Sử dụng phương pháp Newmark giải quyết bài toán mô hình cầu đơn giản dưới tác dụng của tải trọng di chuyển

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

55
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết nghiên cứu hệ số động bằng phương pháp phần tử hữu hạn cho cầu dầm giản đơn bằng phương pháp Newmark, được lập trình trên ngôn ngữ Matlab với mô hình hai khối lượng cho tải trọng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sử dụng phương pháp Newmark giải quyết bài toán mô hình cầu đơn giản dưới tác dụng của tải trọng di chuyển

KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP NEWMARK GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN MÔ HÌNH CẦU ĐƠN GIẢN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI CHUYỂN TS. PHAN HUY THIỆN, TS. NGUYỄN CẨN NGÔN Trường Đại học Vinh Tóm tắt: Trong bài báo này nhóm tác giả nghiên lệ của tải trọng tĩnh. Hệ số động đó, được quy định cứu giải quyết bài toán dao động của cầu dầm giản cho tất cả các cầu nói chung và cầu dầm nhịp giản đơn chịu tải trọng di chuyển, ở đây tải trọng được đơn nói riêng, dẫn đến việc xác định tải trọng động mô hình là vật hai khối lượng. Bài báo lần lượt trình cho cầu cần phải nghiên cứu rõ để đánh giá mức độ bày: cầu dầm đơn giản với mô hình hai khối lượng ảnh hưởng của hệ số động đối với cầu. Để có công cho tải trọng di động, sau đó tiến tới thiết lập hệ cụ đánh giá hệ số động nhiều tác giả đã giải bài phương trình vi phân, giải bài toán bằng phương toán mô hình với nhiều cách khác nhau. Một số tác pháp Newmark và được lập trình trên ngôn ngữ giả đã giải phương trình vi phân dao động bằng Matlab, cuối cùng chương trình lập ra sẽ được tính phương pháp Runger-Kutta-Mersion trên ngôn ngữ toán với các tham số thực tế. Pascal [3], hoặc giải bằng phương pháp Runger- Kutta-Mersion trên ngôn ngữ Delphi [4]. Các Từ khóa: cầu dầm đơn giản, phân tích dao chương trình này thích hợp cho việc đánh giá rất chi động, mô hình tải trọng hai khối lượng, phần tử hữu tiết, đòi hỏi tính toán tỷ mỷ công phu, và quá lớn để hạn, tải trọng di động đánh giá nhanh hệ số động. Với mục đích đơn giản Abstract: In this paper the authors study to solve hóa để tính toán nhanh, dựa trên phần mềm được simple span bridge vibration under moving loads, sử dụng quen thuộc ở Việt Nam. Trong bài báo này, here loads are modelled by objects with two mass. tác giả nghiên cứu hệ số động bằng phương pháp Articles in turn present: simple span bridge with two phần tử hữu hạn cho cầu dầm giản đơn bằng mass model for moving load, and then proceed to phương pháp Newmark, được lập trình trên ngôn establish systems of differential equations, solving ngữ Matlab với mô hình hai khối lượng cho tải the problem by Newmark method and Matlab trọng. software, then program will be established to 2. Cầu dầm dưới tác dụng của mô hình tải calculate an example with actual parameters. trọng hai khối lượng Keywords: simple span bridge, vibration analysis, two mass model, finite element, moving Trong phạm vi bài báo tác giả nghiên cứu mô load hình tương tác động lực học giữa tải trọng di động và kết cấu cầu dầm giản đơn. Trong mô hình kết 1. Đặt vấn đề cấu cầu dầm giản đơn được xét đến khối lượng Trong tiêu chuẩn thiết kế cầu hiện nay của Việt phân bố. Phần tử dầm khi chịu uốn được phân tích Nam và một số nước trên thế giới [1], [2],.. khi thiết theo mô hình Euler – Bernuolli. Mô hình tải trọng di kế các loại cầu người ta đưa hệ số động do tải trọng động được nghiên cứu là mô hình hai khối lượng di động gây nên và được tính tăng thêm theo một tỉ hình 1. Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 31
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG § G1.sin N Gi.sin i GN.sin 1 m11 m1i m11 k1N d1N k1i d1i k11 d11 m2N m2i m21 k2N d2N k2i d2i k21 d21 VN Vi V1 X aN ai m=const a1 l Hình 1. Mô hình phần tử dầm dưới tác dụng của đoàn tải trọng di động Trên hình 1, cấu trúc của tải trọng thứ i tương hưởng lực kích động của động cơ, khối lượng thân ứng với trục xe thứ i được mô tả như sau: xe, khối lượng hàng hóa, khối lượng trục xe, độ Gi.sin i=Gi.sin( it+ i) là lực kích thích điều hòa di cứng và độ giảm chấn của nhíp xe và lốp xe. khối lượng lệch tâm của động cơ quay với vận tốc góc , truyền xuống trục xe thứ i, với i là góc pha Mô hình tương tác động lực học giữa đoàn xe di ban đầu. động và kết cấu cầu dầm nhịp giản đơn được mô tả m1i - Khối lượng của thân xe, kể cả hàng hóa như hình 1. Các xe di động trên xe cầu có thể cùng truyền xuống trục xe thứ i; tốc độ hoặc khác tốc độ. Số lượng và chủng loại xe m2i - Khối lượng của trục xe thứ i; có thể khác nhau. Các tham số như: khối lượng của thân xe kể cả hàng truyền xuống trục xe, khối lượng k1i, d1i - Độ cứng và độ giảm chấn của nhíp xe; k2i, d2i - Độ cứng và độ giảm chấn của lốp xe; của trục xe, độ cứng và độ giảm chấn của nhíp xe và lốp xe, độ cứng và chiều dài nhịp có thể khác L - Chiều dài phần tử dầm. nhau. Đây là mô hình tải trọng rất phù hợp với các loại xe ô tô trong thực tế. Mô hình này xét được ảnh 3. Thiết lập phương trình dao động Gi.sin i m1i k1i d1i z1i k1i. y1i + d1i.y1i m2i k2i d2i z2i k2i. y2i + d2i.y2i 0 x Wi y,z,w Hình 2. Cấu trúc của tải trọng thứ i [3] 3.1 Phương trình dao động của tải trọng di động Gọi z1i và z2i là tọa độ tuyệt đối của khối lượng m1i và m2i theo phương thẳng đứng: z1i y1i y 2i wi z 2i y 2i wi (1) 32 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Áp dụng nguyên lý d’Alembert viết phương trình cân bằng cho khối lượng m1i và m2i: m1i .z1i k1i . y1i d1i . y 1i m1i .g G. sin 1i 0 m2i .z2i k 2i . y 2i d 2i . y 2i m2i .g k1i . y1i d1i . y 1i 0 (2) Trên hình 2: Fi k 2i . y 2i d 2i . y 2i , kết hợp với (2) ta được: Fi Gi . sin i (m1i m2i ).g m1i .z1i (3) m2i .z2i Áp lực tập trung của tải trọng Fi có thể được biểu diễn như một áp lực phân bố với cường độ p(x, z, t) trong khoảng vi (t i) i ; v i (t i) i và có cường độ bằng không ngoài khoảng đó qua hàm Đenta- Đirăc: p ( x, z i , t ) Fi ( x ai ); ai vi (t i ) (4) Như vậy, các lực Fi đã được biểu diễn chúng dưới dạng các lực phân bố: N p ( x, z , t ) i Gi . sin i (m1i m2i ).g m1i .z1i m2i .z2i ( x ai ) (5) i 1 Phương trình dao động của dầm: p(x,z,t) Q dx Q+ x 0 X M M dx Q M+ x Fqt Rc w Hình 3. Phân tố dầm [3] Xét một phân tố có chiều dài dx trên dầm, các lực tác dụng lên phân tố dầm có chiều dài dx (hình E ; t 3) bao gồm: trong đó: E – mô đun đàn hồi của vật liệu dầm. Q Lực cắt Q và Q dx ; x Với giả thiết này mômen uốn tại một mặt cắt bất M kỳ không chỉ phụ thuộc vào độ cong mà còn phụ Mômen uốn M và M dx ; x thuộc tốc độ biến thiên của nó: Lực cản Rc phụ thuộc bậc nhất với vận tốc: w Rc Fd dx ; Với const - hệ số ma M EJ d ( ) (6) t t 2 sát ngoài. w 2 với: (7) w x2 Lực quán tính: Fqt Fd dx t2 Thay (6) vào (7) ta có: Fd - Trọng lượng của phần tử dầm trên 1 đơn 2 3 vị chiều dài; w w M EJ d (8) x2 2 x t Áp lực phân bố do các tải trọng di động: p(x,z,t). Áp dụng nguyên lý d’Alembert lập phương trình Xét tương quan giữa ứng suất và biến dạng có hình chiếu lên trục 0W: kể đến yếu tố nội ma sát: Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 33
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 2 Q w w Q Q dx Fd 2 dx p ( x, z, t )dx 0 (9) x t t 2 Q w w Fd 2 p ( x, z , t ) (10) x t t Theo sức bền vật liệu: 3 4 M w w Q EJ d (11) x x3 x t 3 Kết hợp (10) và (11) ta có: 4 5 2 w w w w EJ d Fd p ( x, z , t ) (12) x4 4 x t t 2 t Phương trình (12) mô tả dao động uốn của được hệ phương trình vi phân mô tả dao động dầm có kể đến các ảnh hưởng ma sát trong và uốn của dầm chịu tác dụng của nhiều tải trọng di ma sát ngoài. Kết hợp (12) và (5), (2) sẽ nhận động: 4 5 2 w w w w EJ d Fd p ( x, z , t ) x4 4 x t t 2 t N N p ( x, z , t ) i Fi ( x ai ) i Gi . sin i (m1i m2i ).g m1i .z1i m2i .z2i ( x ai ) (13) i 1 i 1 i (t ) m1i .z1i k1i . y1i d1i . y 1i d 1i .z 2i k1i .z 2i i (t ) m1i .g G. sin 1i i (t ) m 2 i .z2i (d1i d 2i ).z 2i k1i k 2 i .z 2i d1i .z 1i k1i .z1i i (t ) d 2i w i . k 2i .wi m 2i .g Áp dụng phương pháp Galerkin rời rạc hóa thống theo mô hình tương tác động lực học giữa cầu dầm giản đơn và tải trọng di động. phương trình dao động uốn của phần tử Q , Q , Q , F - lần lượt là véc tơ gia tốc, vận dầm [4] tốc, chuyển vị, lực tương đương mở rộng cho toàn Ta áp dụng phương pháp Galerkin để rời rạc hệ thống theo mô hình tương tác động lực học giữa hóa hệ cầu dầm thành các phần tử cơ bản chịu tải cầu dầm giản đơn và tải trọng di động. trọng di động và sử dụng thuật toán của phương 4. Giải bài toán bằng phương pháp Newmark pháp phần tử hữu hạn để xây dựng phương trình vi Phương pháp Newmark là công thức tích phân phân dao động của toàn hệ: một bước. Véctơ trạng thái của hệ ở thời điểm  M .Q C . Q K.Q F (14) tn 1 tn h được suy ra từ vectơ trạng thái của hệ trong đó: M , C , K - lần lượt là ma trận khối đã biết ở thời điểm t n , qua các khai triển Taylor của lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng của toàn hệ dịch chuyển và vận tốc. h2 2 hs s f (t n h) f (t n ) hf ' (t n ) f (t n ) ... f (t n ) Rs (15) 2! s! trong đó: Rs - số dư của khai triển đến bậc s. t h 1 Rs f ( s 1) ( )(t n h )s d (16) s! tn Từ công thức (15) suy ra các công thức xác định vận tốc và dịch chuyển của một hệ động lực ở thời điểm t n 1 . 34 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG tn 1 q n 1 q n q( )d tn tn 1 (17) qn 1 qn hq n (t n 1 ) q( )d tn qn 1 qn q( )d T trong đó: q q1 ...q N Sự gần đúng thể hiện ở sự đánh giá số hạng gia tốc trong biểu thức tích phân bằng phép tính số. Biểu thức q ( ) trong khoảng thời gian t n , t n 1 là một hàm của qn và qn 1 tại biên của khoảng: (t n )2 qn q( ) q ( 3) ( )(t n ) q ( )( 4) ... 2 (18) ( 3) ( 4) (t n 1 )2 qn 1 q( ) q ( )(t n 1 ) q ( ) ... 2 trong đó: q ( 3) (t ) - đạo hàm cấp 3 của véctơ q(t) theo thời gian, q ( 4 ) (t ) - đạo hàm cấp 4 của vectơ q(t). Nhân phương trình thứ nhất của (18) với (1-α), phương trình thứ hai với α rồi cộng lại ta được: (1 )qn .qn 1 q( ) q ( 3) ( ) t n h O(h 2 q ( 4 ) ) (19) q( ) (1 )qn .qn 1 q ( 3) ( ) h tn O(h 2 q ( 4) ) Tương tự nhân phương trình đầu của (18) với (1-2β), phương trình thứ hai với 2β rồi cộng lại ta có: q( ) (1 )qn .qn 1 q ( 3) ( ) 2 h tn O(h 2 q ( 4 ) ) (20) Thế (19) và (20) vào các số hạng tích phân của (17) ta nhận được công thức cầu phương: tn 1 q( )d (1 )hqn hqn 1 rn tn tn (21) 1 1 2 2 (t n 1 )q( ) d ( ) h qn h qn 1 r 'n tn 2 Các số hạng sai số tương ứng có dạng: 1 2 ( 3) rn ( )h q ( ) O(h 3 q ( 4) ) 2 tn tn 1 (22) 1 2 ( 3) 4 ( 4) r 'n ( )h q ( ) O( h q ) 6 1 1 Các hằng số α và β là những tham số liên quan đến sơ đồ cầu phương. Chọn , ta được 2 6 trong khoảng tn , tn 1 xấp xỉ gia tốc tuyến tính. qn 1 qn q( ) qn ( tn ) (23) h 1 1 qn qn Nếu ta chọn , thì q ( ) 1 trong khoảng tn , tn 1 xấp xỉ gia tốc trung bình. 2 4 2 Thế các biểu thức (21) vào các biểu thức (17) ta nhận được các công thức xấp xỉ theo phương pháp Newmark. q n 1 q n (1 )hqn hqn 1 , 1 (24) qn 1 qn hq n ( )h 2 q n h 2 qn 1 2 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 35
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Phương pháp Newmark đối với dao động hệ nhiều bậc tự do. Giả sử ta có phương trình dao động của hệ nhiều bậc tự do. M .q C.q K .q f (t ) trong đó: M, C, K - các ma trận hằng số. Áp dụng các công thức Newmark (23) vào những phương trình trên tại thời điểm t n 1 ta tính được gia tốc q n 1 . 1 M hC h 2 K qn 1 fn 1 C q n (1 )hqn K qn hq n ( )h 2 qn (25) 2 Giải hệ phương trình đại số (24) ta được q n 1 . 1 2 3 4 5 X Sử dụng các công thức Newmark (24) nhận được các giá trị của vận tốc và độ dịch chuyển q n 1 , q n 1 42m . Chú ý rằng các ma trận M hC h2K là Hình 4. Sơ đồ kết cấu nhịp cầu giản đơn với chiều các ma trận đối xứng và xác định dương. dài L =42m Ta xác định điều kiện ban đầu của q (t 0 ) từ điều Với EJ= 1011 (N.m2). Khối lượng phân bố qy = 11.400 Kg/m. Khối lượng m1 = 15*103 Kg; m2 = kiện ban đầu của q (t 0 ) và q (t 0 ) đã cho như sau: 209Kg; Độ cứng K1 = 260*104(N/m); K2 = 1 q M f (t ) Cq Kq , 200*104(N/m); Độ giảm chấn d1=2,4*103(Ns/m); 1 (26) q(t 0 ) M f (t 0 ) Cq (t 0 ) Kq (t 0 ) d2=4,3*103(Ns/m); Hệ số ma sát trong và ma sát 5. Ví dụ tính toán và kết quả ngoài của kết cấu lấy theo kết quả nghiên cứu trước đây [6]: =0,027; = 0,01.Tiến hành khảo sát hệ số Nhóm tác giả đã xây dựng chương trình nhằm động lực của chuyển vị đứng tại các nút 2, 3, 4 và mô hình kết cấu cầu dầm giản đơn chịu tải trọng di chuyển vị xoay tại các nút 2, 3, 4. động mô hình hai khối lượng theo phương pháp Theo tiêu chuẩn Việt Nam TCVN-4054-2005 thì phần tử hữu hạn và thực hiện thuật toán trên ngôn tốc độ tối đa trên đường cao tốc cho phép là v = ngữ lập trình Matlab. 120km/h. Dưới đây tác giả khảo sát với vận tốc Cho sơ đồ một nhịp cầu: trong khoảng từ 1-120km/h. Biểu đồ hệ số động của chuyển vị Biểu đồ hệ số động của chuyển vị xoay Hệ số động Kd 1.5 thẳng 1.5 nut 2 1.45 1.45 nut 2 nut 3 nut 3 nut 4 1.4 1.4 nut 4 1.35 1.35 1.3 1.3 1.25 1.25 1.2 1.2 1.15 1.15 1.1 1.1 1.05 1.05 1 0 20 40 60 80 100 120 1 0 20 40 60 80 100 120 Vận tốc Vận tốc V(Km/h) V(Km/h) Hình 5. Biểu đồ hệ số động của chuyển vị khi vận tốc thay đổi Tại vị trí nút 2: Hệ số động chuyển vị thẳng theo vận tốc đến giá trị lớn nhất 1,39 khi vận tốc tăng theo vận tốc đến giá trị lớn nhất 1,38 khi vận 98km/h sau đó giảm xuống đến 1,33 khi đạt vận tốc tốc 94km/h sau đó giảm dần xuống đến 1,35 khi vận 120km/h; tốc 108km/h và lại tiếp tục tăng lên đến 1,45 khi đạt vận tốc 120km/h; Hệ số động chuyển vị xoay tăng 36 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 Vận tốc
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG - Tại vị trí nút 3: Hệ số động chuyển vị thẳng cực trị (1+ )max = 1,47 tại nút 3 khi vận tốc tải trọng tăng đến giá trị lớn nhất 1,41 khi đạt vận tốc di động v = 120Km/h. 101km/h sau đó giảm xuống 1,36 khi đạt vận tốc 6. Kết luận 120km/h; Hệ số động chuyển vị xoay tăng theo vận Tác giả đã giải quyết thành công mô hình cầu tốc lên đến 1,15 khi vận tốc 58km/h sau đó giảm dầm đơn giản dưới tác dụng của tải trọng di chuyển dần xuống đến 1,05 khi đạt 72km/h và lại tiếp tục bằng phương pháp Newmark. Bài toán đã được lập trình tính toán với ngôn ngữ Matlab. Tác giả cũng tăng lên đến 1,47 khi đạt vận tốc 120km/h; đã áp dụng tính toán với một ví dụ với các số liệu - Tại vị trí nút 4: Hệ số động lực chuyển vị thẳng tương đối thực tế, kết quả thu được cho phép tăng đến giá trị 1,007 khi đạt vận tốc 36km/h sau đó chúng ta có thể có những phân tích đánh giá định giảm dần xuống 1,001 khi vận tốc 40km/h và lại tiếp tính cũng như phân tích sơ bộ định lượng cho dầm tục tăng lên đến 1,43 khi vận tốc đạt 120km/h; Hệ cầu đơn giản. số động chuyển vị xoay tăng theo vận tốc lên đến TÀI LIỆU THAM KHẢO 1,41 khi vận tốc 105km/h sau đó giảm dần xuống 1. Tiêu chuẩn thiết kế Cầu 22TCN 272-05. 1,38 khi đạt vận tốc 120km/h; 2. Tiêu chuẩn thiết kế Cầu AASHTO-LRFD-1998 của Ta thấy rằng: Mỹ. - Khi tốc độ tải trọng di động giảm dần đến 0, hệ 3. Hoàng Hà (1999), Nghiên cứu dao động uốn của kết cấu nhịp cầu dây văng trên đường ô tô, Luận án Tiến số động lực giảm và dần hội tụ đến 1, kết quả phân sĩ Kỹ thuật, Hà Nội. tích động tiệm cận với kết quả phân tích tĩnh. Khi đưa về trường hợp đặc biệt (tải trọng có khối lượng, 4. Nguyễn Xuân Toản (2007). Phân tích dao động của cầu dây văng dưới tác dụng của tải trọng di động. không có liên kết đàn hồi và cản nhớt với dầm) Kết Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Hà Nội. quả sát với thí nghiệm trong [5]. Điều này cho thấy kết quả phân tích bằng chương trình TH-Matlab phù 5. Tạ Hữu Vinh (2005). Nghiên cứu dao động của kết cấu hệ thanh chịu tải trọng di động bằng phương hợp với lý thuyết tính toán; pháp số. Luận án Tiến sĩ Kỹ thuật, Hà Nội. - Tại mỗi vị trí trên chiều dài cầu thì hệ số động 6. Phan Huy Thiện (2013). Dao động cầu nhịp giản đơn lực (1+ )max cũng khác nhau; dưới tác dụng của phương tiện di chuyển. Luận án - Biểu đồ hệ số động theo vận tốc thay đổi theo Thạc sĩ Kỹ thuật, Hà Nội. quy luật phi tuyến tính; 7. Raid Karoumi (1998), Response of Cable-Stayed and Suspension Bridges to Moving Vehicles, Doctoral - Với số liệu đầu vào như 3 ta sẽ tìm được hệ số Thesis, Stockholm. động lực chuyển vị thẳng đạt cực trị (1+ )max = Ngày nhận bài: 23/6/2020. 1,45 tại nút 2 và hệ số động lực chuyển vị xoay đạt Ngày nhận bài sửa lần cuối: 22/9/2020. Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020 37
KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Using Newmark method to solve simple span bridge model under the effect of moving load 38 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 4/2020