 0 1 + ˆ1 = O ( h12 +  ) , ( ) 1i = 0,5 hi + hi / hi +1 ,  2i = 0,5 hi − hi / hi ,( ) 2 2 k (u N ) + k (u N +1 ) uˆ + uˆ N +1 hi k xxˆ − hi k xxˆ hi k xxˆ + hi k xxˆ  N +1 ( l , t n ) = − uˆ x , N +1 −  2 N + ˆ 2  3i = ,  4i = − . 2 2 2hi +1k xxˆ 2hi k xxˆ = O ( hN2 +1 +  ) . Các trọng số theo biến không gian 1 ,  2 , 3 ,  4 được chọn Như vậy, định lý sau đây đã được chứng minh. sao cho thỏa mãn yêu cầu Định lý 1. Sơ đồ sai phân (8)-(10) xấp xỉ bài toán vi phân v( k k +1 ) − v ( xi ) = O ( 2 i ), k = 1,3. (11) ban đầu (5)-(7) trên lưới không đều bất kỳ theo thời gian với bậc 2 theo biến không gian và bậc 1 theo biến thời gian Từ yêu cầu này, ta nhận được điều kiện để xác định các sao cho trọng số như trên là h −h max  t  C (  M h 2 + , ) h = max hi , i ki hi +1 − k +1,i hi = i +1 i = hi , k = 1,3. 3 . = max . , M = const  0. C xˆ h Để nhận được bậc 2 xấp xỉ tại điểm ( xi , tn ) , ta phải xấp xỉ đạo hàm riêng theo thời gian bằng cách nội suy trên các nút 5. Tính đơn điệu, đánh giá hai phía, và đánh giá tiên lân cận. nghiệm trên chuẩn C Ta có thể viết lại toán tử Ayˆ theo cách sau đây Sơ đồ (8)-(10) được viết lại dưới dạng chuẩn (1) như sau Ai yˆi −1 − Ci yˆi + Bi yˆi +1 = − Fi , i = 1, 2,..., N , ( h+ 1k x − h 2 k x ) yˆ xxˆ ( h+ 3 yˆ x − h 4 yˆ x ) k xxˆ Ayˆ = ( ayˆ x ) x + + , −C0 yˆ 0 + B0 yˆ1 = − F0 , AN +1 yˆ N − CN +1 yˆ N +1 = − FN +1 , 2 2 k + k− ở đây các hệ số A, B, C được tính theo công thức a= , h+ = hi +1 , h = hi , h− = hi −1. 2   k(   ) ( y ) + k ( yi −1 )  Ai = −  2 +  1 2 −  4 k xxˆ ( y )  , Theo đó, trong trường hợp lưới đều theo biến thời gian, các 2 i hi  
78 Lê Minh Hiếu   k(   ) ( y ) + k ( yi +1 )  cơ sở đánh giá (4), với t = tn   và với mọi Bi = − 1 +  1 2 − 3k xxˆ ( y )  , 2  i hi +1  i = 0,1,..., N + 1 ta có    n + 1  n +1  Ci = 1 + Ai + Bi , Fi = y( 12 ) + ˆ , Di = Ci − Ai − Bi = 1,  1  2 0  i  N +1 ( min  1 , 2 , min y(n1 2 ) + in +1     ) k ( y0 ) + k ( y1 ) 1 k ( y0 ) + k ( y1 ) 1 (20) C0 = + , B0 = −   n + 1  n +1  ( ) , 2h1 2 2h1 2 y n +1  max  1 , 2 , max y(n1 2 ) + in +1  .  1  2 i   + 0 i N 1  F0 = ˆ1 , D0 = C0 − B0 = 1 , Truy hồi theo n đối với bất đẳng thức (20) và sử dụng các k ( y N ) + k ( y N +1 ) 2 k ( y N ) + k ( y N +1 ) 2 bất đẳng thức CN +1 = + , AN +1 = − , 2hN +1 2 2hN +1 2 min y(n12 )  min yin , max y(n12 )  max yin 1i  N −1 1i  N −1 1i  N −1 1i  N −1 FN +1 = ˆ 2 , DN +1 = CN +1 − AN +1 =  2 . (vì các trọng số 1 , 2  0 không âm) ta nhận được đánh Sơ đồ sai phân hữu hạn (8)-(10) sẽ đơn điệu nếu các điều giá hai phía đối với nghiệm của sơ đồ (8)-(10) thông qua kiện dương của hệ số (2)-(3) được thỏa mãn, có nghĩa là dữ liệu đầu vào mà không cần giả thiết gì về dấu của nó Ai  0, Bi  0, Di = 1 − Ai − Bi  0. (17) m1n +1  yin +1  m2n +1 , i = 1, N + 1, (21) Để chứng minh tính đơn điệu, ta cần phải tìm điều kiện để ở đây yin  Du với mọi giá trị i = 0,1,..., N + 1 và n = 0,1,..., N0 .     (t )  (t )    Với n = 0 , rõ ràng yi0 = u0 ( xi )  Du với mọi i = 0, N + 1 . m1n +1 = min min  1 , 2  , min u0 ( x )    0  t T  1  2  − h  x l + h   Theo quy nạp, giả sử rằng với n bất kỳ, yin  Du là đúng đắn, cần chứng minh yin +1  Du cũng đúng. Để đơn giản, ta sử dụng kí hiệu không có chỉ số i và n. Khi đó, đối với  + tn +1 min 0, inf f ( x, t ) ( x ,t )QT   m1 , trường hợp h  0 , k xxˆ  0 (trường hợp tầm thường h = 0    (t )  (t )   m2n +1 = max max  1 , 2  , max u0 ( x ) và kxxˆ = 0 không được xem xét ở đây) ta nhận được các  0  t T   1  2  − h x l + h  giá trị cụ thể của các trọng số không gian   1 = h / h+  0, 2 = 3 = 0, 4 = −h / h  0, + tn +1 max 0, sup f ( x, t )   m2 .  ( x ,t )QT  h  h  k( 12 ) ( y ) = k ( y+ ) +  1 −  k ( y ) Từ đánh giá (21) suy ra yin +1  Du với mọi i = 0, N + 1 . h+  h+  Vậy định lý sau đây đã được chứng minh. h 2h + h = k ( y+ ) + + k ( y )  0, Định lý 2. Giả sử các điều kiện (18), (19) được thỏa mãn. h+ 3h+ Khi đó, sơ đồ sai phân hữu hạn (8)-(10) là đơn điệu có điều −4 kx x ( y ) = h k ( y )  0, kiện, nghiệm của nó thuộc vào miền giá trị của nghiệm h xx chính xác y  Du và đánh giá hai chiều dạng (21) là đúng. từ đó suy ra A  0 và Trên cơ sở hệ quả của nguyên lý cực đại, đánh giá tiên  h   h  nghiệm trên chuẩn C được phát biểu như sau 1 +  k ( y+ ) +  1 −  k ( y) Định lý 3. Giả sử các điều kiện (18), (19) được thỏa mãn. B = − +     h h+ h+ . Khi đó, đối với nghiệm của sơ đồ sai phân hữu hạn (8)-(10) h+ 2 h+ đánh giá tiên nghiệm sau đây là đúng đắn h h −h 2 k1   1 ( t )  2 ( t )    Vì  1 , nên B  − + + . Do đó, B  0 y ( tn +1 )   max  max    h+ 3h+ h+ ( h + h+ ) ,  , u0   1  2  C t C      (22) với   h+ − h / ( 6k1 ) . Các trường hợp còn lại của h, k xxˆ 2 2 + T max f ( t ) C . t được xét tương tự. Tóm lại, các bất đẳng thức Chứng minh. Từ hệ quả, ta có h+2 − h 2  C , (18)  1n +1 2n +1  6k1 y n +1  max  , , Fn    1 2  C C 2k1 2k1 h1  , hN +1  , (19)  1n +1 2n +1  1 2  max  , , y(n12 ) +  n +1 . đảm bảo sự thỏa mãn các điều kiện dương của hệ số (2)-  1   2 C  (3), (17) (nghĩa là sơ đồ (8)-(10) đơn điệu). Trong đó, hai Vì 1 , 2  0 , nên bất đẳng thức (19) đảm bảo tính dương của B0 , An +1 . Trên
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 22, NO. 1, 2024 79 y(n12 ) +  n +1  y(n12 ) +   n +1  yn +   n +1 . Bài toán 1: C C C C C  t  u ( x, t ) = exp  x 2 +  ,  1 = 1,  2 = 2, k (u) = (1 + u ) , 2 Do đó, ta nhận được một chuỗi mối quan hệ  10    1 n +1 2n +1   y n +1  max  , , yn +   n +1   Bài toán 2: C    C C   1 2  u ( x, t ) = sin(2 x + 10t ),  1 = 0, 2;  2 = 0,1; k (u) = u 2 + 1.  1n +1 2n +1  1 n +1 2n +1  Vế phải f ( x, t ), 1 (t ), 2 (t ) và điều kiện ban đầu  max  , , max  , +  2   1 2 u0 ( x) trong bài toán (5)-(7) được xác định bằng cách thay  1  +   n +1 C , y n −1 C ( +  n C +  n +1 C )  nghiệm chính xác u( x, t ) vào nó. Ban đầu, lưới không đều theo biến không gian được cho theo cách ngẫu nhiên. Để   thấy được sơ đồ sai phân (8)-(10) hội tụ với tốc độ    max  max   1k 2k   ,  n  +   k +1 , y 0 n   +   k +1  . ( ) O h2 +  ta sẽ giảm dần từng khoảng theo hệ số 2 và 4  1 k  n +1    1  2   k =0 C C C   k =0  theo biến không gian và thời gian tương ứng. Việc tăng số Sử dụng bất đẳng thức nút của lưới không gian được thực hiện bằng công thức x2i = ( 0,375 + r ) xi +1 + ( 0,625 − r ) xi , ở đây r  0; 0, 25)   1 2   1 ( t ) 2 ( t )   k k   max  , m ax  , , là đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Đầu tiên, chúng 1 k  n +1   2  t   1   2   1  ta tính DN = y − u C trong trường hợp N nút. Sau đó, n chúng ta tăng số nút không gian lên gấp đôi và nhận được  k =0  k +1 C  tn +1 max f ( t ) C , t D2N = y − u C . Khi đó, tốc độ hội tụ thực nghiệm của sai ta nhận được đánh giá (22). Định lý được chứng minh. DN số xấp xỉ được xác định bằng công thức R N = log 2 . Nhận xét. Nếu lưới theo biến không gian là đều, thì các D2 N đánh giá (21), (22) sẽ đúng mà không cần phải thỏa mãn các điều kiện (18), (19) (khi đó ta sẽ nói rằng, sơ đồ (8)- Các nút không gian ban đầu với h1 = 0,04 , hN +1 = 0,025 , (10) là đơn điệu không có điều kiện). hmax = 0,3 , hmin = 0,025 và được biểu diễn ở Hình 1. 6. Thực nghiệm số Trong phần này, ta sẽ kiểm chứng lại lý thuyết được chứng minh ở trên bằng thực nghiệm. Trong miền Q = ( x, t ) : 0  x  1, 0  t  1 ta giải Hình 1. Lưới không đều theo biến không gian ban đầu số hai bài toán sau đây: Bảng 1. Kết quả nghiệm số của bài toán 1 N N0 hmax hmin h1 hN +1 y −u C RN 11 10 0,2 0,025 0,04 0,025 1,30738 - 21 40 0,1245 0,010949 0,02092 0,0109 0,46179 1,50 41 160 0,0620 0,006065 0,011045 0,007449 0,143918 1,68 81 640 0,033294 0,002382 0,004698 0,002495 0,038833 1,89 161 2560 0,017158 0,000855 0,002604 0,002177 0,009526 2,03 Bảng 2. Kết quả nghiệm số của bài toán 2 N N0 hmax hmin h1 hN +1 y −u C RN 11 10 0,2 0,025 0,04 0,025 0,723434 - 21 40 0,102114 0,011587 0,015336 0,015304 0,202498 1,83 41 160 0,061668 0,006081 0,010350 0,006081 0,052679 1,94 81 640 0,034649 0,002512 0,005379 0,002840 0,013319 1,98 161 2560 0,018623 0,001127 0,001887 0,001606 0,003339 1,99 Ở bài toán 1, miền giá trị của nghiệm chính xác là định được −1  u( x, t )  1 , 0  1  k (u)  2 . Kết quả 1  u( x, t )  3,00417 và 0  4  k (u)  16,0333 . Với số nghiệm số của bài toán 1 và 2 lần lượt được cho ở Bảng 1 nút không gian ban đầu N = 11 và số nút thời gian ban đầu và Bảng 2. Qua đó, ta nhận thấy rằng, với bước nhảy không N0 = 11 tương ứng với  = 0,1 , các điều kiện (18), (19) gian và thời gian đủ nhỏ h  h0 ,    0 thì thỏa mãn lần lượt là   0,00125 , h1  8 , hN +1  4 và chúng đều y −u C  c ( h2 +  ) , c  0 − const. được thỏa mãn. Khi số nút không gian tăng lên thì điều kiện (18) cũng sẽ thay đổi. Tương tự ở bài toán 2, dễ dàng xác ( ) Tốc độ hội tụ bậc O h +  đạt được trên lưới không đều. 2
80 Lê Minh Hiếu 7. Kết luận [3] P. P. Matus, V. T. K. Tuyen, and F. J. Gaspar, “Monotone difference schemes for linear parabolic equation with mixed boundary Trong bài báo này, với sự hỗ trợ của đẳng thức vi phân, conditions”, Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi, vol. 58, no. 5, pp. 18– tác giả đã đề xuất một sơ đồ sai phân hữu hạn đơn điệu mới 22, 2014 (in Russian). có bậc hai xấp xỉ đối với các biến không gian trên lưới [4] I. Farago, and R. Horvath, “Discrete maximum principle and không đều, sơ đồ này xấp xỉ bài toán biên-ban đầu đối với adequate discretizations of linear parabolic problems”, SIAM J. Sci. Comput., vol. 28, no. 6, pp. 2313–2336, 2006. phương trình parabol giả tuyến tính có biên điều kiện loại [5] A. A. Samarskii, P. N. Vabishchevich, and P. P.Matus, “Difference ba dựa trên giả định về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm schemes of increased order of accuracy on non-uniform grids”, trơn trong một lân cận đủ nhỏ nào đó của miền xác định bài Differ. Uravn., vol. 32, pp. 265–274, 1996 (in Russian). toán. Một nhược điểm đáng kể của phương pháp này là [6] A. A. Samarskii, P. N. Vabishchevich, and P. P. Matus, “Second- không thể áp dụng nó trong trường hợp dữ liệu đầu vào order accurate finite-difference schemes on nonuniform grids”, không trơn và không thể có được thông tin tiên nghiệm về Comput. Math. Math. Phys., vol. 38, pp. 399–410, 1998. nghiệm gần đúng tại các nút giả nằm ngoài miền xác định [7] A. A. Samarskii, V. I. Mazhukin, and P. P. Matus, “Difference schemes on non-uniform grids for two dimensional parabolic của bài toán. Dưới sự đáp ứng của một số điều kiện trên equations”, Differ. Uravn., vol. 34, pp. 269–280, 1998 (in Russian). lưới, các đánh giá hai phía và đánh giá tiên nghiệm trên [8] V. B. Andreev, “About convergence of difference schemes with chuẩn C của nghiệm sai phân được thiết lập. Các ví dụ số splitting operator approximating the third boundary-value problem”, cho thấy rằng, sơ đồ sai phân mới được xây dựng có tốc độ Zh. Vychisl.Mat. Mat. Fiz., vol. 9, pp. 337–349, 1969 (in Russian). ( ) hội tụ O h +  trên lưới không đều với bước nhảy không 2 [9] I. V. Frjazinov, “About difference approximation of boundary conditions for the third boundary value problem”, Zh. Vychisl.Mat. gian và thời gian đủ nhỏ h  h0 ,    0 . Mat. Fiz., vol. 4, pp. 1106–1112, 1964 (in Russian). [10] P. P. Matus, “Monotone schemes of a higher order of accuracy for differential problems with boundary conditions of the second and Lời cảm ơn: Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát third kind”, Comput. Meth. Appl. Math., vol. 2, pp. 378–391, 2002. triển Khoa học và Công nghệ Đại học Đà Nẵng trong đề tài [11] A. Friedman, Partial Differential Equations of Parabolic Type. có mã số B2020-DN04-39. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1964. [12] P. P. Matus, L. M. Hieu, and L. G. Vulkov, “Maximum principle for TÀI LIỆU THAM KHẢO finite-difference schemes with non signconstant input data”, Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi, vol. 59, no. 5, pp. 13–17, 2015 (in [1] A. A. Samarskii, The Theory of Difference Schemes. Marcel Dekker, Russian). New York, Basel, 2001. [13] P. P. Matus, L. M. Hieu, and L. G. Vulkov, “Analysis of second order [2] A. A. Samarskii, and A. A. Gulin, Numerical Methods. Nauka, difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic Moscow, 1978 (in Russian). equations”, J. Comput. Appl. Math., vol. 310, pp. 186–199, 2017.