Sự đặt chỉnh Holder cho bài toán tối ưu

Chia sẻ: Nguyen Phong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của nghiên cứu nhằm sử dụng các giả thiết về tính lồi mạnh của hàm số thực để thiết lập các điều kiện đủ cho sự đặt chỉnh của bài toán tối ưu tại điểm đang xét.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sự đặt chỉnh Holder cho bài toán tối ưu

Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 03 - 2018 SỰ ĐẶT CHỈNH HÖLDER CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU Lâm Quốc Anh1, Nguyễn Hữu Danh2 và Trần Ngọc Tâm3 1 Khoa Sư phạm, Trường Đại học Cần Thơ 2 Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đô (Email: nhdanh@tdu.edu.vn) 3 Khoa Cơ bản, Trường Đại học Nam Cần Thơ Ngày nhận: 15/3/2018 Ngày phản biện: 08/4/2018 Ngày duyệt đăng: 25/4/2018 TÓM TẮT Mục tiêu của nghiên cứu nhằm sử dụng các giả thiết về tính lồi mạnh của hàm số thực để thiết lập các điều kiện đủ cho sự đặt chỉnh của bài toán tối ưu tại điểm đang xét. Trong bài báo này, bài toán tối ưu trong không gian định chuẩn được nghiên cứu. Trước hết chúng tôi đề xuất về khái niệm đặt chỉnh Hölder cho bài toán đang xét. Bằng cách áp dụng các giả thiết về tính lồi mạnh và tính liên tục Hölder giảm nhẹ của cả ánh xạ ràng buộc và hàm mục tiêu, chúng tôi đã thiết lập được điều kiện đủ cho khái niệm được đề xuất. Với cách tiếp cận khác so với các kết quả trước đây, kết quả đạt được là kết quả mới và đáp ứng cho những trường hợp mà trước đây không áp dụng được. Từ khóa: Bài toán tối ưu, tính lồi mạnh, sự đặt chỉnh Hölder. Trích dẫn: Lâm Quốc Anh, Nguyễn Hữu Danh và Trần Ngọc Tâm, 2018. Sự đặt chỉnh HÖLDER cho bài toán tối ưu. Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế, Trường Đại học Tây Đô. 03: 148-156. *Thạc sĩ Nguyễn Hữu Danh, Khoa Cơ bản, Trường Đại học Tây Đô 148 Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 03 - 2018 1. GIỚI THIỆU đặt chỉnh Hölder được nhà toán học Tối ưu là một chủ đề quan trọng trong Bednarczuk đề xuất và nghiên cứu cho toán học và có nhiều ứng dụng trong bài toán tối ưu (Bednarczuk, 2007). Đây thực tế. Chính vì vậy mà các chủ đề là một vấn đề mới có tính ứng dụng cao nghiên cứu về bài toán này luôn dành và được nhiều nhà toán học trong nước được nhiều sự quan tâm của các nhà cũng như trên thế giới quan tâm nghiên toán học trong nước và trên thế giới. cứu. Trong bài báo này, nghiên cứu tính đặt Mục tiêu của bài báo nhằm sử dụng chỉnh của bài toán tối ưu được thực hiện các giả thiết về tính lồi mạnh của hàm số để tìm điều kiện nhằm đảm bảo cho các thực để thiết lập các điều kiện đủ cho sự dãy nghiệm xấp xỉ luôn dần đến nghiệm đặt chỉnh của bài toán tối ưu tại điểm chính xác của bài toán ban đầu. Cần chú đang xét. ý rằng nếu một bài toán không đặt chỉnh Trong Mục 2, chúng tôi trình bày mô thì không có ý nghĩa về mặt thực tế bởi hình bài toán và nhắc lại một số khái vì các mô hình toán học hầu như là niệm có sử dụng trong phần tiếp theo. những xấp xỉ của các bài toán thực tế và Kết quả chính của bài báo được trình do đó nghiệm của bài toán không đặt bày trong Mục 3. chỉnh sẽ rất xa với nghiệm của bài toán ban đầu. Như vậy, chủ đề về tính đặt 2. MÔ HÌNH BÀI TOÁN chỉnh rất gần với tính ổn định nghiệm Trong bài báo này, nếu không có giả của bài toán. Tính đặt chỉnh của một bài thiết gì thêm thì X ,  và M là các toán có thể hiểu theo hai hướng chính. không gian định chuẩn. Cho A  X là Hướng thứ nhất là đặt chỉnh được giới tập con khác rỗng, K :  A là một thiệu bởi nhà toán học Hadamard ánh xạ đa trị có giá trị lồi và (Hadamard, 1902) và thường được gọi là f : A M  là một hàm giá trị thực. đặt chỉnh Hadamard. Theo đó, một bài Với mỗi (  ,  )    M , ta xét bài toán toán được gọi là đặt chỉnh Hadamard nếu bài toán đó có nghiệm duy nhất và tối ưu sau: nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Hướng thứ hai là đặt chỉnh ( O P ) : m in f ( x ,  ) . (1) x K (  ) do nhà toán học Tykhonov đề xuất trong (Tykhonov, 1966). Bài toán được gọi là Với mỗi   0 và (  ,  )    M , ta đặt chỉnh Tykhonov nếu nó có nghiệm kí hiệu tập nghiệm xấp xỉ của (OP) là duy nhất, đồng thời mọi dãy nghiệm xấp S   ,  ,   , tức là: xỉ đều hội tụ đến nghiệm duy nhất này (Morgan and Scalzo, 2006). Khái niệm S  ,  ,    x  K (  ) | f ( x ,  )  f ( y ,  )   ,  y  K (  ). 149 Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 03 - 2018 Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm 1 hội tụ về x . Vì x  nên f không cần thiết được sử dụng cho các phần tiếp x theo. liên tục tại x. Định nghĩa 2.1. (Anh et al, 2012) Cho hai tập con A , B  X , ta nhắc lại Cho f : X  . Khi đó, định nghĩa về các loại khoảng cách (a) f được gọi là l   - liên tục d ( a , B )  in f d ( a , b ) , b B Hölder tại x  X nếu tồn tại một lân cận U của x sao cho a d(a,b) b  f ( x1 )  f ( x 2 )  l x1  x 2 ,  x1 , x 2  U . (b) f được gọi là l   - liên tục B a d(a,B) = inf d(a,b) Hölder calm tại x  X nếu tồn tại b một lân cận U của x sao cho  f (x)  f (x )  l x  x ,x  U . Ví dụ sau đây chỉ ra rằng tính liên tục e ( A, B )  su p d ( a , B ), Hölder calm yếu thật sự so với tính liên b A tục Hölder. B A Ví dụ 2.1. Cho f : 1,     1,    e(A,B) được xác định như sau  x, x   f (x)   1  , x . H ( A , B )  m a x  e ( A , B ), e ( B , A )  , x Khi đó, f 1  1 liên tục Hölder calm B A tại 1. Thật vậy, với mỗi x  1,    , nếu e(A,B) e(B,A) x thì f ( x )  f (1)  x  1 , H(A,B) = max {e(A,B), e(B,A)} và nếu x thì  ( A, B )  su p d ( a , b ). 1 x 1 a  A , b B f ( x )  f (1)  1   x 1. x x Nhưng với x  1 , tồn tại các dãy  x n    1,    và  y n   1,    \ 150 Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 03 - 2018  f  tx 1  (1  t ) x 2  tf ( x 1 )  (1  t ) f ( x 2 )  h t (1  t ) x 1  x 2 . B A 3. SỰ ĐẶT CHỈNH HÖLDER CỦA a b BÀI TOÁN TỐI ƯU Trong mục này, chúng tôi trình bày kết quả chính của bài báo, đó là tính đặt = d(A,B) = sup d(a,b) chỉnh Hölder của bài toán (OP) tại điểm a A, b B đang xét. Vì sự tồn tại nghiệm của bài Định nghĩa 2.2. (Anh et al, 2013) toán (OP) đã được nghiên cứu trong các Cho K :  A là một ánh xạ đa trị. Khi bài báo (Chen and Graven, 1994; Kazmi, 1996; Lee et al, 1998; Peter et al, 2010) đó, nên ta giả sử rằng nghiệm của bài toán (a) K được gọi là l   - liên tục Hölder luôn khác rỗng trong lân cận của điểm đối với khoảng cách H tại    nếu đang xét. tồn tại một lân cận N của  sao cho Định nghĩa 3.1 Bài toán (OP) được H  K ( 1 ) , K (  2 )   l 1   2  ,  1 ,  2  N . gọi là đặt chỉnh Hölder tại điểm   ,   nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: (b) K được gọi là l   - liên tục Hölder calm đối với khoảng cách H tại    (a) S  0,  ,   đơn phần tử; nếu tồn tại một lân cận N của  sao (b) S liên tục Hölder calm đối với  cho H  K (  ) , K (  )   l    ,    N . khoảng cách  tại  0 ,  ,   . Nếu ta thay H bởi  trong (a) và (b) Định lý 3.1. Giả sử rằng các điều thì ta có các khái niệm liên tục Hölder kiện sau được nghiệm đúng và liên tục Hölder calm đối với khoảng cách  . (i) K là l   - liên tục Hölder calm đối với khoảng cách  tại  , tức là tồn tại Định nghĩa 2.3. (Anh et al, 2015) Một hàm số f : X  được gọi là lồi một lân cận N của  sao cho  trên một tập lồi A  X nếu với mọi   K ( ), K ( )   l    ,  N ; x 1 , x 2  A và t  ( 0 ,1) , (ii) tồn tại một lân cận U của  sao cho với mọi   U , f ( ,  ) là h   -lồi f  tx 1  (1  t ) x 2   tf ( x 1 )  (1  t ) f ( x 2 ). mạnh cũng như m   -liên tục Hölder Định nghĩa 2.4. (Anh et al, 2015) trong K (  ) ; Một hàm số f : X  được gọi là (iii) với mỗi x  K ( N ) , f ( x ,  ) là h   -lồi mạnh trên một tập lồi A  X n   -liên tục Hölder calm tại  . nếu với mọi x 1 , x 2  A và t  ( 0 ,1) , 151 Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 03 - 2018 Khi đó bài toán (OP) đặt chỉnh Hölder tại   ,   . Chứng minh. Với mọi x0  S  0,  ,   và x  S   ,  ,   , ta chỉ ra rằng 1 1   2n    1  1 x0  x             0  (2)  h  h  Ta thấy rằng (2) thỏa mãn nếu x0  x . Vì vậy, chúng ta giả sử rằng x 0  x . Vì x0  S  0,  ,   và x  S  ,  ,   , ta có f ( y ,  )  f ( x0 ,  )  0,  y  K (  ), (3) f ( z ,  )  f ( x ,  )    0,  z  K (  ). (4) x0  x Do K ( ) lồi nên  K ( ) . 2 x0  x Thay y  vào (3), ta được 2  x0  x  f  ,   f  x0 ,    0. (5)  2  Từ tính lồi mạnh của f suy ra  x0  x  1 1 1  f  ,   f  x0 ,    f  x,    h x0  x . (6)  2  2 2 4 Kết hợp (6) với (5), ta được 1  h x0  x  f  x,    f  x0 ,  . (7) 2 x0  x Thay z  vào (4), ta được 2  x0  x  f  ,   f  x,      0. (8)  2  Từ tính lồi mạnh của f ta suy ra 152 Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 03 - 2018  x0  x  1 1 1  f  ,   f  x0 ,    f  x,    h x0  x .  2  2 2 4 Kết hợp với (8), ta được 1  h x0  x  f  x0 ,    f  x,     . (9) 2 Từ (7) và (9), ta được  h x0  x   f  x,    f  x,     f  x0 ,    f  x0 ,     . Sử dụng tính Hölder calm của f tại  trong (iii), ta có   h x0  x  2n     . Suy ra (2) được chứng minh. Bây giờ ta chứng minh rằng với mọi x  S  0,  ,   và x0  S  0,  ,   thì 1 3    m2 l  x0  x        . (10)  h  Nếu x0  x thì (10) hiển nhiên đúng. Vì vậy, ta giả sử rằng x 0  x . Từ giả thiết (i), tồn tại x1  K (  ) và x2  K ( ) sao cho  x  x1  l    ; (11)  x0  x2  l    . (12) Vì x và x0 là nghiệm của (OP), nên f  y,    f x,   0,  y  K (  ); (13) f  z,    f  x0 ,    0 ,  z  K (  ). (14) x  x2 Vì K ( ) và K ( ) lồi nên ta có  K ( ) . 2 x  x2 Thay y  vào (13) và z  x1 vào (14), ta được: 2 153 Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 03 - 2018  x  x2  f  ,   f x,   0; (15)  2  f  x1 ,    f  x0 ,    0. (16) Mặt khác, tính lồi mạnh của f cho ta 1  1 1  x0  x  h x0  x  f  x0 ,    f x,   f  , . (17) 4 2 2  2  Cộng (15) với (17), ta được 1  1 1  x  x2   x0  x  h x0  x  f  x0 ,    f x,   f  ,   f  , . (18) 4 2 2  2   2  1 Nhân (18) với 1 và (16) với rồi cộng lại, ta được 2 1  1 1  x  x2   x0  x  h x0  x  f  x1 ,    f x,   f  ,   f  , . 4 2 2  2   2  Tính liên tục Hölder của f cho ta  1  1  x  x2 x0  x h x0  x  m x1  x  m  4 2 2 2 1  1   m x1  x   m x2  x0 . (19) 2 2 Kết hợp (19) với (11) và (12), ta được 1   1   h x0  x  m2 l    , 4 từ đây ta suy ra (10). Ta thấy rằng, với mọi x  S  0,  ,   và x  S  ,  ,   , x  x  x  x0  x0  x . Do đó, 154 Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 03 - 2018 1 1 1 3     m2 l   2n    1  1   S  0,  ,   , S  ,  ,                      0  ,  h   h   h  tức là S Hölder calm tại  0 ,  ,   . Cho   0 ,    và    thì bất calmness and Hölder well-posedness of đẳng thức trên cho ta đường kính của vector quasi-equilibrium problems. Vietnam Journal of Mathematics 41, S  0 ,  ,   bằng 0 và do đó nó đơn phần 507-517. tử. Vậy bài toán (OP) đặt chỉnh Hölder 3. Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, tại điểm   ,   . T.N., 2015. On Hölder continuity of solution maps of parametric primal and 4. KẾT LUẬN dual Ky Fan inequalities. TOP 23, 151- Bằng cách sử dụng các giả thiết về 167. tính lồi mạnh, chúng tôi đã thiết lập thành công các điều kiện đủ cho sự đặt 4. Bednarczuk, E., 2007. Stability chỉnh Hölder của bài toán (OP) tại điểm Analysis for Parametric Vector đang xét, đáp ứng mục tiêu đã đặt ra. Optimization Problems. Polish Academy Các kết quả đạt được rất có ý nghĩa of Sciences, Warszawa. trong toán học ứng dụng, nhất là các tiên 5. Chen, G.Y. and Graven, B.D., đoán trong những quy trình vật lý. Nếu 1994. Existence and continuity of bài toán đang xét đặt chỉnh thì chúng ta solutions for vector optimization, không phải lo lắng về những lỗi nhỏ Journal of Optimization Theory and trong quá trình đo đạc, quá trình có thể Applications 81, 459-468. tạo ra những sai sót lớn trong tiên đoán. 6. Hadamard, J., 1902. Sur le Bên cạnh đó, các kết quả trong bài báo problèmes aux dérivees partielles et leur có thể được mở rộng nghiên cứu cho các signification physique. Princeton bài toán quan trọng trong tối ưu như bài University Bulletin 13, 49-52. toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng… 7. Kazmi, K. R., 1996. Existence of solutions for vector optimization. TÀI LIỆU THAM KHẢO Applied Mathematics Letters 9, 19-22. 1. Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, 8. Lee, G.M., Kim, D.S., Kuk, H., T.N., 2012. On Hölder continuity of 1998. Existence of Solutions for Vector approximate solutions to parametric Optimization problems. Journal of equilibrium problems. Nonlinear Mathematical Analysis and Applications Analysis: Theory, Methods and 220, 90-98. Applications 75, 2293-2303. 9. Morgan, J. and Scalzo, V., 2006. 2. Anh, L.Q., Khanh, P.Q., Tam, Discontinuous but well-posed T.N., Van, D.T.M., 2013. On Hölder 155 Tạp chí Nghiên cứu khoa học và Phát triển kinh tế Trường Đại học Tây Đô Số 03 - 2018 optimization problems. SIAM Journal 11. Tykhonov, A.N., 1966. On the on Optimization 17, 861-870. stability of the functional optimization 10. Peter, I. K., Rosanna, M., Igor, problem. USSR Computational V.N., 2010. On existence of eﬃcient Mathematics and Mathematical Physics solutions to vector optimization 6, 28-33. problems in Banach spaces. Note Mathematical 30, 25-39. HÖLDER WELLPOSEDNESS FOR OPTIMIZATION PROBLEMS Lam Quoc Anh1, Nguyen Huu Danh2 and Tran Ngoc Tam3 1 Teacher Education College, Can tho University 2 Faculty of Basic Sciences, Tay do University (Email: nhdanh@tdu.edu.vn) 3 Faculty of Basic Sciences, Nam Can Tho University ABSTRACT In this paper, we study optimization problems in normed spaces. Firstly, we propose the notion of Hölder wellposedness for such problems. After that, by using strong convexity assumptions and Hölder camlness continuity of constrained map and objective function, we establish sufficient conditions of the Hölder wellposedness for the reference considered problems. Our approach is different from the existing ones in the literature, and hence the obtained results are new and applicable for the cases where previous results were still limited. Keywords: Optimization problem, strong convexity, Hölder wellposedness. 156